2026届高三数学考前自测模拟试卷二（新高考一卷）

**基本信息** 2026届高三新高考数学全真模拟卷，通过复数、解三角形、概率统计、圆锥曲线、导数等19题（150分），考查数学抽象、逻辑推理、数学建模等核心素养，解答题融合实际情境（如乒乓球比赛概率）与综合应用（导数不等式证明），适配高考命题趋势。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数运算、集合关系、球内接圆锥体积|基础题（如集合）与能力题（函数极值）梯度分布| |填空题|3/15|二项式常数项、抛物线焦点、数列求和|注重运算能力与数学符号表达| |解答题|5/77|解三角形面积与周长、正四棱锥线面关系、椭圆斜率证明|概率题结合比赛规则（数学思维），导数题证明不等式（创新应用）|

2026届高三全真模拟数学试卷四 （新高考一卷） 【试卷说明：共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。】 注意事项： （1） 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 （2） 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 （3） 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数 ， 满足 ，，且 ，则 A.    B.    C.3   D. 2. 已知集合 ，集合 。若 ，则实数 的取值范围是 A.    B. C.    D. 3. 在 中，若 ，，则 A.2   B.    C.4   D. 4. 已知 ，则 A.    B.    C.    D. 5. 已知各项均为正数的等比数列 满足 ，，则 A.8   B.9   C.10   D.12 6. 已知球 的半径 ，该球内接有一个正圆锥。当该正圆锥的体积最大时，其高为 A.3   B.4   C.5   D. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过点 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，且与 轴交于点 。若 为线段 的中点，则双曲线 的离心率为 A.    B.    C.2   D. 8. 已知函数 有且仅有两个极值点，则实数 的取值范围是 A.    B. C.    D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列关于概率与统计的说法中，正确的是 A. 若随机变量 ，且 ，，则 ， B. 两个变量的线性相关性越强，则其经验相关系数 的绝对值越接近于1 C. 若随机变量 ，且 ，则 D. 一组数据 ，，， 的方差为 ，则数据 ，，， 的方差为 10. 已知函数 ，则下列结论正确的是 A. 是奇函数 B. 有且仅有3个零点 C. 曲线 在点 处的切线方程为 D. 若方程 有3个不同的实数根，则 11. 在棱长为2的正方体 中，动点 在正方形 的内部及其边界上运动，则下列结论正确的是 A. 若 为 的中点，则 B. 三棱锥 的体积为定值 C. 若 ，则点 运动轨迹的长度为 D. 点 到直线 的最小距离为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 展开式 中的常数项为             。 13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且满足 。记坐标原点为 ，则 的面积为             。 14. 已知数列 的通项公式为 ，记其前 项和为 ，则 \(             。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 。  （1） 求角 的大小；  （2） 若 ，且 的面积为 ，求 的周长。 16.（15分） 在正四棱锥 中，已知底面 的边长为2，侧棱长为 。点 为侧棱 的中点。  （1） 证明： 平面 ；  （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值。 17.（15分）甲、乙两人进行乒乓球比赛。根据以往的交手记录，在每一局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，比赛没有平局。现制定如下比赛规则：若有一名选手连续赢得2局比赛，则该选手获得最终胜利，比赛随之结束。 （1） 求比赛在恰好进行4局后结束的概率； （2） 设整个比赛过程总共进行的局数为随机变量 ，求 的数学期望 。 18.（17分）已知椭圆 的离心率 ，且椭圆经过点 。 （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若直线 经过椭圆 的右焦点 ，且与椭圆 交于 ， 两点。设点 的坐标为 ，记直线 与 的斜率分别为 与 。请证明： 恒成立。 19.（17分）已知函数 （其中 为自然对数的底数）。 （1） 当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2） 若对任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围； （3） 请证明：对任意正整数 ，均有 。 参考答案 一、单项选择题 1.B   2.C   3.B   4.B   5.B   6.B   7.A   8.B 二、多项选择题 9.ABC   10.ABC   11.BCD 三、填空题 12.   13.   14. 四、解答题 15. 解： （1） 在中，由正弦定理可将 转化为：。因为 ，代入上式化简得：。即 。 由于在中 ，两边同除以得到 ，即 。因为 ，故 。 （2） 由题意，的面积 。代入 ，得 ，解得 。由余弦定理得 ，即 。将其配方为 。把 代入，得 ，解得 ，因为 ，故 。因此，的周长为 。 16. 证明与解： （1） 设正方形的对角线与交于点，连结。在中，由于是正方形，所以为中点；又已知为中点。由三角形中位线定理可知：。又 平面， 平面，所以 平面。 （2） 由题意，正四棱锥的高 。底面对角线 ，故 。。以为原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系。则 ，，，，。点为中点，则 。向量 。平面的两个方向向量为 ，。设平面的法向量为 ，则 ，解得令 ，则 ，，取 。，。故直线与平面所成角的正弦值为 。 17. 解： （1） 比赛在第4局结束，意味着在第4局时某人连赢了两局，且在第3局时并未结束。这就要求前四局的赛果必须是“乙、甲、乙、乙”或者“甲、乙、甲、甲”。若为“乙、甲、乙、乙”，概率为 。若为“甲、乙、甲、甲”，概率为 。故恰好进行4局结束的概率为 。 （2） 设初始状态下，距离比赛结束还需要进行的期望局数为；设当前甲赢了1局（且未结束）时，距离比赛结束还需的期望局数为；设当前乙赢了1局（且未结束）时，距离比赛结束还需的期望局数为。根据全期望公式可得状态转移方程： （甲若再赢概率 ，游戏结束不局加数；若乙赢概率 ，转移至乙赢1局的状态） 将 代入 得：。解得 。代回得 。故所求期望 。 18. 证明与解： （1） 由题意知，椭圆的离心率 ，即 ，从而 。椭圆方程可设为 。将点 代入得：，解得 。从而 。故椭圆 的标准方程为 。 （2） 由 （1） 知椭圆右焦点为 ，点 的坐标为 。若直线 的斜率不存在，即 ，此时 ，，则 ，， 成立。若直线 的斜率存在，设 ，，。将直线方程代入 ，整理得 。由韦达定理知 ，。 分子化简为 。将韦达定理结果代入分子，得 。因此 恒成立。 19. 证明与解： （1） 当 时，，则 。在 处，，切线斜率 。故切线方程为 ，即 。 （2） 易知 。，显然 。。当 时，对任意 ，均有 。故 在 上单调递增，所以对于 ，。进而 在 上单调递增，则 恒成立，符合题意。 当 时，存在 ，使得当 时，。这说明 在 上单调递减，于是当 时，。同理 在 上单调递减，则当 时，，不合题意。综上所述，实数 的取值范围是 。 （3） 由 （2） 可知，当 时， 对 恒成立，即 。因为当 时，，故对于任意 ，都有 ，两边取自然对数得 。令 （），则有 。要证 ，即证 。设 。利用错位相减法，。两式相减得：。从而 。由于 ，所以 ，因此 。所以 。故原不等式 成立。得证。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届高三全真模拟数学试卷四 （新高考一卷） 【试卷说明：共4页，19小题，满分150分。考试时间120分钟。】 注意事项： （1） 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 （2） 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 （3） 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将答题卡交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知复数 ， 满足 ，，且 ，则 A.    B.    C.3   D. 2. 已知集合 ，集合 。若 ，则实数 的取值范围是 A.    B. C.    D. 3. 在 中，若 ，，则 A.2   B.    C.4   D. 4. 已知 ，则 A.    B.    C.    D. 5. 已知各项均为正数的等比数列 满足 ，，则 A.8   B.9   C.10   D.12 6. 已知球 的半径 ，该球内接有一个正圆锥。当该正圆锥的体积最大时，其高为 A.3   B.4   C.5   D. 7. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，，过点 作双曲线 的一条渐近线的垂线，垂足为 ，且与 轴交于点 。若 为线段 的中点，则双曲线 的离心率为 A.    B.    C.2   D. 8. 已知函数 有且仅有两个极值点，则实数 的取值范围是 A.    B. C.    D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 下列关于概率与统计的说法中，正确的是 A. 若随机变量 ，且 ，，则 ， B. 两个变量的线性相关性越强，则其经验相关系数 的绝对值越接近于1 C. 若随机变量 ，且 ，则 D. 一组数据 ，，， 的方差为 ，则数据 ，，， 的方差为 10. 已知函数 ，则下列结论正确的是 A. 是奇函数 B. 有且仅有3个零点 C. 曲线 在点 处的切线方程为 D. 若方程 有3个不同的实数根，则 11. 在棱长为2的正方体 中，动点 在正方形 的内部及其边界上运动，则下列结论正确的是 A. 若 为 的中点，则 B. 三棱锥 的体积为定值 C. 若 ，则点 运动轨迹的长度为 D. 点 到直线 的最小距离为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12. 展开式 中的常数项为             。 13. 已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线 上，且满足 。记坐标原点为 ，则 的面积为             。 14. 已知数列 的通项公式为 ，记其前 项和为 ，则 \(             。 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（13分） 在 中，内角 ，， 的对边分别为 ，，，已知 。  （1） 求角 的大小；  （2） 若 ，且 的面积为 ，求 的周长。 16.（15分） 在正四棱锥 中，已知底面 的边长为2，侧棱长为 。点 为侧棱 的中点。  （1） 证明： 平面 ；  （2） 求直线 与平面 所成角的正弦值。 17.（15分）甲、乙两人进行乒乓球比赛。根据以往的交手记录，在每一局比赛中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，比赛没有平局。现制定如下比赛规则：若有一名选手连续赢得2局比赛，则该选手获得最终胜利，比赛随之结束。 （1） 求比赛在恰好进行4局后结束的概率； （2） 设整个比赛过程总共进行的局数为随机变量 ，求 的数学期望 。 18.（17分）已知椭圆 的离心率 ，且椭圆经过点 。 （1） 求椭圆 的标准方程； （2） 若直线 经过椭圆 的右焦点 ，且与椭圆 交于 ， 两点。设点 的坐标为 ，记直线 与 的斜率分别为 与 。请证明： 恒成立。 19.（17分）已知函数 （其中 为自然对数的底数）。 （1） 当 时，求曲线 在 处的切线方程； （2） 若对任意 ，恒有 成立，求实数 的取值范围； （3） 请证明：对任意正整数 ，均有 。 学科网（北京）股份有限公司 $