北京市中关村中学2026届高三考前学科调研数学试题

北京市中关村中学高三三模数学学科调研 本试卷共6页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答 题卡上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选 项中，选出符合题目要求的一项。 (1)设全集U=R,A={-1,1,3},B={x|x2-2x≤0}，则图中阴影部分 表示的集合为 (A){-3,-1} (B){-1,3} (C){3,1 (D){-3,-1,1} (2)如果复数z=a2+a-2+(a2-3a+2)i为纯虚数，那么实数a的值为 (A)2 (B)1 (C)-2 (D)1或-2 (3)若直线2x-y+6=0是圆(x-1)2+(y-2)2=4的一条对称轴，则实数 I= (A)2 (B)4 (C)6 (D)8 (4)已知a=n2,b=log,3,c=log45,则 (A)a<b<c (B)a<c<b (C)b<a<c (D)b<c<a (5)设{a}是等差数列，下列结论中正确的是 (A)若4+4>0，则4+4>0 (B)若4+4<0，则4+2<0 (C)若0<4<a2,则a>√44 (D)若4<0，则(a-4)(42-4)>0 高三年级（数学)第1页（共6页) (6)在△ABC中，“cosA<cosB”是“sinA>sinB"的 (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不充分也不必要条件 (7)已知直线：x-y+m=0与直线2：x+y-1=0的交点为Q, 椭圆女+y-1的焦点为R,R,则1O+№的取值范围是 4 (A)[2,+0) (B)[2W3,+0) (C)[2,4] (D)[2W3,4] 8》若直线y2与双自线C:于号-1e>0,b>0)没有公共点，则风 a2- 曲线C的离心率e满足 (A)1<e≤5 (B)1<e≤V5 (c)e≥3 (D)e≥V5 （9)已知函数fx)=asinx-2W3cosx的一条对称轴为x=- 6 ()+f(x)=0,且函数f(x)在(：，x)上具有单调性，则x+x2|的最小 值为 (A) π-6 (B) -3 (C) 2元 (D) 4π 3 (10)设数列{a}的各项均为非零的整数，其前n项和为S,.若j-i 亿，j∈N)为正偶数，均有4≥2a,且S=0,则S的最小值为 (A)0 (B)22 (C)26 (D)31 第二部分（非选择题共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。 (11)若角&的终边过点(1，-2)，则sin2a= (12)抛物线x2=4y的准线方程为 (13)若C121+C222++Cm2”=80,则n的值为 高三年级（数学)第2页（共6页) (14)已知点O(0,0),点A1,0),点B(0,1),点P满足OP=xOA+(2-x)OB, 其中x∈[O,2],由所有点P组成的线段为CD的长度为 AP.(PC+PD)的最大值为 (15)若存在常数A,使得函数P(9对任意实数x>0都有F()≥成立， 且等号能取到，则称y-1为)的下托函数.以下说法正确的有 ①函数f(x)=x+二没有*下托函数： ②函数g()=已有·下托函数： ③函数h(=nx有·下托函数y=-马 ex ①酒藏0)=血+品是的图象与不抽有交点， 高三年级（数学)第3页（共6页) 三、解答题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明 过程。 (16)(本小题13分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,C,且 asin B-bcosC ccos B. (I)判断△ABC的形状： （）若-c0s2号ox+片：求J0的取维范用 (17)(本小题13分) 如图，正方体ABCD-ABC1D的棱长为2，E为BC的中点，点M 在BD上.再从下列三个条件中选择一个作为已知，使点M唯一确定， 并解答问题. D 条件①：MA=MC; 条件②：EM⊥AD: 条件③：EMI/平面CDDC1. (I)求证：M为BD的中点： (IⅡ)求直线EM与平面MCD所成角的大小，及点E到平面MCD的 距离. 注：如果选择的条件不符合要求，第（丨)问得0分；如果选择多个符 合要求的条件分别解答，按第一个解答计分 高三年级（数学)第4页（共6页) (18)(本小题14分) 为了培养学生的AI应用能力和创新思维，提高学生的科学素养，某 学校开展了人工智能课程.为了解该校学生对相关人工智能课程的兴趣程 度，对学生进行了简单随机抽样，获得数据如下表： 非常感兴趣 般感兴趣 不感兴趣 合计 小学 20人 40人 40人 100人 初中 50人 30人 20人 100人 合计 70人 70人 60人 200人 假设小学生和初中生每人对人工智能课程的兴趣程度互不影响.用频 率估计概率 (I)从该校初中生中随机抽取3名同学，估计这3名同学中至少有两名 同学对课程都“非常感兴趣”的概率； (Ⅱ)规定：每名“非常感兴趣”的学生记5分，每名“一般感兴趣”的 学生记3分，每名“不感兴趣”的学生记1分.根据学生的兴趣程 度采用分层抽样的方式，按照学生人数比例先从样本中的小学生中 抽取了10人，再从这10人中随机抽取2人.记X为这2人的得分 之和，求X的分布列和数学期望： ()记样本中的小学生中“非常感兴趣”、“一般感兴趣”、“不感兴趣” 的频率依次为x,x2,水，其方差为5：样本中的初中生中“非常感兴趣”、 “一般感兴趣”、“不感兴趣”的频率依次为y,y2,y3,其方差为5： x,水，，，y,的方差为s写.写出s,5,5的大小关系.（结论不 要求证明) 高三年级（数学)第5页（共6页) (19)(本小题15分) 设狮圆c+冷a>b>0)过点M2,少，且左焦点为r(V2.0 (I)求椭圆C的方程： (Ⅱ)当过点P(4,1)的直线1与椭圆C交于两个不同的点A,B时，在线段 AB上取点e,满足p=A⊙，P网求证：点e总在定直线上 (20)(本小题15分) 己知函数f(x)=ax2+(x2-2x+2)e. (I)证明：不论a取何值，曲线y=f(x)均与一条定直线相切，并求出 该切线方程： (IⅡ)若0为函数f(x)的极小值点，求a的取值范围： (Ⅲ)曲线y=f(x)是否存在两个不同的点关于y轴对称，若存在，请给 出这两个点的坐标及此时a的值，若不存在，请说明理由 (21)(本小题15分) 己知A:a1,a,…,a.(n≥4)为有穷数列.若对任意的iE{0,1,…,n-1}, 都有1aH-a,≤1（规定4=4)，则称A具有性质P. 设Tn={(i,)l川4-a1≤1,2≤j-i≤n-2(i,j=1,2,…,n)}. (I)判断数列A:1,0.1,-1.2,-0.5,A:1,2,2.5,1.5,2是否具有性质P? 若具有性质P,写出对应的集合T: (Ⅱ)若A4具有性质P,证明：T4≠②： (Ⅲ)给定正整数n,对所有具有性质P的数列A,求T,中元素个数的最 小值. 高三年级（数学)第6页（共6页)