专题01 期末真题百练通关（期末复习专项训练，201题30个常考题+13大压轴题型）八年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以201道期末真题为载体，通过30个常考题型与13大压轴题型构建“基础巩固-综合突破”双层训练体系，注重抽象能力与推理能力培养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |选填常考|30题型201题|聚焦概念辨析、性质应用及运算技巧，如二次根式有意义条件的分类讨论、一元二次方程根的情况判定|从核心概念（如二次根式定义）到性质推导（如平行四边形判定定理），再到基础运算（如二次根式混合运算），形成递进式知识链| |解答压轴|13大题型|突出转化思想（如旋转中构造全等）、模型构建（如动态几何中的函数关系）及综合探究（如新定义问题）|以特殊平行四边形为载体，整合旋转、折叠等图形变换，结合数据分析与实际应用，体现知识的横向联系与应用意识|

专题01 期末真题百练通关 （201题30个常考题+13大压轴题型） 选填常考题 题型23 平行四边形的判定定理 题型1 二次根式有意义的条件 题型24 中位线的应用 题型2 求二次根式的值 题型25 反证法 题型3 二次根式的性质 题型26 矩形的性质与判定 题型4 二次根式的乘除混合运算 题型27 菱形的性质与判定 题型5 同类二次根式 题型28 利用菱形的性质求面积 题型6 二次根式的混合运算 题型29正方形的性质与判定 题型7 二次根式的化简求值 题型30 图形的折叠问题 题型8 二次根式的应用 解答压轴题 题型9 由一元二次方程的的定义求参数 题型31 二次根式中分母有理化 题型10由一元二次方程的解求参数 题型32复合二次根式的化简 题型11 求一元二次方程的解 题型33 一元二次方程的应用(营销问题) 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数 题型34一元二次方程的应用(动态几何问题) 题型13 换元法解一元二次方程 题型35 数据分析综合解答 题型14 一元二次方程的根与系数的关系 题型36 平行四边形的性质与判定解答题 题型15 一元二次方程的应用 题型37 旋转中解答题压轴 题型16 平均数 题型38 平行四边形综合实际探究题 题型17 中位数与众数 题型39四边形综合压轴题 题型18 离差平方和与方差 题型40特殊平行四边形中多结论问题 题型19 四分位数与箱线图 题型41特殊平行四边形中动点问题 题型20 多边形 题型42特殊平行四边形综合探究问题 题型21 平行四边形及其性质 题型43特殊平行四边形综合新定义问题 题型22 图形的旋转 题型1 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若代数式有意义，则字母a的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，即，解不等式确定的取值范围，再结合选项选择符合条件的值，即可作答． 【详解】解：要使代数式有意义， ∴需满足被开方数， ∴， 故选：D 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件．熟练掌握被开方数为非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，得，解此不等式即可确定x的取值范围． 【详解】∵二次根式有意义， ∴． 解不等式，得． 应选项D． 3．（22-23八年级下·浙江台州·期末）要使式子有意义，则的取值范围是（　　） A． B．且 C．或 D．且 【答案】D 【分析】根据分式的分母不等于0，二次根式的被开方数是非负数，进行求解即可． 【详解】由题意得，， 解得，且， 故选：D． 【点睛】本题考查代数式有意义的条件．解题的关键是掌握分式的分母不等于0，二次根式的被开方数是非负数，是解题的关键． 4．（20-21八年级下·浙江·期末）下列判断正确的是（    ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 【答案】B 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案． 【详解】解：A、带根号的式子不一定是二次根式，如=2，故此选项错误； B、一定是二次根式，故此选项正确； C、不一定是二次根式，如a=0，故此选项错误； D、二次根式的值不一定是无理数，如=2，故此选项错误； 故选B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，正确把握二次根式的性质是解题关键． 5．（20-21八年级下·浙江·期末）等式成立的条件是(　 ) A． B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，根据分式有意义分母不为0及二次根式的被开方数为非负数可得出答案． 【详解】由题意得：， 解得：． 故选：A． 题型2 求二次根式的值 6．（20-21八年级下·浙江台州·期末）二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义，把代入求值即可． 【详解】解：当时，二次根式， 故选：D． 8．（2021·河北·中考真题）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． 9．（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相反数，二次根式．熟练掌握只有符号不同的两个数互为相反数是解题的关键． 根据相反数的定义求解作答即可． 【详解】解：由题意知，的相反数为， 故选：C． 10．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 题型3 二次根式的性质 11．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，二次根式的化简等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式的定义． 根据最简二次根式的定义：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可． 【详解】解：A. ，被开方数含分母，需化简为，不是最简二次根式，不符合题意； B. ，被开方数3无平方因子且不含分母，符合最简二次根式定义，符合题意； C. ，可化简为整数，不是最简二次根式，不符合题意； D. ，含平方因子4，可进一步化简，不符合题意； 故选：B． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是利用二次根式的性质解方程，根据二次根式的性质，表示的绝对值，即．由此可建立方程求解的值． 【详解】解：由题意得： 根据二次根式的非负性，， 因此原方程可转化为： 解得：或， 即的值为，经检验符合题意； 故选：D． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算等于（  ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的性质与化简．直接利用二次根式的性质化简得出答案． 【详解】解：． 故选：C． 14．（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了二次根式的化简，正确化简二次根式是解题关键．首先化简二次根式，进而得出答案． 【详解】解；∵，， ∴可以表示为；． 故选：C． 15．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、化简二次根式，由数轴得出，，从而得出，，最后再由二次根式的性质化简即可得出答案． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴，， ∴， 故选：C． 题型4 二次根式的乘除混合运算 16．（21-22八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由合并同类二次根式的法则，二次根式的乘方，除法法则逐项判断． 【详解】解：，故A错误，不符合题意； 和不是同类二次根式，不能合并，故B错误，不符合题意； ，故C错误，不符合题意； ，故D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是掌握二次根式相关的运算法则． 17．（24-25八年级下·浙江台州·期末）若三边长分别为，，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的逆定理、二次根式的乘法，判断三角形是否为直角三角形，利用勾股定理的逆定理验证（两较短边的平方和等于最长边的平方）后，直接利用三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：∵，，， ∴，满足两较短边的平方和等于最长边的平方， ∴故为直角三角形，且直角边为和， ∴的面积为， 故选：A． 18．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）方程的解为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元一次方程的解法、二次根式的除法即可得． 【详解】解：， ， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解法、二次根式的除法，熟练掌握二次根式的除法法则是解题关键． 19．（19-20八年级下·安徽合肥·阶段检测）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简、无理数的估算，熟练掌握二次根式的乘除运算法则是解题关键．先根据二次根式的运算化简，再利用无理数的估算即可得． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴估计的值应在2和3之间， 故选：B． 20．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的乘法与除法，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键．把，分别代入甲，乙，丙计算的结果验证即可． 【详解】解：∵，， ∴，故甲正确， ，故乙正确； ，故丙正确； 故选：D． 题型5 同类二次根式 21．（17-18八年级下·北京朝阳·期末）下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质和同类二次根式，熟记同类二次根式的定义是解题的关键．先根据二次根式的性质进行化简，然后逐项判定即可． 【详解】解：A．与不能合并，故本选项不符合题意；     B．与不能合并，故本选项不符合题意；         C．与不能合并，故本选项不符合题意；         D．与能合并，故本选项符合题意．     故选：D． 22．（20-21八年级下·浙江·期末）若可以合并为一项，则可以是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 【答案】B 【分析】把每个选项的的值代入二次根式，化简后，再确定与是不是同类二次根式，从而可得答案. 【详解】解：可以合并为一项， 与是同类二次根式， 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 当时，与是同类二次根式；故符合题意； 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 当时，与不是同类二次根式；故不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查的是二次根式的化简，同类二次根式的识别，掌握同类二次根式的含义是解题的关键. 23．（22-23八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的加减乘除法则判断即可． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、与不是同类二次根式，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． 24．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，根据同类二次根式需化简后根号内的被开方数相同，将各选项化为最简二次根式后比较被开方数即可． 【详解】解：A、，被开方数为 ，与的被开方数不同，不符合题意； B、，被开方数为，与不同，不符合题意； C、，被开方数为，相同，符合题意； D、，被开方数为，与不同，不符合题意； 故选： C． 25．（24-25八年级下·河南安阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了同类二次根式，最简二次根式，先把二次根式化为最简二次根式，再根据题意得出最简二次根式与是同类二次根式，由此得出，即可求出的值． 【详解】解：， 若最简二次根式与可以合并， 则最简二次根式与是同类二次根式， 所以， 解得， 故选：D． 题型6 二次根式的混合运算 26．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的加、减、乘、除运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的各种运算法则． 根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：选项A：二次根式相加需被开方数相同才能合并，与无法合并，结果应为，故错误，不符合题意； 选项B：合并同类项：，不等于3，故错误，不符合题意； 选项C：二次根式相乘法则：，故，故错误，不符合题意； 选项D：二次根式相除法则：，故，正确，符合题意； 故选：D． 27．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）计算的值是（   ） A． B．4 C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．利用平方差公式直接计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 28．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用及二次根式和分式的运算，根据题意可得，且，将利用完全平方公式变形为，再利用分式加法法则结合完全平方公式整理为，最后将已知整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，且， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 29．（22-23八年级下·浙江台州·期末）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】根据完全平方公式，二次根式的运算求解； 【详解】解：； 故选：D 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的运算；掌握完全平方公式是解题的关键． 30．（21-22八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】代入选项，添加运算符然后化简，其结果不为有理数，即可选出答案 【详解】A．原式＝ ，结果为有理数； B．原式＝ ，结果为有理数； C．任意添加一种运算符号，其运算结果都为无理数； D．原式＝ ，结果为有理数． 故选择C． 【点睛】本题考查根式的运算，灵活运用根式的运算法则为关键． 题型7 二次根式的化简求值 31．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】将化为，将，代入值进行计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， 故选：B． 【点睛】本题主要考查求代数式的值，将式子进行配方以及采用整体代入法是解题的关键． 32．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将已知等式两边平方，利用完全平方公式展开得到，同理可得，再结合m的范围，判断的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题考查了二次根式的求值，完全平方公式，解题的关键是灵活运用完全平方公式建立两个式子之间的关系． 33．（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 【答案】A 【分析】先将原式变形为，再根据非负性的性质求出a、b、c的值，然后代值计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，二次根式的化简求值，正确根据非负数的性质求出a、b、c的值是解题的关键． 34．（20-21八年级下·河南濮阳·期末）已知，则的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 【答案】C 【分析】根据非负性求出x、y的值，代入求解即可． 【详解】解：∵（x﹣1）2+＝0， ∴x﹣1＝0，y+4＝0， 解得：x＝1，y＝﹣4， ∴＝＝＝4． 故选：C． 【点睛】本题考查二次方根的求值、偶次方和算术平方根的非负性、解一元一次方程，熟知偶次方和算术平方根的非负性是解答的关键． 35．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查完全平方公式，二次根式的混合运算，根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ∴， 故选：B． 题型8 二次根式的应用 36．（22-23八年级下·浙江湖州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【分析】将代入进行计算即可；将代入进行计算，再计算与的比值即可得出结论． 【详解】当时，（秒； 当时，（秒； ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的应用，二次根式的应用主要是在解决实际问题的过程中用到有关二次根式的概念、性质和运算的方法． 37．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 【答案】C 【分析】根据图形可以求得图中阴影部分的面积=大矩形面积正方形面积，本题得以解决． 【详解】由题意可得，大正方形的边长为，小正方形的边长为， ∴题图中阴影部分的面积为． 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式混合运算的实际应用，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 38．（20-21八年级下·江苏宿迁·期中）如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝， 那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中、∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（    ） A． B． C．18 D． 【答案】A 【分析】根据a、b、c的值，求出p的值，代入公式计算即可求出S． 【详解】解：∵a=5，b=6，c=7， ∴， 则S=． 故选：A． 【点睛】此题考查了二次根式的应用，以及数学常识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 39．（22-23八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，等边三角形和长方形具有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上，等边三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】D 【分析】设等边三角形的边长为a，根据等边三角形的性质可得其高为，则，解得，即长方形的长为，根据正方形的面积为2可得长方形的宽为，根据阴影部分的面积等于长方形的面积减正方形的面积即可求解． 【详解】解：设等边三角形的边长为a，如图，等边三角形，， 则， ∴ 即等边三角形的高为， ∵等边三角形的面积为， ∴， 解得：， ∴长方形的长为， ∵正方形的面积为2， ∴正方形的边长为， ∵正方形的四个顶点都在长方形的边上， ∴长方形的宽为， ∴长方形的面积为， ∴阴影部分的面积为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质、二次根式的应用，解题关键在于利用等边三角形和正方形的面积求出长方形的面积． 40．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 题型9 由一元二次方程的的定义求参数 41．（22-23八年级下·江苏·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一元二次方程的定义，需满足两个条件：最高次项的次数为2，且二次项系数不为0，据此列等式和不等式求解即可． 【详解】解：方程是一元二次方程， ∴且， 解得且， ∴． 42．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 43．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程定义，根据一元二次方程的定义，方程的最高次数为2，且二次项系数不为0，列方程求解即可得到答案，熟记一元二次方程定义是解决问题的关键． 【详解】解：关于的方程是一元二次方程， ，且， 解得或；且， ， 故选：C． 44．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，根据一元二次方程的二次项的系数不为0，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴； 故选D． 45．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义解方程求解以及不等式即可得出答案． 【详解】解：根据题意可得出且 解得：， 故选：A． 题型10由一元二次方程的解求参数 46．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解．把代入方程，进行求解即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， ∴； 故选：C． 47．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 【答案】D 【分析】将 代入方程，得到关于 m 的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为零）确定 m 的值．本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 或 ． 又∵ 方程为一元二次方程， ∴ 二次项系数 ，即 ， ∴， 故选D． 48．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程中得：， ， ． 故选：C． 49．（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．1或 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．根据一元二次方程的定义及根的性质求解，注意二次项系数不能为0的限制条件． 【详解】解：将代入方程，得， 解得，即， ∵二次项系数，即， ∴， 故选：A． 50．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将方程整理为：，通过变量替换，转化为原方程的形式，从而确定新方程的根． 【详解】解：将方程整理为：， 令，则方程变为，与原方程形式相同， ∵是关于y的方程的一个根， ∴， ∴， ∴关于x的方程必有一个根为2024， 故选：A． 题型11 求一元二次方程的解 51．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 由因式分解法即可求解． 【详解】解： 或。 解得：或， 故选：C． 52．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的解，根据两个方程解完全相同，确定根的和与积相等，进而求解参数． 【详解】解：方程的解为和， 方程的解为（需）， 因为两方程解完全相同，故根的和与积相等： ∴， 解得：， ， 代入得：， 解得， 故选：B． 53．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据配方法求解的基本步骤解答即可． 本题考查了配方法，熟练掌握配方的基本步骤是解题的关键． 【详解】解：原方程变形得：， 配方得：， 即， 故选：A． 54．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，利用配方法把一元二次方程变形为，所以，，然后求出m、n的值，最后计算它们的和即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴，， 解得， ∴． 故选：D． 55．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，解题的关键是掌握求根公式中字母所表示的意义．根据求根公式解答． 【详解】解：由知：，，． 所以该一元二次方程为：． 故选：A． 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数 56．（20-21八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式求解，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 即的取值范围是． 57．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，首先确保二次项系数不为零，再计算判别式，从而确定m的取值范围． 【详解】解：根据题意得且， 解得且， ∴m的值可能是1，不可能是0、2、3． 故选：B． 58．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键．根据方程没有实数根，得出，再逐一判断即可． 【详解】解：对于方程 ，其判别式为： 当方程无实数根时，需满足 ，即： 此不等式成立的条件是 与 符号相反， 若 ，则需 ，即 ， 若 ，则需 ，即 ， 则只有D选项满足第一种情况，此时 ，符合题意． 故选： D． 59．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】A 【分析】本题考查了新定义运算，根的判别式． 根据新定义的运算将方程转化为一元二次方程，再利用根的判别式求值即可． 【详解】解：∵，， ∴，即， ∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得． 故选：A． 60．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查根的判别式及分式方程的解法，求得的取值范围是解题的关键．先利用判别式的意义得到且，再解把分式方程化为整式方程得到，利用分式方程有正数解可得到关于的不等式组，则可求得的取值范围，则可求得满足条件的整数的个数． 【详解】解：方程有两个不相等的实数根， 且，解得且， 分式方程去分母得，解得， 分式方程有正数解， 且，解得且， 的范围为且，， 符合条件的整数的值是，即符合条件的只有一个， 故选：． 题型13 换元法解一元二次方程 61．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程. 根据题意把看做一个整体，根据方程的解，可得或，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，， ∴方程的解满足或， 解得，， 故选：B． 62．（20-21八年级下·浙江·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 【答案】A 【分析】对于一元二次方程，设t=x-1得到at2+bt+3=0，利用at2+bt+3=0有一个根为t=2020得到x-1=2020，从而可判断一元二次方程必有一根为x=2021． 【详解】解：对于一元二次方程， 设t=x-1， 所以at2+bt+3=0， 而关于x的一元二次方程ax2+bx+3=0（a≠0）有一根为x=2020， 所以at2+bt+3=0有一个根为t=2020， 则x-1=2020， 解得x=2021， 所以一元二次方程必有一根为x=2021． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的定义：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 63．（25-26八年级上·山西朔州·期末）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】D 【分析】本题考查换元法和完全平方公式的应用，通过设，将原式转化为关于的方程，利用完全平方公式展开求解即可． 【详解】解：∵ ∴设，则， ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ 即 故选：D． 64．（22-23八年级下·安徽·期末）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 【答案】D 【分析】本题考查解一元二次方程，利用换元法解方程即可． 【详解】解：令，则：， 原等式可化为：， 整理，得：， 解得：， ∵， ∴，即：； 故选：D． 65．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了换元法解一元二次方程，令，则方程即为方程，根据题意可得方程的解是，则或，据此求解即可． 【详解】解：令，则方程即为方程， ∵方程的解是，， ∴方程的解是， ∴或， 解得， ∴程的解是， 故选：B． 题型14 一元二次方程的根与系数的关系 66．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，由一元二次方程中，代值求解即可得到答案，熟记一元二次方程根与系数的关系求解是解决问题的关键． 【详解】解：， ，，， ； 故选：C． 67．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了完全平方公式，根与系数的关系．根据完全平方公式可变形为，再利用完全平方公式可得，最后利用根与系数的关系即可解答． 【详解】解：根据完全平方公式将原式变形变形，得： ， 再利用完全平方公式可得， 故原式， ，是一元二次方程的两个实数根， ，， 原式， 故选：B． 68．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了根与系数的关系等知识点，根据一元二次方程根与系数的关系得出和，再利用整体思想即可解决问题，熟知一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 【详解】∵，是方程的两个根， ∴，， ∴ ， 故选：B． 69．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（    ） A．或3 B． C．3 D．或7 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得出，，根据，，得出，求出，，根据，得出，即可求出结果． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， ∴， 即， 解得：，， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了根与系数的关系，根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，是解题的关键． 70．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程有两个实数根，得到，根据根与系数的关系，得到，进行求解即可． 【详解】解：设方程的两个根为，则， ∴， ∴解得， 又方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查根与判别式以及根与系数的关系．熟练掌握相关知识点，列出不等式，是解题的关键． 题型15 一元二次方程的应用 71．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）某公司计划用的材料沿墙（可利用）造一个面积为的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出仓库的长和宽，然后根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设仓库中和墙平行的一边长为，则垂直于墙的一边长为， 根据仓库面积为列方程得： 整理得：． 72．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）随着生产技术的进步，某款药品的生产成本逐年下降．两年前生产1吨药品的成本是5000元，现在生产1吨该款药品的成本是3000元，设药品成本的年平均下降率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设药品成本的年平均下降率为x，初始成本为5000元，经过两年下降后变为3000元，据此列出方程即可． 【详解】解：设药品成本的年平均下降率为x，根据题意得： ． 故选：D． 73．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查连续两次降价的应用题，需建立二次方程模型．根据两次降价的百分率相同，每次降价后的价格为原价乘以，两次降价后的总价格即为原价乘以，由此建立方程即可． 【详解】解：设每次降价的百分率为，则第一次降价后的价格为元， 第二次降价后的价格为元． 根据题意，最终价格为2025元， ∴方程为：； 故选：B 74．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是了解销售量，利润之间的关系． 设每个电子产品降价x元，则销售量为件，每个的利润为元，根据每个的利润销售量总利润即可建立方程． 【详解】解：设每个电子产品降价x元，可列出方程为： ， 故选：D． 75．（24-25八年级下·浙江温州·期末）温州市2022年（国内生产总值）约为8030亿元，2024年约为9719亿元．设这两年温州市的平均增长率为，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，平均增长率的方程建立，需根据复利增长模型列出方程． 【详解】解：设年平均增长率为，则2023年的为亿元，2024年的在2023年基础上再增长，即， 根据题意，2024年为9719亿元，因此方程为：． 故选：A． 题型16 平均数 76．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若数据，3，5，的平均数为4，则数据，的平均数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是平均数的定义，根据平均数的定义，先求出四个数的总和，再结合已知条件求出m与n的和，最后计算m和n的平均数即可． 【详解】解：由题意，数据m、3、5、n的平均数为4， 可得：两边同时乘以4， 得：， 合并常数项，得：， 因此：， ∴数据m、n的平均数为：； 故选：B． 77．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 【答案】C 【分析】本题考查了加权平均数的概念及应用，利用加权平均数的概念分析人数是解决本题的关键． 根据加权平均数的概念，年级平均分由男生和女生的平均分及其人数比例决定，比较各校年级平均分与男女平均分的距离，可推断男生比例高低． 【详解】解：甲学校分析：年级平均分92分，介于男生95分和女生85分之间， 92距95差3分，距85差7分，说明男生人数多于女生，男生比例更高； 乙学校分析：年级平均分91分，介于男生97分和女生87分之间， 91距97差6分，距87差4分，说明女生人数多于男生，女生比例更高， A：年级平均分无法推断总人数，错误； B：男生人数需结合总人数，无法确定，错误； C：甲校男生比例高于乙校，正确； D：甲校男生多于女生，错误． 故选：C． 78．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）淘票票的评分界面中记录了电影《集结号》不同打分的人数． 评分（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（个） 56 502 0 0 1398 2516 2795 36894 111800 403039 则由表中的数据，该电影评分的平均分正确预测是（    ） A．在1分到6分之间 B．在7分到8分之间 C．在8分到9分之间 D．在9分到10分之间 【答案】D 【分析】本题主要考查了求加权平均数，用对应评分乘以其对应人数并求和后除以总人数即可得到答案． 【详解】解： 分， 故选：D． 79．（22-23八年级下·山东临沂·期末）某快递员十二月份送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 4元单 6元单 则该快递员十二月份平均每单送餐费是（   ） A．元 B．元 C．5元 D．元 【答案】A 【分析】根据加权平均数的公式计算，即可求解． 【详解】解：该快递员十二月份平均每单送餐费是：（元）， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了求加权平均数，熟练掌握加权平均数的公式是解题的关键． 80．（22-23八年级下·浙江金华·期末）已知一组数据，，，的平均数为6，则另一组数据，，，的平均数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．不确定 【答案】C 【分析】根据平均数的求法解答即可． 【详解】解：一组数据，，，的平均数为：， 另一组数据，，，的平均数为：． 故选：C． 【点睛】本题考查算术平均数，解答本题的关键是明确题意，求出相应的平均数． 题型17 中位数与众数 81．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）为落实“双减”政策，增强学生体质，学校开展一分钟跳绳比赛，某7名选手一分钟跳绳个数分别为：182，183，182，194，183，182，195，则这组数据的中位数是（    ） A．182 B．183 C．183.5 D．184 【答案】B 【分析】本题考查了求中位数，求中位数需先将数据按大小顺序排列，若数据个数为奇数，则中位数为中间位置的数；若为偶数，则为中间两个数的平均数． 【详解】将原数据从小到大排列：182，182，182，183，183，194，195， 共有7个数据（奇数个），中位数为第4个数． 因为排序后第4个数为183， 所以中位数为183． 故选B． 82．（24-25八年级下·浙江金华·期末）车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下： 生产零件个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16 工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1 则工人生产的机器零件的中位数和众数分别是（    ）． A．7，10 B．8，10 C．8，9 D．9，8 【答案】D 【分析】本题考查了众数和中位数的定义，正确理解定义并会求众数和中位数是解题的关键．一组数据中出现次数最多的数据是这组数据的众数，居中的一个数据或两个数据的平均数是这组数据的中位数，根据定义解答． 【详解】解：根据题意，这组数据中的8出现4次，且次数最多，故这组数据的众数是8个， 这组数据中共有15个数据，居中的一个数是9， 故这组数据的中位数是9个， 故选：D． 83．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某线上自习室统计了9名学生自主设置的“专注模式”时长数据（单位：分钟）：30，40，40，55，40，40，95，40，25．若平台想推荐默认时长，那么最合适的方式是（    ） A．把众数40分钟作为默认时长 B．把最少时间25分钟作为默认时长 C．把平均数45分钟作为默认时长 D．把最长时间95分钟作为默认时长 【答案】A 【分析】本题考查了众数、平均数、中位数等知识，选择众数作为默认时长最合适，因它代表多数学生的设置，而平均数受极端值影响． 【详解】解：将时长数据从小到大排列为25，30，40，40，40，40，40，55，95． 中间的数为40，故中位数为40分钟， 40出现次数最多（5次），故众数为40分钟， 总和为，平均数为分钟， A（众数40）：反映多数学生的选择，适合作为默认值， B（最小值25）、D（最大值95）：均为极端值，不符合普遍需求， C（平均数45）：受极端值95影响偏高，偏离多数设置， 综上，众数40最符合平台推荐需求， 故选：A． 84．（24-25八年级下·浙江温州·期末）杜鹃花是苍南县的县花，品种多样，“春鹃”是其中的一种．某兴趣小组对7株“春鹃”的花径进行测量，记录所得数据为（单位：）：5.5，5.7，5.5，5.6，5.8，5.7，5.8，则这7株“春鹃”花径的中位数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查中位数，将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．根据中位数的定义求解即可． 【详解】解：将7个数据从小到大排列为：5.5，5.5，5.6，5.7，5.7，5.8，5.8， 数据个数为奇数，中位数为第4个数， 第4个数为5.7，因此中位数为， 故选：C． 85．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）某班七个兴趣小组人数分别为3，3，4，x，5，5，6．已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了平均数，中位数，熟练掌握平均数和中位数的概念是解题的关键．先根据平均数求出未知数x的值，再将所有数据从小到大排列，确定中间位置的数即为中位数． 【详解】解：∵这组数据的平均数是4， ∴这组数据之和为， ∴， 将七个数按从小到大排列为：，，，，，，， ∴中位数为， 故选：B． 题型18 离差平方和与方差 86．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）小红同学对数据22，34，28，27，4■，43进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 【答案】D 【分析】根据平均数、方差、众数、中位数的定义，判断各统计量是否与被涂污的个位数字有关即可得到结果． 【详解】解：∵这组数据的平均数、方差和众数都与被涂污数字有关， 而这组数据从小到大排列后，最中间两个为， 故中位数为，与被涂污数字无关， ∴与被涂污数字无关的统计量是中位数． 87．（20-21八年级下·浙江台州·期末）一城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树苗的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如表： 苗圃 甲 乙 丙 丁 树苗平均高度（单位：m） 1.7 1.8 2.0 2.0 方差 0.2 0.5 0.8 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（    ） A．甲的树苗 B．乙的树苗 C．丙的树苗 D．丁的树苗 【答案】D 【分析】本题主要考查方差和平均数，解题的关键是理解方差和平均数的定义；由表格可知丙和丁的平均数一样大，且丁的方差小于丙的方差，进而问题可求解． 【详解】解：由表格可知：丙和丁的平均数一样大，且丁的方差小于丙的方差，所以应选购丁的树苗； 故选：D． 88．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）给出一组数据：a，b，c，c，，将这组数据改变为，b，c，c，后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 【答案】C 【分析】本题主要考查方差、众数、中位数和平均数的定义，比较两组数据的统计量，逐一分析平均数、中位数、众数、方差的变化情况即可求解． 【详解】平均数：原数据总和为，改变后总和为 ，总和不变，故平均数不变，选项A不符合题意； 中位数：原数据按升序排列为a，b，c，c，，中位数为第三个数 ；改变后数据为，b，c，c，，仍按升序排列，中位数仍为第三个数 ，故中位数不变，选项B不符合题意； 众数：原数据众数为出现次数最多的 （两次）；改变后数据仍有两个 ，其他数各出现一次，众数仍为 ，选项D不符合题意； 方差：方差反映数据与平均数的偏离程度，虽然平均数不变，但 变为 ， 变为 ，两者离平均数的距离均增加2，偏离程度与之前相比已改变，因此，方差必然变化，选项C符合题意； 故选：C． 89．（24-25八年级下·浙江台州·期末）果树结果中期，果农要对果实进行疏果（去除一定量小果子，以优化营养分配）．对于同一棵果树疏果前后进行比较，疏果后树上的果实重量（   ） A．平均数增大，方差增大 B．平均数增大，方差减小 C．平均数减小，方差增大 D．平均数减小，方差减小 【答案】B 【分析】本题考查平均数，方差，掌握相关概念是解决问题的关键．疏果后去除了较小的果实，剩余果实的重量整体增大且分布更集中，导致平均数增大，方差减小． 【详解】解：疏果去除的是重量较小的果实，剩余果实的重量均较大，因此整体数据的平均数会增大；原数据包含大小不一的果实，离散程度较大，疏果后较小值被剔除，数据分布范围缩小，集中度提高，因此方差减小． 故选：B． 90．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 根据这个记录的成绩选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】B 【分析】本题考查了平均数和方差，根据平均数和方差的意义判断即可求解，掌握平均数和方差的意义是解题的关键． 【详解】解：甲和乙的平均分均为分，是四人中最高，因此，成绩好的同学应在甲、乙中选择；又因为甲的方差为，乙的方差为，方差越小，发挥越稳定，故乙的稳定性优于甲，综上，选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择乙， 故选：． 题型19 四分位数与箱线图 91．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（   ） A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 【答案】D 【分析】本题考查箱线图的概念与结构，统计量的识别，准确识别箱线图中各部分对应的统计量是解题关键． 根据箱线图的结构，可直接读取下四分位数、中位数、最大值等统计量，但平均数没有体现． 【详解】解：据图可知，该箱线图的最大值为，下四分位数为，中位数为，没有体现平均数． 故选：． 92．（25-26八年级上·山东青岛·期末）祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 【答案】A 【分析】本题考查了求四分位数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先根据四分位数的定义计算出对应位置，再通过累计频数确定对应位置的数字，注意题目中“上四分位数、下四分位数”的顺序． 【详解】解：将100个数字按从小到大排列， 数字0出现8次；数字1出现8次；数字2出现12次；数字3出现11次；数字4出现10次；数字5出现8次；数字6出现9次；数字7出现8次；数字8出现12次；数字9出现14次，总共有100个数据， 第25、26个数都是2， ∴下四分位数是， 第75、76个数都是8， ∴上四分位数是， 故选：A． 93．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是小强某次练习射击成绩的箱线图（单位：环），则这组数据的下四分位数是（    ） A．8.5环 B．7环 C．6环 D．5环 【答案】C 【分析】本题考查了箱线图的知识，理解箱线图的数据是关键，根据箱线图即可得到下四分位数是6，由此即可求解． 【详解】解：根据图示得到，这组数据的下四分位数是6环， 故选：C ． 94．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的上四分位数是（   ） A．5 B．6．5 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查箱线图，掌握箱线图的概念及计算是关键，根据位于数据序列位置处的数，也称为上四分位数，通过排序、计算位置、确定对应数据三步求解． 【详解】解： 将数据从小到大排序为：5，5，6，7，8，9， ∵ 上四分位数即第位置的数，计算得：， ∵ 当计算结果为非整数时，取比该数大的最小整数对应的位置，即第5个数据， ∴ 这组数据的上四分位数是8， 故选：D． 95．（25-26八年级上·广东茂名·期末）春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7在投中球数的这组数据中，下四分位数为（   ） A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了下四分位数的概念，下四分位数是数据从小到大排列后，前一半数据的中位数．数据共有12个，因此前6个数据的中位数即为下四分位数． 【详解】解：∵ 投中球数数据为：8，9，6，7，6， 6，7，10，9，9，8，7， 将其从小到大排列：6，6，6，7，7，7，8，8，9，9，9，10， ∵下四分位数为前6个数据的中位数，即第3和第4个数据的平均值， ∴ 下四分位数为， 故选：B． 题型20 多边形 96．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了四边形的内角和是360度的实际运用．根据多边形的内角和定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 故选B． 97．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在四边形中，与互补，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多边形的内角，利用四边形内角和为及互补角的性质求解． 【详解】解：四边形的内角和为， ∵与互补， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 98．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知边形的内角和为，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】B 【分析】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理．根据边形的内角和为列出关于的方程，解方程即可求出边数的值． 【详解】解：根据题意：， 解得：． 故选：B． 99．（2014·北京丰台·二模）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多边形的内角和和外角和问题，设这个多边形的边数为，根据多边形的内角和公式和外角和并结合题意得出方程，解方程即可得出答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意得：， 解得：， 故这个多边形的边数是， 故选：D． 100．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了多边形内角和定理，根据n边形的内角和为进行求解即可． 【详解】解：六边形的内角和是， 故选：C． 题型21 平行四边形及其性质 101．（24-25八年级下·浙江台州·期末）在平行四边形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质． 利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】解：在平行四边形中，对角相等，即， 故选：D． 102．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 【答案】A 【分析】由三角形的面积公式得到，而，即可得到，即可得到答案． 本题考查平行四边形的性质，三角形的面积，关键是由三角形和平行四边形的面积公式得到． 【详解】解：，分别是和的中点， ，， ， ， ， ， 与的面积之和不变． 故选：A． 103．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，在上取点，使，连结，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，下列代数式值不变的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质与判定等知识，掌握这些知识点是解题的关键．设，则，由平行四边形的性质得，；由等腰三角形的性质及三角形内角和得，从而；在上取点G，连接，使，则，故有；再由得，得，即，从而确定答案． 【详解】解：设，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴； ∵， ∴， ∴； 在上取点G，连接，使， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 即； 故当，发生变化时，代数式的值不变； 故选：B． 104．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点F为上一点，若，，且，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、等腰三角形的性质、等高三角形面积的比等于底的比等知识．设，由，得，由平行四边形的性质得，，由，得，则，由，，推导出，得出，则，再求得，进而可得出答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线，交于点O， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 105．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，的对角线交于点O，的平分线交于点E，连结．若，则下列结论：①；②；③，正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【答案】A 【分析】本题考查的是平行四边形的性质，根据平行四边形的性质得到，根据角平分线的性质求出，得到，得到，根据含角的直角三角形的性质得到；根据等腰三角形的性质得到；根据题意得出，得到． 【详解】解：∵四边形为平行四边形，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴，故①结论正确； ∵四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，故②结论正确； ∵平分， ∴不能平分， ∴，即， ∴，故③结论错误； 故选：A． 题型22 图形的旋转 106．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意， B不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， C不是轴对称图形，但它是中心对称图形，不符合题意， D是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意， 故选：D． 107．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由旋转的性质可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点O按逆时针方向旋转后得到， ∴， ∵， ∴． 108．（23-24八年级下·浙江温州·期末）在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求关于原点对称的点的坐标，根据关于原点对称的点横纵坐标都互为相反数进行求解即可． 【详解】解：点关于原点成中心对称的点的坐标是， 故选：D． 109．（2024·湖南邵阳·二模）如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定等知识．熟练掌握成中心对称图形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定是解题的关键． 由与关于点 O 成中心对称，可得，则，，可判断A；证明，可判断D；由，可得，可判断B；不一定成立，可判断C． 【详解】解：∵与关于点 O 成中心对称， ∴， ∴，，故A不符合要求； ∵，，， ∴，故D不符合要求； ∴， ∴，故B不符合要求； 不一定成立，故C符合要求； 故选：C． 110．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，．则四边形形状的变化依次为（     ） A．平行四边形→矩形→正方形→菱形 B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 【答案】B 【分析】根据对称中心的定义，菱形的性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】∵四边形的菱形，点为对称中心， ∴， ∵点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点， ∴，， ∴四边形是平行四边形，如图， 当时，平行四边形是矩形，如图， ∵点继续向点运动（没有与点重合）， ∴，， ∴四边形是平行四边形，如图， 当点与点重合时，四边形是菱形， ∴四边形先是平行四边形，当对角线相等时是矩形，然后又是平行四边形，最后点与点重合时是菱形， 故选：B． 【点睛】本题考查了中心对称、平行四边形、菱形的知识，解题的关键是掌握菱形的判定和性质、平行四边形的判定与性质． 题型23 平行四边形的判定定理 111．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】C 【分析】本题考查作图复杂作图、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 由作图痕迹可知，，，可得四边形为平行四边形，进而可得答案． 【详解】解：由作图痕迹可知，，， 四边形为平行四边形， 判定四边形为平行四边形的直接依据是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 故选：C． 112．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，根据题意可知两组对边分别平行的四边形即是平行四边形，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两组对边分别平行的四边形为平行四边形， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 113．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边上一点，则下列条件中，不能说明四边形为平行四边形的是（    ） A．为的中点 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，根据平行四边形的性质，得出，，根据中点得出，根据平行四边形的判定逐项判断即可，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵在中，点是边的中点， ∴，，， ∴， A、为的中点， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； B、，不能说明四边形为平行四边形，符合题意； C、， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； D、， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，不符合题意； 故选：B． 114．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键．两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；两组对角分别相等的四边形是平行四边形． 根据添加的条件和平行四边形的判定方法逐项判断即可解答． 【详解】解：A、添加后，四边形一组对边平行，另一组对边相等，不一定是平行四边形，有可能为等腰梯形，不合题意； B、添加，得出，不能判定为平行四边形，不符合题意； C、添加，得出，不能判定为平行四边形，不合题意； D、添加，根据一组对比平行且相等的四边形是平行四边形可以判定为平行四边形，符合题意． 故选：D． 115．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在菱形中，点O为对角线 的中点，点E、F分别为线段、上的点，的延长线交线段于点H，的延长线交线段于点 G，连接、、、，以下结论：①；②若，则；③存在无数个点E，使得四边形为菱形；④若四边形为矩形，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 【答案】A 【分析】证明四边形是平行四边形，得出，可判定①正确；证明得到从而可得，可判定②正确；当时，可得四边形是菱形，则存在无数个点E，使得四边形为菱形；可判定③正确；根据无法得出，即无法证明，可判定④不正确． 【详解】解：∵四边形是菱形，点O为对角线 的中点， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴，故①正确； 设与相交于M，如图， 若，则， ∵菱形， ∴，， 又∵， ∴ ∴ ∴， 即，故②正确； ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， ∴存在无数个点E，使得四边形为菱形；故③正确； 要证明，可证， 即需要证明， 若四边形为矩形， ∴， 由①可知，， 但是根据无法证明， 即无法证出，故④不正确． 综上，正确的有①②③， 故选：A． 【点睛】本题菱形的性质和判定，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 题型24 中位线的应用 116．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．连接，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．12 C．18 D．24 【答案】B 【分析】本题考查了三角形中位线定理．解题的关键是根据中位线定理得出边之间的数量关系． 利用三角形的中位线定理可以得到：，，，则的周长是的周长的2倍，据此即可求解． 【详解】解：∵D、E分别是的边、的中点， ∴， 同理，，， ∴ ； ∵的周长为6， ∴的周长为． 故选：B． 117．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，是的中点，在边上．若，则的长为（   ）． A．3 B． C． D．4 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理求解边长，中位线的性质以及等腰三角形的性质，得到得到为的中位线是解决本题的关键． 根据勾股定理求解边的长度，通过作辅助线构造平行线，得到为的中位线，再由角度相等可得为等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可求解． 【详解】解：取的中点记作F，连接，如图， 因为在中，，， 所以有勾股定理可得，， 因为点D，F分别为的中点， 所以，且， 所以， 因为， 所以， 所以为等腰三角形， 所以， 又因为点F为的中点， 所以， 所以． 故选：D ． 118．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边与网格对角线的交点，连结，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中位线定理，熟练掌握正方形性质，矩形性质，勾股定理 ，三角形中位线性质，是解题的关键 根据正方形和矩形性质，证明出是的中位线，求出的值，即得的䐈． 【详解】解：∵点D是正方形对角线的交点，E是矩形对角线的交点，如图， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 119．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，三角形中位线定理，根据三角形中位线定理推出，则可证明四边形是平行四边形，根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 根据现有条件无法证明四边形是平行四边形，故甲说法正确，乙说法不正确， 故选：B． 120．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，三角形中位线，勾股定理，先根据直角三角形的性质求出，再根据勾股定理求出，进而求出，由题意易证是的中位线，即可解答． 【详解】解：∵，点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∵， ∴，即点是的中点， ∴是的中位线， ∴． 故选：A． 题型25 反证法 121．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，解此题，关键要懂得反证法的意义和步骤，在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设等腰三角形的底角大于或等于， 故选： D． 122．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查命题，解题关键在于根据反证法定义即可求得答案．了解反证法证明的方法和步骤，反证法的步骤中，首先假设某命题不成立（即在原命题的条件下，结论不成立），然后推理出明显矛盾的结果，从而下结论说原假设成立． 【详解】解：原命题为“若，则”， 根据反证法，需假设结论不成立，“”， 则用反证法证明“如果，那么”时，应先假设“”． 故选：A． 123．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　） A．这个三角形中有一个内角大于 B．这个三角形中有一个内角大于等于 C．这个三角形中每一个内角都大于 D．这个三角形中每一个内角都小于 【答案】D 【分析】本题考查了反证法，明确反证法的意义和反证法的步骤是解答的关键．根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，据此解答即可． 【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立， 即假设这个三角形中每一个内角都小于． 故选：D． 124．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“若在中，，则”时，首先应假设， 故选：C． 125．（23-24八年级下·浙江温州·期末）用反证法证明命题“若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反证法，使用反证法时，需假设原命题的结论不成立．原命题的结论是，其否定应为． 【详解】解：命题为“若，则”．其中条件是，结论是． 假设结论不成立，即在原条件下，结论的否定成立． 的否定是， 故选：D 题型26 矩形的性质与判定 126．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，先整理得，再结合图形得，因为已知与的面积差，则只需要知道的长，即可作答． 【详解】解：依题意，， 则 ， 要求矩形的周长，求出即可， 现已知与的面积差， 则只需要知道的长． 故选：A． 127．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，连接，由矩形的性质可得，，，即可得是的垂直平分线，得到，利用勾股定理求出即得的长，进而即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 128．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，垂直的性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质可得，由等边对等角可得，利用三角形外角性质可得，结合，即可求出. 【详解】解： 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ． 故选：A． 129．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，根据经过某一条线段的中点，并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线，线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线可得，根据矩形的对边平行且相等，四个角都是直角可得，，，根据两直线平行，内错角相等可推得，根据等角对等边可得，根据斜边及另一条直角边对应相等的两个直角三角形是全等三角形，全等三角形的对应角相等可得，结合直角三角形中两个锐角互余可得，推得是直角三角形，根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半可得，设，则，根据直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方即可列出方程，解方程求出的值，即可求解． 【详解】解：连接、，如图， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴， 即， ∴是直角三角形， ∴， 设，则， 即， 在中，， 在中，， 即，， 解得：， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的定义，矩形的性质，平行线的性质，等角对等边，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 130．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】题目主要考查平移的性质及矩形的判定，理解题意，熟练掌握平移的性质是解题关键． 连接，根据 题意得出，，确定四边形是矩形，再由平移的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接． ∵平移， ∴，， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 题型27 菱形的性质与判定 131．（2020·河北·模拟预测）在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用菱形的性质可得，结合等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴平分， ∴， ∵， ∴． 132．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】B 【分析】本题主要考查平行四边形，菱形，矩形的判定和性质，掌握菱形，矩形的判定和性质是关键． 根据题意得到，四边形是平行四边形，结合菱形，矩形的判定和性质求解即可． 【详解】 解：∵， ∴四边形是平行四边形， A．若时，平行四边形是菱形， 不能判定，故不符合题意； B．若时，平行四边形是菱形， ∴，故符合题意； C．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意； D．若时，平行四边形是矩形， 不能证明，故不符合题意． 故选：B． 133．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了菱形的性质，等腰三角形的性质以及平角和为，由菱形的性质表示出各个角并由平角列式是解决本题的关键． 由菱形的性质可表示出与，再由可得，根据为平角列式即可求解． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴为等腰三角形， 即， ∵， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 又∵， 即， 整理可得． 故选：A ． 134．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接、，由垂直平分，垂直平分，得，，则，，由平行四边形的性质得，，则，所以，则，而，可证明四边形是菱形，则，所以，则，由，且，，得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连接、， ∵是点B关于的对称点，是点D关于的对称点， 垂直平分，垂直平分， ，， ∵，都在对角线上， ，， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形， ， ， ， ，且，， ， 故选：D． 【点睛】此题重点考查平行四边形的判定与性质、轴对称的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的“三线合一”等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 135．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，，对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，则的长为（　　）    A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】通过证明四边形是平行四边形即可得出其是菱形的结论，根据勾股定理得出，进而利用勾股定理解答即可． 【详解】解：设与交于点    ∵对角线的垂直平分线与边，分别交于点，， ∴，，， 在矩形中，， ∴， 又∵， ∴ ∴， ∴四边形是菱形， 在矩形中，， ∴ 在Rt中，， ∴， 设，则 在中，，解得， 在中，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，解题的关键是掌握菱形的性质并灵活运用．菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质； ②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线． 题型28 利用菱形的性质求面积 136．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的对角线互相平分，垂直，可得，，，再由勾股定理求解，最后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图： ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴菱形的面积为， 故选：C． 137．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】A 【分析】本题考查菱形的性质，直角三角形斜边的中线，关键是由直角三角形斜边中线的性质推出，掌握菱形的面积公式． 由菱形的性质推出，由直角三角形斜边中线的性质推出，于是得到菱形ABCD的面积． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， 菱形的面积， 故选：A． 138．（20-21八年级下·浙江宁波·期末）如图1，图形、图形是含内角的全等的平行四边形纸片（非菱形)，先后按图2()、图3()的方式放置在同一个含内角的菱形中．若知道图形②与图形⑤的面积差．则一定能求出（  ） A．图形①与图形③的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和 C．图形①与图形③的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差 【答案】D 【分析】根据题意设平行四边形较长的一边为，较短的一边为，菱形的边长为，先用字母表示出图形②、⑤的面积，根据题意得到为已知，再用字母分别表示出图形①、②、③、④、⑤、⑥的周长，进行计算即可得出正确的选项． 【详解】解：设平行四边形较长的一边为，较短的一边为，菱形的边长为， 则图形②的高为，图形⑤的高为， 图形②的面积， 图形⑤的面积， ， 图形②的， 图形⑤的， ， 故C选项不符合题意； 图形①的周长， 图形③的周长， ， 故A选项不符合题意； 图形④的周长， 图形⑥的周长， ， 故B选项不符合题意； ， 根据题意，为已知，即为已知， 故D选项符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的性质、全等图形和平行四边形的性质，解题的关键是根据用字母根据菱形及平行四边形的性质表示出各条线段． 139．（21-22八年级下·浙江台州·期末）将3个相同的矩形按如图所示摆放在菱形ABCD中，若每个矩形的周长为4，则菱形ABCD的面积为（    ） A． B． C．4 D． 【答案】A 【分析】如图，左侧的矩形为EFGH，求出AH＝AG－HG＝EH＋HG－HG＝EH，可得∠HAE＝∠HEA＝45°，进而求出GA＝GB＝2，然后利用勾股定理求出AB，可得BC，再根据菱形的面积公式计算即可． 【详解】解：如图，左侧的矩形为EFGH，则A、H、G三点共线，∠AHE＝∠AGB＝90°， ∵3个矩形相同， ∴AG＝EH＋HG， ∴AH＝AG－HG＝EH＋HG－HG＝EH， ∴∠HAE＝∠HEA＝45°， ∴∠B＝45°， ∴GA＝GB， ∵每个矩形的周长为4， ∴GB＝GA＝EH＋HG＝2， ∴AB＝， ∵四边形ABCD是菱形， ∴BC＝AB＝， ∴菱形ABCD的面积为：BC·AG＝， 故选：A． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理以及菱形的性质，求出∠HAE＝∠HEA＝45°，证明GA＝GB是解答本题的关键． 140．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）如图是一个由5张纸片拼成的菱形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中周围四张小平行四边形纸片都全等，中间一张纸片的面积为．连结BE，BG，DE，DG，四边形BEDG的面积为，若，则周围小平行四边形的宽与长的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作辅助线构建平行四边形的高线，设小平行四边形的宽是x，长是x，DQ=h，PQ=h1，根据图形可知：S2=S菱形ABCD-4S△BGN-2S▱，S1=GH•（h-h1），根据S2＝S1代入计算可得结论． 【详解】解：如图，过点D作DP⊥BC，交BC的延长线于P，交MG的延长线于Q， 设小平行四边形的宽是x，长是y，DQ=h，PQ=h1， ∵周围四张小平行四边形纸片都全等， ∵EH=GH=FG=EF=y-x， ∴四边形EFGH是菱形， ∵S2＝S1， ∴，即， ∴， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了菱形的性质和判定，平行四边形的性质和面积，用参数表示线段的长和面积并计算是解本题的关键． 题型29正方形的性质与判定 141．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接、．若已知的值，则能求出的三角形面积是（   ）． A．三角形 B．三角形 C．三角形 D．三角形 【答案】A 【分析】延长交于点H，根据直角三角形与正方形性质得，，，得四边形是矩形，得，得的值已知，可求． 【详解】解：延长交于点H， ∵在、正方形和正方形中，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的值已知， ∴可以求出． 故选：A． 【点睛】此题主要考查勾股定理．熟练掌握勾股定理，直角三角形性质，正方形的性质，矩形的判定和性质、三角形面积公式，是解题的关键． 142．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点F是线段上的一点，且，则（    ） A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得，整理得 ，得，则，运用勾股定理算出，根据等面积法进行列式计算得，再证明四边形是矩形，得，，运用勾股定理，在中，，即可作答． 【详解】解：∵四边形和四边形都是正方形．， ∴，， 则，， 即， ∴， ∴， ∵，且 ∴ 即 过点G作，过点G作，如图所示： ∴， ∴， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 在中，， 故选：D 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 143．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由题意可得小正方形的边长为2，再由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点，可得，再由三角形面积公式即可求解． 【详解】解：∵小正方形面积为4， ∴， ∵四个全等的直角三角形围成一个大正方形，，，，为各直角边中点， ∴， ∴阴影部分面积为， 故选：D． 144．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，延长到，连结，过点作，分别交、于点、，连结，则下面哪个图形的面积与的面积相等（   ） A．四边形 B． C．四边形 D． 【答案】D 【分析】设交于点P，过点E作，垂足分别为点M，N，则，根据角平分线的性质可得，，再证明，可得，，从而得到，，进而得到，即可求解． 【详解】解：如图，设交于点P，过点E作，垂足分别为点M，N，则， 在正方形中，， ∴， 在中，， ∵， ∴是直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了正方形的判定和性质，角平分线的性质，熟练掌握正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 145．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图是正方形纸片，点在边上（不与点，重合），连接．把四边形翻折，折痕为，点A，分别落在，处．若，则点到点A的距离可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了根据正方形性质计算线段长，解题的关键是确定的取值范围，连接，与相交于点，由折叠的性质可知垂直且平分，，由勾股定理可得当时，依据的取值范围得到的范围，进而得到的范围，据此解答即可． 【详解】解：连接，与相交于点，由折叠的性质可知垂直且平分， ， 由图可知，在正方形中，， 当点与点重合时，， 当点与点重合时，此时， 点在边上（不与点，重合）， ， ， 在中，当时， ， 此时， 当点与点重合时，, ， ， ，，，中，只有在此范围内， C选项符合题意， 故选：C． 题型30 图形的折叠问题 146．（25-26八年级上·浙江丽水·期末）如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握折叠的性质．根据矩形的性质得出，，，根据折叠得出，，，根据勾股定理求出，设，则，，根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， 根据折叠可知：，，， ∴， 设，则，， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴． 故选：C． 147．（18-19八年级下·浙江温州·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形外角性质，轴对称的性质．利用正方形的性质得到，推出，由折叠的性质得到，进而得到，根据即可得到的大小． 【详解】解：四边形正方形， ，， ， ， 由折叠的性质可知：， ， ． 故选：B． 148．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质和中点性质可得，所以，由勾股定理可求的长，由面积法可求，的长，进而根据勾股定理可求解． 【详解】解：如图，连接于交于点， 点是的中点， ， 将沿折叠， ， ， ， 是直角三角形， ，，， ， 将沿折叠， ，， ， ， ， ， ． 故选：． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，直角三角形的判定和性质，求的长是本题的关键． 149．（21-22八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（   ） A．20° B．25° C．30° D．35° 【答案】C 【分析】连接BD，由菱形的性质及∠A=60°，得到三角形ABD为等边三角形，P为AB的中点，利用三线合一得到DP为角平分线，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，进而求出∠PDC=90°，由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的内角和定理即可求出所求角的度数． 【详解】解：连接BD， ∵四边形ABCD为菱形，∠A=60°， ∴△ABD为等边三角形，∠ADC=120°，∠C=60°， ∵P为AB的中点， ∴DP为∠ADB的平分线，即∠ADP=∠BDP=30°， ∴∠PDC=90°， ∴由折叠的性质得到∠CDE=∠PDE=45°，∠DEC=∠DEC′， 在△DEC中，∠DEC=180°-（∠CDE+∠C）=75°． ∴∠BEC′=180°-（∠DEC+∠DEC′）=30°． 故选：C． 【点睛】此题考查了翻折变换（折叠问题），菱形的性质，等边三角形的判定和性质，以及三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解本题的关键． 150．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）在一次活动课中，对如图所示的平行四边形（AD＞AB）进行折叠，第一次沿着AE折叠，点B落在点F处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合；组2：若沿着DF折叠，AD与DC所在的直线重合，且点A的对应点仍落在直线AF上，则＝（　　） A．组1判断正确，组2判断正确 B．组1判断正确，组2判断错误 C．组1判断错误，组2判断正确 D．组1判断错误，组2判断错误 【答案】A 【分析】组1：过线段的中点N作并分别延长交于点O，证明，得，再证明，得AM=DM，结合，得，得证组1判断正确； 组2：分别延长AF，DC交于点G，由题意知：，得AF=GF，由四边形ABCD是平行四边形，得AB=CD，AB//CD，进而证的，那么AB=GC，故GC=CD，所以FC是的中位线，则，进而推出 【详解】组1：如图， 过线段的中点N作并分别延长交于点O， ∴直线MN是线段CF的垂直平分线 ∴NF=CF 由题意得： ∴ ∵与是对顶角 ∴= 又∵四边形是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∴ ∴ ∴ ∴在线段CF的垂直平分线MN上 ∴OA=OD 在和中 ∴ ∴ 在和中 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合 故组1判断正确． 组2：如图，分别延长AF，DC交于点G 由题意知： ∴AF=GF， ∵四边形ABCD是平行四边形 ∴AB=CD，AB//CD ∴ ∵与是对顶角 ∴= 在和中 ∴ ∴AB=GC， ∴GC=CD ∵AF=FG，GC=CD ∴FC是的中位线 ∴ ∴ ∴ 故组2判断正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查图形折叠的性质，全等三角形的判断与性质，平行四边形的性质，垂直平分线的性质与判定以及三角形中位线的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定，垂直平分线的性质与判定及平行四边形的性质是解题的关键． 题型31 二次根式中分母有理化 151．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 【答案】(1)； (2)5 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式和完全平方公式的运用． （1）利用平方差公式对分母进行有理化，将分母中的根号去掉； （2）先对进行分母有理化，再通过变形求出的值，进而得到的值，最后代入式子求值． 【详解】（1）解：； ； 故答案为；； （2）解：， ， ，即， ， ． 152．（25-26八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 【答案】(1) (2) (3)2025 【分析】（1）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式、二次根式混合运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解： ． 题型32复合二次根式的化简 153．（25-26八年级上·江西赣州·阶段检测）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 【答案】(1)， (2)或 (3)① ② 【分析】本题主要考查了完全平方公式，解题的关键是掌握完全平方公式的灵活应用． （1）利用完全平方公式展开，一一对应相等即可； （2）根据完全平方公式进行展开，然后根据x，m，n的取值，分情况进行讨论即可； （3）①根据完全平方公式进行求解即可； ②根据完全平方公式进行求解即可． 【详解】（1）解：， ∴，； （2）解：， ∴，， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴当时，， 此时，； 当时，； 此时，； ∴或； （3）解：①； ② ． 154．（21-22八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 155．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 156．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 题型33 一元二次方程的应用(营销问题) 157．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． (1)【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． (2)【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1) (2)2元 【分析】本题考查了一元二次方程在增长率问题和销售问题中的应用，根据题意，找到等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）设日平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程求解即可； （2）设售价降低a元，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】（1）解：设日平均增长率为x， 解得 ，（舍） 答：日平均增长率为． （2）解：设售价降低a元， ， 解得 ，（负值不合题意，舍去） 答：售价应降低2元． 158．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)1400元； (2)不能，理由见解析； (3)存在，（）． 【分析】本题考查销售问题中的数量关系，一元二次方程的应用和整数解的讨论，根据题意正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）销售额=销售单价销售数量，根据题意作答即可； （2）根据题意得到每套书降价x元时销售额，建立方程求解即可； （3）根据题意建立方程，求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 所以书店每套书涨价5元，估计每天获得总销售额是1400元； （2）不能，由题意可得：， 解得或， 因为x为整数且，所以都不满足题意，都舍去， 所以每套书降价x元（x为整数，）时，每天获得的销售额不能与题（1）中的总额相等； （3）存在，由题意可得：， 整理得， 解得使两种方案的销售额相等，此时． 159．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 【答案】(1) (2)糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元 (3)该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）取表格两组数据，利用待定系数法求解； （2）根据销量、单价、利润之间的关系列一元二次方程，解方程即可； （3）假设该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元，列一元二次方程，利用根的判别式判断方程是否有解即可． 【详解】（1）解：（1）设， 由题意得：， 解得：， ∴y关于x的函数表达式为； （2）解：由题意得：， 整理得：， 解得：，， 答：糖果销售单价定为26元或24元时，所获日销售利润为448元； （3）解：该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元，理由如下： 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴原方程无解， ∴该种糖果的日销售利润去掉捐款后不可以为400元． 题型34一元二次方程的应用(动态几何问题) 160．（20-21八年级下·浙江·期末）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发 ①经过几秒，的面积等于？ ②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？ 【答案】（1）①3秒或5秒；②不能，理由见解析；（2）s或5s或s 【分析】（1）①设经过x秒后，根据△PBQ的面积等于15cm2．得出方程，解之即可； ②根据三角形面积公式列出方程，根据一元二次方程根的判别式解答； （2）分点P在线段AB上，点Q在线段CB上、点P在线段AB上，点Q在射线CB上、点P在射线AB上，点Q在射线CB上三种情况，根据三角形面积公式列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：（1）①设经过x秒后，△PBQ的面积等于15cm2． 由题意得：， 解得：x=3或x=5， 答：经过3秒或5秒后，△PBQ的面积等于15cm2． ②不能， 理由如下：假设经过y s，线段PQ能将△ABC分成面积相等的两部分， ∵S△ABC==48（cm2）， ∴， 解得：此方程无实数根， ∴线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分； （2）①当点P在线段AB上，点Q在线段CB上时，设运动时间为m s，此时0＜m＜6， 依题意得：， 解得：m=或（舍去）， ∴m=； ②当点P在线段AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为n s，此时6＜n＜8， 依题意得：， 解得：n1=n2=7； ③当点P在射线AB上，点Q在射线CB上时，设运动时间为k s，此时k＞8， 依题意得：， 解得：k=（舍去）或， ∴k=， 综上所述：经过s或5s或s，△PBQ的面积为1cm2． 【点睛】本题考查的是三角形的面积计算、一元二次方程的解法，灵活运用分情况讨论思想、正确列出方程是解题的关键． 161．（13-14八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 【答案】(1)5cm² (2)或 (3)或或或 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，梯形的面积公式，一元二次方程的解法的应用．解答时灵活运用动点问题的求解方法是关键． (1)当时， 可以得出，就有，由梯形的面积就可以得出四边形的面积； (2)如图1， 作于E，在中，由勾股定理建立方程求出其解即可，如图2， 作于E，在中， 由勾股定理建立方程求出其解即可； (3)分情况讨论， 如图3， 当时， 如图4， 当时， 如图5， 当 时，由等腰三角形的性质及勾股定理建立方程就可以得出结论． 【详解】（1）解： ∵四边形是矩形， ∴． ∵， ∴ ∴． 答：四边形面积是 5cm²； （2）解：如图1， 作于E， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴． ∵， ∴． 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：； 如图2，作于E，    ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ∴， ∴ 在中，由勾股定理，得 ， 解得：． 综上所述： 或； （3）解：如图3， 当时， 作于E，    ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴ ， 在中， 由勾股定理， 得 ， 解得：． 如图4， 当时， 作于E，    ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． ∴， 解得：； 如图5， 当时，    ∵， ∴， ∵， 在中，由勾股定理，得 解得， (舍去)， 综上所述：或或或． 故答案为：或或或． 162．（25-26八年级上·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 题型35 数据分析综合解答 163．（20-21八年级下·浙江台州·期末）某校开展了“交通安全”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（分制，分及以上为优秀）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：．，．，．，．）．已知：七年级的平均分为分，八年级的平均分和中位数分别是分和分，七年级抽取的学生竞赛成绩在组的数据是：，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出七年级抽取的学生成绩的中位数和优秀率； (2)在这两个样本中，你认为哪个年级学生成绩较好？请你选择合适的统计量进行说明； (3)该校七、八年级各有人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ 【答案】(1)中位数是分，优秀率是． (2)七年级学生成绩较好．理由：七年级和八年级学生成绩的平均分相同，但七年级的中位数分比八年级的分高，且七年级的优秀率比八年级的优秀率高． (3)人 【分析】本题考查了中位数、优秀率、平均数等统计量的概念及应用，通过分析统计图获取数据，进而计算出中位数、优秀率是解题的关键． （1）根据条形图，计算出七年级的样本容量为，从而确定中位数为第个数据和第个数据的平均数，再找到第个数据和第个数据即可算出中位数；计算出组和组的人数之和，即为七年级成绩优秀的人数，进而可算出优秀率． （2）通过比较平均分、中位数和优秀率即可得解． （3）根据两个年级的优秀率可以算出各个年级的优秀人数，进而可算出此次竞赛活动成绩优秀的学生人数． 【详解】（1）解：由图可知，七年级抽取的样本容量为：， ， 中位数为第个数据和第个数据的平均数， 组和组的人数之和为：，且组的学生竞赛成绩依次为：，，，，，． 第个数据为，第个数据为， 七年级抽取的学生成绩的中位数为（分）， 七年级抽取的学生成绩在分及以上的人数为， 七年级抽取的学生成绩的优秀率为． （2）解：我认为在这两个样本中，七年级学生成绩较好，理由如下： 由题意可知，七年级学生成绩和八年级学生成绩的平均分均为分，而七年级学生成绩的中位数为分，优秀率为，八年级学生成绩的中位数为分，优秀率为，七年级学生成绩的平均分和优秀率均比八年级学生成绩高，所以在这两个样本中，七年级学生成绩较好． （3）解：七年级成绩优秀的学生人数为：（人）， 八年级成绩优秀的学生人数为：（人）， 所以参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数为：（人）． 164．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息： 平均数/分 众数/分 中位数/分 甲成绩 85.5 80 n 乙成绩 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______． (2)甲、乙两名学生成绩的方差分别为，请判断______（填“>”“<”或“=”）． (3)根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由． 【答案】(1)85；87 (2) (3)选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大． 选乙：平均分一样．乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定． 【分析】本题考查了中位数、众数、方差等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据中位数，众数、方差和平均数的定义解答即可． 【详解】（1）解：在乙的10次成绩中，85出现的次数最多，故众数； 把甲的10次成绩从小到大排列，排在第5和第6个数分别是86，88，故中位数， 故答案为：85；87； （2）解：由折线统计图可知，甲的10次成绩的波比乙大， 所以 故答案为：； （3）解：选甲：甲的中位数为87，乙的中位数是86，所以10次成绩中间分数甲比乙高且甲最高分是99，潜力大； 选乙：平均分一样，乙的众数高于甲，且乙的方差小于甲，成绩更加稳定．（答案不唯一）． 165．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟），结果分为六组：第1组(),第2组(),第3组(),第4组(),第5组(),第6组(),刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题： (1)分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数； (2)抽查的每天运动打卡时长的中位数在第___________组； (3)若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数． 【答案】(1)名，名 (2)4 (3)名． 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，求解中位数和样本估计总体，从统计图中有效的获取信息是解题的关键． （1）用第4组的人数，除以所占的比例求出调查总人数，用调查总人数减去已知各组人数即可得到答案； （2）根据中位数的定义进行解答即可； （3）利用样本估计总体的思想，进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意可得，本次调查共抽取的人数为：（名）； 第5组的学生人数为：（名）； （2）∵本次调查共抽取的人数为名， ∴中位数应该是数据从小到大排列后的第100和101名的平均数， ∵， ∴第100和101名的数据落在第4组，即中位数落在第4组； 故答案为：4 （3）解：（人）； 答：估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数为人． 题型36 平行四边形的性质与判定解答题 166．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】此题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、等边对等角等知识，熟练掌握矩形的性质、平行四边形的判定是解题的关键． （1）根据矩形的性质和已知即可证明四边形是平行四边形； （2）先求出，由矩形的性质和等边对等角得到，最后由三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵，， ∴， 在矩形中，， ∴， 在中，． 167．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)24 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）先证明，继而证明，则四边形是平行四边形，即可解答； （2）先证明四边形是菱形，则，，继而求出，则四边形的面积，即可解答． 【详解】（1） 证明：∵四边形平行四边形， ∴． 又∵， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2） 解：∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形， 如图，连接交于O， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 168．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②10 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）根据得到，然后证明，得到，即可证明其为平行四边形； （2）①证明出，由平行四边形得到，再由等腰三角形三线合一即可证明；②先由勾股定理求解，再由平行四边形对角线互相平分即可求解． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形． （2）①证明：在中，，， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ②解：在中，， 在中，， ． 题型37 旋转中解答题压轴 169．（22-23八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知在菱形中，，，对角线与交于点O，点E是射线上的一个动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，．    (1)如图1，当点E在线段上运动时， ①求证：； ②当时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在点E的整个运动过程中，将沿着DE翻折得到四边形，当四边形为菱形时，求出此时的面积． 【答案】(1)①见解析；②四边形是矩形，理由见解析 (2)或 【分析】（1）①先利用菱形和旋转的性质证得，，，即可由定理得出结论； ②证明，得，再证明，得，又因为，可得四边形是平行四边形，进而推出，然后根据平行线的性质和三角形的内角和可求出，从而得出结论； （2）分两种情况：当点E在线段上，四边形为菱形时；当点E在线段延长线上，四边形为菱形时；分别求解即可． 【详解】（1）①证明：如图，    ∵菱形 ∴，， ∴， 由旋转可得：，， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ②解：四边形是矩形． 理由：∵菱形 ∴，，， ∴， ∵ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 由①知 ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：当点E在线段上，四边形为菱形时，如图，过点F作于G，    ∵菱形，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， 由①知， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴； 当点E在线段延长线上，四边形为菱形时，如图，过点F作，交延长线于G，    同理可求得，，， ∴， ∴； 综上当四边形为菱形时，此时的面积为或． 【点睛】本题考查菱形的性质，平行四边形和矩形的判定，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，直角三角形的性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 170．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，于点F，点E在线段上，过点E作于点H，于点I，线段与线段交于点G． (1)若，，求的度数． (2)若．求证：． (3)在（2）的条件下，解答下列问题： ①已知，，，求的面积． ②用等式表示线段，，的数量关系，并给出证明． 【答案】(1)130° (2)见解析 (3)AH + EH =FH 【分析】（1）根据等边对等角以及三角形内角和可得，根据垂直的定义以及四边形内角和即可求解； （2）根据平行四边形的性质可得，结合已知，等量代换可得，根据等角的余角相等可得，根据即可证； （3）①勾股定理求得或，根据平行四边形的性质即可求解；②如图，将△AFH绕点F顺时针旋转至△FEH'，使AF与EF重合，点H对应点为H'，则∠H'FE= ∠AFH，FH= FH，AH = EH'，∠H'EF= ∠HAF，证明△PHH'是等腰直角三角形，可得HH'=FH，进而可得AH + EH =FH． 【详解】（1）解：，， ， （2）四边形是平行四边形 ， ， ， （3）① ，， 中， 即 解得或 或． ②由(2)可知△ABF≌ △EGF， ∴AF = EF， 如图，将△AFH绕点F顺时针旋转至△FEH'，使AF与EF重合，点H对应点为H'，则 ∠H'FE= ∠AFH，FH= FH，AH = EH'，∠H'EF= ∠HAF， 在四边形AFEH中， ∵∠AFE=∠ AHE= 90°， ∴∠HAF+∠FEH =180°， ∴∠H' EF + ∠FEH =180°， ∴点H’、E、H在同一条直线上， ∵AF⊥BC， ∴∠AFH + ∠HFE= 90°， ∴∠H'FE+ ∠HFE= 90°=∠H'FH， ∴△PHH'是等腰直角三角形， ∴HH'=FH， ∵HH' = H'E+ EH= AH + EH， ∴AH + EH =FH． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，综合运用以上知识点是解题的关键． 171．（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）有如下一道作业题： 如图1，四边形是菱形，且，以为顶点作顶角为120°的等腰，且，，在一条直线上，连结，． 求证：． （1）请你完成这道题的证明． （2）如图2，在菱形中，，点是边上一点，，且，连结，延长交于点，连结． ①求证：． ②把绕点顺时针旋转120°得到，连结（如图3）．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②见解析 【分析】（1）先根据菱形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，再根据全等三角形的判定即可求解； （2）①以点为顶点作交于点，由条件可证，根据全等三角形的性质可得，由，可得,继而可得，由全等性质可得，由等腰三角形和三角形内角和定理即可求解； ②在上截取，可证，，继而求得，，由绕点顺时针旋转120°得到，继而可得是顶角为120°的等腰三角形,进一步可得，且,继而求得，因此可得四边形是平行四边形，故而可得,由， 可得． 【详解】证明：（1）∵四边形为菱形，， ∴，， ∵是顶角为120°的等腰三角形， ∴，， ∴， ∴， 即， ∴． （2）①如图2（1），以点为顶点作交于点， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴，即, ∴, ∴， ∵， ∴. ②如图3，在上截取，连接CE， ∵，，， ∴， ∴， ∵BE=DF， ，BC=CD， ∴， ∴∠BCE=∠DCF， ∴， ∴，， ∵绕点顺时针旋转120°得到， ∴是顶角为120°的等腰三角形, ∴，且, ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴, ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握菱形的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质. 题型38 平行四边形综合实际探究题 172．（18-19八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键． （1）由可得，可得，可得结论； （2）①由等腰三角形的性质可得由勾股定理可求，由等腰三角形的性质可求的长，即可求解； ②如图，过点H作于点M，证明，可得，由等腰直角三角形的性质可得，即可得结论． 【详解】（1）证明：∵平行四边形中，点O是对角线中点， ∴， ∴，且， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形； （2）解：①如图2，过点D作于点N， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②， 理由如下：如图，过点H作于点M， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴ ∴，且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 173．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 【答案】（1）四边形是平行四边形，见解析；（2）①，见解析；②的面积为 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，得出，结合点E是的中点，，根据三角形中位线定理得出，即可证明四边形是平行四边形． （2）①如图，作交于点K，则四边形是平行四边形， 得出，根据四边形、是平行四边形，得出，，则，，证明，得出，则，再证明，得出，即可得． ②如图，延长交的延长线于点R，证明，得出，，，作交的延长线于点L，作于点Q，证明四边形是平行四边形，得出，则，，结合，证出是直角三角形，且，则，再根据，得出，即可得． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，理由如下， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形． （2）①解：；理由如下： 如图，作交于点K， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形、是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴． ②如图，延长交的延长线于点R， ∵点P为中点，， ∴，， 又， ∴， ∴，， ∴， 作交的延长线于点L，作于点Q， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的面积为． 题型39四边形综合压轴题 174．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点P，Q分别在边和上，且．    (1)如图1，若点E是中点． ①当点P和点A重合时，画出图形，求的长，并说明理由． ②设，．请探究m，n之间的关系． (2)如图2，，连接，若，，求的长． (3)如图3，若点E是中点，连接．请直接写出所有情形下的最小值． 【答案】(1)①图见解析，，理由见解析；②或； (2)无解 (3) 【分析】（1）①证明，得到，根据E是中点，求出的长，即可得解；②分和两种情况进行讨论求解； （2）利用，，以及，列出方程求出值，进而求出的值即可； （3）将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则，四边形为平行四边形，则：，，得到，进而推出当三点共线时，的值最小，在中利用勾股定理求出的长，即可得出结果． 【详解】（1）解：①如图，    ∵四边形是正方形 ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E是中点， ∴． ∴． ②当时，如图，过点P作于点R    ∵ ∴四边形ABRP是矩形， ∴，， 同（1）可得 ∴， ∴． 当时，如图，    同理可得． ∴或． （2）∵四边形ABCD是正方形，    ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， 类比（1）②得，（舍去），， 此时，； 故此时的不存在． （3）将正方形沿翻折，得到正方形，在上取点，使，连接，则，过点作交于点，则，四边形为平行四边形，则：，，    ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 由（1）②可知：， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， 即：的最小值为：． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．本题的综合性强，难度大，属于压轴题．熟练掌握相关性质，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键． 175．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点A作，垂足为H，交于点M，连接． (1)求的度数； (2)当，时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 【答案】(1)； (2)10； (3)见解析． 【分析】（1）连接，证明，得出，，进而得出，然后根据等边对等角求解即可； （2）作于点N，且，则四边形是矩形，可求出，根据证明，根据全等三角形的性质即可求解； （3）连接，设，，则，，，根据线段垂直平分线的性质得出，在中，根据勾股定理得出，求出，则，由（2）知，，则，，得出，取的中点K，连接，取的中点G，连接，结合三角形中位线定理、矩形的判定得出四边形为矩形，求出，，，，根据勾股定理求出，结合三角形中位线定理得出，即可得证． 【详解】（1）解：如图，连接， 在正方形中，，， ， ， 在和中 ， ，， ， ， ； （2）解：如图，作于点N，且， ∴四边形是矩形， ，， ， ，， 又，， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 是的中点， ， 设，， 则，，， 由（1）知，垂直平分， ， 在中，， ， ， ， 又由（2）知，， ， ， ， 取的中点K，连接，取的中点G，连接， 则，为的中位线， ，， 又， 四边形为矩形， ，， ， ， ， ， ， ． ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理等知识，掌握相关性质定理进行推理论证是解题的关键． 176．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，点E为中点，点F为中点． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)若，，求BC的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由矩形的性质结合即可证明； （2）可得垂直平分，则，结合全等以及矩形的性质得到，而，则，再对运用勾股定理得到，即可求解； （3）取中点，连接并延长交于点，为的中位线，然后证明，则设，那么，然后和中由勾股定理得，再求解，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点E为中点， ∴， ∴； （2）解：∵，点F为中点， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴； （3）解：取中点，连接并延长交于点， ∵为的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵为中点， ∴， ∴ ∴和中由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：（舍负）， ∴． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的中位线定理，线段垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 题型40特殊平行四边形中多结论问题 177．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在矩形中，，，对角线，交于点O，E为上一点（不与点，C重合），延长到点，使，交边于点，连结． (1)求证：． (2)当时，求的长． (3)如图2，连结，当等于的某个内角时，求所有符合条件的四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）利用矩形的性质得到为中位线，根据三角形中位线的性质即可证得结论； （2）由（1）可知，可得，，，由此证得，再利用勾股定理即可求出的长， （3）由已知条件将的内角分别为，，三种情况进行讨论，再分别求解出符合条件的四边形的面积即可． 【详解】（1）证：在矩形中， ， 又， 是的中位线， ， 即； （2）由（1）可得，， ， ， ， ，， ， ， ， 在中，， ； （3）由已知条件可知，的内角分别为，，， ①当时， 可得， 由（1）知， 四边形是平行四边形， 且， 是菱形， ， ； ②当时， ， ， ， 在中， ， ， ， ； ③当时，此时点与点重合，不符合题意， 综上所述，四边形的面积为或． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、平行四边形的性质、三角形中位线、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、勾股定理的知识，理解相关知识是解答关键． 178．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 【答案】(1) (2)（1）中的结论仍然成立，详见解析 (3) 【分析】（1）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （2）根据菱形的性质及等边三角形的性质可知，再根据全等三角形的判定与性质即可解答； （3）根据菱形的性质及直角三角形可知，再根据全等三角形的判定与性质可知，最后利用直角三角形的性质 及勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为； （2）解：仍然成立，理由如下： 如图，连接，延长交于点， ∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，，，， ∵是等边三角形 ， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解： 当点在的延长线上时，连接交于点，连接，， ∵四边形是菱形， ∴，平分，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）可知：， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的判定与性质，勾股定理，根据题意作出辅助线是解题的关键． 179．（21-22八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，四边形ABCD为正方形，E为CD边上的一点，连接AE，并以AE为对称轴，作与△ADE成轴对称的图形△AFE，延长EF（或FE）交直线BC于G． (1)求证：；∠EAG＝45°； (2)设AB＝1，GF＝m，FE＝n，求的值； (3)若将条件中的“E为CD边上的一点”改为“E为射线CD上的一点”，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)1 (3)GE= BG+DE不成立，∠GAE=45°成立，见解析 【分析】（1）根据折叠的性质，△ADE≌△AGE，得到AD=AF=AB，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B，然后根据“HL”可证明Rt△ABG≌Rt△AFG，则GB=GF，∠BAG=∠FAG，所以∠GAE=∠BAD=45°；GE=GF+EF=BG+DE； （2）AB=1，GF=m，FE=n，则EG、CG、CE可以用m、n表示，由于∠C=90°，根据勾股定理列方程即可解答； （3）GE= BG+DE不成立，此时GE= BG-DE，∠GAE=45°成立，证明方法与（1）类似． 【详解】（1）解：如图1，∵把△ADE沿AE折叠使△ADE落在△AFE的位置， ∴△ADE≌△AGE， ∴AD=AF=AB，DE=FE，∠DAE=∠FAE，∠D=∠AFE=∠AFG=90°=∠B， ∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL）， ∴GB=GF，∠BAG=∠FAG， ∴∠GAE=∠FAE+∠FAG=∠BAD=45°， ∴GE=GF+EF=BG+DE； （2）如图1，设AB=1，GF=m，FE=n，则EG=m+n，CG=1-m，CE=1-n， ∵∠C=90°， ∴（1-m）2+（1-n）2=（m+n）2， 整理得：m+n+mn=1； （3）GE=BG+DE不成立， 理由：如图2，此时，GE= BG-DE，∠GAE=45°成立． 同（1）有△ADE≌△AFE，Rt△ABG≌Rt△AFG， ∴DE=FE，GB=GF，∠DAE=∠FAE，∠BAG=∠FAG， ∴GE=GF-EF=BG-DE， ∠GAE=∠FAG-∠FAE=∠BAD=45°． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、正方形的性质，全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识的综合运用，发现图形中△ADE≌△AFE以及Rt△ABG≌Rt△AFG，是解决问题的关键． 题型41特殊平行四边形中动点问题 180．（24-25八年级下·安徽六安·期末）数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作． (1)如图1，“雅思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； (2)“雅学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； (3)“雅问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，，当时，连接，请直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）根据矩形的性质、角平分线的性质和正方形的判定方法，进行证明即可； （2）连接交于点O，连接，由（1）得四边形为正方形，，然后由线段垂直平分线的性质即可证明结论； （3）过点作交于点，延长，交的延长线于点，证明四边形为菱形，可得，进而得到，最后再运用勾股定理即可解答． 【详解】（1）证明：四边形为矩形， ， ， 四边形平行四边形， 平行四边形是矩形， 平分， ， ， ， 矩形为正方形． （2）解：，理由如下： 连接交于点，连接，如图： 由（1）得，四边形是正方形， ， 垂直平分， 四边形为矩形， ， ． （3）解：过点作交于点，延长，交的延长线于点，如图所示： 由题意得四边形为平行四边形， ， 又易得四边形为菱形， ， ， ， ， ， 线段的长为． 【点睛】本题考查四边形综合题，涉及勾股定理、平行四边形的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，菱形的判定与性质等知识点，学会添加辅助线、构造直角三角形是解题的关键． 181．（20-21八年级下·浙江·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 【答案】(1)； (2)； (3)或或或． 【分析】本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、等边三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，第二个问题的关键是灵活应用同底等高的两个三角形面积相等，学会用分类讨论的思想思考问题． （1）证明是等边三角形即可； （2）根据平行四边形的性质可得，，从而得到，由此即可解决问题； （3）分四种情形列出方程解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， ， 如图，过点C作于点K，则， ∴， ； （3）解：如图③所示： ， 当时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． ①当时，，， ，解得：； ②当时，，， ，解得：； ③当时，，， ，解得：； ④当时，，， ，解得：； 或或或时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 182．（22-23八年级下·浙江·周测）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．    (1)四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）； (2)四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． (3)四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】(1)菱形；； (2)正方形；成立，理由见解析； (3)E在B右侧时，的度数为，E在B左侧时，的度数为，当E在上时，的度数为或． 【分析】（1）根据轴对称的性质，得到，，，又因为，即可证明四边形是菱形，得到再证明，得到，进而得到，最后利用三角形内角和定理，即可得到与之间的数量关系； （2）根据一个角是直角的菱形是正方形即可判断四边形是正方形，过点P作，先根据平行线的性质，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，然后根据轴对称的性质得到，推出，最后利用三角形内角和定理和平角的性质，求出，即可得到与之间的数量关系； （3）分情况讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：设、相交于点F， 根据轴对称的性质可知，，，， ， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：菱形；； （2）解：同理可证，四边形是菱形， ， 菱形是正方形， 故答案为：正方形； 过点P作交于点M，交于点N， ， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：由题意可知四边形是菱形， ∴， ∴， 当E在C右侧时，如图：   ，， ， ， ， ∵， ， ， ． 当E在B左侧时，如图∶   ，， ， ， ， ∵， ， ， ， 当E在上时，第一种情况，如图∶ ，， ， ， ∵， ， ， ； 当E在上时，第二种情况，如图∶ ，， ， ， ∵， ， ， ． 【点睛】本题考查了轴对称的性质，全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 题型42特殊平行四边形综合探究问题 183．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点E． (1)如图①，当点E在边CD上时，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若，求PF的长； (3)如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）如下图中，连接PD，根据四边形ABCD是正方形，则， 则可证，则，，由题意值，则，则， 则，则，进而可证； （2）过点P作PL⊥BE于L，过点F作FQ⊥CD于Q，FJ⊥BC于J，由，，，可知，由△BPE是等腰直角三角形，PL⊥BE，可知，，因为FC平分∠BCE，FQ⊥CD，FJ⊥BC，则，则，则，则，进而可知； （3）过点C作CR⊥AC，使CR=AB=3，连接QR，BR，过点R作RT⊥BC，交BC延长线于T，如图③所示，根据四边形ABCD是正方形，则∠ACB=∠ACD=∠BAP=45°，CR⊥AC，∠RCQ=90°－45°=45°，∠RCT=180°－90°－45°=45°，则△CTR是等腰直角三角形，∠BAP=∠RCQ，则，则，在△BAP和△RCQ中可证△BAP≌△RCQ（SAS），则BP=QR，B、Q、R三点共线时，QR+BQ最短，即BP+BQ最短，则此时，t=BR，在Rt△BTR中，由勾股定理得，最小值为． 【详解】（1）解：方法一：证明：如下图中，连接PD， ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． 在△PCB和△PCD中，， ∴， ∴，， ∵，∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴， ∴． 方法二：过点P做AD的平行线，构造一线三等角的方法证明全等也可以． （2）解：如下图中，过点P作PL⊥BE于L，过点F作FQ⊥CD于Q，FJ⊥BC于J， ∵，，， ∴， ∵△BPE是等腰直角三角形，PL⊥BE， ∴，∴， ∵FC平分∠BCE，FQ⊥CD，FJ⊥BC， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：过点C作CR⊥AC，使CR=AB=3，连接QR，BR，过点R作RT⊥BC，交BC延长线于T，如图③所示； ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=∠ACD=∠BAP=45°， ∵CR⊥AC， ∴∠RCQ=90°－45°=45°， ∠RCT=180°－90°－45°=45°， ∴△CTR是等腰直角三角形，∠BAP=∠RCQ， ∴， ∴， 在△BAP和△RCQ中， ， ∴△BAP≌△RCQ（SAS）， ∴BP=QR， ∴B、Q、R三点共线时，QR+BQ最短，即BP+BQ最短， 此时，t=BR， 在Rt△BTR中，由勾股定理得： ， ∴的最小值为． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的性质和等腰直角三角形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． 184．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)①，理由见解析；② 【分析】题主要考查了菱形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定等等，熟知菱形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由菱形的性质可得，，则可证明，再证明，即可证明，得到． （2）连接交于点O，由全等三角形的性质得到，则可证明四边形是平行四边形，再由菱形的性质可得，则可证明平行四边形是菱形； （3）①由等边对等角得到，导角证明，得到，再证明，得到，证明，得到，则可证明； ②连接交于点O， 则，，设，则，由菱形的性质得到，则，，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：连接交于点O， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形是菱形， ∴， ∴平行四边形是菱形； （3）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵四边形是菱形， ∴； ②连接交于点O， 则，， 设，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴，， 由勾股定理得， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴菱形的边长为． 185．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 【答案】(1)45 (2)DF＝BE+EF，证明见解析 (3)2 【分析】（1）把绕点逆时针旋转至，则、、在一条直线上，，再证△，得，进而得出结论； （2）将绕点逆时针旋转得到，由旋转的性质得，再证△，得，进而得出结论； （3）将绕点逆时针旋转得到，连接，则，得，因此，同（2）得△，则，，得、、围成的三角形面积，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至， 则F、D、在一条直线上，≌△ABE， ∴＝BE，∠＝∠BAE，＝AE， ∴∠＝∠EAD+∠＝∠EAD+∠BAE＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴EF＝BE+DF． 故答案为：45； （2）解：DF＝BE+EF    理由如下： 将△ABE绕点A逆时针旋转90°得到△， ∴△≌△ABE， ∴AE＝，BE＝，∠＝∠BAE， ∴∠＝∠BAE+∠＝∠+∠＝∠BAD＝90°， 则∠＝∠﹣∠EAF＝45°， ∴∠＝∠EAF＝45°， 在△AEF和△中， ， ∴△AEF≌△（SAS）， ∴， ∵， ∴DF＝BE+EF； （3）解：将△ABD绕点A逆时针旋转得到△，连接， 则△≌△ABD， ∴CD'＝BD， ∴， 同（2）得：△ADE≌△（SAS）， ∴，， ∴BD、DE、EC围成的三角形面积为、、EC围成的三角形面积． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、旋转的性质、正方形的性质以及四边形和三角形面积等知识，本题综合性强，解此题的关键是根据旋转的启发正确作出辅助线得出全等三角形，属于中考常考题型． 186．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在正方形中，点P在上，连接，过点B作于点E，过点D作于点F． (1)求证：． (2)如图2，延长至点G，使，连结，． ①探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． ②连结，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)①；② 【分析】（1）利用证明； （2）①证明和是等腰直角三角形，得出，所以； ②过点作交于，过点作交于点，证明，求出，利用勾股定理求出的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ； （2）解：①，理由如下： ∵， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， ， ； ②过点作交于，过点作交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，特殊三角形的三边关系等，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 题型43特殊平行四边形综合新定义问题 187．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．    (1)下列说法正确的有______（填序号）． ①正方形一定是双距四边形． ②矩形一定是双距四边形． ③有一个内角为的菱形是双距四边形． (2)如图1，在四边形中，，，，求证：四边形为双距四边形． (3)如图2，四边形为双距四边形，，，，求的长． 【答案】(1)①③ (2)见详解 (3) 【分析】（1）根据“双距四边形”的定义及矩形、正方形、菱形的性质可进行求解； （2）由题意易得，，则有，分别过点A、D作，垂足分别为E、F，然后可证，进而问题可求证； （3）设与的交点为O，由题意可得，，然后可设，则有，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）解：①假设正方形的边长为a，根据正方形的性质可知对角线的长为，所以正方形一定是双距四边形； ②因为矩形的长跟宽不相等，所以矩形不满足双距四边形的概念，故不符合题意； ③如图，    ∵四边形是菱形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴有一个内角为的菱形是双距四边形； 故答案为①③； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 分别过点A、D作，垂足分别为E、F，如图所示：    ∴，， ∵， ∴， ∴， 同理可得， ∴四边形为双距四边形； （3）解：设与的交点为O，如图所示：    ∵四边形为双距四边形，且，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 设，则有， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：，（负根舍去）， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理、矩形、菱形、正方形的性质及全等三角形的性质与判定，熟练掌握勾股定理、矩形、菱形、正方形的性质及全等三角形的性质与判定是解题的关键． 188．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 【答案】(1)详见解析 (2)①，见解析；② 【分析】（1）根据角平分线的定义及平行线的性质得到四边形为平行四边形，再根据菱形的判定即可解答； （2）①根据菱形的性质及勾股定理得到，再根据角平分线的定义及平行线的性质可得到；根据等腰三角形的性质及勾股定理列方程即可解答．②根据平行线的性质及中位线的定义，再根据勾股定理列方程即可解答． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，　　 ∴四边形为平行四边形， ∴为菱形， 即菱形为菱形的伴随菱形； （2）解：①理由如下 过点作于点、于点， 过点作于点，连接， ∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∴平分， ∴， ∴点在的平分线上，　　 即， 又∵，　 ∴， ∴；      ②∵四边形为菱形， ∴，点在的平分线上，　 ∴， ∵， 由勾股定理可得，　　 ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， 设，， ∴， ∴在中，， 即， 解得：，（舍）， ∴， 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理，菱形的判定与性质，等腰直角三角形的性质与判定，掌握菱形的性质及判定是解题的关键． 189．（20-21八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点，，在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上． （2）如图2，，，平分，求证：四边形为“等邻边四边形”． （3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，点是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）或或 【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义画出3个不同形状的等邻边四边形； （2）根据题意求出DE，根据勾股定理求出CE，计算得到BE=AB，根据等邻边四边形的定义判断即可； （3）分AM=AC、DM=DC、MA=MD三种情况，根据勾股定理、等腰三角形的性质计算即可． 【详解】（1）如图 （2）， 平分 ， 四边形为“等邻边四边形” （3），，， ，， ， ①当时，； ②如图3，当时，作于， 在中， ， ，， ； ③当时，设，由②得，，，则， 在中，， 即， 解得，，即， ， 综上所述，当为或或时，四边形是“等邻边四边形”． 【点睛】本题考查的是矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，掌握“等邻边四边形”的概念、矩形的性质定理是解题的关键． 1．阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； ；… (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察已知个等式的，即可求解； （2）观察已知个等式的，即可求解； （3）式子化为，即可求解． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ． 2．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】（1）根据题意给出的公式进行求解即可； （2）先将化为，得到，继而化简即可； （3）先化简，得到，继而推导出， 则， 再化简代数式即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴，，， 解得，， ∴． （2）解： ， ∴ ； （3）解： ∵ ， ∴， 即， ∴， ∴ ． 3．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 【答案】(1) (2)， (3)所有可能的快乐数为和 【分析】（1）根据“快乐数”的定义求解； （2）先计算，根据“快乐方程”的定义，得到为平方数，根据，得到，即可求出或36，根据m为整数，即可求出m的值，即可求其“快乐数”； （3）首先表示出 ，得到，然后利用根与系数的关系得到，，表示出 ，得到，根据题意求出或4，进而求解即可． 【详解】（1）解：方程的“快乐数”为 ； （2）解：方程， ∴， ∵， ∴， 又∵方程是“快乐方程”，且m为整数， ∴方程的根为整数， ∴为完全平方数， ∴或36， ∴，（舍去）， ∴方程为：， ∴， ∴其“快乐数”数是； （3）解：根据题意得， ， ∴， ∵方程的两根为，， ∴，， ∴ ， ∴， ∵是“快乐方程”， ∴，是整数， ∴是整数， ∵n为正整数， ∴n为完全平方数， ∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴或4， ∴ 或． 4．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． (1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____； (2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； (3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)8 【分析】本题主要考查了配方法求最值． （1）根据题中已知条件，运用配方法，将配方化为：，结合完全平方式的非负性，求得该式的最小值； （2）运用配方法，将配方化为：，结合完全平方式的非负性，证得，即可证明无论x取何实数，二次根式都有意义． （3）过点A作于点D．先运用已知条件，得出，的长，再在，中，根据勾股定理，得到，整理得到 ，从而求得，最后运用配方法，求出当时，取得最大值． 【详解】（1）解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为． （2）解： ， ∵无论x取何实数，都有， ∴， ∴， 即 ∴无论x取何实数，二次根式都有意义． （3）解：过点A作于点D． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴在中， ， 在中， ， ∴， 即， 化简得，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值． 5．著名摩托车品牌生产A、B两种型号的摩托车．某经销商购入一批A型和B型摩托车．已知每台A型摩托车比每台B型摩托车价格低1.5万元，购买A型摩托车花费60万元，购买B型摩托车花费45万元．购买的A型摩托车的数量恰好是B型摩托车数量的2倍． (1)求一台A型摩托车和一台B型摩托车的价格分别是多少万元？ (2)经销商决定再次购入一批A型和B型摩托车，购买A型摩托车的数量比第一次的购买数量多台，购买型摩托车的数量与第一次相同，型摩托车每台的价格比第一次的价格高万元，型摩托车每台的价格比第一次的价格高万元，最终第二次购买两型摩托车的总费用比第一次购买两型摩托车的总费用多万元，求的值． 【答案】(1)一台A型摩托车的价格是3万元，一台B型摩托车的价格是4.5万元 (2) 【分析】（1）设一台A型摩托车的价格为万元，则一台B型摩托车的价格为万元，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）根据题意列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设一台A型摩托车的价格为万元，则一台B型摩托车的价格为万元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解，且符合题意， ∴， 故一台A型摩托车的价格是3万元，一台B型摩托车的价格是4.5万元； （2）解：由题意可得：， 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 6．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1 (3)存在，当时，线段的长度最小，最小值为 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据五边形的面积等于，代入相应数据解方程即可； （3）根据勾股定理求得，再根据配方法，求得最小值，即可求解． 【详解】（1）解：∵点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ∴； ∵P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ∴， ∵， ∴， （2）解：， ， ，， ， 整理得：， 解得：， 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意； ∴当五边形的面积等于104cm2时，此时的值为1． （3）解：， ∵， ∴， ∴当时，线段的长度最小，此时． 7．“大国重器”是国家综合实力的体现，为了激发学生对国家科技硬实力的兴趣，增强文化自信．实验中学组织了男生组和女生组各100人，参加“大国重器我来讲”的主题知识竞赛，赛后张老师随机从男生组和女生组的竞赛成绩（成绩用x分表示）中，用科学的抽样方法各抽取了10名学生的成绩，整理如下： 其中抽取的10名女生成绩中，成绩在分的数据为：83，86，87，88． (1)抽取的学生中，男生组学生成绩的众数是________分，女生组学生成绩的中位数是________分； (2)求抽取的男生组这10名学生的平均成绩； (3)估计参加竞赛的学生中，成绩不低于90分的学生有多少人？ 【答案】(1)87； (2)85分 (3)60人 【分析】（1）根据众数和中位数的定义解答即可； （2）根据平均数的公式解答即可； （3）根据样本估计总体解答即可． 【详解】（1）解：∵抽取的学生中，男生组学生成绩出现次数最多的为87分， ∴男生组学生成绩的众数是87分； ∵抽取的学生中，女生组学生成绩从小到大排列后位于第5位和第6位的分别为86分和87分， ∴女生组学生成绩的中位数是分； （2）解：分， 即抽取的男生组这10名学生的平均成绩为85分； （3）解：人， 即成绩不低于90分的学生有60人． 8．在中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接和． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，过点作，交直线于点，连接，求证：四边形为菱形； (3)如图3，连接，交于点，交于点，若和的面积相等，求此时的值． 【答案】(1)证明：∵，， ∴，由旋转知，， ∴ ， ∴三点共线．当时， ∴， ∵， ． ∴ ， ∴在上． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∵． (2)证明：∵， ∴ ，由旋转得 ， ∴， ∴A、C、三点共线， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴ 是菱形． (3) 【分析】（1）首先根据等腰三角形性质和旋转的性质，确定和的对应边长度关系；再通过三角形内角和公式计算对应角的度数，找到两组对应边相等且夹角相等的条件，最后用全等判定定理完成证明． （2）证明，A、C、三点共线，证明，得，得，由，得，由，得，得，得，得，可得四边形是菱形． （3）过、B作，垂足为G，H，首先根据和的面积相等，推导出，可证明，得，过点作，交直线于点，连接，可得，由四边形为菱形，得，证明，得，可得，即得． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：分别过、B作，垂足为G，H， 则 ， ， ∵， ∴ ， ∴， ∵ ，， ∴， ∴， 过点作，交直线于点，连接， 则， ∵ ， ∴， 由（2）知四边形为菱形， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ． 9．问题探究 (1)如图1，在中，，，若，则的长为 ． (2)如图2，在中，，，点，在上，，为了探究，，之间的等量关系，现将绕顺时针旋转，得到，连接．经探究，你所得到的，，之间的等量关系式是．请你按照题中所给思路证明． 问题解决 (3)图3是某地块平面图，因保存不当，导致土地面积数据缺失，仅存数据，，，米，米．根据现有数据能否求得地块的面积？若能，请求出地块的面积；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)∵，， ∴， ∵绕顺时针旋转，得到， ∴，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中, ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． (3)能， 【分析】（1）利用等腰三角形三线合一，直接求出中线长度； （2）根据旋转的性质，转移边和角，凑出直角三角形，然后构造全等三角形进行等量替换，再用勾股定理证线段平方关系； （3）补边构造全等三角形，把不规则四边形面积转化为等腰三角形面积，作高求出底与高，套用三角形面积公式计算． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）略 （3）解：如图，延长，在的延长线上截取，连接，作于， ∵，， ∴， ∵在和中， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．问题探究 (1)如图①，已知中，，点是的中点，连接，则的长为______； (2)如图②，已知中，为内一点，且，，请求出的长度； (3)如图③，四边形中，，，，，点为四边形内一点，且始终有，连接、，请问是否存在一点，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”求解； （2）将绕点顺时针旋转，连接，得到是等腰直角三角形，从而知道是直角三角形，利用勾股定理求解； （3）连接，利用勾股定理求出的长，利用直角三角形边之间的关系得到，根据题意找到点的运动轨迹，将绕点顺时针旋转，找到点的运动轨迹，将求的最小值转化为求的最小值，最后利用点到圆上的最短距离进行求解． 【详解】（1）解：已知中，， ∴， ∵点是的中点， ∴； （2）解：将绕点顺时针旋转与重合，连接， ， 则， ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ， 在中，， ∴； （3）解：如图所示，连接， ∵，，，， ∴在中，， ∵， ∴， 在中，， ∵点为四边形内一点，且始终有， ∴点的运动轨迹是以点为圆心，2为半径在四边形内的圆弧， 将绕点顺时针旋转，得到，连接，， ∴是等边三角形，点是以点为圆心，2为半径的圆弧， ∴，， 当四点共线时，取的最小值，最小值是， ， 在中，， ， ∴， 即的最小值为． 11．已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 【答案】(1)①；②为等腰直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】（1）①设正方形的边长为a，利用折叠性质可知，从而求出的长度，接着在中，利用勾股定理建立关于a的方程解出a即可求出； ②设正方形的边长为b，利用折叠的性质得到，，，，且垂直平分，因此点H为的中点，通过三角形中位线定理可推出，，由此可得，确定是直角三角形，接着，在中，利用勾股定理求出的长度，再利用面积法求出的长度，进而得出的长度，最后，在中，用勾股定理求出的长度，发现，结合从而最终判定为等腰直角三角形； （2）设，则，利用折叠的性质可得，，，利用勾股定理求出的长度，从而计算出的比值． 【详解】（1）解：①设正方形的边长为a，则， 由折叠可知：，，， 在中，， ， 在中，， 即， ， ； ②是等腰直角三角形，理由如下： 设正方形的边长为b， 点是中点， ， 由折叠可知：，，，， 则垂直平分，即点H为的中点， ，，， ， 是直角三角形， 在中，， ， 即， ， ， 在中，， ， 是等腰直角三角形； （2）解：设，则，， 由折叠可知：，，， 是边的中点， ， ， ， ， ， ，， ， ， 设， 则，， 在中，由勾股定理得， ， ． 【点睛】该题的题眼在于“折叠”二字，不论图形如何变化，折叠前后的对应边、对应角相等是解题的关键，同时，通过建立平面直角坐标系将几何位置关系转化为代数关系，是解决动点和参数问题的通法． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 2 / 201 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关 （201题30个常考题+13大压轴题型） 选填常考题 题型23 平行四边形的判定定理 题型1 二次根式有意义的条件 题型24 中位线的应用 题型2 求二次根式的值 题型25 反证法 题型3 二次根式的性质 题型26 矩形的性质与判定 题型4 二次根式的乘除混合运算 题型27 菱形的性质与判定 题型5 同类二次根式 题型28 利用菱形的性质求面积 题型6 二次根式的混合运算 题型29正方形的性质与判定 题型7 二次根式的化简求值 题型30 图形的折叠问题 题型8 二次根式的应用 解答压轴题 题型9 由一元二次方程的的定义求参数 题型31 二次根式中分母有理化 题型10由一元二次方程的解求参数 题型32复合二次根式的化简 题型11 求一元二次方程的解 题型33 一元二次方程的应用(营销问题) 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数 题型34一元二次方程的应用(动态几何问题) 题型13 换元法解一元二次方程 题型35 数据分析综合解答 题型14 一元二次方程的根与系数的关系 题型36 平行四边形的性质与判定解答题 题型15 一元二次方程的应用 题型37 旋转中解答题压轴 题型16 平均数 题型38 平行四边形综合实际探究题 题型17 中位数与众数 题型39四边形综合压轴题 题型18 离差平方和与方差 题型40特殊平行四边形中多结论问题 题型19 四分位数与箱线图 题型41特殊平行四边形中动点问题 题型20 多边形 题型42特殊平行四边形综合探究问题 题型21 平行四边形及其性质 题型43特殊平行四边形综合新定义问题 题型22 图形的旋转 题型1 二次根式有意义的条件 1．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若代数式有意义，则字母a的值可以是（    ） A． B．0 C．2 D．4 2．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）二次根式中字母的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级下·浙江台州·期末）要使式子有意义，则的取值范围是（　　） A． B．且 C．或 D．且 4．（23-24八年级下·浙江·期末）下列判断正确的是（    ） A．带根号的式子一定是二次根式 B．一定是二次根式 C．一定是二次根式 D．二次根式的值必定是无理数 5．（20-21八年级下·浙江·期末）等式成立的条件是(　 ) A． B．且 C． D． 题型2 求二次根式的值 6．（20-21八年级下·浙江台州·期末）二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 7．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．4 B． C．6 D．2 8．（23-24八年级下·浙江·期末）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 9．（23-24八年级下·甘肃平凉·期末）的相反数是（    ） A． B．8 C． D． 10．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 题型3 二次根式的性质 11．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列二次根式是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）若二次根式，则的值是（   ） A． B． C．5 D． 13．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）计算等于（  ） A． B． C．2 D．4 14．（23-24八年级下·浙江台州·期末）若，，则可以表示为（    ） A． B． C． D． 15．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）已知实数在数轴上的位置如图所示，化简的正确结果是（   ） A． B． C． D． 题型4 二次根式的乘除混合运算 16．（21-22八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（    ）． A． B． C． D． 17．（24-25八年级下·浙江台州·期末）若三边长分别为，，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C． D． 18．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）方程的解为（　　） A． B． C． D． 19．（19-20八年级下·安徽合肥·阶段检测）估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 20．（23-24八年级上·河北衡水·期末）在解决问题“已知，，用含a，b的代数式表示”时，甲的结果是；乙的结果是；丙的结果是，则下列说法正确的是（    ） A．甲对 B．乙、丙对 C．甲、乙对 D．甲、乙、丙都对 题型5 同类二次根式 21．（24-25八年级下·北京朝阳·期末）下列各式中，化简后能与合并的是（   ） A． B． C． D． 22．（20-21八年级下·浙江·期末）若可以合并为一项，则可以是（    ） A．6 B．12 C．15 D．18 23．（22-23八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 24．（25-26八年级上·上海普陀·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（    ） A．； B．； C．； D．． 25．（24-25八年级下·河南安阳·期末）若最简二次根式与可以合并，则x的值为（    ） A．9 B．0 C．3 D．1 题型6 二次根式的混合运算 26．（24-25八年级下·浙江台州·期末）下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 27．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）计算的值是（   ） A． B．4 C．6 D． 28．（24-25八年级上·浙江台州·期末）已知，，则的值为（   ） A． B．2 C． D．1 29．（22-23八年级下·浙江台州·期末）已知，则代数式的值是（    ） A． B． C． D．2 30．（21-22八年级下·云南红河·期末）若x为实数，在“”的“”中添上一种运算符号（在“＋，－，×，÷”中选择）后，其运算的结果为有理数，则不可能是（    ） A． B． C． D． 题型7 二次根式的化简求值 31．（22-23八年级下·江苏·期末）已知 ，则的值为（    ） A． B．4 C． D． 32．（22-23八年级下·湖北武汉·期中）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 33．（22-23八年级下·全国·单元测试）若，则的值是（    ） A． B．4 C．1 D．8 34．（20-21八年级下·河南濮阳·期末）已知，则的值等于（　　） A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4 35．（23-24八年级上·云南昭通·期末）已知，，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型8 二次根式的应用 36．（22-23八年级下·浙江湖州·期末）高空抛物极其危险，是我们必须杜绝的行为．据研究，高空抛物下落的时间（单位：s）和高度h（单位：m）近似满足公式（不考虑风速的影响）．记从高空抛物到落地所需时间为．从高空抛物到落地所需时间为，则的值是（    ） A． B． C． D．2 37．（21-22八年级上·浙江杭州·期末）如图，矩形内有两个相邻的白色正方形，其面积分别为2和18，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C．4 D．6 38．（20-21八年级下·江苏宿迁·期中）如果一个三角形的三边长分别是a、b、c，记p＝， 那么三角形的面积为S＝．如图，在△ABC中、∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，若a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的面积为（    ） A． B． C．18 D． 39．（22-23八年级下·河南安阳·阶段检测）如图，等边三角形和长方形具有一条公共边，长方形内有一个正方形，其四个顶点都在长方形的边上，等边三角形和正方形的面积分别是和2，则图中阴影部分的面积是（　　） A．5 B．4 C．3 D．2 40．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 题型9 由一元二次方程的的定义求参数 41．（22-23八年级下·江苏·期末）若关于x的方程是一元二次方程，则m的值是（    ） A． B． C． D． 42．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 43．（24-25八年级下·山东淄博·期末）已知关于的方程是一元二次方程，则的值应为（    ） A． B． C．2 D．不能确定 44．（25-26八年级上·上海奉贤·期中）若关于x的方程是一元二次方程，则k的取值范围是（   ） A． B． C． D． 45．（23-24八年级下·安徽滁州·期末）关于的方程是一元二次方程，则的值是（    ） A． B．2 C． D．4 题型10由一元二次方程的解求参数 46．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）已知是方程的一个根，则的值为（    ） A． B．3 C．4 D． 47．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 48．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 49．（24-25八年级下·山东泰安·期末）关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A． B．0 C．1 D．1或 50．（24-25八年级下·山东泰安·期末）若是关于x的方程的一个根，则关于x的方程必有一个根为（   ） A．2024 B．2025 C．2026 D．2027 题型11 求一元二次方程的解 51．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）方程的解是（　　） A． B． C．， D．， 52．（24-25八年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程与的解完全相同，则常数的值为（　　） A． B． C．1 D．4 53．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用配方法解方程，配方后所得方程为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）已知一元二次方程可配成，则的值为（   ） A． B．1 C． D．5 55．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在用求根公式求一元二次方程的根时，小珺正确地代入了a，b，c得到，则她求解的一元二次方程是（   ） A． B． C． D． 题型12 根据一元二次方程根的情况求参数 56．（20-21八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 57．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若关于x的一元二次方程有实数根，则m的值可能是（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 58．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）关于x的一元二次方程没有实数根，则系数a，c可能满足（   ） A． B． C． D． 59．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）定义运算：，例如，．若关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（    ） A． B． C． D．9 60．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）若关于的方程有两个不相等的实数根，且关于的分式方程有正数解，则符合条件的整数的个数是（    ） A． B． C． D． 题型13 换元法解一元二次方程 61．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的方程（a，m，k均为常数，且）的两个解是，，则方程的解是（    ）． A．， B．， C．， D．， 62．（20-21八年级下·浙江·期末）若关于x的一元二次方程有一根为，则一元二次方程必有一根为（    ） A．2021 B．2020 C．2019 D．2018 63．（25-26八年级上·山西朔州·期末）已知，则的值是（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 64．（22-23八年级下·安徽·期末）若，则的值为（   ） A．2或 B．或6 C．6 D．2 65．（24-25八年级下·北京·期中）已知方程的解是，，则另一个方程的解是（    ） A．， B．， C．， D．， 题型14 一元二次方程的根与系数的关系 66．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）设是关于的一元二次方程的两个不同实数根，则的值是（      ） A． B．4 C．7 D． 67．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）已知，是一元二次方程的两个实数根，求的值（    ） A． B．2025 C． D． 68．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）已知 是方程 的两个根，则 的值为（     ） A． B． C． D． 69．（22-23八年级下·浙江杭州·期末）已知是关于x的一元二次方程的两个实数根．若，则的值是（    ） A．或3 B． C．3 D．或7 70．（22-23八年级下·浙江嘉兴·期末）已知关于x的一元二次方程有两个大于2的实数根，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型15 一元二次方程的应用 71．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）某公司计划用的材料沿墙（可利用）造一个面积为的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 72．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）随着生产技术的进步，某款药品的生产成本逐年下降．两年前生产1吨药品的成本是5000元，现在生产1吨该款药品的成本是3000元，设药品成本的年平均下降率为x，则可列方程（    ） A． B． C． D． 73．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某款学习机经过两次降价，单价由2500元降为2025元．若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为，则满足的方程是（   ） A． B． C． D． 74．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某店销售一款每个进价为60元的电子产品，若按每个90元出售，每月可销售200个．经调查发现，该电子产品售价每下降2元，其销售量就增加8个．当每个电子产品下降多少元时，该店每月销售这款电子产品的利润为8000元？设每个电子产品降价x元，可列出方程为（   ） A． B． C． D． 75．（24-25八年级下·浙江温州·期末）温州市2022年（国内生产总值）约为8030亿元，2024年约为9719亿元．设这两年温州市的平均增长率为，则可列出方程（   ） A． B． C． D． 题型16 平均数 76．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）若数据，3，5，的平均数为4，则数据，的平均数是（　　） A．2 B．4 C．6 D．8 77．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在某次期末考试中，甲学校和乙学校八年级学生的数学成绩统计数据如下表： 类别 男生平均分 女生平均分 年级平均分 甲学校 95 85 92 乙学校 97 87 91 根据表中数据，下列分析正确的是（   ） A．甲学校八年级总人数比乙学校多 B．甲学校八年级男生人数比乙学校多 C．甲学校八年级男生比例比乙学校高 D．甲学校女生人数多于男生 78．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）淘票票的评分界面中记录了电影《集结号》不同打分的人数． 评分（分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 人数（个） 56 502 0 0 1398 2516 2795 36894 111800 403039 则由表中的数据，该电影评分的平均分正确预测是（    ） A．在1分到6分之间 B．在7分到8分之间 C．在8分到9分之间 D．在9分到10分之间 79．（22-23八年级下·山东临沂·期末）某快递员十二月份送餐统计数据如下表： 送餐距离 小于等于3公里 大于3公里 占比 送餐费 4元单 6元单 则该快递员十二月份平均每单送餐费是（   ） A．元 B．元 C．5元 D．元 80．（22-23八年级下·浙江金华·期末）已知一组数据，，，的平均数为6，则另一组数据，，，的平均数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．不确定 题型17 中位数与众数 81．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）为落实“双减”政策，增强学生体质，学校开展一分钟跳绳比赛，某7名选手一分钟跳绳个数分别为：182，183，182，194，183，182，195，则这组数据的中位数是（    ） A．182 B．183 C．183.5 D．184 82．（24-25八年级下·浙江金华·期末）车间有15名工人，某一天他们生产的机器零件个数统计如下： 生产零件个数（个） 6 7 8 9 10 11 13 15 16 工人人数（人） 1 2 4 1 2 1 1 2 1 则工人生产的机器零件的中位数和众数分别是（    ）． A．7，10 B．8，10 C．8，9 D．9，8 83．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某线上自习室统计了9名学生自主设置的“专注模式”时长数据（单位：分钟）：30，40，40，55，40，40，95，40，25．若平台想推荐默认时长，那么最合适的方式是（    ） A．把众数40分钟作为默认时长 B．把最少时间25分钟作为默认时长 C．把平均数45分钟作为默认时长 D．把最长时间95分钟作为默认时长 84．（24-25八年级下·浙江温州·期末）杜鹃花是苍南县的县花，品种多样，“春鹃”是其中的一种．某兴趣小组对7株“春鹃”的花径进行测量，记录所得数据为（单位：）：5.5，5.7，5.5，5.6，5.8，5.7，5.8，则这7株“春鹃”花径的中位数为（　　） A． B． C． D． 85．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）某班七个兴趣小组人数分别为3，3，4，x，5，5，6．已知这组数据的平均数是4，则这组数据的中位数是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 题型18 离差平方和与方差 86．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）小红同学对数据22，34，28，27，4■，43进行统计分析，发现“4■”的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 87．（20-21八年级下·浙江台州·期末）一城市准备选购一千株高度大约为的某种风景树来进行街道绿化，有四个苗圃生产基地投标（单株树苗的价格都一样）．采购小组从四个苗圃中都任意抽查了20株树苗的高度，得到的数据如表： 苗圃 甲 乙 丙 丁 树苗平均高度（单位：m） 1.7 1.8 2.0 2.0 方差 0.2 0.5 0.8 0.2 请你帮采购小组出谋划策，应选购（    ） A．甲的树苗 B．乙的树苗 C．丙的树苗 D．丁的树苗 88．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）给出一组数据：a，b，c，c，，将这组数据改变为，b，c，c，后，比较这两组数据，统计量一定发生变化的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数 89．（24-25八年级下·浙江台州·期末）果树结果中期，果农要对果实进行疏果（去除一定量小果子，以优化营养分配）．对于同一棵果树疏果前后进行比较，疏果后树上的果实重量（   ） A．平均数增大，方差增大 B．平均数增大，方差减小 C．平均数减小，方差增大 D．平均数减小，方差减小 90．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名同学最近几次数学考试成绩的平均数与方差： 甲 乙 丙 丁 平均数（分） 方差 根据这个记录的成绩选择一名成绩好且发挥稳定的同学参加数学比赛，应该选择（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型19 四分位数与箱线图 91．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是根据八年班学生分钟跳绳次数制作的箱线图，由图不能确定这组数据的（   ） A．下四分位数 B．中位数 C．最大值 D．平均数 92．（25-26八年级上·山东青岛·期末）祖冲之把圆周率精确到小数点后7位，领先世界约1000年.数学活动课上，小红对圆周率的小数点后100位数字进行了统计： 数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14 则圆周率的小数点后100位数字的上四分位数、下四分位数为（    ） A．8，2 B．2，8 C．12，12 D．12，8 93．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图是小强某次练习射击成绩的箱线图（单位：环），则这组数据的下四分位数是（    ） A．8.5环 B．7环 C．6环 D．5环 94．（25-26八年级上·安徽宿州·期末）“幸福指数”是指某个人主观的评价对自己目前生活状态的满意程度的指标．常用0到10（含0与10）的一个数来表示，该数越接近10表示满意程度越高．现随机抽取6位小区居民，他们的“幸福指数”分别为5，6，7，8，9，5，则这组数据的上四分位数是（   ） A．5 B．6．5 C．7 D．8 95．（25-26八年级上·广东茂名·期末）春季学期开学后，全国多地学校将课间活动时间从10分钟延长到15分钟，鼓励孩子们走出教室，充分享受课余时光．某校通过各种丰富的课间活动，让课间休息落到实处，某班篮球队有篮球运动员12人，利用大课间进行投篮训练，每人投篮10个，投中球数如下：8，9，6，7，6，6，7，10，9，9，8，7在投中球数的这组数据中，下四分位数为（   ） A．5.5 B．6.5 C．7.5 D．9 题型20 多边形 96．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在四边形中，，，则的度数是（   ）． A． B． C． D． 97．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）在四边形中，与互补，，则（   ） A． B． C． D． 98．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）已知边形的内角和为，则的值是（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 99．（2014·北京丰台·二模）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，则这个多边形的边数是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 100．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图所示窗框的形状是六边形，则六边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 题型21 平行四边形及其性质 101．（24-25八年级下·浙江台州·期末）在平行四边形中，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 102．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别是和的中点，是上的一个动点，从点运动到点在点的运动过程中，与的面积之和（  ） A．不变 B．变小 C．变大 D．先变大再变小 103．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，在上取点，使，连结，过点作交，分别于点，．已知，，，当，发生变化时，下列代数式值不变的是（   ） A． B． C． D． 104．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，对角线交于点O，点F为上一点，若，，且，，则的面积为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 105．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，的对角线交于点O，的平分线交于点E，连结．若，则下列结论：①；②；③，正确的有（    ） A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 题型22 图形的旋转 106．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的为（    ） A． B． C． D． 107．（25-26八年级下·浙江金华·期中）如图，将绕点O按逆时针方向旋转后得到，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 108．（23-24八年级下·浙江温州·期末）在直角坐标系中，点关于原点成中心对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 109．（2024·湖南邵阳·二模）如图，与关于点 O 成中心对称，连接．下列结论不一定成立的是（   ）    A． B． C． D． 110．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在菱形中，，点为对称中心，点从点出发沿向点移动，移动到点停止，连接并延长交边于点，连接，．则四边形形状的变化依次为（     ） A．平行四边形→矩形→正方形→菱形 B．平行四边形→矩形→平行四边形→菱形 C．平行四边形→正方形→菱形→矩形 D．平行四边形→菱形→平行四边形→菱形 题型23 平行四边形的判定定理 111．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在综合实践课上，小明画出，利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形．小明这一作法判定四边形为平行四边形的直接依据是（    ） A．两组对边分别平行的四边形是平行四边形 B．一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 112．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件正确的是（    ） A． B． C． D． 113．（23-24八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，点是边的中点，点是边上一点，则下列条件中，不能说明四边形为平行四边形的是（    ） A．为的中点 B． C． D． 114．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，在四边形中，，是对角线，要使四边形为平行四边形，可添加条件（    ） A． B． C． D． 115．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）在菱形中，点O为对角线 的中点，点E、F分别为线段、上的点，的延长线交线段于点H，的延长线交线段于点 G，连接、、、，以下结论：①；②若，则；③存在无数个点E，使得四边形为菱形；④若四边形为矩形，则．其中正确的结论是（     ） A．①②③ B．③④ C．①②④ D．①②③④ 题型24 中位线的应用 116．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，D，E，F分别是，，的中点．连接，，，若的周长为6，则的周长为（   ） A．3 B．12 C．18 D．24 117．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在中，，是的中点，在边上．若，则的长为（   ）． A．3 B． C． D．4 118．（24-25八年级下·浙江衢州·期末）如图，每个小正方形的边长均为1个单位长度，的三个顶点都在格点上，点D，E分别是边与网格对角线的交点，连结，则的长为（    ） A． B． C． D． 119．（23-24八年级下·浙江台州·期末）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是各边的中点．甲说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形；乙说：若四边形是平行四边形，则四边形也是平行四边形．下列说法正确的是（    ） A．甲、乙都正确 B．甲正确，乙错误 C．甲错误，乙正确 D．甲、乙都错误 120．（24-25八年级下·浙江舟山·期末）如图，在中，，，点是上一点，连结，点是的中点，连结，作于点，连结，若，则的长为（　　） A． B． C． D．1 题型25 反证法 121．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）用反证法证明命题“等腰三角形的一个底角小于”时，第一步应假设（    ） A．等腰三角形的底角大于 B．等腰三角形的底角等于 C．等腰三角形的底角小于 D．等腰三角形的底角大于或等于 122．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）用反证法证明“如果，那么”时，应先假设（   ） A． B． C． D． 123．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）用反证法证明“中至少有一个内角大于或等于”时，应先假设（　　） A．这个三角形中有一个内角大于 B．这个三角形中有一个内角大于等于 C．这个三角形中每一个内角都大于 D．这个三角形中每一个内角都小于 124．（24-25八年级下·浙江温州·期末）用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（   ） A． B． C． D． 125．（23-24八年级下·浙江温州·期末）用反证法证明命题“若，则”时，应先假设（    ） A． B． C． D． 题型26 矩形的性质与判定 126．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，，P，Q分别为，上的点，，交于点M，已知与的面积差，若要求矩形的周长，则还需要知道以下哪条线段的长（   ） A． B． C． D． 127．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在矩形中，对角线、交于点，过点作，分别交边、于点、．已知，，则矩形的面积为（    ） A． B． C． D． 128．（23-24八年级下·浙江温州·期末）如图，矩形的对角线，相交于点O，于点E，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 129．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）如图，矩形中，．平分交于点，是上一动点，连结，于点，若，且，则的长为（　　） A． B． C． D． 130．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在中，，将它向右平移得到，和交于点D，延长，交于点E，若，则线段的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型27 菱形的性质与判定 131．（2020·河北·模拟预测）在菱形中，，，则（   ）． A． B． C． D． 132．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在四边形中，对角线交于点．（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 133．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在菱形中，点在上，连结，，．设，，则，关系正确的是（   ） A． B． C． D． 134．（24-25八年级下·浙江湖州·期末）如图，E，F分别是的边，上的点，连结，，是点B关于的对称点，是点D关于的对称点，已知，都在对角线上，且．记的度数是，的度数是，则与满足的关系式是（   ） A． B． C． D． 135．（22-23八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在矩形中，，对角线的垂直平分线与边，分别交于点，，则的长为（　　）    A． B． C． D．5 题型28 利用菱形的性质求面积 136．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，，，则菱形的面积为（    ） A．48 B．36 C．24 D．12 137．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形中，对角线、交于点O，过点A作于点E，连接．若，，则菱形的面积为（     ） A．30 B．40 C．50 D．60 138．（20-21八年级下·浙江宁波·期末）如图1，图形、图形是含内角的全等的平行四边形纸片（非菱形)，先后按图2()、图3()的方式放置在同一个含内角的菱形中．若知道图形②与图形⑤的面积差．则一定能求出（  ） A．图形①与图形③的周长和 B．图形④与图形⑥的周长和 C．图形①与图形③的周长差 D．图形④与图形⑥的周长差 139．（21-22八年级下·浙江台州·期末）将3个相同的矩形按如图所示摆放在菱形ABCD中，若每个矩形的周长为4，则菱形ABCD的面积为（    ） A． B． C．4 D． 140．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）如图是一个由5张纸片拼成的菱形ABCD，相邻纸片之间互不重叠也无空隙，其中周围四张小平行四边形纸片都全等，中间一张纸片的面积为．连结BE，BG，DE，DG，四边形BEDG的面积为，若，则周围小平行四边形的宽与长的比值为（   ） A． B． C． D． 题型29正方形的性质与判定 141．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，在中，，分别以边、向外作正方形和正方形，连接、．若已知的值，则能求出的三角形面积是（   ）． A．三角形 B．三角形 C．三角形 D．三角形 142．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，四边形和四边形都是正方形．连接．若点F是线段上的一点，且，则（    ） A．5 B． C． D． 143．（24-25八年级下·浙江台州·期末）如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，此图形中连结四条线段得到阴影部分，若，，，为各直角边中点，且小正方形面积为4，阴影部分面积为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 144．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，对角线、交于点，延长到，连结，过点作，分别交、于点、，连结，则下面哪个图形的面积与的面积相等（   ） A．四边形 B． C．四边形 D． 145．（23-24八年级下·浙江杭州·期末）如图是正方形纸片，点在边上（不与点，重合），连接．把四边形翻折，折痕为，点A，分别落在，处．若，则点到点A的距离可能是（    ） A． B． C． D． 题型30 图形的折叠问题 146．（24-25八年级下·浙江丽水·期末）如图，将矩形沿折叠，点B落在边上的点F处．若，，则的长度为 （    ） A．10 B．11 C．12 D．13 147．（18-19八年级下·浙江温州·期末）如图，在正方形中，E为边上一点，将沿折叠至处，与交于点F，若，则的大小为（　　） A． B． C． D． 148．（22-23八年级下·浙江丽水·期末）如图，在矩形中，，，点是的中点，连结，将沿折叠，点落在点处，连结，则的长是（    ） A． B． C． D． 149．（21-22八年级下·浙江台州·期末）如图，在菱形纸片ABCD中，∠A=60°，折叠菱形纸片ABCD，使点C落在DP（P为AB中点）所在的直线上，得到经过点D的折痕DE．则∠BEC′的大小为（   ） A．20° B．25° C．30° D．35° 150．（20-21八年级下·浙江杭州·期末）在一次活动课中，对如图所示的平行四边形（AD＞AB）进行折叠，第一次沿着AE折叠，点B落在点F处，接着两组同学分别尝试了两种不同的二次折叠，并给出了判断：组1：若沿着CF的中垂线折叠，则点D与点A必重合；组2：若沿着DF折叠，AD与DC所在的直线重合，且点A的对应点仍落在直线AF上，则＝（　　） A．组1判断正确，组2判断正确 B．组1判断正确，组2判断错误 C．组1判断错误，组2判断正确 D．组1判断错误，组2判断错误 题型31 二次根式中分母有理化 151．（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期中）代入求值时，有时直接代入并不简便，通过观察，另辟蹊径，事半功倍．阅读下列短文： 已知，求的值． 分析与解答： ， ， ，即， ， ． 请你根据上面的分析过程，解决如下问题： (1)计算________；________； (2)若，求值． 152．（25-26八年级下·广东珠海·期中）阅读下列材料： ；；； 请回答下列问题： (1)计算： ＝ ； (2)若n为正整数，请你猜想 ＝ ； (3)请化简： 题型32复合二次根式的化简 153．（25-26八年级下·江西赣州·阶段检测）阅读材料： 小颖在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，善于思考的小颖进行了以下探索： 设（其中x，y，m，n均为正整数），则有， ∴，．这样小颖就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小颖的方法探索并解决下列问题： (1)当x，y，m，n均为正整数且时，请用含m，n的式子分别表示x，y： ______，______； (2)若，且x，m，n均为正整数，求x的值； (3)①填空：______； ②化简：． 154．（21-22八年级下·山东济宁·期中）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 155．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 156．（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 题型33 一元二次方程的应用(营销问题) 157．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）古县城以“青春古城游”为主题，通过科技加持、文化赋能的创新融合，成功打造了一场现代与传统交织的文旅盛宴． (1)【科技加持】千架无人机腾空而起，在夜幕绘就“古城星空”，吸引不少游客驻足观看．据统计，假期第一天古县城累计接待游客约5万人次，第三天接待游客达7.2万人次．求游客人数从假期第一天到第三天的日平均增长率． (2)【文化赋能】烟火气十足的“去古城赶集”汇集非遗手作，地方美食等，重现古城商贸活力．如景区推出古城著名景点冰箱贴：每个冰箱贴的成本为5元，当售价为10元时，平均每天可售出500个；当售价每降低0.5元，平均每天可多售出25个．若要使每天销售冰箱贴获利1800元，则售价应降低多少元？ 158．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）2025年初，中国神话电影《哪吒2之魔童闹海》风靡全球，于是某书店开始销售《哪吒2》绘本．已知现在每套售价定为30元时，平均每天可售出60套；根据以往同类绘本销售规律：在每套涨价小于10元时，如果每套书每涨价1元，那么少售出4套/天；在每套降价小于10元时，如果每套书每降价1元，那么多售出1套/天． (1)若该书店计划每套书涨价5元，根据以往同类绘本销售规律估计每天获得总销售额是多少； (2)能否通过每套书降价x元（x为整数，），根据以往同类绘本销售规律估计，使每天获得的总销售额刚好与题（1）中的总销售额相等？若能，求出x的值；若不能，请说明理由； (3)根据以往同类绘本销售规律书店设计了两种销售方案： 书店方案一：每套书涨价m元（m为整数，）； 书店方案二：每套书降价n元（n为整数，）． 是否存在这样的m，n数值，使得两种方案总销售额相等？若存在，求的比值；若不存在，请说明理由． 159．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）某超市购入一批进价为10元/盒的糖果进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量y（盒）与销售单价x（元）是一次函数关系，下表是y与x的几组对应值． 销售单价x/元 … 12 14 16 18 20 … 销售量y/盒 … 56 52 48 44 40 … (1)求y关于x的函数表达式； (2)糖果销售单价定为多少元时，所获日销售利润为448元？ (3)超市决定从售出的每盒糖果所获的利润中拿出2元捐赠给儿童福利院，那么该种糖果的日销售利润去掉捐款后可以为400元吗？若可以，请求出该糖果的销售单价；若不可以，请说明理由． 题型34一元二次方程的应用(动态几何问题) 160．（20-21八年级下·浙江·期末）如图所示，中，． （1）点P从点A开始沿边向点B以的速度移动（至点B停止），点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动（至点C停止），当一点停止运动后另一点也停止运动，如果P，Q分别从A，B同时出发 ①经过几秒，的面积等于？ ②线段能否将分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能，说明理由． （2）若点P沿射线方向从点A出发以的速度移动，点Q沿射线方向从点C出发以的速度移动，P，Q同时出发，几秒后，的面积为？ 161．（13-14八年级下·浙江温州·阶段检测）如图，长方形中，，动点分别从点A、C同时出发，点P以的速度向终点B移动，点Q以的速度向点D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t，问： (1)当时，四边形的面积是多少？ (2)当t为何值时，点P和点Q的距离是？ (3)当__________s时，以点为顶点的三角形是等腰三角形（直接写出答案） 162．（24-25八年级下·海南三亚·期末）如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 题型35 数据分析综合解答 163．（20-21八年级下·浙江台州·期末）某校开展了“交通安全”知识竞赛，现从该校七、八年级中各随机抽取名学生的竞赛成绩（分制，分及以上为优秀）进行整理、描述和分析（成绩用表示，共分成四组：．，．，．，．）．已知：七年级的平均分为分，八年级的平均分和中位数分别是分和分，七年级抽取的学生竞赛成绩在组的数据是：，，，，，． 根据以上信息，解答下列问题： (1)直接写出七年级抽取的学生成绩的中位数和优秀率； (2)在这两个样本中，你认为哪个年级学生成绩较好？请你选择合适的统计量进行说明； (3)该校七、八年级各有人参加了此次竞赛活动，估计参加此次竞赛活动成绩优秀的学生人数是多少？ 164．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）学校要进行普法宣传比赛，某班选出甲、乙两名学生参加法制知识大比拼（满分100分），并对10次成绩进行整理分析，得到如下图表信息： 平均数/分 众数/分 中位数/分 甲成绩 85.5 80 n 乙成绩 85.5 m 86 根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：______，______． (2)甲、乙两名学生成绩的方差分别为，请判断______（填“>”“<”或“=”）． (3)根据（1），（2）两题的结果和折线统计图，你认为选择哪个同学参赛最合适？请说明理由． 165．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）某校积极响应“健康中国”战略，引入AI赋能的校园体育云打卡平台，该平台可实时追踪学生运动时长，提供个性化运动数据反馈，以此激励学生养成锻炼习惯．现随机抽取数名学生，统计其使用该平台后每天运动打卡时长（单位：分钟），结果分为六组：第1组(),第2组(),第3组(),第4组(),第5组(),第6组(),刘老师整理数据后，绘制了如下不完整的两幅统计图，请解答下列问题： (1)分别求本次调查共抽取了多少学生人数及第5组的学生人数； (2)抽查的每天运动打卡时长的中位数在第___________组； (3)若该校有1200名学生，试估计能落实“中小学生每天综合体育活动时间不低于1小时”的学生人数． 题型36 平行四边形的性质与判定解答题 166．（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，四边形为矩形，对角线交于点O，交延长线于点E． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，求的度数． 167．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在平行四边形中，点E，F分别在边上，，连接 (1)求证：四边形为平行四边形． (2)若，求四边形的面积． 168．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在中，M是的中点，连结并延长交的延长线于点N，连结，． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)如图2，连结，若，． ①求证； ②求的值． 题型37 旋转中解答题压轴 169．（22-23八年级下·浙江湖州·期末）如图，已知在菱形中，，，对角线与交于点O，点E是射线上的一个动点，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接，，．    (1)如图1，当点E在线段上运动时， ①求证：； ②当时，判断四边形的形状，并说明理由． (2)在点E的整个运动过程中，将沿着DE翻折得到四边形，当四边形为菱形时，求出此时的面积． 170．（21-22八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，于点F，点E在线段上，过点E作于点H，于点I，线段与线段交于点G． (1)若，，求的度数． (2)若．求证：． (3)在（2）的条件下，解答下列问题： ①已知，，，求的面积． ②用等式表示线段，，的数量关系，并给出证明． 171．（20-21八年级下·浙江绍兴·期末）有如下一道作业题： 如图1，四边形是菱形，且，以为顶点作顶角为120°的等腰，且，，在一条直线上，连结，． 求证：． （1）请你完成这道题的证明． （2）如图2，在菱形中，，点是边上一点，，且，连结，延长交于点，连结． ①求证：． ②把绕点顺时针旋转120°得到，连结（如图3）．求证：． 题型38 平行四边形综合实际探究题 172．（23-24八年级下·四川成都·期末）平行四边形中，点O是对角线中点，点E在边上，的延长线与边交于点F，连接､，如图1． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)在（1）中，若，过点C作的垂线，与､､分别交于点G､H､R，如图2 ①当，时，求的长． ②探究与的数量关系，直接写出答案． 173．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，点E是的中点，点P是上一点，连接，交于点M，N是上一点，且，连接并延长交于点F． 【初步尝试】 （1）四边形是平行四边形吗？如果是，请写出证明过程；如果不是，请说明理由； 【深入探究】 （2）如图2，若在图1的基础上连接交于点H，过点A作交于点G， ①猜想与的数量关系，并说明理由； ②如图3，当点P为中点时，若，，且，请求出的面积（结果用含a，b的式子表示）． 题型39四边形综合解答压轴题 174．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）如图，已知，正方形的边长为4，点是边上一点，点P，Q分别在边和上，且．    (1)如图1，若点E是中点． ①当点P和点A重合时，画出图形，求的长，并说明理由． ②设，．请探究m，n之间的关系． (2)如图2，，连接，若，，求的长． (3)如图3，若点E是中点，连接．请直接写出所有情形下的最小值． 175．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）如图，在正方形中，点E在边上，点F在边的延长线上，且，连接交边于点N，过点A作，垂足为H，交于点M，连接． (1)求的度数； (2)当，时，求的长； (3)若点M是的中点，求证：． 76．（24-25八年级下·浙江杭州·期末）如图，在矩形中，点E为中点，点F为中点． (1)求证：． (2)若，求的值． (3)若，，求BC的长． 题型40特殊平行四边形中多结论问题 177．（24-25八年级下·浙江温州·期末）如图1，在矩形中，，，对角线，交于点O，E为上一点（不与点，C重合），延长到点，使，交边于点，连结． (1)求证：． (2)当时，求的长． (3)如图2，连结，当等于的某个内角时，求所有符合条件的四边形的面积． 178．（23-24八年级下·浙江湖州·期末）在菱形中，是直线上一动点，以为边向右侧作等边按逆时针排列)，点的位置随点的位置变化而变化． (1)如图1，当点在线段上，且点在菱形内部或边上时，连结，小明通过连接后证明得到与的数量关系是______________； (2)如图2，当点在线段上，且点在菱形外部时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请予以证明；若不成立，请说明理由； (3)当点在的延长线上时，其他条件不变，连接，若，，求的长． 179．（21-22八年级下·浙江杭州·阶段检测）已知：如图，四边形ABCD为正方形，E为CD边上的一点，连接AE，并以AE为对称轴，作与△ADE成轴对称的图形△AFE，延长EF（或FE）交直线BC于G． (1)求证：；∠EAG＝45°； (2)设AB＝1，GF＝m，FE＝n，求的值； (3)若将条件中的“E为CD边上的一点”改为“E为射线CD上的一点”，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由． 题型41特殊平行四边形中动点问题 180．（24-25八年级下·安徽六安·期末）数学课上，同学们以特殊四边形为基本图形，添加一些几何元素后探究图形中存在的结论．已知在中，的平分线交于点，交的延长线于点，以，为邻边作． (1)如图1，“雅思”小组的同学研究了四边形为矩形时的情形，发现四边形是正方形，请你证明这一结论； (2)“雅学”小组的同学在图1基础上连接，得到图2，发现图2中线段与之间存在特定的数量关系，请你帮他们写出结论并说明理由； (3)“雅问”小组的同学计划对展开类似研究．如图3，在中，，当时，连接，请直接写出线段的长． 181．（20-21八年级下·浙江·期末）已知，中，一动点P在边上，以每秒的速度从点A向点D运动． (1)如图①，运动过程中，若平分，且满足，求的度数； (2)如图②，在（1）问的条件下，连接并延长，与的延长线交于点F，连接，若，求的面积； (3)如图③，另一动点Q在边上，以每秒的速度从点C出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点P到达点D时停止运动（同时Q点也停止），若，则时间为何值时，以P，D，Q，B四点组成的四边形是平行四边形． 182．（22-23八年级下·浙江·周测）在中，B在C的左边，，将关于作轴对称，得四边形．P是对角线上的动点，E是直线上的动点，且．    (1)四边形如图1所示，四边形是________（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；______（填“”或“”）； (2)四边形如图2所示，且，四边形是_______（填“矩形”或“菱形”或“正方形”）；（1）中与之间的数量关系还成立吗？若成立，请说明理由． (3)四边形如图3所示，若，，请直接写出的度数．（用含、的代数式表示） 183．（21-22八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在正方形ABCD中，，点P为正方形ABCD的对角线AC上一动点，过点P作交边DC于点E． (1)如图①，当点E在边CD上时，求证：； (2)如图②，在（1）的条件下，连接BE交AC于点F，若，求PF的长； (3)如图③，若点Q是射线CD上的一个动点，且始终满足，设，请直接写出的最小值． 题型42特殊平行四边形综合探究问题 184．（24-25八年级下·浙江嘉兴·期末）如图1， 在菱形中，E是上一点，，连接，过点B作交于点F． (1)求证：； (2)如图2，连接，求证：四边形是菱形； (3)如图3，在（2）的条件下，延长交于点G，连接，． ①探究与的数量关系，并说明理由； ②若，且，求菱形的边长． 185．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）已知：边长为4的正方形ABCD，∠EAF的两边分别与射线CB、DC相交于点E、F，且∠EAF＝45°，连接EF．求证：EF＝BE+DF． 思路分析： (1)如图1，∵正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝∠B＝∠ADC＝90°， ∴把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADE'，则F、D、E'在一条直线上， ∠E'AF＝　 　度，…… 根据定理，可证：△AEF≌△AE'F． ∴EF＝BE+DF． 类比探究： (2)如图2，当点E在线段CB的延长线上，探究EF、BE、DF之间存在的数量关系，并写出证明过程； 拓展应用： (3)如图3，在△ABC中，AB＝AC，D、E在BC上，∠BAC＝2∠DAE．若S△ABC＝14，S△ADE＝6，求线段BD、DE、EC围成的三角形的面积． 186．（23-24八年级下·浙江宁波·期末）如图1，在正方形中，点P在上，连接，过点B作于点E，过点D作于点F． (1)求证：． (2)如图2，延长至点G，使，连结，． ①探究线段，，之间的数量关系，并说明理由． ②连结，若，求的长． 题型43特殊平行四边形综合新定义问题 187．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）定义：一个四边形的四条边和两条对角线这六条线段中只有两种长度，我们把这样的四边形叫做双距四边形．    (1)下列说法正确的有______（填序号）． ①正方形一定是双距四边形． ②矩形一定是双距四边形． ③有一个内角为的菱形是双距四边形． (2)如图1，在四边形中，，，，求证：四边形为双距四边形． (3)如图2，四边形为双距四边形，，，，求的长． 188．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：以已知菱形的对角线为边且有一条边与已知菱形的一条边共线的新菱形称为已知菱形的伴随菱形．如图1，在菱形中，连接，在的延长线上取点E使得，以为边作菱形，我们称菱形是菱形的“伴随菱形”． (1)如图2，在菱形中，连接，在的延长线上作，作的平分线交的延长线于点，连接．求证：四边形为菱形的“伴随菱形”． (2)①如图3，菱形为菱形的“伴随菱形”，过作垂直于点，对角线相交于点．连接若，试判断与的数量关系并加以证明． ②在①的条件下请直接写出的值． 189．（20-21八年级下·浙江宁波·期末）我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”． （1）如图1，四边形的顶点，，在网格格点上，请你在的网格中分别画出个不同形状的等邻边四边形，要求顶点在网格格点上． （2）如图2，，，平分，求证：四边形为“等邻边四边形”． （3）如图3，在（2）的条件下，，，是的中点，点是边上一点，当四边形是“等邻边四边形”时，求的长． 1．阅读下列材料，解答后面的问题： ； ； ；… (1)写出下一个等式； (2)计算的值； (3)请求出的运算结果． 2．阳阳发现：利用公式可以把一些含根号的式子写成另一个式子的平方，如： 【问题解决】请你仿照阳阳的方法解决下面问题： (1)若（a，b为正整数），则 ； (2)已知n为正整数，化简= ； 【拓展延伸】 (3)计算，请直接写出最后的化简结果． 3．定义：若关于x的一元二次方程的两根均为整数，则称该方程为“快乐方程”．对于“快乐方程”，定义其“快乐数”为． 现探究以下问题： (1)“快乐方程”的“快乐数”为______； (2)若关于x的一元二次方程（m为整数，且）是“快乐方程”，求m的值，并求该方程的“快乐数”． (3)对于“快乐方程”（b、c为整数），若其“快乐数”（n为正整数），且方程的两根，满足，求该方程的“快乐数”所有可能的值． 4．我们已经学习了利用配方法解一元二次方程，其实配方法还有其他重要应用．例如：已知x可取任何实数，试求二次三项式的最小值． 解：， ∵无论x取何实数，都有， ∴，即的最小值为1． (1)【尝试应用】：请直接写出的最小值_____； (2)【拓展应用】：试说明：无论x取何实数，二次根式都有意义； (3)【创新应用】：如图，在三角形中，，，记，，当最大时，求此时b的值． 5．著名摩托车品牌生产A、B两种型号的摩托车．某经销商购入一批A型和B型摩托车．已知每台A型摩托车比每台B型摩托车价格低1.5万元，购买A型摩托车花费60万元，购买B型摩托车花费45万元．购买的A型摩托车的数量恰好是B型摩托车数量的2倍． (1)求一台A型摩托车和一台B型摩托车的价格分别是多少万元？ (2)经销商决定再次购入一批A型和B型摩托车，购买A型摩托车的数量比第一次的购买数量多台，购买型摩托车的数量与第一次相同，型摩托车每台的价格比第一次的价格高万元，型摩托车每台的价格比第一次的价格高万元，最终第二次购买两型摩托车的总费用比第一次购买两型摩托车的总费用多万元，求的值． 6．如图，在长方形中，，，点从点开始沿边向终点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向终点以的速度移动．如果、分别从、同时出发，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为秒． (1)填空： ， ．（用含的代数式表示） (2)当五边形的面积等于时，求此时的值． (3)是否存在的值，使线段的长度最小，若存在，请求出此时的值和最小值，若不存在，请说明理由． 7．“大国重器”是国家综合实力的体现，为了激发学生对国家科技硬实力的兴趣，增强文化自信．实验中学组织了男生组和女生组各100人，参加“大国重器我来讲”的主题知识竞赛，赛后张老师随机从男生组和女生组的竞赛成绩（成绩用x分表示）中，用科学的抽样方法各抽取了10名学生的成绩，整理如下： 其中抽取的10名女生成绩中，成绩在分的数据为：83，86，87，88． (1)抽取的学生中，男生组学生成绩的众数是________分，女生组学生成绩的中位数是________分； (2)求抽取的男生组这10名学生的平均成绩； (3)估计参加竞赛的学生中，成绩不低于90分的学生有多少人？ 8．在中，，，将绕点逆时针旋转得到，连接和． (1)如图1，当时，求证：； (2)如图2，过点作，交直线于点，连接，求证：四边形为菱形； (3)如图3，连接，交于点，交于点，若和的面积相等，求此时的值． 9．问题探究 (1)如图1，在中，，，若，则的长为 ． (2)如图2，在中，，，点，在上，，为了探究，，之间的等量关系，现将绕顺时针旋转，得到，连接．经探究，你所得到的，，之间的等量关系式是．请你按照题中所给思路证明． 问题解决 (3)图3是某地块平面图，因保存不当，导致土地面积数据缺失，仅存数据，，，米，米．根据现有数据能否求得地块的面积？若能，请求出地块的面积；若不能，请说明理由． 10．问题探究 (1)如图①，已知中，，点是的中点，连接，则的长为______； (2)如图②，已知中，为内一点，且，，请求出的长度； (3)如图③，四边形中，，，，，点为四边形内一点，且始终有，连接、，请问是否存在一点，使得的值最小？如果存在，求出的最小值；如果不存在，请说明理由． 11．已知矩形的边满足，点为边上一动点，连接，将沿折叠至，延长，交矩形的边长于点． (1)当时，矩形为正方形． ①如图1，若点与点重合，且，求； ②如图2，连接，交于点，连接，，若点是中点，判断的形状，并说明理由； (2)如图3，点是中点．求（用含的式子表示）． 12．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 60 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $