精品解析：四川省富顺县永年中学校2025-2026学年高二下学期摸底考试数学试题

四川省富顺县永年中学校2025-2026学年高二下学期摸底考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据、、、、、、、的众数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由众数的定义可知，数据、、、、、、、的众数为. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由，可得，解得，故集合; 由，解得，故集合， 故． 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【详解】因为， 所以. 因为， 所以， 解得. 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定函数的定义域与单调性，再计算各区间端点的函数值，结合零点存在性定理判断零点所在区间. 【详解】由函数可知，函数的定义域为， 又与在上单调递增，所以函数在上单调递增， 因为， 所以，根据零点存在性定理可知，函数的零点所在区间为. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，则，则 ， ． 6. 已知等差数列的前项和为，且，若，则可能的值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用等差数列前n项和公式结合推导公差与首项的关系，再由余弦函数值得到的表达式，结合选项确定的值. 【详解】设等差数列的公差为，. 因为，，所以，整理得. 所以. 已知，因此，即. 则. 结合选项，取，得. 7. 某快递公司记录了一周内每天完成的订单量（单位：百单），数据如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 订单量 3 5 2 6 4 8 7 公司规定：若某天订单量不低于五百单，则记为“繁忙日”，否则记为“普通日”．定义函数且表示从周一到周日中任选连续的天，“繁忙日”出现次数的最大值．现从7天中随机选择连续的3天，记这3天中“繁忙日”的个数为随机变量，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】A 【解析】 【分析】根据题目先确定“繁忙日”和“普通日”，再求，确定的取值，最后求概率、期望和方差. 【详解】由题意可知周二（5）、周四（6）、周六（8）、周日（7）为“繁忙日”，其余为“普通日”. 因为函数且表示从周一到周日中任选连续的天，“繁忙日”出现次数的最大值， 所以，，，， ，，，选项C和选项D错误. 从7天中随机选择连续的3天，共有种不同的组合，分别是： 周一、周二、周三，记为组合1，其中“繁忙日”有1天； 周二、周三、周四，记为组合2，其中“繁忙日”有2天； 周三、周四、周五，记为组合3，其中“繁忙日”有1天； 周四、周五、周六，记为组合4，其中“繁忙日”有2天； 周五、周六、周日，记为组合5，其中“繁忙日”有2天； 记这3天中“繁忙日”的个数为随机变量，所以的所有可能取值为1、2， 且，，A选项正确. 所以，，B选项错误. 8. 在平面直角坐标系中，定义“-伴随点”：若点与点关于直线对称，则称为的“-伴随点”．已知椭圆上存在点，使得的“-伴随点”恰好也在椭圆上，则满足条件的点的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设点求对称坐标，代入椭圆方程联立分析. 【详解】设点，其关于直线的对称点为，则， 的中点在对称轴上，， 解得, , 已知在椭圆上，满足(1) 又因为对称点也在椭圆上，将代入椭圆方程, =1 两边同乘，展开整理得 (2) 将方程 (2) 减去方程 (1) 乘以，消去常数项后化简，可得两个椭圆的公共点必在两条过原点的直线上, 因式分解得两条直线, 直线与椭圆的交点 代入椭圆方程：，解得, 对任意实数，右边恒正，因此始终有2 个不同的交点,这两个点在对称轴上，对称点为自身，必然满足条件, 直线与椭圆的交点 代入椭圆方程：，解得, 当时，右边恒正，因此也有2 个不同的交点, 这两个点不在对称轴上，它们互为对方的对称点，均满足 “对称后仍在椭圆上”, 当时（直线非 x 轴，非椭圆的对称轴），两条直线互不重合，与椭圆共有4 个不同的公共点，即满足条件的点有 4 个, 因此满足条件的点的个数为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得部分分．有错选的得0分． 9. 已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】，共轭复数，则 ，故A错误； ，故B错误； ，故C正确； ，故D正确． 10. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线EF与所成角余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 【答案】BC 【解析】 【分析】如图建立以D为原点的空间直角坐标系，然后以空间向量知识结合选项可得答案. 【详解】如图建立以D为原点的空间直角坐标系. 对于A，，，，，从而，， ，则不与垂直，故A错误； 对于B，，则，从而异面直线EF与所成角余弦值为，故B正确； 对于C，，其中表示到平面距离，由题可得为，从而，故C正确； 对于D，易得平面的法向量可取，则直线EF与平面ABCD所成角正弦值为，故D错误. 11. 在棱长为2的正方体中，点为侧面上的一个动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点的轨迹与棱相交 C. PA的最小值为 D. 直线与平面ABCD所成角的正切值最大为2 【答案】ABC 【解析】 【分析】在正方体中，利用空间直角坐标系设出动点坐标，根据动点的移动轨迹判断选项即可． 【详解】 如图建立空间直角坐标系，则，其中； 因为，可得： ，整理可得，故； 则，解得 因此P点轨迹从到， 故轨迹长度为，A正确； 由P点坐标中可知，当时，在棱上，B正确； 因为，， 当时，取得最小值，最小值为，故C正确； 因为，故， 设为平面的法向量， 设直线与平面ABCD所成角为，则， ， 则，； 令，则， 故在上单调递减，故的最小值为， 故的最大值为， 故直线与平面ABCD所成角的正切值最大取不到2，D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将正确答案写在答题卡上． 12. 的展开式中的常数项为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据二项式展开式的通项公式，将代入通项中即可得到常数项. 【详解】展开式通项为：； 令，解得：，展开式中的常数项为. 故答案为：. 13. 从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取三个不同的数字，组成一个三位数，则组成的三位数是偶数的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】先算出所有无重复数字的三位数的总个数，再按个位是否为0分类计算偶数的个数，代入古典概型概率公式求解可得答案. 【详解】首先计算无重复数字的三位数的总个数： 组成三位数时百位不能为0，因此百位有5种选择，十位从剩余的5个数字中选取，个位从剩余的4个数字中选取，总共有个不同的三位数. 再计算符合条件的偶数个数，分两类讨论： 个位为0时，百位从剩余5个非0数字中选取，十位从剩余4个数字中选取，共有个偶数； 个位为2或4时，个位共2种选择，百位不能为0且不能与个位数字重复，共4种选择，十位从剩余4个数字中选取，共有 个偶数. 因此满足条件的偶数总共有个. 根据古典概型概率公式，所求概率. 14. 已知数列满足，且对任意，则____________． 【答案】 【解析】 【详解】已知，根据递推式可知 ， ，  ， ， 因此是周期为4的周期数列，. 由于，故. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）将点A坐标代入抛物线方程求解p即可得抛物线方程； （2）设直线方程联立抛物线，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式求斜率. 【小问1详解】 已知点在抛物线上， 代入方程得，解得，因此抛物线的方程为. 【小问2详解】 由（1）得抛物线焦点. ①当直线斜率不存在时，则，代入得，此时，不合题意； ②当直线斜率存在时，设直线方程为，， 联立方程得，整理得，恒成立， 由韦达定理得. 则，因此， 所以，解得，即，因此直线的方程为或. 16. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立． （1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）若比赛采用五局三胜制，求甲获胜的概率； （3）比较（1）（2）中甲获胜的概率大小，并说明：对实力占优的一方，比赛局数越多对其越有利． 【答案】（1） （2） （3） 五局三胜制下甲获胜的概率更大； 说明：实力占优的一方单局获胜概率大于，比赛局数越多，单局胜负的偶然性影响越低，累计获胜概率越高，因此比赛局数越多对实力占优方越有利. 【解析】 【分析】（1）（2）利用独立事件概率公式和互斥加法概率公式，分类讨论甲获胜的不同比分情况计算对应概率； （3）比较概率大小验证结论即可. 【小问1详解】 三局两胜制下，甲获胜为两类互斥事件的和： ① 前2局甲全胜，直接结束比赛； ② 前2局甲1胜1负，第3局甲获胜. 由各局比赛相互独立，得. 【小问2详解】 五局三胜制下，甲获胜为三类互斥事件的和： ① 前3局甲全胜；② 前3局甲2胜1负，第4局甲获胜； ③ 前4局甲2胜2负，第5局甲获胜. 由各局比赛相互独立，得 . 【小问3详解】 对两个概率进行比较得，即五局三胜制下甲获胜概率更高. 说明略. 17. 在四面体ABCD中，，点为棱BC的中点． （1）证明：； （2）求直线DE与平面ABC所成角的正弦值． 【答案】（1） 证明：连接，； 因为，点为棱BC的中点，故； 又，故； 因为，平面，故平面， 因为平面，故． （2）． 【解析】 【分析】（1）在空间中证明异面直线垂直，可以转化为线面垂直，利用线面垂直的性质证明线线垂直； （2）由（1）可得平面，通过线面角的作角方法，证明线面角，利用三角形求解线面角的正弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，平面，因为平面，故平面平面， 因为，则； 又因为，则； 则，故， 因为平面平面，则平面； 则直线DE与平面ABC所成角为， 故， 故直线DE与平面ABC所成角的正弦值为． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：函数在区间上没有零点． 【答案】（1） （2） （3）当时，， 由（2）知 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，故函数在区间上没有零点. 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用导数的几何意义，即可求解； （2）分三种情况，利用导数与函数单调性的关系及函数的性质，分别求出的最大值，再结合题设条件，即可求解； （3）利用（2）中的结果，即可求解. 【小问1详解】 当时，，则，， 又，则曲线在点处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，易知的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以，满足题意， 当时，令，得到或 当时，当时，，当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，所以， 因为对任意恒成立，所以，解得， 当时，，当时，， 所以时不合题意， 综上所述，实数的取值范围为. 【小问3详解】 略 19. 已知数列满足，且对任意都有． （1）证明：； （2）求数列的前项和； （3）证明：对任意，都有． 【答案】（1）由，得， 所以，即. （2） （3）， 由，有，即 所以，即对任意，都有． 【解析】 【分析】（1）由已知得，代入中可证得结论； （2）利用和，裂项相消求数列的前项和； （3）证明，可得，得到结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知， 则 又，所以 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省富顺县永年中学校2025-2026学年高二下学期摸底考试数学试题 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 数据、、、、、、、的众数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 1 4. 函数的零点所在区间为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知等差数列的前项和为，且，若，则可能的值为（ ） A. B. 1 C. D. 7. 某快递公司记录了一周内每天完成的订单量（单位：百单），数据如下： 星期 一 二 三 四 五 六 日 订单量 3 5 2 6 4 8 7 公司规定：若某天订单量不低于五百单，则记为“繁忙日”，否则记为“普通日”．定义函数且表示从周一到周日中任选连续的天，“繁忙日”出现次数的最大值．现从7天中随机选择连续的3天，记这3天中“繁忙日”的个数为随机变量，则下列说法正确的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 8. 在平面直角坐标系中，定义“-伴随点”：若点与点关于直线对称，则称为的“-伴随点”．已知椭圆上存在点，使得的“-伴随点”恰好也在椭圆上，则满足条件的点的个数为（ ） A. 0 B. 2 C. 4 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分、部分选对的得部分分．有错选的得0分． 9. 已知复数，为的共轭复数，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱BC的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 异面直线EF与所成角余弦值为 C. 三棱锥的体积为 D. 直线EF与平面ABCD所成角正弦值为 11. 在棱长为2的正方体中，点为侧面上的一个动点，且满足，则下列说法正确的是（ ） A. 点的轨迹长度为 B. 点的轨迹与棱相交 C. PA的最小值为 D. 直线与平面ABCD所成角的正切值最大为2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．将正确答案写在答题卡上． 12. 的展开式中的常数项为_______． 13. 从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取三个不同的数字，组成一个三位数，则组成的三位数是偶数的概率为____________． 14. 已知数列满足，且对任意，则____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上． （1）求抛物线的方程； （2）过点作直线交抛物线于P，Q两点，若，求直线的方程． 16. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，且各局比赛结果相互独立． （1）若比赛采用三局两胜制，求甲获胜的概率； （2）若比赛采用五局三胜制，求甲获胜的概率； （3）比较（1）（2）中甲获胜的概率大小，并说明：对实力占优的一方，比赛局数越多对其越有利． 17. 在四面体ABCD中，，点为棱BC的中点． （1）证明：； （2）求直线DE与平面ABC所成角的正弦值． 18. 已知函数，其中． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若对任意恒成立，求实数的取值范围； （3）若，证明：函数在区间上没有零点． 19. 已知数列满足，且对任意都有． （1）证明：； （2）求数列的前项和； （3）证明：对任意，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $