第3章复数（期末复习讲义）高一数学下学期湘教版

第3章复数（期末复习讲义） 内容导航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一　复数的概念与分类 题型二　复数的几何意义（含共轭复数与模） 题型三　复数的四则运算（含iⁿ的周期性） 题型四　复数范围内解方程 题型五　复数的三角表示 题型六　复数综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 本章是湘教版必修第二册的核心章节。复数是高中数学的重要基础内容，是数系从实数到复数的关键扩充。期末必考，通常以选择、填空题为主，分值占比约5%~8%。复数的概念、四则运算、几何意义是三大核心板块，复数的三角表示与乘除运算的几何意义是近年新高考的热点方向。 核心考点 复习目标 考情规律 数系的扩充与复数的概念 了解数系扩充过程，理解复数的概念、实部与虚部，掌握复数的分类 基础必考点，多出现在选择题第1~2题位置 复数相等的充要条件 能利用复数相等列方程组求参数 高频考点，常与方程思想结合命题 复数的几何意义 理解复平面、复数的点表示和向量表示，掌握复数模的计算 核心考点，模的几何意义是数形结合的基础 共轭复数 理解共轭复数的概念及性质，掌握共轭运算 必考内容，与除法运算紧密关联 复数的加、减运算 熟练进行复数加减运算，理解其几何意义 运算基础，常结合向量考查 复数的乘法运算 掌握复数乘法法则，熟练运用多项式乘法法则 高频考点，注意i²=-1的代入 复数的除法运算 掌握分母实数化方法，熟练进行复数除法 必考内容，共轭复数是关键工具 复数iⁿ的周期性 掌握i的幂的周期性规律 简化运算的技巧考点，常出现在计算中 复数范围内解方程 能在复数范围内解实系数一元二次方程 拓展考点，Δ<0时注意虚数根成对出现 复数的三角表示 了解复数的三角形式，掌握代数与三角互化 新高考热点，与旋转、向量结合考查 考情总结：本章分值占比约5%~8%，常以选择题、填空题形式出现。易错点集中在：复数的虚部概念（漏写"i"的系数）、纯虚数条件漏考虑"实部为零且虚部不为零"、复数模的计算忘开方、除法运算分母实数化时共轭复数符号错误、复数范围内解方程漏写虚数单位i。命题趋势上，复数与向量交汇、复数三角形式的几何意义是近年高考的热点方向。 知识点01复数的有关概念 形如的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部。全体复数所构成的集合叫做复数集，记作C。 概念 定义 注意 虚数单位i i是-1的一个平方根，-1的另一个平方根是-i 复数z=a+bi a为实部，b为虚部（a,b∈R） 虚部是b（实数），不是bi 实数 b=0 实数是复数的子集 虚数 b≠0 非实数的复数统称虚数 纯虚数 a=0且b≠0 纯虚数是虚数的子集 复数相等 复数问题实数化的核心工具 共轭复数 的共轭为 实部相等，虚部互为相反数 复数的模 几何意义：点到原点的距离 易错点：①虚部是b（实数），不是bi，如z=2-3i的虚部是-3（不是-3i）；②纯虚数要求a=0且b≠0两个条件同时满足；③两个复数如果不全是实数，不能比较大小；④共轭复数的模相等：。 知识点02复数的几何意义 复数一一对应复平面内的点一一对应向量。 几何对象 对应关系 复平面 横轴为实轴（x轴），纵轴为虚轴（y轴） 点 实部a对应横坐标，虚部b对应纵坐标 向量 从原点指向点的向量 向量的模（长度） 两点之间的距离 易错点：①虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数；实轴上的点表示实数；②注意区分"复平面"和"直角坐标平面"，复平面的虚轴单位是i；③|z₁-z₂|的几何意义是复平面内两点间的距离。 知识点03复数的四则运算 1.复数的加减运算： 几何意义：复数的加减法对应向量的加减法，满足平行四边形法则和三角形法则。 2.复数的乘法运算： 乘法技巧：按照多项式乘法展开，将换成-1，合并实部、虚部。 3.复数的除法运算： 除法技巧：分母实数化——分子分母同乘分母的共轭复数。 4.重要运算性质 ①i的幂的周期性：（周期为4） 一般地： ② ③常用运算结果： 易错点：①复数乘法易忘i²=-1的替换；②除法中分母实数化时，分子也要乘相同的共轭复数，不要漏乘；③复数加减法对应向量加减，注意"终点减起点"的方向。 知识点04复数三角表示 1.复数的三角形式 ，其中，θ为复数z的辐角。 要素 说明 模r 辐角θ 以实轴正半轴为始边，向量所在射线为终边的角 辐角主值 θ∈[0,2π)（或(-π,π]） 2.代数形式→三角形式 步骤：①求模；②确定辐角θ所在象限；③写出三角形式。 3.三角形式→代数形式: 4.三角形式的乘除运算 乘法： 积的模=模的积，积的辐角=辐角之和 除法： 商的模=模的商，商的辐角=辐角之差 易错点：①三角形式必须满足r≥0、加号连接、cos在前sin在后、角度一致；②辐角主值的范围要注意，不同教材定义可能不同（[0,2π)或(-π,π]）；③三角形式乘除结果一般保留代数形式。 题型一　复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 复数分类的核心是紧扣定义：①实数→虚部b=0；②虚数→b≠0；③纯虚数→a=0且b≠0。涉及参数时，务必先化到标准形式z=a+bi(a,b∈R)，再列不等式（组）。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆虚部定义：虚部是实数，不是，常误把虚部看成。 2. 纯虚数条件遗漏：只记实部，忘记必须满足虚部，直接令求参数致错。 3. 分不清实数、虚数、纯虚数从属关系：虚数只需，纯虚数是且，范围混淆。 4. 含参数复数未先化为标准形式，直接判断类型出错。 5. 误认为任意两个复数都能比较大小，只有实数才能比较大小。 【典例1】的实部与虚部分别是　　 A．1， B．，0 C．0， D．0， 【变式1】已知复数的实部是　　 A．0 B．2 C．3 D． 【变式2】（多选）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为　　 A． B． C． D． 【变式3】（多选）已知复数，，则下列结论正确的是　　 A．的实部是 B．的虚部是 C．若，则， D．当且时，是纯虚数 题型二　复数的几何意义（含共轭复数与模） 解｜题｜技｜巧 复数与点一一对应，与向量OZ一一对应。共轭复数与z关于实轴对称。复数的模表示两点间距离。性质：（实数化因子）。 易｜错｜点｜拨 1. 复平面概念混淆：误将虚轴当成轴、实轴当成轴，坐标对应错位。 2. 模的计算易错：常忘记开方，直接写成。 3. 几何意义理解不到位：不会识别是复平面内两点间距离，只会代数计算不会数形结合。 4. 共轭复数符号记反：的共轭，易写成。 5. 忽略虚轴上原点特殊性：误认为虚轴上所有点都是纯虚数，原点是实数不是纯虚数。 6. 利用模求最值时，不会转化为圆上点到定点的距离，盲目代数运算。 【典例2】已知，则　　 A．3 B．4 C． D．10 【变式1】已知是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为　　 A． B． C． D． 【变式2】（多选）设复数，满足，且，则可以是　　 A． B． C． D． 题型三　复数的四则运算（含iⁿ的周期性） 解｜题｜技｜巧 复数运算牢记"分母实数化"是除法的核心技巧。乘法按照多项式乘多项式展开，将代入化简。i的幂以4为周期：。注意：，这些常用恒等式可简化运算。 易｜错｜点｜拨 1. 乘法运算忘记替换，仍保留直接合并。 2. 除法运算分母实数化：只分母乘共轭复数，分子漏乘，或共轭复数符号取反。 3. 的幂周期记混：周期为 4，易记错对应值。 4. 常用结论记混：、等公式记错符号。 5. 复数加减运算实部、虚部分组混乱，错把实部配虚部合并。 6. 多项连加不会按 4 项分组求和，硬算出错。 【典例3】当时，　　 A．1 B． C． D． 【变式1】设，则　　 A． B． C． D． 【变式2】设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则　　 A． B． C． D．3 题型四　复数范围内解方程 解｜题｜技｜巧 实系数一元二次方程：①时，实根公式；②时，有一对共轭虚根。注意：实系数方程的虚根必成对（共轭）出现。 易｜错｜点｜拨 1. 实系数一元二次方程时，不会写虚数根，漏掉虚数单位。 2. 忽略实系数方程虚根成对共轭，已知一个虚根不会直接写另一个根。 3. 套用求根公式时，不会处理根号负数，不会写成形式。 4. 用韦达定理时，虚根的和与积运算符号出错，混淆共轭复数运算性质。 5. 解方程后不检验，忽略复数方程隐含的实部、虚部匹配条件。 【典例4】在复数范围内方程的解为　　 A． B． C． D． 【变式1】已知，为实数，为虚数单位）是关于的方程的一个根，则　　 A．9 B．7 C．5 D．4 【变式2】若复数是方程的一个根，则的虚部为　　 A．2 B． C． D．1 题型五　复数的三角表示 解｜题｜技｜巧 代数→三角：先求模，再确定辐角，写出。三角→代数：直接展开，。三角形式乘除：模相乘除、辐角相加减。几何意义：乘以相当于将向量伸长r倍并逆时针旋转θ角。 易｜错｜点｜拨 1. 三角形式结构易错：不满足、在前在后、中间为加号的标准格式。 2. 辐角主值范围混淆：记错或，求辐角时象限判断错误。 3. 代数化三角形式时，只求模不会判断辐角所在象限，随意写角度。 4. 三角形式乘除规则记反：误把积的辐角相减、商的辐角相加。 5. 复数旋转几何意义混淆：乘三角形式分不清逆时针、顺时针旋转，角度符号搞反。 6. 三角形式展开化为代数形式时，三角函数值计算出错。 【典例5】复数的三角形式是　　 A． B． C． D． 【变式1】的三角形式是　　 A． B． C． D． 【变式2】复数都可以表示为，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足，则的辐角为　　 A． B． C． D． 题型六　复数综合应用 解｜题｜技｜巧 复数综合问题常融合概念、运算、几何意义、模的性质于一体。关键是灵活运用z·z̄=|z|²实现复数与实数的转化，利用模的几何意义转化为距离问题，结合方程思想求解。 易｜错｜点｜拨 1. 不会活用，不能实现复数向实数转化，解题绕弯路。 2. 已知不会设三角形式，恒等变形困难。 3. 模的最值问题不会转化为圆的轨迹，盲目设计算量大且易算错。 4. 复数为实数、纯虚数的条件综合应用时，遗漏定义域、等式约束条件。 5. 同时用到几何意义与代数运算时，思路混乱，不会数形结合切换。 6. 化简含的关系式时，展开合并同类项符号出错。 【典例6】如果复数满足，那么最小值是　　 A．1 B． C．2 D． 【变式1】设复数满足，则的最大值为　　 A． B． C．2 D．3 【变式2】在复平面内，已知复数满足为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 　　． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.复数的虚部为（　　） A．2　　B．-3　　C．-3i　　D．3 2.若复数为纯虚数，则实数m的值为（　　） A．-1　　B．1　　C．±1　　D．0 3.已知复数，则（　　） A．　　B．　　C．5　　D．10 4.复数的共轭复数z̄=（　　） A．1+i　　B．1-i　　C．-1+i　　D．-1-i 5.。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.设复数z满足，则z的虚部为（　　） A．1　　B．-1　　C．2　　D．-2 2.若复数为纯虚数，且，则实数的值为　　 A． B． C． D．7 3.复数（其中为数单位），则在复平面上对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4.若复数是方程的一个根，则的虚部为　　 A．2 B． C． D．1 5.（多选）设复数，满足，且，则可以是　　 B． B． C． D． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知复数满足，则等于　　 A． B． C． D． 2.欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的．根据欧拉公式，复平面内对应的点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3.（多选）设为复数，则下列命题中正确的是　　 A． B． C．若，则的最大值为2 D．若，则 4.的二次方程中，，，均是复数，且，设这个方程的两个根、，满足，求的最大值和最小值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章复数（期末复习讲义） 内容导航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型一　复数的概念与分类 题型二　复数的几何意义（含共轭复数与模） 题型三　复数的四则运算（含iⁿ的周期性） 题型四　复数范围内解方程 题型五　复数的三角表示 题型六　复数综合应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 本章是湘教版必修第二册的核心章节。复数是高中数学的重要基础内容，是数系从实数到复数的关键扩充。期末必考，通常以选择、填空题为主，分值占比约5%~8%。复数的概念、四则运算、几何意义是三大核心板块，复数的三角表示与乘除运算的几何意义是近年新高考的热点方向。 核心考点 复习目标 考情规律 数系的扩充与复数的概念 了解数系扩充过程，理解复数的概念、实部与虚部，掌握复数的分类 基础必考点，多出现在选择题第1~2题位置 复数相等的充要条件 能利用复数相等列方程组求参数 高频考点，常与方程思想结合命题 复数的几何意义 理解复平面、复数的点表示和向量表示，掌握复数模的计算 核心考点，模的几何意义是数形结合的基础 共轭复数 理解共轭复数的概念及性质，掌握共轭运算 必考内容，与除法运算紧密关联 复数的加、减运算 熟练进行复数加减运算，理解其几何意义 运算基础，常结合向量考查 复数的乘法运算 掌握复数乘法法则，熟练运用多项式乘法法则 高频考点，注意i²=-1的代入 复数的除法运算 掌握分母实数化方法，熟练进行复数除法 必考内容，共轭复数是关键工具 复数iⁿ的周期性 掌握i的幂的周期性规律 简化运算的技巧考点，常出现在计算中 复数范围内解方程 能在复数范围内解实系数一元二次方程 拓展考点，Δ<0时注意虚数根成对出现 复数的三角表示 了解复数的三角形式，掌握代数与三角互化 新高考热点，与旋转、向量结合考查 考情总结：本章分值占比约5%~8%，常以选择题、填空题形式出现。易错点集中在：复数的虚部概念（漏写"i"的系数）、纯虚数条件漏考虑"实部为零且虚部不为零"、复数模的计算忘开方、除法运算分母实数化时共轭复数符号错误、复数范围内解方程漏写虚数单位i。命题趋势上，复数与向量交汇、复数三角形式的几何意义是近年高考的热点方向。 知识点01复数的有关概念 形如的数叫做复数，其中a叫做实部，b叫做虚部。全体复数所构成的集合叫做复数集，记作C。 概念 定义 注意 虚数单位i i是-1的一个平方根，-1的另一个平方根是-i 复数z=a+bi a为实部，b为虚部（a,b∈R） 虚部是b（实数），不是bi 实数 b=0 实数是复数的子集 虚数 b≠0 非实数的复数统称虚数 纯虚数 a=0且b≠0 纯虚数是虚数的子集 复数相等 复数问题实数化的核心工具 共轭复数 的共轭为 实部相等，虚部互为相反数 复数的模 几何意义：点到原点的距离 易错点：①虚部是b（实数），不是bi，如z=2-3i的虚部是-3（不是-3i）；②纯虚数要求a=0且b≠0两个条件同时满足；③两个复数如果不全是实数，不能比较大小；④共轭复数的模相等：。 知识点02复数的几何意义 复数一一对应复平面内的点一一对应向量。 几何对象 对应关系 复平面 横轴为实轴（x轴），纵轴为虚轴（y轴） 点 实部a对应横坐标，虚部b对应纵坐标 向量 从原点指向点的向量 向量的模（长度） 两点之间的距离 易错点：①虚轴上的点（除原点外）表示纯虚数；实轴上的点表示实数；②注意区分"复平面"和"直角坐标平面"，复平面的虚轴单位是i；③|z₁-z₂|的几何意义是复平面内两点间的距离。 知识点03复数的四则运算 1.复数的加减运算： 几何意义：复数的加减法对应向量的加减法，满足平行四边形法则和三角形法则。 2.复数的乘法运算： 乘法技巧：按照多项式乘法展开，将换成-1，合并实部、虚部。 3.复数的除法运算： 除法技巧：分母实数化——分子分母同乘分母的共轭复数。 4.重要运算性质 ①i的幂的周期性：（周期为4） 一般地： ② ③常用运算结果： 易错点：①复数乘法易忘i²=-1的替换；②除法中分母实数化时，分子也要乘相同的共轭复数，不要漏乘；③复数加减法对应向量加减，注意"终点减起点"的方向。 知识点04复数三角表示 1.复数的三角形式 ，其中，θ为复数z的辐角。 要素 说明 模r 辐角θ 以实轴正半轴为始边，向量所在射线为终边的角 辐角主值 θ∈[0,2π)（或(-π,π]） 2.代数形式→三角形式 步骤：①求模；②确定辐角θ所在象限；③写出三角形式。 3.三角形式→代数形式: 4.三角形式的乘除运算 乘法： 积的模=模的积，积的辐角=辐角之和 除法： 商的模=模的商，商的辐角=辐角之差 易错点：①三角形式必须满足r≥0、加号连接、cos在前sin在后、角度一致；②辐角主值的范围要注意，不同教材定义可能不同（[0,2π)或(-π,π]）；③三角形式乘除结果一般保留代数形式。 题型一　复数的概念与分类 解｜题｜技｜巧 复数分类的核心是紧扣定义：①实数→虚部b=0；②虚数→b≠0；③纯虚数→a=0且b≠0。涉及参数时，务必先化到标准形式z=a+bi(a,b∈R)，再列不等式（组）。 易｜错｜点｜拨 1. 混淆虚部定义：虚部是实数，不是，常误把虚部看成。 2. 纯虚数条件遗漏：只记实部，忘记必须满足虚部，直接令求参数致错。 3. 分不清实数、虚数、纯虚数从属关系：虚数只需，纯虚数是且，范围混淆。 4. 含参数复数未先化为标准形式，直接判断类型出错。 5. 误认为任意两个复数都能比较大小，只有实数才能比较大小。 【典例1】的实部与虚部分别是　　 A．1， B．，0 C．0， D．0， 【解析】复数，复数的实部与虚部分别是：0，．故选：． 【变式1】已知复数的实部是　　 A．0 B．2 C．3 D． 【解析】复数，复数的实部为．故选：． 【变式2】（多选）已知复数的实部与虚部互为相反数，则的取值可能为　　 A． B． C． D． 【解析】因为复数的实部与虚部互为相反数， 所以，则有，解得或， 因为，所以或或．故选：． 变式3：（多选）已知复数，，则下列结论正确的是　　 A．的实部是 B．的虚部是 C．若，则， D．当且时，是纯虚数 【解析】复数，， 则的实部是，虚部为，故正确，错误； 若，则，，故正确； 当且时，是纯虚数，故正确．故选：． 题型二　复数的几何意义（含共轭复数与模） 解｜题｜技｜巧 复数与点一一对应，与向量OZ一一对应。共轭复数与z关于实轴对称。复数的模表示两点间距离。性质：（实数化因子）。 易｜错｜点｜拨 1. 复平面概念混淆：误将虚轴当成轴、实轴当成轴，坐标对应错位。 2. 模的计算易错：常忘记开方，直接写成。 3. 几何意义理解不到位：不会识别是复平面内两点间距离，只会代数计算不会数形结合。 4. 共轭复数符号记反：的共轭，易写成。 5. 忽略虚轴上原点特殊性：误认为虚轴上所有点都是纯虚数，原点是实数不是纯虚数。 6. 利用模求最值时，不会转化为圆上点到定点的距离，盲目代数运算。 【典例2】已知，则　　 A．3 B．4 C． D．10 【解析】，则．故选：． 【变式1】已知是虚数单位，则复数在复平面上对应的点的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】，在复平面上对应的点的坐标为，故选：． 【变式2】（多选）设复数，满足，且，则可以是　　 A． B． C． D． 【解析】利用复数的模的性质，可得，所以， 根据选项可知可以为，，故选：． 题型三　复数的四则运算（含iⁿ的周期性） 解｜题｜技｜巧 复数运算牢记"分母实数化"是除法的核心技巧。乘法按照多项式乘多项式展开，将代入化简。i的幂以4为周期：。注意：，这些常用恒等式可简化运算。 易｜错｜点｜拨 1. 乘法运算忘记替换，仍保留直接合并。 2. 除法运算分母实数化：只分母乘共轭复数，分子漏乘，或共轭复数符号取反。 3. 的幂周期记混：周期为 4，易记错对应值。 4. 常用结论记混：、等公式记错符号。 5. 复数加减运算实部、虚部分组混乱，错把实部配虚部合并。 6. 多项连加不会按 4 项分组求和，硬算出错。 【典例3】当时，　　 A．1 B． C． D． 【解析】，故．故选：． 【变式1】设，则　　 A． B． C． D． 【解析】，，，．故选：． 【变式2】设，若复数的虚部为3（其中为虚数单位），则　　 A． B． C． D．3 【解析】复数，因为其虚部为3，所以，可得．故选：． 题型四　复数范围内解方程 解｜题｜技｜巧 实系数一元二次方程：①时，实根公式；②时，有一对共轭虚根。注意：实系数方程的虚根必成对（共轭）出现。 易｜错｜点｜拨 1. 实系数一元二次方程时，不会写虚数根，漏掉虚数单位。 2. 忽略实系数方程虚根成对共轭，已知一个虚根不会直接写另一个根。 3. 套用求根公式时，不会处理根号负数，不会写成形式。 4. 用韦达定理时，虚根的和与积运算符号出错，混淆共轭复数运算性质。 5. 解方程后不检验，忽略复数方程隐含的实部、虚部匹配条件。 【典例4】在复数范围内方程的解为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以，解得．故选：． 【变式1】已知，为实数，为虚数单位）是关于的方程的一个根，则　　 A．9 B．7 C．5 D．4 【解析】为虚数单位）是关于的方程的一个根， 为虚数单位）也是关于的方程的一个根， 则，，则，故选：． 【变式2】若复数是方程的一个根，则的虚部为　　 A．2 B． C． D．1 【解析】，即，解得或， 当时，， 当时，，故的虚部为1．故选：． 题型五　复数的三角表示 解｜题｜技｜巧 代数→三角：先求模，再确定辐角，写出。三角→代数：直接展开，。三角形式乘除：模相乘除、辐角相加减。几何意义：乘以相当于将向量伸长r倍并逆时针旋转θ角。 易｜错｜点｜拨 1. 三角形式结构易错：不满足、在前在后、中间为加号的标准格式。 2. 辐角主值范围混淆：记错或，求辐角时象限判断错误。 3. 代数化三角形式时，只求模不会判断辐角所在象限，随意写角度。 4. 三角形式乘除规则记反：误把积的辐角相减、商的辐角相加。 5. 复数旋转几何意义混淆：乘三角形式分不清逆时针、顺时针旋转，角度符号搞反。 6. 三角形式展开化为代数形式时，三角函数值计算出错。 【典例5】复数的三角形式是　　 A． B． C． D． 【解析】，故选：． 【变式1】的三角形式是　　 A． B． C． D． 【解析】．故选：． 【变式2】复数都可以表示为，其中为的模，称为的辐角．已知复数满足，则的辐角为　　 A． B． C． D． 【解析】由，得， 所以，故选：． 题型六　复数综合应用 解｜题｜技｜巧 复数综合问题常融合概念、运算、几何意义、模的性质于一体。关键是灵活运用z·z̄=|z|²实现复数与实数的转化，利用模的几何意义转化为距离问题，结合方程思想求解。 易｜错｜点｜拨 1. 不会活用，不能实现复数向实数转化，解题绕弯路。 2. 已知不会设三角形式，恒等变形困难。 3. 模的最值问题不会转化为圆的轨迹，盲目设计算量大且易算错。 4. 复数为实数、纯虚数的条件综合应用时，遗漏定义域、等式约束条件。 5. 同时用到几何意义与代数运算时，思路混乱，不会数形结合切换。 6. 化简含的关系式时，展开合并同类项符号出错。 【典例6】如果复数满足，那么最小值是　　 A．1 B． C．2 D． 【解析】 点到点与到点的距离之和为2．点的轨迹为线段． 而表示为点到点的距离．数形结合，得最小距离为1故选：． 【变式1】设复数满足，则的最大值为　　 A． B． C．2 D．3 【解析】设，复数满足，所以，表示到点的距离为1，所以到原点的距离的最大值为；故选：． 【变式2】在复平面内，已知复数满足为虚数单位），记对应的点为点，对应的点为点，则点与点之间距离的最小值 　　． 【解析】设复数，则，， ， ，化简得：， 即对应的点的轨迹方程为：，又对应的点为点， 则点与点之间距离的最小值为：．故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.复数的虚部为（　　） A．2　　B．-3　　C．-3i　　D．3 【解析】虚部是-3（注意虚部是实数，不是-3i）。选B。 2.若复数为纯虚数，则实数m的值为（　　） A．-1　　B．1　　C．±1　　D．0 【解析】纯虚数要求实部为0且虚部不为0。 m²-1=0⇒m=±1；m-1≠0⇒m≠1。∴m=-1。选A。 3.已知复数，则（　　） A．　　B．　　C．5　　D．10 【解析】 。选B。 4.复数的共轭复数z̄=（　　） A．1+i　　B．1-i　　C．-1+i　　D．-1-i 【解析】=,选D。 5.。 【解析】。答案：0 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.设复数z满足，则z的虚部为（　　） A．1　　B．-1　　C．2　　D．-2 【解析】 ，虚部为1。选A。 2.若复数为纯虚数，且，则实数的值为　　 A． B． C． D．7 【解析】【解析】由，得， 又复数为纯虚数，，解得．故选：． 3.复数（其中为数单位），则在复平面上对应的点位于　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】复数（其中为数单位），则在复平面上对应的点为，在第一象限．故选：． 4.若复数是方程的一个根，则的虚部为　　 A．2 B． C． D．1 【解析】，即，解得或， 当时，， 当时，，故的虚部为1．故选：． 5.（多选）设复数，满足，且，则可以是　　 B． B． C． D． 【解析】利用复数的模的性质，可得，所以，根据选项可知可以为，，故选：． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.已知复数满足，则等于　　 A． B． C． D． 【解析】．故选：． 2.欧拉恒等式：被数学家们惊叹为“上帝创造的等式”．该等式将数学中几个重要的数：自然对数的底数、圆周率、虚数单位、自然数1和0完美地结合在一起，它是在欧拉公式：中，令得到的．根据欧拉公式，复平面内对应的点在　　 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【解析】欧拉公式：，可得， 复数对应点所在的象限为第二象限．故选：． 3.（多选）设为复数，则下列命题中正确的是　　 A． B． C．若，则的最大值为2 D．若，则 【解析】设， 对于，，，故选项正确； 对于，，，故选项错误； 对于，表示对应的点在单位圆上，表示点对应的点与的距离，故的最大值为2，故选项正确； 对于，表示对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，表示对应的点与原点的距离，故，故选项正确． 故选：． 4.的二次方程中，，，均是复数，且，设这个方程的两个根、，满足，求的最大值和最小值． 【解析】设．则． 而 ， 即表示复数的点在圆上， 该点与原点距离的最大值为，最小值为． 学科网（北京）股份有限公司 $