精品解析：湖北武汉市育才高级中学2026届高三仿真模拟卷数学(一)

2026年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷 数学（一） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据的极差为（ ） A. 18 B. 14 C. 10 D. 6 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 3. 已知复数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 8. 已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 10. 已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足，则（ ） A. 是周期函数 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 11. 已知双曲线的渐近线方程为分别为的左、右顶点，的右焦点为 为上在第一象限内的一点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. 的离心率为3 B. C. 直线的斜率之积为定值 D. 的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_________. 13. 已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 14. 在中，，点为的中点，若，则_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，，，且数列是等差数列. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和. 16. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面. （1）证明：四边形是矩形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 某校举行足球点球比赛，每位参赛者踢点球两次，设有两个点球位置A，B，约定如下规则：参赛者第一次踢点球从A，B中随机选择一个位置进行，若球进，则更换另一个位置进行第二次踢点球；若球未进，则不更换点球位置.规定在A位置球进得5分，在B位置球进得10分，未进均得0分. （1）从甲、乙两班各随机抽取30名参赛者，根据第一次选择点球位置情况，统计如下表： 第一次在A位置踢点球 第一次在B位置踢点球 合计 甲班 20 10 30 乙班 5 25 30 合计 25 35 60 根据小概率值的独立性检验，判断第一次选择点球位置是否与班级有关联？ （2）已知张同学在A处踢点球进球的概率为0.6，在B处踢点球进球的概率为0.4. （ⅰ）求张同学第一次踢点球进球的概率； （ⅱ）设X表示张同学的总得分，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 18. 已知椭圆（）经过点，两点，过点的直线与C交于M，N两点，且直线，与直线分别交于点P和点Q. （1）求C的方程； （2）求的面积的最大值； （3）证明：存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时， （i）证明：恰有两个零点； （ii）在（i）的条件下，证明：，且. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷 数学（一） 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据的极差为（ ） A. 18 B. 14 C. 10 D. 6 【答案】A 【解析】 【详解】样本数据中最大值为，最小值为，所以极差为． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为，， 所以 ， 所以. 3. 已知复数，则（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【详解】依题意，复数 ， 所以. 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，得， 则. 5. 记等比数列的前项和为，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【详解】由条件得，整理得. 可得的公比，则. 6. 将函数（）的图象向右平移个单位长度，得函数的图象，若在上单调，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象平移得，将问题化为在上单调，结合正弦函数性质求参数的取值范围． 【详解】函数的图象向右平移个单位长度， 得到，， 则，即在上单调， ，解得． 7. 已知F是抛物线的焦点，l为C的准线，A是l上一点，线段与C交于点B，若，则（ ） A. B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，过点作，交于，与轴的交点为， 根据抛物线定义得， 因,则与相似， 则， 因，， 代入得,解得. 8. 已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】 ， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，， ， 又（当且仅当时取等）， 则. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】BD 【解析】 【分析】结合空间中的位置关系，对每个选项进行分析、判断即可得到正确的结论． 【详解】对于A，若，，，则可能平行，可能相交或异面但不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为，，所以，又，所以，所以B正确； 对于C，若，，则可能在平面内或与平面平行，所以C错误； 对于D，由，可得，又，所以，所以D正确． 10. 已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足，则（ ） A. 是周期函数 B. 直线是图象的一条对称轴 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】先根据函数递推关系推导周期，结合偶函数性质分析对称轴，再利用函数性质求解特殊点函数值，最后计算求和判断选项. 【详解】选项A：由，将替换为得 ，故是周期为4的周期函数，A正确； 选项B：因为是偶函数，故 ，又周期为4，所以， 即，故直线是的对称轴，B正确； 选项C：由偶函数得 ，又，且，故， 解得，故 ，C错误； 选项D：计算得，周期为4， 故. 11. 已知双曲线的渐近线方程为分别为的左、右顶点，的右焦点为 为上在第一象限内的一点，过点作的两条渐近线的垂线，垂足分别为，，则（ ） A. 的离心率为3 B. C. 直线的斜率之积为定值 D. 的取值范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】先根据渐近线与焦点条件，求出双曲线的标准方程与基本参数；接着，对每个选项分别运用双曲线的离心率公式、两点间距离公式、斜率定值推导、点到直线距离公式，并结合余弦定理与均值不等式，逐一验证选项的正确性. 【详解】选项A：因为双曲线 ，渐近线为 ， 所以，故 ，即， 因为右焦点 ，故 ， 所以，所以， 所以的离心率为，A错误； 选项B：由得，又，解得， 则的方程为， 设,，则，即： ， 则 ， 因为 ，所以 ，故 ，B正确； 选项C：由上可知，， 设 ，则：， 因为由，得 ， 所以 ，C正确； 选项D：因为渐近线方程为 ， 其两条渐近线夹角为 ，且，是垂线，因此与的夹角是 ， 则点 到两条渐近线的距离： 设 ，所以，所以， 由余弦定理得： ， 代入双曲线方程 ， ， 因为 在第一象限，，所以 ，故： ，所以， 故 的取值范围为 ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，若，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出向量的坐标，再利用两向量垂直时数量积为0的性质列方程求解的值. 【详解】 ， ，可得 ， 因为，所以 ，解得. 13. 已知函数（），直线与曲线相切，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义得到切点处斜率满足的关系，再结合切点同时在曲线和切线上，代入整理即可求得的值. 【详解】设直线与曲线相切于点， 由，得，则，即， 又因为切点同时在切线上，故，则， 即，则. 14. 在中，，点为的中点，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】先利用二倍角公式与正弦定理化简已知等式，结合余弦定理求得；再利用中线向量公式及的条件建立边的方程，最后由正弦定理将转化为，解方程得结果． 【详解】 设，，， 由， 得， 化简得， 所以， 所以， 由点为的中点，得， 所以， 即，整理得， 所以，（舍去）， 所以． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在数列中，，，，且数列是等差数列. （1）求的通项公式； （2）求的前n项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用等差数列通项公式列式，再利用构造法，结合等比数列定义求解. （2）由（1）的结论，利用错位相减法求和即得. 【小问1详解】 依题意， ，则等差数列的公差， ，因此，数列是首项为，公比为的等比数列， ，即，所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）得，则， 两式相减得， 所以. 16. 如图，四棱锥的底面为平行四边形，平面，平面平面. （1）证明：四边形是矩形； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质定理可推出平面，进而得到，结合底面是平行四边形即可证明. （2）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的正弦值公式计算. 【小问1详解】 证明： 已知平面，平面，因此. 又平面平面，且平面平面， 如图，过作于，可得平面. 因为平面 ，所以. 又， 平面，因此平面. 又 平面，故. 已知底面是平行四边形，邻边垂直的平行四边形是矩形， 因此四边形是矩形. 【小问2详解】 由（1）知两两垂直，以为原点，分别以为轴建立如图所示的空间直角坐标系. 由，得各点坐标：. 因此，，. 设平面的法向量为 ，则：， 令，得，即. 设直线与平面所成角为，根据线面角的向量公式可得： . 17. 某校举行足球点球比赛，每位参赛者踢点球两次，设有两个点球位置A，B，约定如下规则：参赛者第一次踢点球从A，B中随机选择一个位置进行，若球进，则更换另一个位置进行第二次踢点球；若球未进，则不更换点球位置.规定在A位置球进得5分，在B位置球进得10分，未进均得0分. （1）从甲、乙两班各随机抽取30名参赛者，根据第一次选择点球位置情况，统计如下表： 第一次在A位置踢点球 第一次在B位置踢点球 合计 甲班 20 10 30 乙班 5 25 30 合计 25 35 60 根据小概率值的独立性检验，判断第一次选择点球位置是否与班级有关联？ （2）已知张同学在A处踢点球进球的概率为0.6，在B处踢点球进球的概率为0.4. （ⅰ）求张同学第一次踢点球进球的概率； （ⅱ）设X表示张同学的总得分，求X的分布列和数学期望. 附：，其中. 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）第一次选择点球位置与班级有关联； （2）（ⅰ）； （ⅱ）分布列： 数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用列联表数据计算卡方统计量，与给定临界值比较，完成独立性检验； （2）（i）根据全概率公式计算第一次进球的概率； （ii）分析所有得分情况，计算各取值概率，列出分布列并求数学期望. 【小问1详解】 由列联表得 ，，，，. ， 当 时，临界值 . 因为 ，故拒绝原假设，即认为第一次选择点球位置与班级有关联. 【小问2详解】 （i）张同学第一次选择A、B位置的概率均为 ， 故第一次踢点球进球的概率： ， （ii） 的所有可能取值为 . 故 的分布列为： 数学期望： 18. 已知椭圆（）经过点，两点，过点的直线与C交于M，N两点，且直线，与直线分别交于点P和点Q. （1）求C的方程； （2）求的面积的最大值； （3）证明：存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 【答案】（1） （2） （3）存在，证明见解析. 【解析】 【分析】（1）把点，代入即可求出椭圆的方程即可求解； （2）设直线的方程，与椭圆的方程联立，利用韦达定理表示出的面积，再求出的面积的最大值； （3）若以为直径的圆恒过点E，则，进而通过韦达定理求出定点坐标. 【小问1详解】 把点，代入椭圆的方程， 得，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为， 联立 ， 则， 所以 ， 设，则，即， 那么， 由于，函数在上单调递增， 所以， 故， 则的面积的最大值为. 【小问3详解】 设，直线，直线 ， 令，得， ，则， 由于以为直径的圆恒过点E，则， 所以，而， 则 ， 化简，得 ， 则 ， 由于， 所以 ， 则 ， 即 ， 令，解得或 所以定点坐标为或， 因此，存在定点E，使得以为直径的圆恒过点E. 19. 已知函数. （1）当时，求的极值； （2）当时， （i）证明：恰有两个零点； （ii）在（i）的条件下，证明：，且. 【答案】（1）的极大值为，无极小值 （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先代入求出函数解析式，再求导得到导函数表达式，通过判断导函数在不同区间的正负确定原函数的单调区间，依据单调性找出函数极值点，代入极值点坐标算出极大值并判定无极小值。 （2）（i）先对含参函数求导，求出导数零点划分函数单调区间，进而得到函数最大值并构造关于参数的新函数，对新函数求导判断单调性，证明函数最大值恒大于0，再选取特殊点计算函数值均为负值，结合函数单调性与零点存在性定理，分步证明函数在不同区间各有唯一零点，最终确定函数恰有两个零点并锁定零点取值范围. （ii）先构造辅助函数，求导分析单调性得到最值，推出不等式，将其代入零点满足的方程，放缩化简后证得的下界不等式；再构造另一辅助函数，同理求导判单调性得对应指数放缩不等式，代入零点的方程作放缩变形，逐步化简分式并结合已有范围，最终推导出与的大小不等关系. 【小问1详解】 当时，，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故的极大值为，无极小值. 【小问2详解】 （i），令，得，易知在上单调递增，在上单调递减； 故. 令，则，因为. 所以， 所以在上单调递增， 因为，所以在上存在唯一的零点，即； 又， 记，则，所以在上单调递减， 所以，故， 因此在上存在唯一的零点，即. 结合的单调性可知，恰有两个零点且. （ii）设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，所以 即，所以， 所以， 故. 设，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则， 又 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $