专题05 分式与分式方程（期末复习知识清单）八年级数学下学期新教材北师大版

专题05 分式与分式方程 一、分式的基本概念 1、分式的定义： 一般地，如果、表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式。 区分要点：分母不含字母的有理式是整式，分母含有字母的有理式是分式； 注意：是常数，含的式子不作为字母看待。 2、分式的三类取值条件（高频考点）： 设分式为： 1. 分式有意义：分母； 1. 分式无意义：分母； 1. 分式的值为0：分子 且 分母（两个条件缺一不可）。 3、分式的符号法则： 分式的分子、分母、分式本身这三处符号，同时改变其中任意两个，分式的值不变。公式： 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式的值不变。 字母表达式： 2、约分： 1. 定义：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分。 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 3. 要求：分式约分的最终结果必须化为最简分式或整式。 4. 约分步骤： 分子、分母能因式分解的先因式分解； 找出分子、分母的公因式并约去。 3、通分： 1. 定义：把几个异分母分式分别化为同分母分式，而分式的值不变，这个过程叫做通分。 2. 最简公分母：通分时，取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母。 3. 找最简公分母方法： 系数：取各分母系数的最小公倍数； 字母/因式：取所有出现的字母（或因式）的最高次幂。 三、分式的四则运算 1、分式的乘法： 法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 公式： 技巧：运算前优先对分子、分母因式分解，提前约分，简化计算。 2、分式的除法： 法则：分式除以分式，等于乘这个分式的倒数。 公式： 3、分式的乘方： 法则：分式的乘方，要把分子、分母分别乘方。 公式： 4、分式的加减运算： （1）同分母分式相加减 法则：分母不变，分子相加减。 公式： （2）异分母分式相加减 法则：先通分，化为同分母分式，再按照同分母分式加减法则计算。 公式： 5. 分式混合运算 运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内的运算；同级运算从左至右依次计算。 通用要求：全程优先因式分解、约分；计算结果必须化为最简分式或整式。 四、分式方程 1、分式方程的定义： 分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 区分：整式方程分母不含未知数，分式方程分母必含未知数。 2、分式方程的解法（标准五步）： 去分母：方程两边同时乘各分母的最简公分母，将分式方程转化为整式方程； 解整式方程：按照一元一次方程解法求出未知数的值； 检验（必备步骤，不可省略）：将整式方程的解代入最简公分母； 判断：若最简公分母，则该解是原分式方程的解；若最简公分母，则该解是增根； 作答：写出方程的解，或说明方程无解 3、增根： 1. 定义：分式方程去分母后得到的整式方程的根，但该根使原分式方程的分母为0，导致原分式无意义，这样的根叫做分式方程的增根。 2. 分式方程无解的两种情况： 情况一：转化后的整式方程本身无解； 情况二：整式方程有解，但所有解都是分式方程的增根。 五、分式方程的实际应用 1、解题基本步骤（六步流程）： 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 审：仔细读题，梳理题意，找出题目中的等量关系； 设：合理设未知数（直接设元或间接设元）； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：按照分式方程解法求解； 验：双重检验 第一重：检验所得的解是不是原分式方程的增根； 第二重：检验解是否符合实际问题意义（如人数、长度、速度等为正数）； 答：规范写出完整答案。 2、常见应用题型：工程问题、行程问题、销售利润问题、调配问题、增长率问题等，核心是找准题干中的等量关系。 六、核心易错点与注意事项 易错点 注意事项 分式的值为0 必须同时满足分子为0、分母不为0，只考虑分子易出错 去分母运算 方程中的常数项也要同乘最简公分母，禁止漏乘 分式方程解题 检验是分式方程必不可少的步骤，考试漏检验会扣分 增根与无解混淆 增根是整式方程的根，但不是原分式方程的根；无解包含整式方程无解、解全为增根两种情况 分式运算结果 最终结果必须化为最简分式或整式，不能保留可约分的形式 约分与通分区分 约分针对单个分式，目的是化简；通分针对多个异分母分式，目的是统一分母用于加减 符号处理 分子、分母是多项式时，变号要对整体变号，不要只改变部分项符号 题型一 分式的判断 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】若A、B为两个整式，且B中含有字母，则为分式，需注意是常数，不是字母，据此逐一判断即可． 【详解】解：由分式的定义可知，四个式子中只有是分式． 2．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，含有字母，∴是分式； ∵的分母为，是常数，不含字母，∴是整式； 综上，分式共有个． 3．在中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：分母含字母，是分式； 分母为常数，不是分式； 分母为常数，不是分式； 中是常数，分母不含字母，不是分式； 中分母是字母，属于分式； 分母含字母，是分式； 则分式共有个． 4．若是分式，则可以是（  ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的定义：若中是整式，且中含有字母，，则是分式．逐一判断选项即可得到答案． 【详解】解：A选项分母为，分式分母不能为，不符合要求． B选项分母为，是常数，不含字母，不符合分式定义． C选项分母为，是含有字母的整式，符合分式定义． D选项分母为，是常数，不含字母，不符合要求． 题型二 分式值为零的条件 5．如果分式的值为零，那么x的值是___． 【答案】 1 【分析】根据分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零，列式求解即可． 【详解】解：分式的值为零， ， 解得． 6．分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【详解】解：由题意得：且， ∴． 7．若分式的值为零，则______． 【答案】 【分析】分式的值为零需满足分子为零，同时分母不为零，据此计算求解． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴，且， 解得， 由得， ∴． 故答案为． 8．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 【答案】(1)2 (2)且 【分析】（1）根据分式为0，得出分母不为0，分子为0进行列式计算，即可作答． （2）根据分式的值为正数，得出，，再解得且，即可作答． 【详解】（1）解：∵分式的值为0， ∴， ∴，， 即若分式的值为0，则的值为2； （2）解：∵分式的值为正数， ∴分式有意义， ， ， 分式的值为正数， ， ， 且． 题型三 分式的求值 9．若，则的值为_____． 【答案】/0.2 【详解】解：设，则，其中，代入，得 10．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先根据已知等式得到的值，再对所求分式进行化简约分，最后代入计算即可得到结果. 【详解】解：由得，， ∴ . 11．已知，求代数式的值． 【答案】3 【详解】解：          ∴原式． 12．已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先对已知等式进行变形，然后通过等式两边同时除以来求解的值； （2）对分子分母同时除以，最后整体代入的值以及，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意可得， ∴， ； （2）解： ， 由（1）可知，， ∵， ∴ ． 题型四 判断分式变形是否正确 13．下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质与分式乘方运算，根据相关运算法则逐一判断变形是否正确即可． 【详解】解：∵分式变形不能直接给分子分母同加1，不满足分式基本性质，变形后值改变，∴A错误． ∵该变形中，分式的分子乘以了，分母乘以了，未乘以同一个整式，不符合分式的基本性质，故B错误． ∵，符合变形规则，∴C正确． ∵，∴D错误． 14．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的基本性质，根据分式基本性质判断各选项等式是否成立即可． 【详解】解：选项A、分式的分子分母同时加同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，A错误； 选项B、分式的分子分母同时减同一个数，不符合分式基本性质，等式不成立，B错误； 选项C、，根据分式基本性质，分子分母同乘不为0的数，分式的值不变，即成立，C正确； 选项D、当时，等式右边分母，无意义，等式不成立，D错误． 15．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用设比例系数法，结合比例性质逐一验证，即可得出． 【详解】解：设， ∴，， 对选项A： ∵，， ∴，A成立； 对选项B： ∵，， ∴，B成立； 对选项C： ∵，， ∴，， ∴，C成立； 对选项D： 举反例，令，，，，，满足， 此时左边，右边，， ∴D不一定成立． 16．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式的符号变形法则，利用分式的基本性质，提取分子的负号即可得到正确结果． 【详解】解：∵==． 题型五 求使分式变形成立的条件 17．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 18．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 【答案】 【分析】根据分式左右两边分母或分子的变化，依据分式的基本性质对分子或分母做相同的运算，结合因式分解即可求解． 【详解】解：（1）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （2）对分母因式分解，得，，故， 分子分母同除以，得； （3）观察分母可得，根据分式的基本性质，分子同乘，得 ； （4）对左边分子因式分解，得，，约分左边得 ， 对右边分子因式分解得，因此，可得括号内应填． 19．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质即可求解． 【详解】解：∵，均为非0常数， ∴， 故答案为：． 20．（1）计算： ①； ②； （2）如果分式 无意义，的值为0， 求的值． 【答案】（1）①；②；（2）6． 【分析】此题考查了分式无意义的条件、分式的基本性质、分式的值为0的条件、求代数式的值等知识，熟练掌握分式无意义的条件、分式的基本性质、分式的值为0的条件是解题的关键． （1）根据分式的基本性质即可得到答案； （2）根据分式无意义的条件得到，根据分式的值为0的条件得到，把字母的值代入代数式求值即可． 【详解】解：（1）① 故答案为： ②； 故答案为： （2）∵分式无意义， ∴， ∴； ∵的值为0， ∴且， ∴； ∴． 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 21．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意将扩大后的x，y代入分式，化简后结合原分式的值即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：， 将x，y都扩大3倍后，得到新分式： ． 22．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 【答案】B 【详解】解：根据题意，把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，可得， 与原分式相比，扩大倍． 23．把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变 【答案】D 【详解】解：将、同时扩大为原来的3倍后，得到新分式， 所以新分式的值与原分式相等，即分式的值不改变． 24．分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【答案】D 【详解】解：因为分式本身的符号，分子的符号，分母的符号，改变其中的两个符号，分式的值不变， 所以同时改变③（分式本身的符号）和④（分母的符号），分式的值不变． 题型七 约分 25．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用分式的基本性质，找出分子分母的公因式，约去公因式即可得到结果． 【详解】解：． 26．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 27．先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为0 【详解】解： 当，时，原式． 28．将下列分式化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）约去分子，分母的最大公因式即可； （2）先分解因式，然后约分计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； 题型八 含乘方的分式乘除混合运算 29．计算：_________． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的混合运算，先分别计算每个部分的指数幂，注意负号的处理（偶次方为正，奇次方为负），然后合并乘除运算，利用指数法则简化表达式． 【详解】解： ． 故答案为 ． 30．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ． 31．计算： 【答案】 【分析】先计算分式乘方和积的乘方，再把除法变成乘法后计算乘法即可得到答案． 【详解】解： ． 32．计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式运算，熟练掌握分式的乘除运算是解题的关键； 进行幂运算后先将除法化为乘法然后进行约分化简． 【详解】解：原式 ． 题型九 通分 33．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的通分，需先确定最简公分母，再根据分式的基本性质，给每个分式的分子分母同乘相应因式，逐一验证选项即可找出错误项．据此判断即可得答案． 【详解】解：∵三个分式的分母分别为，，， ∴最简公分母为，故A选项正确； ∴，故B选项正确； ∴，故C选项正确； ∴，故D选项错误． ∴故选：D． 34．对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 【答案】 【分析】本题考查了最简公分母，通分等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 两个分式的分母分别为和，最简公分母需取系数的最小公倍数和变量的最高次幂，即； 通分时根据分式的基本性质，将分子和分母同乘相应因式． 【详解】解：分母和的系数最小公倍数为6， 分母中最高次幂为， 故最简公分母为； 通分：， ， 故答案为：，，． 35．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)， (2)， (3)， (4)， 【详解】（1）解：∵两个分式的分母分别为，，即各分母系数的最小公倍数为，各字母最高次数均为， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ； （2）解：第二个分母因式分解， 两个分母分别为， ， ∴最简公分母为 ． 根据分式的基本性质变形得： ， ． （3）解：∵两个分式的分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． （4）解：第二个分母因式分解得，两个分母分别为，， ∴最简公分母为， 根据分式的基本性质变形得： ， ． 36．通分： (1)，； (2)，，，． 【答案】(1)， (2)，，， 【分析】本题考查了分式的通分，熟练掌握分式的通分方法是解题关键． （1）先确定两个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得； （2）先确定四个分式的最简公分母是，再根据分式的性质通分即可得． 【详解】（1）解：∵，的最简公分母为， ∴，； （2）解：∵，，，的最简公分母为， ∴，，，． 题型十 异分母分式加减法 37．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：． 38．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 【答案】 【分析】根据错误计算列出关于的等式，求出的化简结果，再将代入正确的分式算式，通分化简即可得到正确结果． 【详解】解：由题意可知，错算的等式为 移项得 ， ∴ ； 39．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）先通分化为同分母分式，再进行计算即可； （2）先根据异分母减法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可； （3）先通分化为同分母分式，再进行计算即可； （4）先根据异分母加法运算法则计算括号内的，再根据分式除法运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）把除法化为乘法，再约分即可； （2）先计算乘方，再计算除法运算即可； （3）按照同分母分式的减法运算法则计算即可； （4）先通分，化为同分母，再计算即可． 【详解】（1）解：． （2）解：． （3）解：． （4）解： ． 题型十一 分式加减乘除混合运算 41．化简： ______ ． 【答案】 【详解】解：原式 ． 42．化简：． 【答案】 【详解】解： ． 43．先化简，再求值：，其中 【答案】； 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 44．如图，有三张写着不同分式的卡片，将其组合成或的形式，进行化简，再求当时，所选择组合形式的值． 【答案】当选择的形式时：，；当选择的形式时，， 【详解】解：当选择的形式时，分式为， ， 当时，原式； 当选择的形式时， 分式为， ， 当时，原式． 题型十二 解分式方程（化为一元一次） 45．解下列分式方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】将分式方程通过去分母转化为整式方程，解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为零，即可得到原分式方程的解． 【详解】（1）解：， 去分母，两边同乘得： 解得：， 检验，当时， ， 所以是原方程的解． （2）解：， 去分母，两边同乘得： 解得：， 检验，当时， ， 所以是原方程的解． （3）解： 去分母得： 解得：， 检验，当时， ， 所以是原方程的解． 46．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）方程两边同乘，将分式方程化为整式方程求解即可； （2）先变形，方程两边再同乘，将分式方程化为整式方程求解即可． 【详解】（1）解：， 方程两边同乘，得， 解得， 检验：当时，， 所以分式方程的解是； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘，得， 解得， 检验:当时，，即不是分式方程的解， 所以原分式方程无解． 47．解方程：． 【答案】 【详解】解： ． ， ， ． 经检验：是原分式方程的根． 48．解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：去分母得， 去括号得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； （2）解：去分母得， 去括号得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的增根； ∴原方程无解． 题型十三 根据分式方程解的情况求值 49．若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 【答案】A 【分析】已知分式方程的解，将解代入原方程，即可得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值 【详解】解：∵是分式方程的解 ∴将代入原方程，得 计算得 整理得 即 50．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 【答案】 【分析】根据方程的解的定义，将已知解代入原分式方程，得到关于的一元一次方程，求解后检验即可得到的值． 【详解】解：因为是分式方程的解，所以将代入原方程，得， 计算得： ， 整理得：， 经检验，当时，满足原方程分母不为0的条件，符合题意． 51．如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 【答案】 【分析】将代入分式方程，即可求解的值． 【详解】解：是关于的分式方程的解， 代入方程得：，化简得：， 解得：． 52．关于的分式方程的解为，则的值为_____． 【答案】2 【详解】解：将解代入方程得：， 解得：． 题型十四 分式方程无解问题 53．已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 【答案】D 【分析】由分式方程解法，先去分母得到，分类讨论求解整式方程，再由分式方程无解的条件列方程求解即可得到答案． 【详解】解：， ，则， 若，即时，整式方程无解，则分式方程无解； 若，即时，整式方程解为， 当，即时，则分式方程分母为0，分式方程无解； 综上所述，的值是或． 54．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 【答案】D 【分析】先确定使分式分母为0的增根，再将分式方程化为整式方程，最后将增根代入整式方程求出的值. 【详解】解：∵ 分式方程的增根是使分式分母为0的根， 原方程分母为，令，得增根为， 给原方程两边同乘去分母，得 ， 把代入整式方程，得 ， ∴. 55．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 【答案】或 【分析】先用a表示出分式方程的解，再根据分式的分母不为0，即可确定实数a的值． 【详解】解： ， 根据分式有意义的条件有：，，，即， 则当时，原分式方程无解， 令，解得：或， 当或时，原分式方程无解． 56．已知关于的分式方程有增根，求的值． 【答案】的值为 【分析】先将分式方程化为整式方程，根据增根的定义确定增根对应的的值，再代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：， ， ∵分式方程有增根， ∴，解得， 将代入整式方程得， ∴， 解得：， ∴的值为． 题型十五 分式方程的应用 57．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 【答案】(1)“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是 (2)我不赞同甲队同学的看法，见解析 【分析】本题主要考查分式方程的应用，找准关系、准确列出方程是解题的关键． （1）设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是，再列方程得，求解即可； （2）先根据题意求出两车的路程与所需的时间，然后进行比较即可． 【详解】（1）解：设“天眼号”的速度是，则“花江号”的速度是． 根据行驶时间相等，得，解得． 经检验，是原分式方程的解． ∴． 答：“天眼号”的速度是，“花江号”的速度是． （2）解：我不赞同甲队同学的看法． 理由：按甲队同学的操作，“天眼号”需行驶，“花江号”仍行驶，两车速度不变． ∴“天眼号”所用时间为，“花江号”所用时间为． ∵， ∴两车不能同时到达终点． 58．自动分拣矩阵配套设备采用我国自主研发的仓储控制系统（WCS）等核心软件，可实现大件包裹快速扫码识别与精准分拣，大幅提升物流中转效率．已知1台自动分拣矩阵配套设备每小时分拣快递的数量是1名工人每小时分拣数量的4倍，1台设备分拣3000件快递比1名工人分拣这些包裹要少用3小时．设1名工人每小时能分拣x件包裹，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据工作时间总工作量工作效率，分别表示出工人和设备分拣3000件包裹的用时，再结合时间差的等量关系列方程即可． 【详解】解：设1名工人每小时能分拣x件包裹，则1台设备每小时分拣快递的数量为件. 可得1名工人分拣3000件包裹的用时为小时，1台设备分拣3000件包裹的用时为小时， ∵1台设备分拣这些包裹比1名工人少用3小时， ∴可得方程． 59．列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 【答案】(1)去年有3万人参赛，今年有万人参赛 (2)甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时 【分析】（1）设去年有万人参赛，则今年有万人参赛，根据“今年与去年共有万人参赛”列方程求解即可； （2）设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时，根据“甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍”列方程求解即可． 【详解】（1）解：设去年有万人参赛，则今年有万人参赛， 根据题意得， 解得， ∴今年参赛的人数为（万人）， 答：去年有3万人参赛，今年有万人参赛； （2）解：设甲全程的平均速度是公里/小时，则乙全程的平均速度是公里/小时， 根据题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， ∴乙全程的平均速度为（公里/小时）， 答：甲全程的平均速度是14公里/小时，乙全程的平均速度是12公里/小时． 60．某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 【答案】(1)甲队单独完成这项过程需要25天，则乙队单独完成这项工程需要20天 (2)万元 【分析】（1）设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天， 然后根据题意列分式方程求得x的值，再求得的值即可解答； （2）应先算出甲乙合作所需天数，再算所需费用即可． 【详解】（1）解：设甲队单独完成这项过程需要x天，则乙队单独完成这项工程需要天，  根据题意，得， 解得，  经检验，是原方程的解，且符合题意，  则，  答：甲队单独完成这项工程需要25天，乙队单独完成这项工程需要20天． （2）解：设甲、乙两队合作完成这项工程需要y天，  则有，  解得．  因为不足一天的按一天计算， 所以工期为12天． 所以需要施工费用：（万元）．  答：需要的施工预算总费用是万元． 61．某商店销售A，B两种款式的水杯．已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年三月份A款水杯的销售额为3840元，B款水杯的销售额为2000元，且A款水杯的销量是B款水杯的1.2倍． (1)求A，B两款水杯的售价分别是多少元？ (2)四月份，商店对A款水杯进行涨价销售，但A，B款水杯的销量均与三月份相同．已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价8元．若A款水杯每只涨价元，商店规定A款水杯的售价不超过40元，则销售完两款水杯的总利润的最大值为多少元． 【答案】(1)A款水杯售价为32元，B款水杯售价为20元． (2)总利润p的最大值为4080元． 【分析】（1）设B款水杯售价为未知数，根据“A款水杯销量是B款水杯的1.2倍”的等量关系列分式方程求解，检验后得到结果； （2）先根据第一问结果求出两款水杯的销量，再根据利润公式得到总利润与涨价的一次函数关系，结合A款售价的限制得到的取值范围，根据一次函数的增减性求出最大利润． 【详解】（1）解：设每只B款水杯的售价为元，则每只A款水杯的售价为元． 根据题意得： 交叉相乘得 整理得 解得 经检验是原分式方程的解，且符合题意． 则． 答：A款水杯售价为32元，B款水杯售价为20元． （2）解：由（1）可知，三月份B款水杯销量为（只），A款水杯销量为（只）． 根据题意，A款水杯每只涨价元后，售价为， 由售价不超过40元得：， 即． ∴ 总利润 整理得 ， 随的增大而增大． 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：销售完两款水杯的总利润的最大值为4080元． 题型一 分式有无意义的条件 易错：只看分子，误令分子为0；原因：混淆分式有无意义与值为0条件，忽略分母≠0。 1．若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 【答案】B 【详解】解：∵分式无意义 ∴分式的分母为0，即 解得 2．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式无意义的条件为分母为0，分式值为0的条件为分子为0且分母不为0，结合表格信息提取条件，逐一判断选项即可． 【详解】根据表格信息可得三个条件： ①当时，y无意义，即时分母为0； ②当时，y无意义，即时分母为0； ③当时，，即时分子为0且分母不为0． A选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件①，排除A． B选项：， 时，分母， 有意义，不符合条件②，排除B． C选项：， 时，分母，无意义，符合条件①； 时，分母，无意义，符合条件②； 时，分子，分母，，符合条件③，C符合题意． D选项：， 时，分子，，不符合条件③，排除D． 3．函数的自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】需同时满足二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，列出不等式组求解即可． 【详解】要使函数有意义 需满足且 解不等式，得 解不等式，得 ∴自变量的取值范围是且． 4．若代数式有意义，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别确定被开方数与分母的取值要求，综合得到的取值范围． 【详解】解：若代数式有意义， 则需满足被开方数非负，且分母不为 即 ， ， ， 即恒成立， 解不等式， 得， 综上，． 题型二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 易错：忽略分母不为零，不等式符号判定出错；原因：不会依据分式同号得正、异号得负列不等式组。 5．当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义、值为0及值为正数的条件，解题关键是掌握分式相关条件的判定规则：分式有意义要求分母不为0；分式值为0要求分子为0且分母不为0；分式值为正数要求分子分母同号（同时不为0）． 【详解】解：①分式有意义时，分母不能为0， ， 解得：； ②分式值为0时，分子为0且分母不为0， ， 由，解得或； 又，即， ； ③分式值为正数时，分子分母同号且均不为0， 分子为， ，解得． 故答案为：，，． 6．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据分式值为正数可确定分母为负数，由此求解即可． 【详解】解：因为分式的值为正数， 而分子为是负数，可知分母为负数， 即，解得， 的取值范围是． 7．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 【答案】当且时 【分析】此题考查了已知分式的值求未知数的范围，解不等式组，解题的关键是正确列出不等式组． 首先将因式分解为，然后类比题干的方法得到①或②，然后分别求解即可． 综合运用因式分解、分式值为负，解不等式等知识． 【详解】解：∵， ∵分式的值为负数， ∴或， ∴①或② 解不等式组①，得且； 解不等式组②，得该不等式组无解． ∴当且时，分式的值为负数． 8．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【答案】（1）且；（2） 【分析】（1）根据分式值为负数的条件，分子分母异号，结合分子的取值情况，确定分母的符号，进而求出的取值范围； （2）根据分式值为整数的条件，分母是分子的约数，找出使得为的约数的整数的值． 【详解】解：（1）分式的值为负数，且， 且且． （2）的值是一个整数，且为整数， 可以为整数可能取． 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键 题型三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 易错：只改一项符号、漏变分数线符号；原因：没掌握分式符号法则，分不清三处符号变化规律。 9．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，把分子与分母同时乘以即可得到答案． 【详解】解：． 故选：D 10．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 【答案】 【分析】根据分式的基本性质计算即可． 【详解】解：． 11．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的基本性质，把分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． （1）将分母中的负号提到分式前面即可； （2）分子和分母都乘以即可； （3）分子和分母都乘以即可． 【详解】（1） 故答案为： （2） 故答案为： （3） 故答案为： 12．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查的是利用分式的基本性质确定分式的三个符号之间的变换，掌握“这三个符号同时改变两个，分式的值不变”是解题的关键． 根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 题型四 分式化简求值 易错：化简后代入使分母为0的数，约分出错；原因：忽略分式隐含分母不为0，运算粗心。 13．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】先通过通分、因式分解约分化简代数式，再利用已知条件整体代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， 将代入得，原式． 14．先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】先对括号内的异分母分式通分相加，再对分母多项式因式分解，约分后得到最简结果，最后代入x的值计算即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 15．已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】分别计算分子、因式分解分母，约分得到化简结果，再由已知条件得到，整体代入化简结果即可得到答案． 【详解】解： ， 由可得，则原式． 16．已知，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】先对代数式进行化简，再根据已知条件求出化简后式子中相关部分的值，最后代入求值． 【详解】解： ， ． 原式． 题型五 分式方程与不等式相结合求参数 易错：忽略分式方程分母不为零、增根限制；原因：只解不等式，遗漏分式隐含取值条件。 17．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】先解不等式组，根据已知解集确定a的取值范围，再解分式方程，结合分式方程的解为正整数且不为增根，找出所有符合条件的整数a，计算a的和即可． 【详解】解： 解①得， 解②得， ∵不等式组的解集为 ∴， 解得； 解分式方程，得 ∵分式方程的解为正整数，，是整数且 ∴是正整数，且， ∴ ∴或或 ∴或4或1 ∴满足条件的的值之和为． 18．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 【答案】 【分析】解不等式组，根据不等式组的解集确定的初步取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为正数且分母不为零确定的最终取值范围，排除增根对应的值，找出范围内所有整数计算其和． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 不等式组的解集为， ， 解得， 解分式方程得， 分式方程的解为正数，且分母不为， 且， 解得且， 可得的取值范围为且， 满足条件的整数为， 计算和为：． 19．若关于的一元一次不等式组有解且最多有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的整数有________个． 【答案】5 【分析】先解一元一次不等式组，根据不等式组有解且最多有2个奇数解得到的取值范围，再解分式方程，根据分式方程的解为整数且不为增根，找出符合条件的整数，统计个数即可． 【详解】解：， 不等式：两边同乘得， 移项合并同类项得， 系数化为得； 解不等式：展开得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：， 不等式组有解， 解集为， 又不等式组最多有个奇数解， 且， 解得：， 解分式方程， 方程两边同乘得：， 整理得：， 解得：， 由分式分母不为得：， 分式方程的解为整数，为整数，且， 是的因数，且， 可得符合条件的为：，，，，，共个． 20．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 【答案】5 【分析】先根据不等式组有解求出的取值范围，再结合分式方程的解是非负整数且分母不为零，找出符合条件的整数，最后计算乘积． 【详解】解：解不等式，得：， 解不等式，得， 一元一次不等式组有解， ， 分式方程两边同乘去分母，得：， 整理得：， 解得：， 由分式方程分母不为得，即， 解得， 分式方程的解是非负整数，为整数，， ∴， 解得，且为偶数， 即为奇数， 符合条件的整数为，， ∴所有满足条件的整数的值之积为． 题型一 巧用换元设参解题 1.式子中重复出现相同代数式，整体换元，简化复杂式子。 2.分式、高次方程换元降次，转化为基础方程计算。 3.连等条件设参数，用同一个参数表示多个未知数。 4.换元算出结果后，代回原元求出原式数值。 1．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“设参法求分式的值”的研究报告 勤学小组 研究对象：设参法求分式的值 研究思路：设参数为，把含参数的式子代入原式进行化简求值 【问题提出】已知，求分式的值． 【思路分析】根据题意可设已知条件中的连等式，因而有，，，于是将它们分别代入分式中，即可通过化简求得分式的值． 解：设，则，，， ∴原式___▲____． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)已知，，满足等式，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的求值和三元一次方程组的求解，正确理解题干信息、掌握求解的方法是关键； （1）直接约分即可得到答案； （2）仿照研究报告中的方法设参求解即可． 【详解】（1）解：解：设，则，，， ∴原式． 故答案为：； （2）解：设， 则，解得：， ∴． 23．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的求值，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的求值方法是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，再进一步利用完全平方公式计算即可； （2）设，用k表示出a、b、c，代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， 。 ∴， ∴． （2）解：设， 则， ． 3．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 任务： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1)4 (2)8 【分析】本题考查材料题的阅读理解，涉及的是分式的约分，材料分析题要认真读懂解题所用的方法，掌握分式的约分是解题的关键． （1）利用倒数法把原式变形，约分即可； （2）设，用k表示出a，b，c，代入约分即可 【详解】（1）解：∵， ∴． ∴，即． ∴． （2）设．则，，， ∴． 4．在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． (1)化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． (2)比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，理由见解析 【分析】本题考查分式的约分，多项式乘以多项式，熟练掌握换元法是解题的关键： （1）利用换元法以及分式的基本性质，进行化简即可； （2）设，，作差法比较大小即可． 【详解】（1）解：设，，则，， 则原式； 故答案为：，． （2）解：设，， 则 ． ，， ． ． 题型二 用倒数法解题 1.所求式子分子简单、分母复杂时，整体取倒数拆分变形。 2.已知分式和，取倒数拆分出分式加减，简便求值。 3.连等式题型取倒数，拆分整式，快速找数量关系。 4.算出倒数结果后，再次取倒数得到原式答案。 5．阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）模仿题干过程，进行化简计算，即可作答． （2）已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； （3）已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：由知， ∴， 即， ∴； ∴， （2）解：由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． （3）解：∵ ∴x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， 则， ∴． 6．【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】（2）已知，，，求的值． 【答案】（1）（2） 【分析】（1）利用“倒数法”取已知等式的倒数，整理得到；将所求分式取倒数，利用完全平方公式配方和整体代入的方法求得式子的值，最后取倒数即可得出结论； （2）将已知三个等式的左右两边分别相加得到的值，将所求的分式取倒数计算出结果，代入求值后，再取倒数即可得出结论． 【详解】解：（1） 即 （2）∵ ∴ ∴由①+②+③得： ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题考查分式的化简求值，分式的加减法，倒数的意义，分式的乘除法，完全平方公式的应用，运用了恒等变换和整体代入的思想方法．本题是阅读型题目，理解并熟练运用题干中的解题思想与方法是解题的关键． 7．【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 【答案】类比探究：；拓展延伸： 【分析】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 类比探究：已知等式“取倒数”求出的值，原式“取倒数”后，将的值代入计算即可； 拓展延伸：已知三等式“取倒数”后相加求出的值，原式“取倒数”后代入计算即可求出值． 【详解】解：类比探究： 由知， ∴，即， ∴， ∴ ， 故． 拓展延伸： 根据题意可知x，y，z均不为0， ∴， ，， ∴， ∵， ∴． 8．【阅读理解】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：∵，易知， ∴．∴．① ∴②． ∴． 像这种将等式两边取倒数的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下列问题： （1）第②步运用了______公式；（填“平方差”或“完全平方”） 【类比运用】 （2）已知：，求的值； 【拓展探究】 （3）已知：，，，求的值． 【答案】（1）完全平方；（2）；（3） 【分析】本题考查的是分式的化简求值，完全平方公式，熟知分式混合运算的法则是解题的关键． （1）根据完全平方公式进行解答即可； （2）仿照例题计算即可； （3）由已知可得，，，即得，，，得到，再根据倒数法解答即可求解． 【详解】解：（1）第②步运用了完全平方公式， 故答案为：完全平方． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴． （3）∵，，， ∴a，b，c均不为0， ∴，，． ∴，，． ∴， ∴， ∴． ∴． 题型三 用分式均值解题 1.几个正数和固定，数值越接近，分式值越小；数值差距越大，分式值越大。 2.分式求和最值，优先均分变量，套用均值规律判断极值。 3.已知积定求和最小，已知和定求积最大，适配分式化简求值。 4.无相等条件时，举临界特殊值验证分式范围。 9．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 【答案】(1) (2)7 (3)当x取或2或0时，分式A的值为整数 【分析】本题考查分式的运算，根据分式方程的解求参数，分式的值为整数时字母的值，熟练掌握相关知识点，正确的计算是解题的关键： （1）根据分式的除法法则进行计算即可； （2）将代入方程进行求解即可； （3）利用分离常数法，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）∵， ∴． 方程的两边同时乘以，得， 解得． ∵分式方程的解为， ∴，解得． ∴的值为7． （3）解：∵，且分式A的值为整数， ∴或． ∴． 由题意，得且， ∴且． ∴当x取或2或0时，分式A的值为整数． 10．阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，；    的解为：，； 的解为：，；    的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程：． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】（1）根据所给材料的解题方法即可求解； （2）根据材料中方程的解法求解即可； （3）先将方程化为，再利用材料中的解法求解即可． 【详解】（1）解：方程 的解为， 故答案为：， （2）由方程可得或， 解得，， 故答案为：， （3）将方程变形为， 可得或， 解得， 【点睛】此题考查了解分式方程，解题的关键是将方程化为的形式求解． 11．阅读材料：基本不等式当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，有最小值？最小值是多少？ 解：∵x＞0，，∴ ≥，∴，当且仅当时，即x=1时，有有最小值为2． 请根据阅读材料解答下列问题： （1）填空：当>0时，设，则当且仅当=____时，y有最____值为_______； （2）若＞0，函数，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值； （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值． 【答案】（1）2，小，4 ；（2），y有最小值2；（3）△ABC的周长最小为8+4 【分析】（1）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值； （2）根据基本不等式即可求得y的最小值，及此时x的取值； （3）由基本不等式可分别得：，，由周长公式可得，从而可得△ABC周长的最小值． 【详解】（1）∵x>0 ∴ ∴y=≥4 当且仅当即x=时，y有最小值4．   故答案为：2，小，4   （2）∵x＞0 ∴ ∴y=≥2 当且仅当即x=时，y有最小值2．   （3）设两直角边分别为a，b，斜边为c 由题意得：，且由勾股定理得： ∴ab=16 ∵a＞0，b＞0 ∴=ab ∴， ∵ ∴ ∴≥8+4 当且仅当a=b时△ABC的周长最小为8+4． 【点睛】本题属于阅读材料题目，考查了学生对材料的阅读理解能力和应用能力，考查了解方程，不等式的性质，勾股定理，图形的面积和周长等知识，关键是读懂材料并能应用材料的知识解决问题． 12．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】（1）①类比题材即可得解，②类比题材即可因式分解； （2）根据绝对值和偶次方的非负性得，，然后代入所求式子利用裂项相消法即可求解； （3）利用拆项法因式分解后再利用裂项相消法化简方程，解化简后的分式方程即可． 【详解】（1）解：①∵ ∴类比得， 故答案为：； ②， 故答案为：； （2）解：∵满足，即 ∴，， 解得，， ∴， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算、因式分解与解分式方程，解题的关键是明确题意，理解裂项相消法的应用以及熟练求解分式方程． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式与分式方程 一、分式的基本概念 1、分式的定义： 一般地，如果、表示两个整式，并且中含有_________，那么式子叫做_________。 区分要点：分母不含字母的有理式是_________，分母含有字母的有理式是_________； 注意：是常数，含的式子不作为字母看待。 2、分式的三类取值条件（高频考点）： 设分式为： 1. 分式有意义：_________； 1. 分式无意义：分母； 1. 分式的值为0：分子_________ 且 分母_________（两个条件缺一不可）。 3、分式的符号法则： 分式的分子、分母、分式本身这三处符号，_________其中任意两个，分式的值不变。公式： 二、分式的基本性质 1、分式的基本性质： 分式的分子与分母同乘（或除以）______________，分式的_________。 字母表达式： 2、约分： 1. 定义：把一个分式的分子和分母的_________约去，这种变形称为分式的_________。 2. 最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做_________。 3. 要求：分式约分的最终结果必须化为_________或_________。 4. 约分步骤： 分子、分母能因式分解的先因式分解； 找出分子、分母的公因式并约去。 3、通分： 1. 定义：把几个_________分别化为_________，而分式的值不变，这个过程叫做_________。 2. 最简公分母：通分时，取各分母所有因式的_________作为公分母，这样的公分母叫做_________。 3. 找最简公分母方法： 系数：取各分母系数的_________； 字母/因式：取所有出现的字母（或因式）的_________。 三、分式的四则运算 1、分式的乘法： 法则：分式乘分式，用分子的积作为_________，分母的积作为_________。 公式： 技巧：运算前优先对分子、分母因式分解，提前约分，简化计算。 2、分式的除法： 法则：分式除以分式，等于_________。 公式： 3、分式的乘方： 法则：分式的乘方，要把_________、_________分别乘方。 公式： 4、分式的加减运算： （1）同分母分式相加减 法则：分母不变，_________。 公式： （2）异分母分式相加减 法则：先_________，化为同分母分式，再按照同分母分式加减法则计算。 公式： 5. 分式混合运算 运算顺序：先_________，再_________，最后_________；有括号先算括号内的运算；同级运算从左至右依次计算。 通用要求：全程优先因式分解、约分；计算结果必须化为_________或_________。 四、分式方程 1、分式方程的定义： _________的方程叫做分式方程。 区分：整式方程分母_________，分式方程分母_________。 2、分式方程的解法（标准五步）： 去分母：方程两边同时乘各分母的_________，将分式方程转化为_________； 解整式方程：按照一元一次方程解法求出未知数的值； 检验（必备步骤，不可省略）：将整式方程的解代入_________； 判断：若最简公分母，则该解是原分式方程的解；若最简公分母，则该解是_________； 作答：写出方程的解，或说明方程无解 3、增根： 1. 定义：分式方程去分母后得到的整式方程的根，但该根使原分式方程的_________，导致原分式无意义，这样的根叫做分式方程的增根。 2. 分式方程无解的两种情况： 情况一：转化后的整式方程本身无解； 情况二：整式方程有解，但所有解都是分式方程的_________。 五、分式方程的实际应用 1、解题基本步骤（六步流程）： 审 → 设 → 列 → 解 → 验 → 答 审：仔细读题，梳理题意，找出题目中的等量关系； 设：合理设未知数（直接设元或间接设元）； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：按照分式方程解法求解； 验：双重检验 第一重：检验所得的解是不是原分式方程的增根； 第二重：检验解是否符合实际问题意义（如人数、长度、速度等为正数）； 答：规范写出完整答案。 2、常见应用题型：工程问题、行程问题、销售利润问题、调配问题、增长率问题等，核心是找准题干中的等量关系。 六、核心易错点与注意事项 易错点 注意事项 分式的值为0 必须同时满足_________、_________，只考虑分子易出错 去分母运算 方程中的_________也要同乘最简公分母，禁止漏乘 分式方程解题 _________是分式方程必不可少的步骤，考试漏检验会扣分 增根与无解混淆 增根是_________的根，但不是原分式方程的根；无解包含整式方程无解、解全为增根两种情况 分式运算结果 最终结果必须化为_________或_________，不能保留可约分的形式 约分与通分区分 约分针对_________，目的是化简；通分针对_________，目的是统一分母用于加减 符号处理 分子、分母是多项式时，变号要对_________变号，不要只改变部分项符号 题型一 分式的判断 1．下列各式中，属于分式的是（   ） A． B． C． D． 2．代数式，，，中分式有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在中，分式有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若是分式，则可以是（  ） A．0 B． C． D． 题型二 分式值为零的条件 5．如果分式的值为零，那么x的值是___． 6．分式的值为0，则x的值为______． 7．若分式的值为零，则______． 8．已知分式． (1)若分式的值为0，则的值为_____． (2)若分式的值为正数，求的取值范围． 题型三 分式的求值 9．若，则的值为_____． 10．已知，求代数式的值． 11．已知，求代数式的值． 12．已知． (1)求的值； (2)记，当时，求的值． 题型四 判断分式变形是否正确 13．下列分式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 14．下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 15．若，则下列等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 16．分式可变形为（   ） A． B． C． D． 题型五 求使分式变形成立的条件 17．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 18．填空： （1）；括号内应填入：______． （2）；括号内应填入：______． （3）；括号内应填入：______． （4）（且）．括号内应填入：______． 19．已知，均为非0常数，要使等式成立，则括号内应填入_____． 20．（1）计算： ①； ②； （2）如果分式 无意义，的值为0， 求的值． 题型六 利用分式的基本性质判断分式值的变化 21．若分式的值为，现将分式中的和都扩大3倍，那么分式的值变为（   ） A． B． C． D． 22．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（   ） A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定 23．把分式（，）中的分子、分母的a、b同时扩大为原来的3倍，那么分式的值（   ） A．扩大为原来的3倍 B．扩大为原来的9倍 C．缩小为原来的 D．不改变 24．分式中字母的符号如图所示，任意改变其中的两个符号，分式的值不变的是（  ） A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 题型七 约分 25．将分式约分，结果正确的是（    ） A． B． C． D． 26．约分： (1)； (2)； (3)； (4)． 27．先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 28．将下列分式化简 (1) (2) 题型八 含乘方的分式乘除混合运算 29．计算：_________． 30．计算： (1)； (2)； (3)． 31．计算： 32．计算：． 题型九 通分 33．把，，通分过程中，不正确的是（    ） A．最简公分母是 B． C． D． 34．对分式，通分，两个分式的最简公分母是______，通分的结果是______；=______． 35．通分： (1)； (2)； (3)； (4)． 36．通分： (1)，； (2)，，，． 题型十 异分母分式加减法 37．计算的结果等于（     ） A． B． C． D． 38．嘉嘉计算时，由于错将分式前的“”抄成了“”，得到的错误结果为，则正确的计算结果应是__________． 39．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 40．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型十一 分式加减乘除混合运算 41．化简： ______ ． 42．化简：． 43．先化简，再求值：，其中 44．如图，有三张写着不同分式的卡片，将其组合成或的形式，进行化简，再求当时，所选择组合形式的值． 题型十二 解分式方程（化为一元一次） 45．解下列分式方程： (1)； (2)； (3)． 46．解方程： (1)； (2)． 47．解方程：． 48．解方程： (1) (2) 题型十三 根据分式方程解的情况求值 49．若关于的分式方程的解为，则m的值是（   ） A．2 B．0 C．-2 D．3 50．若关于的分式方程的解为，则的值是__________． 51．如果是关于的分式方程的解，则的值是___． 52．关于的分式方程的解为，则的值为_____． 题型十四 分式方程无解问题 53．已知关于x的分式方程无解，则m的值是（    ） A． B．1 C．或2 D．或 54．若关于x的方程有增根，则m的值是（    ） A． B． C．3 D．4 55．已知关于x的方程无解，则实数a的值等于________． 56．已知关于的分式方程有增根，求的值． 题型十五 分式方程的应用 57．贵州省某初中科技社团甲、乙两个小组各制作了两台遥控小车，分别命名为“天眼号”和“花江号”，在跑道测试中，两车从起点同时出发，已知“天眼号”的速度比“花江号”的速度快，当“天眼号”到达终点时，“花江号”离终点还差． (1)求两车的速度； (2)甲队的同学认为：既然“天眼号”到达终点时，“花江号”距离终点，那么“天眼号”从原起点向后退作为新起点出发，“花江号”从原起点出发，通过这样的操作，两车就能同时出发，且同时到达终点，你赞同甲队同学的看法吗？通过计算说明理由． 58．自动分拣矩阵配套设备采用我国自主研发的仓储控制系统（WCS）等核心软件，可实现大件包裹快速扫码识别与精准分拣，大幅提升物流中转效率．已知1台自动分拣矩阵配套设备每小时分拣快递的数量是1名工人每小时分拣数量的4倍，1台设备分拣3000件快递比1名工人分拣这些包裹要少用3小时．设1名工人每小时能分拣x件包裹，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 59．列方程解下列问题： 马拉松是一项长跑比赛项目，其比赛长度为公里（本题以42公里计算）． (1)据统计，某市今年马拉松的参赛人数较去年增加了，今年与去年共有万人参赛，那么今年与去年的参赛人数各是多少？ (2)甲、乙两人均为该市今年马拉松比赛参赛者，甲平均每小时比乙多跑2公里，且乙跑完全程所用时间是甲的倍，求甲、乙两人全程的平均速度． 60．某居民小区实施绿化改造工程，由甲、乙两个工程队合作完成，已知乙工程队单独完成这项工程所需要天数是甲工程队单独完成这项工程所需天数的若由乙工程队单独施工天后，再由甲、乙两队合作天即可完成全部工程． (1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？ (2)若甲工程队每天的施工费为万元，乙工程队每天的施工费为万元，为缩短工期，由甲、乙两队同时合作施工，求需要的施工预算总费用不足一天的按一天计算． 61．某商店销售A，B两种款式的水杯．已知每只A款水杯比每只B款水杯贵12元，今年三月份A款水杯的销售额为3840元，B款水杯的销售额为2000元，且A款水杯的销量是B款水杯的1.2倍． (1)求A，B两款水杯的售价分别是多少元？ (2)四月份，商店对A款水杯进行涨价销售，但A，B款水杯的销量均与三月份相同．已知每只A款水杯的进价是16元，每只B款水杯的进价8元．若A款水杯每只涨价元，商店规定A款水杯的售价不超过40元，则销售完两款水杯的总利润的最大值为多少元． 题型一 分式有无意义的条件 易错：只看分子，误令分子为0；原因：混淆分式有无意义与值为0条件，忽略分母≠0。 1．若分式无意义，则的值是（   ） A．4 B．3 C．0 D． 2．根据下列表格中的信息，y代表的分式可能是（   ） x … 0 1 2 … y … * 无意义 * 无意义 0 … A． B． C． D． 3．函数的自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 4．若代数式有意义，则的取值范围是______． 题型二 求分式值为正（负）数时未知数的取值范围 易错：忽略分母不为零，不等式符号判定出错；原因：不会依据分式同号得正、异号得负列不等式组。 5．当________时，分式有意义；当________时，分式的值为0；当________时，分式的值为正数． 6．若分式的值为正数，则x的取值范围是___________． 7．仔细阅读下面的材料并解答问题． 例：当取何值时，分式的值为正数？ 解：由题意，得，则有①或②解不等式组①，得；解不等式组②，得该不等式组无解．∴当时，分式的值为正数． 按照上面的方法，求当取何值时，分式的值为负数． 8．（1）若分式的值为负数，求的取值范围． （2）若的值是一个整数，则整数可能取哪些值？ 【点睛】本题考查了分式的值的相关计算，掌握根据分式值的正负或整数情况，分析分子分母的关系是解题的关键 题型三 将分式的分子分母的最高次项化为正数 易错：只改一项符号、漏变分数线符号；原因：没掌握分式符号法则，分不清三处符号变化规律。 9．不改变分式 的值，使分子、分母最高次项的系数为正数，正确的是（     ） A． B． C． D． 10．不改变分式的值，使分子、分母的最高次项的系数为正，则 __________． 11．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母中的最高次项的系数为正数． （1）______； （2）______； （3）______． 12．不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“”号． (1)； (2)； (3)； (4)． 题型四 分式化简求值 易错：化简后代入使分母为0的数，约分出错；原因：忽略分式隐含分母不为0，运算粗心。 13．如果，那么代数式的值为（    ）． A．1 B．2 C．3 D．4 14．先化简，再求值：，其中． 15．已知，求代数式的值． 16．已知，且，求代数式的值． 题型五 分式方程与不等式相结合求参数 易错：忽略分式方程分母不为零、增根限制；原因：只解不等式，遗漏分式隐含取值条件。 17．若整数使关于的不等式组的解为，且使关于的分式方程的解为正整数，则满足条件的的值之和为（    ） A．12 B．11 C．10 D．9 18．若整数a使得关于x的不等式组解集为，使得关于y的分式方程的解为正数，则所有满足条件的整数a的和为__________． 19．若关于的一元一次不等式组有解且最多有2个奇数解，且关于的分式方程的解为整数．则符合条件的整数有________个． 20．若关于的一元一次不等式组有解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之积为______． 题型一 巧用换元设参解题 1.式子中重复出现相同代数式，整体换元，简化复杂式子。 2.分式、高次方程换元降次，转化为基础方程计算。 3.连等条件设参数，用同一个参数表示多个未知数。 4.换元算出结果后，代回原元求出原式数值。 1．阅读与思考阅读下列材料，并完成相应任务． 关于“设参法求分式的值”的研究报告 勤学小组 研究对象：设参法求分式的值 研究思路：设参数为，把含参数的式子代入原式进行化简求值 【问题提出】已知，求分式的值． 【思路分析】根据题意可设已知条件中的连等式，因而有，，，于是将它们分别代入分式中，即可通过化简求得分式的值． 解：设，则，，， ∴原式___▲____． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)已知，，满足等式，求的值． 23．在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来化简式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，倒数法是常用的变形技巧之一、所谓倒数法，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分进行化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：，，即．， ． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题．例：若，且，求的值． 解：令，则，，． 原式． 根据材料回答以下问题： (1)已知，求的值； (2)已知求的值． 3．阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务： 在初中数学学习阶段，我们常常会利用一些变形技巧来简化式子，解答问题． 材料一：在解决某些分式问题时，“倒数法”是常用的变形技巧之一．所谓“倒数法”，即把式子变成其倒数形式，从而运用约分化简，以达到计算目的． 例：已知，求代数式的值． 解：∵， ∴，即， ∴， ∴． 材料二：在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个值为的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，， ∴． 任务： (1)已知，求的值． (2)已知，求的值． 4．在解关于的方程组时，小天发现可以利用“换元法”求解，即设，，将原方程组转化为关于的方程组求出的值后，再代回，，从而求出原方程组的解．类似地，也可以利用“换元法”解决下列问题． (1)化简：． 下面是小天解决此问题的思路，请补充完整． 解：设，， 则，______（用含的式子表示）． 将原式转化为关于的式子进行化简， 再将，代回，得到原式化简的结果为______． (2)比较与的大小，并说明理由． 题型二 用倒数法解题 1.所求式子分子简单、分母复杂时，整体取倒数拆分变形。 2.已知分式和，取倒数拆分出分式加减，简便求值。 3.连等式题型取倒数，拆分整式，快速找数量关系。 4.算出倒数结果后，再次取倒数得到原式答案。 5．阅读学习：已知，求的值． 解：由知 所以，即 所以 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． (1)已知，则 (2)类比探究：已知，求的值 (3)拓展延伸：已知，求的值 6．【阅读学习】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：由知，所以，即， 所以． 故的值为． 【类比探究】（1）上题的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的题目： 已知，求的值． 【拓展延伸】（2）已知，，，求的值． 7．【阅读学习】已知，求的值． 解：由知， 所以，即， 所以，故． 以上解法中，是先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出所求式子倒数的值，我们把这种解法叫作“倒数法”． 【类比探究】已知，请利用上述方法求的值； 【拓展延伸】已知，求的值． 8．【阅读理解】阅读下面的解题过程： 已知：，求的值． 解：∵，易知， ∴．∴．① ∴②． ∴． 像这种将等式两边取倒数的解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下列问题： （1）第②步运用了______公式；（填“平方差”或“完全平方”） 【类比运用】 （2）已知：，求的值； 【拓展探究】 （3）已知：，，，求的值． 题型三 用分式均值解题 1.几个正数和固定，数值越接近，分式值越小；数值差距越大，分式值越大。 2.分式求和最值，优先均分变量，套用均值规律判断极值。 3.已知积定求和最小，已知和定求积最大，适配分式化简求值。 4.无相等条件时，举临界特殊值验证分式范围。 9．已知，． (1)化简分式A． (2)若关于x的分式方程的解为，求m的值． (3)当x取什么整数时，分式A的值为整数？ 10．阅读材料，下列关于的方程： 的解为：，；    的解为：，； 的解为：，；    的解为：，； 根据这些材料解决下列问题： (1)方程的解是____________； (2)方程的解是____________； (3)解方程：． 11．阅读材料：基本不等式当且仅当a=b时，等号成立，其中我们把叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具，例如：在x＞0的条件下，当x为何值时，有最小值？最小值是多少？ 解：∵x＞0，，∴ ≥，∴，当且仅当时，即x=1时，有有最小值为2． 请根据阅读材料解答下列问题： （1）填空：当>0时，设，则当且仅当=____时，y有最____值为_______； （2）若＞0，函数，当x为何值时，函数有最值？并求出其最值； （3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若△ABC的面积等于8，求△ABC周长的最小值． 12．类比推理是一种推理方法，即根据两种事物在某些特征上的相似，作出它们在其他特征上也可能相似的结论．触类旁通，即用类比的方法提出问题及寻求解决问题中的途径和方法． 观察下列计算过程： 这就是解稍复杂的计算中常用到的裂项相消法，即把每项恰当拆分，使得其中部分分数相互抵消，简化计算． 阅读下面一道例题的解答过程： 因式分解： 解：我们可以将拆成和 即原式 在因式分解中，我们有时需要对多项式的某一项拆成两项或多项，其目的是使多项式能进行因式分解，像这样的方法称为拆项法． 请用类比的方法，解决以下问题： (1)①已知，则依据此规律____； ②请你利用拆项法进行因式分解：_____； (2)若满足，求的值； (3)受此启发，解方程． 学科网（北京）股份有限公3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $