期末备考专项讲与练02——多面体的侧面展开问题-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

**基本信息** 聚焦多面体侧面展开问题，以教材原题为基础，通过改编与拓展构建从空间还原到最短路径计算的递进训练体系，强化空间观念与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |回归教材|4道教材原题|直三棱柱展开、长方体展开图判断等基础问题|概念生成：建立展开图与空间图形的对应关系| |跟踪训练|19道改编拓展题|正方体展开图位置关系判断、复杂几何体表面最短路径计算|原理应用与拓展：从空间还原（异面直线、夹角）到最短路径（圆柱、圆锥、棱锥等）的平面化转化|

高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练02 测试范围：多面体的侧面展开问题 回归教材 1．【人教A版必修二第8.1.1节练习第4题】设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱. 2. 【人教A版必修二习题8.1第7题】如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 3. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 4．（人教A版习题8.4第9题）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 跟踪训练： 一、单选题 1．【人教A版必修二习题8.1第7题改编】如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A．B．C． D． 2．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（    ） A．AB与HG相交 B．AB与EF平行 C．HE与CD共面 D．EF与CD异面 3．（人教A版习题8.4第9题改编）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（    ） A．线段与所在的直线异面 B．线段与所在的直线平行 C．线段与所在的直线所成的角为 D．线段与所在的直线相交 4．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线AB，CD所成角为（    ） A．0 B． C． D． 5．如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 6．已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 7．我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 8．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 10.（人教A版习题8.4第9题改编）某正方体的平面展开图(表面朝下)如图所示.关于这个正方体,以下判断正确的是 (　　) A.BM∥平面DE B.CN∥平面AF C.平面BDM∥平面AEF D.平面BDE∥平面NCF 11．（人教A版习题8.4第9题改编）如图，一个棱长为1的正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（    ） A．与是异面直线 B． C．异面直线与所成角为 D．球与该正方体的六个面均相切，则球的体积为 三、填空题 12．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则图中的所在直线互为异面直线的有________对． 13．如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 14．如图，有一底面边长为，高为的正六棱柱形粮仓，侧面的中心点为，此时一只蚂蚁正在处，它要沿棱柱侧面到达所经过的最短路程是______.    四、解答题 15．在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，求。 16．如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，求蚂蚁在正四棱台内壁爬行的路程.（容器壁厚度不计） 17．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 18．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 19．圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学人教A版必修二立体几何期末备考专项讲与练02 测试范围：多面体的侧面展开问题 回归教材 1．【人教A版必修二第8.1.1节练习第4题】设计一个平面图形，使它能折成一个直三棱柱. 【答案】图像见解析（答案不唯一） 【分析】采用逆向思维，把直三棱柱通过某条棱展开成平面图形，即可得到答案. 【详解】如图所示，答案不唯一. 【点睛】本题考查空间图形的直观图与侧展图的关系，考查空间想象能力，求解时注意学会用逆向思维进行求解. 2. 【人教A版必修二习题8.1第7题】如图，下边长方体中由上边的平面图形围成的是 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据模型中相邻的面折成长方体以后仍相邻，即可作出判断． 【详解】D折成的长方体有两组对面是黑色的，一组对面是白色的． 3. 【人教A版必修二第8.3.2节练习第1题】已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的底面直径. 【答案】 【分析】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，根据圆锥的表面积公式和半圆的面积公式列方程组，解出即可. 【详解】设圆锥的底面半径为r，母线长为l，则由题意得.又圆锥的侧面展开图为半圆，，即.将②式代入①式得，，即. 故圆锥的底面直径为. 【点睛】本题考查圆锥的表面积公式，是基础题. 4．（人教A版习题8.4第9题）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么在AB，CD，EF，GH这四条线段中，哪些线段所在直线是异面直线？ 【答案】直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD. 【分析】首先将正方体的展开图还原成正方体，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线，进行判断. 【详解】 还原正方体如图，由经过平面外一点和平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异面直线可得， AB，CD，EF，GH这四条线段所在直线是异面直线为：直线EF和直线HG，直线AB和直线HG，直线AB和直线CD. 【点睛】本题考查的是异面直线的判定，将正方体的展开图还原成正方体，再利用异面直线的判定定理判断是解题的关键，是基础题. 跟踪训练： 一、单选题 1．【人教A版必修二习题8.1第7题改编】如图，下列长方体中由下面的平面图形围成的是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】利用长方体的表面展开图，判断即可. 【详解】长方体由展开图知道，有4个面是阴影，两个空白部分是相对的，剩余是4个阴影部分.则围成的是下面图形 . 2．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，下列命题正确的是（    ） A．AB与HG相交 B．AB与EF平行 C．HE与CD共面 D．EF与CD异面 【答案】D 【详解】首先还原正方体，再根据选项判断直线与直线的位置关系． 由图可知与异面，与异面，与异面，与异面. 3．（人教A版习题8.4第9题改编）某正方体的平面展开图如图所示，如果将它还原为正方体，那么在该正方体中，下列结论正确的是（    ） A．线段与所在的直线异面 B．线段与所在的直线平行 C．线段与所在的直线所成的角为 D．线段与所在的直线相交 【答案】C 【分析】首先还原正方体，再根据线线的位置关系，判断选项. 【详解】由正方体展开图还原正方体如下图所示： 线段与所在的直线相交，故A错误；线段与所在的直线异面，故B错误； 如图连接，，由正方体的性质可知，为等边三角形， 所以为与所在的直线所成的角，故C正确； 如图连接，则，平面，平面，所以平面， 又平面，所以与不相交，故D错误.故选：C 4．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，那么直线AB，CD所成角为（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】先还原正方体，再平移AB，找到异面直线所成角，求之即可． 【详解】还原后的正方体及AB，CD的位置如图所示， 取正方体的一个顶点E，连接CE，DE，则AB∥CE，所以∠ECD或其补角为直线AB，CD所成角， 因为CD，DE，CE均为面对角线，所以CD＝DE＝CE，即△CDE为等边三角形，所以∠ECD＝， 所以直线AB，CD所成角为．故选：C． 5．如图，圆柱高8cm，底面半径2cm，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最短路程为（   ）（取3） A．10cm B．14cm C．20cm D．无法确定 【答案】A 【分析】利用侧面展开图，结合勾股定理即可求解最短路径长. 【详解】 通过圆柱侧面展开图，可知最短路径为侧面展开图中的直角三角形的斜边， 即故选：A. 6．已知三棱锥的底面ABC是边长为1的等边三角形，平面ABC且，一只蚂蚁从的中心沿表面爬至点P，则其爬过的路程最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用垂直条件证明得平面，即可得平面平面，然后根据平面展开图判断最短距离，再利用勾股定理计算求解即可. 【详解】将底面旋转，以为轴，旋转至平面与平面共面，如图，设的中心为，此时为最短距离，设到直线的距离为，则，所以. 7．我国古代数学名著《九章算术》中，把底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵．如图，现有堑堵木块，，，一只蚂蚁从点出发，经过棱、棱上某点，再爬到棱的中点，则这只蚂蚁爬行的最短路线的长度为（    ） A． B．4 C． D．10 【答案】C 【分析】通过几何体的侧面展开，将空间折线转化为平面线段，结合勾股定理求最短路径. 【详解】由堑堵的定义可知，所以，如图， 将面与面展开在一个平面内，延长至点，使得，连接，分别交，于点，，由对称性可知，，所以所求最短距离为．故选：C． 8．如图，在正四棱锥中，是棱上的动点，一只蚂蚁从A点出发，经过E点，爬到C点，则这只蚂蚁爬行的路程的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意，将平面和平面展开到同一个平面，利用两点之间线段最短可得AC的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，由余弦定理计算以及二倍角公式可得答案. 【详解】根据题意，如图，将平面和平面展开到同一个平面，连接，与交于点，则的长就是蚂蚁爬行的路程的最小值，设，则，又由得，则，则有， 故，则，即这只蚂蚁爬行的路程的最小值是.故选：C. 二、多选题 9．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体之后，下列结论正确的（    ） A． B．与相交 C．与异面 D． 【答案】BCD 【分析】可画出展开图对应的立体图形，根据图形即可判断每个选项的正误，从而得出正确的选项. 【详解】根据正方体的展开图画出正方体如图所示： 可以看出：AB与CD异面，CD与EF相交，EF与GH异面，GH∥CD.故选：BCD. 10.（人教A版习题8.4第9题改编）某正方体的平面展开图(表面朝下)如图所示.关于这个正方体,以下判断正确的是 (　　) A.BM∥平面DE B.CN∥平面AF C.平面BDM∥平面AEF D.平面BDE∥平面NCF 【答案】ABD 【解析】以面ABCD为下底面还原正方体,如图, 则易判定选项ABD都是正确的;平面BDM∥平面AFN,故选项C错误. 11．（人教A版习题8.4第9题改编）如图，一个棱长为1的正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么下列选项中正确的是（    ） A．与是异面直线 B． C．异面直线与所成角为 D．球与该正方体的六个面均相切，则球的体积为 【答案】ABD 【分析】根据题意，将展开图还原成正方体，然后逐一判断即可得到结果. 【详解】将题中的展开图还原成正方体的图形，如图所示，连接，显然与是异面直线，故A正确；连接，显然，故B正确；连接，在正方体中，易知，则即为异面直线与所成角，又，所以，C错误；与正方体的六个面均相切的球的半径为，则体积为，故D正确；故选：ABD 三、填空题 12．（人教A版习题8.4第9题改编）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则图中的所在直线互为异面直线的有________对． 【答案】 【详解】将该正方体的展开图还原，如图所示 由图可得与互为异面直线，与互为异面直线，共对. 13．如图，现有一底面半径为，母线长为的圆锥，、为底面圆周上两点，且为底面直径，是的中点，一只蚂蚁沿圆锥表面从点爬到点，其移动路径的最小值为_______． 【答案】 【分析】将圆锥沿着母线展开，确定点的位置，结合勾股定理可求得的长，即为所求. 【详解】因为圆锥的底面半径为，底面圆的周长即扇形的弧长为，又因为圆锥的母线长为，所以展开图扇形的圆心角为，展开图如图所示． 易知为半圆弧的中点，且，结合题意可知，，则，即其移动路径的最小值为． 14．如图，有一底面边长为，高为的正六棱柱形粮仓，侧面的中心点为，此时一只蚂蚁正在处，它要沿棱柱侧面到达所经过的最短路程是______.    【答案】 【分析】将此棱柱沿剪开，侧面的中心在上的投影为，由题意可知在展开图中的长是所求的最短路程. 【详解】如图，将此棱柱沿剪开，其展开图为一个长为，宽为的矩形，侧面的中心在上的投影为，所以若要最短，应沿着侧面走直线到处，由图可知，，所以.    四、解答题 15．在正四棱锥中，，是侧棱上靠近的四等分点，一只蚂蚁从出发沿该正四棱锥的表面爬行到，设该蚂蚁爬行的最短路径长度为，求。 【答案】 【分析】把正四棱锥的侧面和，沿展成一个平面图形，在中，利用余弦定理，即可求解. 【详解】根据题意，把正四棱锥的侧面和，沿展开成一个平面图形， 如图所示，可得，因为点是上靠近的四等分点，且，可得， 在中，由余弦定理得， 即该蚂蚁爬行的最短路径长度为，所以. 16．如图为无盖正四棱台容器，其中.现有一只蚂蚁位于正四棱台容器外壁顶点A处，蚂蚁要沿最短路线先从外壁翻越上口沿再从内壁爬到棱的中点P处，求蚂蚁在正四棱台内壁爬行的路程.（容器壁厚度不计） 【答案】 【分析】将四棱台侧面展开（如图），问题转化为求线段的长度，此时最短，根据余弦定理求解. 【详解】依题意可得正四棱台侧面等腰梯形的内角， 将正四棱台内侧面展开到梯形的上方，其中，，B，，正好在同一直线上，问题转化为求线段的长度，此时最短，设棱的中点为Q，由于与平行，则在中，，， ，则得.又， 所以蚂蚁在正四棱台内壁爬行路程为. 17．某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，． (1)求圆台的高； (2)求圆台轴截面的面积； (3)若一只蚂蚁从点沿着该圆台的侧面爬行到的中点，求所经过的最短路程． 【答案】(1)；(2)；(3)． 【分析】（1）作交于，利用勾股定理求解即可； （2）利用梯形的面积公式求解； （3）把空间图形展开为平面图形，先求出圆心角，再利用两点间的距离最短即可求解． 【详解】（1）如图1，作交于， 易得，则，则圆台的高为． （2）圆台的轴截面面积为：． （3）把圆台补成圆锥可得大圆锥的母线长为，底面半径为， 圆锥侧面展开图的圆心角为，设的中点为，连接（如图2）， 可得，则， 所以沿着该圆台表面从点到中点的最短距离为． 18．如图，一个加盖密封的漏斗的上面部分是一个正方体，下面部分是一个正四棱锥，该几何体所有棱长均为2米． (1)求该漏斗的表面积和体积； (2)若一只蚂蚁沿漏斗表面从点爬到点，求它爬过的最短路径的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据题意，根据面积公式，求得该漏斗的表面积，再由漏斗锥体部分的高米，结合体积公式，即可求解； （2）将漏斗表面展开，过点作，连接，在直角中，结合勾股定理，即可求解. 【详解】（1）由题意得，该漏斗的表面积（平方米）． 其中漏斗锥体部分的高米，所以该漏斗的体积（立方米）． （2）将漏斗表面展开，如图所示，由两点间距离最短可得线段为蚂蚁爬行最短路径，过点作，交的延长线于点，连接，则米，米． 在直角中， 可得（米）， 所以蚂蚁爬过的最短路径的长为（米）． 19．圆锥的底面直径是2，其侧面展开图是一个顶角为120°的扇形. (1)一只蚂蚁从点A出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点A，求爬行的最短路程； (2)过的中点作平行于底面的截面，以该截面为底面在圆锥中挖去一个圆柱（如图所示），求剩下几何体的表面积和体积. 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）作出侧面的展开图，最短路程即为的长，由余弦定理可求解； （2）求得圆锥的高，进而计算剩下几何体的表面积和体积. 【详解】（1）由题意，侧面展开图如图所示，最短路程即为的长，设为圆锥的母线长， 由，可得，即母线， 在中，由余弦定理可得，所以爬行的最短路程为； （2）因为圆锥的母线长为，所以圆锥的高为，从而挖去的圆柱的高为，从而挖去的圆柱的侧面积为，又圆锥的表面积为，所以剩下几何体的表面积，剩下几何体的体积为. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $