江苏苏州市2025～2026学年下学期八年级数学期末模拟卷二

**基本信息** 2025-2026年苏州初二数学期末模拟卷，以科技（飞船零部件检测）、文化（刘徽二次根式近似值）、生活（用电量增长）情境为载体，覆盖分式、几何、统计等知识，通过选择、填空、解答题设计，突出数学眼光、思维与语言的核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|分式、统计（如第2题普查应用）、二次根式|基础巩固，情境真实| |填空题|8/24|比例中项、因式分解、位似图形（第11题面积计算）|融入数学文化（第12题刘徽方法）| |解答题|11/82|几何证明（第20题折叠正方形）、统计图表（第21题实践作业调查）、综合探究（第26题影长探究）|分层设计，突出应用与推理（如第24题生产调度应用题）|

初二数学 期末考试模拟试卷（二） 2025~2026年第二学期苏州市期末考试模拟试卷（二） 初 二 数 学 2026.06 注意事项: 1.本试卷共27小题,满分130分,考试时间120分钟; 2.答题前,考生务必将自己的姓名、考点名称、考场号、座位号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在答题卡相应位置上,并认真核对条形码上的准考号、姓名是否与本人的相符; 3.答选择题必须用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案;答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水签字笔写在答题卡指定的位置上,不在答题区域内的答案一律无效,不得用其他笔答题; 4.考生答题必须答在答题卡上,保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破,答在试卷和草稿纸上一律无效. 1、 选择题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相应位置上. 1．下列分式是最简分式的是 A． B． C． D． 2．下列调查中，最适合采用普查的是 A．了解苏州市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 3．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是 A． B． C． D． 4．如图1所示，平整的地面上有一个不规则图案（图中阴影部分），小明想了解该图案的面积是多少，他采取了以下办法:用一个长为，宽为的长方形，将不规则图案围起来，然后在适当位置随机朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（小球扔在界线上或长方形区域外不计入试验结果），他将若干次有效试验的结果绘制成了图2所示的折线统计图，由此可估计不规则图案的面积大约是 （第4题图） A． B． C． D． 5．如图，亮亮同学把宽度相同的两把直尺（对边平行）交叉叠放在一起，重合的部分是四边形．转动其中一把直尺．下面说法错误的是（   ） A．在转动的过程中，四边形始终是菱形 B．在转动的过程中，四边形的面积不变 C．当转动至时，四边形的周长最小 D．在转动的过程中，四边形是轴对称图形 6．由于高端制造业、数字经济和新兴技术领域用电需求快速增长，2026年第一季度，深圳全社会用电量累计达到253.45亿千瓦时，1月用电量约为78.44亿千瓦时，2月、3月保持相同的增长率，设用电量的月平均增长率为x．根据题意，下列方程正确的是 A． B． C． D． （第5题图） （第7题图） 7．如图①，在矩形中，，对角线，相交于点O，动点P由点A出发，沿运动．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则边的长为 A．3 B．4 C．5 D．6 8．如图，矩形中，，，动点从点出发，沿着向点运动，同时动点从点出发沿向点运动，且，若其中一个动点到达终点，则两点同时停止运动．连接，将四边形以直线为对称轴进行翻折，得到四边形，则下列结论错误的是 A．若，则 B．若点在边上，则 C．若直线经过点，则线段、互相平分 D．点、两点间距离最小为（第8题图） 二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分。把答案直接填在答题卡相应位置上. 9．已知三条线段a，b，c，其中b是a，c的比例中项，如果，，则b的值 为 ▲ ． 10．因式分解： ▲ ． 11．如图，四边形与四边形是位似图形，点O是位似中心．若，四边形的面积是100，则四边形的面积为 ▲ ． 12．魏晋时期刘徽在《九章算术注》中提到了一种求二次根式近似值的方法：对于正整数k，若（其中a为正整数，整数），则当最小时，．用该方法计算的近似值为 ▲ ．（结果保留两位小数） （第13题图） （第14题图） 13．如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标点，，点，则的重心坐标为 ▲ ． 14．若关于的方程无解，则的值为 ▲ ． 15．（2019·常州中考·18）如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则 ▲ ．    （第15题图） （第16题图） 16．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在轴上，，点且为的中点，直线交轴于点，正方形沿直线平移得到正方形，当正方形与重叠部分的面积为面积的一半时，求的值 ▲ ． 三、解答题：本大题共11小题，共82分．把解答过程写在答题卡相应位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．作图时用2B铅笔或黑色墨水签字笔． 17．（本题满分3分） 计算：． 18．（本题满分3分） 解方程：． 19．（本题满分5分） 先化简，再求值：，其中a，b满足 20．（本题满分6分） 如图，四边形是一张矩形纸片．将其按如图所示的方式折叠：使边落在边上，点落在点处，折痕为；使边落在边上，点落在点处，折痕为． (1)证明：四边形是正方形； (2)若矩形与原矩形相似，．求的长． （第20题图） 21．（本题满分7分） 为了提高学生的数学实践能力，某中学开展了数学实践作业成果展示活动，每位同学只上交一项作业，作业项目包括：无字证明、数学园地设计、调查活动、测量、七巧板．为了解学生上交作业的情况，随机调查了若干名学生，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （第21题图） 根据统计图提供的信息，解答下列问题： (1)本次共调查的学生人数是 ▲ 人，请根据以上信息直接补全条形统计图； (2)在扇形统计图中上交“无字证明”作业的学生人数占 ▲ ； (3)求扇形统计图中表示上交“七巧板”作业的扇形圆心角的度数． 22．（本题满分8分） 如图，已知，分别是平行四边形的边，上的点，，连接，，，，． (1)求证：四边形是矩形； (2)设的面积为，的面积为．若，，，求点到边的距离． （第22题图） 23．（本题满分8分） 已知是关于的多项式，记为．我们规定：的导出多项式为，记为．例如：若，则的导出多项式． 根据以上信息，回答问题： (1)若，则它的导出多项式 ▲ ； (2)设是的导出多项式，已知是关于的二次多项式，，是关于的方程的两根，且，试求的值． 24．（本题满分8分） 某科技公司专注于智能制造，成功研发一款教学用智能机器人，接到了首批校园采购订单，订单数量为2400台．公司设有甲、乙两个自动化生产车间，甲车间每天生产的智能机器人数量是乙车间的2倍．先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务． (1)求甲、乙两个车间每天分别能生产多少台智能机器人； (2)首批订单完成后，公司接到后续采购需求，计划继续生产40天该款智能机器人，每天只能安排一个车间生产，如果安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍，要使这40天的智能机器人生产总量最大，那么应如何安排甲、乙两个车间的生产天数？ 25．（本题满分10分） 如图，和都是等腰直角三角形，，的顶点E与的斜边的中点重合．将绕点E旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点P，射线与线段相交于点G，与射线相交于点Q． (1)求证：． (2)当， ①求的长．②求的长． （第25题图） 26．（本题满分12分）（2026·苏州工业园区一模·27改编） 综合与实践：如影随形． 在“如影随形”项目研究中，小明和小亮进行了“路灯照射下的影长”的探究活动． （第26题图） (1)【探究1】 如图①，竖立的两根灯杆中，，小明的身高，他在两根灯杆之间走动．在灯A、灯C的照射下，出现了小明的影长恰好为的情况，此时能否求出灯杆的高度？若能，请直接写出灯杆的高度；若不能，请说明理由； (2)【探究2】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小亮的身高，他在两根灯杆之间走动，且点B、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小亮的影子全部落在地面上时，他的影长是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由； (3)【探究3】 如图②，竖立的两根灯杆之间的距离，，小明和小亮的身高，他们在两根灯杆之间走动（小明在小亮的左侧），且点B、F、H、D在同一条直线上．在灯A、灯C的照射下，当小明和小亮的影子全部落在地面上时，他们的影长分别是和． ①若点M、Q重合，请直接写出他们之间的距离； ②若点M、Q不重合，是否存在特殊的等量关系？若存在，请求出满足的等量关系；若不存在，请说明理由． 27．（本题满分12分）（2025·浙江中考数学24·改编） 在菱形中，对角线与交于点O． （第27题图） (1)如图1，若，求菱形的面积； (2)如图2，若E为延长线上一点，连接，将绕点D顺时针旋转至，连接，所在直线交延长线于点G，延长至点H，使得，I为延长线上一点，且，求证：． (3)如图3，若，E是延长线上的一点，连接，作与关于直线对称，交射线于点P，连接，求出的最大值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 试卷第2页，共4页 试卷第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年5月23日初中数学作业》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B D B B D D D 1．C 【分析】根据最简分式的定义：分子分母不存在公因式，无法约分的分式是最简分式，将各选项整理变形，判断能否约分即可得到结果； 【详解】解：A、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； B、，可以约分，不是最简分式，不符合题意； C、中，无法分解因式，分子分母没有公因式，不能约分，是最简分式，符合题意； D、，可以约分，不是最简分式，不符合题意． 2．B 【分析】根据普查的适用场景判断即可，普查结果准确，但成本较高，适合对精度要求极高，调查对象范围有限的调查． 【详解】解：A、调查对象为无锡市民，数量多范围广，适合抽样调查，不符合题意． B、飞船零部件关乎飞行安全，每个零件都需要检查，对精度要求极高，最适合采用普查，符合题意． C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合普查，不符合题意． D、调查对象为全国中小学，范围广数量大，适合抽样调查，不符合题意． 3．D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 4．B 【分析】根据折线统计图知，当实验的次数逐渐增加时，样本的频率稳定在0.35，因此用频率估计概率，再根据几何概率知，不规则图案的面积与矩形面积的比为0.35，即可求得不规则图案的面积． 【详解】p由折线统计图知，随着实验次数的增加，小球落在不规则图案上的频率稳定在0.35，于是把0.35作为概率． 设不规则图案的面积为xcm2，则有 解得：x=14 即不规则图案的面积为14cm2． 故选：B． 【点睛】本题考查了几何概率以及用频率估计概率，并在此基础上进行了题目创新，关键在于读懂折线统计图的含义，随着实验次数的增加，频率稳定于0.35附近，由此得实验的频率，并把它作为概率．这对学生知识的灵活应用提出了更高的要求． 5．B 【分析】设直尺宽度为，由直尺两边互相平行，得到四边形是平行四边形，再根据得到，平行四边形是菱形，据此逐个判断即可． 【详解】解：设直尺宽度为， ∵直尺两边互相平行， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是菱形，故A选项结论正确，不符合题意； 当转动至时，根据垂线段最短可得菱形边长最小值为，此时四边形的周长最小，故C选项结论正确，不符合题意； ∵菱形是轴对称图形， ∴D选项结论正确，不符合题意； 在转动的过程中，四边形的面积，长度会发生变化，则面积不是固定不变，故B选项结论错误，符合题意． 6．D 【分析】根据月平均增长率分别表示出2月、3月的用电量，再结合第一季度总电量为三个月用电量之和列方程，进而得到正确选项． 【详解】解：∵设月平均增长率为，已知1月用电量为 亿千瓦时， ∴2月用电量为 亿千瓦时， ∴3月用电量为亿千瓦时， ∵第一季度总用电量为 亿千瓦时，是三个月用电量的和， ∴可得方程． 7．D 【分析】过点作，垂足为，根据中位线定理，得，结合图象知，当点运动到点时三角形的面积最大，此时为，当点运动到点时，面积为0，即，构造一元二次方程求解即可． 【详解】解：如图，过点作，垂足为， ∵四边形是矩形， ， ， ， ∴， 根据图象知，当点P运动到点时三角形的面积最大， ∴，即， 当点运动到点时，面积为0，即， ， ∴是方程的两个根， 解得或， ， ． 8．D 【分析】A.结合矩形的判定方法和折叠的性质可判定四边形是矩形，由矩形的性质得，，设，则，即可求解； B. 同理可证四边形、是矩形，由矩形的性质得，，即可求解； C. 由等腰三角形的判定方法得，设，则，，由勾股定理得，，可求得，由判定，由全等三角形的性质即可判断； D.连接交于，连接、，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，是定点，，当运动到的中点时，运动到停止，的运动轨迹是以为圆心，长为半径的半圆，过作，当运动到时，取得最小值，结合相似三角形的判定及性质即可求解． 【详解】解：A.如图，当时， 四边形是矩形， ，，， 由翻折得，，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 同理可证， 设，则， ， ， 解得， ， 故此项正确，不符合题意； B. 点在边上时，如图， 同理可证四边是矩形， ， ， ， 故此项正确，不符合题意； C. 当经过点时，如图， 由折叠得， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， 解得（负值已舍去） ， ， ， ， ， ， （）， ，， 线段、互相平分， 故此项正确，不符合题意； D.如图，连接交于，连接、， 四边形是矩形， ， ， ， ， 是定点， ，当运动到的中点时，运动到停止， 的运动轨迹是以为圆心，长为半径的半圆， 过作， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 如图，当运动到时，取得最小值， 此时（）， 故此项错误，符合题意． 【点睛】根据具体运动情况画出图形，能利用矩形的性质、勾股定理、相似三角形的判定及性质、圆外一点到圆上一点的距离最值进行求解是解题的关键． 9．12 【分析】根据比例中项的定义可得，代入，的值计算，结合线段长度为正，即可得到的值． 【详解】解：线段是，的比例中项 将，代入得 线段长度为正数 10． 【详解】解：原式． 11． 16 【分析】根据题意得出四边形与四边形相似，，确定，得出四边形的面积：四边形的面积， 即可求解． 【详解】解：四边形与四边形是位似图形，点是位似中心， 四边形与四边形相似，， ， ， 四边形的面积：四边形的面积， 四边形的面积． 12．9.85 【分析】根据题干给出的近似计算方法，先将 改写为 的形式，确定使最小的正整数和整数，再代入公式计算即可得到结果． 【详解】解：由题意得，． ，． 将表示为，此时． 若取，则，． 因此取，， 代入近似公式，得： ． 13． 【分析】取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心，根据中点坐标公式可得，，利用待定系数法求出直线和的解析式，再求出两直线的交点坐标即可得解． 【详解】解：如图，取、的中点、，连接、交于点，则点是的重心， ，，， ，， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 则，解得：， 直线的解析式为， 联立，解得：， ，即的重心坐标为． 14．3 【分析】先将分式方程去分母化成整式方程，根据分式无解的定义得到关于m的方程，解方程即可求出m的值．本题考查了分式方程无解的条件，分式方程无解的条件是：去分母后所得整式方程无解或解这个整式方程得到的解使原方程的分母等于0． 【详解】解：∵， ∴， 两边同时乘以，得， 整理得， ∵关于的方程无解， ∴方程有增根，增根为， 把代入， 得， 解得． 15．6或 【分析】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作于，则，由矩形的性质得出， ，，得出，，证明，得出，求出，证出，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，求出，即可得出答案； ②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，设MN=PN=x，则FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作于，如图所示：    则， 四边形是矩形， ，，， ，， 点是的中点， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， ， ， 是等腰三角形且底角与相等，， ，， ， ， ， ， ； ②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示，    由①得：，， 设，则， 在中，， 解得：，即， 综上所述，MN的长为6或. 【点睛】本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键． 16．或 【分析】分两种情况讨论：①当点在线段上时，②当点在线段上时，结合正方形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质进行求解即可． 【详解】解：①当点在线段上时，如下图： 四边形是正方形，， ，，， 点且为的中点， ，， ， ， ， ， ， 即， ， ， 由平移得，，，， ， 在和中， ， ， ， 轴， ， ， 设，，则， 当正方形与重叠部分的面积为面积的一半时， 即四边形的面积， ， ， ，， ， ， 过点作于点， ， ， ； ②当点在线段上时，如下图： 同理可得， ，，， ，， 轴， ， ， 设，， 则，， 依题意得， 即， ， ， ， ， 则， ， 轴， ， 综上，或． 【点睛】本题考查的知识点是平移性质、正方形性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的实际应用，解题关键是利用分类讨论思想求解． 17． 【详解】解 ，，，， 将各项代入原式， 原式． 18． 【分析】本题考查解一元二次方程，通过换元法将方程转化为关于y的一元二次方程，因式分解后求解y，再代回解． 【详解】解：设，则原方程化为， 因式分解，得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ∴原方程的解为：． 19．， 【分析】本题考查分式的化简求值，非负性，先根据分式的混合运算法则进行计算，化简，再根据非负性求出的值，然后把的值代入化简后的结果，进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴， ∴， ∴原式． 20．(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据矩形的性质得到，，由折叠得，，即可证得四边形是正方形； （2）先根据折叠的性质与矩形性质，求得，设的长为x，则，再根据相似多边形性质得出，即，求解即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠得：，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴矩形是正方形； （2）解：由折叠可得：，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 设的长为x，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵矩形与原矩形相似， ∴，即， 解得：（负值舍），（必须写经检验） ∴． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，正方形的性质和判定，折叠的性质，相似多边形的性质，熟练掌握折叠的性质和相似多边形的性质是解题的关键． 21．(1)120，图见解析 (2)25 (3) 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效的获取信息是解题的关键： （1）用数学园地设计的人数除以所占的比例求出总人数，进而求出调查活动的人数，补全条形图即可； （2）用无字证明的人数除以总人数，求出百分比即可； （3）用360度乘以上交“七巧板”作业的人数所占的比例，进行计算即可． 【详解】（1）解：（人）； 上交“调查活动”作业的学生人数为，补全条形图如图： （2）解：； 故答案为：25 （3）解：； 答：扇形统计图中表示上交“七巧板”作业的扇形圆心角的度数为． 22．(1)见解析 (2) 【分析】（1）先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合，推出与平行且相等，判定四边形是平行四边形；再根据对角线相等的平行四边形是矩形，结合，证明它是矩形． （2）先由矩形性质和，证明；再利用相似三角形面积比等于相似比的平方，结合，得到与的数量关系；最后在中，用勾股定理列方程求出的长度，即为点到边的距离． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ，． ， ，即． ， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形． （2）解：由（1）知，四边形是矩形， ，， ． ， ， ． ， ， 的面积为，的面积为，， ， ， （负值已舍），即． 在中，设，， 则， 又， ， 解得，（舍）． ， 点到边的距离为． 23．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）①由题意易得，则有，然后进行求解即可； ②由题意易得，则有，然后根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【详解】（1）解：根据导出多项式的定义可知：； （2）由是关于的二次多项式，可知：，即， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ∵，是关于的方程的两根， ∴根据一元二次方程根与系数的关系可得：， ∵， ∴， 解得：． 24．(1)甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人 (2)要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天 【分析】（1）设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人，结合先由甲、乙两个车间共同生产完成1800台，剩余机器人再由乙车间单独完成，前后共用10天完成这批订单任务，再建立分式方程求解即可． （2）设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台，进一步利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设乙车间每天生产台智能机器人，则甲车间每天生产台智能机器人， 根据题意得，解得， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（台）． 答：甲车间每天生产240台智能机器人，乙车间每天生产120台智能机器人． （2）解：设安排甲车间生产天，乙车间生产天，这40天的生产总量为台， 根据题意，得，． ∵，∴随的增大而增大． ∵安排甲车间生产的天数不超过乙车间的3倍， ∴，解得， 由于天数不能为负数， ∴．． ∴当时，取得最大值，此时（天）． 答：要使这40天的生产总量最大，应安排甲车间生产30天，乙车间生产10天． 25．(1)见解析 (2)10 (3) 【分析】由和是两个等腰直角三角形，得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得； 由相似三角形的性质可求，可求，，即可求的长； 首先解，求出的长，再证明，进而解决问题． 【详解】（1）证明：和是两个等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ， （2）解：， ，且，， ， ， ， ，， ； （3）解：过点作于， ，， ， ， 在中，由勾股定理得，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查相似形综合题、等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 26．(1)； (2)； (3)①；②存在，或． 【分析】（1）根据垂直于同一条直线的直线互相平行，可得．由平行线可以推导出相似三角形；根据相似三角形对应边成比例，代入数据即可得出； （2）由题意得，利用相似三角形建立比例关系，根据相似三角形对应边成比例，推导的关系； （3）①利用相似三角形比例关系，结合线段和差，通过设未知数建立方程，最终求出； ②由（2）得，同理，分两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：能，理由如下： 由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将，代入上式得， 即， 整理得， 解得； （2）解：存在，、满足的等量关系为， 理由：由题意得，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，且， ∴， ∴； （3）解：①∵点M、Q重合， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 化简得， ∴， ∴； ②点M、Q不重合时，如图，点M在点Q左侧时， 同理，， 由（2）得， 同理， ∴， ∴； 如图，点M在点Q右侧时， 同理，， ∴； 综上，或． 27．(1)24 (2)见解析 (3) 【分析】（1）直接根据菱形的面积等于对角线乘积的一半计算即可； （2）由旋转得到，，又菱形的性质得到，，，进而得到．连接，可证得，得到，，由，，得到，再证，从而有，得到，再在菱形中，求得，即可得证结论； （3）由勾股定理得，根据，可求出，根据，且的值随着的值增大而增大，得到当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值．过点B作于M，作于点N，由菱形的面积可得，则由轴对称的性质可得，由勾股定理得，则当有最小值时，有最小值，由垂线段最短可知，故当点P与点T重合时，有最小值，最小值为，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：∵将绕点顺时针旋转至， ∴，， ∵四边形是菱形， ∴，，，平分和， ∴， ， ， ∴， ∴，即． 连接， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ， ∴． ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． ∵在菱形中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴在菱形中，， ∴． （3）解：∵在菱形中，，，， ∴在中，， 在中，， ∵， ∴ ， ∵，且的值随着的值增大而增大， ∴当有最小值时，有最小值，即此时有最大值，有最大值． 过点B作于M，作于点N， ∵， ∴， 又，即， ∴， ∴由轴对称的性质可得， ∵在中，， ∴当有最小值时，有最小值， ∵由垂线段最短可知， ∴当点P与点N重合时，有最小值，最小值为， ∴的最小值为， ∴的最大值为． 答案第18页，共29页 答案第19页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $