1.3 不等式的性质（全国通用）【6大考点】-2027年高考数学一轮复习专题训练

**基本信息** 聚焦不等式性质6大核心考点，以题型专练构建从性质判断到比较证明、取值范围的递进式训练体系，培养数学推理与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点01|4题|判断不等式正确性（多选为主）|基于不等式性质的直接应用，强化概念辨析| |考点02|6题|比较数(式)大小（含参数讨论）|性质的灵活应用，培养数学抽象与推理意识| |考点03|4题|作差法比较（含函数背景）|通过作差变形判断符号，构建代数推理逻辑| |考点04|4题|作商法比较（含指数式）|利用商与1的大小关系，深化运算能力| |考点05|4题|不等式证明（综合应用）|性质的综合串联，提升逻辑论证能力| |考点06|6题|求取值范围（多变量）|性质的逆向应用，强化数学语言表达|

1.3 不等式的性质 6大考点汇总 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点02 由不等式的性质比较数(式)大小 考点03 作差法比较代数式的大小 考点04 作商法比较代数式的大小 考点05 由不等式的性质证明不等式 考点06 利用不等式求值或取值范围 题型专练 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（多选）若，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】对于A，由，两边同除以正数即可求解；对于B，使用反例证伪即可，对于C，将原不等式转化为即可求解，对于D，使用不等式的传递性完成放缩即可. 【详解】因为，所以， 对于A，因为，且，则有，进而可得，故A正确； 对于B，不妨取，此时，满足， 此时， 以2为底的指数函数单调递增且，则，此时，故B错误； 对于C，因为，，则有，进而，即， 因为，即，因为，即， 不等式两边同时除以得， 整理得，故C正确； 对于D，因为，，则， 因为,，则， 进而有，即，故D正确. 2．已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 【答案】C 【分析】明确不等式有意义的等价条件，再结合绝对值三角不等式分别判断充分性和必要性即可 【详解】验证必要性：首先分式要有意义，因此分母，等价于不同时为，即，故必要性成立. 验证充分性：若，此时； 根据绝对值三角不等式，对任意实数，恒有 ， 不等式两边同时除以正数，可得，故充分性成立. 综上，“”是“成立”的充要条件. 3．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误； 选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误； 选项C：仅知道，无法确定与的大小关系， 例如：若，则；若，则，故C不一定正确； 选项D：用作差法验证：， 因为，所以，若且（成立，因为），则分母， 因此，差，即，可得，故D一定正确． 4．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．当时，的最小值为2 【答案】BC 【详解】取，满足， 但，因此不成立，故A错误； 若，故，， 取，所以，故B正确； 若，则，故，故C正确； 当时，，当且仅当时等号成立，故D错误. 考点02 由不等式的性质比较数(式)大小 5．（多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BD 【详解】对于A：当时， ，故A错误； 对于B：因为，则，故得，故B正确； 对于 C：若取，，满足， 因，，，显然不满足，故 C错误； 对于D：由，得且， 因，可得，故D正确. 6．若，且，，均不为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用特殊值法和不等式性质来逐一分析选项. 【详解】对于A选项，取，，，则，， 则有，， 则有，故A错误， 对于B选项，取，，， 则，， 所以，故B错误， 对于C选项，取，，， 则，， 则有，故C错误， 对于D选项，因为， 所以，由不等式的同向相加性质可知，故D正确． 7．（多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】首先根据条件判断，再根据不等式的性质和函数的单调性比较大小. 【详解】由条件可知，，则，故A正确； ，故B正确； ，，所以，故C错误； 设，为增函数减函数=增函数，所以为增函数， 因为，所以，即，即，故D正确. 8．已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质可判断ABD，举反例排除C. 【详解】因为 ，不等式 两边同除以正数，不等号方向不变，因此 一定成立，A正确； 由 得 ，又 ，负数除以负数结果为正，因此 一定成立，B正确； 取，满足条件，但此时，C错误； 由得 ，且，正数除以负数结果为负，因此一定成立，D正确. 9．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】本题考查不等式的基本性质、幂函数的单调性，可通过性质推导或特值法验证选项. 【详解】选项A：由，两边同乘得， 结合，根据不等式性质：若，，则， 可得，即，所以选项A正确. 选项B：取特值，，，，则，， 此时，所以选项B错误. 选项C：已知，，设幂函数， 因为，所以幂函数在上单调递减， 根据幂函数的单调性，可得，所以选项C错误. 选项D：对进行通分：. 因为，所以，，，则. 所以，即，所以，所以选项D正确. 10．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质判断A，B；利用作差法判断C，D. 【详解】易知，，故A错误，B正确； 对于C，移项作差，得， 因为不能判断的正负， 所以不能确定的正负， 所以不能判断的大小关系，故C错误； 对于D，移项作差，， 所以，故D错误. 考点03 作差法比较代数式的大小 11．比较与的大小. 【答案】 【详解】 12．已知，，，判断M，N的关系? 【答案】当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 【详解】由. ①当时，，即； ②当时，，即； ③当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，，即. 综上所述，当或时，； 当，中一个小于或等于1，另一个大于或等于1时，. 13．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 【答案】A 【详解】，故 14．已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 【答案】(1)； (2)当时，；当且时，. 【分析】（1）根据函数定义域的要求，需保证二次函数在上恒非负，利用判别式，求解的取值范围； （2）通过作差法计算，化简后判断其符号，即可比较与的大小. 【详解】（1）由题意，，则， 因为函数的定义域为， 所以对任意，都有恒成立． 即，解得． 故a的取值范围是． （2）由题意，当时，， 所以 ．           所以当时，；当且时，． 考点04 作商法比较代数式的大小 15．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）两数大小即为的大小，平方后可得它们的大小关系； （2）利用作商法结合分母有理化可得它们大小关系； 【详解】（1） 理由：， 由于，且 所以，即， 因此. （2） 理由： 因为，所以即得， 即，又， 故. 【点睛】比较含无理数的式子之间的大小关系适合用作差法或作商法. 16．设，，且，则和的大小关系是_________． 【答案】 【分析】由，，且，得到，再分和讨论求解. 【详解】因为，，且，所以， 当时，由，，可得，所以． 当时，由，，可得，所以． 综上可得，． 故答案为：． 17．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 【答案】（1）. （2）. 【分析】（1）利用作差法比较大小. （2）利用作商法比较大小. 【详解】（1） ， 因为，所以， 即. （2）由，得，，， 因此， 所以. 18．若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 【答案】 【分析】法一：通过作商法可判断，法二：通过作差法可判断； 【详解】方法一（作商法）：因为， 所以， 所以． 方法二（作差法）：，即． 故答案为： 考点05 由不等式的性质证明不等式 19．已知均为正实数，且，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的基本性质，结合已知条件，利用作差法计算证明结论． 【详解】，， ， 又， ，故， ，，， ，即． 20．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【分析】（1）利用作差法比较大小； （2）根据，得到，再由，根据不等式的性质可得，从而得证. 【详解】（1）因为 ， 所以； （2）因为，所以， 又，所以，得证. 21．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）利用不等式的性质证明即可； （2）应用作差法比较大小，即可证. 【详解】（1）由，则，故， 由，则，故， 所以，得证. （2）由，而， 所以，即，得证. 22．已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 【答案】(1)，证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意，得到不等式，结合作差比较法，即可得证； （2）根据题意，化简，利用上述结论，即可求解； （3）由（1）中的结论，得到，证得，再由， ，,由即可得证. 【详解】（1）由题意，可得不等式. 证明：由， 因为，可得， 所以，即. （2）由， 由（1）中的结论，可得，即. （3）证明：因为， 根据（1）中的结论，可得， 同向不等式相加可得，①， 又由，同理可得， 则，② 综合①②，得. 考点06 利用不等式求值或取值范围 23．已知，，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】利用不等式的性质来确定的取值范围. 【详解】，，又因为， ，即． 24．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，得，而，则. 25．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设，解得. ，，相加得. 【点睛】错误思路：先单独求、各自范围，再代入求. 两式相加: 两式相减: 再算： 得到：. 和不是相互独立变量，与有约束关联，不能先拆开单独求范围再直接代入，拆开后放大了取值范围，求出的是虚假宽泛区间，不是真实范围. 26．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意可知， 由可得，又， 所以，即的取值范围是. 27．已知，则的取值范围为______ 【答案】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 28．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用不等式性质求出范围. （2）将用表示出，再利用不等式的性质求出范围. 【详解】（1）由，得， 当时，，则，即， 当时，，因此， 所以的取值范围是. （2）依题意，， 由，得， 则，所以的取值范围是. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 不等式的性质 6大考点汇总 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 考点02 由不等式的性质比较数(式)大小 考点03 作差法比较代数式的大小 考点04 作商法比较代数式的大小 考点05 由不等式的性质证明不等式 考点06 利用不等式求值或取值范围 题型专练 考点01 由已知条件判断所给不等式是否正确 1．（多选）若，则以下结论正确的是（     ） A． B． C． D． 2．已知，为实数，则“”是“成立”的（     ）条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要 3．已知，则下列不等式一定正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（多选）下列结论正确的是（    ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．当时，的最小值为2 考点02 由不等式的性质比较数(式)大小 5．（多选）下列不等式中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．若，且，，均不为1，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（多选）已知实数，满足，则（   ） A． B． C． D． 8．已知a，b，c满足且，则下列选项中不一定能成立的是（    ） A． B． C． D． 9．（多选）若，，则（   ） A． B． C． D． 10．已知非零实数，满足，且，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 考点03 作差法比较代数式的大小 11．比较与的大小. 12．已知，，，判断M，N的关系? 13．已知，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．与有关 14．已知函数． (1)若的定义域为，求实数的取值范围； (2)若，设，试比较与的大小并说明理由． 考点04 作商法比较代数式的大小 15．试比较下列各数的大小，并说明理由： (1)与； (2)与． 16．设，，且，则和的大小关系是_________． 17．（1）比较大小：与； （2）设，比较与的大小. 18．若，则与的大小关系是_______．（用“>”连接） 考点05 由不等式的性质证明不等式 19．已知均为正实数，且，求证：． 20．（1）比较与的大小； （2）已知，，求证：. 21．已知，. (1)求证：； (2)求证：. 22．已知b克糖水中有a克糖，往糖水中加入m克糖，（假设全部溶解）糖水更甜了. (1)请将这个事实表示为一个不等式，并证明这个不等式； (2)利用（1）的结论比较的大小； (3)证明命题：设，证明：. 考点06 利用不等式求值或取值范围 23．已知，，则的取值范围是________． 24．已知，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 25．若，则的取值范围是（） A． B． C． D． 26．已知，，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 27．已知，则的取值范围为______ 28．已知实数． (1)若，则的取值范围； (2)若，求的取值范围． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $