精品解析：湖北黄冈市黄梅县育才高级中学2026届高三下学期模拟预测数学试题

黄梅县育才高中2026年高考模拟预测卷 高三数学 一、单选题 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“事件A与事件B互为对立事件”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 6. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 7. 过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 8. 已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 10. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 11. 已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与椭圆的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ） A. 该抛物线的准线被椭圆所截得的线段长度为 B. 若，则点的横坐标为 C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D. 周长的最小值为 三、填空题 12. 已知函数，且，则的值为__________. 13. 袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 14. 在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________． 四、解答题 15. 在中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且. （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积. 16. 已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 17. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 18. 将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体，点和分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为，，均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于，两点，是上一点，且满足平面. （1）求的值； （2）求点到平面距离的最大值； （3）若，求二面角的余弦值. 19. 已知 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，且满足，求的值； （3）在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黄梅县育才高中2026年高考模拟预测卷 高三数学 一、单选题 1. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，根据诱导公式求解. 【详解】因为，所以. 故选：B. 2. “”是“事件A与事件B互为对立事件”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况选出正确答案. 【详解】投掷一枚硬币3次，满足,但不一定是对立事件， 如：事件A：“至少出现一次正面”，事件B：“出现3次正面”， 则，，满足，但不是对立事件. 若事件A与事件B是对立事件，则为必然事件，再由概率的加法公式得； 所以“”是“事件A与事件B互为对立事件”的必要不充分条件； 故选：D 3. 在等差数列中，且．若该数列前n项和为5070，则n为（ ） A. 13 B. 14 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质及前n项和公式列式求解. 【详解】在等差数列中，， 则，因此， 由该数列的前n项和为5070，得，则， 所以. 故选：C 4. 已知椭圆的左、右焦点分别为，经过且倾斜角为的直线与交于两点（在上方），在上的射影点恰为的中点，则的离心率为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质得到，结合已知角度判断三角形形状，然后利用椭圆对称性确定点的位置，进而得出与的关系从而求出离心率. 【详解】连接，由题意及垂直平分线的性质知，， 又，所以为等边三角形， 结合椭圆的对称性可知，为其上顶点，所以，所以． 5. 函数的图像大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的性质和特殊值排除部分选项可得答案. 【详解】若函数有意义，则，解得， 所以函数的定义域为； 因为，所以； 所以为定义域上的偶函数，图像关于轴对称，可排除选项A，C； 当时, ,排除选项B． 故选：D． 6. 已知非零向量与满足且，则为（ ） A. 三边均不相等的三角形 B. 直角三角形 C. 等腰非等边三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】将变形可得，从而可知的角平分线与垂直，故.再结合向量数量积的定义及可得，即可判断的形状. 【详解】∵和分别是与和同向的单位向量， ∴表示在的角平分线上的向量. ∵，∴， ∴的角平分线与垂直，∴. 又，∴， ∴为等边三角形. 故选：D. 7. 过直线上一动点M，向圆引两条切线，A、B为切点，则圆的动点P到直线AB距离的最大值为（ ） A. B. 6 C. 8 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意设点在直线上，可得点A、B在以OP为直径的圆上，求出该圆的方程，联立圆O的方程得出直线AB的方程，进而可得直线AB恒过定点， 将问题转化为求点C、N之间的距离，结合圆C的方程和两点坐标求距离公式计算即可得出结果. 【详解】由题意知，设点在直线上，则， 过点P作圆的两条切线，切点分别为A、B，则， 所以点A、B在以OP为直径的圆上，且该圆的方程为：， 又圆O的方程为，这两个圆的方程相减，得公共弦AB的方程为， 即，因为，所以，所以， 当且即时该方程恒成立，所以直线AB恒过定点， 所以点M到直线AB距离的最大值即为点C、N之间的距离加上圆C的半径， 又，，所以，即点M到直线AB距离的最大值为. 故选：A 8. 已知函数，若存在实数，使得，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对分类讨论，通过同构可将问题转化为,构造，利用导数求解最值即可. 【详解】当时，，合题意. 当时，即 ， 为的增函数，，即， 由题意，只需, 记， 当在单调递减，在单调递增， 故，所以， 综上，的取值范围为， 故选：D 【点睛】方法点睛：利用导数比较大小的基本步骤 (1)作差或变形； (2)构造新的函数； (3)利用导数研究的单调性或最值； (4)根据单调性及最值，得到所证不等式． 二、多选题 9. 某校300名学生参加数学竞赛，随机抽取了40名学生的考试成绩（单位：分），成绩的频率分布直方图如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 的值为0.015 B. 估计这40名学生数学考试成绩的众数为75 C. 估计总体中成绩落在内的学生人数105 D. 估计这40名学生数学考试成绩的第80百分位数约为85 【答案】AB 【解析】 【分析】对A ，利用频率分布直方图所有矩形面积之和为 1，列方程求解的值；对 B，众数为最高矩形底边中点的横坐标，取区间[70,80)的中点 75；对C ，先算[80,90)的频率，再乘以总体 300 得到估计人数；对D ，根据前几组频率和确定第 80 百分位数所在区间，再用插值法计算. 【详解】对于A：由，解得，A正确； 对于B：因为直方图中最高矩形对应区间为，所以估计这40名学生数学考试成绩的众数为，B正确； 对于C：区间对应的频率为，， 所以估计总体中成绩落在的学生人数为，C错误； 对于D：前三组的频率和为，第四组的频率为， 因为，所以第百分位数落在区间内， 由，即估计这名学生数学考试成绩的第百分位数约为，D错误； 故选：AB. 10. 已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，数列是首项为2的等比数列，且，，则（ ） A. B. ，使得 C. 数列的前20项和为 D. 数列的前n项和为 【答案】CD 【解析】 【详解】由题意，，， 由得，由得. 联立解得，，故，. A：根据以上分析得，错误； B：，,解得非正整数，错误； C：设前项和，， 两式相减得 故.当时，，C正确； D：数列的前n项和即数列的前n项和加数列的前n项和, 即，正确. 11. 已知为坐标原点，，是抛物线：上的一点，为其焦点，若与椭圆的右焦点重合，则下列说法正确的有（ ） A. 该抛物线的准线被椭圆所截得的线段长度为 B. 若，则点的横坐标为 C. 若外接圆与抛物线的准线相切，则该圆面积为 D. 周长的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆方程求得抛物线的焦点坐标，利用抛物线的定义和焦半径公式，可判定B正确；联立方程组，求得交点的坐标，可判定A错误；求出外接圆的半径，求得圆的面积，可判定C正确；利用抛物线的定义转化，结合三角形两边之和大于第三边，可判定D正确. 【详解】椭圆中，， 则，右焦点. 抛物线焦点为，与 重合得，， 因此抛物线方程为，准线. 选项，将准线代入椭圆方程得，解得 ， 截得线段长度为，错误； 选项 ，由抛物线定义，解得，正确； 选项，中，，外接圆圆心在的垂直平分线上，设圆心为. 圆与准线相切，半径，圆面积，正确； 选项，周长， 先计算定值. 由抛物线定义，为点到准线的距离，因此， 最小值为到准线距离，即.因此周长最小值为，正确. 三、填空题 12. 已知函数，且，则的值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定的函数式及函数值求出，再判断代入求出目标值. 【详解】函数，当时，， 当时，，由，得，则，解得， 所以. 故答案为： 13. 袋中有编号为的10个大小相同的小球，现从中一次性随机取出4个．记X为取出的球中编号不大于4的球的个数，则数学期望_________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题意确定随机变量服从超几何分布，即可求解. 【详解】编号不大于4的小球共有4个，大于4的小球共个， 从10个球中取4个，表示取出的不大于4的球的个数，服从超几何分布， 参数为：总体数，符合条件的个体数，抽取数， 超几何分布的期望公式为，代入得： . 【点睛】 14. 在正三棱台中，，且该三棱台的高是，若以为球心，4为半径作一个球，则该球与底面的交线长是_________． 【答案】## 【解析】 【分析】设满足题意的动点为，求得点在平面的投影点，并结合几何关系，求得的长度，即可判断的轨迹为圆弧，再根据弧长公式计算即可. 【详解】设平面的中心分别为，连接， 设球与底面的交线上一个动点为，作图如下： 因为为正三棱台，故面，且// 在中，；在中，； 取中点为，则//，且，故四边形为平行四边形，故//，则面 ； 连接，又面，故； 在中，，则， 故点的轨迹是以为圆心，且为半径的圆弧上，如图所示，也即弧； 又底面为等边三角形，故， 又在以为圆心，且为半径的圆上，所以弧所对的圆心角为， 由弧长公式可知弧的长度为. 也即球与底面的交线长是. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，角，，对应边分别是.已知成等差数列，且. （1）求的值； （2）若的外接圆半径为，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由条件得到之间的关系，并将其代入余弦定理的表达式中，即可得解； （2）利用正弦定理求出，进而求出，即可根据三角形的面积公式求出的面积. 【小问1详解】 因为成等差数列，所以. 因为，由正弦定理可得，将其代入，可得. 由余弦定理可得； 【小问2详解】 因为，且，所以. 设的外接圆半径为，则. 由正弦定理可得， 则. 所以的面积. 16. 已知点是离心率为的椭圆C：（）上的一点． （1）求椭圆C的方程； （2）斜率为的直线l交椭圆C于A，B两点，求面积的最大值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）4， 【解析】 【分析】（1）根据离心率得到 的关系,再将已知点代入椭圆方程,联立解得 ,从而写出椭圆方程. （2）设出直线方程并与椭圆联立,利用韦达定理和距离公式表示出弦长和点到直线的距离,写出三角形面积表达式,用均值不等式求出最大值及对应的直线方程. 【小问1详解】 由题意得，且，所以， 将代入椭圆方程得，结合，得，， 所以椭圆C的方程为； 【小问2详解】 设直线l的方程为，A、B两点的坐标分别为，， 由消去，整理得， 由可得，且，， ， 点P到直线的距离为， ， 当且仅当，即时(满足)取得等号， 即面积最大，且最大值为4，此时直线l的方程为． 17. 在一场乒乓球赛中，甲、乙、丙、丁四人角逐冠军．比赛采用“双败淘汰制”，具体赛制为：首先，四人通过抽签两两对阵，胜者进入“胜区”，败者进入“败区”；接下来，“胜区”的两人对阵，胜者进入最后决赛；“败区”的两人对阵，败者直接淘汰出局获得第四名；紧接着，“败区”的胜者和“胜区”的败者对阵，胜者晋级最后的决赛，败者获得第三名；最后，剩下的两人进行最后的冠军决赛，胜者获得冠军，败者获得第二名．甲对阵乙、丙、丁获胜的概率均为，且不同对阵的结果相互独立． （1）经抽签，第一轮由甲对阵乙，丙对阵丁． （ⅰ）求甲获得第四名的概率； （ⅱ）求甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场数的数学期望． （2）除“双败淘汰制”外，也经常采用“单败淘汰制”：抽签决定两两对阵，胜者晋级，败者淘汰，直至决出最后的冠军．哪种赛制对甲夺冠有利？请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）“双败淘汰制”对甲夺冠有利，理由： “双败淘汰制”下，甲获胜的概率：， 在“单败淘汰制”下，甲获胜的概率为：， ， “双败淘汰制”对甲夺冠有利． 【解析】 【分析】（1）利用独立事件概率乘法公式计算甲获得第四名的概率；分别计算甲打第2、3、4轮的概率，进而利用期望公式计算求解； （2）分别计算单败淘汰制和双败淘汰制下甲夺冠的概率，通过比较概率大小得出结论． 【小问1详解】 （ⅰ）记“甲获得第四名”为事件A，则． （ⅱ）记甲在“双败淘汰制”下参与对阵的比赛场次为随机变量X，则X的所有可能取值为2，3，4． 连败两局：． 可分为连胜两局，第三局不管胜负；负胜负；胜负负， ， ，故X的分布列如下： X 2 3 4 P 数学期望． 【小问2详解】 略 18. 将椭圆面沿着垂直于其所在平面的空间向量平移得到的封闭几何体叫做椭圆柱体.如图所示的椭圆柱体，点和分别为上、下椭圆面的对称中心，椭圆的长轴长，短轴长为，，均垂直于椭圆面，且，过下底面椭圆的右焦点的动直线交椭圆于，两点，是上一点，且满足平面. （1）求的值； （2）求点到平面距离的最大值； （3）若，求二面角的余弦值. 【答案】（1） （2） （3）. 【解析】 【分析】(1)建系设点，由平面推出，利用向量平行坐标成比例求出点坐标，直接算. (2)设点，列平面的法向量方程组，写出法向量；代入点到平面距离公式，将距离表达式化简后用不等式放缩，求出最大值. (3)由得出方向向量，分别求平面、平面的两个法向量，用向量夹角公式计算余弦，结合图形取锐角值. 【小问1详解】 建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，设， 所以，. 由平面，得，∴. 【小问2详解】 设，则，. 设平面的法向量为， 则取. 又因为， 所以(当时取等号)， 即点到平面的距离的最大值为. 【小问3详解】 因为，所以直线的方向向量， 直线的方向向量. 设平面的法向量为，则 取 又，直线的方向向量， 设平面的法向量为，则 取 所以. 由图可知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为. 19. 已知 （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）已知有两个极值点，且满足，求的值； （3）在(2)的条件下，若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）求导，由极值点的定义可知方程有两个不等正根，再根据整理得，利用韦达定理代入即可求解； （3）令，利用导函数求的单调性证明在上恒成立即可. 【小问1详解】 当时，， 所以， 所以． 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为， 所以， 因为有两个极值点， 所以有两个大于0的变号零点， 所以方程有两个不等正根， 所以，解得， 又因为， 即有， 整理得， 代入， 可得，解得， 又因为，所以可得， 经检验，符合题意． 【小问3详解】 由(2)可知且，从而， 因为在上恒成立， 令， 则有在上恒成立，易得， 因为，所以， 令，对称轴， ①当时，， 所以在单调递增，从而恒成立， 所以在也恒成立， 所以在单调递增，从而恒成立． ②当时，， 所以有两个不等实根（不妨设）， 所以，且当时，，从而， 所以在上单调递减， 所以，与“在上恒成立”矛盾， 综上，的取值范围是． 【点睛】方法技巧：对于利用导数研究不等式恒成立与有解问题的求解策略： 1、合理转化，根据题意转化为两个函数最值之间的比较，列出不等式关系求解； 2、构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围； 3、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题； 4、若参变分离不易求解，考虑利用分类讨论法和放缩法，注意恒成立与存在性问题的区别. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $