第三单元 因数和倍数（5大考点，7大易错点，4大题型）-25-26学年苏教版五年级下册高频易错期末专项复习讲义

第三单元《因数和倍数》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 因数与倍数基础概念 以填空、选择、判断基础题型考查，侧重概念辨析，考查因数倍数的相互依存关系、找因数找倍数的方法，是本单元基础必考内容。 2、3、5的倍数特征 期末高频基础考点，单独考查数的判断、组数问题，常结合奇数、偶数综合考查，是填空、选择高频出题点。 质数、合数与分解质因数 重点考查质数合数的区分、1的特殊性、唯一偶质数2，考查分解质因数规范写法，常以判断题、计算题形式考查。 公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数 本单元重难点，期末解答题核心考点，涵盖求最大公因数、最小公倍数，结合生活实际解决裁剪、分组、周期问题，是拉分核心题型。 核心考点总结 1、因数与倍数的基本概念 （1）定义：在非0自然数范围内，如果a×b=c（a、b、c均为不为0的自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 （2）核心特征：因数和倍数相互依存，不能单独说某个数是因数或倍数。 （3）因数特点：一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 （4）倍数特点：一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 2、2、3、5的倍数特征（必考） （1）2的倍数：个位是0、2、4、6、8的数，即为偶数；不是2的倍数是奇数。 （2）5的倍数：个位是0或5的数。 （3）3的倍数：各位上数字的和是3的倍数，与个位数字无关。 （4）同时是2和5的倍数：个位一定是0。 （5）同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字和是3的倍数。 3、质数与合数 （1）质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。最小的质数是2，2是唯一的偶质数。 （2）合数：除了1和它本身，还有其他因数的数，合数至少有3个因数。最小的合数是4。 （3）特殊数：1既不是质数，也不是合数。 （4）自然数分类（非0）：按因数个数分为1、质数、合数三类。 4、分解质因数 （1）定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （2）方法：短除法、列举法，分解结果必须全部为质数相乘。 （3）注意：质数不能分解质因数，分解结果要写标准相乘形式。 5、公因数与公倍数 （1）公因数：几个数共有的因数，个数有限，其中最大的是最大公因数。 （2）公倍数：几个数共有的倍数，个数无限，其中最小的是最小公倍数。 （3）互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质的两个数，最小公倍数是它们的乘积。 本单元高频易错点汇总 易错点1：因数倍数概念孤立表述 错因：单独说“2是因数，6是倍数”，忽略相互依存关系。 纠正：必须完整表述：2是6的因数，6是2的倍数。 易错点2：误解因数、倍数大小关系 错因：认为因数一定比数小，倍数一定比数大。 纠正：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 易错点3：2、3、5倍数特征混淆 错因：判断3的倍数只看个位，与2、5倍数特征混淆。 纠正：3的倍数看各位数字之和，不看个位。 易错点4：质数合数判断失误 错因：误认为所有偶数都是合数，所有奇数都是质数。 纠正：2是偶数但为质数；9、15是奇数但为合数。 易错点5：忽略1和0的特殊性 错因：忘记1既不是质数也不是合数；研究因数倍数只针对非0自然数。 纠正：因数倍数不包含0，1是最特殊的自然数。 易错点6：分解质因数书写不规范 错因：分解结果包含合数、书写成加法、漏写相乘形式。 纠正：结果必须是质数相乘，等式左边写原数，右边写质因数乘积。 易错点7：最大公因数、最小公倍数混淆 错因：解决实际问题时，分不清该求最大公因数还是最小公倍数。 纠正：裁剪、分组、平均分问题求最大公因数；相遇、周期、下次同时发生问题求最小公倍数。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 概念辨析题型 判断：因为3×4=12，所以3是因数，12是倍数。（ ） 精讲分析：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在，正确表述为3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 易错提醒：考试严禁孤立描述因数和倍数，此类表述一律错误。 例题2 数的特征判断与组数组题型 下面数中，同时是2、3、5的倍数的是（ ）。 A．15 B．20 C．30 D．35 精讲分析：同时是2和5的倍数，个位必须是0，排除A、D；再满足3的倍数，30各位和为3，是3的倍数，符合全部条件。 易错提醒：不要只满足两个条件，做题必须核对全部要求。 例题3 分解质因数与公因数公倍数计算题型 求12和18的最大公因数和最小公倍数。 精讲详解 短除得公共质因数：2、3 最大公因数：2×3=6 最小公倍数：2×3×2×3=36 易错提醒：最大公因数只乘公共部分，最小公倍数要乘全部质因数，切勿混淆。 例题4 因数倍数综合应用题 把一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸，裁成同样大小的正方形且没有剩余，正方形边长最大是多少厘米？ 精讲详解 题意求最大正方形边长，即求24和18的最大公因数。 24和18的最大公因数是6。 答：正方形边长最大是6厘米。 易错提醒：看到“最大、最多、平均分、无剩余”优先判断求最大公因数。 四大题型 题型一、概念辨析题型（选择、判断、填空必考） 题型总述：基础小题必考，侧重概念抠细节，陷阱多，重点考查因数倍数、奇偶性、质数合数的基础判断。 解题妙招：牢记相互依存、1的特殊性、2是唯一偶质数、3的倍数看和，逐条排除错误选项。 1．关于互质的两个数，下列说法正确的是（    ）。 A．只有公因数1 B．两个数都是质数 C．没有公因数 D．都是质因数 【答案】A 【分析】根据互质数的意义，公因数只有1的两个数叫做互质数，称为互质数的两个数不是没有公因数，而是公因数只有1。 【详解】关于互质的两个数，下列说法正确的是只有公因数1。 2．（    ）的最大公因数一定是1。 A．两个不同的质数 B．两个不同的奇数 C．两个不同的偶数 D．一个质数和一个合数 【答案】A 【分析】根据一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数；一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数；1既不是质数，也不是合数；整数中，是2的倍数的数叫做偶数，不是2的倍数的数叫做奇数；逐项举例找出符合题意的选项。 【详解】A．两个不同的质数，例如：2是质数，3是质数，它们的最大公因数是1。符合题意。 B．两个不同的奇数，例如：3是奇数，9是奇数，它们的最大公因数是3。不符合题意。 C．两个不同的偶数，例如：2是偶数，6是偶数，它们的最大公因数是2。不符合题意。 D．一个质数和一个合数，例如：2是质数，4是合数，它们的最大公因数是2。不符合题意。 3．下面的算式是按照一定的规律排列的：4＋2，5＋7，6＋12，7＋17，…那么第（    ）道算式的和是108。 A．10 B．12 C．17 D．18 【答案】D 【分析】这几个算式的结果依次是6，12，18，24，即第一个算式的结果是6的1倍，第二个算式的结果是6的2倍，第三个算式的结果是6的3倍，第四个算式的结果是6的4倍，那么第n个算式的结果是6的n倍。用算式的和108除以6即可算出第几个算式。 【详解】108÷6＝18（个） 第18道算式的和是108。 4．小明、小芳和小华三人年龄是连续偶数，已知他们三人年龄总和是24岁，那么他们最小的年龄是（    ）岁。 A．8 B．7 C．6 D．10 【答案】C 【分析】相邻的偶数相差2，把他们中最小的年龄设为未知数，中间的年龄＝最小的年龄＋2岁，最大的年龄＝中间的年龄＋2岁，则最大的年龄＝最小的年龄＋2岁＋2岁＝最小的年龄＋4岁，等量关系式：最小的年龄＋中间的年龄＋最大的年龄＝24岁，据此列方程解答。 【详解】解：设他们最小的年龄是岁，中间的年龄是岁，最大的年龄是岁。 他们最小的年龄是6岁。 5．五个连续奇数的和是45，其中最小的奇数是（       ）。 A．9 B．13 C．5 D．15 【答案】C 【分析】连续奇数之间相差2，五个连续奇数的和等于中间数的5倍。据此用总和除以5，求出中间数；中间数是第3个数，最小的奇数是第1个数，两者相差2×2＝4，因此用中间数减去4，求出最小的奇数。 【详解】45÷5＝9 9－（2×2） ＝9－4 ＝5 最小的奇数是5。 6．若两个自然数和的关系是：，则和的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．1 【答案】C 【分析】由a和b是自然数，且a－b＝1，可得a和b是相邻的两个自然数，相邻的两个自然数为互质数，它们的最小公倍数为两个数的乘积。据此解答。 【详解】因为a和b是相邻的两个自然数（如2和1、3和2等）。相邻的两个自然数，它们的公因数只有1，因此它们为互质数，所以a和b的最小公倍数是a×b＝ab。 7．在1﹣10的自然数中，合数有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】合数指除了1和本身外，还有其他因数的自然数，1既不是质数也不是合数 【详解】在自然数1﹣10中，1既不是质数也不是合数，质数有2、3、5、7； 所以在自然数1﹣10中，合数有4、6、8、9、10； 共计5个。 8．12的所有倍数是（    ）。 A．质数 B．合数 C．可能是质数，也可能是合数 【答案】B 【分析】一个数的最小倍数是它本身，质数是只有1和它本身两个因数的自然数，合数是除了1和它本身外还有其他因数的自然数。12的最小倍数是12，12除了1和12外，还有因数2、3、4、6，属于合数；任意更大的12的倍数，都有因数12，因此除了1和它本身外，一定还有其他因数，都符合合数的定义。 因此12的所有倍数都是合数。 【详解】12的所有倍数是合数。 9．已知小明、小红和小刚的年龄正好是三个连续的奇数，并且他们的年龄总和是33岁，则年龄最小的是( )岁，年龄最大的是( )岁。 【答案】 9 13 【分析】三个连续奇数的特点是：相邻两个奇数相差2，假设中间一个奇数是a，则另外两个分别是a－2和a＋2，这三个奇数的平均数＝（a－2＋a＋a＋2）÷3＝3a÷3＝a，即三个连续奇数的平均数刚好是中间的那个奇数，年龄总和÷3＝中间的奇数，中间奇数减2得到年龄最小的，中间奇数加2得到年龄最大的据此解答。 【详解】33÷3＝11（岁） 11－2＝9（岁） 11＋2＝13（岁） 则年龄最小的是9岁，年龄最大的是13岁。 10．如果（和都是非0自然数），那么和的最大公因数是________，最小公倍数是________。 【答案】 【分析】根据已知等式×2026＝，可知是的倍数。当两个非零自然数成倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数。 【详解】因为×2026＝，且和都是非0自然数，所以，÷＝2026，即是的倍数，是的因数，因为2026＞1，所以＞。所以最大公因数是，最小公倍数是。 题型二、数的特征判断与组数组题型（高频基础） 题型总述：期末高频基础题型，考查2、3、5倍数特征，组数问题、数字判断问题，分值稳定。 解题妙招：2、5看个位，3看数字和；同时满足多个条件，逐个筛选、叠加条件。 1．倍数。按要求在括号里填上一个数字。 (1)使这个两位数同时是2和3的倍数：( )2。 (2)使这个两位数同时是2、3和5的倍数：3( )。 【答案】(1)1/4/7 (2)0 【分析】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8； 3的倍数的特征：各个数位上的数的和是3的倍数； 5的倍数的特征：个位上的数字是0或5； （1）同时是2和3的倍数：个位上是0、2、4、6、8且各个数位上的数的和是3的倍数；已知个位上是2，满足2的倍数的特征，只需十位上的数加上2的和是3的倍数即可； （2）同时是2、3和5的倍数：个位上是0，且各个数位上的数字和是3的倍数。 【详解】（1）1＋2＝3，3是3的倍数，则十位上可以填1； 4＋2＝6，6是3的倍数，则十位上可以填4； 7＋2＝9，9是3的倍数，则十位上可以填7； 所以，使这个两位数同时是2和3的倍数：12、42、72。 （2）要使这个两位数同时是2、3和5的倍数，个位数字必须是0，3＋0＝3，3是3的倍数； 所以，使这个两位数同时是2、3和5的倍数：30。 2．一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是( )。 【答案】30 【分析】根据既是3的倍数，又是5的倍数，并且还是一个偶数，可知这个数是2的倍数，2、3、5倍数的特征：个位数必须是0，而且各个数位上的数字之和是3的倍数，要使这个数最小，个位是0，十位最小是3，此时这个数是30，3＋0＝3，3是3的倍数，所以这个数最小是30；据此解答。 【详解】由分析可得： 3＋0＝3 所以，一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是30。 3．用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 【答案】420 【分析】同时是2，3，5的倍数的特征：个位数字是0且各个数位上的数字之和能被3整除。要使得由2，0，4三个数字组成的三位数同时是2，3，5的倍数的最大三位数，这个三位数的个位数字是0，因为4＞2，那么百位上的数字是最大的数字4，十位上的数字是2，所以这个最大三位数是420。 【详解】根据分析： 用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是420。 4．把15分解质因数是15＝3×5×1。( ) 【答案】× 【分析】把一个合数写成几个质数相乘的形式叫做分解质因数；15分解质因数是15＝3×5，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，把15分解质因数是15＝3×5，原说法错误。 故答案为：× 5．个位上是0的自然数，不一定是2、3、5的倍数。( ) 【答案】√ 【分析】根据2、3、5的倍数特征：个位上是0的自然数一定是2和5的倍数，因为2的倍数特征是个位是0、2、4、6、8，5的倍数特征是个位是0或5；但3的倍数特征要求各位数字之和是3的倍数，与个位数字无关。因此，个位上是0的自然数不一定是3的倍数，从而不一定同时是2、3、5的倍数。 【详解】根据分析可知，一个自然数个位上是0，这个自然数是2和5的倍数，但不一定是3的倍数，例如，110是2和5的倍数，110的各位数字之和是1＋0＝2，2不是3的倍数，所以110不是3的倍数，故个位上是0的自然数不一定是2、3、5的倍数。原题说法正确。 故答案为：√ 6．如果，，那么和的最大公因数是14。( ) 【答案】√ 【分析】和，公有的质因数有2和7，那么和的最大公因数是这些质因数的乘积。 【详解】A和B公有的质因数有2和7，2×7＝14，故和的最大公因数是14。原题说法正确。 故答案为：√ 7．从下面四张数字卡片中选出三张，按要求组成三位数。（写出一种情况即可） (1)最大的奇数：__________； (2)是2的倍数，但不是5的倍数：__________； (3)同是2，3的倍数：_________； (4)同是2，3，5的倍数：__________。 【答案】（1）653 （2）506 （3）306 （4）360 【分析】（1）奇数个位为3或5，要最大则高位选大数字，组成653（个位为3，满足奇数；数位从高到低为6、5、3，是能组成的最大奇数）。 （2）（3）（4）2的倍数的特征是：个位上是0、2、4、6、8的数；个位上是0或者5的数是5的倍数；一个数各个数位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数；个位上是0，并且各个数位上的数的和是3的倍数，这个数同时是2、3和5的倍数。据此解答。 【详解】（1）最大的奇数：653 （2）是2的倍数，但不是5的倍数：506 （3）同时是2和3的倍数：306（答案不唯一） （4）同时是2、3和5的倍数：360（答案不唯一） 8．从2、5、7三个数中选择一个数填入方框内，使组成的数符合题目的要求． （1）是2的倍数：1□，2□，3□。 （2）是3的倍数：4□，5□，2□。 （3）既是3的倍数、又是5的倍数：1□，□5。 （4）同时是2、3、5的倍数：4□0。 【答案】（1）2；2；2 （2）2或5；7；7 （3）5；7 （4）2或5 【分析】2的倍数的特征：个位上是0、2、4、6、8的数；3的倍数的特征：一个数的各位数之和是3的倍数，这个数就是3的倍数；5的倍数的特征：个位上是0或5的数，根据这些特征，从2、5、7中选择合适的数字填入方框即可。 【详解】（1）要使1□是2的倍数，□里可填2；要使2□是2的倍数，□里可填2；要使3□是2的倍数，□里可填2；所以是2的倍数：12，22，32。 （2）要使4□是3的倍数，4＋2＝6，6是3的倍数，4＋5＝9，9是3的倍数，所以□里可填2或5；要使5□是3的倍数，5＋7＝12，12是3的倍数，所以□里可填7；要使2□是3的倍数，2＋7＝9，9是3的倍数，□里可填7；所以是3的倍数：42或45，57，27。 （3）要使1□既是3的倍数，又是5的倍数，个位上只能是5，1＋5＝6，6是3的倍数，所以□里可填5；要使□5既是3的倍数，又是5的倍数，个位上是5，7＋5＝12，12是3的倍数，所以□里可填7，所以既是3的倍数、又是5的倍数：15，75。 （4）4□0同时是2、3、5的倍数，个位上是0，已经满足是2和5的倍数，只需考虑3的倍数，4＋2＋0＝6，6是3的倍数，4＋5＋0＝9，9是3的倍数，所以□里可填2或5，即同时是2、3、5的倍数：420或450。 9．有以下四张数字卡牌，任意抽两张组成一个两位数。是3的倍数的有哪些数？同时是2和3的倍数的有哪些数？同时是3和5的倍数的有哪些数？（写出全部可能） 【答案】3的倍数：57，60，75。 同时是2和3的倍数：60。 同时是3和5的倍数：60，75。 【分析】2的倍数特征：个位是0、2、4、6、8；3的倍数特征：各个数位上的数字之和是3的倍数；5的倍数特征：个位是0或5。 【详解】首先列出用0、5、6、7任意抽两张组成的所有两位数（0不能在十位）：50、56、57、60、65、67、70、75、76。 （1）3的倍数：计算各个数位上的数字之和，判断是否是3的倍数。 50：5＋0＝5，5不是3的倍数； 56：5＋6＝11，11不是3的倍数； 57：5＋7＝12，12是3的倍数； 60：6＋0＝6，6是3的倍数； 65：6＋5＝11，不是3的倍数； 67：6＋7＝13，不是3的倍数； 70：7＋0＝7，不是3的倍数； 75：7＋5＝12，是3的倍数； 76：7＋6＝13，不是3的倍数。 所以是3的倍数的数有：57、60、75。 （2）同时是2和3的倍数的数：既要满足2的倍数特征（个位是0、2、4、6、8），又要满足3的倍数特征（各个数位上的数字之和是3的倍数）。 从3的倍数中筛选，57：个位是7，不是2的倍数；60：个位是0，是2的倍数；75：个位是5，不是2的倍数。 所以同时是2和3的倍数的数有：60。 （3）同时是3和5的倍数的数 既要满足5的倍数特征（个位是0、5），又要满足3的倍数特征（各个数位上的数字之和是3的倍数）： 从3的倍数中筛选，57：个位是7，不是5的倍数；60：个位是0，是5的倍数；75：个位是5，是5的倍数。 所以同时是3和5的倍数的数有：60、75。 答：是3的倍数的数有57、60、75；同时是2和3的倍数的数有60；同时是3和5的倍数的数有60、75。 10．王老师给手机设置了一个锁屏密码“27□□”，他记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。他最多需要输入几次密码才能解锁手机？为什么？ 【答案】他最多需要输入7次密码才能解锁手机；因为密码可能是2700，2730，2760，2790，2715，2745，2775。 【分析】因为密码是5的倍数，所以这个数的最后一位是0或5，即可能是27☐0或27☐5；如果是27☐0，那么要使这个数是3的倍数，那么四个数字相加的和是3的倍数，所以十位上的数可能是0，3，6，9，即组成的密码是2700，2730，2760，2790，有4个； 如果是27☐5，那么要使这个数是3的倍数，那么四个数字相加的和是3的倍数，所以十位上的数可能是1，4，7，即组成的密码是2715，2745，2775，有3个。 【详解】由分析可知：（次） 答：他最多需要输入7次密码才能解锁手机；因为密码可能是2700，2730，2760，2790，2715，2745，2775。 题型三、分解质因数与公因数公倍数计算题型（计算必考） 题型总述：本单元核心计算题型，包含分解质因数、求最大公因数、最小公倍数，步骤规范得分，是基础拿分重点。 通用解题步骤：短除法找公有质因数→最大公因数乘公共质因数→最小公倍数乘全部质因数。 1．在（    ）里直接写出最大公因数和最小公倍数。 9和8( )( )    19和38( )( )    8和12( )( ) 【答案】 1 72 19 38 4 24 【分析】求两个数的最大公因数和最小公倍数的方法：如果两个数互质，则这两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的积； 如果两个数是倍数关系，则这两个数的最大公因数是其中较小的数，最小公倍数是其中较大的数； 如果两个数既不互质，也不是倍数关系，则这两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积；最小公倍数是两个数的公有质因数与每一个独有质因数的连乘积；据此解答即可。 【详解】9和8是互质数，所以最大公因数是1；最小公倍数是8×9＝72； 19和38是倍数关系，所以最大公因数是19，最小公倍数是38； 8和12：8＝2×2×2；12＝2×2×3 8和12的最大公因数是2×2＝4；最小公倍数是2×2×2×3＝24。 2．若a，b都是大于0的自然数，，则a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )；若，则a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 b a ab/ba 【分析】当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数；两个连续自然数互质，互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。 【详解】，a和b是倍数关系，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a；因为a，b都是大于0的自然数，，说明a和b互质，a和b的最小公倍数是ab。 3．自然数，那么A和B的最大公因数是( )、最小公倍数是( )；若x和y是两个自然数，且，x和y的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 1 【分析】自然数，说明A、B是相邻的自然数，相邻的两个自然数一定互质。 因为，根据等式的基本性质2，方程两边同时乘y得：，再根据等式的性质2，方程两边再同时乘5得：5x＝y，即y是x的5倍。 若两个数互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积；若两个数成倍数关系，较大的那个数是它们的最小公倍数，较小的那个数是它们的最大公因数。 【详解】自然数，那么A和B的最大公因数是1、最小公倍数是；若x和y是两个自然数，且，x和y的最大公因数是x，最小公倍数是y。 4．如果a÷2＝b（a、b是非0自然数），a和b的最大公因数是( )；如果a－1＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 【答案】 / 【分析】当两个非零自然数成倍数关系时，它们的最大公因数是较小的数，最小公倍数是较大的数。相邻的两个非0自然数互质，它们的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积。 【详解】 ，，由此判断和存在倍数关系，则和的最大公因数是。 ，和是互质数，则和的最小公倍数是。 5．若a、b都是大于0的自然数，a÷b＝9，则a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )；b是非0自然数，若a＝b＋1，则a、b的最小公倍数是( )。 【答案】 b a ab 【分析】两个数为倍数关系，最大公因数为较小的那个数，最小公倍数为较大的那个数； 两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积。 【详解】a÷b＝9，则a和b为倍数关系，a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a。 a＝b＋1，则a和b为互质数，a和b的最小公倍数为ab。 6．若a、b都是大于0的自然数，a÷b＝2，则a和b的最大公因数是( )。a和b的最小公倍数是( )；若b是非0自然数，a＝b＋1，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 【答案】 b a 1 ab 【分析】当两个数是倍数关系时，较小的数是它们的最大公因数，较大的数是它们的最小公倍数；两个连续自然数互质，互质的两个数的最大公因数是1，最小公倍数是它们的乘积，据此解答。 【详解】因为a÷b＝2，即a、b是倍数关系，所以a和b的最大公因数是b，最小公倍数是a； 由b是非0自然数，a＝b＋1，可知a、b互质，所以a和b的最大公因数是1，a、b的最小公倍数是ab。 7．有一个四边形的广场，它的四边长分别是60米，72米，96米，84米。现在要在四边种上树，如果四边上每两棵树的间隔距离都相等，至少要种　 　棵树。 【答案】26 【分析】先求出60、72、96、84四个数的最大公因数，把这四个数进行分解质因数，这四个数的公有质因数的连乘积是这两个数的最大公因数，由此求出每两棵树的间隔距离，进而根据栽树的棵树与四边分成的段数相等，据此解答即可。 【详解】将60、72、96、84分解质因数： 60＝2×2×3×5 72＝2×2×2×3×3 96＝2×2×2×2×2×3 84＝2×2×3×7 则60、72、96、84四个数的最大公因数是2×2×3＝12 即每两棵树的间隔是12米，所栽树的棵数最少，为： 60÷12＋72÷12＋96÷12＋84÷12 ＝5＋6＋8＋7 ＝26（棵） 至少要种26棵树。 8．若A＝2×3×5，B＝2×2×2×3，则A和B的最大公因数是（    ）。 A．6 B．12 C．10 D．15 【答案】A 【分析】已知A＝2×3×5，B＝2×2×2×3，对比A和B的质因数，能发现两者都包含的质因数是2和3，这两个就是它们的公有质因数。最大公因数就是所有公有质因数的乘积，即2×3＝6，因此A和B的最大公因数是6。 【详解】2×3＝6 所以A和B的最大公因数是6。 故答案为：A 9．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 8和31             15和45              6，8和10 【答案】1，248；15，45；2，120 【分析】8和31只有公因数1，所以8和31是互质的两个数，根据“互质数最大公因数是1，最小公倍数是它们的积”可解答； 45是15的倍数，根据“成倍数关系的两个数，最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数”据此可解； 用短除法求6，8和10的最大公因数和最小公倍数。 【详解】因为8和31是互质数，所以8和31的最大公因数是1；最小公倍数是8×31＝248； 因为45是15的倍数，所以45和15的最大公因数是15，最小公倍数是45； 6，8和10的最大公因数是2，最小公倍数是： 2×3×4×5 ＝6×4×5 ＝24×5 ＝120 10．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和48        11和33        15和21       7和8 【答案】12，144；11，33；3，105；1，56 【分析】如果两数是互质数，那么最大公因数是1，最小公倍数是两数乘积；如果两数是倍数关系，那么最大公因数是较小数，最小公倍数是较大数；如果是一般关系，可使用分解质因数法。 【详解】36＝2×2×3×3 48＝2×2×2×2×3 36和48的最大公因数是2×2×3＝12，最小公倍数是2×2×2×2×3×3＝144。 11和33存在倍数关系，且11＜33，最大公因数是11，最小公倍数是33。 15＝3×5 21＝3×7 15和21的最大公因数是3，最小公倍数是3×5×7＝105。 7和8互质，最大公因数是1，最小公倍数是7×8＝56。 题型四、因数倍数综合应用题（期末压轴大题） 题型总述：期末压轴拉分题型，结合生活场景，考查最大公因数、最小公倍数的实际应用，综合性强。 通用解题妙招：平均分、裁剪、最多分几组求最大公因数；同时发生、再次相遇、最短周期求最小公倍数。 1．韩信是汉代著名的军事家，他对数学也很有兴趣。一天，他打算给小将们安排卫兵，把48名卫兵平均分给小将们，余3名卫兵；把63名卫兵平均分给小将们，也余下3名卫兵。你知道最多有多少名小将吗？ 【答案】15名 【分析】卫兵总数减去余下的人数，即48－3＝45；63－3＝60，求出最多有多少名小将，就是45和60的最大公因数；两个数的最大公因数是两个数的公有质因数的连乘积，据此解答。 【详解】48－3＝45（名） 63－3＝60（名） 45＝3×3×5 60＝2×2×3×5 45和60的最大公因数是3×5＝15， 答：最多有15名小将。 2．在一条长2400米的公路一旁安装路灯（两头都装），原来每6米装一个路灯，灯位已预留好，现在改为每8米装一个路灯，共有多少个路灯的预留位置可以不需要重新预留？ 【答案】101 个 【分析】不需要重新预留的位置，表示该位置距离起点的长度既是6的倍数，也是8的倍数，是6和8的公倍数，先求出6和8的最小公倍数，也就是不需要变动的位置的间隔长度，路灯的个数＝全长÷间隔＋1，把数据代入公式计算即可。 【详解】6＝2×3 8＝2×2×2 6和8的最小公倍数： 2×3×2×2 ＝6×2×2 ＝12×2 ＝24 2400÷24＋1 ＝100＋1 ＝101（个） 答：共有101个路灯的预留位置可以不需要重新预留。 3．下图是2026年淮安市马拉松赛道的一部分，赛道在B处拐弯。根据要求，需要在赛道的一侧安排志愿者，相邻两名志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排一名志愿者，那么这段赛道最少需要安排几名志愿者？先算一算，并用“★”表示出志愿者的大致位置。 【答案】6名；作图见详解 【分析】求出AB和BC两段路长度的最大公因数是志愿者之间的距离，根据植树问题的解题方法，两端都植，棵数＝段数＋1，总长度÷间距＋1＝志愿者的数量。全部共有的质因数（公有质因数）相乘的积就是这几个数的最大公因数。 【详解】60＝2×2×3×5、40＝2×2×2×5 2×2×5＝20（米） （60＋40）÷20＋1 ＝100÷20＋1 ＝5＋1 ＝6（名） 答：这段赛道最少需要安排6名志愿者。 4．下面是银杏公园的一条路，现在要在路的两侧安装路灯，使每盏灯之间的距离都相等，并且M、O、N三处都要安装，至少要安装多少盏灯？ 【答案】28盏 【分析】首先求出路灯最大间距，要让路灯之间的距离相等且路灯间距最大，路灯间距必须是42和36的最大公因数。然后分别计算两段路单侧的路灯数量，路灯数量＝路长÷路灯间距＋1。接着把两段路的路灯数量相加，求出单侧路灯总数；注意O处被两段路重复计算要减去1盏。最后用单侧路灯总数乘2，即可求出两侧路灯总数。 【详解】42＝2×3×7 36＝2×2×3×3 42和36的最大公因数是2×3＝6，即路灯最大间距为6米。 MO段路灯数：42÷6＋1 ＝7＋1 ＝8（盏） ON段路灯数：36÷6＋1 ＝6＋1 ＝7（盏） 单侧路灯总数：8＋7－1 ＝15－1 ＝14（盏） 两侧路灯总数：14×2＝28（盏） 答：至少要安装28盏灯。 5．2026“苏超”淮安队再出发！为城市而战，为热爱而战！体育馆边上原来每3米放一个宣传牌，现要改为每4米一个宣传牌。在摆放的过程中，除了两端的2个宣传牌不需要移动外，还有20个宣传牌不需要移动。这条路长多少米？ 【答案】252米 【分析】宣传牌不需要移动，说明该位置既是原来3米间隔的倍数，也是现在4米间隔的倍数，即该位置的距离是3和4的公倍数。相邻两个不需要移动的宣传牌之间的距离应是3和4的最小公倍数；如果两个数为互质数，最小公倍数就是两个数的乘积； 除了两端的2个宣传牌不需要移动外，说明路的起点和终点都有宣传牌且不需要移动，属于两端都栽的植树问题。 先求出不需要移动的宣传牌的总数，再用间隔数×相邻不动点之间的距离（3和4的最小公倍数），即可得到路的总长度。 【详解】3和4是互质数，最小公倍数为3×4＝12，即每隔12米有一个宣传牌不需要移动。 20＋2＝22（个） （22－1）×12 ＝21×12 ＝252（米） 答：这条路长252米。 6．在AC这条新铺的路上等距离安装路灯，要求在A、B、C处都要安装一盏路灯，一共至少需要安装多少盏路灯？ 【答案】18盏 【分析】如图所示，在AC这条新铺的路上等距离安装路灯，AB的距离为630米，BC的距离为560米，如果要求在A、B、C处都要安装一盏路灯，则每两盏路灯之间的距离既是630的因数，也是560的因数，要安装路灯的数量少，则每两盏路灯之间的距离要尽量大，最大距离为630和560的最大公因数70，即每两盏路灯之间距离最大是70米，这条路的总长度是1190米，段数＝总长度÷一段的长度，根据植树问题两端都种树时：棵数＝段数＋1可知安装路灯的数量比计算出的段数多1。 【详解】630＝2××3×3×5×7 560＝2×2×2×2×5×7 则630和560的最大公因数是：2×5×7＝70，级每70米安装一盏路灯。 （630＋560）÷70＋1 ＝1190÷70＋1 ＝17＋1 ＝18（盏） 答：一共至少需要安装18盏。 7．在公路两旁栽树，公路长120米，原来每隔3米栽一棵树，现在改为每隔4米栽一棵树，两端都不栽。 (1)每隔多远就有一棵树不用拔起？ (2)一共有多少棵树不用拔起？ (3)被拔起的树有多少棵？ 【答案】(1)12米 (2)18棵 (3)60棵 【分析】（1）原来每隔3米栽一棵树，现在每隔4米栽一棵树，不用拔起的树意味着该位置既是3的倍数，又是4的倍数，即3和4的公倍数。每隔多少米有一棵树不用拔起，就是求3和4的最小公倍数。 （2）当两端都不栽，棵数＝间隔数－1。用总长120米除以每隔多远就有一棵树不用拔起，算出有多少这样的间隔，再减去1，算出公路一旁的不用拔起棵数。最后乘2，就是一共有多少棵树不用拔起。 （3）被拔起的棵数＝原来树的总数－不用拔起的树的总数。用路的总长分别除以3算出有几个间隔，再减1，算出一旁树的总棵数。乘2得到两旁总数，再减去不用拔起的总数即可。 【详解】（1）3的倍数：3，6，9，12，15… 4的倍数：4，8，12，16… 3和4的最小公倍数是12。 答：每隔12米就有一棵树不用拔起。 （2）120÷12＝10（个） 10－1＝9（棵） 9×2＝18（棵） 答：一共有18棵树不用拔起。 （3）120÷3＝40（个） 40－1＝39（棵） 39×2＝78（棵） 78－18＝60（棵） 答：被拔起的树有60棵。 8．有一座桥长42米，在桥上已经安装了三盏路灯，前两盏的距离是18米。（如图）。现在要在桥上等距离安装路灯，至少要增加多少盏路灯？ 【答案】5盏 【分析】桥总长42米，前两盏距离18米，先算出剩余段的长度；要在桥上等距离安装路灯，需要求18米和剩余长度的最大公因数，得到最大间距。然后用桥的总长度除以最大间距求出间隔数量，加1求出按此间距安装路灯的总数量，再减去已有的3盏，最终得到需要增加的数量。 【详解】42－18＝24（米） 18＝2×3×3 24＝2×2×2×3 18和24的最大公因数是2×3＝6 42÷6＋1 ＝7＋1 ＝8（盏） 8－3＝5（盏） 答：至少要增加5盏路灯。 9．有一根50厘米长的木条，从一端起每隔5厘米做一个记号，每隔6厘米也做一个记号，然后沿着有记号的地方锯开，这根木条一共被锯成多少段？ 【答案】17段 【分析】先分别用木条总长50厘米除以5厘米和6厘米的间隔，求出各自的间隔数。每隔5厘米做记号时，用间隔数减1得到记号个数；每隔6厘米做记号时，直接取商作为记号个数，不再减1。再求出5和6的最小公倍数，找出50厘米内重复记号的个数。用两种记号个数相加再减去重复个数，得到实际总记号数，最后用总记号数加1就是木条被锯成的段数。 【详解】50÷5－1 ＝10－1 ＝9（个） 50÷6＝8……2，共8个 5和6的最小公倍数是30，50以内30的倍数有1个 9＋8－1＝16（个） 16＋1＝17（段） 答：这根木条一共被锯成17段。 10．元宵节期间，为了烘托欢快的节日气氛，长东社区在252米长的里运河直路上挂红、蓝、紫三种颜色的灯笼。其中，蓝灯笼每隔6米挂一个，紫灯笼每隔9米挂一个。如果蓝灯笼和紫灯笼重复的地方就改挂一个红灯笼，那么除两端外，中间挂了多少个红灯笼？（只在路一边挂灯笼） 【答案】13个 【分析】蓝灯笼每隔6米挂一个，紫灯笼每隔9米挂一个，两者重复的位置距离就是6和9的最小公倍数18米；再用运河总长252米除以18米，求出总共有14个重复位置；最后因为两端不挂红灯笼，所以需要减去1个端点位置，求出中间挂红灯笼的数量。 【详解】6＝2×3 9＝3×3 则6和9的最小公倍数是：2×3×3＝18 252÷18＝14（个） 14－1＝13（个） 答：除两端外，中间挂了13个红灯笼。 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三单元《因数和倍数》期末复习讲义 明期末考情 考查重点 命题角度 因数与倍数基础概念 以填空、选择、判断基础题型考查，侧重概念辨析，考查因数倍数的相互依存关系、找因数找倍数的方法，是本单元基础必考内容。 2、3、5的倍数特征 期末高频基础考点，单独考查数的判断、组数问题，常结合奇数、偶数综合考查，是填空、选择高频出题点。 质数、合数与分解质因数 重点考查质数合数的区分、1的特殊性、唯一偶质数2，考查分解质因数规范写法，常以判断题、计算题形式考查。 公因数、最大公因数、公倍数、最小公倍数 本单元重难点，期末解答题核心考点，涵盖求最大公因数、最小公倍数，结合生活实际解决裁剪、分组、周期问题，是拉分核心题型。 核心考点总结 1、因数与倍数的基本概念 （1）定义：在非0自然数范围内，如果a×b=c（a、b、c均为不为0的自然数），那么a和b是c的因数，c是a和b的倍数。 （2）核心特征：因数和倍数相互依存，不能单独说某个数是因数或倍数。 （3）因数特点：一个数的因数个数有限，最小因数是1，最大因数是它本身。 （4）倍数特点：一个数的倍数个数无限，最小倍数是它本身，没有最大倍数。 2、2、3、5的倍数特征（必考） （1）2的倍数：个位是0、2、4、6、8的数，即为偶数；不是2的倍数是奇数。 （2）5的倍数：个位是0或5的数。 （3）3的倍数：各位上数字的和是3的倍数，与个位数字无关。 （4）同时是2和5的倍数：个位一定是0。 （5）同时是2、3、5的倍数：个位是0，且各位数字和是3的倍数。 3、质数与合数 （1）质数（素数）：只有1和它本身两个因数的数。最小的质数是2，2是唯一的偶质数。 （2）合数：除了1和它本身，还有其他因数的数，合数至少有3个因数。最小的合数是4。 （3）特殊数：1既不是质数，也不是合数。 （4）自然数分类（非0）：按因数个数分为1、质数、合数三类。 4、分解质因数 （1）定义：把一个合数用质数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。 （2）方法：短除法、列举法，分解结果必须全部为质数相乘。 （3）注意：质数不能分解质因数，分解结果要写标准相乘形式。 5、公因数与公倍数 （1）公因数：几个数共有的因数，个数有限，其中最大的是最大公因数。 （2）公倍数：几个数共有的倍数，个数无限，其中最小的是最小公倍数。 （3）互质数：公因数只有1的两个数，叫做互质数。互质的两个数，最小公倍数是它们的乘积。 本单元高频易错点汇总 易错点1：因数倍数概念孤立表述 错因：单独说“2是因数，6是倍数”，忽略相互依存关系。 纠正：必须完整表述：2是6的因数，6是2的倍数。 易错点2：误解因数、倍数大小关系 错因：认为因数一定比数小，倍数一定比数大。 纠正：一个数的最大因数和最小倍数都是它本身。 易错点3：2、3、5倍数特征混淆 错因：判断3的倍数只看个位，与2、5倍数特征混淆。 纠正：3的倍数看各位数字之和，不看个位。 易错点4：质数合数判断失误 错因：误认为所有偶数都是合数，所有奇数都是质数。 纠正：2是偶数但为质数；9、15是奇数但为合数。 易错点5：忽略1和0的特殊性 错因：忘记1既不是质数也不是合数；研究因数倍数只针对非0自然数。 纠正：因数倍数不包含0，1是最特殊的自然数。 易错点6：分解质因数书写不规范 错因：分解结果包含合数、书写成加法、漏写相乘形式。 纠正：结果必须是质数相乘，等式左边写原数，右边写质因数乘积。 易错点7：最大公因数、最小公倍数混淆 错因：解决实际问题时，分不清该求最大公因数还是最小公倍数。 纠正：裁剪、分组、平均分问题求最大公因数；相遇、周期、下次同时发生问题求最小公倍数。 经典例题精讲（期末真题题型） 例题1 概念辨析题型 判断：因为3×4=12，所以3是因数，12是倍数。（ ） 精讲分析：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独存在，正确表述为3和4是12的因数，12是3和4的倍数。 易错提醒：考试严禁孤立描述因数和倍数，此类表述一律错误。 例题2 数的特征判断与组数组题型 下面数中，同时是2、3、5的倍数的是（ ）。 A．15 B．20 C．30 D．35 精讲分析：同时是2和5的倍数，个位必须是0，排除A、D；再满足3的倍数，30各位和为3，是3的倍数，符合全部条件。 易错提醒：不要只满足两个条件，做题必须核对全部要求。 例题3 分解质因数与公因数公倍数计算题型 求12和18的最大公因数和最小公倍数。 精讲详解 短除得公共质因数：2、3 最大公因数：2×3=6 最小公倍数：2×3×2×3=36 易错提醒：最大公因数只乘公共部分，最小公倍数要乘全部质因数，切勿混淆。 例题4 因数倍数综合应用题 把一张长24厘米、宽18厘米的长方形纸，裁成同样大小的正方形且没有剩余，正方形边长最大是多少厘米？ 精讲详解 题意求最大正方形边长，即求24和18的最大公因数。 24和18的最大公因数是6。 答：正方形边长最大是6厘米。 易错提醒：看到“最大、最多、平均分、无剩余”优先判断求最大公因数。 四大题型 题型一、概念辨析题型（选择、判断、填空必考） 题型总述：基础小题必考，侧重概念抠细节，陷阱多，重点考查因数倍数、奇偶性、质数合数的基础判断。 解题妙招：牢记相互依存、1的特殊性、2是唯一偶质数、3的倍数看和，逐条排除错误选项。 1．关于互质的两个数，下列说法正确的是（    ）。 A．只有公因数1 B．两个数都是质数 C．没有公因数 D．都是质因数 2．（    ）的最大公因数一定是1。 A．两个不同的质数 B．两个不同的奇数 C．两个不同的偶数 D．一个质数和一个合数 3．下面的算式是按照一定的规律排列的：4＋2，5＋7，6＋12，7＋17，…那么第（    ）道算式的和是108。 A．10 B．12 C．17 D．18 4．小明、小芳和小华三人年龄是连续偶数，已知他们三人年龄总和是24岁，那么他们最小的年龄是（    ）岁。 A．8 B．7 C．6 D．10 5．五个连续奇数的和是45，其中最小的奇数是（       ）。 A．9 B．13 C．5 D．15 6．若两个自然数和的关系是：，则和的最小公倍数是（    ）。 A．a B．b C．ab D．1 7．在1﹣10的自然数中，合数有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 8．12的所有倍数是（    ）。 A．质数 B．合数 C．可能是质数，也可能是合数 9．已知小明、小红和小刚的年龄正好是三个连续的奇数，并且他们的年龄总和是33岁，则年龄最小的是( )岁，年龄最大的是( )岁。 10．如果（和都是非0自然数），那么和的最大公因数是________，最小公倍数是________。 题型二、数的特征判断与组数组题型（高频基础） 题型总述：期末高频基础题型，考查2、3、5倍数特征，组数问题、数字判断问题，分值稳定。 解题妙招：2、5看个位，3看数字和；同时满足多个条件，逐个筛选、叠加条件。 1．倍数。按要求在括号里填上一个数字。 (1)使这个两位数同时是2和3的倍数：( )2。 (2)使这个两位数同时是2、3和5的倍数：3( )。 2．一个数既是3的倍数，又是5的倍数，还是偶数，这个数最小是( )。 3．用2，0，4三个数字组成的三位数中，同时是2，3，5的倍数的最大三位数是( )。 4．把15分解质因数是15＝3×5×1。( ) 5．个位上是0的自然数，不一定是2、3、5的倍数。( ) 6．如果，，那么和的最大公因数是14。( ) 7．从下面四张数字卡片中选出三张，按要求组成三位数。（写出一种情况即可） (1)最大的奇数：__________； (2)是2的倍数，但不是5的倍数：__________； (3)同是2，3的倍数：_________； (4)同是2，3，5的倍数：__________。 8．从2、5、7三个数中选择一个数填入方框内，使组成的数符合题目的要求． （1）是2的倍数：1□，2□，3□。 （2）是3的倍数：4□，5□，2□。 （3）既是3的倍数、又是5的倍数：1□，□5。 （4）同时是2、3、5的倍数：4□0。 9．有以下四张数字卡牌，任意抽两张组成一个两位数。是3的倍数的有哪些数？同时是2和3的倍数的有哪些数？同时是3和5的倍数的有哪些数？（写出全部可能） 10．王老师给手机设置了一个锁屏密码“27□□”，他记得自己设置的这个四位数密码既是5的倍数，又是3的倍数。他最多需要输入几次密码才能解锁手机？为什么？ 题型三、分解质因数与公因数公倍数计算题型（计算必考） 题型总述：本单元核心计算题型，包含分解质因数、求最大公因数、最小公倍数，步骤规范得分，是基础拿分重点。 通用解题步骤：短除法找公有质因数→最大公因数乘公共质因数→最小公倍数乘全部质因数。 1．在（    ）里直接写出最大公因数和最小公倍数。 9和8( )( )     19和38( )( )     8和12( )( ) 2．若a，b都是大于0的自然数，，则a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )；若，则a和b的最小公倍数是( )。 3．自然数，那么A和B的最大公因数是( )、最小公倍数是( )；若x和y是两个自然数，且，x和y的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 4．如果a÷2＝b（a、b是非0自然数），a和b的最大公因数是( )；如果a－1＝b，则a和b的最小公倍数是( )。 5．若a、b都是大于0的自然数，a÷b＝9，则a和b的最大公因数是( )，a和b的最小公倍数是( )；b是非0自然数，若a＝b＋1，则a、b的最小公倍数是( )。 6．若a、b都是大于0的自然数，a÷b＝2，则a和b的最大公因数是( )。a和b的最小公倍数是( )；若b是非0自然数，a＝b＋1，则a和b的最大公因数是( )，最小公倍数是( )。 7．有一个四边形的广场，它的四边长分别是60米，72米，96米，84米。现在要在四边种上树，如果四边上每两棵树的间隔距离都相等，至少要种　 　棵树。 8．若A＝2×3×5，B＝2×2×2×3，则A和B的最大公因数是（    ）。 A．6 B．12 C．10 D．15 9．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 8和31              15和45               6，8和10 10．求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。 36和48         11和33         15和21        7和8 题型四、因数倍数综合应用题（期末压轴大题） 题型总述：期末压轴拉分题型，结合生活场景，考查最大公因数、最小公倍数的实际应用，综合性强。 通用解题妙招：平均分、裁剪、最多分几组求最大公因数；同时发生、再次相遇、最短周期求最小公倍数。 1．韩信是汉代著名的军事家，他对数学也很有兴趣。一天，他打算给小将们安排卫兵，把48名卫兵平均分给小将们，余3名卫兵；把63名卫兵平均分给小将们，也余下3名卫兵。你知道最多有多少名小将吗？ 2．在一条长2400米的公路一旁安装路灯（两头都装），原来每6米装一个路灯，灯位已预留好，现在改为每8米装一个路灯，共有多少个路灯的预留位置可以不需要重新预留？ 3．下图是2026年淮安市马拉松赛道的一部分，赛道在B处拐弯。根据要求，需要在赛道的一侧安排志愿者，相邻两名志愿者之间的距离必须相等，而且A、B、C处必须安排一名志愿者，那么这段赛道最少需要安排几名志愿者？先算一算，并用“★”表示出志愿者的大致位置。 4．下面是银杏公园的一条路，现在要在路的两侧安装路灯，使每盏灯之间的距离都相等，并且M、O、N三处都要安装，至少要安装多少盏灯？ 5．2026“苏超”淮安队再出发！为城市而战，为热爱而战！体育馆边上原来每3米放一个宣传牌，现要改为每4米一个宣传牌。在摆放的过程中，除了两端的2个宣传牌不需要移动外，还有20个宣传牌不需要移动。这条路长多少米？ 6．在AC这条新铺的路上等距离安装路灯，要求在A、B、C处都要安装一盏路灯，一共至少需要安装多少盏路灯？ 7．在公路两旁栽树，公路长120米，原来每隔3米栽一棵树，现在改为每隔4米栽一棵树，两端都不栽。 (1)每隔多远就有一棵树不用拔起？ (2)一共有多少棵树不用拔起？ (3)被拔起的树有多少棵？ 8．有一座桥长42米，在桥上已经安装了三盏路灯，前两盏的距离是18米。（如图）。现在要在桥上等距离安装路灯，至少要增加多少盏路灯？ 9．有一根50厘米长的木条，从一端起每隔5厘米做一个记号，每隔6厘米也做一个记号，然后沿着有记号的地方锯开，这根木条一共被锯成多少段？ 10．元宵节期间，为了烘托欢快的节日气氛，长东社区在252米长的里运河直路上挂红、蓝、紫三种颜色的灯笼。其中，蓝灯笼每隔6米挂一个，紫灯笼每隔9米挂一个。如果蓝灯笼和紫灯笼重复的地方就改挂一个红灯笼，那么除两端外，中间挂了多少个红灯笼？（只在路一边挂灯笼） 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $