河北承德市双滦区实验中学2025--2026学年下学期高二数学周末自主作业（12）

**基本信息** 本卷聚焦高二数学核心知识，通过牛顿迭代法、赵爽弦图涂色等创新情境，结合利润优化等现实问题，分层考查导数应用、概率统计、排列组合等能力，适配周测巩固与思维提升需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|随机变量期望、导数几何意义、二项式定理|基础概念辨析，如分布列求期望| |多选题|3/18|牛顿迭代法、随机事件关系|创新方法应用，如牛顿迭代法近似解| |填空题|3/15|集合元素最值、函数取值范围|抽象问题转化，如集合元素积为偶数的最值| |解答题|5/77|排列组合、导数应用、二项式定理|综合实践与创新，如利润优化、赵爽弦图涂色|

2025-2026学年第二学期高二数学周末自主作业（12） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.已知随机变量X的分布列如下表： 则E(X)的值为(　　) A.2 B.2.4 C.3.6 D.不确定 2.已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 在区间内有3个极值点 D. 的图象在点处的切线的斜率小于0 3.(3x3-5x2+1)5的展开式中，除含x5的项之外，剩下所有项的系数和为(　　) A.-299    B.299 C.-301    D.301 4.设函数f(x)=x3+x2+tan θ,其中θ∈,则导数f'(1)的取值范围是(　　) A.[-2,2] B.[] C.[,2] D.[,2] 5.已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值，又存在极小值，则实数m的取值范围是() A.(－1,2) B.(－∞，－3)∪(6，＋∞) C.(－3,6) D.(－∞，－1)∪(2，＋∞) 6.已知函数，则下列错误的个数是（） ①只有1个极小值点; ②曲线在点处的切线斜率为9; ③当有3个零点时，m的取值范围为; ④当只有1个零点时，m的取值范围为. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 7.已知可导函数的导函数为，若对任意的，都有，且，则不等式的解集为（） A. B. C. D. 8.如图是在“赵爽弦图”的基础上创作出的一个“数学风车”平面模型，图中正方形ABCD内部为“赵爽弦图”(由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成)，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形和“赵爽弦图”ABCD涂色，且相邻区域(即图中有公共点的区域)不同色，已知有4种不同的颜色可供选择．则不同的涂色方法种数是(　　) A.48 B.54 C.72 D.108 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.英国数学家牛顿在17世纪给出了一种求方程近似根的方法——牛顿迭代法，做法如下：如图，设r是f(x)＝0的根，选取x0作为r的初始近似值，过点(x0，f(x0))作曲线y＝f(x)的切线l：y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，则l与x轴的交点的横坐标x1＝x0－(f′(x0)≠0)，称x1是r的一次近似值；过点(x1，f(x1))作曲线y＝f(x)的切线，则该切线与x轴的交点的横坐标为x2，称x2是r的二次近似值；重复以上过程，得r的近似值序列，其中xn＋1＝xn－(f′(xn)≠0)，称xn＋1是r的n＋1次近似值，这种求方程f(x)＝0近似解的方法称为牛顿迭代法．若使用该方法求方程x2＝2的近似解，则() A.若取初始近似值为1，则该方程的二次近似值为 B.若取初始近似值为2，则该方程的二次近似值为 C.x4＝x0－－－－ D.x4＝x0－＋－＋ 10.设A，B为同一随机试验的两个随机事件，若，则（） A. B. C. D. 11.现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“山东书城”暑期志愿者服务活动，有翻译、导购员、收银员、仓库管理员四项工作可供选择，每人至多从事一项工作，下列说法正确的是（ ） A.若5人每人可任选一项工作，则有种不同的选法 B.若安排甲和乙分别从事翻译、收银工作，其余3人中任选2人分别从事导购、仓库管理工作，则有12种不同的方案 C.若仓库管理工作必须安排2人，其余工作各安排1人，则有60种不同的方案 D.若每项工作至少安排1人，每人均需参加一项工作，其中甲、乙不能从事翻译工作，则有126种不同的方案 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.设集合中的元素皆为无重复数字的三位正整数，且元素中任意两个不同元素之积皆为偶数，求集合中元素个数的最大值                  ． 13.已知函数，，若，则实数a的取值范围是                   . 14.现有四种不同颜色的彩灯装饰五面体的六个顶点，要求，用同一种颜色的彩灯，其它各棱的两个顶点挂不同颜色的彩灯，则不同的装饰方案共有                  种.（用数字作答） 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. （本小题13分）6名男生和4名女生站成一排,求满足下列条件的排法共有多少种. (1)任何2名女生都不相邻; (2)男生甲不在首位,男生乙不在末位; (3)男生甲、乙、丙排序一定; (4)男生甲在男生乙的左边(不一定相邻). 16. （本小题15分）在的展开式中， （1）求展开式中所有项的系数和； （2）求二项式系数最大的项； （3）系数的绝对值最大的项是第几项? 17. （本小题15分）某分公司经销某种品牌产品，每件产品的成本为30元，并且每件产品需向总公司缴纳a元(a为常数，2≤a≤5)的管理费，根据多年的管理经验，预计当每件产品的售价为x元时，产品一年的销售量为(e为自然对数的底数)万件．已知当每件产品的售价为40元时，该产品一年的销售量为500万件，经物价部门核定，每件产品的售价x最低不低于35元，最高不超过41元． (1)求分公司经营该产品一年的利润L(x)(单位：万元)与每件产品的售价x的函数关系式； (2)当每件产品的售价为多少元时，分公司一年的利润L(x)最大？并求出L(x)的最大值． 18. （本小题17分）已知函数. （1）求函数在点处的切线方程； （2）求的单调区间和极值. 19. （本小题17分）已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）已知函数，求的单调区间； （3）若对于任意，都有（为自然对数的底数），求实数a的取值范围． 参考答案： 1.【答案】C 【解析】依题意0.1＋0.2＋m＋0.2＝1，解得m＝0.5，所以E(X)＝0×0.1＋2×0.2＋4×0.5＋6×0.2＝3.6. 2.【答案】B 【解析】由图象可知：当和时，； 当时，. 故在，上单调递增；在上单调递减. 对于A，，，A错误. 对于B，，，B正确. 对于C，由极值点定义知：为的极大值点；为的极小值点，即在区间内有个极值点，C错误. 对于D，当时，，在点处的切线的斜率大于，D错误. 故选：B. 3.【答案】B 【解析】令x=1得(3-5+1)5=-1，所以(3x3-5x2+1)5的展开式中所有项的系数和为-1，由(3x3-5x2+1)5为5个因式(3x3-5x2+1)相乘，要得到x5项，则五个因式中有一个因式取3x3，一个因式取-5x2，其余三个因式取1，然后相乘而得，所以(3x3-5x2+1)5的展开式中含x5的项为(3x3)1·(-5x2)1=-300x5，所以(3x3-5x2+1)5的展开式中，除含x5的项之外，剩下所有项的系数和为-1-(-300)=299. 4.【答案】D 【解析】∵f'(x)=sinθ·x2+cosθ·x, ∴f'(1)=sinθ+cosθ=2sin. ∵θ∈,∴sin. ∴2sin∈[,2]. 5.【答案】B 【解析】∵f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1， ∴f′(x)＝3x2＋2mx＋m＋6， ∵函数f(x)既存在极大值，又存在极小值， ∴导函数f′(x)有两个不相等的变号零点， ∴Δ＝4m2－12(m＋6)>0，即m2－3m－18>0， 解得m<－3或m>6. ∴实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)，故选B. 6.【答案】A 【解析】. 当时，. 当时，. 时，. . . 在单调递增. 在单调递减. 在单调递增. 得极小值点. 时，. . . 在单调递减. 在单调递增. 得极小值点. 共有个极小值点. 命题①错误. 满足. . 曲线在点处切线斜率为. 命题②正确. 令，得. 设. 零点个数等价于与的交点个数. 有个零点时，. 命题③正确. 只有个零点时，. 命题④正确. 错误命题共个. 故选：A. 7.【答案】A 【解析】构造函数. 由得, 故,则在上单调递减. 由得. 由得, 即g(x)>g(0) 因为单调递减，所以. 故选:A. 8.【答案】C 【解析】设“赵爽弦图”ABCD为①区，△ABE，△BCF，△CDG，△DAH这4个三角形分别为②，③，④，⑤区． 第一步给①区涂色，有4种涂色方法． 第二步给②区涂色，有3种涂色方法． 第三步给③区涂色，有2种涂色方法． 第四步给④区涂色，若④区与②区同色，⑤区有2种涂色方法． 若④区与②区不同色，则④区有1种涂色方法，⑤区有1种涂色方法． 所以共有4×3×2×(2＋1×1)＝72(种)涂色方法． 9.【答案】ABC 【解析】令f(x)＝x2－2，则f′(x)＝2x，当x0＝1，x1＝1－＝1－＝，x2＝x1－＝，故A正确； 当x0＝2，x1＝2－＝2－＝，x2＝x1－＝，故B正确； 因为x1＝x0－；x2＝x1－；x3＝x2－；x4＝x3－，∴x4＝x0－－－－，故C正确，D错误． 10.【答案】ACD 【解析】. A正确. . . B错误. . C正确. . . . . D正确. 故选：ACD. 11.【答案】CD 【解析】A选项，每人有种选择. 总选法为. 故A错误. B选项，甲乙岗位固定. 剩余选法为. 总方案数为. 故B错误. C选项，先选人从事仓库管理，剩余人全排列安排其余三项工作. . 故C正确. D选项，分两类计数. 翻译岗位安排人时，从除甲乙外的人中选人，选法为. 剩余人分配到其余个岗位，每个岗位至少人，分配方法为. 此类总方法数为. 翻译岗位安排人时，从除甲乙外的人中选人，选法为. 剩余人全排列分配到其余个岗位，方法数为. 此类总方法数为. 总方案数为. 故D正确. 故选：CD. 12.【答案】329 【解析】由集合中任意两个不同元素之积为偶数,得集合中至多含1个无重复数字的三位奇数,其余均为无重复数字的三位偶数． 个位为0的无重复数字三位偶数, 百位和十位从剩余9个数字中选2个排列,得． 个位不为0的无重复数字三位偶数, 个位有4种选择,百位有8种选择,十位有8种选择,得． 故无重复数字的三位偶数共有个． 由集合中至多含1个奇数,得集合中元素个数的最大值为． 13.【答案】 【解析】由,, 且对恒成立, 取,得,故,得. , 令,则. 当时,且,故; 当时,且,故. 由在单调递减，在单调递增, 且,,得,即. 故在单调递减，得. 因为时,由得, 故对恒成立. 实数的取值范围是. 14. 【答案】 【解析】因为，用同一种颜色的彩灯，从种颜色中选种，有种方法. 给顶点挂彩灯，此时还剩种颜色可选，有种方法. 情况一：、挂同一种颜色的彩灯 从剩下种颜色中选种给、，有种方法； 再给点选彩灯，此时还剩种颜色可选，有种方法. 所以这种情况下的方法数为种. 情况二：、挂不同种颜色的彩灯 给点选彩灯，有种方法； 给点选彩灯，此时还剩种颜色（与不同），有种方法； 给点选彩灯，此时只有种方法. 所以这种情况下的方法数为种. 将两种情况的方法数相加，可得总的装饰方案有种. 15.【答案】解 (1)任何2名女生都不相邻,则把女生插空,故先排男生再让女生插到男生的空中,共有=604800(种)不同的排法. (2)甲不在首位,按甲的排法分类,若甲在末位,则有种排法,若甲不在末位,则甲有种排法,乙有种排法,其余有种排法,综上共有=2943360(种)排法. (3)10人的所有排列方法有种,其中甲、乙、丙的排序有种,又对应甲、乙、丙只有一种排序,故甲、乙、丙排序一定的排法有=604800(种). (4)男生甲在男生乙的左边的10人排列与男生甲在男生乙的右边的10人排列数相等,而10人排列数恰好是这二者之和,因此满足条件的有=1814400(种)排法. 16.【答案】解：（1）对于令. 则展开式中所有项的系数和为. （2）展开式共项，二项式系数最大的项为中间项，即第项. 其通项. 当时. （3）通项. 设第项系数的绝对值最大. 则. 由得化简得. 由得化简得. 联立解得 所以或. 即系数的绝对值最大的项是第项和第项. 17.【答案】解(1)设该产品一年的销售量为Q(x)＝， 则＝500，所以k＝500e40， 则该产品一年的销售量Q(x)＝， 则该产品一年的利润L(x)＝(x－a－30) ＝500e40·(35≤x≤41)． (2)由(1)得，L′(x)＝500e40·. ①若2≤a≤4，则33≤a＋31≤35， 当35≤x≤41时，L′(x)≤0，L(x)单调递减， 所以当x＝35时，L(x)取得最大值为500(5－a)e5. ②若4<a≤5，则35<a＋31≤36， 令L′(x)＝0，得x＝a＋31， 易知当x＝a＋31时，L(x)取得最大值为500e9－a. 综上所述，当2≤a≤4，且每件产品的售价为35元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500(5－a)e5万元； 当4<a≤5，且每件产品的售价为(31＋a)元时，该产品一年的利润最大，最大利润为500e9－a万元． 18.【答案】解：（1）对函数求导，可得. 将代入，有，移项可得，解得. 所以，. 根据点斜式方程， 则切线方程为，即. （2）由（1）知，定义域为. 对求导得. 令，即，因为，所以， 解得或，此时单调递增. 令，即，因为，所以， 解得，此时单调递减. 当时，取得极大值. 当时，取得极小值. 所以的递增区间为，；递减区间为； 极大值为，极小值为. 19.【答案】解：（1）对函数求导得，且， 所以在点处的切线方程为． （2），， ， 令，解得，所以在上单调递减， 令，解得，所以在上单调递增， 所以的单调减区间为，单调增区间为． （3）由题可知，由，等价于，， 构造函数， 则， 令，解得，所以在单调递减， 令，解得，所以在单调递增， 又，即， 所以． 第3页 共13页 学科网（北京）股份有限公司 $