精品解析：北京市中关村中学2026届高三考前学科调研数学试题

北京市中关村中学高三三模数学学科调研 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集求解即可. 【详解】因为，所以，由韦恩图可得阴影部分为集合与集合的补集的交集， 所以集合的补集为或，所以集合与集合的补集的交集为. 2. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为. A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2 【答案】A 【解析】 【详解】试题分析：由题意得 考点：复数相关概念 3. 若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为直线是圆的一条对称轴， 所以圆心在直线上， 所以，解得． 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先通过对数的运算法则将化简，再根据对数函数的单调性，即可判断的大小. 【详解】由题意，， 根据对数函数的图象性质，在上单调递增，在上单调递增， 又，所以， 又，所以， 即，所以. 5. 设是等差数列.下列结论中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【详解】先分析四个答案，A举一反例，而，A错误，B举同样反例，，而，B错误， D选项，故D错， 下面针对C进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则， 故选C. 考点：本题考点为等差数列及作差比较法，以等差数列为载体，考查不等关系问题，重 点是对知识本质的考查. 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】由余弦函数的单调性找出的等价条件为，再利用大角对大边，结合正弦定理可判断出“”是“”的充分必要条件. 【详解】余弦函数在区间上单调递减，且，， 由，可得，，由正弦定理可得. 因此，“”是“”的充分必要条件. 故选：C. 【点睛】本题考查充分必要条件的判定，同时也考查了余弦函数的单调性、大角对大边以及正弦定理的应用，考查推理能力，属于中等题. 7. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】判断两条直线经过的定点，判断交点所在的位置，利用椭圆的定义判断求解即可． 【详解】椭圆的焦点为：， 由与方程可知 直线与直线的交点为，且两条直线经过定点， 它们的交点满足：，在椭圆内部且与椭圆的短轴端点相交 当与重合时，取最小值为： 当与短轴端点重合时，取最大值为： 的取值范围是： 本题正确选项： 【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，轨迹方程的求法，关键能够通过直线经过的定点确定交点的位置． 8. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线与直线的位置关系即可得解. 【详解】双曲线的渐近线， 双曲线与直线没有公共点，则. 又因为双曲线离心率大于1，所以B选项符合题意. 故选：B 9. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题，将函数化简，根据对称轴求得a的值，再根据已知条件求得两点必须关于对称中心对称，求得的值，可得结果. 【详解】由题，=，为辅助角， 因为对称轴为，所以 即 解得 所以 又因为在上具有单调性，且， 所以两点必须关于正弦函数的对称中心对称， 即 所以 当时，取最小为 故选A 【点睛】本题考查了三角函数综合知识，包含图像与性质，辅助角公式化简等，熟悉性质图像是解题的关键，属于中等较难题. 10. 设数列的各项均为非零的整数，其前项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 22 C. 26 D. 31 【答案】B 【解析】 【分析】因为，不妨设，由题意求出的最小值，的最小值，，令时，有最小值. 【详解】因为，所以互为相反数，不妨设， 为了取最小值，取奇数项为正值，取偶数项为负值，且各项尽可能小，. 由题意知：满足，取的最小值； 满足，因为，故取的最小值； 满足，取的最小值； 同理，取的最小值； 所以， 满足，取的最小值； 满足，因为，所以，取的最小值； 满足，因为，所以，取的最小值； 同理，取的最小值； 所以， 所以， 因为数列的各项均为非零的整数，所以当时，有最小值22. 故选：B 【点睛】关键点点睛：有最小值的条件是确保各项最小，根据递推关系分析可得奇数项的最小值与偶数项的最小值，从而可得的最小值. 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若角的终边过点,则__． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义，计算的正弦与余弦值,再利用二倍角公式，即可求得结论． 【详解】解：由题意可得：， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角函数的定义，考查二倍角公式，属于基础题． 12. 抛物线的准线方程是_______ 【答案】 【解析】 【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及，再直接代入即可求出其准线方程. 【详解】因为抛物线的标准方程为，焦点在y轴上， 所以：，即，所以， 所以准线方程为：， 故答案是：. 【点睛】该题考查的是有关抛物线的几何性质，涉及到的知识点是已知抛物线的标准方程求其准线方程，属于简单题目. 13. 若 ，则的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】由二项式定理求解即可. 【详解】，解得，解得. 14. 已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为的长度为___________，的最大值为___________． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【详解】由题意得，，则， 不妨设，则线段的长度为； 因为， 所以， 所以， 当时取最大值，最大值为. 15. 若存在常数，使得函数对任意实数都有成立，且等号能取到，则称为的下托函数．以下说法正确的有___________． ①函数没有下托函数； ②函数有下托函数； ③函数有下托函数； ④函数的图象与轴有交点. 【答案】①③ 【解析】 【分析】根据下托函数定义分别构造不同的函数，利用导数求得其单调性，并证明对应的不等式成立且等号能取到，即可判断各说法是否正确. 【详解】对于①，假设函数有下托函数， 即存在实数对于任意实数都有成立，且等号能取到， 即存在实数满足 对任意实数恒成立，且等号能取到， 易知时，，但是等号取不到，因此函数没有下托函数，即①正确； 对于②，假设存在常数，使对任意实数恒成立，且等号能取到， 即 对任意实数恒成立，且等号能取到， 显然时，，等号取不到，函数没有下托函数，即②错误； 对于③，若函数有下托函数，则在时恒成立，且等号能取到， 即存在满足题意，不等式等价于， 令函数 ，则 ， 由可得， 当时，，因此在上单调递减， 当时，，因此在上单调递增， 所以在处取得极小值，最小值为，且当时等号成立， 故函数有下托函数，即③正确； 对于④，由③可知对任意实数恒成立， 则函数； 令，则 ，由 ，可得; 因此当时， ，此时在上单调递减， 当时， ，此时在上单调递增， 因此 ，当时等号成立，因此， 但知在时等号成立，而 在时等号成立， 因此两个等号不会同时成立，因此在上恒成立， 即函数的图象与轴无交点，即④错误. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）判断△ABC的形状； （2）若，求的取值范围． 【答案】(1) △ABC为的直角三角形． (2) . 【解析】 【分析】分析：（1）由已知条件结合正弦定理对已知化简可求得角的值，进而可判断三角形的形状； （2）由辅助角公式对已知函数先化简，然后代入可求得，结合（1）中的角求得角的范围，然后结合正弦函数的性质，即可求解． 【详解】（1）因为，由正弦定理可得，即，所以． 因为在△ABC中，，所以又， 所以，．所以△ABC为的直角三角形． （2）因为 =． 所以． 因为△ABC是的直角三角形， 所以，且，所以当时，有最小值是． 所以的取值范围是． 点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题. 17. 如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题. 条件①： 条件②：； 条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求直线EM与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2）； 【解析】 【分析】（1）分别选条件①②③，结合线面平行位置关系的判定定理和性质定理，即可得证； （2）以为原点，建立空间直角坐标系，求得向量和平面的法向量为，利用向量的夹角公式，求得，结合，即可求解. 【小问1详解】 选条件①：由， 根据正方体的对称性，此时点为上的任意一点，所以不成立； 选条件②：， 连接，在正方体中，由平面， 因为平面，所以， 又因为，， 所以， 因为平面，所以， 又因为为的中点， 所以为的中点． 选择条件 ③：平面， 连接，因为平面，平面， 且平面平面，所以， 因为为的中点，所以为的中点． 【小问2详解】 在正方体中，两两互相垂直，建立空间直角坐标系， 如图所示，则， 所以，，， 设平面的法向量为，则， 令，则．于是， 设直线与平面所成的角为，则， 所以直线与平面所成角的大小为， 点到平面的距离为. 18. 为了培养学生的应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表： 非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计 小学 20人 40人 40人 100人 初中 50人 30人 20人 100人 合计 70人 70人 60人 200人 假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率. （1）从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率； （2）规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．结论不要求证明. 【答案】（1） （2） 期望 （3） 【解析】 【小问1详解】 根据题中数据可知，100名初中生中有50名学生“非常感兴趣”， 所以从该校初中生中随机抽取名同学对课程“非常感兴趣”的概率估计为. 设这名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”为事件，则事件的概率可估计为. 【小问2详解】 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，从样本中的小学生中抽取了人，则“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的人数分别为. 所以的可能取值为. 则； ； ； ； . 所以随机变量的分布列为 故期望. 【小问3详解】 . ∵ 样本中的小学生“非常感兴趣”“一般感兴趣”“不感兴趣”的频率分别为，，， 三组数据的平均值均为， ∴ ， ∵ 样本中的初中生“非常感兴趣”“一般感兴趣”“不感兴趣”的频率分别为，，， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ . 19. 设椭圆过点 ，且左焦点为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当过点的动直线 与椭圆相交于两不同点 时，在线段上取点 ，满足，证明：点 总在某定直线上 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 【解析】 【详解】(1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为． 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2） 又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零． 且 又四点共线，可设,于是 （1） （2） 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4) (4)－(3) 　　　得 即点总在定直线上 20. 已知函数． （1）证明：不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，并求出该切线方程； （2）若为函数的极小值点，求的取值范围； （3）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；；（2）；（3）不存在；答案见解析． 【解析】 【分析】（1）求出导数，求出与无关的导数值，得切点及斜率，从而得切线方程； （2）在导函数中，令，由导数得出时，，递增，，然后按，，分类讨论，确定0是极小值点，得结论． （3）设，由（2）可知函数在上单调递增，用反证法证明即可． 【详解】（1）， 易得，均与无关， 所以不论取何值，曲线都存在固定切线为． （2）， 设，则， 当时，即函数在上单调递增，且． ①当时，函数在上单调递增，无极值，不符； ②当时，由函数得性质可知： 存在，当时，， 函数单调递减，与为函数的极小值点矛盾，不符； ③当时，由函数得性质可知： 存在，当时，，单调递减， 又因为当时，，单调递增， 所以为函数的极小值点，符合． 综上有． （3）不存在，理由如下： 设，由（2）可知函数在上单调递增， 假设曲线存在两个不同的点关于轴对称， 设其坐标分别为，，其中． 由得：， 与在上单调递增矛盾， 所以曲线不存在两个不同的点关于轴对称． 【点睛】关键点点睛：本题考查导数的几何意义，导数与极值．解题关键掌握导数与单调性的关系，极值的定义．是函数的极小值点除必须有外还必须在左侧，右侧． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 【答案】（1）不具有性质,具有性质, （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】(1)根据性质的定义,观察到,可得不具有性质,根据,可以发现中相邻两项及首尾两项的差的绝对值均小于等于1,故具有性质,根据定义代入求值,即可得出; (2) “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”,利用反证法假设两个元素都不在中,通过范围推出矛盾即可. (3) 设中元素个数最小值为,根据新定义可得,以此类推可得,由(2)中的结论可得,即可得,再进行验证即可. 【小问1详解】 解:由题知, 即 因为, 所以不具有性质, 由于, 即 因为 故具有性质, 因为 故; 【小问2详解】 “”等价于“证明两个元素至少有一个在中”, 假设两个元素均不在中, 则有 不妨设, 若, 则由, 可得, 与矛盾, 故, 同理, 从而, 所以, 与具有性质矛盾, 所以假设不成立,即; 【小问3详解】 设 规定时,, 时,, 则, 所以, 考虑数列, , 由题设可知,他们均具有性质, 设中元素个数最小值为, 所以, 所以, 由(2)知,从而, 当时,令, 当时,令, 此时均有, 所以中元素个数的最小值为. 【点睛】思路点睛:此题考查数列与集合结合的新定义问题,属于难题,关于新定义题的思路有: (1)找出新定义有几个要素,找出要素分别代表什么意思; (2)由已知条件,看所求的是什么问题,进行分析,转换成数学语言; (3)将已知条件代入新定义的要素中; (4)结合数学知识进行解答. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京市中关村中学高三三模数学学科调研 本试卷共6页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 设全集，，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 如果复数为纯虚数，那么实数的值为. A. －2 B. 1 C. 2 D. 1或 －2 3. 若直线是圆的一条对称轴，则实数（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 设是等差数列.下列结论中正确的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 在中，“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知直线l1：mx-y+m=0与直线l2：x+my-1=0的交点为Q，椭圆的焦点为F1，F2，则|QF1|+|QF2|的取值范围是（　　） A. B. C. D. 8. 若直线与双曲线没有公共点，则双曲线的离心率满足（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数的一条对称轴为，，且函数在上具有单调性，则的最小值为 A. B. C. D. 10. 设数列的各项均为非零的整数，其前项和为.若为正偶数，均有，且，则的最小值为（ ） A. 0 B. 22 C. 26 D. 31 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 若角的终边过点,则__． 12. 抛物线的准线方程是_______ 13. 若 ，则的值为___________． 14. 已知点，点，点，点满足，其中，由所有点组成的线段为的长度为___________，的最大值为___________． 15. 若存在常数，使得函数对任意实数都有成立，且等号能取到，则称为的下托函数．以下说法正确的有___________． ①函数没有下托函数； ②函数有下托函数； ③函数有下托函数； ④函数的图象与轴有交点. 三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 16. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且． （1）判断△ABC的形状； （2）若，求的取值范围． 17. 如图，正方体的棱长为2，E为BC的中点.点在上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定，并解答问题. 条件①： 条件②：； 条件③：平面. （1）求证：为的中点； （2）求直线EM与平面所成角的大小，及点E到平面的距离. 18. 为了培养学生的应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表： 非常感兴趣 一般感兴趣 不感兴趣 合计 小学 20人 40人 40人 100人 初中 50人 30人 20人 100人 合计 70人 70人 60人 200人 假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响. 用频率估计概率. （1）从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名同学对课程都“非常感兴趣”的概率； （2）规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分. 根据学生的兴趣程度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人．记为这2人的得分之和，求的分布列和数学期望； （3）记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；样本中的初中生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为，其方差为；的方差为．写出的大小关系．结论不要求证明. 19. 设椭圆过点 ，且左焦点为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当过点的动直线 与椭圆相交于两不同点 时，在线段上取点 ，满足，证明：点 总在某定直线上 20. 已知函数． （1）证明：不论取何值，曲线均存在一条固定的切线，并求出该切线方程； （2）若为函数的极小值点，求的取值范围； （3）曲线是否存在两个不同的点关于轴对称，若存在，请给出这两个点的坐标及此时的值，若不存在，请说明理由． 21. 已知为有穷数列．若对任意的,都有（规定）,则称具有性质．设． （1）判断数列是否具有性质？若具有性质,写出对应的集合; （2）若具有性质,证明:; （3）给定正整数,对所有具有性质的数列,求中元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $