精品解析：黑龙江哈尔滨市第三中学校2026届高三考前预测数学试题

哈三中2026年高三学年第三次模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数 满足，则 的实部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题可知，，则 的实部为2． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式不等式及一元二次不等式的解法求解，再根据并集的定义即可求解． 【详解】由题知， 所以． 3. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质，可得，根据条件，求出的值，计算求解，即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 又，联立解得或， 又单调递增，则，所以， 则，解得. 4. 已知的平均数为，方差为2，则的方差为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平均数和方差的计算公式计算. 【详解】由已知，， 所以，， 故选：B. 5. 如图， 中，点是线段 上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三等分点的向量关系，先将通过和分解，再把用表示、用与表示，通过线性运算整理出关于的表达式，进而得到系数和，最后计算的值． 【详解】由点是线段 上靠近的三等分点，得， 由点是线段上靠近的三等分点，得， 所以 ， 由，得，， 所以． 6. 某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（ ）（单位：米） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆柱的体积公式，圆的周长公式以及利用导数和二次函数性质求最值. 【详解】设圆柱的底面半径为 米， 则底面周长，两个底面的总周长为. 钢筋总长为，所以用于做母线的钢筋总长度为：, 母线共有 段，所以圆柱的高为:, 圆柱的体积, 对进行求导：,令 得(舍),, 当时，此时，圆柱体积最大. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据条件及诱导公式，结合二倍角的余弦公式，可得，根据的范围，分析即可得答案. 【详解】由题意， 又，所以， 由，得， 所以. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为、， 为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的性质，利用已知面积关系推出，从而得出 即为通径，结合已知条件求出的关系，进而利用求出的关系，从而求解离心率． 【详解】 椭圆的左、右焦点分别为， ， ， ，， ， ，故轴， 是椭圆的通径，即， ， ，故， ，解得，即， ． （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，函数的值域为 D. 的图象是由的图象先将各点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到的 【答案】AC 【解析】 【分析】由函数的最值可得A值，根据周期公式可得值，可判断A；代入特殊值分析求解，可得值，即可得的解析式可判断B；根据x的范围可得的范围，结合正弦函数的性质得的值域，即可判断C；根据图象平移、伸缩变换的方法，整理化简，可判断D. 【详解】由图象得，的最大值为2，最小值为，所以， ，解得，则，故A正确； ，所以， 因为，所以令，则，所以， 则，故B错误； 当时，， 所以当时，有最小值， 当时，有最大值1，则函数的值域为，故C正确； 将的图象先将各点的横坐标变为原来的，得， 再向左平移个单位长度，得，故D错误. 10. 已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 设数列满足，则的最大项为 C. 设数列的前项和为，则 D. 设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，变形得到，得到通项公式；B选项，，B错误；C选项，错位相减法求和得到C正确；D选项，变形后，分为奇数和偶数两种情况，得到，解不等式，得到答案 【详解】A选项，，即， 故， 又，故，所以，A正确； B选项，， 显然，，，的最大项不为，B错误； C选项，，则①， ②， 式子①-②得， 所以，C正确； D选项，， ， 若为偶数，则， ，即，解得且为偶数， 故且为偶数， 若为奇数，则， ，即，解得且为奇数， 故且为奇数， 综上，若，则正整数的最小值为1012，D正确. 11. 已知，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若在上单调递增，则 C. 对任意，都有 D. 若过点可以作曲线的两条切线，则 【答案】ACD 【解析】 【详解】由，可得， 则，即， 所以. 对于A，由，可得.故A正确. 对于B，因为， 则.若在上单调递增， 则在上恒成立，则有，即在上恒成立. 而，则得，故B错误. 对于C，因为，所以. 则，且，则为下凸的递增函数. 如图所示： 则对任意，都有成立.故C正确. 对于D，设切点，因为，， 则有，解得. 若过点可以作曲线的两条切线，即有两不等实数解. 设，则， 由，即，解得， 所以为上的增函数，为上的减函数. 而当时，；极大值为； 当且时，；当时，. 如图所示： 所以有两不等实数解，只需.故D正确. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知函数为奇函数，则 ________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义，代入计算，即可求解. 【详解】因为函数为奇函数，则 因为 ， 所以， 则， 解得. 13. 已知圆，过点作圆的切线 ，则 的方程为________. 【答案】或 【解析】 【分析】先把圆的方程化为标准方程，求出圆心和半径，分类讨论切线斜率存在与不存在两种情况，当斜率存在时，写出切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径，解出斜率，然后可得切线方程. 【详解】因为圆的方程可以化为，所以其圆心为，半径为 ， 当切线斜率存在时，设切线的方程为，即， 所以有，解得，所以切线的方程是或， 当切线斜率不存在时，，此时圆心到直线距离为5，不与圆相切，. 所以 的方程为或. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用独立重复试验的概率公式计算；分析与的递推关系建立递推式，通过构造等比数列的方法求解通项公式，进而代入计算. 【详解】每次抛骰子，事件发生的概率，不发生的概率为； 抛2次，发生奇数次即恰好发生1次，由二项分布概率公式：， 次中发生奇数次，可分为两种情况：① 前次发生偶数次，第次发生； ② 前次发生奇数次，第次不发生， 因此：， 所以，所以是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 所以. 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 外接圆的半径为，且. （1）求； （2）角的平分线交 于点，且，求 的周长. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理和三角恒等变换，特殊角的三角函数值得到，由正弦定理可得； （2）根据三角形面积和余弦定理可得方程组，联立可得，求出三角形周长 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， 即， ， 又，，， 所以，，， 因为，所以，故，解得， 外接圆的半径为，由正弦定理得， 所以， 【小问2详解】 ，故， 由三角形面积公式可得， ，， ，即，， 在 中，由余弦定理可得， 即，故， 因为，所以，解得或 （舍去）， 故 的周长为. 16. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课. （1）求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率； （2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为 ，不在对应项目工坊授课的传承人数为 . （ⅰ）求随机变量 的分布列； （ⅱ）求，并说明X，Y之间的线性相关关系. 【答案】（1） （2）（ⅰ） 0 1 2 4 （ⅱ）， 与 之间具有负相关关系 【解析】 【分析】（1）在剪纸传承人已固定的条件下，将问题转化为古典概型，结合条件概率即可求解； （2）（ⅰ）利用组合选人结合错位排列的思路即可求解；（ⅱ）由题意得，将协方差转化为，结合随机变量的方差公式即可求解. 【小问1详解】 设“剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课”为事件A， “皮影项目的传承人不在皮影工坊授课”为事件B， 剪纸项目的传承人在剪纸工坊，剩下3人全排列，即， 皮影项目的传承人只能在除剪纸项目与皮影项目剩下的2个项目中选1个，即， 剩下2人全排列，即，所以， 所以. 【小问2详解】 （ⅰ）由题意得总分配方案数为，设4人为1，2，3，4，对应的工坊为, 当时，4人都在自己对应的工坊，只有1种情况， 即， 当时，从4人中选2人在对应工坊，有种选法， 剩下两人都不在对应工坊，只有1种排法，共有种排法， 即， 当时，从4个人中选1人在对应工坊，有种选法， 剩下三人必须不在对应的工坊，不妨设剩下的3人为， 1不在，只能在 中选，有种选法， 只能调换位置，有1种排法，共种排法， 即， 则， 随机变量 的分布列如下： 0 1 2 4 （ⅱ）由题意得， 由上可得， ， 则， ， 则 因为协方差为负数，由题意得随机变量 与 之间具有负相关关系. 17. 已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． （1）求双曲线的方程； （2）已知过点的直线 ：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上． 【答案】（1） （2）（i）的取值范围为； （ii）证明：，，则， 直线的方程为①，直线 的方程为②， 联立①②得，所以， 化简得， 所以， 所以点 的横坐标始终为 ，故点 在定直线 上． 【解析】 【分析】（1）根据求出或，验证后不符合题意舍去，然后求出，得到双曲线方程； （2）（i）由题意知，直线 的方程为，设，，联立双曲线和直线方程，结合根的判别式和得到不等式组，从而求出的取值范围； （ii）在（i）的基础上，得到两根之和，两根之积，得到，表达出直线与直线 的方程，联立得到，将代入，化简得到 即可得证． 【小问1详解】 由题意可知，，， 因为，解得或， 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，不满足题意； 若，则双曲线的方程为， 因为是上一点，所以，解得，满足题意； 所以双曲线的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）由题意知，直线 的方程为，设，， 联立，化简得， 因为直线 与双曲线左右两支相交，所以， 所以，解得或， 所以的取值范围为； （ⅱ）略 18. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直底面于 ，且 在 内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 【答案】（1）证明如下： 因为 ， 所以，即． （2）（ⅰ）， （ⅱ）证明如下： ， 已知存在两个不同的锐角，使得， 设， 则， 锐角，是两个不同的锐角，则符号相反， ，即， 化简整理得， ，，为锐角，则， ． 【解析】 【分析】（1）利用基底法表示向量，结合已知条件求出向量的数量积，利用数量积为0证明结论； （2）（ⅰ）建立空间直角坐标系，结合已知条件求出相关点和向量坐标，根据投影偏差率定义求解，求出相关平面法向量，利用向量夹角余弦公式计算求解；（ⅱ）根据投影偏差率定义结合（ⅰ）化简，利用“存在两个不同的锐角，使得”的条件构造方程，进而求出，证明结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点， 为 轴， 为 轴，过A垂直于面的直线为 轴， 建立下图所示空间直角坐标系， 则， （ⅰ）已知，，， 则，故， 已知与、所成角分别为、， 则， 则， ，则， ， ， 设平面的法向量为，则， 令，则， 平面的法向量可取， 设平面与平面夹角为，则 ； （ⅱ）略 19. 已知，，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若对恒成立，求整数的最大值； （3）令，对于，当时，恒成立，求实数的最小值. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用得到数列的通项公式． （2）首先根据必要性，不等式代入几个特殊的 ，得到整数的最大值， 再证明此时不等式恒成立． （3）首先关于对取最小值，然后对因式分解，求出零点， 得到实数的最小值． 【小问1详解】 时，，得 时，， 解得， 时，也满足． 综上，，． 【小问2详解】 ，即， 由必要性， 时不等式成立，得，故整数最大值为 ． 下证时，对恒成立． ． 对于，取最小值，故． 又，故． 综上整数最大值为 ． 【小问3详解】 ． ． 时，最小，记为， 观察得，故， 的零点为（二重），，． 故实数的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 哈三中2026年高三学年第三次模拟考试 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的姓名、准考证号、考场号、座位号及科目，在规定的位置贴好条形码. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、选择题（共58分） （一）单项选择题（共8小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知复数 满足，则 的实部为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知递增的等比数列满足，，则的公比（ ） A. 5 B. 3 C. D. 4. 已知的平均数为，方差为2，则的方差为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，点是线段上靠近的三等分点，点是线段上靠近的三等分点，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 某乡村振兴项目计划建造一个圆柱形粮食储存仓的钢筋骨架，用于存储当地特色农产品.现有总长度为240米的钢筋，需截成10段制作骨架.其中两段分别围成圆形作为上下底面的钢筋圈，剩余8段作为粮食储存仓的竖向支撑筋.此粮食储存仓体积最大时，底面半径的值为（ ）（单位：米） A. B. C. D. 7. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 8. 设椭圆的左、右焦点分别为、， 为坐标原点，过的直线与椭圆交于A，B两点，若，的面积是面积的4倍，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. （二）多项选择题（共3小题，每小题6分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 当时，函数的值域为 D. 的图象是由的图象先将各点的横坐标变为原来的，再向左平移个单位长度得到的 10. 已知数列满足，，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. 设数列满足，则的最大项为 C. 设数列的前项和为，则 D. 设数列的前项和为，若，则正整数的最小值为1012 11. 已知，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若在上单调递增，则 C. 对任意，都有 D. 若过点可以作曲线的两条切线，则 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 二、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分.将答案填在答题卡相应的位置上） 12. 已知函数为奇函数，则 ________. 13. 已知圆，过点作圆的切线 ，则 的方程为________. 14. 抛掷一枚质地均匀的骰子（六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6），向上的点数为1记为事件，抛掷次后事件发生奇数次的概率记为，则______，______. 三、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，外接圆的半径为，且. （1）求； （2）角的平分线交于点，且，求的周长. 16. 为传承中华优秀传统文化，丰富校园文化生活，哈三中举办“非遗文化进校园”主题活动，现有来自剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗项目的传承人各1名，安排到剪纸、皮影、刺绣、泥塑4个非遗体验工坊进行授课，要求每个工坊安排1名传承人，每名传承人仅在一个工坊授课. （1）求在剪纸项目的传承人在剪纸工坊授课的条件下，皮影项目的传承人不在皮影工坊授课的概率； （2）在概率论和统计学中，常用协方差来描述两个随机变量之间的线性相关程度，给定离散型随机变量X，Y，定义协方差为.如果协方差为正，说明两个随机变量具有正相关关系；如果协方差为负，说明两个随机变量具有负相关关系；如果协方差为零，说明两个随机变量在线性关系上不相关.在参与授课的4名传承人中，记在对应项目工坊授课的传承人数为 ，不在对应项目工坊授课的传承人数为 . （ⅰ）求随机变量 的分布列； （ⅱ）求，并说明X，Y之间的线性相关关系. 17. 已知分别是双曲线：的左、右顶点，点是双曲线上的一点，且． （1）求双曲线的方程； （2）已知过点的直线 ：，交双曲线的左、右两支于两点（异于）. （ⅰ）求的取值范围； （ⅱ）设直线与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上． 18. 如图，在斜三棱柱中，，，侧棱，，，其中为锐角． （1）当时，求证：； （2）定义：过点作垂直底面于 ，且 在 内部，记与、所成角分别为、，称为斜三棱柱的投影偏差率． （ⅰ）当时，求斜三棱柱的投影偏差率（不需证明），并求此时平面与平面夹角的余弦值； （ⅱ）关于的函数解析式记为，若存在两个不同的锐角，使得，求证：． 19. 已知，，满足. （1）求数列的通项公式； （2）若对恒成立，求整数的最大值； （3）令，对于，当时，恒成立，求实数的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $