专题04 立体几何初步（期末真题汇编，陕晋青宁专用）高一数学下学期

**基本信息** 立体几何专题期末试题汇编，整合晋陕甘宁青等多地区期末真题，覆盖6大核心考点，通过基础概念辨析与综合几何证明题梯度设计，适配高一期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|较多|基本立体图形（棱锥性质判断）、直观图（斜二测画法还原）|结合易混概念设题，如六棱锥侧棱长与底面边长关系| |多选题|中等|空间位置关系（棱柱定义辨析）、截面形状判断|考查多面体结构特征，如四棱台的面数与侧棱关系| |填空题|较少|表面积与体积（圆锥侧面展开、球体积计算）|结合生活情境，如球形冰激凌与圆台容器相切问题| |解答题|中等|线面平行垂直证明、体积表面积计算|以正方体为模型设计探究题，如动点线段与平面平行的存在性论证，适配高考常考题型|

专题04 立体几何初步 高频考点概览 考点01基本立体图形 考点02立体图形的直观图 考点03简单几何体的表面积与体积 考点04空间点、直线、平面之间的位置关系 考点05 空间直线、平面的平行 考点06 空间直线、平面的垂直 ( 考点01 基本立体图形 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西·期末）下列说法正确的是 A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 【答案】B 【解析】根据棱锥和棱台的几何体的特征，逐项判断，即可求得答案. 【详解】对于A，若六棱锥的所有棱长都相等，则底面多边形是正六边形，若以正六边形为底面，侧棱长必然要大于底面边长，故A错误； 对于B，四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形，如图所示： 故B正确； 对于C，有两个平面互相平行，其余各面都是梯形，若侧棱不相交于一点，则不是棱台，故C错误； 对于D，由于棱台是用平行于底面的平面截棱锥得到的，所以棱台的各侧棱延长后一定交于一点，故D错误． 故选：B. 【点睛】本题考查几何体结构特征的相关命题的辨析，关键是能够熟练掌握常见几何体的结构特征，属于基础题. 2．（24-25高一下·山西省朔州市·期末）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是 A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根据圆柱母线定义，①错误；可以举例说明满足条件的三棱锥存在，②正确；根据线线垂直关系，可证三侧面两两垂直，③正确；根据棱台的定义，判断④错误. 【详解】圆柱的母线与上下底面垂直，而圆柱的上、下底面的圆周上各取一点， 这两点的连线不一定垂直底面，①错误； 如图正方体中，三棱锥，因为平面， 所以，因为平面， 所以，四个面都是直角三角形，②正确； 三棱锥中，， ，平面，平面， 平面，平面， 平面平面，平面平面， 同理平面平面， 所以三个侧面两两互相垂直，③正确； 根据棱台是由棱锥被平行底面的平面所截， 截面和底面相似，而侧棱不一定相等，④错误. 故选:C. 【点睛】本题考查几何体的结构特征，考查线线、面面垂直的判定，注意空间垂直的相互转化，属于中档题. 3．（24-25高一下·山西晋中·期末）下列说法错误的是　　 A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C．用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形 D．将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥 【答案】B 【分析】由棱柱的性质可判断A；可举正八面体可判断B；用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可判断C；由圆锥的定义可判断D． 【详解】由棱柱的性质可得棱柱的侧面都是平行四边形，则A正确； 所有面都是三角形的多面体不一定是三棱锥，比如正八面体的各个面都是正三角形，则B错误； 用一个平面去截正方体，与正方体的五个面相交，可得截面图形是五边形，则C正确； 由圆锥的定义可得直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥，则D正确． 故选B． 【点睛】本题考查空间几何的性质，属于基本题． 4．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）满足下列四个条件中的条件（     ）时， 棱柱是正四棱柱. A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 【答案】D 【分析】根据正棱柱的几何特征，即可结合选项逐一求解. 【详解】如图：若底面是正方形的棱柱中，左右两个侧面是矩形，但不与底面垂直，但棱柱不是正四棱柱.A错误， 若前后两个侧面是与底面垂直的平行四边形，则棱柱不是正四棱柱，故B错误， 对于C，底面有可能不是正方形,故C错误， 对于D，因为有一个顶点处的三条棱两两垂直，故侧棱垂直于底面， 而底面为菱形，故底面为正方体，故该棱柱为四棱柱. 故选：D． 5．（24-25高一下·青海·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（    ） A．12 B．18 C．22 D．36 【答案】C 【分析】由棱锥的结构特点即可判断。 【详解】因为棱锥有12个面， 所以该棱锥为十一棱锥，则该棱锥的棱的条数是22． 故选:C. 6．（24-25高一下·青海省西宁市·期末）下列说法中错误的是（    ） A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 【答案】C 【分析】由棱台圆台和旋转体的结构特征，圆柱母线的定义，对选项进行判断. 【详解】由棱台的结构特征可知，A选项中说法正确； 由圆台的结构特征可知，B选项中说法正确； 直角三角形绕斜边所在直线旋转一周所形成的几何体，不是圆锥， 是由两个同底圆锥组成的几何体，C选项中的说法错误； 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，这两点的连线不一定是圆柱的母线， 只有当这两点的连线平行于轴时才是母线，D选项中说法正确. 故选：C 7．（24-25高一下·青海海东·期末）下列说法中正确的是（    ） A．存在只有4个面的棱柱 B．棱柱的侧面都是四边形 C．正三棱锥的所有棱长都相等 D．所有几何体的表面都能展开成平面图形 【答案】B 【分析】对于A、B：由棱柱的定义直接判断； 对于C：由正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，即可判断； 对于D：由球的表面不能展开成平面图形即可判断． 【详解】对于A：棱柱最少有5个面，则A错误； 对于B：棱柱的所有侧面都是平行四边形，则B正确； 对于C：正三棱锥的侧棱长和底面边长不一定相等，则C错误； 对于D：球的表面不能展开成平面图形，则D错误． 故选：B 8．（24-25高一下·宁夏贺兰县·期末）下列说法正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥 C．棱锥的所有侧面都是三角形 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 【答案】C 【解析】根据棱柱、圆锥、棱锥和棱台的概念分别判断命题，可得答案． 【详解】如图，两个三棱柱合在一起，仍然满足有两个面平行，其余各面都是四边形，但它不是棱柱，A错； 一个直角三角形绕其一个直角边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥，B错； 根据棱锥的定义，C正确； 用一个与底面平行的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体才叫棱台，不是任意平面都能截出棱台的，D错； 故选：C 【点睛】方法点睛：本题考查柱锥台的结构特征，归纳如下： 1.棱柱的特征：有两个面互相平行；其余各面都是平行四边形；每相邻两个四边形的公共边互相平行； 2.棱锥的特征：有一个面是多边形；其余各面都是有一个公共点的三角形； 3.棱台的特征：两底面互相平行；侧棱延长线相交于一点； 4.圆柱的特征：由矩形绕直角边旋转一周形成； 5.圆锥的特征：由直角三角形绕一条直角边旋转一周形成； 6.圆台的特征：由直角梯形绕其直角边旋转一周形成； 7.球的特征：由半圆绕其直径旋转一周形成． 二、多选题 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 【答案】ABC 【分析】根据棱柱的几何结构特征依次判断选项即可． 【详解】对于A中，如图所示： 满足有两个面互相平行，其余各面都是四边形，但该几何体不是棱柱，故A不正确； 对于B中，正六棱柱中有四对互相平行的面，但只有一对面为底面，所以B不正确； 对于C中，长方体、正方体的底面都是平行四边形，故C不正确； 对于D中，根据棱柱的几何结构特征，可得棱柱的侧棱都相等，且侧面都是平行四边形，所以D正确. 故选：ABC. 10．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列多面体中，由六个面组成的是（   ） A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 【答案】BCD 【分析】根据几何体的结构特征逐项判断可得答案. 【详解】对于A， 四棱锥是一个底面，四个侧面共五个面构成的几何体，故错误；     对于B， 五棱锥是一个底面，五个侧面共六个面构成的几何体，故正确；     对于C， 四棱柱是两个底面，四个侧面共六个面构成的几何体，故正确；     对于D， 四棱台是两个底面，四个侧面共六个面构成的几何体，故正确； 故选：BCD. 11．（24-25高一下·陕西省汉中·期末）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 【答案】ABC 【分析】画出正方体的相关截面判断A、B、C，结合平面的基本性质判断D. 【详解】如下图，正方体中均为中点， 所以四边形为平行四边形，也是菱形，四边形为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错. 故选：ABC 12．（24-25高一下·宁夏固原·期末）下列命题中正确的有（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 【答案】BCD 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】 对于A：如图所示，上下底面平行，各个面都是平行四边形， 此几何体不是棱柱，故A错误； 对于B：由平行六面体的概念和性质可知： 平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形，故B正确； 对于C：棱锥侧面全为三角形，有一个面是平行四边形， 则此面为底面，所以该棱锥为四棱锥，故C正确； 对于D：正棱锥的定义是：底面为正多边形，且顶点在底面上的投影为底面中心. 容易得到，所有侧棱长度相等，底面边长相等，每个侧面三角形由两条侧棱和一条底边组成， 因此正棱锥的侧面是等腰三角形，同时，所有侧面三角形的边长对应相等，故侧面三角形全等，故D正确. 故选：BCD. 三、填空题 13．（24-25高一下·陕西省宝鸡市·期末）已知圆锥的母线长为，底面半径为r，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，则＝____________． 【答案】3 【分析】根据圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，得到扇形的圆心角为，则可列出等式求解. 【详解】解：由题意可知扇形的圆心角为， 则， 所以． 故答案为：3 ( 考点0 2 基本立体图形的直观图 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏青铜峡市·期末）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由直观图画出原图象，计算即可. 【详解】由直观图画出原图象，如图所示： 由直观图可知，， 所以，所以的周长为. 故选：B. 2．（24-25高一下·宁夏吴忠市·期末）如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的对角线（   ） A． B．4 C． D． 【答案】A 【分析】根据直观图画出原图，求出相关线段的长度，再由勾股定理可得. 【详解】在直观图中，， 则， 根据直观图画出原平面图形，其为直角梯形，如图， 所以，， ， 所以. 故选：A. 3．（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据给定条件，求出直观图矩形的面积，再利用原图形与直观图面积关系计算即得. 【详解】依题意，矩形的面积为， 而水平放置的平面图形的直观图面积是原图形面积的， 所以原图形面积为. 故选：A 4．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【详解】过作交轴于点，可得， 因为，所以为等腰直角三角形，所以， 根据斜二测画法，可得，如图所示，则， 所以的面积，故选项D正确. 5．（24-25高一下·青海海东·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由斜二测画法还原图形计算即可求得结果 【详解】根据，，则，， 所以， 如图，由斜二测画法还原图形，，则.    故选：D. 6．（24-25高一下·山西太原·期中）已知等边的直观图的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由原图和直观图面积之间的关系即可得结果. 【详解】因为直观图的面积为， 所以，解得， 故选：D. 7．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】利用斜二测画法还原，可求各边长度和周长. 【详解】由题可作出图形，如下图所示： 由，可知，，， 所以， 故的周长为. 8．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（    ） A．4 B．6 C． D．8 【答案】D 【分析】将直观图还原为平面图形是平行四边形，然后计算． 【详解】将直观图还原为平面图形，如图所示. ＝，，所以， 所以原图形的周长为8cm， 故选：D. 9．（24-25高一下·山西临汾·期末）如图，是水平放置的的直观图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用斜二测画法中的原图形与直观图之间的关系进行求解即可. 【详解】由题意可知，，， ，，将直观图还原后如图， 则，，. 故选：A. 10．（24-25高一下·山西吕梁·期末）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.若是斜边的中点，且，则原图中BC边上的高为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】根据原图与直观图的关系即可求解. 【详解】直观图中轴，所以原图中轴，即为BC边上的高. 因为，所以， 故选：C. 二、多选题 11．（24-25高一下·浙江·期末）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】首先算出长度，再利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，从而判断各个选项正误. 【详解】如图所示，在直观图中，过作于， . 又， 所以利用斜二测画法将直观图还原为原平面图形，如图： 那么有，故选项B正确； 又因为，故选项A､C错误； 而，故选项D正确. 故选：BD. ( 考点0 3 简单几何体的表面积与体积 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏青铜峡市·期期末）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用勾股定理列方程，求得球的半径，进而求得球的体积. 【详解】设球的半径为，则，解得， 球的体积. 故选：A 2．（24-25高一下·宁夏·期末）已知圆台上下底面圆的半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆台侧面积的计算公式，结合已知条件，直接求解即可. 【详解】设上下底面圆半径分别为，，母线长为， 则圆台侧面积. 故选：B. 3．（24-25高一下·青海西宁·期末）已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知几何体是三棱台，利用割补法结合台体的体积公式运算求解. 【详解】如图，连接，不妨设，棱台的高设为， 所以． 因为，分别是棱，的中点，则，． 又因为平面平面，可知几何体是三棱台， 则． 所以分割之后较大部分的体积为， 所以较小部分与较大部分的体积之比为． 故选：B． 4．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（    ）    A．12 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】确定球心，结合正四棱锥性质建立关于球半径的方程，再根据球的表面积公式求解即可. 【详解】连接，则的交点即为球心.设，则， 则八面体的外接球表面积，解得， 故所求体积， 故选：D. 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分析挖去部分的形状，再分别计算正方体剩余部分的表面积和挖去部分的表面积，最后将两部分面积相加得到几何体Ω的表面积. 【详解】根据题意易得是由正方体，挖去个以4为半径的球所得， 所以的表面积为.    故选：D 6．（24-25高一下·山西运城·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，点是弧的中点，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据题意得，且，进而得，再计算体积即可. 【详解】因为是圆的直径，点是弧的中点， 所以，且， 所以， 因为垂直于圆所在的平面，， 所以三棱锥的体积为． 故选：C 二、多选题 7．（24-25高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 【答案】ACD 【分析】由条件确定圆柱的底面半径、高以及圆锥的底面半径、高和母线长，利用圆柱、圆锥的侧面积公式、球体的表面积，圆锥、圆柱、球体的体积公式求解并判断选项即可. 【详解】由题意可知，圆柱的底面半径为，高为，圆锥的底面半径为，高为， A项，圆柱的侧面积为，故A正确； B项，圆锥的母线长为， 所以，圆锥的侧面积为，故B错误； C项，球的表面积为，所以圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确； D项，圆柱的体积为， 圆锥的体积为， 球的体积为， 因此，圆柱、圆锥、球的体积之比为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 8．（24-25高一下·青海海南·期末）某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意冰激凌的体积是_________立方厘米. 【答案】 【分析】只需根据题意求得该球形创意冰激凌的半径，再结合球的体积公式即可求解. 【详解】如图，设，分别是该圆台容器上、下底面圆的圆心， 四边形是该圆台容器的轴截面，圆是球形创意冰激凌的截面， ，分别为圆切，的切点，则，. 作，垂足为，则，，. 因为，所以， 则，即该球形创意冰激凌的半径为4， 故该球形创意冰激凌的体积为立方厘米. 故答案为：. 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为____________． 【答案】 【分析】根据三棱锥的外接球即是正方体的外接球，运算得解. 【详解】设正方体外接球的半径为，则，即， 由题，三棱锥的外接球即是正方体的外接球， 所以三棱锥外接球的表面积. 故答案为：. 10．（24-25高一下·陕西安康·期末）把一个圆心角为，半径为的扇形卷成一个圆锥，此圆锥的体积为__________. 【答案】 【分析】根据扇形的弧长公式求得扇形的弧长，从而求得圆锥底面圆的半径，再求得圆锥的高，最后利用体积公式求解. 【详解】设圆锥的底面半径为，则，所以， 所以圆锥的高为，所以圆锥的体积为. 故答案为： 11．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________. 【答案】 【分析】借助圆台体积公式与侧面积公式计算即可得. 【详解】设该圆台的高为，母线长为，上下底面半径分别为、， ，则， ，，则，， 则，故圆台的侧面积. 故答案为：. 四、解答题 12．（24-25高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，先求四棱锥的高，结合锥体体积公式，即可求解； （2）根据题意，结合棱锥表面积求法，即可求解. 【详解】（1）连接，，记，连接， 如图所示.棱锥为正四棱锥， 所以平面， 又平面， 所以， 因为,即, 所以， 所以四棱锥的体积 . （2）取的中点，连接，，如图所示. 因为平面， 平面， 所以，且, 所以， 所以四棱锥的表面积. 13．（24-25高一下·山西吕梁·期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． (1)求这种“浮球”的体积； (2)要在100个这种“浮球”的表面涂一层防水漆，每平方厘米需要防水漆，共需多少防水漆？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由球的体积公式和圆柱的体积公式求解即可； （2）由球的表面积公式和圆柱的侧面积公式求解即可. 【详解】（1）因为该“浮球”的圆柱筒底面半径和半球的半径，圆柱筒的高为2cm，所以两个半球的体积之和为， 圆柱的体积，∴该“浮球”的体积是； （2）根据题意，上下两个半球的表面积是，而“浮球”的圆柱筒侧面积为， ∴“浮球”的表面积为；所以给100个这种浮球的表面涂一层防水漆需要. ( 考点0 5 空间点、直线、平面之间的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 【答案】D 【分析】分别讨论三个平面的位置关系，根据它们位置关系的不同，确定平面把空间分成的部分数目． 【详解】如图，若三个平面平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若其中两个平面平行，另一平面与这两个平面都相交， 此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线互相平行，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面两两相交且交线交于同一点，此时三个不同平面把空间分成部分， 如图，若三个平面相交于同一条直线，此时三个不同平面把空间分成部分， 故A、B、C都有可能，D不可能.    故选：D. 2．（24-25高一下·山西吕梁·期末）若，则直线AB与CD的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 【答案】D 【分析】根据垂直直线的向量表示可知直线AB与CD垂直，即可求解. 【详解】因为，所以直线AB与CD垂直， 所以AB与CD相交或异面． 故选：D 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 【答案】B 【分析】根据线面相交关系，结合平面的基本性质及各项的描述，即可得. 【详解】由题设，平面内的直线与直线只有相交或异面两种位置情况，不可能有平行的情况，A、C、D错、B对； 故选：B 4．（24-25高一下·陕西汉中·期末）下列命题正确的是（   ） A．三个点可以确定一个平面 B．用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形 C．一个棱柱至少有五个面 D．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行 【答案】C 【分析】当三个点位于同一直线时则不能确定一个平面可对A判断；等边三角形的直观图不为等腰三角形可对B判断；根据棱柱的知识可对C判断；当两条直线异面时也没有公共点即可对D判断. 【详解】A：当三个点位于同一直线时则不能确定一个平面，故A错误； B：如图，等边，设其边长为2，以边的中点为原点建立直角坐标系，在其直观图中， 在中由余弦定理可得， 同理可得 则，故B错误； C：因三棱柱有五个面，则可得所有的棱柱至少有五个面，故C正确； D：当两条直线异面时，这两条直线没有公共点且不平行，故D错误. 故选：C. 5．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质及各项描述判断正误即可. 【详解】由平面是无限延展的，而平面图形有边界，故A、B错； 若圆心与圆上两点共线，即在一条直径上时，可确定无数个平面，C错； 平面的基本性质知，梯形可以确定一个平面，D对. 故选：D 6．（24-25高一下·青海·期末）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异面直线所成角的定义进行求解. 【详解】连接，在正方体中，， 所以为异面直线与所成的角， 而，即为等边三角形， 所以，即异面直线与所成的角是. 故选：C.    7．（24-25高一下·宁夏固原·期末）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对于B，证明即可；而对于BCD，首先通过辅助线找到其中三点所在的平面，然后说明另外一点不在该平面中即可. 【详解】对于选项，如下图，点、、、确定一个平面，该平面与底面交于，而点不在平面上，故、、、四点不共面； 对于选项，连结底面对角线，由中位线定理得，又，则，故、、、四点共面 对于选项C，显然、、所确定的平面为正方体的底面，而点不在该平面内，故、、、四点不共面； 对于选项D，如图，取部分棱的中点，顺次连接，得一个正六边形，即点、、确定的平面，该平面与正方体正面的交线为，而点不在直线上，故、、、四点不共面． 故选：B 二、多选题 8．（24-25高一下·陕西汉中·期末）下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C．空间中不同的三点可以确定唯一平面 D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 【答案】AD 【分析】根据圆锥和圆台的结构特征即可求解AB，根据空间中点线面的关系即可求解CD. 【详解】对于A, 棱柱的侧面一定是平行四边形,A正确， 对于B，用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台，故B错误， 对于C, 空间中不在同一直线上的不同的三点可以确定唯一平面，C错误， 对于D, 过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行,D正确， 故选：AD 三、填空题 9．（24-25高一下·山西·期末）如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为__________．    【答案】 【分析】根据异面直线所成角的定义结合余弦定理，即可求解. 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 因为点在平面上的射影是，所以平面ABC，则，， 因为分别为的中点，所以，， 所以与所成的角即或其补角， 因为，所以，， 所以， 又因为，所以， 所以， 故异面直线PC与AB所成角的余弦值为． 故答案为：.    10．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是____________. 【答案】①②③ 【分析】根据空间中平面的性质，即可结合选项逐一求解. 【详解】对于①，过不共线的三点确定一个平面；故①错误， 对于②,有三个角为直角的四边形可能是空间四边形，故②错误， 对于③，若三条直线相交于一点，则可以确定3个平面；故③错误， 对于④,两个相交平面把空间分成四个区域, ④正确， 故答案为：①②③ 四、解答题 11．（24-25高一下·青海省西宁市·期末）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，即可得四点共面； （2）由平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，在平面内解三角形即可. 【详解】（1）连接. 在中，点E，F分别为棱，AB的中点， 则， 在正方体中，， ，且， 四边形是平行四边形， ，则， 故、、、四点共面.    （2）由（1）知，， 则即为所求异面直线与BC所成的角， 设正方体的棱长为， 在中，， 则， 所以. 故所求异面直线与BC所成角的余弦值为． 12．（24-25高一下·青海省海东市·期末）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证： (1)E､F､G､H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明出即可； （2）证明出EFHG为梯形，得到EG与FH必相交，设交点为M，再结合点，线与面的关系进行证明. 【详解】（1）∵，∴. ∵E，F分别为AB，AD的中点，∴，且， ∴，∴E，F，G，H四点共面. （2）∵G，H不是BC，CD的中点，∴，∴， 由（1）知，故EFHG为梯形. ∴EG与FH必相交，设交点为M， ∴平面ABC，平面ACD， ∴平面ABC，且平面ACD， ∴，即GE与HF的交点在直线AC上. 13．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）如图，已知正方体 (1)哪些棱所在直线与直线是异面直线？ (2)直线和和的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线垂直？ 【答案】(1)棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线； (2)45° (3)直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直． 【分析】（1）根据异面直线的定义即可求解； （2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，即可得出结论； （3）根据线线垂直的判定定理即可求解. 【详解】（1）由异面直线的定义可知，棱AD、DC、CC′、DD′、D′C′、B′C′所在直线分别与直线BA′是异面直线； （2）由BB′∥CC′可知，∠B′BA′为异面直线BA′与CC′的夹角，∠B′BA′＝45°，所以直线BA′和CC′的夹角为45°； （3）直线AB、BC、CD、DA、A′B′、B′C′、C′D′、D′A′分别与直线AA′垂直． ( 考点0 5 空间直线、平面的平行 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西太原·期末）已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是（    ） A．a与b无公点 B．a与b异面 C． D． 【答案】A 【分析】根据线面平行的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】依题意可知， 而，所以没有公共点， 与可能异面、平行、垂直， 所以A选项正确，BCD选项错误. 故选：A 2．（24-25高一下·山西·期末）如图所示，在正方体中，点，，，分别为棱，，，上的中点，下列判断正确的是（    ） A．直线平面 B．直线面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【分析】根据平面的基本性质做出截面，如图所示，然后根据线面平行的定义否定AB,根据面面平行的定义否定C,利用面面平行的判定定理证得D. 【详解】过点，，的截面如图所示(，，均为中点)， 所以直线与其相交于点， 故A项错误； 直线与直线在平面必定相交，故B项错误； 直线与直线相交， 故平面与平面不平行，C项错误； 易得直线直线，直线直线， 又∵,所以平面平面. 故选:D. 3．（23-24高一下·陕西商洛·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取的中点，连接，设正方体棱长为，则为异面直线与所成角或其补角，利用余弦定理求解. 【详解】    取的中点，连接，设正方体棱长为， 因为，所以四边形为平行四边形， 所以，则为异面直线与所成角或其补角， 由 所以. 故选：B 4．（24-25高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用异面直线夹角的定义即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接， 易知，，且，， 故，且是异面直线与所成角或其补角， 所以或， 所以异面直线与所成角为或其补角， 当时，；当时，， 所以直线与所成角的大小为或     故选：C    5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】根据线面平行的性质与判定逐个辨析即可. 【详解】A中，也可能成立； B中，，还有可能相交或异面； C中，也可能成立； 由直线与平面平行的性质定理可知D正确. 故选：D 二、多选题 6．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线与所成角正切值为2 D．直线与所成角正切值为 【答案】AC 【分析】利用补形思想，在正方体的左侧补一个全等的正方体，则P点位置即可直接确定，结合P点位置所有选项都可直接验证. 【详解】解析：如图，利用补形思想，在正方体的左侧 补一个全等的正方体，并平移到， 则平面为过且与平行的平面， 显然平面交于点， 为的中点，故对，错； 由于直线与 所成角为，且， 故正切值为2，故C对，D错， 故选：AC. 三、解答题 7．（24-25高一下·山西吕梁·期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，则. (1)已知为射线上一点，交于点，交于点，当时，证明以上三面角余弦定理； (2)如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②存在，点在的延长线上且 【分析】（1）在中和中分别用余弦定理得，两边同除以可得答案； （2）①由平面平面，知，由（1）得答案；②延长至，使，证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理可得答案. 【详解】（1）如图，依题意，交于点，交于点， 则是二面角的平面角． 在中和中分别用余弦定理，得 ， ， 两式相减得， 由，故， 由， 两边同除以，所以； （2）①由平面平面，知， 由（1）得， ，， ； ②在直线上存在点，使平面． 连结，延长至，使，连结， 在棱柱中，，，，， ，且，则四边形为平行四边形， ， 在四边形中，，， 四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面． 当点在的延长线上，且使时，平面． 【点睛】思路点睛：第二问②中，延长至，使，证明四边形为平行四边形，再由线面平行的判定定理证明即可. 8．（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图，在边长为4的正方体中，点在上． (1)当是中点时，证明：平面； (2)当和重合时，求三棱锥的表面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连结交于点，利用三角形中位线证明即可； （2）分别求出四个三角形的面积即可. 【详解】（1）如图，连结交于点，则为的中位线，所以， 又因为平面，平面，所以平面. （2）当与重合时，三棱锥即三棱锥， 则在边长为4的正方体中，是边长为的正三角形， 所以三棱锥表面积为 . 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是线段上的动点，且满足．    (1)证明：平面． (2)当的长度最小时，求过且与平行的平面截正方体所得截面的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）分别过作的平行线，把它们与平面的交点连接起来即为所找的与平行的直线，用线面平行判定定理证明即可. （2）把表示成关于的函数，并求出使取得最小时的的值，进而可确定，位置，再分别过，作的平行线，即可找到截面. 【详解】（1）    在平面内过点作平行线分别交，于，； 在平面内过点作的平行线分别交，于，，连接，； 在中，由，可知，又且正方体边长为1， 代入可得，所以， 所以；同理可得. 又由，且，所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）由第1问知四边形为平行四边形，所以； 在中，由，可得， 所以，所以；在中，，所以， 所以在中， ， 当时，最小，此时M，N分别是线段上的中点. 由，分别是线段上的中点，可得，，，分别是各自所在棱的中点， 又因为，所以四点共面， 又，平面，平面， 平面，所以四边形即为所求截面. 由于，，，分别是各自所在棱的中点，可得，且， 所以四边形为平行四边形，又平面，且, 所以平面，平面，， 所以四边形为矩形，而，， 故四边形的面积. 10．（24-25高一下·陕西榆林·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据正方体的性质可得是的中点，从而可得，根据线面平行的判定定理即可证明； （2）根据即可求解. 【详解】（1）∵是与的交点，∴是的中点， 又是棱的中点，∴， 又平面，平面， ∴平面. （2）由正方体的性质可得平面， 所以. 11．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在， 【分析】（1）连接，根据题意，证得四边形是平行四边形，得到，结合线面平行的判定定理，即可证得平面； （2）连接，分别证得和，得到平面，由（1）知平面，证得平面平面，即可得到答案. 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 因为分别是棱的中点，所以， 由长方体的性质，可知，则且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又因为平面，且平面，所以平面. （2）解：取棱的中点，连接，平面平面，此时 理由如下： 连接，因为分别为棱的中点，所以， 因为分别为棱的中点，所以，所以， 因为平面且平面，所以平面， 由（1）可知平面，且平面，平面，，所以平面平面， 故在棱上存在点，使得平面平面，此时. 12．（24-25高一下·青海西宁·期末）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）连接BH，由中位线可得，即可证明F，G，H，B四点共面； （2）由面面平行的判定定理即可证明. 【详解】（1）连接， 分别是的中点, 为的中位线， ， 四点共面； （2）由（1）知， 平面面， 平面； 又分别是的中点 ， 平面平面， 平面； 面面， 平面平面. 13．（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图，已知正方体中，E、F分别是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）根据面面平行的判定定理即可证明结论. 【详解】（1）证明：由题可知正方体中，E、F分别是的中点． 故，而,即四边形为平行四边形， 故， ∴，又平面平面， ∴平面； （2）证明：由（1）知， 又平面平面， ∴平面， 同理可得平面，又平面， ∴平面平面. ( 考点0 6 空间直线、平面的垂直 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·青海海南·期末）在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】取棱的中点，连接，，，根据异面直线的定义说明是异面直线与所成的角或其补角，结合余弦定理即可求解. 【详解】取棱的中点，连接，，，如图所示，    因为，分别是棱，的中点，所以，. 由棱柱的性质可知，. 因为是棱的中点，所以，，所以，， 所以四边形是平行四边形，所以， 则是异面直线与所成的角或其补角. 设，则，. 在中，由余弦定理可得， 即异面直线与所成角的余弦值是. 故选：C. 2．（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【分析】利用空间中直线与平面、平面与平面平行、垂直的判定和性质逐项判断可得答案. 【详解】对于A，若，，，则与可能异面，故A错误； 对于B，若，，，则与相交时，与都与交线平行时， 也满足条件，故B错误； 对于C，若，，，则与可能平行，故C错误. 对于D，若，，，则，故D正确. 故选：D. 3．（24-25高一下·山西晋中·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是（    ） A．若，，，则，是异面直线 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】C 【分析】结合长方体模型及线面平行，线面垂直关系判断可得. 【详解】对于A：如图：在长方体中，，，，但，故A错误； 对于B：如图：在长方体中，，，，但，故B错误； 对于C：因为，，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D：如图：在长方体中，，，，但，所以D错误； 故选：C 4．（24-25高一下·山西吕梁·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接，利用异面直线的定义确定夹角，进而求出其余弦值. 【详解】在正三棱柱中，连接， 由，得为异面直线BC与所成角或其补角， 中，，同理， 在等腰中，， 所以异面直线BC与所成角的余弦值为. 故选：A 二、多选题 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B．平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 【答案】BD 【分析】由图形容易说明，在同一平面内判断A，由及线面垂直的判定定理判断B；由及异面直线所成角的概念求解判断C；取的中点，则，易证平面，判断D． 【详解】对于A，由图可知直线与直线都在平面中，故A错误； 对于B，正方体的棱长为1，由图可知直线， 又平面，平面，所以平面，故B正确； 对于C，由正方体性质知， 所以直线与直线所成角为直线与直线所成角， 因为为正方形，所以，即直线与直线所成角是，故C错误 ； 对于D，连接，，，取的中点，连接，则， 因为平面，平面，所以， 又，，平面，所以平面， 所以平面，即在点处时，可使平面，故D正确． 故选：BD 三、填空题 6．（24-25高一下·宁夏银川·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 _______. 【答案】 【分析】取的中点，过点作交于点，证明二面角的平面角就是，结合解三角形知识即可求解. 【详解】由四面体为鳖臑，且，得， 取的中点，过点作交于点，连接， 则，是二面角的平面角， 设，则，，，， 从而，，又， 在中，， 在中，，所以. 故答案为： 7．（24-25高一下·青海西宁·期末）在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________. 【答案】/ 【分析】通过平移得到异面直线所成的角，利用解三角形即可求得该角的余弦值. 【详解】 如图，设正方体的棱长为2，取的中点，连接， 因是的中点，易得，故，则为异面直线与所成角或其补角. 在中，， 则. 故异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为：. 8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________. 【答案】/ 【分析】由线面垂直得到面面垂直，再利用二面角的定义得到即为所求角，解三角形即可求解. 【详解】因为平面，又平面，所以平面平面， 平面平面，又，所以平面， 又平面，所以， 则即为平面与平面所成的角， 在中，，所以. 故答案为： 9．（24-25高一下·山西大同·期末）如图，正方体的棱长为，点P在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是________． 【答案】 【分析】根据题设，先确定点P的轨迹是平面内以点A为圆心，圆心角为且半径为1的圆弧及其内部，连接交于点O，进而求出点P到的最小距离，最后应用棱锥的体积公式求最小体积. 【详解】连接，因为平面，平面，所以， 所以，， 所以，点P的轨迹是平面内以点A为圆心，圆心角为且半径为1的圆弧及其内部， 连接交于点O， 因为四边形为正方形，所以O为的中点，且， 因为正方形的边长为，则，所以， 设点P到的距离为d，则， 所以，面积的最小值为， 故，即三棱锥体积的最小值为． 故答案为： 四、解答题 10．（24-25高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理，证明平面，即可得证平面平面； （2）取中点，连接，先证明四边形矩形，再由（1）可得平面，从而得为直线与平面所成角，在中，利用求解即可. 【详解】（1）证明：因为平面ABC，∥， 所以平面ABC，又因为平面ABC，所以， 又因为，E为BC的中点，所以， 又因为平面，且， 所以平面，又因为平面， 所以平面平面； （2）解：取中点，连接，如图所示： 则有∥，且， 由题意可知∥，且， 所以∥，且=， 所以四边形为平行四边形，所以∥， 由（1）可知平面， 所以平面，面，则， 所以即为直线与平面所成角， 又因为，， 易知为等腰直角三角形， 所以， 所以， 又因为， 在中，, 所以, 在中，， 又因为，所以. 即直线与平面所成角为. 11．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）如图，在正方体中，是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先证四边形为平行四边形，则有，由异面直线定义得或其补角即为所求，根据等边三角形性质求解即可； （2）连接，利用中位线性质得，最后利用线面平行的判定定理证明即可； （3）利用等体积法求解即可. 【详解】（1）连接，在正方体中，且， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以或其补角即为异面直线和所成角， 又为等边三角形，所以，所以异面直线和所成角为； （2）连接，设直线交直线于点，连接， 因为在正方体中，底面是正方形，所以为中点， 又因为为的中点，所以， 又因为平面平面，所以直线平面． （3）.因为正方体的棱长为1，所以. 所以， 故三棱锥的体积为 12．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，已知平面，，，，点E，F，G分别为棱，，的中点，点是线段上的一点. (1)求证：； (2)求证：平面； 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析. 【分析】（1）由中位线、线面垂直的性质得、，进而有，再应用线面垂直的判定和性质即可证结论； （2）根据已知点，再由线面、面面平行的判定定理证平面平面，最后由面面平行的性质即可证结论. 【详解】（1）由，点E为棱的中点，则， 由平面，平面，则， 而，则，且都在平面内， 所以平面，平面，则； （2）由点E，F，G分别为棱，，的中点，则， 由平面，平面，则平面， 同理可得平面，且都在平面内， 则平面平面，而平面，则平面. 13．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用勾股定理逆定理得，利用线面垂直的性质定理得，然后利用线面垂直的判定定理得平面，进而利用面面垂直的判定定理证明即可. （2）连接，与相交于点，连接AO，利用线面垂直的判定定理得平面，则即为所求的线面角，然后在中求解正弦值即可. 【详解】（1），，， ，则， 直三棱柱中，平面ABC，平面ABC，， 又，平面，，平面， 平面，平面平面. （2）连接，与相交于点，连接AO， ，侧面为正方形，则有， 平面，平面，， 又AC，平面，，平面， 则直线AB与平面所成角为， ，，， 又，则， 直线AB与平面所成角的正弦值为. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 立体几何初步 高频考点概览 考点01基本立体图形 考点02立体图形的直观图 考点03简单几何体的表面积与体积 考点04空间点、直线、平面之间的位置关系 考点05 空间直线、平面的平行 考点06 空间直线、平面的垂直 ( 考点01 基本立体图形 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西·期末）下列说法正确的是 A．棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等，则此棱锥可能是六棱锥 B．四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 C．有两个平面互相平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台 D．棱台的各侧棱延长后不一定交于一点 2．（24-25高一下·山西省朔州市·期末）给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②存在每个面都是直角三角形的四面体；③若三棱锥的三条侧棱两两垂直，则其三个侧面也两两垂直；④棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等.其中正确命题的个数是 A． B． C． D． 3．（24-25高一下·山西晋中·期末）下列说法错误的是　　 A．棱柱的侧面都是平行四边形 B．所有面都是三角形的多面体一定是三棱锥 C．用一个平面去截正方体，截面图形可能是五边形 D．将直角三角形绕其直角边所在直线旋转一周所得的几何体是圆锥 4．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）满足下列四个条件中的条件（     ）时， 棱柱是正四棱柱. A．底面是正方形，有两个侧面是矩形 B．底面是正方形，有两个侧面垂直于底面 C．每个侧面都是全等矩形的四棱柱 D．底面是菱形，且有一个顶点处的三条棱两两垂直 5．（24-25高一下·青海·期末）已知某棱锥有12个面，则该棱锥的棱的条数是（    ） A．12 B．18 C．22 D．36 6．（24-25高一下·青海省西宁市·期末）下列说法中错误的是（    ） A．棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形 B．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥可得到圆台 C．直角三角形绕其任一边所在直线旋转一周所形成的几何体都是圆锥 D．在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线不一定是圆柱的母线 7．（24-25高一下·青海海东·期末）下列说法中正确的是（    ） A．存在只有4个面的棱柱 B．棱柱的侧面都是四边形 C．正三棱锥的所有棱长都相等 D．所有几何体的表面都能展开成平面图形 8．（24-25高一下·宁夏贺兰县·期末）下列说法正确的是（    ） A．有两个面平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．一个直角三角形绕其一边旋转一周所形成的封闭图形叫圆锥 C．棱锥的所有侧面都是三角形 D．用一个平面去截棱锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫棱台 二、多选题 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题中不正确的是（    ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫棱柱的底面 C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱都相等，侧面是平行四边形 10．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列多面体中，由六个面组成的是（   ） A．四棱锥 B．五棱锥 C．四棱柱 D．四棱台 11．（24-25高一下·陕西省汉中·期末）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 12．（24-25高一下·宁夏固原·期末）下列命题中正确的有（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的多面体叫做棱柱. B．平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形. C．有一个面是平行四边形的棱锥一定是四棱锥. D．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形. 三、填空题 13．（24-25高一下·陕西省宝鸡市·期末）已知圆锥的母线长为，底面半径为r，若圆锥的侧面展开图的面积为扇形所在圆的面积的，则＝____________． ( 考点0 2 基本立体图形的直观图 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏青铜峡市·期末）如图，是水平放置的用斜二测画法画出的直观图，其中，则的周长为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·宁夏吴忠市·期末）如图所示，等腰梯形为水平放置的平面图形根据斜二测画法得到的直观图，，，则平面图形的对角线（   ） A． B．4 C． D． 3．（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图，矩形是水平放置的一个平面图形由斜二测画法得到的直观图，其中，则原图形的面积为（    ） A．20 B．10 C． D． 4．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，的斜二测直观图是，其中，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．8 5．（24-25高一下·青海海东·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，，分别与轴，轴平行，则（    ）    A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山西太原·期中）已知等边的直观图的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，是水平放置的的直观图，其中，则的周长是（ ） A． B． C． D．12 8．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，正方形的边长为1，它是按“斜二测画法”得到的一个水平放置的平面图形的直观图，则它的原图形的周长是（    ） A．4 B．6 C． D．8 9．（24-25高一下·山西临汾·期末）如图，是水平放置的的直观图，，则（   ） A． B． C． D． 10．（24-25高一下·山西吕梁·期末）用斜二测画法画水平放置的的直观图，得到如图所示的等腰直角三角形.若是斜边的中点，且，则原图中BC边上的高为（   ） A．2 B． C．4 D． 二、多选题 11．（24-25高一下·浙江·期末）如图，是水平放置的的直观图，，则在原平面图形中，有（    ） A． B． C． D． ( 考点0 3 简单几何体的表面积与体积 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·宁夏青铜峡市·期期末）如图，过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，所得截面圆的半径为，则球的体积是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·宁夏·期末）已知圆台上下底面圆的半径分别为，，母线长为，则该圆台的侧面积为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高一下·青海西宁·期末）已知正四棱台分别是棱的中点，平面将正四棱台割成两部分，则较小部分与较大部分的体积之比为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图所示的八面体由两个完全相同的正四棱锥拼接而成，若该八面体的六个顶点都在球的球面上，且球的表面积为，则该八面体的体积为（    ）    A．12 B．8 C． D． 5．（24-25高一下·陕西商洛·期末）从棱长为4的正方体中截去到正方体顶点B的距离小于或等于4的部分后，得到几何体，则的表面积为（   ） A． B． C． D． 6．（24-25高一下·山西运城·期末）如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，，点是弧的中点，则三棱锥的体积为（    ）    A． B． C． D．1 二、多选题 7．（24-25高一下·青海西宁·期末）如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径相等，则下列结论正确的是（    ）    A．圆柱的侧面积为 B．圆锥的侧面积为 C．圆柱的侧面积与球的表面积相等 D．圆柱､圆锥､球的体积之比为 三、填空题 8．（24-25高一下·青海海南·期末）某甜品店推出一款球形创意冰激凌，将冰激凌球放置在特制的巧克力圆台容器中.已知巧克力圆台容器的上底面圆的半径为8厘米，下底面圆的半径为2厘米，若该球形创意冰激凌与巧克力圆台容器的内壁及上、下底面均相切（不考虑巧克力圆台容器的厚度），则该球形创意冰激凌的体积是_________立方厘米. 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，正方体的棱长为1，则三棱锥外接球的表面积为____________． 10．（24-25高一下·陕西安康·期末）把一个圆心角为，半径为的扇形卷成一个圆锥，此圆锥的体积为__________. 11．（24-25高一下·山西临汾·期末）已知圆台的上底面和下底面的面积分别为，体积为，则圆台的侧面积为____________. 四、解答题 12．（24-25高一下·陕西安康·期末）如图，在正四棱锥中，，. (1)求四棱锥的体积； (2)求四棱锥的表面积. 13．（24-25高一下·山西吕梁·期末）如图是某种水箱用的“浮球”，它是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的半径是，圆柱筒的高是． ( 考点0 5 空间点、直线、平面之间的位置关系 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西临汾·期末）若三个不同平面把空间分成部分，则正整数的值不可能是（   ） A．8 B．4 C．6 D．5 2．（24-25高一下·山西吕梁·期末）若，则直线AB与CD的位置关系是（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．相交或异面 3．（24-25高一下·陕西渭南·期末）直线与平面相交，则下列结论成立的是（    ） A．内的所有直线与都相交 B．内不存在与平行的直线 C．内的所有直线与都是异面直线 D．内存在唯一一条直线与平行 4．（24-25高一下·陕西汉中·期末）下列命题正确的是（   ） A．三个点可以确定一个平面 B．用斜二测画法画等边三角形的直观图为等腰三角形 C．一个棱柱至少有五个面 D．如果两条直线没有公共点，则这两条直线平行 5．（24-25高一下·陕西西安·期末）下列命题正确的是（   ） A．任何一个平面图形都是一个平面 B．平面就是平行四边形 C．圆心和圆上两点可确定一个平面 D．梯形可确定一个平面 6．（24-25高一下·青海·期末）如图，在正方体中，异面直线与所成的角是（   ）    A． B． C． D． 7．（24-25高一下·宁夏固原·期末）在正方体中，、、、分别是该点所在棱的中点，则下列图形中、、、四点共面的是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 8．（24-25高一下·陕西汉中·期末）下列命题正确的是（    ） A．棱柱的侧面一定是平行四边形 B．用一个平面去截圆锥，底面与截面之间的部分组成的几何体叫圆台 C．空间中不同的三点可以确定唯一平面 D．过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行 三、填空题 9．（24-25高一下·山西·期末）如图，在四面体中，点在平面上的射影是，，若，，则异面直线PC与AB所成角的余弦值为__________．    10．（24-25高一下·陕西宝鸡·期末）有下列四个说法：①过三点确定一个平面；②有三个角为直角的四边形是矩形；③三条直线两两相交则确定一个平面；④两个相交平面把空间分成四个区域.其中错误说法的序号是____________. 四、解答题 11．（24-25高一下·青海省西宁市·期末）如图，在正方体中，点E，F分别为棱，AB的中点．    (1)求证：E、F、C、四点共面： (2)求异面直线与BC所成角的余弦值． 12．（24-25高一下·青海省海东市·期末）如图所示，在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD的中点，G，H分别在BC，CD上，且.求证： (1)E､F､G､H四点共面； (2)EG与HF的交点在直线AC上. 13．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）如图，已知正方体 (1)哪些棱所在直线与直线是异面直线？ (2)直线和和的夹角是多少？ (3)哪些棱所在的直线与直线垂直？ ( 考点0 5 空间直线、平面的平行 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·山西太原·期末）已知直线与平面满足，直线，下列结论正确的是（    ） A．a与b无公点 B．a与b异面 C． D． 2．（24-25高一下·山西·期末）如图所示，在正方体中，点，，，分别为棱，，，上的中点，下列判断正确的是（    ） A．直线平面 B．直线面 C．平面平面 D．平面平面 3．（23-24高一下·陕西商洛·期末）在正方体中，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高一下·宁夏固原·期末）在三棱锥中，，且直线与所成的角为，分别为棱的中点，则直线与所成角的大小为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（24-25高一下·江苏无锡·期中）如果，表示直线，，表示平面，那么下列说法中正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 二、多选题 6．（24-25高三上·山西大同·期末）如图，在棱长为1的正方体中，过且与平行的平面交于点，下列说法正确的是（    ） A． B． C．直线与所成角正切值为2 D．直线与所成角正切值为 三、解答题 7．（24-25高一下·山西吕梁·期末）类比于二维平面中的余弦定理，有三维空间中的三面角余弦定理；如图1，由射线构成的三面角，二面角的大小为，则. (1)已知为射线上一点，交于点，交于点，当时，证明以上三面角余弦定理； (2)如图2，平行六面体中，平面平面，，， ①求的余弦值； ②在直线上是否存在点，使平面？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 8．（24-25高一下·陕西汉中·期末）如图，在边长为4的正方体中，点在上． (1)当是中点时，证明：平面； (2)当和重合时，求三棱锥的表面积． 9．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在棱长为1的正方体中，M，N分别是线段上的动点，且满足．    (1)证明：平面． (2)当的长度最小时，求过且与平行的平面截正方体所得截面的面积． 10．（24-25高一下·陕西榆林·期末）如图，在棱长为2的正方体中，是棱的中点，是与的交点. (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 11．（24-25高一下·青海海南·期末）如图，在长方体中，分别是棱的中点. (1)证明：平面. (2)在棱上是否存在点，使得平面平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 12．（24-25高一下·青海西宁·期末）如图，在正方体中，是的中点，分别是的中点.求证： (1)四点共面； (2)平面平面. 13．（24-25高一下·宁夏银川·期末）如图，已知正方体中，E、F分别是的中点．    (1)求证：平面； (2)求证：平面平面． ( 考点0 6 空间直线、平面的垂直 ) 一、单选题 1．（24-25高一下·青海海南·期末）在直三棱柱中，，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·陕西榆林·期末）已知是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 3．（24-25高一下·山西晋中·期末）已知，是两个不同的平面，，是两条不同的直线，以下判断正确的是（    ） A．若，，，则，是异面直线 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．（24-25高一下·山西吕梁·期末）如图，在正三棱柱中，，则异面直线BC与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 5．（24-25高一下·陕西咸阳·期末）如图，正方体的棱长为为与的交点，则下列判断正确的是（    ） A．直线与直线是异面直线 B．平面 C．直线与直线所成角是 D．在直线上存在点，使平面 三、填空题 6．（24-25高一下·宁夏银川·期末）在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．已知四面体为鳖臑，且，，记二面角的平面角为，则 _______. 7．（24-25高一下·青海西宁·期末）在正方体中，是的中点，则异面直线与所成角的余弦值为_________. 8．（24-25高一下·陕西渭南·期末）如图，过边长为1的正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成角的大小为_______________. 9．（24-25高一下·山西大同·期末）如图，正方体的棱长为，点P在正方形的边界及其内部运动，且满足，则四面体的体积的最小值是________． 四、解答题 10．（24-25高一下·宁夏固原·期末）如图所示，已知平面ABC，∥，，，，E为BC的中点. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 11．（24-25高一下·宁夏吴忠·期末）如图，在正方体中，是的中点． (1)求异面直线和所成角的大小； (2)求证：平面； (3)设正方体的棱长为1，求三棱锥的体积． 12．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，已知平面，，，，点E，F，G分别为棱，，的中点，点是线段上的一点. (1)求证：； (2)求证：平面； 13．（24-25高一下·陕西西安·期末）如图，在直三棱柱中，，，，. (1)求证：平面平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $