精品解析：黑龙江哈尔滨市第三中学校2026届高三下学期第四次学情自测数学试题

哈三中2026年高三学年第四次模拟考试 数学 注意事顶： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名､准考证号､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】全称量词的否定为改变量词，否定结论， 所以若命题为 ， 则命题的否定为 . 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 所以的虚部为. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 40 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为二项式展开式的通项公式为， 令，得，所以展开式中的常数项为. 4. 若随机变量，已知，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】D 【解析】 【详解】若随机变量服从二项分布，则其期望公式为 ， 而因为，所以 ，解得， 该随机变量的方差为 ， 因为，所以 . 5. 一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先通过侧面积求出斜高，再结合侧棱、斜高与棱台高的关系求出高，最后用正四棱台的体积公式计算即可. 【详解】设正四棱台上底边长为，则侧棱长，下底边长， 设正四棱台的斜高为，高为， 则一个侧面积为，所以， 又因为在正四棱台中，，即，解得， 所以， 所以. 6. 为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用给定的函数关系，先通过前2小时的过滤比例求出，再计算前4小时的剩余污染物比例，进而得到过滤掉的污染物占比. 【详解】由题意知，，因为前2小时过滤掉了污染物的， 则剩余污染物为，即，得， 则前4小时的剩余污染物量：， 即剩余污染物是，则前4小时过滤掉的污染物比例为. 7. 设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为是公差不为0 的等差数列，，所以，即， 所以. 8. 已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用三角形三边关系确定参数的取值范围，再结合余弦定理和三角形面积公式，通过二次函数求最值的方法即可得到面积的最大值. 【详解】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正实数满足：，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【详解】对于A选项， 因为，是正实数，所以 ，则， 又因为 ，所以， 故A选项正确. 对于B选项，根据基本不等式，， 已知 ，代入得， 两边平方得 ，即。 等号成立当且仅当 ，结合 ，解得，， 故B选项正确. 对于C选项， ， 则因为均为正实数，所以由基本不等式得， 所以， 故C选项错误. 对于选项D， 由选项B知，所以， 因此， 即， 故D选项错误. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个零点，至多有三个零点 B. 存在实数使得有且只有一个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若有三个零点，则在三个零点处切线斜率的倒数和为0 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，根据零点存在定理即可判断； 对于B选项，根据极值与导数的关系即可判断； 对于C选项，若点是曲线的对称中心，则 ，代入判断即可； 对于D选项，根据零点与函数值间的关系，代入求解即可. 【详解】对于选项A，三次函数 ， 当时，，当时，， 根据零点存在定理，至少有一个实零点。 而三次多项式在实数域上最多有3个不同的实根， 故A选项正确. 对于选项B，对于函数，求导得 ， 导数为二次函数，开口朝上，判别式， 当(即)时，导数有两个不同实根，函数有两个极值点； 当(即)时，导数值恒大于等于，函数在上单调递增，函数没有极值点， 因此不存在实数使得有且只有一个极值点， 故B选项错误. 对于选项C， ， 即 ， 故满足 ， 因此点是曲线的对称中心， 故C选项正确. 对于选项D，若，，是的三个零点，则, 求导得， 因此，，，， 当有三个零点时，函数有两个极值点且极值异号，因此三个零点都不是极值点， ，倒数存在， 所以， 则 ， 故D选项正确 11. 已知双曲线与直线有唯一公共点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的方程为 B. 若，则 C. 直线必经过的内心 D. 过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，则点的轨迹方程为 【答案】BCD 【解析】 【分析】A选项，根据双曲线在点的切线方程即可判断；B选项，结合双曲线定义和勾股定理进行求解；C选项，根据双曲线所具有的光学性质即可进行判断；D选项，通过设，求出垂线与坐标轴交点，再代入双曲线方程即可求得轨迹方程. 【详解】已知双曲线，则，所以， 渐近线方程为，因为双曲线与直线有唯一公共点， 所以是双曲线在点处的切线. 对于A：双曲线在点处的切线方程为：， 若，代入切线方程：，即，故A错误； 对于B：由，所以， 又因为，两边平方得：， 所以，故B正确； 对于C：根据双曲线的光学性质：双曲线上任意一点的切线，是该点与两个焦点所成角的角平分线.三角形内心是三角形三条角平分线的交点， 因为直线是过点的切线，所以必过的内心，故C正确； 对于D：因为切线的斜率为，故过点且与垂直的直线斜率为， 方程为：， 令，得A点横坐标，令，得B点纵坐标， 设，则，，即， 因为在双曲线上，故，所以，即， 因为，所以点的轨迹方程为，故D正确. 第II卷（非选择题，共92分） 二､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知向量与满足：，且，则与的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【详解】根据向量的计算，由， 而因为 ，所以 ， 由，得， ， 则，故与夹角为. 13. 现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有__________种. 【答案】12 【解析】 【详解】由题意知，第一天2人，剩下2人分到第二天和第三天，每天各1人， 第一步：从4名志愿者中选2人在第一天服务，安排方案有种， 第二步：剩下2名志愿者，要分配到第二天和第三天，且每天1人，安排方案有种， 根据分步乘法计数原理，安排方案共有 种. 14. 设数列的前项和为，已知，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据数列前项和的分段表达式求出数列的通项，再化简，将恒成立问题转化为求函数的最大值，进而得到的取值范围. 【详解】因为，所以当时，， 当时，若是偶数，则是奇数，所以； 若是奇数，则是偶数，所以， 综上， ， 当是奇数时，， 当是偶数时，， 因此，对所有，，故， 若对任意的恒成立，则， 令，则只需即可， 对连续函数求导，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 因此在处取到最大值，对应，即，所以. 三､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称轴方程； （2）若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）利用平方差公式、二倍角公式化简三角函数为正弦型形式，再由正弦型函数性质计算即可求得结果； （2）借助正弦函数最值求解参数，再求解三角不等式即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 令，所以， 所以的对称轴方程为. 【小问2详解】 由题意知，， 因为的最大值为1，即，所以， 由， 即，所以 ， 所以 ，即 . 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点，. （1）求证：； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】（1）以为坐标原点，为轴正方向，为轴正方向，为轴正方向建立空间直角坐标系. 由题意得各点坐标：，，，，， 为中点，故. 设，. ∵ ，， ∴ ， ∴ ，即. （2）. 【解析】 【分析】（1）建立如图所示的空间直角坐标系，根据线线垂直的向量判断可证垂直关系； （2）先根据线面平行的向量判断得的坐标，再根据向量法可求线面角的正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵ 平面， ，，. 设平面的法向量为， 则 ，即， 取，得. ∵ ， ∴ ， 解得，即. 此时. 设平面的法向量为， ，， 则，即， 令，得，，即. 设直线与平面所成角为， 则. 17. 已知函数. （1）设，讨论函数在上的单调性； （2）判断函数在上的零点个数. 【答案】（1）在上单调递减. （2）有唯一零点. 【解析】 【分析】（1）先对求导，再构造辅助函数二次求导判断导函数符号，从而确定在上的单调性； （2）连续三次求导逐层分析各阶导数的单调性与零点，结合端点函数值、零点存在定理锁定的单调区间，最终判断零点个数. 【小问1详解】 因为，则， 令，则， 当时，，即在上单调递减， 又因为，所以当时，，所以， 所以在上单调递减. 【小问2详解】 函数在上有唯一零点. 因为， 则， 令，则， 令，则， 当时，，所以在上单调递增， 因为，， 所以，使， 当时，，所以在上单调递减， 当时，，所以在上单调递增， 又，所以，使， 当时，，所以在上单调递增， 当时，，所以在上单调递减， 又，所以，使， 所以在上有唯一零点. 18. 如图1，圆上有一个动点，射线交圆于点，设点，其轨迹为曲线. （1）求动点的轨迹的方程； （2）如图2，过圆上的动点作曲线斜率为的两条切线，切点分别为，且与圆分别交于两点. （i）当时，求的值； （ii）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）（i） ；（ii）. 【解析】 【分析】（1）根据动点的运动规律，即可求解； （2）（i）联立曲线与直线方程，根据韦达定理得到坐标关系，代入求解即可； （ii）利用点的到直线的距离公式，表示出三角形面积，讨论即可. 【小问1详解】 ， . 【小问2详解】 （i）设 ，联立， ， ， 同理 ，是的两根， ，当时，. ， ， . （ii）设到直线的距离， ， ， 令 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最大值为. 19. 对于变量和变量，设获得的成对数据为，其中.在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 表1 对表1中数据作变换 得到了如下表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 表2 设样本相关系数为，当 时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强. 参考公式：；，. 参考数据：，. （1）证明： （2）分别求表1中的两个变量､表2中的两个变量的样本相关系数，并推断相关关系的类型（即正相关或负相关）和相关程度； （3）设关于的经验回归方程为，反之，关于的经验回归方程为. （i）由表1的实验数据，求经验回归方程和，并判断与在直角坐标系中的位置关系（计算结果精确到0.01）； （ii）对于实验中经过随机抽样获得的对数据 ，得到经验回归方程和，在线性相关程度较强的条件下，判断与对应的两条直线是否相交？若相交，请求出交点坐标，若不相交，请说明理由. 【答案】（1）证明如下：， 而因为，，所以 （2） ， ，相关类型为线性正相关，相关程度很强. （3）（i）相交；（ii）相交，交点坐标为 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ， ， 所以， 因为 所以， 则， 故, ， ∴相关类型为线性正相关，相关程度很强. 【小问3详解】 （i）， , 所以 与相交. （ii）因为在线性相关程度较强的条件下，有 过过， 过， 与 有公共点 假设两条直线重合，则 即, 所以，与 矛盾，所以两条直线相交. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2026年高三学年第四次模拟考试 数学 注意事顶： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名､准考证号､考场号､座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名､准考证号､考场号､座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一､选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知命题：“”，则为（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 在的展开式中，常数项为（ ） A. 40 B. C. 4 D. 4. 若随机变量，已知，则为（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 一个正四棱台的上底边长与侧棱长相等，且为下底边长的一半，一个侧面的面积为，则该正四棱台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 为实现国家“十四五”污水处理目标要求：城市污水处理率，某市污水处理厂升级了过滤系统.已知过滤过程中，污水中的剩余污染物数量与时间的关系为，其中为初始污染物数量，为常数.若在某次过滤过程中，前2小时过滤掉了污染物的，则可得到前4小时共能过滤掉污染物的（ ） A. B. C. D. 7. 设公差不为0的等差数列的前项和为，，则为（ ） A. B. C. D. 8. 已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（ ） A. 3 B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知正实数满足：，下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，下列说法正确的是（ ） A. 至少有一个零点，至多有三个零点 B. 存在实数使得有且只有一个极值点 C. 点是曲线的对称中心 D. 若有三个零点，则在三个零点处切线斜率的倒数和为0 11. 已知双曲线与直线有唯一公共点，下列说法正确的是（ ） A. 若，则直线的方程为 B. 若，则 C. 直线必经过的内心 D. 过点且与垂直的直线分别交轴､轴于两点，则点的轨迹方程为 第II卷（非选择题，共92分） 二､填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知向量与满足：，且，则与的夹角为__________. 13. 现有四名志愿者在端午节三天假期里到公园志愿服务，每人服务一天，那么在这三天里，公园每天都有志愿者服务且第一天有两名志愿者的安排方案有__________种. 14. 设数列的前项和为，已知，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是__________. 三､解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤） 15. 已知函数. （1）求的最小正周期及对称轴方程； （2）若函数的最大值为1，求使成立的的取值范围. 16. 如图，四棱锥的底面是矩形，平面，点是棱上的动点，点是棱中点，. （1）求证：； （2）若平面，求直线与平面所成角的正弦值. 17. 已知函数. （1）设，讨论函数在上的单调性； （2）判断函数在上的零点个数. 18. 如图1，圆上有一个动点，射线交圆于点，设点，其轨迹为曲线. （1）求动点的轨迹的方程； （2）如图2，过圆上的动点作曲线斜率为的两条切线，切点分别为，且与圆分别交于两点. （i）当时，求的值； （ii）求面积的最大值. 19. 对于变量和变量，设获得的成对数据为，其中.在某实验过程中，随机抽样获得了如下成对样本数据： 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 40 47 56 61 66 72 74 78 83 86 表1 对表1中数据作变换 得到了如下表2： 序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 -5 -30 -23 -14 -9 -4 2 4 8 13 16 -37 150 92 42 18 4 0 4 16 39 64 429 表2 设样本相关系数为，当 时，表明两个变量的线性相关程度较强，当时，表明两个变量的线性相关程度很强. 参考公式：；，. 参考数据：，. （1）证明： （2）分别求表1中的两个变量､表2中的两个变量的样本相关系数，并推断相关关系的类型（即正相关或负相关）和相关程度； （3）设关于的经验回归方程为，反之，关于的经验回归方程为. （i）由表1的实验数据，求经验回归方程和，并判断与在直角坐标系中的位置关系（计算结果精确到0.01）； （ii）对于实验中经过随机抽样获得的对数据 ，得到经验回归方程和，在线性相关程度较强的条件下，判断与对应的两条直线是否相交？若相交，请求出交点坐标，若不相交，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $