2026年普通高等学校招生押题考试数学试题1-【伯乐马】2026年高考押题卷

姓名 绝密★启用前 准考证号 2026年普通高等学校招生伯乐马押题考试（一） 数学 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知函数fx)=2sim(x一)，则f(x)的一个对称中心为 A.(0) E.(.0) c肾 D(悟o 2.设全集U={x∈Zx≤2}，集合A={-1,0,2},B={一2,0,1}，则AU(CB) A.{-1,2} B.{-1,0,2} C.{-2,0,1} D.{-1,0,1,2} 3.函数f(x)=x3一27x的极大值点为 A.(-3,54) B.(3,-54) C.-3 D.3 4.已知圆心为O,半径为1的圆上有不同的三个点A,B,C,其中OA·OB=0,存在实数 入4满足OC+入OA+uOB=0,则实数入，4的关系为 A.入十u=1 1 C.λu=1 D.入2+42=1 5.设函数f(x)的定义域为R,且f(x)为偶函数，f(2x+1)为奇函数，则下列式子中一定 成立的是 A.f(-1)=0 B.f(0)=0 C.f(2)=0 D.f(4)=0 6.在数学史上，为了三角计算的简便和精确，曾经出现过下列两种三角函数：定义1一cos0 为角0的正矢，记作versin0,定义1-sin9为角9的余矢，i记作coversin0.若oversin- versing-1 =2,则sin20= A-号 B、2 c 号 7.数列{an}为各项均为正数的等比数列，k、l、s、t为正整数，则“十>s十t”是“a·a1> a,·ar”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 伯乐马·数学押题（一）·第1页（共4页） 8.已知椭圆C:乙+1(@>b>0)的左右焦点分别是F和F,过F,的直线交 BP 于P,Q两点，△PQF1的内切圆分别与PF1,PQ相切于A,B两点，若 BQ 2 F1A=a,则椭圆的离心率为 A号 C 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知之1、之2为非零复数，则下列选项中一定正确的是 A若|1|=之2|，则21=之2 B.x1·之2=之1·22 c) D.之1·之2十之2·21=0 之2 10.将n个半径为1的小球放人棱长为a的正方体形的容器内（容器壁厚忽略不计），则 A.当n=1,a=2时，球心一定为正方体的中心 B.当n=1,a=3时，正方体的一个顶点到球心距离的最大值为33一√2 C.当m=2时a的最小值为2+2 3 D.当n=4时，4个球两两相切地粘在一起的组合体可在正方体内任意滚动，则a的最 小值为2十√6 11.已知曲线C:(xy|-1)(x2-y2|-2)=0,则 A.曲线C上任一点到原点的距离的最小值为√2 B.曲线C恰有八条对称轴 C.过点(0,1)的任意一条直线与曲线C的公共点个数均为偶数 D.曲线C所围成的封闭图形的面积S满足2π<S<8 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.(2十x)(1一x)4的展开式中x2的系数为 13.某厂生产了40000件产品，现对其质量进行测评，规定质量指标值不小于80就认为质 量测评合格.现从这批产品的测评数据中随机抽取100件产品的质量指标值x:(i=1, 100 1 2,3,…,100).经计算∑x:=9400,∑x=100×(94+49).若该批产品的质量指标 值近似服从正态分布N(,σ2)，则估计该批产品中质量测评合格的产品件数为 参考数据：若随机变量X服从正态分布N(μ，o2),则P(u-o≤X≤4十σ)≈0.6827， P(H-2o≤X≤4+2o)≈0.9545，P(-3o≤X≤H+3o)≈0.9973 14.已知函数f(x)= e-e ,设xg<x1<x2<…<xm-1<xn(n≥2，n∈N+), 若∑f(:)-f(x)|≤M恒成立，则M的最小值为 伯乐马·数学押题（一）·第2页（共4页） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且4 acosB+4 bcosA+3 ctanC=0, a=b=√5. (1)求c的值以及△ABC的面积； (2)已知点M在线段AB上，若CMi=AC+rC,且∠ACM=牙，求产的值. 16.(15分) 针对近年兴起的人工智能应用热，某高中准备开设人工智能应用学习班，在全校范围 内采用简单随机抽样的方法，分别抽取了男生和女生各100名作为样本，调查学生是否喜 欢人工智能应用，经统计得到了如图所示的等高堆积条形图. (1)根据等高堆积条形图，填写下列2×2列联表，并依据α=0.010的独立性检验，推 断是否可以认为该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用有关联； 是否喜欢人工智能应用 性别 合计 是 否 男生 女生 合计 (2)已知该校男生女生人数之比为4：5，将样本的频率视为概率，现从全校学生中随 机抽取1名学生，已知该生喜欢人工智能应用，求该生为女生的概率. 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 参考公式：X= n (ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(6+d:其中n=a+b+c+d. 1.00 0.75 0.55 0.00 男生 女生 ☐不喜欢 □喜欢 伯乐马·数学押题（一）·第3页（共4页） 17.(15分) 把一副三角板按如图所示的方式拼接，其中AB=AC=2√6，∠BAC=∠BCD=90°， ∠CBD=30°，将△ABC沿BC翻折至△PBC,使得二面角P一BC-D为直二面角. (1)证明：PB⊥平面PCD; (2)求点C到平面PBD的距离； (3)在线段PD上是否存在点E,使得平面BCE与平面PCD所成角的余弦值为 W/14 PE 28?若存在，求出P品的值：若不存在，请说明理由。 18.(17分) 已知函数f)=ax+bx+2cor,f'(x)为fx)的导函数，曲线y=厂a)关于 点（π，0）对称. (1)求6的值： (2)Hx∈R,f'(x)≤-1x 十恒成立： (ⅰ)求b的值并探究f'(x)的零点个数； (i)若fm)=f),且m<受<，证明：x<m+≤2x。 19.(17分) 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,其准线与x轴的交点为D,抛物线C上 存在点E满足EF=DF,且S△FD=2. (1)求C的方程； (2)记Qn(22-」，0)(n∈N*),过F的直线交C于A1,B1,在抛物线C上按如下方式 构造点列An,Bn:连接AQn,BnQn分别交C于另一点Bm+1,Am+1· (ⅰ)设直线AnBn与x轴交点的横坐标为pm,求数列{pn}的通项公式； (ⅱ)O为坐标原点，若△OAnB,的外接圆与抛物线C交于第四点Cm,试证明： △ABCn的重心在x轴上，且在Qn-1的右侧. 伯乐马·数学押题（一）·第4页（共4页）2026年普通高等学校招生伯乐马押题考试（一） 数学答题卡 姓 名 准考证号 考场 号 00 0000 0000 座位号 ①刀和刀和刀刀刀I 2222☒22222 3 333333 33 4④ 4④444 444 ④ ④ 贴条形码区 55 5151511 515 ® 66666 6] 6 6 工刀工口刀 刀 刀 (切勿贴出虚线框外)》 888888888 9I999999999 缺考标记▣ (填涂说明：缺考考生由监考员贴条形码，并用2B铅笔填涂左边缺考标记) 选择题 1 AB] C]D] 6IB© 11ABC可 2 A C D 7 A BC] D 3 B D 8AIB© D A © gAIB© 5 A][B]C D] 10 A][B][C]D 非选择题 12 13. 14. 空白区域 请勿答题 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 15. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 16. 是否喜欢人工智能应用 性别 合计 是 否 男生 女生 合计 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 17. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 ■ 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 18. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效 19. 请在各题目的答题区域内作答，超出矩形边框限定区域的答案无效2026年普通高等学校招生伯乐马押题考试（一）》 数学试题答案及评分参考 1.答案：A 令x一 =kπ，k∈乙，得x=kx十君k∈Z: 当k=0时，x=否，此时对称中心为（答，0）： 六fx)的一个对称中心为（后0： 2.答案：B U=x∈Z|x|≤2}={-2，-1,0,1,2}，A={-1,0,2},B={-2,0,1}, 所以CB={-1,2},所以AU(CB)={一1,0,2}. 3.答案：C 由函数f(x)=x3-27x,可得f'(x)=3x2-27=3(x十3)(x-3), 当x<-3或x>3时，可得f'(x)>0:当-3<x<3时，f'(x)<0, 所以f(x)在(-0，一3)，(3，十0)递增，在（一3,3）递减， 所以x=一3是函数f(x)的极大值点. 4.答案：D 由题意得|OA1=|OB|=1OC1=1,且OA·OB=0. 因为O元+OA+uOB=0,即OC=-λOA-uOi.平方得：入2十2=1. 故选D. 5.答案：A 由函数f(x)的定义域为R,由f(2x十1)为奇函数，得f(一2x+1)=一f(2x+1), 则f(1)=0,由f(x)为偶函数，得f(一x)=f(x),因此f(一1)=f(1)=0,A正确； 取R上的函数f(x)=cos受x,f(x)是偶函数，且f(2x十1)=cos(2x十1)- 一sinπx,则f(2x+1)为奇函数，此时f(0)=1≠0，f(2)=一1≠0，f(4)=1≠0，因此 BCD不一定成立. 6.答案：C e2-2-g号-221am0-2 versina-1 sin20-2sin0cos0= 2sinecose =2tan9=2×2=4 sin'0+cos20 tan20+1 22+1 5' 7.答案：D 因为数列{an}为各项均为正数的等比数列，k、l、s、t为正整数， 不妨取am=1(n∈N),当k十l>s十t时，a·a1=1=a,·a,, 即“k十l>s十t”→“ag·a1>a·a:”; 不妨取a, (分)广ou∈N),由:·a>a·a,可得（）>（）》”则k+1+ 即“k十l>s十t”←“a6·a>a,·a,”. 所以“k十l>s十t”是“a·a>a,·a,”的既不充分也不必要条件. 8.答案：B 根据椭圆定义得△PQF1的周长为PF,十PF,十QF1十QF2=4a. 根据三角形内切圆切线长性质，得|F1A|=|F,C引=a, |PA|=|BP|,|QB|=|QC|(C为内切圆与QF:的切点). BP 设1BQ1=x,由BQ=2得BP|=2x,周长满足2(IFA|+|BP|+|BQ)=4a, 代入|FA|=a,得2(a十3x)=4a→x=g 3 因此BP-号，BQ=号进一步得各边长PF,=FA+IPA=a 2a 5a 3 3 2026年伯乐马押题（一）数学答 IPF:I-2a-IPFI-IQF:I-IF.CI+ICI-+IQF:I-2a-IQFI- |PQ|=|PF2|+|QF2|=a. 观察△PQF,三边： PQ+Qr=a+号)-2g-受)-PF1, 2 9 故△PQF:是直角三角形，∠F1QP=90°， 即F1Q⊥FQ, 对Rt△FQF2用勾股定理 QF,I2十|QF|2=|F1F2|2,代入|F1F:|=2c, (a x2a、2 =(2c)化简得202=4c2今 c25 ar= 9, 故离心率e=C=⑤ a 3. 9.答案：BC 对于A,取1=1x2=i,可得|21|=1，x2=1,满足|1|=z2|,但1≠2， 所以A错误； 对于B,设x1=a十bi,22=c+di,(a,b,c,d∈R) 可得x1x2=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i, 所以x1x2=(ac一bd)一(ad+bc)i, 又由z1=a-bi,z2=c-di,可得z1z2=(a-bi)(c-di)=(ac-bd)-(ad+bc)i, 所以之1·之2=之1·之2，所以B正确： 对于C,由4=atbi-a十bi)(c-d_ac十bl)+(c-adi_ac+blbc-ad z2 c+di (c+di)(c-di) c2十d2 c+d c+d 可得（倍） ac+bd ad-bc c2+d2 c2+d' 又由2=a-bi,2=c-di,可得兰=a二bi-a-bi)(c十di=ac+bd+ad-bc z2 c-di (c-di)(c+di)c2+d2 c2+d i, 所以()-兰，所以C正确： 对于D,由1=a十bi,x2=c十di,(a,b,c,d∈R),可得x1=a一bi,z2=c一di, 则z1·x2=(a+bi)(c-di)=(ac十bd)+(bc一ad)i, z2·21=(c十di)(a-bi)=(ac+bd)+(ad-bc)i, 可得x1·x2+x2·x1=(ac十bd)+(bc-ad)i十(ac+bd)+(ad-bc)i=2(ac+bd), 不一定为0，所以D不正确. 10.答案：ACD 记该棱长为a的正方体为U, 对于放入U内的半径为1的小球，其球心必须与U各个面的距离至少为1， 球心可活动的区域是一个边长为a一2的小正方体（其中心即为U中心），记为W. 对于A,当n=1,a=2时，W的边长为a一2=0，球心即为U的中心，A正确： 对于B,当n=1,a=3时，W的边长为a-2=1, 以U的一个顶点为原点，以从该点出发的三条棱为坐标轴， 则U可表示为{(x,y,x)|0≤x3,0≤y≤3,0≤x≤3}， W可表示为{(x,y,z)|1≤x≤2,1≤y≤2,1≤z≤2}， 可知点(0,0,0)与W上的(2,2,2)的距离最大，为√2十2十2=2√3，B错误； 对于C,当n=2时，两个半径为1的小球不能重叠，则两球心之间的距离至少为2， 而这两个球心都在W内，所以W内的最大距离（即体对角线的长度）至少为2， 即，5(a-2)≥2，得a≥2+25，C正确： 3 对于D,当=4时，4个小球构成的组合体能在U内任意滚动， 则该组合体的外接球能完全放在U内，即组合体的外接球直径D≤α， 4个小球两两相切，可知4个球心构成了一个棱长为2的正四面体， 案及评分参考第1页（共4页）》 将其置于棱长为V2的正方体内，可得该四面体的外接球半径，=√②2干三- 2 2 再加上小球自身的半径，可得组合体的外接球直径为D=2医+1)一2+后， 所以a的最小值为2十√6，D正确. 11.答案：ABD 由曲线C可知，|xy=1或|x2一y2|=2, 即y=攻y=-成x-y=2 或y2-x2=2, 如图，分别画出曲线的图象， 这4个双曲线都关于x轴，y轴，y=x和 y=一x对称， 如图，还有过两个曲线交点且过原点的直线也是对称轴，所 以曲线C有8条对称轴，故B正确； 根据对称性可知，双曲线的顶点到原点的距离最小， 不妨研究落在x轴正半轴的顶点A到原点的距离，y=0 时，x=√2，即A(W2,0), 此时顶点到原点的距离为√2，所以曲线C上任一点到原 点的距离的最小值为√2，故A正确； 如图，当过点(0,1)的直线与x2一y=2的左支相切时，此 时有5个交点，分别是与y=是有2个交点，与)一x=2 有2个交点，还有1个切点，共5个交点，为奇数，故C错 误； 如图，根据对称性，以原点为圆心以√2为半径的圆在封闭 图形的内部， 此时圆的面积为2π， 设y=与y-=2在第一象限的交点为 B(x0,yo),x0y0=1, 如图，连结|xy|=1与|x2一y2|=2的交点，得到正八边 形，正八边形的面积为8S△心=8x0y=8, 封闭图形在正八边形的外部， 所以2π<S<8,故D正确. 12.答案：8 (2十x)(1-x)1=2(1-x)1十x(1一x)1的展开式中， 含x2的项为2C号(-x)2×12+xC(一x)×13=8x2, 所以(2十x)(1一x)1的展开式中x2的系数为8. 13.答案：39090 9400 x:=100 由题意，样本均值为x=∑x, =94. 又因为x2=∑x号=94+49， 所以样本方差可估计为s2=x7一x2=(942十49)一942=49. 用样本统计量估计总体参数，故可估计以=94，σ2=49. 于是质量指标值近似服从正态分布N(94,49), 因为合格标准是不小于80，而80=94一14=94一2×7=4一2。， 所以合格的概率为P(X≥80)=P(X≥u一2o). 由题给参考数据，P（一2。≤X≤4十2。)≈0.9545. 又正态分布关于均值：对称，所以两侧尾部概率相等， 从而P(X<4-20)=1-0,9545=0.02275. 2 2026年伯乐马押题（一）数学答 因此P(X≥80)=P(X≥4-2。)=1-0.02275=0.97725. 所以该批产品中质量测评合格的产品件数约为40000×0.97725=39090. 故估计该批产品中质量测评合格的产品件数为39090. 14.答案：2 因为f(x) 该函数的定义域为R, f(-x)= -e 十e f(x),故函数f(x)为偶函数， f(x)= 0,所以e:+1>1,所以0<e十1 2 2 因为e2r> <2,所以1 e2+1∈(-1,1)， 所以f)=h-e ∈[0,1)， 因为内层函数t=ex十1在R上为增函数，外层函数y=1一 在(0，十o)上为增函数， 所以函数y=1一 十1在R上为增函数， 2 当x>0时，e>e,e2r>1,e2r十1>2， 则f(x)= ctee+e-1e子7∈o,)； e-e er-e 2 当x<0时，e<e,0<e2x<1,1<e2x十1<2， 则f(x)= e-e le +e =-e-e_2 e+e-e=+7-1∈(0,1). 所以函数f(x)在（一0,0）上单调递减，在(0，十0)上单调递增. ①若0≤x0<x1<x2<…<xm1<xn(n≥2，n∈N+), 则∑If(x,)-f(x-1) =|f(xo)-f(x1)|十|f(x1)-f(xg)|+…十|f(xm-1)-f(xm)I =-f(xo)十f(x1)-f(x1)十f(x2)-…-f(xm1)十f(xm)=f(xm)-f(xo), 因为f(xo)∈[0,1)，f(xm)∈[0,1)，则f(xm)-f(xo)∈(-1,1)， 显然f(xn)>f(xo),此时∑If(x)-f(x)|=f(x)-f(xo)∈(0,1)； ②若x0<x1x2<…<xm1<xm≤0(n≥2，n∈N+）, 同①可知∑|f(x)-f(x-1)|=f(xo)-f(xn)∈(0,1)； ③若x0<x1<x2<…<xk-10≤x<…<xm1<xm≤0 (n≥2，n∈N+,k=1,2,…,n-1), 则|f(xk-1)一f(xk)|≤|f(x-1)|十f(xk)|, |f(x,1)一f(x,)「表示函数f(x)的图象上两点(x:1,f(x,-1))、(x,f(x,))的垂 直高度差， 由图可知， Xn-2 Xn-1 1)-fhl<,空1)-+1/1<1 所以∑1f(x)-f(x)川- ∑If(x)-f(x-1)|+|f(x-)-f(x)|+ 31fx,)-fx)l≤ 21fx,)-fx)1十 |f(x6与1)|十 及评分参考第2页（共4页） 会1f)-f01+j<2 又因为∑1fx,)-fx)l≥0，即0≤∑1fx,)-fx)K2. 综上所述0≤∑If(x;)-f(x1)|<2,故M≥2，即M的最小值为2. 15.(1)由正弦定理得，4 sinAcosB十4 cosA sinB十3 sinCtanC=0, 4sin(A++B)+3sinCtanC=4sinC+3sinCtanC=0. 因为C∈(0，π)，sinC≠0，所以4+3tanC=0, 则anC=一子 4 故sinC=专，cosC=- 4 3 5 所以c=√a2+b2-2 abcosC= 5+5-2x5×(-g)=4, 2 absinC-3×6×6×告-2. (2)如图，∠BCM=∠ACB- 4 放n∠CM=n(∠ACB)-音×号+号×号-侣 2=10 在△ACM中，由正弦定理得，sin∠ACM AM CM sinA' 在△BCM中，由正弦定理得，sim∠BCM一simB' BM CM 又因为a=b=√5， 所以A=B,sinA=sinB, AM BM 故sinZACMsin∠BCM' 所以部器-号×是号 7 所以AM=号BM. 所以Ci-C+Ai-C+是A店-C+品Ci-C本)-ci+昌ci, 因为CM=入CA+uCB, 7 5 所以入=124=12’ 所以2=×127 4=2×5=: 16.(1)由题意，根据等高堆积条形图，完成2×2列联表如下： 是否喜欢人工智能应用 性别 合计 是 否 男生 75 25 100 女生 55 45 100 合计 130 70 200 零假设为H。:该校学生的性别与是否喜欢人工智能应用没有关联. x2= 200×(75×45-55×25) 100×100×130×70 ≈8.791>6.635=x0.010, ∴.依据小概率值a=0.010的独立性检验， 2026年伯乐 我们推断H。不成立，即能认为该校学生喜欢人工智能应用与性别有关联. (2)设事件A为“抽取的学生喜欢人工智能应用”， 事件B为“抽取的学生为女生”，则B为“抽取的学生为男生”， 将样本的频率视为概率，则P(B)=号，P(B)=号， PA1B)=点品PA1E)=点-， 由全概率公式得P(A)=P(B)P(AB)十P(B)PAB)=5×+A×3=23 9×20+9×4=36 5、11 再根据贝叶斯公式得P(BA)=P(B)P(AB)_ 9×201 P(A) 23 23 36 所以已知该生喜欢人工智能应用，则该生为女生的概率为23： 11 17.(1)证明：根据折叠可知，CD⊥BC,PC⊥PB, 由于平面PBC⊥平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC,CDC平面BCD, 故CD⊥平面PBC, 由于PBC平面PBC,故CD⊥PB, 因为PC⊥PB,PC∩CD=C,故PB⊥平面PCD; B (2)根据三角形的性质得，BC=4√5，CD=4,BD=8, 在R△PBC中，S=号×26X26=I2, 由(1)知CD为三棱锥D一PBC的高， 由于CD⊥平面PBC,PCC平面PBC,故CD⊥PC, PD=√CD+PC=√4+(2√6)=2√10， 由(1)知，PB⊥平面PCD,PDC平面PCD,则PB⊥PD, 2 故Saao= 2PB·PD=4V5, 设点C到平面PBD的距离为d, 则V三枚能D-PBC=V三枚能C-PBD, 即g×12x4=号×4压·d, 1 解得d=4v⑤ 5； B (3)存在，理由如下： 取BC中点O,由于PB=PC,则PO⊥BC, 由于平面PBC⊥平面BCD,平面PBC∩平面BCD=BC,POC平面PBC, 故PO⊥平面BCD,故以O为坐标原点，以OB,OP分别为x,之轴正方向， 以过点O且平行于CD的直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 则P(0,0,23),B(23,0,0),C(-23,0,0),D(-23,4,0), PD=(-23,4,-23),CB=(43,0,0),CP=(23,0,23), 设PE=入PD=(-2√3入，4入，-23入)，入∈[0,1]， 则C龙=Cp+PE=(2√5-2√5入，4x,23-23入). 设平面PCD法向量m=(x,y,之)， 则·P立=0，即 -2√3x+4y-2W3x=0 m.c市=0 ,取m=(1,0,一1)， 2√3x+23x=0 同理可求平面BCE的法向量n=(0,√3（入一1），2入)， 则|cos(m,i)川=m·n |2入 W/14 |m|nl√2·√7a-6a+328, 马押题（一）数学答案及评分参考第3页（共4页） 整理得，35A2十2入一1=0，即(5入十1)(7入一1)=0， 1 解得入=7 故存在点E,当焉-时，平面BCE与平面PCD所成角的余弦值为 28 18.(1)f'(x)=a+2bx-2sinx, 1 又曲线y=f'(x)关于点（π，0）对称，∴f'(π十x)十f'(π一x)=0, 0a十2b(元+x)2sin(元+x)+a+26(x一x)-1 2sin(-x)=0, 即a十2bx=0,∴号=-2x (2)(1)由(1)知，a=-2xb,f'(x)=-2xb+2bx- 1 ina, 若广)≤-x十2恒成立，即h)=(26+)x一simx-2b-号≤0恒成立， 若26+1≠0，取x。 2b元十2 2b+ ,则h(xo)=1一 2 sinco>0,不合题意， 不 若26+ 是=0,6=一会，此时A)=一名r十1-名≤0，放6的值为一云 1 1. a=1,f'(x)=-1x 2 sinz+1, 记g(x)=f'(x)=-1 一号inx+1,则g'(x)=-1-号 π2c0sx, 当x∈0)时8)单洞递增且g(经）=只<0()=一+日>0， π 故存在x∈（受，x小使得g(x)=0, 当x∈(-0)时，1-名mr>0,系>0f)=-只-2m+1>0.无零点： 元 当x∈(0，x1)时，g'(x)<0,f'(x)单调递减；当x∈(x1,π)时，g'(x)>0,f'(x)单调 递增， 又f(受)=0f'(x)=0x∈(-0x)时f'(x)有x=受-个零点， 由对称性可得x∈(，十0)时，f'(x)有x--个零点， 综上，f'(x)有3个零点 1 (i)f(x)=x- f(2xx)=(2x=x)-2π）+号c0s(2x-x)=f(x) 2π 故f(x)的图像关于x=π对称， 由(1)得，当x∈（-，)时，f'(x)>0,f(x)单调递增： x∈（受，元）时，f'(x)<0,f(x)单调递减， 由对称性可知x∈(，)时f(x)单调递增：x∈（侵，十∞）时，f(x)单调递减， 当n∈（受，x)时，m十n<2元，下证此时m十n>元， 设F(x)=f(x)-f(x-x),x(空，x), 则F'(.x)=f'(x)十f'(x一x)=1一sinx>0, 2026年伯乐马押题（一）数学答 当x∈(，元)时，F(x)单调递增F(x)>F(Σ）=0， 即f(m)=fn)>f(x-n),又元一n<受m>元一n,即m十n>元， 当n∈(，)时，显然x<m十n<2x 当n∈ ,十∞)时，显然m十n=2x, [3π 综上，π<m十n≤2π得证. 19.(D由题知F(台o）,D(-台o),所以1DF=p=EF, 不妨设点E在第一象限， 由抛物线定义知E到准线的距离为力，所以E(台p)小· 1 由SAFD= 2p=2,解得p=2, B 所以C的方程为y2=4x. (2)(i)设经过x轴上点(n,0)的直线为x=my十n, B E 与抛物线C的两交点记为(x1,y1),(x2,y2), 联立{x=my”得y-4my一4n=0, 0 则y1y2=一4n, 因为直线A,Bn经过点(pm,0),所以yAn y Bn=一4pn, 因为直线An+1Bn+1经过点(pn+1,0), 所以yAm+1yBm+L=一4pn+1, 因为直线AnB+1和BnAm+1经过点(22m-1,0), A 所以yAn yBn+1=-4×22m-1=一22m+1, yAn+I y Bn =-22+1, 所以yAn yBn yAn+iyBn+1=(-4p)·(-4pn+1)=(-22+1)·(-22+l), ∴pn+1pn=2n-2, 因为p1=1,p:=2,p.·p,1=2n-5,所以=2， -1 当n为偶数时，p,=4×(21)号=4-1， 当n为奇数时，pn=1×(21)号=4-1， 综上pn=4”-1 (ii)设直线A,Bm与OCm的交点为M(xo,y。),因为四点A,B,OC共圆， 所以|MAm·|MBn=|MO·|MCm|, 设直线AnBm为x=m(y一yo)十xo,联立y2=4x得 y2-4my十4my0-4.xo=0,所以yAn十yBm=4m,y An y Bn=4my0-4xo, |MAn·|MB,|=√+mz|yAm-yo|·V/+mz|yBm-yo =(1十m2)|yAm·yBm-yo(yAm十yBm)十y8| =(1十m2)|4myo-4x0-4my0+y6|=(1+m2)|-4x0+y6|, 设直线OCm为x=n(y一yo)十xo, 同理可得|MO·|MCm|=(1十n2)|-4xo十y8|, 又|MA.|·|MBn|=|MO|·|MCm|且m≠n,所以m+n=0, 所以yAm十yBm十ycn=4十4n=0, 则△A,B,C,的重心纵坐标为0，即△A,B,C,的重心在x轴上， xAn十xBn=m(yAn+yBn）-2y0十2.xo=4m2-21y0十2x0, 同理xcm=4m2十2my0十2x0,所以xAm十xBm十xcm=8m2十4x0, 联立直线A,B,:x=my十p,与OC,:x=一my得x=? 8m2, 3 ,·22m-2>22m-3, 所以△ABC的重心在Qn-1的右侧. 案及评分参考第4页（共4页）