专题04 因式分解（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材北师大版

专题04 因式分解 一、因式分解的定义与意义 1、因式分解的定义： 把一个_________化成几个_________的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 三个核心要素： 分解对象：必须是_________ 分解结果：必须是整式的_________ 变形性质：必须是_________ 2、与整式乘法的关系： 互逆关系：整式乘法是"_________"，因式分解是"_________"。 示例：整式乘法：m(a+b+c)= _________ 因式分解：ma+mb+mc=_________ 3、因式分解的意义： 简化运算（如多项式乘法、分式化简） 解一元二次方程（如用因式分解法） 解决实际问题（如整除性、最值问题） 为后续学习分式、二次函数等奠定基础 二、提公因式法（基础方法） 1、公因式的定义：多项式各项都含有的_________，叫做这个多项式各项的公因式 2、找公因式的方法（三步法）： 步骤 方法 示例（找的公因式） 一看系数 取各项系数的_________ 6、9、3的最大公因数是3 二看字母 取各项_________ 相同字母为 三看指数 取相同字母的_________ 的最低次幂是 结果 公因式 = 系数×字母×指数 公因式为 3、特殊情况处理： 首项为负：先提取_________，括号内各项_________（如-ab+ac=-a(b-c)） 有多项式因式：公因式可以是多项式（如(a+b)x+(a+b)y=(a+b)(x+y)） 注意不要漏1：提公因式后，括号内剩余项为_____时不能省略（如x2-3x=x(x-3)，不是x⋅x-3） 4、提公因式法步骤： 找公因式：按三步法确定公因式 提公因式：将公因式提到括号外，括号内为原多项式各项除以公因式的商 检查验证：用整式乘法还原，看是否与原多项式相等。 检查括号内多项式是否还能继续分解（分解彻底） 三、公式法（核心方法） 1、平方差公式： 公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 适用特征： 多项式为_________ 两项都是完全平方形式（如4x2=(2x)2，9=(3)2） 两项符号_________ 示例：4x2-9=(2x+3)(2x-3)，16a2 b2-25c2=(4ab+5c)(4ab-5c) 2、完全平方公式： 两个公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 适用特征： 多项式为_________ 首末两项是完全平方形式，且符号为正 中间项是首末两项底数乘积的2倍，符号_________ 口诀："首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看中央" 示例：x2+6x+9=(x+3)2，4a2-12ab+9b2=(2a-3b)2 3、公式法应用技巧： 先提_________，再用_________：如2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2) 整体代换：把多项式的一部分看作一个整体（如(a+b)2-4(a+b)+4=[(a+b)-2]2） 多次应用公式：如16x4-81=(4x2+9)(4x2-9)=(4x2+9)(2x+3)(2x-3) 四、因式分解的综合运用 1、因式分解的一般步骤（优先顺序）： 提公因式：首先考虑提取公因式（最基础、最优先） 看项数： 两项式：尝试用_________ 三项式：尝试用_________ 四项及以上：考虑分组分解法（选学） 检查彻底性：每一步分解后都要检查是否还能继续分解 验证结果：用整式乘法还原，确保恒等变形 2、分组分解法（选学）： 适用范围：四项及以上多项式，无法直接提公因式或用公式 方法：将多项式分组，使每组能提公因式或用公式，再提取组间公因式 示例：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) 3. 十字相乘法（补充方法，选学） 适用范围：二次三项式x^2+(p+q)x+pq 方法：常数项分解为两个数p和q，使它们的和等于一次项系数 公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 示例：x2+5x+6=(x+2)(x+3)（2+3=5，2×3=6） 五、核心易错点与注意事项 易错点 注意事项 示例纠错 分解不彻底 必须分解到每个因式都_________为止 错误： 正确： 结果不是乘积形式 因式分解结果必须是_________的乘积 错误： 正确： 提公因式漏项 提公因式后括号内项数与原多项式一致 错误： 正确： 首项为负忘记变号 首项为负时先提负号，括号内各项_________ 错误： 正确： 公式应用错误 准确识别公式特征，不要混淆平方差与完全平方 错误： 正确： 混淆因式分解与整式乘法 两者是互逆变形，方向相反 错误：（这是整式乘法） 正确：（这是因式分解） 六、思想方法总结 1. 转化思想：将复杂多项式转化为简单整式的乘积，化繁为简 2. 逆向思维：利用整式乘法的逆运算进行因式分解 3. 整体思想：把多项式的一部分看作一个整体，便于应用公式 4. 分类讨论思想：根据多项式的项数、次数、系数特征选择合适的分解方法 5. 程序化思想：按照"提公因式→看项数→用公式→检查彻底"的固定步骤进行因式分解 6. 应用思想：运用因式分解解决化简求值、解方程、整除性等实际问题 题型一 判断是否是因式分解 1．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 4．下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型二 已知因式分解的结果求参数 5．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 6．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 7．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 8．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 题型三 提公因式法分解因式 9．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 10．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 11．因式分解 (1) (2) 12．已知，，求代数式的值． 题型四 判断能否用公式法分解因式 13．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 14．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 15．下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 16．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型五 平方差公式分解因式 17．若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 18．若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 19．因式分解： 20．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） (1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________）（________）； ②______________________； (2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； (3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 题型六 完全平方公式分解因式 21．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 22．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：①______；②______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 23．因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 24．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 数学方法 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例：把因式分解 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 任务： (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为____________． (2)请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式因式分解，并说明你选择这种方法的理由． 题型一 综合运用公式法分解因式 易错：分解不彻底、混淆平方差与完全平方公式；原因：公式特征记混，忘记继续提公因式。 1．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 2．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 3．阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 4．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 题型二 综合提公因式和公式法分解因式 易错：不提公因式直接套公式，分解不彻底；原因：做题顺序颠倒，分不清先提公因式再套用公式。 5．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：多项式的值一定是非负数． 6．阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明： ……裂项（即把一项分裂成两项） ……分组 ……组内分解因式 ……整体思想提公因式 由此得到：公式的证明． (1)仿照上面的方法，证明： (2)分解因式： (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 7．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 8．【知识生成】图①所示的是边长为的正方形剪掉一个边长为的小正方形（）并把余下的部分沿虚线剪开拼成的一个长方形．根据裁剪拼接前后图形的面积相等，可以得到等式． 【知识应用】 （1）直接写出图②中所表示的等式：____________________________________（因式分解的形式）． （2）利用（1）中所得到的等式把因式分解，并仿照图②画出该等式可表示的图形． 【知识迁移】 （3）通过计算，几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图③所示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，求出一个代数恒等式． 题型三 实数范围内分解因式 易错：未在实数内拆无理因式，分解半途终止；原因：混淆有理数与实数分解要求，不会利用根式继续分解。 9．一元二次方程的两根为，，根据一元二次方程的解的概念，知，这样我们可以在实数范围内分解因式．根据示例，在实数范围内分解因式∶________． 10．在实数范围内进行因式分解______． 11．在实数范围内因式分解：__________． 12．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：_____，_____； (2)利用（1）中结论填一组合适的正整数，__________（__________）； (3)化简：． 题型四 因式分解在有理数简算中的应用 易错：不会变形凑公式，提取公因式出错；原因：不会观察数字构造，不能灵活拆分凑因式简便运算。 13．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 14．由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 15．综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 16．利用因式分解计算：． 题型一 十字相乘法解题 1.二次三项式先整理成$ax^2+bx+c$标准形式。 2.拆分二次项系数与常数项，交叉相乘再相加，结果等于一次项系数。 3.首项系数为1，拆常数为两数乘积，两数和等于一次项系数。 4.拆分符号口诀：同号相乘正，异号相乘负，验算无误横向书写因式。 1．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 2．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 3．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 4．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 题型二 分组分解法解题 1.四项优先二二分，两两分组分别提公因式，整体再提取公因式。 2.四项若含平方项，一三分组，凑平方差公式分解。 3.五项、六项按需三一或二三分组，先局部分解再合并。 4.分组目的统一：分组后能提公因式或套用乘法公式。 5．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 6．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 7．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 8．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 题型三 巧用因式分解解题 1.计算题型优先因式变形，凑整约分，简化大数运算。 2.代数式求值，先分解因式再整体代换，不用逐个求未知数。 3.解方程先移项因式分解，化为乘积为零，快速得各个解。 4.判断整除、最值，分解后拆分式子，借助整数性质分析。 9．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 10．某班数学兴趣小组学习勾股定理后，对构成直角三角形三边长a，b，c（c为斜边长）为正整数的情况进行深入探究． 【特例发现】 (1)①；②；③；④；…它们都满足 ，若，则 ． 【提出问题】 该兴趣小组进一步探究发现，当时，总能找到正整数b，c使 于是该小组成员提出问题：当或时，是否存在正整数b，c，满足 【解决问题】 小组成员给出了当时，不存在正整数b，c，满足的证明过程． 证明：假设存在正整数b，c满足 移项得： 因式分解： ∵b，c为正整数且 ∴ ∵或 ∴，，解得，与假设相矛盾；或，． 综上所述，不存在正整数b，c，满足 (2)请类比上面的方法证明：当时，不存在正整数b，c，满足． 11．课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 12．人类使用密码的历史悠久，特别是在当前信息化时代，密码为保护我们的个人隐私，起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学原理生成一组既容易记忆又难以破解的密码，十分有必要．利用因式分解可以生成密码，其原理是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某同学在读九年级，可以用年级生成密码，取，则有，，，其中，81，26，28分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码262881．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出生成的密码为 ． (2)某同学根据上述方法用年龄生成手机锁屏密码，选取的多项式为，已知该同学手机的锁屏密码是6位数字111519，则该同学当前年龄是多少岁？并说明理由． (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，请求出其他两个因式码． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 一、因式分解的定义与意义 1、因式分解的定义： 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解（也叫分解因式）。 三个核心要素： 分解对象：必须是多项式（单项式无需分解） 分解结果：必须是整式的乘积形式（不能是和差形式） 变形性质：必须是恒等变形（左右两边相等） 2、与整式乘法的关系： 互逆关系：整式乘法是"积→和差"，因式分解是"和差→积"。 示例：整式乘法：m(a+b+c)=ma+mb+mc 因式分解：ma+mb+mc=m(a+b+c) 3、因式分解的意义： 简化运算（如多项式乘法、分式化简） 解一元二次方程（如用因式分解法） 解决实际问题（如整除性、最值问题） 为后续学习分式、二次函数等奠定基础 二、提公因式法（基础方法） 1、公因式的定义：多项式各项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式 2、找公因式的方法（三步法）： 步骤 方法 示例（找的公因式） 一看系数 取各项系数的最大公因数 6、9、3的最大公因数是3 二看字母 取各项相同的字母 相同字母为 三看指数 取相同字母的最低次幂 的最低次幂是 结果 公因式 = 系数×字母×指数 公因式为 3、特殊情况处理： 首项为负：先提取负号，括号内各项变号（如-ab+ac=-a(b-c)） 有多项式因式：公因式可以是多项式（如(a+b)x+(a+b)y=(a+b)(x+y)） 注意不要漏1：提公因式后，括号内剩余项为1时不能省略（如x2-3x=x(x-3)，不是x⋅x-3） 4、提公因式法步骤： 找公因式：按三步法确定公因式 提公因式：将公因式提到括号外，括号内为原多项式各项除以公因式的商 检查验证：用整式乘法还原，看是否与原多项式相等。 检查括号内多项式是否还能继续分解（分解彻底） 三、公式法（核心方法） 1、平方差公式： 公式：a2-b2=(a+b)(a-b) 适用特征： 多项式为两项式 两项都是完全平方形式（如4x2=(2x)2，9=(3)2） 两项符号相反（一正一负） 示例：4x2-9=(2x+3)(2x-3)，16a2 b2-25c2=(4ab+5c)(4ab-5c) 2、完全平方公式： 两个公式： a2+2ab+b2=(a+b)2 a2-2ab+b2=(a-b)2 适用特征： 多项式为三项式 首末两项是完全平方形式，且符号为正 中间项是首末两项底数乘积的2倍，符号可正可负 口诀："首平方，尾平方，首尾两倍在中央，符号看中央" 示例：x2+6x+9=(x+3)2，4a2-12ab+9b2=(2a-3b)2 3、公式法应用技巧： 先提公因式，再用公式：如2x2-8=2(x2-4)=2(x+2)(x-2) 整体代换：把多项式的一部分看作一个整体（如(a+b)2-4(a+b)+4=[(a+b)-2]2） 多次应用公式：如16x4-81=(4x2+9)(4x2-9)=(4x2+9)(2x+3)(2x-3) 四、因式分解的综合运用 1、因式分解的一般步骤（优先顺序）： 提公因式：首先考虑提取公因式（最基础、最优先） 看项数： 两项式：尝试用平方差公式 三项式：尝试用完全平方公式 四项及以上：考虑分组分解法（选学） 检查彻底性：每一步分解后都要检查是否还能继续分解 验证结果：用整式乘法还原，确保恒等变形 2、分组分解法（选学）： 适用范围：四项及以上多项式，无法直接提公因式或用公式 方法：将多项式分组，使每组能提公因式或用公式，再提取组间公因式 示例：ax+ay+bx+by=a(x+y)+b(x+y)=(a+b)(x+y) 3. 十字相乘法（补充方法，选学） 适用范围：二次三项式x^2+(p+q)x+pq 方法：常数项分解为两个数p和q，使它们的和等于一次项系数 公式：x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 示例：x2+5x+6=(x+2)(x+3)（2+3=5，2×3=6） 五、核心易错点与注意事项 易错点 注意事项 示例纠错 分解不彻底 必须分解到每个因式都不能再分解为止 错误： 正确： 结果不是乘积形式 因式分解结果必须是整式的乘积 错误： 正确： 提公因式漏项 提公因式后括号内项数与原多项式一致 错误： 正确： 首项为负忘记变号 首项为负时先提负号，括号内各项变号 错误： 正确： 公式应用错误 准确识别公式特征，不要混淆平方差与完全平方 错误： 正确： 混淆因式分解与整式乘法 两者是互逆变形，方向相反 错误：（这是整式乘法） 正确：（这是因式分解） 六、思想方法总结 1. 转化思想：将复杂多项式转化为简单整式的乘积，化繁为简 2. 逆向思维：利用整式乘法的逆运算进行因式分解 3. 整体思想：把多项式的一部分看作一个整体，便于应用公式 4. 分类讨论思想：根据多项式的项数、次数、系数特征选择合适的分解方法 5. 程序化思想：按照"提公因式→看项数→用公式→检查彻底"的固定步骤进行因式分解 6. 应用思想：运用因式分解解决化简求值、解方程、整除性等实际问题 题型一 判断是否是因式分解 1．下列等式从左到右的变形，属于正确的因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项右边不是整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； B选项右边未化为几个整式的积的形式，不是因式分解，不符合要求； C选项是将整式乘积化为多项式，属于整式乘法，不是因式分解，不符合要求； D选项将多项式化为两个整式的乘积，变形正确，符合因式分解定义. 2．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，是整式乘法运算，结果是和的形式，不属于因式分解； 选项B，，变形错误，不属于因式分解； 选项C，的结果不是整式乘积的形式，不属于因式分解； 选项D，，将多项式化为两个整式的乘积，符合因式分解的定义． 3．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解需满足两个条件：一是结果为几个整式的乘积形式，二是变形前后等式成立，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该变形是整式乘法，不是因式分解，错误； B．右边结果不是整式乘积的形式，不是因式分解，错误； C．，等式不成立，错误； D．提取公因式x得，是多项式化为整式乘积的形式，等式成立，符合因式分解的定义，正确． 4．下列各式从左到右是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是把一个多项式化成几个整式的积的形式，熟记定义，逐项判断即可得到结果. 【详解】解：∵ 选项A中，等式从左到右是整式乘法，结果是多项式，不是整式积的形式， ∴ A不是因式分解； ∵ 选项B中，等式右边出现，是分式不是整式，不符合因式分解要求， ∴ B不是因式分解； ∵ 选项C中，等式右边是，不是整式积的形式， ∴ C不是因式分解； ∵ 选项D中，左边是多项式，右边，是几个整式的积，符合因式分解的定义， ∴ D是因式分解. 题型二 已知因式分解的结果求参数 5．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 6．关于的二次三项式因式分解的结果是，则______． 【答案】1 【分析】根据因式分解的定义，展开因式分解后的多项式，对比对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴由题意得，， ∴． 7．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． (1)求、的值； (2)在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 8．因为，这说明多项式有一个因式为，我们把代入此多项式发现能使多项式的值为0．利用上述阅读材料求解： (1)若是多项式的一个因式，求的值； (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题干信息把代入求解即可； （2）根据题干信息把和分别代入得到关于m，n的二元一次方程组，进而求解即可． 【详解】（1）解：依题意，把代入得 解得：； （2）解：把和分别代入， 即 解得： 题型三 提公因式法分解因式 9．若三边a，b，c满足，则一定是（     ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【分析】本题考查因式分解与三角形形状判断，先对已知等式因式分解，再结合三角形三边关系得到边的等量关系，即可判断三角形形状． 【详解】∵ 是的三边长， ∴ ，即 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ，即 ∴ 一定是等腰三角形 故选：． 10．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 11．因式分解 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式即可分解因式； （2）先处理符号问题得到，再提公因式，结合整式运算即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 12．已知，，求代数式的值． 【答案】 【分析】先将原式整理为，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ． 当，时 原式 ． 题型四 判断能否用公式法分解因式 13．已知多项式与一个单项式的和能因式分解，则这个单项式不可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：对选项A：和为 ，可以因式分解，故A不符合要求； 对选项B：和为，可以因式分解，故B不符合要求； 对选项C：和为，可以因式分解，故C不符合要求； 对选项D：和为，整理得，无法在整式范围内分解为多个整式的乘积，因此该多项式不能因式分解，故D符合要求． 14．下列多项式中，不能用公式法因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方差公式、完全平方公式的结构特征判断即可． 【详解】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项不符合题意； D、，不能用公式法分解因式，故此选项符合题意； 15．下列多项式，①，②，③，④能用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查公式法分解因式． 逐个分析每个多项式是否满足公式条件即可． 【详解】解：①为平方和，无公式可分解； ②，可用平方差公式； ③不符合完全平方或平方差公式结构，无法用公式法分解； ④，可用完全平方公式； 能用公式法分解的有②和④，共2个． 故选：B． 16．下列各式可以用平方差公式分解因式吗？如果可以，请分解因式；如果不可以，请说明理由． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)不可以，因为不是平方差形式 (2)可以，分解为 (3)不可以，因为不是平方差形式 (4)可以，分解为 【分析】本题考查利用平方差公式分解因式： （1）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （2）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （3）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解； （4）先判断是否是平方差形式，如果是再进行因式分解． 【详解】（1）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （2）解：可以用平方差公式分解因式， ； （3）解：不可以用平方差公式分解因式，因为不是平方差形式； （4）解：可以用平方差公式分解因式， ． 题型五 平方差公式分解因式 17．若m为任意正整数，则的值总能（   ） A．被3整除 B．被4整除 C．被5整除 D．被6整除 【答案】B 【分析】将原式因式分解得到整式乘积形式，即可判断其整除性． 【详解】解： ， ∵为任意正整数， ∴是4的整数倍， 故原式总能被4整除． 18．若一个多项式能利用平方差公式分解因式，“■”表示的数为不大于5的正整数，你认为“■”表示的数可能是：_____． 【答案】 2或4 【分析】根据平方差公式的结构特征，能利用平方差公式分解的多项式是两个平方项的差，由此可知所求指数需为正偶数，结合题意确定符合条件的数即可． 【详解】平方差公式的形式为 ，多项式能分解需要满足是两个平方项的差， 已知多项式为 ，其中 已是平方项， 因此 需为平方项，即满足 ，可得 为正偶数， 根据题意， 是不大于 的正整数， 因此符合条件的正偶数为 和 ． 19．因式分解： 【答案】 【详解】解： ． 20．数学兴趣小组开展探究活动，研究了“正整数N能否表示为（x，y均为自然数．） (1)指导教师将学生的发现过程进行整理，部分信息如下（n为正整数）； N 奇数 4的倍数 表示结果 … … 一般结论 _____________ 按上表规律，完成下列问题： ①（_________）（________）； ②______________________； (2)若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数，试说明：整数为4的倍数； (3)兴趣小组还猜测：像2，6，10，14，…，这些形如（n为正整数）的正整数N不能表示为（x，y均为自然数）．请判断兴趣小组猜测是否正确．若正确，请给出证明；若不正确，请举出反例． 【答案】(1)①8，6；② (2)见解析 (3)兴趣小组猜测正确，证明见解析 【分析】（1）①根据规律即可求解；②根据规律即可求解； （2）利用平方差公式变形分析，进一步证明即可． （3）假设，其中x，y均为自然数．再分下列三种情形分析即可． 【详解】（1）解：①由规律可得，； ②由规律可得，． （2）解：若x，y均为奇数，设，其中k，m均为自然数， 则 ， ∵k，m均为自然数， ∴、为整数， ∴整数为4的倍数． （3）证明：兴趣小组猜测正确．理由如下： 假设，其中x，y均为自然数． 分下列三种情形分析： ①若x，y均为偶数，设，其中k，m均为自然数， 则，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为偶数；                          ②若x，y均为奇数，由（2）知，为4的倍数． 这与不是4的倍数相矛盾，故x，y不可能均为奇数；                       ③若x，y一个是奇数一个是偶数，则为奇数． 这与是偶数相矛盾，故x，y不可能一个是奇数另一个是偶数． 综上，形如（n为正整数）的正整数N不能表示为． 题型六 完全平方公式分解因式 21．下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方公式的结构特征逐一判断选项即可，完全平方公式的结构为． 【详解】解：A、的常数项为，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； B、缺少两个数乘积的倍这一项，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； C、是平方差，只能用平方差公式因式分解，不符合完全平方公式结构，不能用完全平方公式因式分解； D、，符合完全平方公式结构，可以用完全平方公式因式分解． 22．我们把多项式及叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形；先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大（小）值等． 例如：分解因式： 再例如：求代数式的最小值： ，因为，所以当时，有最小值，最小值是． (1)分解因式：①______；②______； (2)求多项式的最大值； (3)已知、、是的三边，且满足，，求第三边的取值范围． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①先在一次项后加上，再减去，构造完全平方式，最后用平方差公式分解； ②在一次项后加上​，再减去，得到完全平方式后用平方差公式分解； （2）先提取负号，将括号内的二次三项式配方，利用完全平方式的非负性，求出最大值；（3）先将等式配方，求出和的值，再利用三角形三边关系确定的范围． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解： ， ，， 当，有最大值； （3）解：， ， ， 即， ，， ，， 、、是的三边， ， 故． 23．因式分解：． 解：令， 则， ． 材料中的解题过程用到的是“整体思想”，这是数学解题过程中常用的一种思想方法．请你运用这种思想方法解答下列问题： (1)因式分解：__________； (2)因式分解：； (3)求证：若为正整数，则式子的值一定是某个整数的平方． 【答案】(1) (2) (3) 证明：， 令， 则原式， ∵为正整数， ∴为正整数， ∴式子的值一定是某个整数的平方. 【详解】（1）解： 令， 则原式变为， ∴； （2）解：令， 则， 故. （3）略 24．阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读并完成相应任务． 数学方法 换元法是数学中重要的解题方法，通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决．换元的实质是转化，关键是构造元和设元． 例：把因式分解 方法一：整体换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 方法二：均值换元 解：把“”看成一个整体，令． 原式 任务： (1)例题中两种方法对多项式因式分解的结果均不彻底，其因式分解的正确结果为____________． (2)请从上述两种方法选择一种你喜欢的方法将多项式因式分解，并说明你选择这种方法的理由． 【答案】(1) (2)若选择整体换元法，因式分解结果为，理由：该方法思路直接，易于理解掌握；若选择均值换元法，因式分解结果也为，理由：该方法计算更简便，运算量更小． 【分析】（1）将继续用完全平方公式进行分解，即可求解； （2）选择整体换元法：把“”看成一个整体，令，由（1）同理进行因式分解，即可求解；选择均值换元法： 把“”看成一个整体，令，进一步可求解． 【详解】（1）解：把“”看成一个整体，令． 原式 ． （2）解：选择整体换元法：把“”看成一个整体，令． ； 该方法思路直接，易于理解掌握； 选择均值换元法： ∵， ∴把“”看成一个整体，令． 原式 ， 该方法计算更简便，运算量更小． 题型一 综合运用公式法分解因式 易错：分解不彻底、混淆平方差与完全平方公式；原因：公式特征记混，忘记继续提公因式。 1．定义：若将多项式和分别进行因式分解，至少有一个因式相同，则称多项式和为共因多项式，其中该相同因式为同因子． 例如：对于多项式，，将两个多项式因式分解，，，从因式分解的结果可知都含有因式，所以多项式和为共因多项式，其中因式为同因子． (1)共因多项式和的同因子是 ； (2)多项式可以分解为，请写出多项式的一个共因多项式除外），并说明理由； (3)现有足够多的正方形和长方形卡片，如图1所示，分别记为甲，乙，丙．选取甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张，拼图如图2所示，请直接写出一个多项式的因式分解； 【答案】(1) (2)（答案不唯一）；见解析 (3) 【分析】（1）利用完全平方公式将式子因式分解即可求出结果； （2）写出一个含有因子的多项式即可； （3）结合图形，可知拼成的大长方形面积可表示为：，也可表示为，即可得出答案． 【详解】（1）解：， ， 共因多项式和的同因子是； （2）解：，， 共因多项式和的同因子是， 为多项式的一个共因多项式； （3）解：根据题意，可知甲卡片面积为，乙卡片面积为a，丙卡片面积为2， ∵图2长方形由甲卡片1张，乙卡片3张，丙卡片1张拼成， ∴拼成的大长方形面积可表示为：， ∵拼成的大长方形长为，宽为， ∴拼成的大长方形面积也可表示为：， ∴． 2．阅读与思考：配方法是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法．配方法在因式分解、求代数式的值、解方程等方面有广泛应用． 例如：用配方法分解因式． 解： 请仿照上述方法解答下列问题： (1)用配方法分解因式：； (2)已知，求的值； (3)试比较多项式与的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（）仿照例题配方法，先凑完全平方，再用平方差公式分解； （）对等式分组配方，利用平方的非负性求即可解答； （）用做差法比较大小，对差配方判断符号即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ∵任意实数的平方非负，两个非负数的和为， ∴，， ∴，， ∴； （3）解： ， ∵对任意实数，， ∴， 即， 结论：． 3．阅读材料解决问题 【材料】：学习了公式法后，某些二次三项式可以按照如下的方法分解因式和解决问题： ①将多项式因式分解： （变形依据_____） ． ②求多项式的最小值． 由①，得，因为， 所以．所以当时，的值最小，且最小值为． 【问题】 (1)①中第四步变形依据是__________； (2)把多项式分解因式并求出最小值； (3)已知，求代数式的最大值． 【答案】(1)平方差公式 (2)因式分解为；最小值为 (3) 【分析】（1）观察式子结构即可解答； （2）根据材料，结合完全平方和平方差公式即可求解； （3）由已知得到，代入中，再利用完全平方公式变形求解即可． 【详解】（1）解：①中第四步变形依据是平方差公式； （2）解：将多项式因式分解： ； 求多项式的最小值： ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最小，且最小值为． （3）解：∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴当时，，的值最大，且最大值为． 4．阅读材料：我们把多项式及这样的式子叫做完全平方式，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等． 例1：分解因式． 原式． 例2：求的最大值． ， 故当时，的最大值为10． 根据以上材料，利用多项式的配方解答下列问题． (1)利用配方法分解因式：； (2)当为何值时，多项式有最大值，并求出这个最大值； (3)已知正数满足，求． 【答案】(1) (2)当时，多项式有最大值，最大值为； (3)12 【分析】本题考查了配方法，因式分解，偶次幂的非负性．解题的关键在于对理解题意并正确的求解． （1）根据题意配方后因式分解即可； （2）配方后利用偶次幂的非负性求解即可； （3）配方后利用偶次幂的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ， ∴当，即时，多项式有最大值，最大值为； （3）解：∵， ∴， 即， ∴，，， 解得，，， ∴． 题型二 综合提公因式和公式法分解因式 易错：不提公因式直接套公式，分解不彻底；原因：做题顺序颠倒，分不清先提公因式再套用公式。 5．阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：； (3)求证：多项式的值一定是非负数． 【答案】(1)（1） (2) (3)见解析 【分析】（1）仿照题意方法一、二求解即可； （2）仿照题意方法二求解即可； （3）先把多项式化成，然后仿照题意方法二得到原式，由此即可得答案． 【详解】（1）解：解法一：设， 则原式 ； 方法二：设， 则原式 ； （2）解：设， 则原式 ； （3）解： ， 设， 则原式 ， ∵， ∴， ∴多项式的值一定是非负数． 【点睛】本题主要考查了因式分解，正确理解题意是解题的关键． 6．阅读：我们已经学习将一个多项式分解因式的方法有提公因式法和公式法，对于公式法分解因式中的公式：，数学学习小组的同学通过思考，认为可以这样来证明： ……裂项（即把一项分裂成两项） ……分组 ……组内分解因式 ……整体思想提公因式 由此得到：公式的证明． (1)仿照上面的方法，证明： (2)分解因式： (3)已知的三边长分别是a，b，c，且满足，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】（1）模仿题干中的步骤证明即可； （2）先裂项，再提取公因式即可； （3）利用完全平方公式的非负性求解即可． 【详解】（1）解： ……裂项（即把一项分裂成两项） ……分组 ……组内分解因式 ……整体思想提公因式 由此得到：公式的证明． （2）解： （3）解：为等边三角形，理由如下： ， ， 为等边三角形． 【点睛】本题考查了完全平方公式的证明，因式分解、完全平方公式的非负性，解题的关键是读懂题干信息，模仿题干步骤进行解答． 7．按照要求解答： (1)如图①，在边长为的正方形纸片上剪去一个边长为（）的小正方形，通过不同的方法计算图中阴影部分的面积；可以验证乘法公式是______． (2)类似地，在棱长为的正方体上挖去一个棱长为（）的小正方体（如图②），通过不同的方法计算图中几何体的体积．由此可以得到的因式分解的等式是______，并证明这个等式． (3)结合上述经验，将因式分解的结果是______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）通过两种方法计算同一阴影面积，验证平方差公式； （2）通过两种方法计算同一几何体体积，推导并证明立方差公式； （3）拆项构造立方差公式，结合提公因式、完全平方公式进行因式分解． 【详解】（1）解：据图可知，对于阴影部分的面积， 方法：； 方法：， 故． （2）解：据图可知，对于图中几何体的体积， 方法：； 方法：， 故， 证明： ， 左边， 左边右边． （3）解： ． 8．【知识生成】图①所示的是边长为的正方形剪掉一个边长为的小正方形（）并把余下的部分沿虚线剪开拼成的一个长方形．根据裁剪拼接前后图形的面积相等，可以得到等式． 【知识应用】 （1）直接写出图②中所表示的等式：____________________________________（因式分解的形式）． （2）利用（1）中所得到的等式把因式分解，并仿照图②画出该等式可表示的图形． 【知识迁移】 （3）通过计算，几何图形的体积也可以表示一些代数恒等式．图③所示的是一个棱长为的正方体挖去一个小长方体后重新拼成的一个新长方体．请你根据图③中图形的变化关系，求出一个代数恒等式． 【答案】（1） （2），图见解析 （3） 【分析】本题考查了因式分解的几何意义、图形面积与体积的计算等知识点，掌握通过图形拼接前后的面积或体积相等推导代数恒等式的方法是解题的关键． （1）观察图②中图形拼接前后的面积，用两种方式表示面积，得到因式分解等式； （2）仿照（1）的面积法，把表示为长方形面积，分解因式并画出对应图形； （3）计算图③中几何体拼接前后的体积，根据体积相等列出代数恒等式． 【详解】解：（1）∵大长方形的面积=各小部分面积之和 ∴ 即 （2）．画出图形如图（画法不唯一）． （3）根据题意可得，新几何体是一个长为、宽为、高为的长方体， ∴原几何体的体积为，新几何体的体积为． 根据前后几何体的体积相等，可得， ∴代数恒等式为 题型三 实数范围内分解因式 易错：未在实数内拆无理因式，分解半途终止；原因：混淆有理数与实数分解要求，不会利用根式继续分解。 9．一元二次方程的两根为，，根据一元二次方程的解的概念，知，这样我们可以在实数范围内分解因式．根据示例，在实数范围内分解因式∶________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、因式分解-十字相乘法及实数范围内因式分解，根据题意，求出方程的两个根即可解决问题． 【详解】解：令 ， 的根为，即，， ． 故答案为：． 10．在实数范围内进行因式分解______． 【答案】 【分析】本题考查了在实数范围内对二次三项式因式分解． 先提取公因数2，再对括号内的二次三项式进行配方法，转化为平方差形式，最后结合整体写出因式分解结果． 【详解】解： 故答案为：． 11．在实数范围内因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查了实数范围内分解因式：一些式子在有理数的范围内无法分解因式，可是在实数范围内就可以继续分解因式．通过补项配成完全平方公式是解决问题的关键． 先把原式变形为，可得到，再利用平方差公式进行因式分解，即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 12．阅读材料： 小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：，善于思考的小明进行了以下探索：设（其中，，，均为整数），则有，，．这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)当，，，均为正整数时，若，用含，的式子分别表示，，得：_____，_____； (2)利用（1）中结论填一组合适的正整数，__________（__________）； (3)化简：． 【答案】(1)，； (2)，，，（答案不唯一） (3) 【分析】（1）根据上面的例子，将按完全平方展开，可得出答案； （2）由（1）可写出一组答案，不唯一； （3）先将被开方数按所给例子改写成一个式子的平方，再按二次根式性质化简即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，； （2）解：本题答案不唯一， 取，，代入（1）中结论可得 ，， ∴； （3）解：． 题型四 因式分解在有理数简算中的应用 易错：不会变形凑公式，提取公因式出错；原因：不会观察数字构造，不能灵活拆分凑因式简便运算。 13．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握因式分解的方法． 先利用平方差公式分解除第一项之后的每一项，再去括号，然后利用阶乘化简乘积，化简后计算即可． 【详解】解： ， 故选：A． 14．由完全平方公式，可知，用这一方法计算：________． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，该表达式符合完全平方公式的形式，因此可转化为两数和的平方． 【详解】解： ， ， ， ， ， 故答案为 4. 15．综合与实践 聪明的嘉嘉发现某广场的地砖图案是由多个圆套在一起的，从外向里由黑色瓷砖铺设的圆环和白色瓷砖铺设的圆环交替构成．根据这一现象嘉嘉画出了如图所示的图形，已知最外面的圆的半径为，向里依次为，嘉嘉想利用所学的数学知识计算这个图形中所有黑色圆环面积的和． 回归课本： （1）此问题的解决需利用平方差公式：___________． 问题解决： （2）求黑色圆环面积的和．（计算结果保留） 问题拓展： （3）运用上述公式计算：． 【答案】（1）；（2）黑色圆环面积的和为；（3） 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式． （1）根据平方差公式直接求解； （2）由题意得，黑色圆环面积的和为，再进行因式分解求解即可； （3）利用平方差公式因式分解求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解： ． 答：黑色圆环面积的和为． （3）解： ． 16．利用因式分解计算：． 【答案】 【分析】本题考查利用因式分解进行简算，利用平方差公式进行因式分解后，进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 题型一 十字相乘法解题 1.二次三项式先整理成$ax^2+bx+c$标准形式。 2.拆分二次项系数与常数项，交叉相乘再相加，结果等于一次项系数。 3.首项系数为1，拆常数为两数乘积，两数和等于一次项系数。 4.拆分符号口诀：同号相乘正，异号相乘负，验算无误横向书写因式。 1．阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道： 反过来，就得到：． 我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中位于图的上一行，位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为． （1）请同学们认真观察和思考，尝试在下图中的虚线方框内填入适当的数，用“十字相乘法”分解因式：___________． 理解与应用 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （2）___________； （3）___________． 探究与拓展 对于形如的关于的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （4）分解因式___________． （5）若关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值． 【答案】（1） （2） （3） （4） （5）54或 【分析】本题考查十字相乘法进行因式分解，理解“十字相乘法”的内涵是正确解答的关键． （1）利用如图1、图2，仿图3的“十字”可以对进行因式分解； （2）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （3）利用如图1、图2的“十字”可以对进行因式分解； （4）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解； （5）利用如图4所示的“十字”可以对多项式进行因式分解． 【详解】 解：（1）， ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴； （3）∵ ∴ ∴ 故答案为： （4）∵ ∴，， ∴ 故答案为： （5）当时， ∴，，， ∴ 当时， ∴，，， ∴ ∴关于的二元二次式可以分解成两个一次因式的积， 的值为54或． 2．如图，大矩形是由三个小矩形和一个小正方形拼成的． (1)观察猜想： 请根据此图填空：（________）（________）． (2)说理验证： 事实上，我们也可以用如下代数方法进行变形： （________）（________） （________）（________）． (3)迁移运用：请对下列多项式因式分解： ①填空：________； ②． 【答案】(1)， (2)，，， (3)①；② 【分析】（1）根据等面积求解； （2）利用单项式乘多项式以及因式分解求解； （3）①利用代数方法变形因式分解； ②利用代数方法变形因式分解． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：①； ② ． 3．根据多项式乘法法则，，反过来，也有．这就是将某些二次项系数是1的二次三项式进行的分解因式． 例如，因式分解这个式子的二次项系数是1，常数项，一次项系数，符合类型，于是有这个过程，也可以用十字相乘的形式形象地表示：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求代数和，使其等于一次项系数．如图： 这样，我们也可以得到． 利用上面的方法，可以直接将某些二次项系数为1的二次三项式分解因式． 【知识应用】 (1)直接写出分解因式的结果： ①______；②______； (2)因式分解； (3)【拓展提升】因式分解． 【答案】(1)①；② (2) (3) 【分析】（1）①把化为，然后利用十字相乘法分解因式； ②把化为，然后利用十字相乘法分解因式； （2）先把多项式看作关于的二次三项式，然后利用十字相乘法分解因式； （3）先把多项式分成和两组，再把两组分别分解，然后利用提公因式法分解因式． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解： ； （3）解： ． 4．【阅读思考】 材料1：整式乘法与因式分解是相反的变形，如是整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： 一次项，①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项；③横向写出两因式：． 材料2：分解因式： 解：将“”看成一个整体，令，则原式，再将“K”还原，得：原式． 请仔细阅读材料，回答下列问题： 【迁移运用】 (1)利用上述的十字相乘法，将下列多项式分解因式： __________________________ (2)结合材料1和材料2，完成下面小题： ①分解因式：； ②分解因式：． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（1）直接用十字相乘法分解二次三项式； （2）①将视为整体，用换元法转化为二次三项式，再用十字相乘法分解；②先对多项式整体换元，用十字相乘法分解后，再对分解结果中的二次三项式继续用十字相乘法或公式法分解． 【详解】（1）解： 中，常数项，一次项系数， ． （2）①解：令， 则原式 将还原，得 原式． ②解：令， 则原式 将还原，得： 原式 又 ，， 原式． 题型二 分组分解法解题 1.四项优先二二分，两两分组分别提公因式，整体再提取公因式。 2.四项若含平方项，一三分组，凑平方差公式分解。 3.五项、六项按需三一或二三分组，先局部分解再合并。 4.分组目的统一：分组后能提公因式或套用乘法公式。 5．常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但多项式的项数三项以上时，直接使用上述方法可能有点困难，此时可尝试下面的方法：如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)分解因式：； (3)已知a，b，c分别是三边的边长且，请判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）利用分组分解法进行因式分解即可； （3）将等式左边进行因式分解，转化为两个因式的积的形式，再进行判断即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：为等腰三角形，理由如下： ， ， ， ， ∵，，是三边的边长， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 6．我们已经学过多项式因式分解的方法有提公因式法和公式法，其实因式分解的方法还有分组分解法、拆项法等． ①分组分解法：将一个多项式适当分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做分组分解法： 例如：． ②拆项法：将一个多项式的某一项拆成两项后，可提公因式或运用公式继续分解的方法叫做拆项法．例如：． (1)仿照以上方法，按照要求因式分解： ①分组分解法：_________ ②拆项法（写出计算过程）： (2)应用：若，求a、b、c的值． 【答案】(1)①，；② (2) 【分析】 （1）①先将原式变形为，前3项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； ②将常数项变为，前三项用完全平方公式进行因式分解，再用平方差公式因式分解即可； （2）将原式变形为 ，分组分解为，再利用非负数的性质即可求出，，． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：由得： ， 即， ∴ ， ∴． 7．【知识回顾】一般地，两数和的完全平方公式为：，如果我们将写成，就可以由两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式．过程如下：． (1)【类比推理】已知两数的立方和公式为，请类比两数差的完全平方公式的推理过程，推导两数的立方差公式： ． (2)【应用公式】因式分解：． (3)【拓展提升】如图，将八个完全相同的直角三角形拼成一个大正方形，设，若，则： ① ； ②若该直角三角形的两条边长分别为a和b，且，请先将代数式进行因式分解，然后求出代数式的值． 【答案】(1) (2) (3)①11；② 【分析】（1）推导立方差公式 将转化为，代入两数和的立方公式，替换b为，得到； （2）利用分组法以及完全平方公式进行分解即可； （3）①设直角三角形短直角边为a，长直角边为b，一个直角三角形的面积为，个三角形的面积，大正方形边长，小正方形边长．由，求出． ②因式分解并求值：将分组为，提取公因式得．结合已知条件，代入得值即可． 【详解】（1）解：∵， 将转化为，代入和的立方公式得： ． （2）解： ． （3）解：①设直角三角形的短直角边为a，长直角边为b，则大正方形的边长为，面积；小正方形MNPQ的边长为，面积，三角形的面积为，， ∵， ∴， 整理得：， ∴即． ② ， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴原式． 8．小逸同学对多项式进行分解因式，采用的方法如下：．这种分解因式的方法叫作分组分解法． (1)请结合小逸同学的方法分解因式：． (2)已知，，是的三边长，且满足，请判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)为等腰三角形，见解析 【分析】（1）利用分组分解法进行因式分解即可； （2）将等式左边进行因式分解 ，推出，即可得出结论. 【详解】（1）解：． （2）解：为等腰三角形． 理由：． ，，是的三边长， ， ，即， 为等腰三角形． 题型三 巧用因式分解解题 1.计算题型优先因式变形，凑整约分，简化大数运算。 2.代数式求值，先分解因式再整体代换，不用逐个求未知数。 3.解方程先移项因式分解，化为乘积为零，快速得各个解。 4.判断整除、最值，分解后拆分式子，借助整数性质分析。 9．【阅读与思考】 阅读下面的材料，并解决问题． 我们知道借助因式分解可以解决整除问题．嘉琪认为，若n为正整数，那么一定能被24整除．她的证明过程如下： 证明：． ∵n为正整数， ∴一定能被3整除． ∵8能被8整除， ∴一定能被3×8整除，即一定能被24整除． 【问题解决】 (1)若n为正整数，下列各数，一定能整除的是（     ）． A．8    B．10    C．14    D．17 (2)应用：已知n是正整数，参照材料中的方法，证明：能被24整除． (3)拓展：已知n是正整数能被36整除，请直接写出n的最小值 ． 【答案】(1)C (2) 见解析 (3)2 【分析】（1）对因式分解，确定其因数，得到符合要求的选项； （2）利用平方差公式分解原式，化简后根据正整数的性质证明原式含因数24即可； （3）根据整除要求推导得到满足的条件，计算得到的最小值. 【详解】（1） 解：， 为正整数， 是整数， 一定能被14整除； （2）证明： ； 是正整数，和是连续正整数， 能被2整除， 能被整除， 能被24整除； （3）解：由（2）得， 能被36整除， 是整数，即能被3整除， 是正整数，和是连续正整数， 当时，，不能被3整除， 当时，，能被3整除， 的最小值为2. 10．某班数学兴趣小组学习勾股定理后，对构成直角三角形三边长a，b，c（c为斜边长）为正整数的情况进行深入探究． 【特例发现】 (1)①；②；③；④；…它们都满足 ，若，则 ． 【提出问题】 该兴趣小组进一步探究发现，当时，总能找到正整数b，c使 于是该小组成员提出问题：当或时，是否存在正整数b，c，满足 【解决问题】 小组成员给出了当时，不存在正整数b，c，满足的证明过程． 证明：假设存在正整数b，c满足 移项得： 因式分解： ∵b，c为正整数且 ∴ ∵或 ∴，，解得，与假设相矛盾；或，． 综上所述，不存在正整数b，c，满足 (2)请类比上面的方法证明：当时，不存在正整数b，c，满足． 【答案】(1) (2) 见解析 【分析】（1）直接利用勾股定理计算正整数的值即可； （2）类比题目给出的证明方法，使用反证法，先假设存在正整数满足等式，再通过平方差公式因式分解，讨论正整数因数分解，推出矛盾，证明结论. 【详解】（1）解：∵，，为斜边长，满足，且为正整数， ∴， ∴（负值舍去）； （2）解：假设存在正整数，满足， 移项得， 利用平方差公式因式分解得； ∵，为正整数且 ∴ ∵ ∴，，解得，与假设相矛盾， 故不存在正整数b，c，满足. 11．课堂上，老师借助拼图前后图形的面积不变的事实，帮助同学们直观理解因式分解的合理性，形象地说明因式分解是整式的恒等变形，并鼓励学习小组开展探究活动．如图1，已知现有A、B、C三种型号的卡片若干张． (1)实践活动：如图2，第一小组利用四张卡片（1张A型，1张B型，2张C型）拼成一个大正方形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； (2)拓展探究：如图3，第二小组利用九张卡片（2张A型，2张B型，5张C型）拼成一个大长方形． ①观察图形，请据此直接写出一个多项式的因式分解； ②若每块C型小长方形卡片的面积为10，四个正方形（2张A型，2张B型）面积之和为58，试求图中所有拼接线（虚线部分）长之和． 【答案】(1) (2)①；②42 【分析】（1）分别表示出四张卡片的面积和大正方形的面积，根据四张卡片的面积等于大正方形的面积即可得解； （2）①分别表示出九张卡片的面积和大长方形的面积，根据九张卡片的面积等于大长方形的面积即可得解； ②根据题意得，，再由，可求出，然后计算图中所有拼接线（虚线部分）长之和，化简后，整体代入求值． 【详解】（1）解：四张卡片的面积可表示为：， 大正方形的面积可表示为：， ∴； （2）解：①九张卡片的面积可表示为：， 大长方形的面积可表示为：， ∴； ②根据题意得，， ∴， ∵， ∴， ∴（负值不符合，已舍去）， 图中所有拼接线（虚线部分）长之和为： ． 12．人类使用密码的历史悠久，特别是在当前信息化时代，密码为保护我们的个人隐私，起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学原理生成一组既容易记忆又难以破解的密码，十分有必要．利用因式分解可以生成密码，其原理是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某同学在读九年级，可以用年级生成密码，取，则有，，，其中，81，26，28分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码262881．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出生成的密码为 ． (2)某同学根据上述方法用年龄生成手机锁屏密码，选取的多项式为，已知该同学手机的锁屏密码是6位数字111519，则该同学当前年龄是多少岁？并说明理由． (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，请求出其他两个因式码． 【答案】(1)1426 (2)该同学的年龄是15岁，理由如下： ， ∵该同学手机的锁屏密码是6位数字111519， 又∵， ∴，，， 故该同学的年龄是15岁 (3)其他两个因式码为17和64 【分析】（1）先将因式分解，再将分别代入分解后的因式计算即可； （2）先将因式分解，再确定分解后的因式的大小关系，即可得x的值，即为该同学当前的年龄； （3）先将因式分解，再确定最小的因式，根据最小的因式码为15，即可得关于的方程，解方程求出，再代入另外两个因式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，， ∴密码为1426； （2）略 （3）解：， ∵取正整数，且由最小因式码为15知， ∴，即， 又∵， ∴为最小的因式， ∴， 解得， ∴，． 故其他两个因式码为17和64． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $