专题01 三角形的证明及其应用（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材北师大版

专题01三角形的证明及其应用 一、三角形内角和定理与外角性质 1、三角形内角和定理： 核心内容：三角形三个内角的和等于__________ 证明方法：作平行线转化角（如过顶点作对边平行线） 推论：直角三角形的两个锐角__________（和为90°） 2、三角形外角性质： 外角等于与它__________的两个内角和 外角大于任何一个与它__________的内角 三角形外角和为__________ 3、多边形内角和与外角和： n边形内角和：__________（n≥3且n为整数） 任意多边形外角和：__________（与边数无关） 二、全等三角形 1、全等三角形性质： 对应边__________，对应角__________ 对应线段（中线、高、角平分线）相等，周长、面积相等 2、全等三角形判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）： 判定方法 适用条件 备注 SSS 三边对应__________ 通用，适用于所有三角形 SAS 两边及其________对应相等 夹角是关键，不可为对边 ASA 两角及其________对应相等 夹边是关键，不可为对边 AAS 两角及一组________对应相等 由ASA推导得出 HL 斜边和一条直角边对应相等 仅适用于________ 3、证明全等的基本思路： 1. 观察已知条件，确定已有相等元素（边或角） 2. 分析缺少的条件，寻找隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等） 3. 选择合适的判定定理进行证明 三、等腰三角形与等边三角形 1、等腰三角形性质： ________：等腰三角形两底角相等 三线合一：等腰三角形底边上的______、______、______三线重合 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线 2、等腰三角形判定： _________：有两个角相等的三角形是等腰三角形 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 3、等边三角形性质： 三边相等，三角均为_________ 具备等腰三角形的所有性质，且有三条对称轴 高、中线、角平分线三线合一（每条边都对应一组） 4、等边三角形判定： 三边相等的三角形 三个角都相等的三角形（均为60°） 有一个角是_________的等腰三角形 5、反证法： 步骤：①假设_________；②推出_________；③假设不成立，原结论成立 应用：证明"等角对等边"等定理 四、直角三角形 1、直角三角形性质： 1. 两锐角_________（和为90°） 2. 斜边上的中线等于斜边的_________（逆定理：若一边中线等于这边一半，则为直角三角形） 3. 30°角所对直角边等于斜边的_________（逆定理：若直角边等于斜边一半，则该边对30°角） 4. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方.即_________ 2、直角三角形判定： 1. 有一个角为90°的三角形 2. 两锐角互余的三角形 3. 勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c满足_________，则为直角三角形 4. 一边中线等于这边一半的三角形 3、互逆命题与互逆定理： 互逆命题：两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的______和______ 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理 示例：勾股定理与勾股定理逆定理是互逆定理 五、线段的垂直平分线与角平分线 1、线段垂直平分线： 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段______ 的距离相等 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的__________上 尺规作图：作线段垂直平分线（找两点到线段两端等距，连线即为垂直平分线） 2、角平分线： 性质定理：角平分线上的点到这个角__________的距离相等 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的__________上 尺规作图：作角平分线（以顶点为圆心画弧交两边，再以交点为圆心画弧，两弧交点与顶点连线） 3、三角形中的特殊线： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），外心到__________距离相等，是三角形外接圆的圆心 三角形三个角的平分线相交于一点（内心），内心到__________相等，是三角形内切圆的圆心 六、尺规作图与应用 1、基本尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 2. 作一个角等于已知角 3. 作已知角的平分线 4. 作已知线段的垂直平分线 5. 过一点作已知直线的垂线 6. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 2、几何证明的一般步骤 1. 明确题目条件和结论 2. 画出图形，标注已知条件 3. 分析证明思路，选择合适定理 4. 书写证明过程（规范格式：①已知；②求证；③证明） 5. 得出结论 七、尺规作图与应用 易错点 注意事项 全等判定中SAS的"夹角" 必须是两边的夹角，不可用"__________"（SSA）判定全等 等腰三角形"三线合一"的条件 仅适用于底边上的中线、高、顶角平分线，腰上的不适用 直角三角形HL判定 仅适用于直角三角形，且必须是斜边和一条直角边对应相等 勾股定理的应用 注意区分__________和__________，避免计算错误 反证法的逻辑 假设要正确，推导要严谨，必须得出与已知条件或定理相矛盾的结论 角平分线与线段垂直平分线性质 注意区分"到角两边距离相等"和"到线段两端点距离相等"的不同条件 题型一 三角形内角和定理的证明 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 2．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 3．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 4．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 5．如图，，，，分别平分，，．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 6．如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 7．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 8．如图，在中，是的角平分线，，交于点，，，求各内角的度数． 题型三 三角形内角和定理的应用 9．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 10．已知：如图，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 11．如图，D，E是三角形的边，上的点，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 12．如图1，线段于点B，于点C，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)如图2，分别平分和，平分交于点H，的反向延长线交于点G． ①求证； ②求的度数．【提示：三角形内角和等于180度】 题型四 多边形的概念与分类 13．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 14．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 15．如图，正五边形与正五边形，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 16．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 题型五 多边形截角后的边数问题 17．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 18．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 19．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 20．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 题型六 对角线分成的三角形个数问题 21．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 22．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 23．经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 24．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 题型七 二次根式的乘除混合运算 25．如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 26．如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 27．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 28．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 题型八 根据等角对等边证明边相等 29．如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 30．按要求完成下列各题： (1)如图1，中，，求证：． (2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由． 31．如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 32．如图，在中，的平分线交于点D，过C作交于点H，交于点N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 题型九 等腰三角形的性质和判定 33．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 34．如图，在中，为的中点，于，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：①；②； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 35．如图，在中，D是边上一点，过点D作交于点F，E是边上一点，并且．过点E作交于点G． (1)求证：； (2)若，求证：． 36．如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 题型十 等边三角形的判定和性质 37．如图，已知是等边三角形，点D在外部，且，，连接，延长至E，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 38．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 39．如图，，，三点共线，和均为等边三角形． (1)_____，试证：； (2)如图，与交于点，与交于点，连接， 求证：； 猜想与的位置关系，并说明理由． 40．已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，． (1)若E是的中点，试判断的形状及的长； 拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）． (2)证明； (3)猜想、、三边关系，并说明理由． 题型十一 直角三角形的两个锐角互余 41．如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 42．如图，，点恰好在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 43．如图，在​中，，​，若​，且点​恰好落在​上，则​的度数为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 44．阅读与思考． 请认真阅读并完成相应的问题： “友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． (1)如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，．则____________； (2)如图在（1）基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由． 题型十二 锐角互余的三角形是直角三角形 45．在中，，、的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 46．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 47．下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 48．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 题型十三 用HL证全等（HL） 49．如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 50．如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 51．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 52．如图，，E是上的一点，且，，求证：． 题型十四 线段的垂直平分线 53．如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 54．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，若的周长为22，，则的周长为（    ） A．26 B．20 C．18 D．14 55．如图，在中，垂直平分，连接，若，则的周长为____________． 56．如图，中，，，的面积为，腰的垂直平分线分别交边于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为_______． 题型十五 角平分线 57．如图，于，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 58．如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 59．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 60．综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 题型一 三角形折叠中的角度问题 1.如图，将长方形纸片沿折叠，使点A，D分别落在点，处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 3．如图，中，，以为边，将此三角形对折，其次，又以为边，再一次对折，C点落在上，此时，则原三角形的_______ 度． 4．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 题型二 三角形的外角的定义及性质 5．如图①是小明设计的一款凳子，其侧面示意图如图②所示，点在同一条直线上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 6．将一副三角板如图摆放，已知：，，，若点E恰好在上，则的度数是________． 7．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 8．【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 题型三 多边形内角和与外角和综合 9．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 10．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 11．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 12．已知一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 13．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 14．如图，已知直线于点O，点A，B分别在上，，在直线或直线上找一点C，使是以为腰的等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 15．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有______个． 16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 题型五 含30度角的直角三角形 17．如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 18．如图，等边中，是的中点，于点，，则___________． 19．如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为______． 20．如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 题型六 全等的性质和HL综合（HL） 21．已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 22．如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 23．将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 24．如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 题型一 多边形内角和与外角探究 1．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 2．（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数． （2）如图，，，，求的度数． 3．（1）如图①，都是四边形的外角，试探究，与之间的数量关系； （2）如图②，都是四边形的外角，试探究与之间的数量关系； （3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③，分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 4．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 题型二 等腰三角形递进式探究 5．综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接． 解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为______， ______°； 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 6．综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 7．综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 8．“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 题型三 二次根式的规律探究题 9．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 10．【综合与探究】 【问题情境】如图，在中，，，点D在直线上运动，连接，作射线，点E在射线上，并且在点D动动的过程中始终保持，过点E作，垂足为点F． 【探究发现】 （1）如图1，当点D在线段上（不含点C）时． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； 【拓展思考】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时．求证：； （3）当点D在直线上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． 11．综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点，，，在同一平面上），过点作于点． (1)【初步探究】如图①，求证：； (2)【变式探究】如图②，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，，则，，之间的数量关系为______； (3)【类比拓展】如图（3），在中，，直线经过点，，，且，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 12．小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，若，则____________； 【问题探究】 （2）如图②，在中，点在边上，连接，且，线段与线段关于所在直线对称，点的对应点为点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在一块三角形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两种区域，为光伏逆变器安装区域，，，部分为光伏太阳能板安装区域，已知，点分别在上，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域的周长（即的周长）需要尽可能小，求光伏逆变器安装区域的周长最小时，的度数． 题型四 利用线段、角平分线探究 13．综合与探究 【问题情境】在中，，平分，交边于点． 【问题解决】 （1）如图1，在中，若，延长到点，使，连接，求的度数． （2）如图2，在中，若，过点作，交的延长线于点，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，在中，平分，交边于点．已知，，过点作，交的延长线于点．若，请直接写出的值． 14．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 15．综合与实践 【知识背景】在中，． 【操作探究】 操作一：在射线上有点，连接，过点作的垂线，交于点； 操作二：射线与射线交于点； 【初步探究】 （1）当在线段上时，补全图1，写出一对互余的角：___________； 【继续探究】 （2）若是的角平分线，求证：； 【拓展探究】 （3）连接．若，直接写出的面积． 16．问题提出：如图（1），在四边形中，平分，，，，，探究与的数量关系． 问题探究：（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：如图（3），平分，，，若，求． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01三角形的证明及其应用 一、三角形内角和定理与外角性质 1、三角形内角和定理： 核心内容：三角形三个内角的和等于180° 证明方法：作平行线转化角（如过顶点作对边平行线） 推论：直角三角形的两个锐角互余（和为90°） 2、三角形外角性质： 外角等于与它不相邻的两个内角和 外角大于任何一个与它不相邻的内角 三角形外角和为360° 3、多边形内角和与外角和： n边形内角和：(n-2)×180°（n≥3且n为整数） 任意多边形外角和：360°（与边数无关） 二、全等三角形 1、全等三角形性质： 对应边相等，对应角相等 对应线段（中线、高、角平分线）相等，周长、面积相等 2、全等三角形判定定理（SSS/SAS/ASA/AAS/HL）： 判定方法 适用条件 备注 SSS 三边对应相等 通用，适用于所有三角形 SAS 两边及其夹角对应相等 夹角是关键，不可为对边 ASA 两角及其夹边对应相等 夹边是关键，不可为对边 AAS 两角及一组对边对应相等 由ASA推导得出 HL 斜边和一条直角边对应相等 仅适用于直角三角形 3、证明全等的基本思路： 1. 观察已知条件，确定已有相等元素（边或角） 2. 分析缺少的条件，寻找隐含条件（如公共边、公共角、对顶角相等） 3. 选择合适的判定定理进行证明 三、等腰三角形与等边三角形 1、等腰三角形性质： 等边对等角：等腰三角形两底角相等 三线合一：等腰三角形底边上的中线、高、顶角平分线三线重合 等腰三角形是轴对称图形，对称轴为底边的垂直平分线 2、等腰三角形判定： 等角对等边：有两个角相等的三角形是等腰三角形 定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形 3、等边三角形性质： 三边相等，三角均为60° 具备等腰三角形的所有性质，且有三条对称轴 高、中线、角平分线三线合一（每条边都对应一组） 4、等边三角形判定： 三边相等的三角形 三个角都相等的三角形（均为60°） 有一个角是60°的等腰三角形 5、反证法： 步骤：①假设结论不成立；②推出矛盾；③假设不成立，原结论成立 应用：证明"等角对等边"等定理 四、直角三角形 1、直角三角形性质： 1. 两锐角互余（和为90°） 2. 斜边上的中线等于斜边的一半（逆定理：若一边中线等于这边一半，则为直角三角形） 3. 30°角所对直角边等于斜边的一半（逆定理：若直角边等于斜边一半，则该边对30°角） 4. 勾股定理：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方（a²+b²=c²） 2、直角三角形判定： 1. 有一个角为90°的三角形 2. 两锐角互余的三角形 3. 勾股定理逆定理：若三角形三边a、b、c满足a²+b²=c²，则为直角三角形 4. 一边中线等于这边一半的三角形 3、互逆命题与互逆定理： 互逆命题：两个命题中，一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件 互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理 示例：勾股定理与勾股定理逆定理是互逆定理 五、线段的垂直平分线与角平分线 1、线段垂直平分线： 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 尺规作图：作线段垂直平分线（找两点到线段两端等距，连线即为垂直平分线） 2、角平分线： 性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等 判定定理：在一个角的内部，到角两边距离相等的点在这个角的平分线上 尺规作图：作角平分线（以顶点为圆心画弧交两边，再以交点为圆心画弧，两弧交点与顶点连线） 3、三角形中的特殊线： 三角形三条边的垂直平分线相交于一点（外心），外心到三个顶点距离相等，是三角形外接圆的圆心 三角形三个角的平分线相交于一点（内心），内心到三边距离相等，是三角形内切圆的圆心 六、尺规作图与应用 1、基本尺规作图 1. 作一条线段等于已知线段 2. 作一个角等于已知角 3. 作已知角的平分线 4. 作已知线段的垂直平分线 5. 过一点作已知直线的垂线 6. 已知底边及底边上的高作等腰三角形 2、几何证明的一般步骤 1. 明确题目条件和结论 2. 画出图形，标注已知条件 3. 分析证明思路，选择合适定理 4. 书写证明过程（规范格式：①已知；②求证；③证明） 5. 得出结论 七、尺规作图与应用 易错点 注意事项 全等判定中SAS的"夹角" 必须是两边的夹角，不可用"边边角"（SSA）判定全等 等腰三角形"三线合一"的条件 仅适用于底边上的中线、高、顶角平分线，腰上的不适用 直角三角形HL判定 仅适用于直角三角形，且必须是斜边和一条直角边对应相等 勾股定理的应用 注意区分直角边和斜边，避免计算错误 反证法的逻辑 假设要正确，推导要严谨，必须得出与已知条件或定理相矛盾的结论 角平分线与线段垂直平分线性质 注意区分"到角两边距离相等"和"到线段两端点距离相等"的不同条件 题型一 三角形内角和定理的证明 1．在探究证明“三角形的内角和是”时，综合实践小组的同学作了如下四种辅助线，其中能证明“三角形的内角和是”的有（    ） ①如图1，过点C作； ②如图2，过上一点D分别作，； ③如图3，延长到点F，过点C作； ④如图4，过点C作于点D． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】①∵， ∴， ∵， ∴，故①符合题意， ②∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故②符合题意， ③∵， ∴， ∵， ∴，故③符合题意， ④， ， 不能证明“三角形的内角和等于”故④不符合题意， 故选：A． 2．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．延长至D过C作 B．过A作 C．过D作 D．过P作，， 【答案】C 【分析】根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】A、，，，由 ，得 ，故A不符合题意； B、，，，由 ，得 ，故B不符合题意； C、，，，无法证得三角形的内角和等于，故C符合题意； D、如图，，，，，，，，故D不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键． 3．下列证明“三角形的内角和等于180°”所作的辅助线不正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行线的判定和性质，三角形内角和，根据平行线性质对各选项进行逐一分析即可．熟知平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：A、作，则可得， ，故该选项不符合题意； B、作，则可得， ，故该选项不符合题意； C、如图，过点作， ， 则可得，，， ， 故该选项不符合题意， D、添加图中辅助线不能说明“三角形的内角和等于180°”，故该选项符合题意， 故选：D． 4．在探究证明“三角形的内角和等于”时，飞翔班的同学作了如下四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理和平行线的性质的知识点，熟悉以上知识点是解题关键．根据平行线性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：A、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； B、∵，∴，，由，得，故此选项不符合题意； C、∵，，，无法证得三角形的内角和等于，故此选项符合题意； D、如图， ∵，∴，，∵，∴，∵，∴， ∴，故此选项不符合题意． 故选：C． 题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 5．如图，，，，分别平分，，．下列结论：①；②；③平分；④．其中正确的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】证明，由三角形外角得，且，得出，再由平行线的判定即可判断出①是否正确；由，得出，再由平分，所以，，进而可判断出②是否正确；假设平分，推出与题干不符的结论，进而可判断出③是否正确，由，利用角的关系得，进而可判断出④是否正确； 【详解】解：①∵平分的外角， ∴， ∵，且， ∴， ∴，故①正确； ②∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； ③若平分， ∴， ∵， ∴， ∴，与题干条件矛盾，故③错误． ④在中，， ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，其中正确的有3个． 6．如图，D是的边上点，连接，平分交于点H，交于点M．的外角的平分线所在直线与的延长线交于点G．当时，有下列四个结论：①与互余；②；③；④．其中正确的结论是（　　） A．①② B．③④ C．②④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、三角形外角的定义及性质、角平分线的定义，由角平分线的定义可得，，，求出，从而得出，由三角形外角的定义及性质得出，即可得出，从而判断①；求出得到，即可判断②；由以及结合三角形内角和定理计算即可得出，即可判断③；由结合③即可判断④，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴， 即， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴与互余，故①正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故②错误； ∵，， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④错误； 综上所述，正确的是①③， 故选：D． 7．已知：在中，图图3的的内角平分线或外角平分线交于点O． (1)如图1，_____；如图2，____；如图3，_____；（用含的代数式表示） (2)从图1，图2，图3中选择一个证明你的结论． 【答案】(1)，， (2)证明见解析 【分析】（1）通过角平分线定理，再结合三角形内角和为，推导出各图中与的关系； （2）若选择图1，由角平分线定理得，，再结合内角和，可推出；若选择图2，由角平分线定理得，，再结合三角形内角和为，可推出；若选择图3，由角平分线定理得，，可推出． 【详解】（1）解：如图1，； 如图2，； 如图3，； （2）证明：选择图1， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴； 或选择图2， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴. ∵， ∴； 或选择图3， ∵平分，平分 ∴，. ∴， ∴. 8．如图，在中，是的角平分线，，交于点，，，求各内角的度数． 【答案】见解析 【分析】根据三角形的外角的性质，求出的度数，角平分线求出的度数，平行线的性质求出的度数，再根据三角形的内角和定理，求出的度数即可． 【详解】解：，，， ， 是的角平分线， ． ，交于点， ， ， ． 题型三 三角形内角和定理的应用 9．如图，已知，点为射线外一点，平分，交于点．若，，，则______°． 【答案】60 【分析】过点H作，根据平行线的性质和角平分线的定义解答即可． 【详解】解：过点H作，设与交于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．已知：如图，平分，． (1)求证：； (2)若，，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据同角的补角相等可得，进而可以证明结论； （2）根据平行线的性质和角平分线定义可得，再根据三角形内角和定理可得的度数，再根据垂直定义即可求出的大小． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 11．如图，D，E是三角形的边，上的点，且，． (1)求证：； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的性质以及三角形内角和的性质，需熟练掌握同位角与内错角的关系，在解题时要注意由等量代换得到的相等的角是解决本题的关键． （1）先由，可由“两直线平行，同位角相等”得到，再根据“内错角相等，两直线平行”即可证明． （2）由角平分线的性质可得，再由（1）中的结论，可得，再由三角形内角和的性质可求解的度数，再由即可求解． 【详解】（1）证明：因为， 所以， 又因为， 所以， 所以． （2）解：因为平分， 所以， 由（1）可知，， 所以， 又因为在三角形中，且， 所以， 由（1）知，， 所以的度数为． 12．如图1，线段于点B，于点C，点E在线段上，且． (1)求证：； (2)如图2，分别平分和，平分交于点H，的反向延长线交于点G． ①求证； ②求的度数．【提示：三角形内角和等于180度】 【答案】(1)证明见解析 (2)①证明见解析；② 【分析】本题主要考查三角形内角和定理、同角的余角相等、平行线的性质、角平分线的定义等知识，正确添加辅助线、构造平行线是解题的关键． （1）利用同角的余角相等即可证明结论； （2）①由角平分线的定义可得、，再结合可得，进而得到即可证明结论；②如图：作，进而得到，根据平行线的性质、角平分线的定义可得、，再结合即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）①证明：平分， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ． ②解：如图：作， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型四 多边形的概念与分类 13．有下列说法：①由许多条线段连接而成的图形叫做多边形；②多边形的边数是不小于4的自然数；③从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了多边形的概念，多边形的对角线分成的三角形个数问题，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据多边形的概念逐个判断即可． 【详解】解：因为由许多条线段首尾顺次连接而成的封闭平面图形叫做多边形，所以①错误； 因为多边形的边数是不小于3的自然数，所以②错误； 因为从一个多边形（边数为）的同一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余与之不相邻的各顶点，可以把这个多边形分割成()个三角形，所以③正确； 因此正确的说法只有1个， 故选：B． 14．我国古代园林连廊常采用八角形的窗户设计，其轮廓是一个正八边形，某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为（    ）分米 A．a B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正多边形的性质． 直接根据正多边形每边都相等作答即可． 【详解】解：某个正八边形窗户的一边长为a分米，则该正八边形的周长为分米． 故选：D． 15．如图，正五边形与正五边形，若，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两个五边形都是正多边形，得到各边都相等，然后进行等量替换判断正确选项． 【详解】解：五边形和五边形都是正多边形， ，， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查的是正多边形的性质．根据正多边形的性质判断线段之间的关系． 16．在如图所示的图形中，是多边形的有_______；是凸多边形的有_______． 【答案】 ①⑤⑥ ①⑥/⑥① 【分析】本题考查了多边形的定义，正确理解概念是解题的关键． 根据多边形的定义进行判断即可． 【详解】解：在如图所示的图形中，是多边形的有①⑤⑥；是凸多边形的有①⑥． 故答案为：①⑤⑥；①⑥． 题型五 多边形截角后的边数问题 17．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状不可能是（   ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】D 【分析】本题考查了多边形．把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形． 【详解】解：把一张形状是四边形的纸片剪去其中某一个角，剩下的部分的形状可能是三角形或四边形或五边形，不可能是六边形． 故选：D． 18．若一个多边形截去一个角后，变成五边形，则原来的多边形的边数可能为（   ） A．5或6 B．4或5 C．3或4或5 D．4或5或6 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的知识，一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条．根据一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，依此即可解决问题． 【详解】解：一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条， 则多边形的边数是4或5或6， 故选：D． 19．若在一张正五边形纸片上剪去一个三角形（只剪一下），则剩余多边形的边数是______． 【答案】4或5或6 【分析】本题考查的知识点是多边形的内角与外角，解题关键是列举出所有可能的情况． 一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变． 【详解】解：一个五边形剪去一个三角形后，分三种情况：①边数可能减少1，②边数可能增加1，③边数可能不变，如图： 故答案为：4或5或6． 20．一个多边形的外角和是内角和的，若这个多边形截去一个角后，则所形成的多边形是______边形． 【答案】六或七或八 【分析】首先求得多边形的边数，再分三种情况讨论即可。 【详解】解：设多边形的边数为，依题意，得： ， 解得：， 如图，剪切有下列三种情况： ①不经过顶点剪，则所形成的多边形是八边形； ②只过一个顶点剪，则所形成的多边形是七边形； ③过两个相邻顶点剪，则所形成的多边形是六边形。 故答案为：六或七或八。 【点睛】本题考查多边形的内角和定理和外角和定理，分三种情况解答是关键． 题型六 对角线分成的三角形个数问题 21．过多边形一个顶点的所有对角线把这个多边形分成了 4 个三角形，则这个多边形的边数是（  ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据过n边形的一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成个三角形求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵过边形的一个顶点的所有对角线把边形分成个三角形， 又由题可知，分得三角形的个数为， ∴可得方程 ， 解得． 即这个多边形的边数为6． 22．观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 23．经过多边形某个顶点的所有对角线，将这个多边形分成了7个三角形，则这个多边形是______边形． 【答案】九/9 【详解】解：设这个多边形的边数为，由题意得： ， 解得； 故这个多边形是九边形． 24．按要求完成下列各题： (1)完成表格中未填部分． 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 ____ 三角形个数 1 2 3 4 ____ 内角和 _____ ____ (2)根据表中规律，n边形的内角和是______； (3)是否有内角和为的多边形？如果有，求出边数；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)没有内角和为的多边形，理由见解析 【分析】（1）根据题意补全表格即可； （2）根据表中规律求解即可； （3）根据题意得到，然后求解判断即可． 【详解】（1）解：如图， 图形 边数 3 4 5 6 7 从一个顶点出发的对角线条数 0 1 2 3 4 三角形个数 1 2 3 4 5 内角和 （2）解：根据表中规律，n边形的内角和是； （3）解：没有内角和为的多边形，理由如下： 根据题意得， 解得，不是正整数， ∴没有内角和为的多边形． 题型七 二次根式的乘除混合运算 25．如图，已知点，在线段上，交于点，，，．求证： 【答案】见解析 【分析】根据题意容易证得，进而得到，结论即可得到证明． 【详解】因为， 所以． 所以． 又因为，， 所以（SAS）． 所以． 所以． 26．如图，已知，D．求证： (1)； (2)是等腰三角形． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质以及等腰三角形的判定． （1）考查三角形全等的判定，关键是识别全等的三边条件； （2）等腰三角形的判定(等角对等边)，关键是利用全等三角形的性质得到 【详解】（1）证明：在和中， ∵，，， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 27．如图，在中，D是边上的一个动点，过点D作交于点E，且平分，在边上取点F，使． (1)求证：为等腰三角形； (2)过点D作于点M，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线性质，熟练掌握相关性质定理为解题关键． （1）根据角平分线的定义得，结合平行线的性质可证，然后根据等腰三角形的判定方法即可得解； （2）利用等腰三角形的性质求得，再利用等腰直角三角形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 为等腰三角形； （2）解：如图， 为等腰三角形，， ， ， 在中，， 是等腰直角三角形， ， 则的长为4． 28．如图，在中，点在上，点在上，，，与相交于点． (1)证明：． (2)证明：是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定、全等三角形的性质、等边对等角、等腰三角形的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）直接利用即可证明结论； （2）由全等三角形的性质可得，由等边对等角可得，进而得到，由等角对等边可得即可证明结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 题型八 根据等角对等边证明边相等 29．如图，中，，的平分线交于点D，已知，，则的长为______． 【答案】7 【分析】在上截取，连接，利用已知条件求证，然后可得，，再利用三角形外角的性质求证，最后计算即可． 【详解】解：如图，在上截取，连接， ∵的平分线交于点D， ∴． 在与中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．按要求完成下列各题： (1)如图1，中，，求证：． (2)如图2，，此时成立吗？请说明你的理由． 【答案】(1)见解析； (2)成立，见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等角对等边的知识，合理作出辅助线证明三角形全等是关键， （1）延长至E，使，连接证明，结合题意得到，，由此即可求解； （2）延长至F，使，连接，证明，结合题意得到，，由此即可求解． 【详解】（1）证明：延长至E，使，连接，如图1所示： ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：成立，理由如下： 延长至F，使，连接，如图2所示： ∵在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 31．如图，在中，为边上一点，为延长线上一点，交的延长线于点． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、等角对等边等知识，证明是关键． （1）根据平行线的性质得到，再根据已知即可证明； （2）根据全等三角形的性质得到，，再证明，则，由即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴ （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵ ∴． 32．如图，在中，的平分线交于点D，过C作交于点H，交于点N． (1)求证：为等腰三角形； (2)求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的定义，等角对等边，熟知相关知识是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，由角平分线的定义可得，则可证明，得到，据此可证明结论； （2）连接，先证，得到，，根据三角形外角的性质和已知条件证明，从而可得，由此即可得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为等腰三角形； （2）证明：如图，连接， ∵平分， ∴， 由（1）得， 又∵ ∴， ∴， 又∵，即 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型九 等腰三角形的性质和判定 33．如图，在四边形中，，点为边上一点，，分别平分，，延长交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由，得，因为，，所以，则，而，可根据“”证明，得，即可解答； （2）由全等三角形的性质得，由，得，而，可根据“”证明，得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由（1）得， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 的长是6． 34．如图，在中，为的中点，于，过点作交的延长线于点，连接交于点． (1)求证：①；②； (2)连接，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）①根据等腰直角三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，根据全等三角形的判定定理证明即可； ②根据全等三角形的性质定理得到答案； （2）根据线段垂直平分线的性质得到，由全等三角形的性质得出，等量代换即可． 【详解】（1）证明：①∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； ②由①知， ∴， ∴， ∴， 即； （2）解：是等腰三角形； 理由如下：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 35．如图，在中，D是边上一点，过点D作交于点F，E是边上一点，并且．过点E作交于点G． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）先证明，，再根据证明即可； （2）先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同（1）可证， ∴， ∴． 36．如图，在中，，点B在的延长线上，，连接． (1)求的长； (2)动点P从点A出发，沿射线运动，速度为1个单位/秒，运动时间为t秒． ①当t为何值时，； ②当t为何值时，是等腰三角形？ 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）根据勾股定理解答即可； （2）①当即，再求出答案； ②分三种情况：再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①∵， ∴即， 解得， 所以当时，； ②当时，是等腰三角形， ∴， ∴， 此时； 当时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P与点D重合时，是等腰三角形， ∴， 此时； 当点P在线段的延长线上时，当时，是等腰三角形， ∴， 此时． 所以当或或2或时，是等腰三角形． 题型十 等边三角形的判定和性质 37．如图，已知是等边三角形，点D在外部，且，，连接，延长至E，使，连接． (1)求的度数； (2)求证：是等边三角形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）由等边三角形性质和可得，结合得，即得 （2）证明，得， ，得即得是等边三角形． 【详解】（1）解：（1）∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）由（1）， 又， ∴． ∵是等边三角形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 即是等腰三角形． ， ∴， 即． ∴是等边三角形． 38．如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)等边三角形，理由见解析 【分析】（1）先证明，推导出 ，则，即可解答； （2）先证明是等边三角形，得到，则，继而推导出，得到，可推导出是等边三角形，即可解答． 【详解】（1）证明：在中，， ， 在和中， ， ， ． （2）解：是等边三角形．理由如下： ，， 是等边三角形， ， ∴在中，． 由（1）知，， ， ， ， 又由（1）知， 是等边三角形． 39．如图，，，三点共线，和均为等边三角形． (1)_____，试证：； (2)如图，与交于点，与交于点，连接， 求证：； 猜想与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)，见解析； (2)见解析；，见解析； 【分析】（）由等边三角形性质可得，，，所以，然后证明，再由全等三角形性质即可得证； （）证明，再由全等三角形性质即可得证；先证明是等边三角形，所以，则，然后通过平行线的判定方法即可求解． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形； ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故答案为：； （2）证明：由（）可知，， 又∵， ∴， ∴； 解：猜想：，理由： ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． 40．已知如图1，在等边中，点E是上一点，延长到点D，使，． (1)若E是的中点，试判断的形状及的长； 拓展应用：当点E是上的任意一点时（不与A，B重合）（如图2）． (2)证明； (3)猜想、、三边关系，并说明理由． 【答案】(1)等腰三角形，12 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】（1）先推导出，得到，则，推导出是等腰三角形，进而得到，则，即可解答； （2）过点E作交AC于点F，得到，，推导出，，进而证明，则，即可解答； （3）先推导出是等边三角形，得到，进而证明，则，即可解答． 【详解】（1）解：是等边三角形，E是的中点， 平分，， ， ， ． 是的外角， ， ， 是等腰三角形 在等边三角形中，，E是的中点， ，， ． （2）证明：过点E作交AC于点F，如图 ，． 在等边三角形中，， ， ∴在中，， ． ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：猜想：，理由如下： 由（1）知，， 是等边三角形， ． 又， ， ． 题型十一 直角三角形的两个锐角互余 41．如图，，过点A作，垂足为点F，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形全等的性质，直角三角形的两个锐角互余．根据三角形全等的性质可得，进而可得，根据直角三角形的两个锐角互余，即可求得的度数． 【详解】解：， ， 即， ，， ， 故选：A． 42．如图，，点恰好在边上，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形内角和公式等知识点，掌握相关性质定理成为解题的关键． 由全等三角形的性质可得、，再结合可得是等边三角形，则；然后根据三角形内角和公式可得，最后根据角的和差即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选C． 43．如图，在​中，，​，若​，且点​恰好落在​上，则​的度数为（    ） A．​ B．​ C．​ D．​ 【答案】D 【分析】根据直角三角形的两锐角互余可求得的度数，再由全等的性质可得，从而可得​为等边三角形，即可得解． 【详解】解：，， ​， ， ​， ​为等边三角形， ​． 44．阅读与思考． 请认真阅读并完成相应的问题： “友爱三角形”的研究 定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的，我们称这两个角互为“友爱角”，这个三角形叫作“友爱三角形”． 例如：在中，如果，，那么与互为“友爱角”，是“友爱三角形”． (1)如图，是“友爱三角形”，且与互为“友爱角”，．则____________； (2)如图在（1）基础上，作中边上的高，请判断和是不是“友爱三角形”，并说明理由． 【答案】(1)， (2)和是“友爱三角形”，理由见解析． 【分析】（1）由“友爱三角形”的定义得到由直角三角形的性质得到即可求出； （2）由直角三角形的性质得到判定和是“友爱三角形”． 【详解】（1）解：如图是“友爱三角形与互为“友爱角 ； （2）解：如图和是“友爱三角形”，理由如下： 由知 和是“友爱三角形”． 题型十二 锐角互余的三角形是直角三角形 45．在中，，、的对边分别记为a，b，c，下列条件中，能判定是直角三角形的是（   ） A． B． C．，， D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形的判定，勾股定理逆定理和三角形内角和定理的应用，准确分析判断是解题的关键． 根据知识点准确分析判断即可． 【详解】选项:，仅表示是等腰三角形，不一定有直角，故排除； 选项: 设，，，则，解得，，，，均为锐角，无直角，故排除； 选项: ，，，，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形，故排除； 选项: ，，根据勾股定理逆定理，是直角三角形，且为斜边． 故选． 46．在中，，，的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定方法，涉及三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，直角三角形的判定需满足一个角为或三边满足勾股定理，通过三角形内角和定理或勾股定理验证每个选项是否能判定直角三角形． 【详解】解：∵三角形内角和为， A项：由，代入得，解得，∴为直角三角形； B项：设，，，则，解得 ，得出，，，无角，∴不是直角三角形； C项：，符合勾股定理，∴为直角三角形，； D项：设，，，则，，∴，为直角三角形，， 综上所述，不能判定的是B， 故选：B． 47．下列三角形中，一定是直角三角形的有（    ） ①有两个内角互余的三角形 ②三边长为，，（其中m，n为正数，且）的三角形 ③三边之比为的三角形 ④三个内角的比是的三角形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形的定义及勾股定理的逆定理，通过直角三角形的定义和勾股定理的逆定理判断每个选项是否一定是直角三角形． 【详解】解：∵①有两个内角互余，∴第三个角为，∴是直角三角形； ∵②三边长为，，，且（其中m，n为正数，且），∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵③三边之比为，设三边为，，，则，∴满足勾股定理的逆定理，∴是直角三角形； ∵④三个内角的比是，设角度为x，，，则 ，解得 ，∴最大角为，∴是直角三角形． ∴①②③④都是直角三角形，共4个， 故选：D． 48．如图，已知和都是等腰直角三角形，，． (1)如图①所示，延长交于点F，求的度数； (2)将绕点A旋转如图②所示位置摆放，连接，，且与交于点F，请判断与之间位置与数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)与相互垂直，，理由见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求证； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ， ； （2）解：与相互垂直，． 理由如下：， ， 即， 在和中，    ， ， ， ， ， ． 题型十三 用HL证全等（HL） 49．如图，在和中，，．若用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据全等三角形判定方法“”即可求解． 【详解】解：∵，， ∴用“斜边、直角边（）”能直接证明，则还需补充的条件是． 50．如图，已知，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂直定义得出，根据图形可知是公共直角边，根据直角三角形全等的判定得出需要添加的条件是斜边相等． 【详解】解：∵， ∴， ∵， 若添加， ∴． 51．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 52．如图，，E是上的一点，且，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】利用等角对等边，推出，再根据即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴． 题型十四 线段的垂直平分线 53．如图，中，，的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E，则的周长为（   ） A．8 B．4 C．12 D．16 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题的关键．利用线段垂直平分线的性质，将的长度转化为的周长来求解． 【详解】解：∵的垂直平分线交于D，的垂直平分线交于E， ∴ ∵的周长为. 54．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点D，E，若的周长为22，，则的周长为（    ） A．26 B．20 C．18 D．14 【答案】D 【分析】由线段垂直平分线的性质可得，，从而得出，再结合的周长为22，得出，即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵的周长为22， ∴， ∴， ∴的周长为． 55．如图，在中，垂直平分，连接，若，则的周长为____________． 【答案】 【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到，再由三角形周长公式，结合等量代换求解即可． 【详解】解：∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴的周长为． 56．如图，中，，，的面积为，腰的垂直平分线分别交边于点，，若为边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为_______． 【答案】 【分析】连接、，根据线段垂直平分线的性质可知，根据两点之间线段最短，可知当点、、三点共线时，的周长最短，根据等腰三角形的三线合一定理，可知，根据的面积为，可以求出，，所以周长的最小值为． 【详解】解：如下图所示，连接、， 是的垂直平分线， ， 的周长为， 根据两点之间线段最短可知：当点、、三点共线时，的周长最短， ，点为的中点， ， ，的面积为， ， ，， 周长的最小值为． 题型十五 角平分线 57．如图，于，点是射线上的一个动点，若，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】如图：过C作于E，当点与点E重合时，的值最小且为，由勾股定理可得，再根据角平分线的性质定理求得的长即可解答． 【详解】解：如图：过C作于E，当点与点E重合时，的值最小且为， ∵，， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∵，， ∴，即选项B符合题意． 58．如图，点是的角平分线上一点，于，且，，则的面积是_____． 【答案】 【分析】如图，过点作于点，根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵点是的角平分线上一点，，且，， ∴， ∴， ∴的面积是． 59．如图，平分，于点，点在上，若，，则的面积为________． 【答案】12 【分析】利用角平分线的性质，得出点到的距离等于的长，再根据三角形面积公式求解的面积． 【详解】解：如图所示，过点作于点． 平分，，， （角平分线上的点到角两边的距离相等）． ∵， ． 又∵， ． 60．综合与实践 如图1，，平分，在判断和的数量关系时，两位同学分别给出了以下两种思路：               (1)①在图2中，与相等的角是 ； ②请你按照小颖的思路进行解答； (2)如图4，，，平分，求证：． (3)如图5，在中，，，D是边的中点，，，， 与边相交于点E，与边相交于点F．请直接写出线段的长． 【答案】(1)①（或），②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①由已知可得，则，进而得； ②过点C作，交于点F，可证得，从而； （2）过点C作于点M，于点N，证明，从而得出； （3）取中点G，连接，根据证，得，即可得证，据此求解即可． 【详解】（1）①解：∵，，， ∴， ∴， ∴； ②证明：过点C作，交于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵平分，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，过点C作于点M，于点N， ∴， 又∵平分， ∴， 在四边形中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：取中点G，连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵点D、G分别是、边上的中点， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 题型一 三角形折叠中的角度问题 1.如图，将长方形纸片沿折叠，使点A，D分别落在点，处，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角的计算相关知识点．值得注意的是，“折叠”前后的两个图形是全等形，这在初中数学几何部分应用的比较广泛，应熟练掌握． 根据“折叠”前后的等量关系可以得知和分别是1和1的角平分线，再利用平角是，计算求出． 【详解】解：∵ ∴ ∵将纸片沿折叠，使点A落在点处，点D落在点处， ∴平分，平分 ∴ ∴ 故选：B． 2．如图，中，，沿将此三角形折叠，点落在点处，又沿再一次折叠，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为________． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理和折叠的性质，由折叠的性质得，，设，在中，根据三角形内角和定理得出①，在中，根据三角形内角和定理得出②，从而求出的度数． 【详解】解：由折叠的性质得，，， ∴， 设， ∴， 在中，， ∵， ∴， 即， 由折叠的性质得，， 在中，， ∴， 即， 得，， 故答案为：． 3．如图，中，，以为边，将此三角形对折，其次，又以为边，再一次对折，C点落在上，此时，则原三角形的_______ 度． 【答案】81 【分析】 由两次折叠得，则，由，且，，得，求得，于是得到问题的答案． 此题重点考查翻折变换的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，推导出是解题的关键． 【详解】 解：由两次折叠得， ∴， ∵，且，， ∴， ∴， 故答案为：81． 4．如图1，现有一张直角三角形纸片，，点D为边上一点，将纸片沿所在直线折叠，使点B落在内部的处． (1)若，求的度数； (2)如图2，若点E为线段上一点，将纸片沿所在直线再次折叠，使点D落在上，将纸片完全展开后折痕分别为，，．若，，写出与的数量关系并说明理由； (3)如图3，在重叠部分（内部）沿过点A的直线剪一刀，得到三张纸片，若这三张纸片中，以点A为顶点的角的度数之比为，写出的度数． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)的度数为或或 【分析】本题主要考查了折叠的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由折叠的性质可得，根据角的和差关系求出的度数即可得到答案； （2）由折叠的性质可得，再根据即可得到结论； （3）设沿直线剪开，则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且，再分三种情况：，和，根据角的和差关系讨论求解即可． 【详解】（1）解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 由折叠的性质可得， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：如图所示，设沿直线剪开， 则得到的三张纸片中，以点A为顶点的两个角为，另外一个设为，且， 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 当， 设，则， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， 解得， ∴； 综上所述，的度数为或或． 题型二 三角形的外角的定义及性质 5．如图①是小明设计的一款凳子，其侧面示意图如图②所示，点在同一条直线上，且．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据三角形外角的性质得出，再根据“”证明，最后根据全等三角形对应角相等，得出． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．将一副三角板如图摆放，已知：，，，若点E恰好在上，则的度数是________． 【答案】/75度 【分析】根据平行线的性质可得的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：根据题意，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．如图，直线与直线、分别交于点、，的平分线交于点，是直线上一点，若，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）求得，即可得到； （2）根据三角形的外角性质求得，再根据，求得，根据平行线的性质求解即可． 【详解】（1）证明：的平分线交于点，， ， ，， ， ， ； （2）解：，， ， ， ， ， ． 8．【相关概念】三角形的一边与另一边的反向延长线组成的角，叫做三角形的外角．如图1，将中的边反向延长，与另一边形成的即为的一个外角．利用平行线的相关知识，我们可以推出结论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和． 【结论证明】为证明此结论，李明同学画好了图形（如图2），写好了“已知”和“求证”，根据李明的描述，请补充完整证明过程． 已知：如图2，是的一个外角． 求证：． 证明：过点作 …… 【结论应用】如图3，在中，，点在上，交于点，，求的度数． 【应用拓展】如图4，直线与直线相交于点，夹角为锐角，点在直线上且在点上方运动，点在直线上运动（不与点E、O重合）．当时，平分平分交直线于点，则的度数为___________． 【答案】【结论证明】见解析 【结论应用】 【应用拓展】或 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角性质，角平分线的定义等知识点． （1）过点C作，则，再由角的和差计算证明即可； （2）先由求出，再根据平行线的性质求解即可； （3）分两种情况讨论，当点F在点O的右侧和点F在点O的左侧，根据三角形的外角性质以及角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）证明：过点C作 ， ；     （2）解：， ， ， ； （3）解：的度数为或    ①当点F在点O的右侧时， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ， ∴ ， ； ②当点F在点O的左侧时，如图， ， ， 是的角平分线，是的角平分线， ， ∴ 综上所述，或 题型三 多边形内角和与外角和综合 9．已知一个多边形的内角和比它的外角和的2倍还多180°，则这个多边形的边数为________． 【答案】7/七 【分析】根据题意设多边形边数为，结合多边形内角和定理与多边形外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得： ， 解得：， 即这个多边形的边数为7． 10．一个多边形的内角和比它的外角和的3倍还多，求这个多边形的边数为_________． 【答案】9 【分析】根据题意设边数为，根据多边形内角和定理及外角和定理，列一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 根据题意列方程得：， 化简得：， 解得：． 11．完美五边形是指可以无重叠、无间隙铺满整个平面的凸五边形．如图，五边形ABCDE是迄今为止人类发现的第15种完美五边形，其中，则_________ ． 【答案】/340度 【分析】本题考查的是多边形的内角与外角，先求解，再结合五边形的内角和定理可得答案． 【详解】解：由条件可知， ∵， ∴； 故答案为：． 12．已知一个多边形的内角和比外角和大，求这个多边形的边数． 【答案】边数为 【分析】设边数为，根据一个多边形的内角和比外角和大列方程即可求解． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵任意多边形的外角和为，边形内角和为，该多边形内角和比外角和大， ∴列方程得： 整理得 解得， ∴这个多边形的边数为． 题型四 直线上与已知两点组成等腰三角形的点 13．如图，直线a，b相交于点O，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O，A，B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，利用分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．分别以点O、A、B为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为，，，从这三方面分别考虑点B的位置． 【详解】解：如图所示， 当时，以点为圆心，的长为半径作圆，与直线b在点两侧各有一个交点，此时B点有2个； 当时，以点A为圆心，的长为半径作圆，与直线b有一个交点，此时B点有1个； 当时，作的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个； ∴满足条件的B点总共有4个， 故选：D． 14．如图，已知直线于点O，点A，B分别在上，，在直线或直线上找一点C，使是以为腰的等腰三角形，则这样的C点有（   ） A．3个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据等腰三角形的性质，利用以为半径，分别以和点为圆心画圆求解即可． 【详解】解：使△是等腰三角形， 当以当腰时，则以点为圆心，为半径画圆交，有三点，所以有三个， 当以点为圆心，为半径画圆，交，有三点，所以有三个． 所以共6个． 故选：C． 15．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于A点、B点．点M在坐标轴上，并且使以点A、B、M为顶点的三角形是等腰三角形，则这样的点M有______个． 【答案】7 【分析】本题考查了直线与坐标轴的交点，等腰三角形的判定．数形结合是解题的关键． 根据等腰三角形的判定，数形结合求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，，即；当时，，即， ∴，即与原点重合， 以点为圆心，以的长为半径画圆，两圆与坐标轴的交点即为点，如图， ∴共有7个满足要求的点， 故答案为：7． 16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称 (1)画出△A1B1C1和△A2B2C2； (2)在x轴上确定一点P，使BP+A1P的值最小，利用作图画出P的位置（保留作图痕迹）； (3)点Q在坐标轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则 这样的Q点有　 　个. 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析； (3)7 【分析】（1）利用平移的性质以及轴对称的性质分别得出对应点位置进而得出答案； （2）利用轴对称求最短路线的方法得出点位置； （3）利用等腰三角形的性质进而得出符合题意的答案． 【详解】（1）如图所示：和即为所求, （2）(2)如上图所示：作的对称点，连接和与轴的交点即可，点即为所求； （3）如图所示：即为所求，共个点 故答案为. 【点睛】本题主要考查了根据平移的性质、轴对称的性质来画图，利用轴对称求最短路径问题，利用等腰三角形的性质来找点，能够理解并且运用这些性质是解题的关键． 题型五 含30度角的直角三角形 17．如图，点P是等边三角形边上一点，于点M，于点N，若，，则______． 【答案】4 【分析】先利用等边三角形的性质可得：，，再根据垂直定义可得：，从而可得，然后分别在和中，利用含30度角的直角三角形的性质可得，，从而可得，最后进行计算即可解答． 【详解】解：是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ，， ， ． 18．如图，等边中，是的中点，于点，，则___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、直角三角形的性质以及线段中点的定义，熟练掌握在直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半是解题的关键． 利用等边三角形的性质，得到，由，在中，求得，从而得到因为是中点，且，所以，进而推出．结合，列方程求出的长度． 【详解】解：是等边三角形， ，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 19．如图，中，，，等边三角形的三个顶点分别落在，，上，若，，则的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质是解题的关键．过点作于点，则，先证明，可得，从而得到，再由含度角的直角三角形的性质可得，，从而得到的长，即可求解． 【详解】解：过点作于点，则， 在中，，， ，， 为等边三角形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ∴ ， ， ， ， 解得， ． 故答案为：． 20．如图1所示，在边长为的等边中，动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动．设点P的运动时间为，．当___ 时，是直角三角形；如图2，若另一动点Q从点C出发，沿线段向点A运动，且动点P，Q均以的速度同时出发．那么当___时，是直角三角形． 【答案】 或 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含角的直角三角形的性质，过点C作于点D，根据等边三角形性质得，，，由此得当点P与点D重合时，是直角三角形，此时点P运动的路程为，由此可得点P的运动时间t；依题意得，，则，根据得当是直角三角形时，有以下两种情况：①当时，在中，根据得，则，由此解得；②当时，在中，根据得，则，由此解得，综上所述即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：过点C作于点D，如图1所示： ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵点P在边上运动， ∴ ∴当是直角三角形时，只能是； ∵于点D， ∴，， ∴当点P与点D重合时，是直角三角形， 此时点P运动的路程为：， 又∵点P运动的速度为， ∴此时点P运动的时间； ∵动点P以的速度从点A出发，沿线段向点B运动， ∴， 又∵动点Q从点C出发，以的速度沿线段向点A运动， ∴， ∴， ∵， ∴当是直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图2所示： 在中，， ∴， ∴， 解得：； ②当时，如图3所示： 在中，， ∵， ∴， 解得：， 综上所述：当或时，是直角三角形． 故答案为：；或． 题型六 全等的性质和HL综合（HL） 21．已知：如图，在中，，是过点A的直线，于点D，于点E，且． (1)若在的同侧（如图①）求证：． (2)若在的两侧（如图②），问与仍垂直吗？若是请予证明，若不是请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论； （2）与（1）同理结论仍成立，即根据直角三角形全等的判定方法HL易证得，可得，再根据三角形内角和定理即可证得结论． 【详解】（1）证明：于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即； （2）解：， 于D，于E， ， 在和中， ， ， ， 又， ， 即． 22．如图，已知，，垂足为，点在线段上，，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，结合，，，，运用证明，得，同理得，即可作答． （2）设，由（1）得，则，，结合，，得，解得，最后运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）解：设， 由（1）得， ∴ 则， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得， ∴， ∵ ∴在中， ∴ 解得（负值已舍去）． 23．将与按如图所示的方式摆放，延长交于点F，连接，其中，，． (1)证明：； (2)若，，求长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握全等三角形的性质是解答的关键． （1）利用证明，然后利用全等三角形的对应边相等可证得结论； （2）先利用勾股定理求得，证明得到 设， 在中，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，又，， ∴， ∴； （2）解：在中， ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ 设，则， 在中， 则 解得 ∴的长为． 24．如图，在四边形中，，E是的中点，连接，，且，． (1)求证：平分； (2)若，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、直角三角形全等的判定与性质、平行线的性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）由等腰三角形的性质得出，由证明，得出，即可得出结论； （2）由等腰三角形的性质和全等三角形的性质得出，由平行线的性质得出，求出，由直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，即可得出四边形的周长． 【详解】（1）证明：∵，E是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即平分； （2）解：∵，E是的中点， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴四边形的周长． 题型一 多边形内角和与外角探究 1．数学探究课上，同学们通过撕、拼的方法，探索、验证三角形的内角和． 【发现】 （1）如图1，在小学我们曾剪下三角形的两个内角，将它们与第三个内角拼在一起，发现三个内角恰好拼成了一个___________角，得出如下的结论：三角形的内角和等于___________． 【尝试】 （2）现在我们尝试用说理的方式说明该结论正确． 如图2，已知，分别用，，表示的三个内角，说明 解：如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以___________①___________， ___________②___________ 因为___________③+___________④ 所以 【拓展】 （3）如图3，请在六边形中画出所有从A点引出的对角线，此时六边形被分成了___________个三角形，这样，请你直接写出六边形的内角和是___________ 【答案】（1）平，180；（2）， 两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，；（3）4，720 【分析】本题考查作图-复杂作图，三角形内角和定理，平行线的性质，多边形的对角线，多边形的内角与外角，图形的拼剪，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 利用平角的性质解决问题即可； 利用平行线的性质平角的性质，解决问题即可； 利用三角形内角和定理解决问题即可． 【详解】解：如图1中，发现三个内角恰好拼成了一个平角，得出如下的结论：三角形的内角和等于 故答案为：平，180； 如图2，画的边的延长线，过点C画 因为， 所以两直线平行，内错角相等， 两直线平行，同位角相等， 因为 所以 故答案为：，两直线平行，内错角相等，，两直线平行，同位角相等，，； 如图3中，连接，，此时六边形被分成了4个三角形，六边形的内角和． 故答案为：4，． 2．（1）一个多边形的内角和是外角和的2倍，求这个多边形的边数． （2）如图，，，，求的度数． 【答案】（1）；  （2） 【分析】本题考查多边形的内角和和外角和定理，三角形的内角和定理； （1）设多边形的边数为，则根据多边形的内角和和外角和定理列方程解题即可； （2）根据三角形的内角和可以得到度数，然后在中再应用三角形的内角和定理即可解题． 【详解】解：（1）设多边形的边数为， 则， 解得， 答：这个多边形的边数是． （2）解：∵， 即， ∴， ∴． 3．（1）如图①，都是四边形的外角，试探究，与之间的数量关系； （2）如图②，都是四边形的外角，试探究与之间的数量关系； （3）用你发现的结论解决下列问题∶如图③，分别是四边形的外角、的平分线，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，平角的定义，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键． （1）根据四边形的内角和等于表示出，再根据平角的定义用表示出，即可得解； （2）从外角的定义考虑解答； （3）根据（1）、（2）的结论求出，再根据角平分线的定义求出，然后利用三角形的内角和定理列式进行计算即可得解． 【详解】（1）∵， ， ，， ， ； （2）∵， ， ，， ， ， （3）， 根据（1）和（2）的结论有：， 分别是的平分线， ，， ， ． 4．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务． 多边形分为凸多边形和凹多边形． 如果将一个多边形的任意一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形． 如果一个多边形的所有边中有一条边向两方无限延长成为一条直线时，其他各边不都在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凹多边形． 我们知道，探索多边形内角和的方法是将其转化为三角形，利用三角形内角和获得结论，这一方法也可以用来解决其他求角度的问题． 如图，四边形是凸四边形，探究其内角和的方法是：连接对角线，则四边形内角和就转化为与内角和相加，为． 任务一：在上述阅读材料的探究过程中，体现了数学中的_____． A．整体思想    B．方程思想 C．转化思想    D．分类讨论思想 任务二：如图1，四边形是凹四边形，请探究与，三个角之间的等量关系． 小明得出的结论是：．请你将下面小明的证明过程补充完整． 证明：如图1，连接并延长到点． …… 任务三：图2中的度数为_____． 【答案】任务一  ；任务二一  见解析；任务三   【分析】本题考查了多边形的内角和外角公式．解题关键掌握多边形的内角和外角关系； 任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”可得答案； 任务二：先证明，，相加即可； 任务三：利用外角的性质，对顶角和三角形内角和定理转化求解． 【详解】解：任务一：根据材料中“四边形内角和就转化为和内角和的和”，可知体现了数学中的转化思想方法， 故答案为：C； 任务二：证明：连接并延长到点． 则为的外角，为的外角， ， ． ， ． ， ． 任务三：如下图： 根据三角形外角的性质得：， 又， ， 又， ． 题型二 等腰三角形递进式探究 5．综合与实践课上，李老师以“发现—探究—拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接． 解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，当时，线段，的数量关系为______， ______°； 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）50 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角形的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出． ②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴， 即， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过A作交延长线于G， ∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ 即 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 6．综合与实践课上，李老师以“发现−探究−拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维．以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图11−1，当时，线段，的数量关系为 ， °； 【类比探究】 ②如图11−2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由； 【拓展延伸】 （2）如图11−3，四边形中，，，连接，若，则四边形的面积为多少？（直接写出结果）． 【答案】（1）①，90； ②，理由见解析；（2）32 【分析】（1）①先证明，再利用证明，由全等三角的性质可得出，，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，再根据角的和差关系即可得出．②同①，由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得出，用证明，用全等三角形的性质可得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行得出． （2）过A作交延长线于G，先证明，再根据角的和差关系得出，利用证明，由全等的性质得出，，根据得出，计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴，， ∵，，， ∴ ∴， 故答案为：，90． ②，理由如下： ∵， ∴ 即， ∵ ∴， 在和中， ∴， ∴ ∴ ∴， （2）如图，过A作交延长线于G， ∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ 即 在和中， ∴ ∴， ∴ ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，以及平行线的判定，掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键． 7．综合与探究．【问题呈现】（1）如图①，在 和中，，，，连接，，试探究和的数量关系为 ； 【类比探究】（2）如图②，若和均为等边三角形，且点，，在同一直线上，求的度数； 【拓展运用】（3）如图③，若和均为等腰直角三角形，，且点，，在同一直线上，与交于点，当恰好平分时，试探究与之间的数量关系，请写出证明过程． 【答案】（1）；（2）；（3），见解析 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质即可证明； （2）根据等边三角形的性质可得，即可推导，由（1）可知，根据全等三角形的性质可得，由即可确定的度数； （3）根据等腰直角三角形的性质，易得，再结合平分，可得，，进而确定，可推导；然后证明，可得，结合，即可证明． 【详解】解：（1）．证明如下： ∵， ∴， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴； （2）∵为等边三角形， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∴； （3）∵和均为等腰直角三角形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵点，，在同一直线上， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质、直角三角形两锐角互余等知识，解题关键是证明，熟练运用全等三角形的性质． 8．“数学区别于其他学科最主要的特征是抽象和思维”．几何学习尤其需要我们从复杂的问题中进行抽象，形成一些基本模型，用类比等方法进行探究，以解决新的问题．综合实践课上，李老师以“发现-探究-拓展”的形式，培养学生数学思想，训练学生数学思维，以下是李老师的课堂主题展示： （1）如图，在等腰中，，点D为线段上的一动点（点D不与A，B重合），以为边作等腰，，，连接．解答下列问题： 【观察发现】 ①如图1，小明发现当时，线段且，请说明理由． 【类比探究】 ②如图2，当时，试探究线段与的位置关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （2）如图3，中，，，点P为内一点，，，，请直接写出的长．（温馨提示：顶角为的等腰三角形三边之比为） 【答案】（1）①见解析，②，理由见解析；（2） 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键． （1）①先根据全等三角形的判定，证明，得到，，进一步证明，即可证明结论； ②根据①的方法证明，即可得出结论； （2）将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，，根据①的方法证明，得到，，并根据温馨提示求出，同时证明，即可根据勾股定理求出答案． 【详解】解：（1）①， ， 即， 又，， ， ，， ，，， ， ， ； ②，理由如下： ， ， 即， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）将线段绕点C逆时针旋转得到，连接，， ， ， 即， 又，， ， ，， ，， ，， ， ． 题型三 二次根式的规律探究题 9．阅读理解，自主探究： “一线三垂直”模型是“一线三等角”模型的特殊情况，即三个等角角度为，于是有三组边相互垂直．所以称为“一线三垂直模型”．当模型中有一组对应边长相等时，则模型中必定存在全等三角形． (1)问题解决：如图1，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，则与的数量关系是______； (2)问题探究：如图2，在等腰直角中，，，过点作直线，于点，于点，，，求的长； (3)拓展延伸：如图3．在平面直角坐标系中，，，为等腰直角三角形，，，求点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先证明，，利用“”证明，由全等三角形即可证明结论； （2）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，再结合，即可获得答案； （3）过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、，利用“”证明，由全等三角形的性质可得，，结合点，的坐标进一步求解即可． 【详解】（1）解：与的数量关系是，证明如下： ∵，， ∴， ∵， ∴。 ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2），，， ， ，， ， 在与中， ， ， ，， 又， ； （3）解：过点作轴，过点作轴，过点作轴，、、分别交于点、， 轴，轴，轴， ，， 又， ，，， ， 在与中， ， ， ，， ，， ，， ，， 点坐标为． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题关键． 10．【综合与探究】 【问题情境】如图，在中，，，点D在直线上运动，连接，作射线，点E在射线上，并且在点D动动的过程中始终保持，过点E作，垂足为点F． 【探究发现】 （1）如图1，当点D在线段上（不含点C）时． ①直接写出与的数量关系； ②求证：； 【拓展思考】 （2）如图2，当点D在线段的延长线上时．求证：； （3）当点D在直线上运动时，线段的长度是否发生变化？请说明理由． 【答案】（1）①；②详见解析 （2）详见解析 （3）不变，理由见解析 【分析】本题属于几何变换综合题，主要考查全等三角形的判定与性质，灵活掌握全等三角形的判定定理是解答本题的关键． （1）①根据直角三角形的性质进行证明即可； ②根据证明即可得出结论； （2）根据直角三角形的性质可得，再根据证明得； （3）分点在上，的延长线上，的延长线上三种情况讨论，进行求解即可． 【详解】解：（1）①， ， 又， ， ， ， ②证明：在和中， ， ； （2）证明：， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）线段的长度不变，理由如下： 当点D在线段上时， 由（1）得， ； 当点D在线段的延长线上时， 由（2）得； 当点D在线段的延长线上时，如图， ， ， 又， ， ， ， 在和中， ， ， ； 综上所述，线段的长度不变，总等于的长． 11．综合与实践 小西在物理课上学习了发声物体的振动实验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图①，表示小球静止时的位置，当小明用发声物体靠近小球时，小球从摆到位置，此时过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直（点，，，在同一平面上），过点作于点． (1)【初步探究】如图①，求证：； (2)【变式探究】如图②，在中，，，直线经过点，直线，直线，垂足分别为，，则，，之间的数量关系为______； (3)【类比拓展】如图（3），在中，，直线经过点，，，且，请判断，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【分析】（1）由可得，由，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，于是结论得证； （2）由直线，直线，垂足分别为，可得，由直角三角形的两个锐角互余可得，由可得，进而可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，然后利用等量代换即可得出结论； （3）由三角形外角的性质可得，结合，，可得，由三角形外角的性质可得，结合，可得，利用可证得，于是可得，，由线段之间的和差关系可得，然后利用等量代换即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 即：； （2）解：直线，直线，垂足分别为，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 故答案为：； （3）解：，，之间的数量关系为，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质（和），三角形外角的性质，直角三角形的两个锐角互余，线段的和与差等知识点，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 12．小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，若，则____________； 【问题探究】 （2）如图②，在中，点在边上，连接，且，线段与线段关于所在直线对称，点的对应点为点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在一块三角形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两种区域，为光伏逆变器安装区域，，，部分为光伏太阳能板安装区域，已知，点分别在上，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域的周长（即的周长）需要尽可能小，求光伏逆变器安装区域的周长最小时，的度数． 【答案】（1）45；（2）；（3）的度数为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由，则，又线段与线段关于直线对称，故有，从而得，然后通过角度和差即可求解； （3）分别作D关于直线、的对称点G、H，连接，交、于点M、N，连接，，，由的周长为，则当点H、E、F、G共线时，的周长最小，即E与M重合，F与N重合，由对称性可知，，由，可得，从而可求得，进而可得，从而可求得，根据平角定义可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，分别作D关于直线、的对称点G、H，连接，交、于点M、N，连接，，， ∴，， ∵的周长为， ∴当点H、E、F、G共线时，的周长最小，即E与M重合，F与N重合，如图， 由对称性可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小时，的度数为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的两个锐角互余，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 题型四 利用线段、角平分线探究 13．综合与探究 【问题情境】在中，，平分，交边于点． 【问题解决】 （1）如图1，在中，若，延长到点，使，连接，求的度数． （2）如图2，在中，若，过点作，交的延长线于点，请你判断线段与之间的数量关系，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3，在中，平分，交边于点．已知，，过点作，交的延长线于点．若，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2），见解析；（3） 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的判定与性质，直角三角形的性质； （1）先证明是等边三角形，结合平分，得到，，即可得到垂直平分，则，得到； （2）延长与交于点，先证明，得到，，再证明，得到； （3）先由三角形内角和得到，再根据角平分线得到，即可得到，则． 【详解】解：（1）∵，， ∴是等边三角形， ∵平分， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； （2），理由如下： 延长与交于点， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴； （3）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．探究式学习是新课程提倡的重要学习方式，某兴趣小组拟做以下探究．（注：长方形的对边平行且相等，四个角都是直角） 【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，，将其沿折叠，使点A与点B重合，折痕与交于点E，求的长； 【深入探究】 （2）如图2，将长方形纸片沿着对角线折叠，使点C落在处，交于E，若，，求的长； 【拓展延伸】 （3）如图3，在长方形纸片中，，，点E从点A出发以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，把沿直线折叠，当点A的对应点F刚好落在线段的垂直平分线上时，直接写出运动时间t（秒）的值． 【答案】（1）5；（2）6；（3）t的值为2.5或10 【分析】（1）由折叠的性质得到：由折叠的性质得：，设，则，利用勾股定理即可求解； （2）根据长方形的性质与折叠的性质易得：，设，则，在中，由勾股定理得：，即可求解； （3）分两种情况，①当点在长方形内部时，由折叠的性质得，，再由勾股定理得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可；②当点在长方形外部时，折叠的性质得，，同①得，设，则，然后在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：（1）由折叠的性质得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ， 解得： ； （2）四边形是长方形， ，，， ， 由折叠的性质得：， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为； （3）四边形是长方形， ，， 设线段的垂直平分线交于点，交于点， 则， 分两种情况： ①如图，当点在长方形内部时， 点在线段的垂直平分线上， ，， 由折叠的性质得：，， 在中，由勾股定理得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为5， （秒）； ②如图，当点在长方形外部时， 由折叠的性质得：，， 同①得：， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即的长为， （秒）； 综上所述，点刚好落在线段的垂直平分线上时，t的值为2.5秒或10秒． 【点睛】本题考查了折叠的性质、等腰三角形的判定、勾股定理、线段垂直平分线的性质以及分类讨论等知识，本题综合性强，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 15．综合与实践 【知识背景】在中，． 【操作探究】 操作一：在射线上有点，连接，过点作的垂线，交于点； 操作二：射线与射线交于点； 【初步探究】 （1）当在线段上时，补全图1，写出一对互余的角：___________； 【继续探究】 （2）若是的角平分线，求证：； 【拓展探究】 （3）连接．若，直接写出的面积． 【答案】（1）补全图见解析，与（答案不唯一）；（2）证明见解析；（3）或． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的判定及三角形的面积，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键． （1）根据互余的定义，找出和为的两个角即可； （2）利用证明，得出，利用证明，得出，即可证明； （3）过点作于，于，分点在线段上和在延长线上，两种情况，分别证明，，得出，，求出，或，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：（1）如图所示：中，，，交延长线于， ∴， ∴互余的角为与， 故答案为：与（答案不唯一） （2）如图所示， ∵是的角平分线， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴． （3）如图，当点在线段上时，过点作于，于， 同（2）可证明， ∴，， ∴平分 ∴， ∴、都是等腰直角三角形， ∴， 在和中，， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴． 如图，当点在延长线上时， 同理可得：， ∴， ∴． 综上所述：的面积为或． 16．问题提出：如图（1），在四边形中，平分，，，，，探究与的数量关系． 问题探究：（1）先将问题特殊化，如图（2），当时，直接写出的大小； （2）再探究一般情形，如图（1），求与的数量关系． 问题拓展：如图（3），平分，，，若，求． 【答案】（1）  （2）  问题拓展： 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）延长到点G，使得，连接，得到，即可得到，，然后证明，即可解题； （2）延长到点G，使得，连接，得到，即可得到，，然后证明，即可解题； 问题拓展：过点作交的延长线于点，点作交的延长线于点，即可得到，°，然后延长到点G，使得，连接，证明，得到，，然后证明，推出，即可解题． 【详解】（1）∵平分，，， ∴，°， 又∵， ∴， 延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2）∵平分，，， ∴，°， ∴， 延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 问题拓展：过点作交的延长线于点，点作交的延长线于点， ∵平分， ∴，°， 又∵，， ∴，， ∴，， 延长到点G，使得，连接， ∵， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $