第1章 平面向量及其应用（期末复习讲义）高一数学下学期湘教版

第1章 平面向量及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01向量的概念与线性运算 题型02向量共线定理与三点共线 题型03平面向量基本定理与基底表示 题型04向量的坐标运算（共线、垂直、模、夹角） 题型05平面向量的数量积（定义与几何意义） 题型06正弦定理与余弦定理（解三角形） 题型07向量数量积的最值与范围问题 题型08向量的应用（几何证明与物理建模，跨章节题型） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 本章是高中数学必修第二册的核心章节，向量是沟通几何与代数的桥梁，期末必考。知识点覆盖七个板块：向量的概念、向量的加法、向量的数乘、向量的分解与坐标表示、向量的数量积、解三角形、平面向量的应用举例。 核心考点 复习目标 考情规律 向量的基本概念 能准确辨析向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量、相反向量的含义 基础必考点，多出现在选择填空，注意零向量方向任意 向量的线性运算（加、减、数乘） 熟练运用三角形法则和平行四边形法则进行向量加减运算，准确进行数乘运算 运算基础，贯穿全章，常与几何图形结合命题 向量共线定理的应用 能准确运用共线定理证明三点共线、表示未知向量 高频考点，三点共线是经典模型（λ+μ=1型） 平面向量基本定理 能选取恰当基底表示平面内任意向量 本章核心定理，是坐标表示的理论基础，选择题常考 向量的坐标运算 熟练掌握向量加减、数乘、数量积、模、夹角、垂直与共线的坐标公式 必考内容，与解析几何交汇，选择+解答均有 平面向量的数量积 准确计算数量积，理解投影向量含义，能用数量积解决垂直、夹角、模长问题 重难考点，选择题+填空题+解答题均出现 向量数量积的最值与范围 能将数量积最值转化为函数或几何量最值 难度提升考点，常见于压轴题或中高档题 正弦定理与余弦定理 熟练运用正、余弦定理解三角形（已知边角解三角形、判断形状、解的个数讨论） 解答题核心考点，常与向量综合或实际测量结合 向量在几何与物理中的应用 能用向量方法证明几何问题、解决力学与运动学中的力/速度/位移问题 应用型考点，体现建模意识 考情总结：本章分值占比约25%~30%。易错点集中在：零向量的方向、向量夹角与数量的区别、共线定理遗忘”非零”条件、数量积定义中夹角余弦的符号。命题趋势上，基底法+坐标法双线并行是主旋律，解三角形与向量交汇是压轴题的常客，极化恒等式和等和线是进阶利器。 知识点01向量的基本概念 向量是既有大小又有方向的量，记作（印刷体）或（书写体），大小称为模，记作。 概念 定义 注意 零向量 长度为的向量，记作 方向任意，规定与任意向量平行 单位向量 长度等于个单位长度的向量 与同向的单位向量为 相等向量 长度相等且方向相同的向量 与起点位置无关，可自由平移 相反向量 长度相等、方向相反的向量 共线向量（平行向量） 方向相同或相反的非零向量 记作，零向量与任意向量平行 向量的夹角 平移两向量使其起点重合，夹角 同向，反向，垂直 易错点：①平行向量即共线向量，但共线向量不一定在同一直线上；②零向量方向任意，不能说与任何向量同向或反向，只能说”平行”；③不意味着成立，须。 知识点02向量的线性运算 1.向量加法 1　 三角形法则：首尾相接， 2　 平行四边形法则：共起点，以两向量为邻边作平行四边形，对角线为和向量 3　 运算律：交换律；结合律 2.向量减法 1　 ，几何意义：平移使其共起点，从的终点指向的终点 2　 （终点减起点） 3.向量数乘 1　 的模为，方向：同向，反向，得零向量 2　 运算律：；； 4.向量共线定理 1　 ，与共线存在唯一实数使 2　 三点共线：三点共线存在实数且，使（为任意点） 3　 例如：在中，为中点，则（系数和为1）。 知识点03平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 1　 称为基底，基底须满足：①不共线；②非零向量 2　 定比分点公式（爪型定理）：已知三点共线，为平面内任一点，若（），则 易错点：零向量不能作为基底；基底不唯一，但一旦选定，表示方式唯一。 知识点04平面向量的坐标表示 取与轴、轴方向相同的单位向量作为正交基底，则，记作。 运算类型 坐标公式 加法 减法 ； 数乘 数量积 模 ； 共线 垂直 夹角 ， 中点坐标 中点： 知识点05向量的数量积 1.定义与几何意义 1　 定义：（为的夹角） 2　 几何意义：等于与在方向上的投影的乘积 3　 投影向量：在方向上的投影向量为（为与同向的单位向量），即 2.运算律 1　 交换律： 2　 分配律： 3　 数乘结合律： 4　 注意：数量积不满足结合律！ 3.常用性质 1　 2　 3　 例如：已知，则。 知识点06正弦定理与余弦定理 1.正弦定理 在中，角的对边分别为，则： 其中为外接圆半径。 2.余弦定理： 推论： 3.三角形面积公式： 4.解的个数判断：已知两边及一边对角（SSA），解的个数判定：-：一解；无解；：一解；无解；一解（直角）；两解 易错点：SSA情形是学生失分的重灾区，必须画图辅助判断解的个数。 知识点07向量数量积的重要扩展（进阶） 1.极化恒等式： 几何意义：在平行四边形中，两对角线长的平方差等于四倍邻边的数量积。 2.等和线：若，且（定值），则点在与平行的直线上运动。特别地，1时，在直线上。 3.奔驰定理：在中，为平面内一点，则： 破·重难题型 题型一　向量的概念与线性运算 解｜题｜技｜巧 ①向量线性运算的化简，注意首尾相接的三角形法则和共起点的平行四边形法则； ②向量减法口诀”终点减起点”； ③涉及几何图形时，画出图形帮助理解；注意区分向量与数量、向量与有向线段。 易｜错｜点｜拨 1　 混淆向量与数量：向量有大小和方向，数量只有大小，不可比较大小。 2　 忽略零向量特殊性：零向量方向任意，与任意向量平行，但不能说与任意向量同向/反向。 3　 向量减法起点不统一：未将两向量移至共起点，导致“终点减起点”用错。 4　 线性运算符号错误：相反向量、数乘负号易漏写，化简时正负混乱。 5　 几何图形中向量方向看错：如将看成，方向相反致结果全错。 【典例1】化简的结果等于　　 A． B． C． D． 【变式1】在平行四边形中，为中点，设，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【变式2】中，为中点，为中点，则（　　） A．　B．　C．　D． 题型二　向量共线定理与三点共线 解｜题｜技｜巧 三点共线问题核心模型：三点共线对任意点，且。已知系数关系反推共线，已知共线求系数关系，是双向考点。 易｜错｜点｜拨 1　 共线定理漏“非零”条件：成立前提是，忽略会致判断错误。 2　 三点共线系数和记错：，三点共线要求，常错写成。 3　 误判向量共线与三点共线：两向量共线≠三点共线，需保证有公共点才成立。 4　 坐标共线公式用反：坐标共线，易写成（垂直公式）。 【典例2】如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【变式1】已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（    ） A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部 C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上 【变式2】已知D是△ABC的边AB的中点，点M在DC上，且满足，则△ABC与△ABM的面积之比为（　　） A． B． C． D． 题型三　平面向量基本定理与基底表示 解｜题｜技｜巧 用基底表示向量的两种方法：①线性运算法——不断将未知向量向基底转化；②方程法——建立关于基底系数的方程组，利用表示的唯一性求解。 易｜错｜点｜拨 1　 基底选取出错：基底必须不共线且非零，零向量、共线向量不可作基底。 2　 系数唯一性忽略：同一基底表示向量，系数唯一，解方程时易算错系数。 3　 定比分点比例搞反：，代入公式时位置易颠倒。 4　 复杂图形向量转化混乱：多次线性运算时，未逐步向基底靠拢，导致表达式错误。 【典例3】如图，平行四边形ABCD中，E分别是BC的中点，若，，则（　　） A． B． C． D． 【变式1】已知AD、BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则（　　） A． B． C． D． 【变式2】设，分别是的边，上的点，，．若，，则　 　（用，表示） 题型四　向量的坐标运算（共线、垂直、模、夹角） 解｜题｜技｜巧 坐标运算是”代数化”的核心武器。熟记”六公式一转化”：加法、减法、数乘、数量积、模、夹角+共线/垂直条件。遇到几何问题先考虑建系，转化为坐标运算往往更简洁。 易｜错｜点｜拨 1　 坐标运算加减乘除混淆：向量加减是对应坐标运算，数量积是对应相乘再相加，易混。 2　 垂直与共线公式记反：垂直，共线，高频用错。 3　 夹角计算符号错误：夹角，为负时是钝角，易误判为锐角。 4　 模长漏开方：求时，只算，忘记开平方。 5　 锐角/钝角漏排除共线：夹角为锐角⇔数量积且不共线，只看数量积会错。 【典例4】已知向量，，，若，则实数的值是　　 A． B． C．10 D．8 【变式1】已知向量，，，若，则实数的值为　　 A． B．1 C． D．2 【变式2】已知向量，，若，则与夹角的余弦值为　　 A． B． C． D． 题型五　平面向量的数量积（定义与几何意义） 解｜题｜技｜巧 数量积的两条路：①定义法——适合已知模和夹角；②坐标法——适合已知坐标或可建系。注意区分”投影”和”投影向量”两个概念。 易｜错｜点｜拨 1　 数量积不满足结合律：，不可随意换序。 2　 投影与投影向量混淆：投影是数量，投影向量是向量，题目问模长易直接写投影。 3　 夹角找错：数量积中夹角是两向量起点重合的角，几何图形中易取补角。 4　 单位向量计算漏除以模：与同向单位向量是，常漏除。 【典例5】（1）已知，，与的夹角为60°，则________. （2）已知是边长为6的正三角形，求=____________ （3）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则 ________ 【变式1】在正三角形中，，，分别为，的中点，则　　 A． B． C． D． 【变式2】已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【变式3】已知长方形中，，，是的中点，是的中点，则　　 A．7 B．8 C．9 D．10 题型六　正弦定理与余弦定理（解三角形） 解｜题｜技｜巧 解三角形口诀：“三知三求”。①已知两角一边→正弦定理；②已知两边及其夹角→余弦定理；③已知三边→余弦定理推论；④已知两边及一边对角→正/余弦定理均可，需讨论解的个数。判断三角形形状用边角互化，优先考虑角化边（余弦定理）或边化角（正弦定理）。 易｜错｜点｜拨 1　 SSA解个数漏判：已知两边及一对角，未按“大边对大角”判断，漏解/多解。 2　 余弦定理符号错误：，易把减号写成加号。 3　 边角互化公式用错：角化边、边化角时，正弦定理漏乘。 4　 三角形内角和忽略：求角时超出范围，未检验合理性。 5　 面积公式漏乘：，常漏掉系数。 【典例6】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 A．2 B．2或4 C．4 D． 【变式1】在中，，，分别是内角，，所对的边，若，，则边　　 A． B． C．或 D．或 【变式2】在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于　　 A． B． C． D． 【变式3】在中，三角形三条边上的高之比为，则为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 题型七　向量数量积的最值与范围问题 解｜题｜技｜巧 数量积最值问题的三种路径：①函数法——将数量积表示为变量的函数，求函数最值；②坐标法——建系将向量坐标化，转化为坐标的代数最值；③几何法——借助极化恒等式、等和线、“圆中最值”等几何模型。 易｜错｜点｜拨 1　 变量范围漏限：如夹角、系数有范围，求最值时未约束致结果超出合理区间。 2　 极化恒等式用错图形：仅适用于平行四边形/三角形中线模型，乱套用致错。 3　 等和线定值记错：，为定值，误记为。 4　 几何最值轨迹看错：如圆上动点，圆心、半径找错，最值计算偏差。 5　 函数法定义域忽略：转化为函数后，未考虑向量本身限制，求错最值。 【典例7】已知中，是以为圆心的单位圆上的任意一条直径，则的最大值是　　 A．12 B．26 C． D．44 【变式1】已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在线段上（不包含两个端点），则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【变式2】已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 题型八　向量的应用（几何证明与物理建模，跨章节题型） 解｜题｜技｜巧　 向量解决几何问题的四步：选基底（或建系）→表示向量→向量运算→还原几何结论。物理中力、速度、位移的合成分解本质是向量加减，功是力与位移的数量积。 易｜错｜点｜拨 1　 几何证明基底选错：未选垂直/等长基底，导致运算复杂且易出错。 2　 物理问题夹角忽略：力、速度合成时，未找对向量夹角，直接加减致错。 3　 功的计算位移向量错：功是力×位移，位移是终点减起点，坐标算错致功错误。 4　 建系坐标标错：几何图形建系时，点的坐标写错，后续全错。 5　 向量结论还原几何错误：如数量积为0⇔垂直，漏写“垂直”结论。 【典例8】在边长为1的菱形中，，是线段上一点，满足，如图所示，设，． （1）用，表示； （2）在线段上是否存在一点满足？若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由． 【变式1】中，，则一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【变式2】如图，为的中线的中点，过点的直线分别交，两边于点，，设，请求出、的关系式，并记． （1）求函数的表达式； （2）设的面积为，的面积为，且，求实数的取值范围． （参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.化简　　 A． B． C． D． 2.在△ABC中，D为AC的中点，，则（　　） A． B． C． D． 3.已知，，，则与的夹角为________。 4.已知，，且，则的坐标为　　 A． B． C． D． 5.中，，，，则　　 A． B． C． D． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知向量，且，则　　 A． B． C． D． 2.已知向量，，若，则　　 A．3 B． C． D． 3.已知，且，则　　 A． B． C． D． 4.在中，已知角，的对边分别为，，，，，则　　 A． B． C． D． 5.在中，已知为的中点，若，，则的值为　 　． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，某人在河南岸的点处，想要测量河北岸的点与点的距离，现取南岸一点，得，，，则　　 A． B． C． D． 2.如图，在中，是的中点，点在边上，，与交于点，连接并延长，交于点，则　　． 3.在中，内角、、的对边分别为、、，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，的面积为，求的周长． 4.在直角梯形中，，，，，，是线段上的动点，若的最小值为0，则的取值范围是　　． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 平面向量及其应用（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01向量的概念与线性运算 题型02向量共线定理与三点共线 题型03平面向量基本定理与基底表示 题型04向量的坐标运算（共线、垂直、模、夹角） 题型05平面向量的数量积（定义与几何意义） 题型06正弦定理与余弦定理（解三角形） 题型07向量数量积的最值与范围问题 题型08向量的应用（几何证明与物理建模，跨章节题型） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 本章是高中数学必修第二册的核心章节，向量是沟通几何与代数的桥梁，期末必考。知识点覆盖七个板块：向量的概念、向量的加法、向量的数乘、向量的分解与坐标表示、向量的数量积、解三角形、平面向量的应用举例。 核心考点 复习目标 考情规律 向量的基本概念 能准确辨析向量、零向量、单位向量、相等向量、共线向量、相反向量的含义 基础必考点，多出现在选择填空，注意零向量方向任意 向量的线性运算（加、减、数乘） 熟练运用三角形法则和平行四边形法则进行向量加减运算，准确进行数乘运算 运算基础，贯穿全章，常与几何图形结合命题 向量共线定理的应用 能准确运用共线定理证明三点共线、表示未知向量 高频考点，三点共线是经典模型（λ+μ=1型） 平面向量基本定理 能选取恰当基底表示平面内任意向量 本章核心定理，是坐标表示的理论基础，选择题常考 向量的坐标运算 熟练掌握向量加减、数乘、数量积、模、夹角、垂直与共线的坐标公式 必考内容，与解析几何交汇，选择+解答均有 平面向量的数量积 准确计算数量积，理解投影向量含义，能用数量积解决垂直、夹角、模长问题 重难考点，选择题+填空题+解答题均出现 向量数量积的最值与范围 能将数量积最值转化为函数或几何量最值 难度提升考点，常见于压轴题或中高档题 正弦定理与余弦定理 熟练运用正、余弦定理解三角形（已知边角解三角形、判断形状、解的个数讨论） 解答题核心考点，常与向量综合或实际测量结合 向量在几何与物理中的应用 能用向量方法证明几何问题、解决力学与运动学中的力/速度/位移问题 应用型考点，体现建模意识 考情总结：本章分值占比约25%~30%。易错点集中在：零向量的方向、向量夹角与数量的区别、共线定理遗忘”非零”条件、数量积定义中夹角余弦的符号。命题趋势上，基底法+坐标法双线并行是主旋律，解三角形与向量交汇是压轴题的常客，极化恒等式和等和线是进阶利器。 知识点01向量的基本概念 向量是既有大小又有方向的量，记作（印刷体）或（书写体），大小称为模，记作。 概念 定义 注意 零向量 长度为的向量，记作 方向任意，规定与任意向量平行 单位向量 长度等于个单位长度的向量 与同向的单位向量为 相等向量 长度相等且方向相同的向量 与起点位置无关，可自由平移 相反向量 长度相等、方向相反的向量 共线向量（平行向量） 方向相同或相反的非零向量 记作，零向量与任意向量平行 向量的夹角 平移两向量使其起点重合，夹角 同向，反向，垂直 易错点：①平行向量即共线向量，但共线向量不一定在同一直线上；②零向量方向任意，不能说与任何向量同向或反向，只能说”平行”；③不意味着成立，须。 知识点02向量的线性运算 1.向量加法 1　 三角形法则：首尾相接， 2　 平行四边形法则：共起点，以两向量为邻边作平行四边形，对角线为和向量 3　 运算律：交换律；结合律 2.向量减法 1　 ，几何意义：平移使其共起点，从的终点指向的终点 2　 （终点减起点） 3.向量数乘 1　 的模为，方向：同向，反向，得零向量 2　 运算律：；； 4.向量共线定理 1　 ，与共线存在唯一实数使 2　 三点共线：三点共线存在实数且，使（为任意点） 3　 例如：在中，为中点，则（系数和为1）。 知识点03平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使。 1　 称为基底，基底须满足：①不共线；②非零向量 2　 定比分点公式（爪型定理）：已知三点共线，为平面内任一点，若（），则 易错点：零向量不能作为基底；基底不唯一，但一旦选定，表示方式唯一。 知识点04平面向量的坐标表示 取与轴、轴方向相同的单位向量作为正交基底，则，记作。 运算类型 坐标公式 加法 减法 ； 数乘 数量积 模 ； 共线 垂直 夹角 ， 中点坐标 中点： 知识点05向量的数量积 1.定义与几何意义 1　 定义：（为的夹角） 2　 几何意义：等于与在方向上的投影的乘积 3　 投影向量：在方向上的投影向量为（为与同向的单位向量），即 2.运算律 1　 交换律： 2　 分配律： 3　 数乘结合律： 4　 注意：数量积不满足结合律！ 3.常用性质 1　 2　 3　 例如：已知，则。 知识点06正弦定理与余弦定理 1.正弦定理 在中，角的对边分别为，则： 其中为外接圆半径。 2.余弦定理： 推论： 3.三角形面积公式： 4.解的个数判断：已知两边及一边对角（SSA），解的个数判定：-：一解；无解；：一解；无解；一解（直角）；两解 易错点：SSA情形是学生失分的重灾区，必须画图辅助判断解的个数。 知识点07向量数量积的重要扩展（进阶） 1.极化恒等式： 几何意义：在平行四边形中，两对角线长的平方差等于四倍邻边的数量积。 2.等和线：若，且（定值），则点在与平行的直线上运动。特别地，1时，在直线上。 3.奔驰定理：在中，为平面内一点，则： 破·重难题型 题型一　向量的概念与线性运算 解｜题｜技｜巧 ①向量线性运算的化简，注意首尾相接的三角形法则和共起点的平行四边形法则； ②向量减法口诀”终点减起点”； ③涉及几何图形时，画出图形帮助理解；注意区分向量与数量、向量与有向线段。 易｜错｜点｜拨 1　 混淆向量与数量：向量有大小和方向，数量只有大小，不可比较大小。 2　 忽略零向量特殊性：零向量方向任意，与任意向量平行，但不能说与任意向量同向/反向。 3　 向量减法起点不统一：未将两向量移至共起点，导致“终点减起点”用错。 4　 线性运算符号错误：相反向量、数乘负号易漏写，化简时正负混乱。 5　 几何图形中向量方向看错：如将看成，方向相反致结果全错。 【典例1】化简的结果等于　　 A． B． C． D． 【解析】根据向量的三角形法则，可得．故选：． 【变式1】在平行四边形中，为中点，设，，则（　　） A．　B．　C．　D． 【解析】在平行四边形中，，为中点，故。 ，选A。 【变式2】中，为中点，为中点，则（　　） A．　B．　C．　D． 【解析】分两步逐步替换，，为中点，。 为中点，由中位线公式：。 先化为和的组合： 再将代入： 选A。 题型二　向量共线定理与三点共线 解｜题｜技｜巧 三点共线问题核心模型：三点共线对任意点，且。已知系数关系反推共线，已知共线求系数关系，是双向考点。 易｜错｜点｜拨 1　 共线定理漏“非零”条件：成立前提是，忽略会致判断错误。 2　 三点共线系数和记错：，三点共线要求，常错写成。 3　 误判向量共线与三点共线：两向量共线≠三点共线，需保证有公共点才成立。 4　 坐标共线公式用反：坐标共线，易写成（垂直公式）。 【典例2】如图，已知平行四边形的对角线相交于点，过点的直线与，所在直线分别交于点，，满足，若，则的值为　　 A． B． C． D． 【解析】由图 ，，三点共线，所以，① 又因为，，代入①式可得，所以，故选：． 【变式1】已知A，B，C为三个不共线的点，P为△ABC所在平面内一点，若，则下列结论正确的是（    ） A．点P在△ABC内部 B．点P在△ABC外部 C．点P在直线AB上 D．点P在直线AC上 【解析】，． 如图所示，以，为邻边作平行四边形，则， 延长到点，使得，则， 点在边所在的直线上，点在外部．故选：． 【变式2】已知D是△ABC的边AB的中点，点M在DC上，且满足，则△ABC与△ABM的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【解析】因为D是AB中点，所以 ， 设h1，h2分别是三角形ABM，三角形的ABC的AB边上的高， 在三角形ADM中，可得①， 在三角形ABC中，②， 由已知条件③， 由①②代入③整理可得10333④， 因为D是三角形ABC边AB的中点，所以（）⑤， ⑤代入④可得106，则， ∴△ABM与△ABC的面积之比为， 即△ABC与△ABM的面积之比为，故选：A． 题型三　平面向量基本定理与基底表示 解｜题｜技｜巧 用基底表示向量的两种方法：①线性运算法——不断将未知向量向基底转化；②方程法——建立关于基底系数的方程组，利用表示的唯一性求解。 易｜错｜点｜拨 1　 基底选取出错：基底必须不共线且非零，零向量、共线向量不可作基底。 2　 系数唯一性忽略：同一基底表示向量，系数唯一，解方程时易算错系数。 3　 定比分点比例搞反：，代入公式时位置易颠倒。 4　 复杂图形向量转化混乱：多次线性运算时，未逐步向基底靠拢，导致表达式错误。 【典例3】如图，平行四边形ABCD中，E分别是BC的中点，若，，则（　　） A． B． C． D． 【解析】∵平行四边形ABCD中，E分别是BC的中点， ∴ ∵，，∴故选：D． 【变式1】已知AD、BE分别是△ABC的边BC，AC上的中线，且，，则（　　） A． B． C． D． 【解析】∵，， ，．∴，解得．故选：C． 【变式2】设，分别是的边，上的点，，．若，，则　 　（用，表示） 【解析】，分别是的边，上的点，，．若，，则：，， 所以．故答案为：． 题型四　向量的坐标运算（共线、垂直、模、夹角） 解｜题｜技｜巧 坐标运算是”代数化”的核心武器。熟记”六公式一转化”：加法、减法、数乘、数量积、模、夹角+共线/垂直条件。遇到几何问题先考虑建系，转化为坐标运算往往更简洁。 易｜错｜点｜拨 1　 坐标运算加减乘除混淆：向量加减是对应坐标运算，数量积是对应相乘再相加，易混。 2　 垂直与共线公式记反：垂直，共线，高频用错。 3　 夹角计算符号错误：夹角，为负时是钝角，易误判为锐角。 4　 模长漏开方：求时，只算，忘记开平方。 5　 锐角/钝角漏排除共线：夹角为锐角⇔数量积且不共线，只看数量积会错。 【典例4】已知向量，，，若，则实数的值是　　 A． B． C．10 D．8 【解析】：；； ，，解得．故选：． 【变式1】已知向量，，，若，则实数的值为　　 A． B．1 C． D．2 【解析】，，则， ，，则，解得．故选：． 【变式2】已知向量，，若，则与夹角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解析】，，． 又，，解得，即， 故．故选：． 题型五　平面向量的数量积（定义与几何意义） 解｜题｜技｜巧 数量积的两条路：①定义法——适合已知模和夹角；②坐标法——适合已知坐标或可建系。注意区分”投影”和”投影向量”两个概念。 易｜错｜点｜拨 1　 数量积不满足结合律：，不可随意换序。 2　 投影与投影向量混淆：投影是数量，投影向量是向量，题目问模长易直接写投影。 3　 夹角找错：数量积中夹角是两向量起点重合的角，几何图形中易取补角。 4　 单位向量计算漏除以模：与同向单位向量是，常漏除。 【典例5】（1）已知，，与的夹角为60°，则________. （2）已知是边长为6的正三角形，求=____________ （3）边长为2的菱形中，，、分别为，的中点，则 ________ 【解析】（1）.故答案为：10. （2） 如图是边长为的正三角形，所以，， 所以，故答案为： （3）由题意画出示意图，如图， 则 . 【变式1】在正三角形中，，，分别为，的中点，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题知，，，向量，的夹角为， 所以．故选：． 【变式2】已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为　　 A． B． C． D． 【解析】因为，所以，又因为，均为单位向量， 所以，解得，所以在上的投影向量为．故选：． 【变式3】已知长方形中，，，是的中点，是的中点，则　　 A．7 B．8 C．9 D．10 【解析】由题可得：， ， 所以 ．故选：． 题型六　正弦定理与余弦定理（解三角形） 解｜题｜技｜巧 解三角形口诀：“三知三求”。①已知两角一边→正弦定理；②已知两边及其夹角→余弦定理；③已知三边→余弦定理推论；④已知两边及一边对角→正/余弦定理均可，需讨论解的个数。判断三角形形状用边角互化，优先考虑角化边（余弦定理）或边化角（正弦定理）。 易｜错｜点｜拨 1　 SSA解个数漏判：已知两边及一对角，未按“大边对大角”判断，漏解/多解。 2　 余弦定理符号错误：，易把减号写成加号。 3　 边角互化公式用错：角化边、边化角时，正弦定理漏乘。 4　 三角形内角和忽略：求角时超出范围，未检验合理性。 5　 面积公式漏乘：，常漏掉系数。 【典例6】设的内角，，的对边分别为，，，若，，，则 A．2 B．2或4 C．4 D． 【解析】由余弦定理得：，即，化简得，解得或．故选：． 【变式1】在中，，，分别是内角，，所对的边，若，，则边　　 A． B． C．或 D．或 【解析】依题意，由正弦定理：得，解得，故或，经检验均符合题意． 当时，则，由正弦定理，得，解得； 当时，则，此时为等腰三角形满足． 综上，或．故选：． 【变式2】在中，角、、对的边分别为、、．若，，，则角等于　　 A． B． C． D． 【解析】，，，则， 因为，故．故选：． 【变式3】在中，三角形三条边上的高之比为，则为　　 A．等腰三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【解析】三角形三条边上的高之比为，则三角形三条边之比为，即， 不妨设，，，故最大角的余弦值，故角为钝角，三角形为钝角三角形．故选：． 题型七　向量数量积的最值与范围问题 解｜题｜技｜巧 数量积最值问题的三种路径：①函数法——将数量积表示为变量的函数，求函数最值；②坐标法——建系将向量坐标化，转化为坐标的代数最值；③几何法——借助极化恒等式、等和线、“圆中最值”等几何模型。 易｜错｜点｜拨 1　 变量范围漏限：如夹角、系数有范围，求最值时未约束致结果超出合理区间。 2　 极化恒等式用错图形：仅适用于平行四边形/三角形中线模型，乱套用致错。 3　 等和线定值记错：，为定值，误记为。 4　 几何最值轨迹看错：如圆上动点，圆心、半径找错，最值计算偏差。 5　 函数法定义域忽略：转化为函数后，未考虑向量本身限制，求错最值。 【典例7】已知中，是以为圆心的单位圆上的任意一条直径，则的最大值是　　 A．12 B．26 C． D．44 【解析】由已知可得，则， 由，， 则， 即，同向共线时，取最大值26，故选：． 【变式1】已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在线段上（不包含两个端点），则的取值范围是　　 A． B．， C． D．， 【解析】，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点在线段上（不包含两个端点）， ， ，即， 又，，点在线段上，且， ， ，．故选：． 【变式2】已知，是单位圆上的两点，为圆心，且，是圆的一条直径，点满足，则的取值范围是　　 A．， B．， C．， D．， 【解析】根据题意，如图：点满足，则在线段上， 又由，是单位圆上的两点，为圆心，且， 则的最小值为到线段的距离，最大值为圆的半径，即， 是圆的一条直径，是的中点，则， 故有，则的取值范围是，；故选：． 题型八　向量的应用（几何证明与物理建模，跨章节题型） 解｜题｜技｜巧　 向量解决几何问题的四步：选基底（或建系）→表示向量→向量运算→还原几何结论。物理中力、速度、位移的合成分解本质是向量加减，功是力与位移的数量积。 易｜错｜点｜拨 1　 几何证明基底选错：未选垂直/等长基底，导致运算复杂且易出错。 2　 物理问题夹角忽略：力、速度合成时，未找对向量夹角，直接加减致错。 3　 功的计算位移向量错：功是力×位移，位移是终点减起点，坐标算错致功错误。 4　 建系坐标标错：几何图形建系时，点的坐标写错，后续全错。 5　 向量结论还原几何错误：如数量积为0⇔垂直，漏写“垂直”结论。 【典例8】在边长为1的菱形中，，是线段上一点，满足，如图所示，设，． （1）用，表示； （2）在线段上是否存在一点满足？若存在，确定点的位置，并求；若不存在，请说明理由． 【解析】（1）根据题意得：， ，； （2）结论：在线段上存在使得的一点满足，此时． 理由如下：设，则，， ， 在边长为1的菱形中，， ，， ，， 解得，从而， ． 【变式1】中，，则一定是（ ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 【解析】因为中，，则， 即，，角为钝角，所以三角形为钝角三角形故选 【变式2】如图，为的中线的中点，过点的直线分别交，两边于点，，设，请求出、的关系式，并记． （1）求函数的表达式； （2）设的面积为，的面积为，且，求实数的取值范围． （参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半． 【解析】应有：． 证明：设，，，，则． 因为与共线， 所以存在实数，使得，． 因为与共线，所以存在实数，使得，． 而，则． 因为，所以，即． 因为向量，不共线，于是有，解得，所以． 同理．所以，故． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.化简　　 A． B． C． D． 【解析】．故选：． 2.在△ABC中，D为AC的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【解析】∵△ABC中，D为AC的中点，， ∴（） ．故选：D． 3.已知，，，则与的夹角为________。 【解析】，，→。 答案：（或）。 4.已知，，且，则的坐标为　　 A． B． C． D． 【解析】设，则，， 由，则，解得，所以．故选：． 5.中，，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】已知两边及其夹角，用余弦定理： 因为中，，，， 所以由正弦定理，可得，所以，因为，又为三角形内角，所以或，所以．故选：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.已知向量，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】，则， 所以，则，即．故选：． 2.已知向量，，若，则　　 A．3 B． C． D． 【解析】向量，，， ，解得，， ．故选：． 3.已知，且，则　　 A． B． C． D． 【解析】因为，且， 所以，所以，，， 则．故选：． 4.在中，已知角，的对边分别为，，，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】，．故选：． 5.在中，已知为的中点，若，，则的值为　 　． 【解析】在中，已知为的中点，若，，则的值为　1　． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.如图，某人在河南岸的点处，想要测量河北岸的点与点的距离，现取南岸一点，得，，，则　　 A． B． C． D． 【解析】由题意可知：， 则， 由正弦定理， 可得． 故选：． 2.如图，在中，是的中点，点在边上，，与交于点，连接并延长，交于点，则　　． 【解析】根据题意，设，，则，， 则， 同理：， 由平面向量基本定理：，解可得，则， 又由、、三点共线，设，则， 又由、、三点共线，则有，解可得：，即， 则有．故答案为：3． 3.在中，内角、、的对边分别为、、，且． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）若，的面积为，求的周长． 【解析】（Ⅰ）， ，， 可得，即，． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得，由正弦定理可得，① ，的面积为， ，由，解得，② 由①②可得，， 由余弦定理可得， 的周长． 4.在直角梯形中，，，，，，是线段上的动点，若的最小值为0，则的取值范围是　　． 【解析】直角梯形中，，，，，，是线段上的动点 ，，，， ，， 若的最小值为0，， 的取值范围是，且， 故答案为：，且， 学科网（北京）股份有限公司 $