河北承德市双滦区实验中学2025--2026学年下学期高二数学双休自主学习测试卷（9）

**基本信息** 聚焦导数与排列组合核心知识，通过分层设计（如解答题17题单调性分析、19题极值应用）提升数学思维与运算能力，适配高二周测自主学习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|导数切线（1题）、排列组合（3题）|基础巩固，考查数学眼光下的概念理解| |多选题|3/18|导数图像分析（9题）、组合数性质（10题）|能力提升，体现逻辑推理思维| |填空题|3/15|志愿者分配（14题，排列组合应用）|结合实际情境，培养应用意识| |解答题|5/77|函数单调性（17题）、极值与最值（19题）|综合应用，突出数学语言表达与问题解决能力|

2025-2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（9） 一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1．若曲线在处的切线方程为，则实数的值为（   ） A． B．1 C． D．2 2．计算（    ） A．42 B．36 C．21 D．20 3．从 3 名男生、2 名女生中任选 1 人，不同的选法种数是（    ） A．5 B．6 C．8 D．10 4．甲、乙、丙、丁4名同学进行知识竞赛，若甲不是最后一名，则4人不同名次排列的种数有（   ） A．6种 B．12种 C．18种 D．24种 5．用数字组成没有重复数字且大于的四位数，这样的四位数有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 6．不等式的解集为（    ） A．(5，10) B． C． D． 7．已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．已知，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9．如图是的导数的图象，则下面判断正确的是（   ） A．在内是增函数 B．在内是减函数 C．在时取得极大值 D．当时取得极小值 10．设，且,下列等式正确的有（   ） A． B． C． D． 11．关于函数，下列说法正确的是（   ） A．它的极大值为，极小值为 B．有两个零点 C．它的单调递减区间为 D．它在点处的切线方程为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12．已知曲线在处的切线方程为，则_______. 13．方程的解是______. 14．第十五届全国运动会共有约5万名“小海豚”志愿者奔波于各个比赛场馆，他们在赛场内外用贴心的服务照亮每一场精彩赛事. 若要把4名新加入的志愿者全部随机分配到A、B、C三个不同的场馆服务，每个场馆至少分配到1名志愿者，每名志愿者只去1个场馆，且甲不能去A场馆，乙必须去B场馆，则共有______种分配方法. 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题分）（1）计算的值； （2）若，求的值． 16．（本小题分）一个口袋内装有大小相同的7个白球和2个黑球． (1)从口袋内取出的3个小球，共有多少种取法？ (2)从口袋内取出3个球，使其中含有1个黑球，有多少种取法？ (3)从口袋内取出3个球，使其中至多含有1个黑球，有多少种取法？ 17．（本小题分）已知函数，其中. (1)当时， （ⅰ）求曲线在点处的切线方程； （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若，求的取值范围. 18．（本小题分）已知函数． (1)证明：当，时，； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围. 19．（本小题分）已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求函数在上的最值. 试卷第2页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B A C C D B D BD ABC 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】设，则， 由题意得，解得. 2．B 【详解】. 3．A 【详解】从 3 名男生、2 名女生中任选 1 人，选法有种. 4．C 【详解】先对甲进行排序，有3种不同的选择， 再对其他3人进行全排列，有种不同方法， 则一共有种不同名次排列. 5．C 【详解】当千位为或时，所组成的四位数一定大于；当千位为或时，所组成的四位数一定小于， 满足题意的四位数有个. 6．D 【分析】根据排列数的定义计算即可. 【详解】由，得， 整理得，解得， 又因为根据排列数的定义，需满足，解得，则. 7．B 【分析】在上单调递增，可得在上恒成立，得到，令，则只需（），利用导数求出的单调性，利用单调性得到，从而得到的取值范围. 【详解】， ， 因为在上单调递增，所以在上恒成立， 即： ，即 ， 因为时，所以， 令，则只需（）， ， 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 所以在处取得唯一极大值，也是区间上的最大值， 且，则. 则实数的取值范围是. 8．D 【分析】先将的大小比较转化为比较，构造函数，即比较，求导分析函数的单调性可得结果. 【详解】依题意，，，， 令，，则，所以当时，， 当时，，所以在上单调递增，在上单调递减. 因为，所以，即，即. 9．BD 【分析】由导函数图象和极值的定义逐项判断. 【详解】选项A，由图象可知，在，，单调递减， 在，，单调递增，所以选项A错误. 选项B，由图象可知，在内，单调递减，所以选项B正确. 选项C，由图象可知，两侧均为正，始终递增，所以选项C错误. 选项D，当时，，左侧，右侧，导数由负变正，是极小值点， 所以取得极小值，所以选项D正确. 故选：BD 10．ABC 【分析】根据组合数的公式、组合数的性质、组合数的运算进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A是组合数计算公式，A选项正确； B是组合数性质（对称性），B选项正确； 由 可知C正确；D错误． 11．ACD 【分析】先对函数求导，得到，通过分析导数的正负确定函数的单调区间与极值，再根据极值符号判断零点个数，最后利用导数的几何意义计算点处的切线方程，即可逐一验证选项． 【详解】，， 当时，， 当或时，，单调递增， 当时，，单调递减， 对于A，当时，取极大值， 当时，取极小值，A正确； 对于BC， 如图，在和上单调递增，在上单调递减，且，， 所以函数在，，各自有一个零点，分别为，共3个，B错误，C正确； 对于D，，，所以切线方程为，即， D正确． 12． 7 【详解】由曲线在处的切线方程为， 得，， 所以. 13．或 【详解】由及组合数的定义，得，解得， 由组合数的性质得或，解得或， 所以或. 14．7 【分析】分甲、乙被分配1个场馆和甲、乙被分配不同场馆进行讨论，结合分步计算原理及排列组合求解． 【详解】三个场馆每个场馆至少分配到1名志愿者， 所以4名志愿者将以2，1，1分配给三个场馆， 第一类，甲、乙被分配1个场馆，甲、乙只能分配到B场馆，此类共有种方法， 第二类，甲、乙被分配不同场馆，则甲只能分配到C场馆， 若剩下2人（丙丁）分配到同一个场馆，则只能分配到A场馆，有1种方法； 若剩下2人（丙丁）分配到不同场馆，则2人先选1人分配到A场馆， 剩下1人可选择分配到B场馆或C场馆，共有种， 则总共种分配方法． 15．（1）87；（2）6 【分析】（1）利用排列数公式、组合数公式计算可得答案； （2）利用组合数公式计算可得答案. 【详解】（1）， ， 故原式； （2）等式， 整理可得 计算可得， 整理可得，可得 （舍去）， 所以. 16．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据条件，直接利用组合，即可求解； （2）根据条件，直接利用组合，即可求解； （3）根据条件，利用分类计数原理和组合，即可求解. 【详解】（1）因为口袋内共有个球，所以从口袋内取出的3个小球，共有种取法. （2）因为口袋内有7个白球和2个黑球，所以从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，有种取法. （3）因为口袋内有7个白球和2个黑球，从口袋内取出3个球，其中不含黑球有种， 由（2）知从口袋内取出3个球，其中含有1个黑球，有种取法， 所以从口袋内取出3个球，使其中至多含有1个黑球，有种取法. 17．(1)（ⅰ）；（ⅱ）在上单调递减，在上单调递增. (2). 【分析】（1）（ⅰ）根据导数的几何意义求切线方程； （ⅱ）根据导数的正负求函数的单调区间； （2）首先确定，再根据导数求函数的最小值，根据最小值，结合极值点化简不等式，求和的取值范围. 【详解】（1）当时，，. （ⅰ）因，，所以切线方程为. （ⅱ）由得，由得， 所以在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，不满足题意. 所以，此时. 显然是上的增函数，且时，，时，， 所以存在唯一正实数使得，即. 此时在上单调递减，在上单调递增. 由题意. 将代入上式整理得：，解得：. 此时，代入后. 化简得：，解得：. 令，其中. 则，所以是区间上的增函数. 所以，代入得到的取值范围是. 18．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）求导，确定函数单调性，求解最值即可求证； （2）求导，分，，三种讨论，研究其单调性即可求解最值. 【详解】（1）（1）当时，， 当时，， 则函数在单调递减，即． （2）， ①当时，在上单调递减， 即，故原不等式不成立． ②当时，因为，所以， 即，显然原不等式成立． ③当时，存在，使得， 当在单调递增， 当在单调递减， 即， 由题意，可知，解得， 综上所述：． 19．(1) (2) (3)最小值为-14，最大值为18. 【分析】（1）已知函数在处取极值，利用与的值列方程组求. （2）先求点处的切线斜率，再结合，用点斜率求切线方程. （3）求的点，计算这些点与区间端点函数值，比较得最值. 【详解】（1）因为函数，所以， 又因为函数在处取得极值-14， 则有，即，解得：， 经检验，时，符合题意，故， （2）由（1）知：函数，则， 所以，又因为， 所以曲线过点处的切线方程为， 也即， （3）由（1）知：函数，则， 令，解得：， 在时，随的变化，的变化情况如下表所示： -3 -2 2 3 - 0 + 0 - -7 单调递减 -14 单调递增 18 单调递减 11 由表可知：当时，函数有极小值， 当时，函数有极大值， 因为， 故函数在上的最小值为，最大值为. 答案第2页，共9页 答案第1页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $