四川宜宾市第一中学校2025-2026学年高二下学期期末模拟数学试卷一

宜宾市一中2024级高二下期期末模拟试卷一 数学试题 命题人：张兰方 审题人：何曦 满分150分 考试时间：120分钟 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求.) 1.已知函数f(x)=Vx,那么f'(x)等于() 1 1 B.左 C. 2 D.-2x 2.函数f()=3+1nx的单调递增区间为() A.（-,3) B.(3,+oo) C.(0,+o) D.(0,3) 3.为了解性别与体育锻炼是否有关，采取简单随机抽样的方法抽取50名学生，得到成对样本观测数据的 分类统计结果，如表所示（单位：人），根据数据计算，并依据小概率值α=0.001的独立性检验，附： n(ad-be) -(a+b)(eta)(ave)od P(x2≥10.828)=0.001，下列结论正确 锻炼 合计 的是() 不经常 经常 A.性别与体育锻炼有关 B.性别与体育锻炼有关，此推断犯错误的概率不超过0.001 女生 15 5 20 C.性别与体育锻炼无关 男生 10 20 30 D.性别与体育锻炼无关，此推断犯错误的概率不超过0.001 合计 25 25 50 4.为调查某企业年利润Y(单位：万元)和它的年研究费用x(单位：万元)的相关性，收集了5组成对 数据(x,y),如表所示： 50 60 70 80 100 由上表中数据求得Y关于x的经验回归方程为)=12x+a,据此计算出样本点(4,80)处的残差为（) A.-4 B.-5 C.4 D.5 数学模拟一试卷第1页共4页 ▣紫▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 5.在(2-x)“的展开式中，所有二项式系数的和为32，则x的系数为() A.-80 B.-40 C.40 D.80 6.有7件产品，其中3件是次品，从中每次取1件，不放回地任取3次，若X表示取得次品的件数，则 P(X>1)=() A号 c塔 D 7、已知函数f(x)=x(x-a)2在x=1处取得极大值，则a的值是（) A.3 B.2 C.1 D.0 8.已知函数f(x)= 2x+exs0'若m<n且/(m-/(网，则2m-n的取值范围为() e,x>0 A.(-e,-] B.[1-e,-l] C.(-1,e-1] D.(1-e,-1] 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题所给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 9.在5道试题中有3道代数题和2道几何题，每次从中随机抽出1道题，抽出的题不再放回.设事件A=“第 1次抽到代数题”，B=“第2次抽到几何题”，则() AP=品B.Pa=云 3 C.P团0-号 a.P@刀=克 10.已知函数h(x)=e-x,x∈R.则下列说法正确的是() A.h(x)在x=0处取得最小值 B.对任意x∈R,都有h(x+1)-h(x)>1 C.对任意a>0,函数h(x+a)-h(x)关于x单调递增 D.方程h(x)=h(-x)有且仅有一个实根 11.将函数f(x)=l山x+cosx的所有极值点按照从小到大的顺序排列，得到数列{x(n∈N),则对于任意 的正整数k,有（) A.X2-x< B.x2是极小值点 C.X2k+2-X2k<2n D.f(x)<n(2)+1 第IT卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 数学模拟一试卷第2页共4页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 12.若随机变量X~N(2,σ2)且P(X>1)=0.8,则P1<X<3)= 13.现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已经确定甲参加且跑第1棒或第4 棒，乙只能跑第2,3棒那么合适的选择方法种数为 14.若-hx-(ae-刘s0恒成立，则实数a的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共7分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15.(13分)已知公比不为1的等比数列{an}的前n项和为Sn,且4=1,44=3a-2a2. (I)求{am}的通项公式； 1 (2)若bn=1og2(Sn+1),求数列 的前n项和T,. 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为4的正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD⊥ 底面ABCD,E是PD的中点. (1)证明：AE⊥PC. (2)求直线AD与平面ACE所成角的正弦值. 17.15分)某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同.甲每道题自己有把握独立答对的概率为；， 若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为P,假设每 道题答对与否互不影响、 ()当p=时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X求E(X)和D(X)· (2②)乙答对每道题的概率为子（含亲友团八，现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的 个数多的概率不低于5， 12 求甲的亲友团每道题答对的概率卫的最小值、 数学模拟一试卷第3页共4页 ▣口 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 18.7分列)尼知圆C:若+号=4(0>6>)的右焦点F传0，短轴长为2 (1)求椭圆C的方程： (2)记O为坐标原点，直线x-my-1=0与椭圆C交于A,B两点，过点A作直线x=2的垂线，垂足为D. (i)求证：直线DB恒过定点： (ii)求AODB面积的取值范围. 19.(17分)已知函数fy=axhx,aeR. (I)当a=1时，求fx)在区间[1，e]上的最大值与最小值； 2)若函数g()=e+m2-xfc片1]有三个不同的极值点，，· (i)求实数a的取值范围； (若g)6G24e,求实数2的取值志围 e2 数学模拟一试卷第4页共4页 Q夸克扫描王 ▣▣ 极速扫描，就是高效 宜宾市一中2024级高二下期期末模拟试卷一数学参考答案 题号 2 3 4 5 6 8 9 10 11 答案 B A B B D AC ACD ABD 8.D【详解】f(x)图像如图、设f(m)=f(n)=t则t∈(1，e]. 所以m=【-e 2,n=lnr ,:2m-n=t-e-int, 设g()=t-e-t,则g(d=1-1--1 所以g()在(1，e上单调递增.g(1)=1-e，g(e)=-1. 所以t∈(1，e时，g(t)∈(1-e,-1]. 10.ACD【详解】由h(x)=e-x,得h(x)=e-1 当x<0时，H(x)<0;当x>0时，Y(x)>0.所以h(x)在x=0处取得最小值.故A正确； 当a.=1时，h(x+1)-h(x)=e*(e-11. 令x→-o,有e*(e-1)-1→-1.故不可能对任意x∈R都有h(x+1)-(x)>1.B错误. 对任意a>0,(x+a)-h()=ea(x+(e-=e(e°--6. 对x求导得[h(x+a)-h(x)]=e(e-)>0.所以h(c+a)-h(x)关于x单调递增.故C正确. 方程h(x)=h(-x)等价于e*-x=ex+x,即e*-e*=2x, 令p(x)=e-ex-2x.则p(0)=0, 且p'(x)=e*+e-220.除x=0外，p'(x)>0, 故(x)严格递增，只有一个零点0.所以方程有且仅有一个实根.故D正确. 1.ABD【详解】由f()=hx+cosx,得f()=-sinx,令f()=0,得-sinx=0,即5=sinx, 作出函数y=及y=sinx在(0，+o)上的图象，根据图象可知， 对于A,引经所以与-eQ列，故A正确， 对于B,当x∈()时，士<血x,了()<0，即f冈)在（长，4）上单调递减： 答案第1页共6页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 . 当x∈(kH)时，二>sinx,:f(x)>0,即f()在(，k)上单调递增， k为∫(x)极小值点，x为f(x)极大值点，·B正确： 则为+2πe2kπ+，2k元+元，而sin(x4+2)=sinx= x2k sinx2+2= ，而4<52，则>，得到1+2树>如a, X2k+ X2kX2k+2 由正弦函数性质得y=sinx在2+兀，2a+元上单调递减， 则x2+2元<x2k2,得到x+2-x2k>2元，故C错误， 对于D,f(x)在(xk,xk)上单调递增，x2k<2<21 ∴f(s)<f(2m)=n(2m计cos2k=ln(2km计1，D正确. 12.0.6 13.9614.[1,+o) 4【详解1设/倒=1-血xx>0,了闪=-士=0，得x1, 当0<x<1时，'(x)>0,f(x)单调递增，当x>1时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 所以当x=1时，取得最大值，f()=0,即f(x)≤0恒成立， 设g()=ae-x,由条件-nx-ac-0恒成立，得g(创=ae-x20恒成立，即a≥六恒成 立，设()=点，-=二=0，得x=1,当0<x<1时，(>0，单调递增， 当x>1时，h(x)<0,h(x)单调递减，所以x=1时，取得最大值h(1)=1,则a≥1. 15.【详解】(1)设等比数列{an}的公比为9，且9≠1， a4=3a-2a2,.a4-a3=2a-2a2,由等比性质可知a4-43=g(4-a2), 因为9≠1，所以4，-4，≠0，g=0-4=2, a3-a2 a=%=2 …6分 2)因为S,2二3=2”-1，则6=10g,S,+0=1g29 答案第2页共6页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 所以红-+#写+（合动（点+} 32n+3 42(n+10(n+2) …13分 16.【详解】(1)因为底面ABCD是正方形，所以CD L AD, 又因为平面PAD⊥平面ABCD,且平面PADO底面ABCD=AD,CDC底面ABCD, 所以CD⊥平面PAD, 因为AEc平面PAD,所以CD⊥AB. 又因为△PAD是正三角形，E是PD的中点，所以AE⊥PD: 因为CD∩PD=D,且CD,PDc平面PCD,所以AE⊥平面PCD, 又因为PCC平面PCD,所以AE⊥PC.…6分 (2)解法1：作DF⊥CB,垂足为F,连接AF. 因为平面ACE⊥平面PCD,平面ACEA平面PCD=CE,且DFc平面PCD,DF⊥CE, 则DF⊥平面ACE、 所以AF为AD在平面ACE上的射影，∠FAD为直线AD与平面ACE所成的角， 因为CD⊥平面PAD,PDc平面PAD,所以CD上PD. 因为DB=1PD=2,CD=4,所以CB=√DE2+CD2=25, 2 因为S6cnE=2 CEDF=CD-DE=x4x2=4,所以DF=5 在RADF中，Sim∠FAD=DF-=5 AD 5 所以直线AD与平面ACE所成角的正弦值为 5 …15分 解法2：以D为坐标原点，分别以DA,DC所在直线为x,y轴，过D作平面ABCD的垂线为z轴，建立空间 直角坐标系.已知底面ABCD边长为4，△PAD是正三角形， 所以D(0,0,0),A(4,0,0),C0,4,0)P2,0,2B),则AD=(-4,0,0), 因为E是PD的中点，故E0,V5),所以AC=(-4,4,0),正=（←3,0,5)， 设平面ACE的法向量为%=(xy,2), 石。。-u同 所以 即 %·A亚=0 设直线AD与平面ACE所成的角为日， 答案第3页共6页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 则si血0=os(而，是 D45 历4×55 所以直线D与平面ACE所成角的正弦值为5 …15分 17.【详解】(1)因为甲每道题答对的概率均为：+-×=，则X~84马， 2 255 所以0=4号号0c幻=4号若 5525 …6分 (2)记事件A为“甲答对了i道题”，事件B,为“乙答对了i道题”， 关中甲音对某道西的极率为分+P=0+p叭，答错装道愿的餐率为1-一0+p-0-p)。 则P40=c0+00-p列=0-，P)-号a+F-a+, 2 4 a--5ra-c号 1、2 1 所以甲答对题数比乙多的概率为： P(4B U4BU4B)=P(AB)+P(4B)+P(4B) “0-p0+pr甘好0+p旷号元r+10+02品解得p≥号 4 所以甲的亲友团答对的概率卫的最小值为………15分一 18.【详解】(1)依题意可知20：-6.1，解得a=反，b=1, 所以椭圆C的标准方程为号十=1.4分 2 x=my+1 2)(D设4，，B(:,%,D(2,X),依题意{2+2y=2得(m2+2列+2m-1=0, 4+4小+p0%+器以29。 -1 所以之。-冬兰，即得直线DB的方程为：y=片之-2列+X0 七2-2 由图形的对称性可知，若动直线DB过定点，则定点一定在x轴上， 所以令y=0代入①，可得x-2=男当二2-男+)-2m+》 'y- 2-4 y2一y 1 由(*)得m4=2(y+2), 答案第4页共6页 ▣▣ Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效 ▣ 所以220+为+4 0-)1得x= y2一乃 所以直线DB恒过定点H …12分 ()由(0可知直线D8恒过定点〔侵，0， 所以S.o=S.om+S.om=2oab+21oall=2oHy-以=子V0+½广-4y, 将(*)代入得So0B= 3m+4-38m+03正红】 4m2+2m2+24m2+22m2+2 设=m+1e儿ew）,则S.a=之+12 1 因为+22，所0<1s t+- 所以.o=31 e0. 2 4 …17分 t+- 19.【详解】(1)当a=1时，f()=x-x,()=+nx一， x2 当x∈[1，e]时，f'(x)≥0，所以f(x)在[1，e]上单调递增， 所以fn=f0=1,fs=f(e=e-君 …4分 （2))由题知g()=+a2-[对+川-空-x+h 则gy=g-le-1+片ae-x-,xe0,to x2 x 当a≤0时，ae*-x<0,方程g(x)=0只有唯一解1，显然不合题意； 当a>0时，由g()=0,可得x=1,或a=三， 令m()=之，xe0+o),则m()-1。 当x∈(0,1)时，m'(x)>0,m(x)在(0,1)上单调递增： 当x∈(1，+o)时，m'(x)<0,m(x)在(1，+o)上单调递减； 所以m(勾在x=1处取得最大值，此时m)=日， 答案第5页克 Q夸克扫描王 极速扫描，就是高效同常 又当x→0*时，m(x)→0*，当x→+o时，m(x)→0*， 要使g(x)在定义域内有三个不同的极值点，x2,x, 需使m(x)的图象与直线y=a有两个不同的交点，即得0<a< e 所以实数a的取值范围是 …10分 (ⅱ)不妨设<x2<x, ,则0.<￥<1=为<为，所以a=兰=。号，即ae=x,ae为=， e 所以nx=x+lna,血3=x+lna, 所以e6(5+je+】 =(ae-1)(1-x+nx)1-x+l血x)=(ae-l0(1+lna)2, 令po-(ae-0aaf,0<a日，则w(o-0+af3e+ena-2引 易知y=3+eha-在a(0)上单调增， 0 所以3e+e血a-a 3e+elh1-2e=0,又1+na<1+ln=0, 所以(a)>0,即(a)在Q)上单调递增， 因为月-台]0-旷--.则当a[}时，恒有回4. 即当ae[日为时，6)g)8s)24-e1恒成立。 e2 所以实数a的取值范围是 T11 …17分 答案第6页共6页 O夸克扫描王 极速扫描，就是高效同野