河北承德市双滦区实验中学2025-2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（6）

**基本信息** 聚焦导数应用，通过铁盒容积优化（第5题）、导函数图像分析（第2题）及含参数恒成立问题（第17题），实现基础巩固与综合能力的梯度设计，适配新授课学情。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|求导运算、导数与函数图像、最值|第5题以正方形铁皮制铁盒为情境，考查导数求最值，体现数学眼光| |多选题|3/18|导数公式、三次函数拐点、导函数与单调性|第10题结合“拐点”定义探究三次函数性质，培养推理意识| |填空题|3/15|函数最值、切线方程、导函数符号与解集|第14题通过函数图像分析x·f′(x)<0的解集，考查几何直观| |解答题|5/77|单调区间、极值、恒成立问题、零点问题|17题含参数恒成立问题，19题导数与零点综合，发展数学思维与表达|

2025--2026学年第二学期高二数学双休自主学习测试卷（6） 1、 单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1.下列对x的求导运算，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 2.已知函数（是函数的导函数）的图象如图所示，则的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 3.函数在区间上的最小值是（ ） A.      B.2    C.      D. 4.已知函数f(x)和g(x)的导函数f′(x)，g′(x)图象分别如图所示，则下列关于函数y＝g(x)－f(x)的判断正确的是(　　) A.有3个极大值点 B.有3个极小值点 C.有1个极大值点和2个极小值点 D.有2个极大值点和1个极小值点 5.用边长为48的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成铁盒，当所做的铁盒容积最大时，在四角截去的小正方形的边长为(　　) A.6 B.8 C.10 D.12 6.已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（    ） A. B. C. D. 7.已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足f(x)＝4xf′(2)＋ln x，则f(2)等于(　　) A.－e B.e C.ln 2＋ D.ln 2－ 8.设a＝e，b＝πln π，c＝3ln 3，则a，b，c大小关系是(　　) A.a<c<b B.b<c<a C.c<b<a D.c<a<b 二、多选题（本大题共3小题，共18分。在每小题有多项符合题目要求） 9.下列求导正确的是(　　) A.(e2x)′＝2ex B.(4x＋1)′＝4 C.()′＝ D.(xsinx)′＝sinx＋xcosx 10.对于三次函数，现给出定义：设是函数的导数，是的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．已知函数，则（   ） A.有两个极值点 B.有三个零点 C.点是曲线的对称中心 D.直线是曲线的切线 11.已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述不正确的是（ ） A. B.函数在上递增，在上递减 C.函数的极值点为， D.函数的极大值为 三、填空题（本大题共3小题，共15分） 12.已知函数f(x)＝x－sin x，x∈，则函数f(x)的最大值为                  ． 13.曲线在点处的切线方程为                  ． 14.如图所示的是函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d的图象，f′(x)为函数f(x)的导函数，则不等式x·f′(x)<0的解集为                  ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.（本小题分）已知函数f(x)＝x3＋2x2＋x＋2，x∈. (1)求f(x)的单调区间； (2)求f(x)的最大值和最小值． 16.（本小题分）已知函数f(x)＝x3－x2＋2x＋. (1)求f(x)的单调区间和极值； (2)若直线y＝2x＋b是函数y＝f(x)的图象的一条切线，求b的值． 17.（本小题分）已知函数f(x)＝(1－ax)ln(1＋x)－x. (1)当a＝－2时，求f(x)的极值； (2)当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求a的取值范围． 18.（本小题分）已知函数. (1)若在上单调递增，求的取值范围； (2)若函数在处取得极小值． （i）求： （ii）证明：当时，． 19.（本小题分）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)当时，设，若有两个不同的零点，求参数的取值范围． 参考答案： 1.【答案】A 【解析】对于A选项：的结果是，A正确. 对于B选项：为常数，的结果是，B错误. 对于C选项：的结果是，C错误. 对于D选项：为常数，的结果是，D错误. 故答案为：A. 2.【答案】C 【解析】设函数的图象在轴上最左边的一个零点为，且. 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减. 故选：C. 3.【答案】A 【解析】， ， 当时，， 则， 所以 ， 在上单调递增， 那么在上的最小值为 ， 综上，答案选A. 4.【答案】D 【解析】由题中图象可知，f′(x)，g′(x)的图象有三个不同的交点，其交点横坐标按从小到大的序依次记为x1，x2，x3，其中x2＝0， 由图象可得，当x<x1时，g′(x)>f′(x)，即y′＝g′(x)－f′(x)>0，则函数y＝g(x)－f(x)单调递增； 当x1<x<0时，g′(x)<f′(x)，即y′＝g′(x)－f′(x)>0， 则函数y＝g(x)－f(x)单调递减； 当0<x<x3时，g′(x)>f′(x)，即y′＝g′(x)－f′(x)>0， 则函数y＝g(x)－f(x)单调递增； 当x>x3时，g′(x)<f′(x)，即y′＝g′(x)－f′(x)<0，则函数y＝g(x)－f(x)单调递减． 所以y＝g(x)－f(x)有两个极大值点x1和x3，有一个极小值点0.故选D. 5.【答案】B 【解析】设截去的小正方形边长为x，铁盒体积为y，则y＝(48－2x)2·x＝4x3－192x2＋2 304x.y'＝12x2－384x＋2 304＝12(x－8)(x－24)．因为48－2x>0，所以0<x<24.易知当x∈(0,8)时，y'>0，当x∈(8,24)时，y'<0，所以当x＝8时，ymax＝8 192. 6.【答案】A 【解析】因为，所以， 因为在区间上单调递减，所以在区间恒成立， 即在区间恒成立，则在上恒成立，所以， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 7.【答案】D 【解析】对f(x)进行求导得f′(x)＝4f′(2)＋，所以f′(2)＝4f′(2)＋，f′(2)＝－，f(2)＝4×2×＋ln 2＝－＋ln 2. 8.【答案】A 【解析】构造函数f(x)＝xln x，则f′(x)＝ln x＋1，f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 因为e<3<π，所以f(e)<f(3)<f(π)，即eln e<3ln 3<πln π，即a<c<b，故选A. 9.【答案】BCD 【解析】选项A，因为(e2x)′＝2e2x，所以A错误； 选项B，因为(4x＋1)′＝4＋0＝4，所以B正确； 选项C , ()′＝＝×＝，所以C正确； 选项D, (xsin x)′＝x′sin x＋x(sin x)′＝sin x＋xcos x所以D正确． 10.【答案】AC 【解析】已知，则. 令，解得，且. 所以是的拐点， 又因为三次函数的“拐点”就是对称中心， 所以是的对称中心，故C正确. 令，解不等式，得或. 所以在和上单调递增，在上单调递减. 则是极小值点，是极大值点，故A正确. 因为是的极小值点，， 且当时，，函数只有一个零点，故B错误. 设切点为， 令，解得或. 当时，，切线方程为，即； 当时，， 切线方程为，即. 所以直线不是曲线的切线，故D错误. 11.【答案】ABD 【解析】由导函数的图象可知： 当时，，在上递增； 当时，，在上递减； 当时，，在上递增. 对A选项，因为在上递减，在上递增，所以，A错误. 对B选项，在上递增，在上递增，在上递减，B错误. 对C选项，根据极值点的定义，在和两侧导数符号改变，所以函数的极值点为，，C正确. 对D选项，在处取得极大值，即的极大值为，D错误. 12.【答案】－ 【解析】因为f(x)＝x－sin x，所以f′(x)＝－cos x. 当x∈时，cos x∈，所以f′(x)<0； 当x∈时，cos x∈，f′(x)>0. 又f ＝－，f＝－， 所以当x∈时，函数f(x)的最大值为－. 13.【答案】 【解析】因为，所， 所以曲线在处切线方程为 ，即． 14.【答案】{x|x<－或0<x<} 【解析】由f(x)的图象知，f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上为增函数，在(－，)内为减函数， 所以当x∈(－∞，－)和(，＋∞)时， f′(x)>0；当x∈(－，)时，f′(x)<0. 所以x·f′(x)<0的解集为 {x|x<－或0<x<}． 15.【答案】解　(1)f′(x)＝3x2＋4x＋1＝3(x＋1)．由f′(x)>0，得x<－1或x>－；由f′(x)<0，得－1<x<－. 因此，函数f(x)在上的单调递增区间为，，单调递减区间为. (2)由(1)得，f(x)在x＝－1处取得极大值，极大值为f(－1)＝2； f(x)在x＝－处取得极小值，极小值为f ＝. 又f ＝，f(1)＝6，且>， 所以f(x)在上的最大值为f(1)＝6， 最小值为f ＝. 16.【答案】解　(1)∵f(x)＝x3－x2＋2x＋，定义域为R， f′(x)＝x2－3x＋2. 令f′(x)＝0，解得x＝1或x＝2. 当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如表所示： 所以，函数y＝f(x)的单调递增区间为(－∞，1)和(2，＋∞)，单调递减区间为(1,2)，函数y＝f(x)的极大值为f(1)＝，极小值为f(2)＝. (2)令f′(x)＝x2－3x＋2＝2，解得x＝0或x＝3，f(0)＝， f(3)＝2， 所以，切点坐标为或(3,2)，则有b＝或2×3＋b＝2，解得b＝或b＝－4. 17.【答案】解　(1)f(x)的定义域为(－1，＋∞)， 当a＝－2时， f(x)＝(1＋2x)ln(1＋x)－x， 故f′(x)＝2ln(1＋x)＋－1 ＝2ln(1＋x)－＋1， 因为y＝2ln(1＋x)，y＝－＋1在(－1，＋∞)上单调递增， 故f′(x)在(－1，＋∞)上为增函数， 而f′(0)＝0， 故当－1<x<0时，f′(x)<0， 当x>0时，f′(x)>0， 故f(x)在x＝0处取极小值且极小值为f(0)＝0，无极大值． (2)当x＝0时，f(x)＝0恒成立， 现讨论x>0的情况， f′(x)＝－aln(1＋x)＋－1 ＝－aln(1＋x)－，x>0， 设s(x)＝－aln(1＋x)－，x>0， 则s′(x)＝－ ＝－＝－， 当a≤－时，s′(x)>0， 故s(x)在(0，＋∞)上单调递增， s(x)>s(0)＝0，即f′(x)>0， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 故当x>0时，f(x)>f(0)＝0，符合题意； 当－<a<0时， 当0<x<－时，s′(x)<0， 故s(x)在上单调递减， s(x)<s(0)， 即在上f′(x)<0， f(x)单调递减， f(x)<f(0)＝0，不符合题意，舍去； 当a≥0时，此时s′(x)<0在(0，＋∞)上恒成立， 同理可得在(0，＋∞)上， f(x)<f(0)＝0恒成立，不符合题意，舍去， 综上，a≤－. 18.【答案】（1）解：由,得． 由在上单调递增，得在上恒成立, 即在上恒成立． 因为在上单调递减, 所以当时取得最大值,故, 即的取值范围为． （2）（i）解：由函数在处取得极小值, 得,解得． 此时,, 当时,当时, 故在处取得极小值，符合题意． （ii）证明：由（i）知, 令,． 令,则, ． 令,, 得． 令,, 则, 故在上单调递增, 得, 即在上恒成立（仅时取等号）． 因此在上单调递增, 得, 即在上恒成立． 故在上恒成立, 即当时,． 19.【答案】解：(1)由得,, 故,,曲线在点处的切线方程为. (2)由得. 当时，定义域为, 因为时,所以, 故的减区间为,无增区间; 当时，定义域为, 得,由得, 故的增区间为,减区间为. 综上所述，当时,的减区间为,无增区间; 当时,的增区间为,减区间为. (3)由得, 故,有两个不同零点等价于在有两个不同根. 令, 则,由得,由得, 故的减区间为,增区间为,极小值为. 当时，直线与的图象有两个交点, 故的取值范围是. 第1页 共1页 学科网（北京）股份有限公司 $