精品解析：山东省德州市庆云县2025-2026学年九年级二模数学试题

九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 柿蒂纹 D. 冰裂纹 2. 在下列四个数中，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 5. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（ ） A. 7 B. 14 C. 10 D. 12 7. 如图，在，，，，P为上一点，，动点M，N分别在边和射线上（点M不与点A，C重合），，令，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 9. 如图，以为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接，，点E在弦上，，过点B作的垂线交的延长线于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 12. 如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心O的光线相交于点F（D，O，E共线）.若，，则的度数为______. 13. 设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，点A的横坐标为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，，则k的值为________． 15. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有________． 三．大题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）计算：； （2）． 17. 【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理． A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 人数 【数据分析与应用】 （1）任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组； （2）任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； （3）任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 18. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 19. 为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． （1）租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ （2）经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）若为直线上一动点，当时，求点的坐标． 21. 如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F．若，，求的长． 22. 已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． （1）当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； （2）若． ①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值． 23. 如图，在中，． （1）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数； （2）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分） 1. 中国传统经典纹样，广泛应用于器物、建筑与服饰、千古流传，影响深远，下列纹样示意图中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. 如意纹 B. 风车纹 C. 柿蒂纹 D. 冰裂纹 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】选项是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 选项不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； 选项是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； 选项不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意． 2. 在下列四个数中，其中是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：A选项．是分数，属于有理数， B选项．开立方开不尽，是无限不循环小数，属于无理数， C选项．是有限小数，属于有理数， D选项．，7是整数，属于有理数． 3. 某几何体的三视图如图所示，该几何体为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三视图，确定几何体，进行判断即可． 【详解】解：根据三视图，正面是一个长方形，左面也是长方形，上面是三角形， 该几何体为三棱柱 ． 4. 如图，点A，B分别在平面直角坐标系x轴和y轴上，连接，已知，，将绕点B顺时针旋转得到，则点D的坐标为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由含30度直角三角形的性质以及勾股定理可得、，运用旋转的性质可得，即；最后根据点D的位置写出坐标即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵点D在第一象限， ∴． 5. 某工厂计划生产300个零件，由于采用新技术，实际每天生产的零件数比原计划多，结果提前2天完成任务．设原计划每天生产个零件，可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用；根据题意，原计划每天生产个零件，实际每天生产个零件．总零件数为300个，原计划天数减去实际天数等于提前的2天． 【详解】解：设原计划每天生产个零件，则实际每天生产个零件． ∵原计划天数为，实际天数为，且提前2天完成任务， ∴． 故选：A． 6. 如图，在菱形中，对角线、相交于点，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交、于点、；再分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内交于点；作射线，交于点．若，，则（ ） A. 7 B. 14 C. 10 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】过点作于， 由作图知，射线平分， 根据菱形的性质得到，根据角平分线的性质得到， 根据三角形面积的公式求解即可． 【详解】如图，过点作于， 由作图可知，射线平分， 四边形是菱形， ， ， ． 7. 如图，在，，，，P为上一点，，动点M，N分别在边和射线上（点M不与点A，C重合），，令，的面积为y，则y关于x的函数图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，使,连接，延长，交于，过点作，可知是等边三角形，根据两个角对应相等证明，进而根据相似三角形的性质可用来表示的长度，即可得到，可推导出，求出，即可表示出y关于x的函数． 【详解】解：延长，使,连接，延长，交于，过点作， ∵，，， ∴,, ∴是等边三角形， ,， ∵ ∴ ∴, ∴, , , ∵， ∴， ∵， ∴,, , ∴， ∴， ∴， ， ， 则y关于x的函数为反比例函数， ∴只有B选项满足条件． 8. 如图，中，点E，F分别是，边上的中点，连接，，．若是等腰直角三角形，，则的长是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】延长，交的延长线于点M，然后再结合已知条件证明，根据全等三角形的性质，求解即可． 【详解】解：延长，交的延长线于点M， ∵是边的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵F是边上的中点， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 9. 如图，以为直径画半圆，点C为半圆的中点，连接，，点E在弦上，，过点B作的垂线交的延长线于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设半圆的圆心为，连接，过点作于点，先求出，在中，令则；在中，，;令，则，由得出，代入到中即可求解． 【详解】解：设半圆的圆心为，连接，过点作于点， 点C为半圆的中点， ， ， ， ， 为半圆的直径， ， ， 在中，， ， ， ， 在中，， ， ， 设则, , 令，则， ， , , ． 10. 对某一个函数给出如下定义：对于函数y，若当，函数值y满足，且满足，则称此函数为“k型闭函数”，下列结论： ①一次函数是“2型闭函数”； ②若一次函数是“1型闭函数”，则； ③反比例函数（，且）是“k型闭函数”，且，则； ④二次函数是“k型闭函数”，则k的取值范围是． 其中正确的是（ ） A. ①④ B. ②④ C. ①②③ D. ①③④ 【答案】D 【解析】 【分析】根据“k型闭函数”的定义，结合一次函数反比例函数二次函数的增减性，逐个计算验证四个结论即可． 【详解】解：①对于一次函数 ，随增大而增大 时，；时，，即，， 又，满足 ①正确； ②对于一次函数，是“1型闭函数”，则 当时，随增大而增大，，得 当时，随增大而减小，，得 故或 ②错误； ③对于反比例函数 ，随增大而减小， ， ∴ 函数是“k型闭函数”， ，约去得 ， ③正确； ④二次函数，开口向下，对称轴为，，由定义得，即 当时，函数在上，随着的增大而减小， ∴， 解得 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵，， ∴在上的值随着的增大而减小， ∴ ∴； 当时，最大值在取得，最小值在取得， ∴， ∵， ∴在上，的值随着的增大而增大， ∴ ∴； 当时，函数在上，随着的增大而增大， ∴， 解得 综上，， ④正确． 综上，正确结论为①③④． 二、填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 式子在实数范围内有意义，则的取值范围是___________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件进行求解即可． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴且， 故答案为：且． 【点睛】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是分母不为0，二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0是解题的关键． 12. 如图，一束光线沿着平行于主光轴的方向射向凸透镜，经过凸透镜折射后，其折射光线恰与一束经过光心O的光线相交于点F（D，O，E共线）.若，，则的度数为______. 【答案】##45度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质、三角形的外角性质、对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据平行线的性质得，利用对顶角相等得，再根据三角形的外角性质求得． 【详解】解：如图，标记点H， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 13. 设为一元二次方程的两个实数根，则的值为_____． 【答案】2026 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到，对所求代数式降次化简，再结合根与系数的关系得到的值，代入计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的实数根， ，即， 对所求代数式变形：， 是一元二次方程的两个实数根， 根据根与系数的关系可得， 代入得原式． 14. 如图，在平面直角坐标系中，A、B为反比例函数图象上的两点，点A的横坐标为3，直线AB与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知，，则k的值为________． 【答案】6 【解析】 【分析】先求出和的面积，再利用同底的三角形面积之比等于高之比可得点纵坐标，又知点坐标，则可求． 【详解】解：点在反比例函数上，横坐标为3， ，即的纵坐标为． 和有共同的底边，它们的高分别是点到轴的距离、点到轴的距离． ，， 同底三角形的面积比等于高的比：， ， ， ， ， ． 15. 如图，在正方形中，对角线，相交于点，点在边上，且，连接交于点，过点作，连接并延长，交于点，过点作分别交、于点、，交的延长线于点，现给出下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有________． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】①由“”可证，可得，由等腰三角形的性质可求；②由“”可证，可得；③通过证明，可得，进而可得结论；④由外角的性质可求，由勾股定理可求，即可求． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； 如图，过点O作于K， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故②正确； ③∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故④错误， 综上，正确的结论是①②③． 三．大题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）计算：； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 【项目背景】 为切实关心青少年身心健康，学校开展阳光体育运动，主要活动有一分钟限时跳绳比赛、投掷实心球、长跑等．该校九年级数学兴趣小组对三项活动情况进行了调查统计． 【数据收集与整理】 （一）现将九年级部分女生投掷实心球的成绩分成5个小组（x表示成绩，单位：米）进行整理． A组：；B组：；C组：；D组：；E组，并绘制出扇形统计图和频数分布直方图（不完整）．规定为合格，为优秀． （二）该项活动中有40名选手参加一分钟限时跳绳比赛，现将比赛成绩（单位：个/分钟）进行统计，成绩统计表如下． 一分钟限时跳绳比赛成绩统计表 成绩（个/分钟） 人数 【数据分析与应用】 （1）任务一：掷实心球的女生有 人；掷实心球的女生成绩的中位数落在 组； （2）任务二：若该校九年级共有200名女生，请估计这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数； （3）任务三：将跳绳个数在161~190的选手依次记为，从中随机抽取两名选手做经验交流．请用树状图或列表法求恰好抽取到选手的概率． 【答案】（1）50；C （2）（人） （3） 【解析】 【分析】（1）根据掷实心球的女生的人数和占比可求掷实心球的女生总人数，进而根据中位数的定义求解即可； （2）根据E组有5人，求得优秀率，再根据样本估计总体，即可求解； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到选手的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：由题意知A组占，有5人， 所以掷实心球的女生的人数为：（人）． C组有 人 所以E组有人， 将这50个女生的成绩由低到高分组排列，A组有5人，B组有10人，C组有15人，D组有15人，E组有5人，所以成绩的中位数落在C组； 【小问2详解】 解：E组有5人，优秀率为 所以这200名女生中掷实心球成绩优秀的人数为 （人） 【小问3详解】 由成绩统计表得跳绳个数在的选手共有人，依次记为，画树状图如下： 共有12种不同的情况，且每一种可能性都相同，其中恰好抽到选手的有两种， ∴恰好抽到选手的概率为． 18. 数学课题研究小组针对住房窗户“如何设计遮阳篷”这一课题进行了探究，过程如下： 【方案设计】 要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．该数学课题研究小组通过调查研究，设计安装了如图1的遮阳篷，其中遮阳篷垂直于墙面表示窗户． 【数据收集】 如图，通过查阅相关资料和实际测量：夏至日这一天的正午时刻太阳光线与遮阳篷的夹角最大，且最大角；冬至日这一天的正午时刻，太阳光线与遮阳篷的夹角最小，且最小角． 【问题提出】 （1）如图2，若只要求设计的遮阳篷能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，当时，求的长； （2）如图3，要求设计的遮阳篷既能最大限度地遮住夏天炎热的阳光，又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内．当时，根据上述方案及数据，求遮阳篷的长．（结果精确到）（参考数据：） 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）解即可； （2）先解得到，再解得到，则，即可求解． 【小问1详解】 解：如图2，在中，， ， ， 的长为； 【小问2详解】 解：如图3，在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ∴遮阳篷的长为． 19. 为提升学生动手实践操作能力，开阔学生视野，某校决定九年级学生到中小学实践基地进行为期两周的实训，现需要租用大、小两种型号的客车，若租用9辆大型客车和6辆小型客车，则一共需要6150元，若租用8辆大型客车和12辆小型客车，则一共需要7800元． （1）租用每辆大型客车、每辆小型客车的价格分别是多少元？ （2）经学校研究决定九年级全体任课教师共同参与本次实训活动，若该校计划租用大、小两种型号的客车共25辆，其中租用大型客车辆，且大型客车的数量至少比小型客车的数量多5辆，又不超过小型客车的数量的2倍，怎样租车，才能使总费用最少？并求出最少租车费用． 【答案】（1）租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元 （2）租用大型客车15辆，小型客车10辆，才能使费用最少，最少为元 【解析】 【分析】（1）设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元，列出二元一次方程组求解即可； （2）根据题意列出关于的不等式组，求出的值，表示出总费用求解即可； 【小问1详解】 由题意，设租用大型客车每辆元，租用小型客车每辆元， ， ，． 答：租用大型客车每辆450元，租用小型客车每辆350元； 【小问2详解】 由题意，大型客车辆，则小型客车辆， ， ， 又为整数， 或16， 又，且， 随增大而增大， 当时费用最少，此时大型客车为15辆，小型客车：（辆）， 最少费用：（元）． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，． （1）求一次函数及反比例函数的表达式； （2）若为直线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】（1）反比例函数的表达式为；一次函数的表达式为 （2）点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求函数解析式即可； （2）分两种情况：当在线段上时，当点在延长线时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：一次函数与反比例函数的图象交于点， ， ， 反比例函数的表达式为， 把点，点的坐标分别代入得： ， 解得：， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：①当在线段上时，如图1，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 则， 设， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， 点的坐标为； ②当点在延长线时，如图2，过点作轴，过点作于点，过点作于点． 则， 设， ∵， ， ， ， ， ， 解得：， 经检验是分式方程的解，且符合题意， 点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或； 21. 如图，为的直径，点C，D在上，，过点D作，交的延长线于点E． （1）求证：是的切线； （2）连接交于点F．若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理，结合已知条件可得，然后根据直径所对的圆周角是直角和两直线平行内错角相等可推出，进而可证得结论； （2）通过证明和，得到，然后设，，则，根据比例式代入解方程即可解答． 【小问1详解】 证明：如图，连接， ∵，， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即． ∵为半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接交于点F． 由（1）可知，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 设，，则， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴． 22. 已知抛物线（a，b，c为常数，，）的顶点为P，与y轴交于点C，O为坐标原点． （1）当，，时，则该抛物线顶点P的坐标为________； （2）若． ①M是抛物线上第一象限内一点，设，，且，求c的值； ②若抛物线与x轴的一个交点坐标为，点D在抛物线的对称轴上，当的最小值为时，求a的值． 【答案】（1） （2）①1；1 【解析】 【分析】（1）将，，代入，把抛物线化为顶点式即可； （2）①过M点作轴于点N，过P点作轴于点E，先证，进而得到，再代入抛物线求解； ②过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接．由，可知当C，D，Q三点共线，且 时，取得最小值，即取得最小值，过点P作直线与直线成角，过点C作交x轴于F，解直角三角形得到F点坐标为，可求出直线的解析式为 ，再求出直线的解析式为，然后根据进行求解． 【小问1详解】 解：∵，，，， ∴， ∴该抛物线顶点P的坐标为； 【小问2详解】 解：①如图1，过M点作轴于点N，过P点作轴于点E． ∵， ∴， ∴， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵， ∴， ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴P点坐标为， ∵P为抛物线的顶点， ∴P点坐标为， ∴， ∴M点坐标为， 将，代入，得： ， 解得：， ∴c的值为1； ②∵， ∴当取得最小值时，的值最小． 由①知，抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴抛物线的解析式为， ∴C点坐标为，顶点P坐标为， ∵， ∴， 如图2，过点P作直线与直线成角，与抛物线的交点为G，交y轴于点H，过点D作，垂足为Q，连接． 在中，， ∴， ∴当C，D，Q三点共线，且 时，取得最小值，即取得最小值， 在中，， ∴，即， 过点C作交x轴于F， ∴， 在中，，即， ∴，即F点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为 ， ∵， ∴设直线的解析式为， 把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， ∴． 23. 如图，在中，． （1）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，求的度数； （2）如图，若，将绕点顺时针旋转得到线段，连接，，点是的中点，连接交于点，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； （3）如图，若，将绕点旋转得到线段，连接，当取最大值时，在直线上取一点，连接，将沿翻折到所在的平面内，得到，连接．当取最小值时，直接写出的值． 【答案】（1）； （2）理由见解析； （3）． 【解析】 【分析】（）通过旋转性质可得，，则，，求出，所以； （）过作交于点，则，再证明，所以，，通过勾股定理得，则； （）根据题意得点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，则当三点共线时，有最大值，由折叠性质可得：，故有点在以为圆心，长度为半径的圆上运动，所以当三点共线时，有最小值，设，过作于点，过作于点，则，求得 ，，，所以，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图， ∵绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，之间的数量关系为：， 证明：过作交于点，则， ∵， ∴， 由（）得， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图， ∵， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最大值， 由折叠性质可得：， ∴点在以为圆心，长度为半径的圆上运动， ∴当三点共线时，有最小值， 设， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图，过作于点，过作于点，则， ∴ ， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $