精品解析：黑龙江哈尔滨市第九中学校2025-2026学年高三下学期学情自测数学试卷

哈九中2025—2026学年度高三下学期 第四次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第I卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，结合，列出方程，即可求解. 【详解】当时，方程无解，即，满足； 当时，由方程，解得，即， 因为，可得或，解得或， 所以由实数组成的集合为. 2. 已知，若复数是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接将方程的根代入方程解得. 【详解】已知是方程的根，将代入方程：  ，， 即，解得. 3. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】利用正余弦的边角关系及三角恒等变换得到（或），即可得. 【详解】法一：由及正弦边角关系得，又， 所以，即， 由，则，且，即， 法二：， 综上，是直角三角形且，但不能确定的关系. 4. 已知，是空间中的两条直线，且直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据线面垂直的性质定理、线面平行的性质和线面垂直的定义，分别验证充分性和必要性. 【详解】 已知平面，若直线在平面内，此时满足，但不满足，因此充分性不成立； 若，根据线面平行的性质，内一定存在直线使得；又因为，可得，所以，因此必要性成立. 综上，“”是“”的必要不充分条件. 5. 已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】如图：由题有，由双曲线性质有， 所以.所以， 所以.又双曲线方程，则， 所以，则双曲线离心率. 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 根据条件先将原式变形为，然后结合所给范围求解出，则原式的取值范围可求. 【详解】原式分子和分母同时除以，得， 由条件得，所以，即， 所以，所以. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是将原式的分子分母同除，通过变形将问题转化为求的取值范围，从而结合所给范围进行求解. 7. 已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求出在上的范围，再结合函数的最值分、两种情况讨论. 【详解】当时，， 函数有最小值，则最值必在上取得，且其最小值小于等于， 若，则，得， 若，则，得， 则实数的取值范围是. 故选：D 8. 神经网络系统在人工智能研发中扮演关键角色．一种神经网络系统的工作原理如下：将一个正整数列输入系统，系统将相邻两项依次相加，再将得到的新数列输出——以上过程称为一个“阶段”，例如，输入 ，将输出 ；现向系统中输入个“”，将系统输出的结果再次输入系统，重复上述过程，总共经历个“阶段”的运算后，结果为一个正整数；若满足，则，的值分别为（ ） （参考数据：） A. ； B. ； C. ； D. ； 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意求出，利用的取值范围即可求出. 【详解】根据题意，当输入个“”时，会输出个“”，即第个“阶段”的结果是个“”， 因此第个“阶段”的结果是个“”，第个“阶段”的结果是个“”， 则第个“阶段”的结果是 个“”， 因此，要使结果为一个正整数，所经历的阶段数要满足 ，即，此时， 由于满足，即，都取对数可得， 已知参考数据，得 ，所以，解得， 因此，的值分别为 ，故A正确. 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若，则与相互独立 【答案】BC 【解析】 【分析】根据事件的包含关系，可判定A错误，根据互斥事件的概率加法公式，可判定B正确；根据相互独立事件的概率乘法公式，可判定C正确；根据条件概率和独立事件的判定方法，可判定D错误. 【详解】对于A，若，可得 ，所以A错误； 对于B，若与互斥，由互斥事件的概率加法公式， 可得 ，所以B正确； 对于C，若与相互独立，可得与也相互独立， 且， 则 ，所以C正确； 对于D，若，可得， 所以， 因为 ，所以 ， 所以与不相互独立，所以D错误. 10. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，，其中，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时， D. 三棱锥的外接球半径的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用表示出点的坐标，计算各个选项即可. 【详解】以为原点为轴，为轴，过点垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得：，，，， 设，则向量， 由长度条件：，即， 由与的夹角为， 得：，故； 由与的夹角为， 得， 故，因此， 代入(1)式：，即， 由于，此时，故， 通常取（点在底面上方），所以 故. 选项A：当时，，，可得：， 由，得不垂直于直线，故不垂直于平面，A错误； 选项B：当时，，， 则，， 所以，B正确； 选项C：由， 得， 化简得，又因为，所以，C正确； 选项D：设三棱锥的外接球的半径为， 三棱锥的外接球球心在过底面三角形外心的垂线上， 设球心，由得， 解得，半径平方， 由于，此时，故，故， 所以当时，，有，此时取到最小值， 故， D正确. 11. 数列满足，，现将数列按如图规律填入三角形中，第一行一个，第二行两个，第三行三个…以此类推，设三角形第行数字之和为，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A，由题设可得，再结合，得到，进而可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，进而求解判断即可；对于B，结合题意可得在图中，前行共有个数字，前行共有个数字，设数列的前项和为，可得，进而由求解判断即可；对于C，先验证，时式子成立，再利用放缩得到，进而结合裂项相消法求解判断即可；对于D，先验证，时式子成立，再利用放缩得到，进而结合裂项相消法求解判断即可. 【详解】对于A，由，得， 两式相减得，， 又，，则， 所以数列的奇数项是以1为首项，4为公差的等差数列，偶数项是以3为首项，4为公差的等差数列， 则数列是以1为首项，2为公差的等差数列， 所以，故A正确； 对于B，由题意，在图中，前行共有个数字， 则前行共有个数字， 设数列的前项和为，则， 所以，， 而满足上式，则，故B错误； 对于C，当时，；当时，； 当时，， 则 . 综上所述，，故C正确； 对于D，当时，；当时，； 当时，， 则 . 综上所述，，故D正确. 第II卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 已知一个物体在三个力，，的作用下处于静止状态，则 _________． 【答案】 【解析】 【详解】由题意，得， 则. 13. 已知函数在处取得极大值，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】求导，根据题意可得，计算可得或3，代入结合题意验证可解. 【详解】求导可得， 由题意可得，即，解得或3， 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 函数在处取得极小值，不符合题意舍去； 当时，， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增. 函数在处取得极大值，符合题意； 综上，. 14. 甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设为这6门课程中被选到的课程数量，则的数学期望为_________． 【答案】##4.5 【解析】 【分析】先求的分布列，再求的数学期望. 【详解】由题意，的可能取值为， 当时，甲乙选到相同课程的数量为3，， 当时，甲乙选到相同课程的数量为2，， 当时，甲乙选到相同课程的数量为1，， 当时，甲乙选到相同课程的数量为0，， . 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和与差的正弦公式展开，再利用辅助角公式化简为的形式，最后根据三角函数的性质可得的值； （2）利用正弦函数的单调性得，，求解即可； （3）利用整体思想，借助三角函数的图象与性质即可解不等式. 【小问1详解】 ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. 【小问2详解】 由（1）可知. 由， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，； 【小问3详解】 由，得，即. 所以，. 解得. 因此，成立的的取值范围是. 16. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试．应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）估计此次测试分数的平均值； （2）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （3）从成绩在与范围内的两组中，按比例分层抽取7人．现从此7人中随机抽取两人，已知抽取的两人中至少有1人的成绩在的范围内，求这两人的成绩都在范围内的概率． （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 【答案】（1）55 （2）160，63分应聘者成绩进入 范围内，72分应聘者成绩没有进入范围内 （3） 【解析】 【分析】（1）利用给定的频率分布直方图估计平均数. （2）利用频率分布直方图及方差的定义估计方差，再进行判断. （3）利用条件概率公式求解. 【小问1详解】 各组的频率依次为0.15，0.2，0.3，0.2，0.15， 所以此次测试分数的平均值 . 【小问2详解】 依题意 ， 因此，，而， 所以63分应聘者成绩进入 范围内，72分应聘者成绩没有进入 范围内. 【小问3详解】 在内抽 人，在内抽 人， 设“抽取的两人成绩均在内”为事件A，则“抽取的两人成绩至少一人在内” 为事件，设“抽取的两人成绩均在范围内”为事件B，， 则，，， 所以. 17. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）相交， 【解析】 【分析】（1）只要证明即可； （2）用向量数量积计算二面角余弦值； （3）延长、交于点，即是直线与平面交点，解直角三角求即可． 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，平面, 又因为，所以，所以平面． 【小问2详解】 因为，所以，再由（1）知、、两两垂直， 建系如图，,0,,,0,,,0,,,4,,,2,， ,0,,,4,,,2,， 设是平面的法向量， 由，可得，取，则,1,， 设是平面的法向量， 由，可得，取，则,0,， 因为二面角为锐角，所以二面角的余弦值为． 【小问3详解】 由,0,,,,,得,,， 因为， 所以直线与平面不平行，所以直线与平面相交， 在四边形中延长、交于点， 因为平面，所以平面， 点是直线与平面的交点， 因为，是中点，所以，所以， 所以． 18. 设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； （3）直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 【答案】（1） （2） （3），定值为 【解析】 【分析】（1）根据题意列出等式即可求解； （2）根据题意求出过点的两条切线，利用弦长公式即可求解； （3）联立直线与抛物线，根据得到直线经过定点，再根据直线得到动点的运动轨迹即可求解. 【小问1详解】 设，由 ，可得 ，通分可得，解得， 所以曲线的方程为：. 【小问2详解】 如图所示，设点，过的切线为， 联立得 ，由，，得， 所以切线方程为，代入得， 同理，抛物线在处切线方程：， 切线过得，直线的方程为， 联立得所以，， . 【小问3详解】 如图所示，设直线的方程为，设，， 联立抛物线方程可得：，由韦达定理得：，， ，， 由 得： 得 ， 所以 化简得： ， 直线方程为： 即恒过定点：， 直线，且恒过定点，所以 ． 动点的运动轨迹是以线段为直径的圆，圆心即为线段的中点，， 所以平面内存在定点，使得为定值，定值为． 19. 已知函数，． （1）讨论函数的零点个数； （2）证明：当，时，． 参考数据： 【答案】（1）①当时，方程无实根，无零点；　　 ②当时，方程有唯一实根，有1个零点；　　 ③当时，方程有两个不同实根，有2个零点；　　 ④当时，方程有唯一实根，有1个零点． （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）讨论的单调性，再结合最低点与0的关系分析零点个数即可. （2）先证明，再利用 得到，进而证明. 【小问1详解】 令，则函数的零点等价于方程的实数根． 令，得． 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增． 又时，且小于0；时，；时，．　　 ①当时，方程无实根，无零点；　　 ②当时，方程有唯一实根，有1个零点；　　 ③当时，方程有两个不同实根，有2个零点；　　 ④当时，方程有唯一实根，有1个零点． 【小问2详解】 当，时，即证： 由（1） ，得， 所以只需证：　　 设 ①当时， 　　 由（1）知 ， 此时 　　 ②当时， 令，则，在上单调递增， 故 　　 ，所以在上单调递增．　　 所以 . 综上，当，时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈九中2025—2026学年度高三下学期 第四次模拟考试数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分共2页） 第I卷（共58分） 一、单选题（共8小题，每小题5分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 设集合，，若，则由实数组成的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，若复数是方程的根，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 在中，已知，则的形状为（ ） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 4. 已知，是空间中的两条直线，且直线平面，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知点是双曲线的右焦点，是坐标原点，以为直径的圆与双曲线的一条渐近线交于点，若的面积为5，则该双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，若函数有最小值，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 神经网络系统在人工智能研发中扮演关键角色．一种神经网络系统的工作原理如下：将一个正整数列输入系统，系统将相邻两项依次相加，再将得到的新数列输出——以上过程称为一个“阶段”，例如，输入 ，将输出 ；现向系统中输入个“”，将系统输出的结果再次输入系统，重复上述过程，总共经历个“阶段”的运算后，结果为一个正整数；若满足，则，的值分别为（ ） （参考数据：） A. ； B. ； C. ； D. ； 二、多选题（共3小题，每小题有多个选项符合题意，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知事件，满足，，则（ ） A. 若，则 B. 若与互斥，则 C. 若与相互独立，则 D. 若，则与相互独立 10. 在平行六面体中，底面是边长为1的正方形，侧棱，，其中，则（ ） A. 当时，平面 B. 当时， C. 当时， D. 三棱锥的外接球半径的最小值为 11. 数列满足，，现将数列按如图规律填入三角形中，第一行一个，第二行两个，第三行三个…以此类推，设三角形第行数字之和为，则下列正确的为（ ） A. B. C. D. 第II卷（共92分） 三、填空题（共3小题，每小题5分） 12. 已知一个物体在三个力，，的作用下处于静止状态，则 _________． 13. 已知函数在处取得极大值，则_________． 14. 甲、乙两同学分别从6门选修课程中任意选取3门，设为这6门课程中被选到的课程数量，则的数学期望为_________． 四、解答题（共5小题，总计77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知函数的最大值为1， （1）求常数的值； （2）求函数的单调递减区间； （3）求使成立的的取值集合. 16. 某科技公司在招聘人工智能工程师的选拔过程中，对200名应聘者进行专业技能测试．应聘者的测试分数全部介于30分到80分之间，公司将所有分数分成5组：，，…，，整理得到如图所示的频率分布直方图（同组数据以这组数据的中间值作为代表）． （1）估计此次测试分数的平均值； （2）试估计这200名应聘者的分数的方差，并判断此次得分为63分和72分的两名应聘者的成绩是否进入到了范围内？ （3）从成绩在与范围内的两组中，按比例分层抽取7人．现从此7人中随机抽取两人，已知抽取的两人中至少有1人的成绩在的范围内，求这两人的成绩都在范围内的概率． （参考公式：，其中为各组频数，参考数据：）． 17. 如图，梯形，所在的平面互相垂直，，，，，，点为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； （3）判断直线与平面是否相交，如果相交，求出到交点的距离；如果不相交，求直线到平面的距离． 18. 设两点的坐标分别为，，直线相交于点，且它们斜率的倒数之差是．记点的轨迹为曲线． （1）求曲线的方程； （2）设点，过点向曲线作两条切线，切点分别为，求； （3）直线与曲线交于不同两点，满足，过坐标原点向直线作垂线，垂足为，求一定点，使得为定值， 19. 已知函数，． （1）讨论函数的零点个数； （2）证明：当，时，． 参考数据： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $