精品解析：2026年山东省潍坊市寒亭区中考二模考试数学试题

九年级数学试题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．首卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意． 2. 如图，数轴上表示的点可能是（ ） A. M B. N C. P D. Q 【答案】A 【解析】 【分析】求出的范围，推出的范围，即在和之间，根据数轴上点的位置判断即可． 【详解】解：， ， ， 即在和之间， 数轴上点符合． 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据幂的相关运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A：，故A错误； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 4. 某工件的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据主视图和左视图判断工件由大小两个长方体组成，上层的小长方体在下层的大长方体中间，根据俯视图是从上面看到的图形解答即可． 【详解】解：由主视图和左视图可知，工件由大小两个长方体组成，上层的小长方体在下层的大长方体中间， ∴其俯视图为矩形，中间有两条实线， ∴C选项符合题意． 5. 地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积用科学记数法表示为（ ） A. 立方千米 B. 立方千米 C. 立方千米 D. 立方千米 【答案】B 【解析】 【分析】先计算太阳体积，再将结果整理为符合要求的科学记数法即可，科学记数法的标准形式为，其中，n为整数． 【详解】解：由题意可得：， ∴太阳体积为：立方千米． 6. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，小亮和小莹同时经过该路口，恰好有一人直行，另一人左拐的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先列出所有等可能结果，再找出符合条件的结果数，代入概率公式计算即可． 【详解】解：由题意可得： 小亮 小莹 左拐 直行 右拐 左拐 直行 右拐 ∴由表格可得：一共有种可能性，其中“恰好一人直行，另一人左拐”包含两种符合条件的情况：①小亮直行，小莹左拐；②小亮左拐，小莹直行， ∴符合条件的结果共2种， ∴所求概率为：． 7. 如图，四边形内接于，延长和交于点，延长和交于点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形的外角的性质，结合对顶角相等，以及圆内接四边形的对角互补，进行求解即可. 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 8. 《九章算术》中有一个关于“粟、米、麦”的问题，大意是：4斗粟等价兑换2斗米，5斗粟加2斗麦总价为31；3斗米加4斗麦总价为42．设每斗粟价格为，每斗麦价格为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据粟和米的兑换关系，得到每斗米的价格用的表达式，再根据两个总价条件列出方程组，对比选项得到结果． 【详解】∵设每斗粟价格为，每斗麦价格为，且斗粟等价兑换斗米， ∴斗粟的价格等于斗米的价格，计算得每斗米的价格为. ∵斗粟加斗麦总价为， ∴列方程得： ， ∵斗米加斗麦总价为，每斗米价格为， ∴列方程得：， 因此可列方程组为． 9. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，动直线轴，与直线和反比例函数的图象分别交于，两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】根据交点作出图像，再由图象分析即可 【详解】解：由题意作图可得： ∴由图象可得：当或时，； 当或时，； ∴选项C正确． 10. 某校园科技节上，人形机器人进行立定跳远展示．如图，以起跳点为原点，水平向前为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系．机器人起跳后，脚掌的飞行轨迹可以用二次函数刻画，其中（米）为机器人脚掌离起跳点的水平距离，（米）为机器人脚掌距离地面的高度．已知机器人起跳后，脚掌离起跳点的水平距离为米时，脚掌距离地面的高度为米．下列说法正确的是（ ） A. 机器人此次跳远的成绩为米 B. 机器人脚掌离起跳点的水平距离大于米时，脚掌距离地面的高度越来越低 C. 若在起跳点前方米处有一高米的障碍物，机器人可以成功越过障碍物 D. 机器人脚掌距离地面的高度为米时，脚掌离起跳点的水平距离为米或米 【答案】D 【解析】 【分析】由题意知抛物线经过点，利用待定系数法求出二次函数的解析式，再逐项判断即可求解． 【详解】解：由题意知，抛物线经过点， 把代入，得 ， 解得， ∴二次函数 ， 令，则 ， 解得，， ∴机器人此次跳远的成绩为米，故选项说法错误； ∵二次函数 ， ∴对称轴为直线 ， ∵， ∴当机器人脚掌离起跳点的水平距离大于米时，脚掌距离地面的高度先由低变高，再由高变低，故选项说法错误； 把时， ， ∵ ， ∴若在起跳点前方米处有一高米的障碍物，机器人不可以成功越过障碍物，故选项说法错误； 当时， ， 解得，， ∴当机器人脚掌距离地面的高度为米时，脚掌离起跳点的水平距离为米或米，故选项说法正确． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 若分式的值为0，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分式值为的条件，先令分子等于求出的可能取值，再根据分母不为排除不符合条件的取值，即可得到的值． 【详解】解：由题意可得：， 由①可得：， 由②可得：， ∴；， ∵恒成立， ∴ 即， 综上可得． 12. 请写出一个根为2的一元二次方程：__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据题意写出一个符合题意的一元二次方程，即可求解． 本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程的解，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：依题意，有一个根为的一元二次方程可以是： 故答案为：． 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，轴，，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出，再根据与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，可求出． 【详解】解：∵的坐标为，轴，， ∴， ∵与是以点为位似中心的位似图形，相似比为， ∴对应的坐标为，即． 14. 观察以下等式， ， ， ， ， 已知，则__________． 【答案】9 【解析】 【分析】找出规律解答即可． 【详解】解：∵， ， ， ， ∴， ∴， 解得：． 15. 如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由点为矩形内一个动点，且得点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），要求的最小值，即求的最小值，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出，可得的最小值为，根据三角形中位线定理可得的最小值为． 【详解】解：∵点为矩形内一个动点，且， ∴点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图， 设的中点为O，则O是圆心，半径，连接 ∵M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 因此，要求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ∴原式 17. 花生是我国重要的油料与经济作物．为筛选适合本地种植的高产、稳产花生品种，某农科所对新培育花生品种每个花生果的果仁数进行统计调查，过程如下： 【收集数据】 从种植条件一致的试验田中随机抽取若干个成熟带壳花生果（剔除空壳果），记录每个花生果的果仁数，分为粒、粒、粒、粒、粒共组．在花生栽培与育种中，果仁数为粒及以上的花生果通常被定义为丰产果，丰产果率丰产果数花生果总数． 【整理与描述】 根据数据绘制了如下不完整的统计图表： 新培育品种与本地主栽品种果仁数的统计量对照表 品种类型 平均数（粒） 中位数（粒） 众数（粒） 方差 丰产果率 新培育品种 本地主栽品种 75% 【分析数据】 （1）将频数直方图补充完整，并求花生果仁数为粒时对应的扇形圆心角的度数； （2）求出，的值； （3）如果你是农科所的研究员，你向本地农户推荐种植新培育品种的理由是什么？ 【答案】（1）图见解析，； （2），； （3）理由见解析． 【解析】 【分析】（）由粒的频数除以对应的所占百分比即可求出样本容量，通过即可求出粒的频数，再由粒的所占比乘以即可求出粒时对应的扇形圆心角的度数，然后补全频数直方图即可； （）根据中位数的定义即可求出，再利用即可求出的值； （）通过中位数、众数、方差、平均数相关定义即可求解． 【小问1详解】 解：∵样本容量为， ∴粒的频数为，粒对应扇形圆心角的度数为：， ∴频数直方图补全如图， 【小问2详解】 解：∵样本容量为， ∴将这组数据由小到大排列后处于第和的数均为， ∴中位数，； 【小问3详解】 解：新培育品种与本地主栽品种的统计量相比，中位数、众数、方差均相同，但新培育品种的平均数和丰产果率均大于本地主栽品种，因此新培育品种优于本地主栽品种． 18. 阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为的等腰三角形叫做黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点． （1）求证：为黄金三角形； （2）若，求的长．（结果保留根号） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形性质和三角形内角和定理可求出底角，由作图可知BP平分，则有，在中，由内角和定理可得出，由此可得，最后根据黄金三角形的定义即可求解； （2）根据黄金三角形的定义可知为黄金三角形，则，由此可得的长，再根据黄金三角形的定义可知，由此即可求得的长． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 由作图知，平分， ， ， ， ， 为黄金三角形； 【小问2详解】 ，， 为黄金三角形， ， ， ， 为黄金三角形， ， ． 19. 某种直饮机的示意图如图所示，小亮从该直饮机中先接一部分温水再接一部分开水，共．已知开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，接水期间不计热损失． 设小亮接温水所用的时间为，接完水后杯子中水的温度为． （1）求关于的函数表达式； （2）若要使水杯中水的温度达到日常饮水适宜温度（日常饮水适宜温度），求的取值范围． 【答案】（1）函数表达式为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据开水放出的热量等于温水吸收的热量列式整理即可； （2）根据日常饮水适宜温度（日常饮水适宜温度）列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得， 整理，得， 关于的函数表达式为； 【小问2详解】 解：根据题意，得， 解得，． 20. 某光伏工程公司计划在山东某地铺设太阳能光伏板，请根据相关资料帮助该公司解决光伏铺设问题． 【相关资料】 ①该地区正午太阳光线与水平面的夹角为，冬至日时最小，其值为；夏至日时最大，其值为． ②该地区太阳能光伏板安装的最佳角度（即太阳能光伏板与水平面的夹角）为． 【光伏铺设】 施工人员准备在水平地面上按照最佳角度铺设多排平行光伏板，如图为相邻两排光伏板与的侧面安装示意图．光伏板的前支架和后支架垂直于水平地面，垂足分别为，．和分别为光伏板的前后支架（均与水平地面垂直）．已知光伏板，前支架 ，． （1）求后支架的高度； （2）为保证太阳能光伏板的发电效率，需确保每日正午时刻，每块太阳能光伏板的采光不受遮挡．求铺设时前后两排光伏板之间的距离的最小值． （结果精确到，参考数值：，，，，，， 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点作 ，垂足为，求得，再证明四边形为矩形，得，故可求； （2）当 ，且点与点，共线时，最小．分别求出，，根据可得结论． 【小问1详解】 解：过点作 ，垂足为， ， 为直角三角形， 根据题意可知， ， ， ，， ， ∴四边形为矩形 ， ， ； 【小问2详解】 解：由题意得，当 ，且点与点，共线时，最小， ， ， 在中，， ， 由题意可知，， ， ， 在中，， ， ． 21. 如图，的顶点在上，边与交于点，边与相切于点，为的直径交于点．已知，，，． （1）求证：； （2）求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用圆周角性质得到，再由切线的性质得到，即可得到结论； （2）证明，得到，求出，求出的长，即可通过运算求解即可． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： ∴四边形DOBM为矩形， ∵， ∴矩形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，，且函数的最小值为． （1）求该二次函数的表达式； （2）直线与该二次函数图象交于不同的两点，，记，求的取值范围； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，平移后的函数的最大值与最小值的差为3，请求出的值． 【答案】（1）二次函数的表达式为 （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线的对称轴以及对称性求出，然后再根据顶点坐标求解即可； （2）联立直线与抛物线的表达式得到，则， ，由，是方程不相等的两个根，得到，即可求解； （3）先求出平移后的函数为，此时对称轴是直线，函数图象开口向上，求出，再分类讨论，根据二次函数的图象与性质求解． 【小问1详解】 解：二次函数对称轴为直线， ∵点，在该函数图象上， ∴该函数的表达式为 ∴函数图象的顶点坐标为 ∵函数的最小值为 ，且 解得：或（舍去） ∴二次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：，是直线与该二次函数图象不同的两个交点 ，是方程 不相等的两个根 即，是方程不相等的两个根 ， ，在直线上 ，， 有两个不相等的根， 【小问3详解】 解： ∵二次函数的图象向右平移个单位长度， ∴平移后的函数为． ∴此时对称轴是直线，函数图象开口向上． ①当时，即， ∴当时，取最大值为 ：当时，取最小值为-3． 又∵最大值与最小值的差为3， ． 或（舍去） ②当时，即， 当时，取最大值为 ：当时，取最小值为-3． 又∵最大值与最小值的差为3， ． （舍去）或． 综上所述，或． 23. 如图，点，分别是正方形的边和上的动点，连接，，且．过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为了探究矩形的面积与矩形的面积之间的关系，数学兴趣小组进行了如下探索： （1）如图1，当，时，将绕点顺时针旋转得到，证得__________．在中用勾股定理可求得正方形的边长，进而求出，，，的值，则__________，__________． 【一般探究】 （2）当，时，借助图2探究与之间的关系，并说明理由． 【探究推广】 （3）如图3，若点，分别在线段，的延长线上，其它条件均不变，探究与之间的关系，并说明理由． 【答案】（1），， （2），理由如下： 将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，， ∵四边形是正方形， ， ， ， ∴点，，共线， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为矩形， 同理可得，四边形为矩形， ∵四边形，为矩形， 设正方形边长为，已知，， ， ， ， ， ， ∴在中，， ， 整理得 ， ∵矩形的面积 ， 矩形的面积 ， ； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接， ，，，， ∵四边形是正方形， ，， ， ， ∴点，，共线， ， ， ， ∴在和中， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得， ∵， ∴四边形为矩形， ∵四边形为矩形， ， 设正方形边长为，，， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ∴四边形的面积 ， 四边形的面积 ， ． 【解析】 【分析】（1）首先根据旋转的性质可得，，进而证明，利用“”证明，易得；设正方形的边长为，则，在中，利用勾股定理解得的值，进而确定的长度，再证明四边形，为矩形，可确定的长度，即可获得答案； （2）结合旋转的性质证明，易得；证明四边形，为矩形，设正方形边长为，进而可得， ，，，，在中，利用勾股定理可得 ，在利用矩形面积公式可得，，即可证明结论； （3）结合旋转的性质证明，利用全等三角形的性质证明；设正方形边长为，，，则， ， ，进而可得，，，在中，利用勾股定理可得，然后证明结论即可． 【小问1详解】 解：根据题意，将绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设正方形的边长为，则， 在中，可得，即， 整理可得， 解得（舍去）， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ， ∴平行四边形为矩形， 同理可得，四边形为矩形， ∴， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．首卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题的四个选项中只有一项正确） 1. 以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，数轴上表示的点可能是（ ） A. M B. N C. P D. Q 3. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某工件的主视图、左视图如图所示，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 5. 地球的体积约为立方千米，太阳的体积约为地球体积的倍，则太阳的体积用科学记数法表示为（ ） A. 立方千米 B. 立方千米 C. 立方千米 D. 立方千米 6. 经过某十字路口的行人，可能直行，也可能左拐或右拐．假设这三种可能性相同，小亮和小莹同时经过该路口，恰好有一人直行，另一人左拐的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，四边形内接于，延长和交于点，延长和交于点，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》中有一个关于“粟、米、麦”的问题，大意是：4斗粟等价兑换2斗米，5斗粟加2斗麦总价为31；3斗米加4斗麦总价为42．设每斗粟价格为，每斗麦价格为，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 9. 在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象分别交于，两点，动直线轴，与直线和反比例函数的图象分别交于，两点，下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时， C. 当时， D. 当时， 10. 某校园科技节上，人形机器人进行立定跳远展示．如图，以起跳点为原点，水平向前为轴正方向，竖直向上为轴正方向，建立平面直角坐标系．机器人起跳后，脚掌的飞行轨迹可以用二次函数刻画，其中（米）为机器人脚掌离起跳点的水平距离，（米）为机器人脚掌距离地面的高度．已知机器人起跳后，脚掌离起跳点的水平距离为米时，脚掌距离地面的高度为米．下列说法正确的是（ ） A. 机器人此次跳远的成绩为米 B. 机器人脚掌离起跳点的水平距离大于米时，脚掌距离地面的高度越来越低 C. 若在起跳点前方米处有一高米的障碍物，机器人可以成功越过障碍物 D. 机器人脚掌距离地面的高度为米时，脚掌离起跳点的水平距离为米或米 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分．只写最后结果） 11. 若分式的值为0，则的值为__________． 12. 请写出一个根为2的一元二次方程：__________ 13. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标为，轴，，与是以点为位似中心的位似图形，相似比为，则的坐标为__________． 14. 观察以下等式， ， ， ， ， 已知，则__________． 15. 如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（共8小题，共75分．请写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 花生是我国重要的油料与经济作物．为筛选适合本地种植的高产、稳产花生品种，某农科所对新培育花生品种每个花生果的果仁数进行统计调查，过程如下： 【收集数据】 从种植条件一致的试验田中随机抽取若干个成熟带壳花生果（剔除空壳果），记录每个花生果的果仁数，分为粒、粒、粒、粒、粒共组．在花生栽培与育种中，果仁数为粒及以上的花生果通常被定义为丰产果，丰产果率丰产果数花生果总数． 【整理与描述】 根据数据绘制了如下不完整的统计图表： 新培育品种与本地主栽品种果仁数的统计量对照表 品种类型 平均数（粒） 中位数（粒） 众数（粒） 方差 丰产果率 新培育品种 本地主栽品种 75% 【分析数据】 （1）将频数直方图补充完整，并求花生果仁数为粒时对应的扇形圆心角的度数； （2）求出，的值； （3）如果你是农科所的研究员，你向本地农户推荐种植新培育品种的理由是什么？ 18. 阅读以下材料，并解答后面的问题． 黄金三角形的概念和性质 定义：顶角为的等腰三角形叫做黄金三角形． 性质：黄金三角形的底边与腰的比等于． 如图1，在中，，，以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交，于点，；分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点；作射线交于点． （1）求证：为黄金三角形； （2）若，求的长．（结果保留根号） 19. 某种直饮机的示意图如图所示，小亮从该直饮机中先接一部分温水再接一部分开水，共．已知开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，即：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，接水期间不计热损失． 设小亮接温水所用的时间为，接完水后杯子中水的温度为． （1）求关于的函数表达式； （2）若要使水杯中水的温度达到日常饮水适宜温度（日常饮水适宜温度），求的取值范围． 20. 某光伏工程公司计划在山东某地铺设太阳能光伏板，请根据相关资料帮助该公司解决光伏铺设问题． 【相关资料】 ①该地区正午太阳光线与水平面的夹角为，冬至日时最小，其值为；夏至日时最大，其值为． ②该地区太阳能光伏板安装的最佳角度（即太阳能光伏板与水平面的夹角）为． 【光伏铺设】 施工人员准备在水平地面上按照最佳角度铺设多排平行光伏板，如图为相邻两排光伏板与的侧面安装示意图．光伏板的前支架和后支架垂直于水平地面，垂足分别为，．和分别为光伏板的前后支架（均与水平地面垂直）．已知光伏板，前支架 ，． （1）求后支架的高度； （2）为保证太阳能光伏板的发电效率，需确保每日正午时刻，每块太阳能光伏板的采光不受遮挡．求铺设时前后两排光伏板之间的距离的最小值． （结果精确到，参考数值：，，，，，， 21. 如图，的顶点在上，边与交于点，边与相切于点，为的直径交于点．已知，，，． （1）求证：； （2）求阴影部分的面积．（结果保留） 22. 在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，，且函数的最小值为． （1）求该二次函数的表达式； （2）直线与该二次函数图象交于不同的两点，，记，求的取值范围； （3）将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，平移后的函数的最大值与最小值的差为3，请求出的值． 23. 如图，点，分别是正方形的边和上的动点，连接，，且．过点作交于点，过点作交于点，与交于点，为了探究矩形的面积与矩形的面积之间的关系，数学兴趣小组进行了如下探索： （1）如图1，当，时，将绕点顺时针旋转得到，证得__________．在中用勾股定理可求得正方形的边长，进而求出，，，的值，则__________，__________． 【一般探究】 （2）当，时，借助图2探究与之间的关系，并说明理由． 【探究推广】 （3）如图3，若点，分别在线段，的延长线上，其它条件均不变，探究与之间的关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $