精品解析：江苏南通市启东市第一中学2025-2026学年高二下学期第二次素质检测数学试题

启东市第一中学2025-2026年度第二学期第二次素质检测 高二数学试卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分，命题人：范帅江审题人：朱海林） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 3 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 6. 从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 100 7. 某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（ ） A. 0.30 B. 0.26 C. 0.24 D. 0.20 8. 若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ） A. B. C. D. 10. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 棱上存在点，使得 D. 若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 写出命题“”的否定：_____. 13. 已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 14. 随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数 （1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数； （2）当时，求表达式的展开式中的常数项． 16. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 （1）求相关系数r，并说明其意义； （2）建立y关于x的线性回归方程； （3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 17. 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. （1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； （2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围； （3）当时，若，求实数的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 启东市第一中学2025-2026年度第二学期第二次素质检测 高二数学试卷 （考试时间150分钟，试卷满分150分，命题人：范帅江审题人：朱海林） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【详解】由已知可得， ，在复平面内对应点为，位于第四象限． 2. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排列数计算公式判断AB，根据组合数计算公式判断CD. 【详解】对于A，因为，所以，错误； 对于B，因为，所以，错误； 对于C，因为， 所以，错误； 对于D，因为，所以，正确. 故选：D 3. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 4. 已知随机变量服从正态分布，若，则实数（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可求实数的值. 【详解】因为， 故，故， 故选：D. 5. 已知圆柱和圆锥的底面半径相等，且侧面积之比为2，则母线长之比为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆柱的侧面积公式和圆锥的侧面积公式可求母线长之比. 【详解】设圆柱的母线长为，圆锥的母线长为，它们底面半径为， 由题意得，，故. 故选：B. 6. 从0，1，2，3，4五个数字中任选3个数字，可组成无重复数字的三位数的个数为（ ） A. 48 B. 60 C. 72 D. 100 【答案】A 【解析】 【分析】由分步乘法计算原理可求. 【详解】根据题意，先选百位，百位有4个数字可选，剩余2位全排， 所以组成无重复数字的三位数的个数为. 故选：A. 7. 某学校的学生中，是男生，是女生．已知男生中有喜欢篮球，女生中有喜欢篮球．现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是（ ） A. 0.30 B. 0.26 C. 0.24 D. 0.20 【答案】B 【解析】 【分析】利用全概率公式进行计算即可. 【详解】利用全概率公式计算， 即现随机抽取一名学生，则该学生喜欢篮球的概率是， 故选：B. 8. 若圆锥的母线长为，则该圆锥体积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设圆锥的半径为，则高为， 所以该圆锥的体积为， 令 ，则， 因为，所以， 所以， 令 ， 所以，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以 ， 所以. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一只不透明的口袋内装有9张卡片，上面分别标有这9个数（1张卡片上标1个数)，从中不放回的依次抽取卡片，每次抽1张．“第一次抽取的卡片号为奇数”记为事件A，“前两次抽取的卡片号之和为偶数”记为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用全概率公式来判断A，利用条件概率乘法公式来判断B，利用条件概率除法公式来判断C，利用互斥事件概率和公式来判断D. 【详解】利用全概率公式计算：，故A正确； 由，，而，故B错误； 由，故C正确； 由，故D正确； 故选：ACD 10. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导研究函数的单调性，利用单调性比较大小即可判断AB，举反例判断C，按照、和分类讨论的符号即可判断D. 【详解】设，则， 令，即，解得， 当时，，即函数单调递增， 当时，，即函数单调递减， 因为，所以，故A正确； 因为，所以，又， 且，所以，所以，故B正确； 当时，，故选项C错误； ，当时，， 当时，，所以， 当时，，所以， 综上，，故D正确. 故选：ABD 11. 已知棱长为1的正方体的所有顶点都在以为球心的球面上，点是棱的中点，点是棱上的动点.则下列说法正确的有（ ） A. 若是棱的中点，则平面 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 棱上存在点，使得 D. 若是棱的三等分点，则过的平面截球所得的截面面积最小为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，设的中点为，通过证明四边形为平行四边形，可证得平面；对于B，通过建系设点，利用空间点到线的距离公式可求最小值；对于C，利用向量的坐标表示出夹角，计算出当时，，即可判断；对于D，由题意可求，再利用球的截面问题可直接求截面面积的最小值. 【详解】如图，设的中点为，连接， 是中点，，且， 对于A，若是中点，，且， ，且，所以四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面，故A正确； 根据题意，以为原点，以直线所在方向分别为轴建立空间直角坐标系， 设，，，， 所以点到直线的距离， 即点到直线的距离的最小值为，故B错误； 对于C，，所以， 则，当时，，即， 所以棱上存在点，使得，故C正确； 对于D，当是棱的三等分点时，点或，球心， 所以，又正方体外接球半径， 所以截面所得圆的最小半径，其面积为，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 写出命题“”的否定：_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据全称命题的否定是特称命题，写出其否定命题. 【详解】∵全称命题的否定是特称命题， ∴命题“”的否定是 故答案为： 13. 已知空间四点，，，构成梯形，则实数的值为_____． 【答案】4 【解析】 【分析】由空间四点构成梯形，则四点首先共面，利用空间向量基本定理可求，再代入验证即可. 【详解】因为空间四点构成梯形，所以四点首先共面， 则，即， ， 当时，，所以， 即，且，此时为梯形， 所以. 故答案为：4. 14. 随机变量．若，则____________；若，则p的最大值为____________． 【答案】 ①. 4 ②. ##0.75 【解析】 【分析】根据给定条件，利用方差的性质求出，再利用二项分布的期望、方差公式求解. 【详解】由，得，，又， 因此； 又，，则， 解得，而，所以当时，. 故答案为：4； 四、解答题：本大题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 设函数 （1）当时，求表达式的展开式中含有项的系数； （2）当时，求表达式的展开式中的常数项． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出的通项，然后令即可求解项的系数； （2）先求出的通项，然后令即可求解常数项. 【小问1详解】 当时，， 其展开式通项为， 令，得， 所以展开式中含有项的系数为． 【小问2详解】 当时，， 的展开式通项为， 令，得， 所以展开式中的常数项为． 16. 实现乡村振兴，开发本地资源，提高村民的收入，某村办企业研发了一种新手工产品，为确定合适的定价，统计了不同定价x（元）与网上月销量y（万件）的数据如下： x 10 12 14 16 18 y 8 7 6 5 4 （1）求相关系数r，并说明其意义； （2）建立y关于x的线性回归方程； （3）若月销量不低于5万件可保证盈利，根据回归方程预测定价最高可定为多少元？（取整数） （参考数据：，，，，） （参考公式：，） 【答案】（1），与完全负相关 （2） （3）16元 【解析】 【小问1详解】 ，， 故， 故与完全负相关． 【小问2详解】 ， 故，回归方程为． 【小问3详解】 由题设，此时，故，故定价最高为16元． 17. 甲、乙两人组队代表班级参加学校科技节的“水火箭”比赛，每轮比赛由甲、乙两人各发射火箭一次，在一轮比赛中，如果两人都射中，则得3分；如果只有一个人射中，则得1分；如果两人都没射中，则得0分.已知甲每轮射中的概率均为，乙每轮射中的概率均为.每轮比赛中甲、乙射中与否互不影响，各轮比赛的结果也互不影响. （1）若他们参加一轮比赛，求得分的概率分布列和数学期望； （2）若他们参加两轮比赛，求至少得3分的概率. 【答案】（1）分布列见解析，. （2） 【解析】 【分析】（1）由题意，随机变量的可能取值为0，1 ，3由事件的独立性与互斥性，得到的分布列，根据期望公式求解； （2）利用对立事件的概率计算方法，求出总分小于3分的概率，计算即可得出结果. 【小问1详解】 的可能取值为，， . . . 所以得分的概率分布列为： 数学期望. 【小问2详解】 至少得3分的对立事件为总分小于3分，即总分为0、1、2. 总分得0分的概率为： 总分得1分的概率为： 总分得2分的概率为： 所以总分小于3分的概率为： 所以至少得3分的概率： 18. 如图，在四棱锥中，底面是梯形，，，．平面，点为棱上的点，点为棱上的点，点为棱上的点． （1）若、分别为棱，的中点，证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值； （3）若，当取何值时，三棱锥体积取得最大． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，利用线面平行的判定定理证明平面，平面，进而利用面面平行的判定定理证明平面平面，最后利用面面平行的性质定理证明线面平行. （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用向量法求解线面角的正弦值. （3）法一：设点到平面的距离为，三棱锥体积为，利用向量法求得点到平面距离，即得点到平面距离，利用等面积法求得点到棱的距离，进而求出的面积及，利用导数法求得其最大值； 法二：由等积法可知，设，利用导数法求得其最大值． 【小问1详解】 取的中点，连接， 因为、分别为棱，的中点， 所以， 因为平面平面， 所以平面，同理平面， 因为平面， 所以平面平面， 又因为平面，所以平面. 【小问2详解】 由题意中平面得两两垂直， 以为正交基底建立空间直角坐标系， 则因为， 所以， 所以． 设平面的一个法向量， 则， 不妨设，则，即：， 设与平面所成角为， 则， 所以与平面所成角的正弦值为． 【小问3详解】 法一：设点到平面（也即平面）的距离为， 三棱锥体积为，则， 由（2）可知平面的一个法向量， 点到平面距离， 因为，所以点到平面距离． ， 所以，即为直角三角形，所以， 所以点到棱的距离为， 又因为，所以，且点到边的距离为， 所以的面积为． 所以，其中． 所以，所以， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 法二：三棱锥体积为，则， 因为，所以，， 所以， 所以， 则， 令可得，列表如下： + 0 － 递增 极大值（最大值） 递减 答：当取何值时，三棱锥体积取得最大． 19. 已知函数． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若是的极小值点，求实数的取值范围； （3）当时，若，求实数的最大值． 【答案】（1） （2） （3）2 【解析】 【分析】（1）求出导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率即可求解. （2）求出导函数，按照、、和分类讨论研究函数的单调性，结合极小值点的概念求解即可. （3）按照和分类讨论研究函数的单调性，利用单调性求出函数值域即可求解. 【小问1详解】 当时，， 所以，故， 所以曲线在点处的切线方程为． 【小问2详解】 因为，所以， 因为是的极小值点，所以，得， 所以， 当时，， 当时，；当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点. 当时，由得或. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极小值点. 当时，，不合题意. 当时，，由得或；由得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点，不合题意． 综上，实数的取值范围为． 【小问3详解】 当时，， 当时，因为（当且仅当时等号成立），所以， 所以在上单调递增，故，符合题意. 当时，令，解得， 因为，，所以，故， 所以当时，，故在上单调递减， 所以，不符合题意． 综上，实数的最大值为2． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $