暑假作业03 平行四边形与梯形（巩固培优）八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 以平行四边形与梯形为核心，构建“定义-性质-判定-应用”完整知识链，覆盖11类中考常见题型，强化几何直观与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形性质|3类（角度/线段/面积）|结合图形变换与计算，考查边、角、对角线性质|从定义出发，通过性质推导解决度量问题，培养空间观念| |平行四边形判定|2类（添加条件/证明）|多条件组合判定，涉及对角线与边的关系|性质与判定互逆，形成逻辑闭环，提升推理能力| |综合与动态问题|3类（综合应用/动点/作图）|含几何证明、动态探究及网格作图，强调应用意识|从静态性质到动态变化，体现知识迁移，培养创新意识| |梯形概念|1类|辨析梯形、等腰梯形与直角梯形特征|关联平行四边形与梯形的异同，完善四边形知识体系|

完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 平行四边形与梯形 【知识点1 平行四边形的定义与表示方法】 1.平行四边形的定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的表示方法：□ABCD 【知识点2 平行四边形的性质】 1.边的性质：两组对边分别平行且相等． 2.角的性质：对角相等，邻角互补． 3.对角线的性质：互相平分． 4.整体性质：平行四边形是中心对称图形，但不一定是轴对称图形． 【知识点3 平行四边形的判定方法】 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 定义法 两组对边分别平行的四边形是平行四边形 ∵AD//BC,AB//CD ∴四边形ABCD是平行四边形 判定1 两组对边分别相等的四边形是平行四边形. ∵AD=BC,AB=CD ∴四边形ABCD是平行四边形 判定2 有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. ∵AD//BC,AD=BC ∴四边形ABCD是平行四边形 判定3 对角线互相平分的四边形是平行四边形. ∵OA=OC,OB=OD ∴四边形ABCD是平行四边形 【知识点4 等腰梯形与直角梯形】 1.梯形的定义：一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫作梯形； 2.等腰梯形：两腰相等的梯形叫作等腰梯形； 3.直角梯形：有一个角是直角的梯形叫作直角梯形。 【题型1 根据平行四边形的性质求角度问题】 1．中，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行四边形对角相等的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴． 2．在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴. 3．如图，在中，于点E，，则等于（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行四边形的性质可得，由余角的性质可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， ． 4．如图，将的一边延长至点E，若，则=（    ） A．30° B．50° C．70° D．110° 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质及平行线的性质，找到和的关系求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ． 5．如图，在平行四边形中，，观察如图所示的尺规作图痕迹，则的度数为（）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得出的度数，由作图痕迹可知是的平分线，利用平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 由作图痕迹可知：平分， ∴， ∵， ∴． 【题型2 根据平行四边形的性质求线段长问题】 6．在平行四边形中，对角线相交于点O，若， 则的长为（     ） A．4 B．5 C．8 D．10 【答案】A 【分析】因为平行四边形的对角线互相平分，所以，代入的长度即可得到结果． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线相交于点， ∴． ∵， ∴． 7．如图，中， 平分交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形和角平分线的性质，通过等量代换得到，从而得到，从而解出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. ∵， ∴ ． 8．如图，的对角线、相交于点，若，，则的长可能是（    ） A．7 B．10 C．12 D．16 【答案】A 【分析】根据平行四边形的性质得到对角线互相平分，得到，，再利用三角形三边关系求的范围即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，， 根据三角形三边关系可得 ∴ ∴得 ． 选项中只有满足，因此的长可能是． 9．如图，平行四边形的两条对角线长分别是4和6，且一条边长为整数，则这条边的长度可以是________．（写一个即可） 【答案】2 【分析】先理解题意，根据平行四边形的对角线互相平分得，又结合三角形三边关系得，又因为一条边长为整数，得出（答案不唯一）． 【详解】解：依题意，平行四边形如图所示： ∵平行四边形的两条对角线长分别是4和6， ∴， ∵， ∴， 即， ∵一条边长为整数， 这条边的长度可以是（答案不唯一）． 10．中，与的平分线交于点P，，，则________． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质可得出，，结合角平分线的定义可求出，根据三角形内角和定理得出，然后根据勾股定理求解即可. 【详解】解：∵中，， ∴，， ∴， ∵与的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴， 又， ∴. 【题型3根据平行四边形的性质求面积问题】 11．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 【答案】A 【分析】过点作平行四边形边的垂线段，因为，所以该垂线段同时也是边上的高，可据此将两个阴影三角形的面积用底和对应的高表示．根据平行四边形的高是两个阴影三角形分别以、为底时的高之和，结合三角形面积公式与平行四边形面积公式，可推出阴影部分面积和平行四边形总面积的数量关系． 【详解】如图，过点作平行四边形边的垂线， 根据平行四边形的性质：，且， 设点到的距离为，点到的距离为， 则平行四边形中，与之间的总高为， 平行四边形面积满足： ， 阴影部分为和，面积和为 ， 因此阴影部分面积为4． 12．如图，在中，点在上，，平分，，则的面积为（   ） A．32 B．24 C．18 D．16 【答案】D 【分析】首先根据平行四边形的性质得到，从而推出，再结合角平分线的定义得到，进而证得是等腰三角形，求出的长．最后过点作边上的高，利用含角的直角三角形性质求出高，即可计算面积． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ． 平分， ， ， ． ， ． 如图，过点作于点， 在中，，， ． ． 13．如图，的面积是20，则图中的阴影部分面积是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 【答案】B 【分析】过点E作于点F，则，根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点E作于点F， ∵的面积是20， ∴， ∴． 即图中的阴影部分面积是10． 14．如图，的周长为，，则的面积是____． 【答案】 【分析】根据平行四边形可设，再根据周长和面积建立二元一次方程组求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴ 设 ∵的周长为 ∴，则 ∵ ∴ ∴ 解得 ∴． 15．如图，中，对角线相交于点，为边上任意一点，若的面积为，则的面积为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形对角线互相平分可得，进而求出的面积，再根据平行四边形对边平行可得与同底等高，从而得出的面积． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点， ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∴点到的距离等于点到的距离， 与同底等高， ． 【题型4 利用平行四边形的性质证明线段关系】 16．如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，结合对顶角相等，即可证明，得出，进而即可得证； （2）勾股定理求得，，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ，， ， 为中点， ， 在和中 ， ， 即； （2）解：， ， ，， ， ， ． 17．如图，在平行四边形中，的平分线与相交于点．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，等量代换等知识点． 根据平行四边形的性质得到对边平行且相等，继而根据角平分线的定义和平行线的性质得到，继而得到，根据等量代换得证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 18．在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 【答案】见解析 【分析】根据定理证得即可得到结论． 【详解】证明：如图，设与交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴和互相平分． 19．如图，已知在中，的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质得到，再由平行线的性质和角平分线的定义证明，则可证明； （2）由平行四边形的性质得到，再证明，则由等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 20．如图，在平行四边形中，过对角线的交点O分别与交于E，F，，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2)四边形的周长为16 【分析】（1）由平行四边形的性质得，，推出，根据可证明，从而得出结论； （2）根据四边形的周长等于解答即可． 【详解】（1）证明：如图， 在中，，， ∴， 又∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∴，， ∴，， 在中，，， 四边形BCEF的周长． 【题型5 利用平行四边形性质证明角度关系】 21．如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接．求证：． 【答案】见解析 【分析】由平行四边形的性质得到，，则可证明，得到，据此证明，即可得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵分别为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 22．如图，在平行四边形中，点E在边上，连接，，恰好是的平分线，点F在上，，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先证明，结合已知条件进一步可得结论； （2）证明，，可得，再进一步证明即可. 【详解】（1）证明：∵恰好是的平分线， ∴， ∵，， ∴. （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴. 23．如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（）由四边形是平行四边形，所以，，则有，然后通过等边对等角得，得，从而求证； （）连接，先证明，所以，，由（）知，通过等腰三角形“三线合一”得，由勾股定理得，最后通过即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由（）知， ∴， 在中，，， ∴， ∵， ∴ ． 24．如图，在中，点在边上，且，点在上，且． (1)求证：． (2)求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，结合已知条件和邻补角的定义，即可证明； （2）根据平行四边形的性质可知，即可根据“”证得结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又∵，， ∴； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴． 25．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行四边形的对边平行的性质推出，再利用已知条件得到，得到，进而得到，由此得到结论平分； （2）根据平行四边形的对边平行的性质推出，，结合，证明，得到，由（1）知，得到，由此，即可得到 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， ∴， ∴ 【题型6 平行四边形的判定之添加条件问题】 26．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】由平行四边形的判定定理逐项验证即可． 【详解】解：A、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； B、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； C、当时，不能判定四边形是平行四边形，不符合题意； D、当，时，由对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形，符合题意． 27．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵在四边形中， ∴当时，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形是平行四边形，故A符合题意． 当时，四边形可能是等腰梯形，故B不符合题意． 当或时，无法证明，不能推出对角线互相平分，故C、D不符合题意． 28．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据平行四边形的判定定理，逐个分析各选项，找出不能判定四边形是平行四边形的选项即可． 【详解】解：如图， A选项，由，不能判定四边形是平行四边形，等腰梯形也满足该条件，故此选项符合题意； B选项，∵，，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C选项，∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 四边形两组对边分别平行，因此是平行四边形，故此选项不符合题意； D选项，∵，，根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”，可以判定四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； 29．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 【答案】 （或或） 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 当添加或或时， 可证得，， ∴四边形是平行四边形． 30．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【答案】(1)①② (2)①，证明见解析（答案不唯一） 【分析】根据平行四边形的性质和判定解答即可． 【详解】（1）解：符合条件的选项有：①②； （2）解：我选择①，证明过程如下： ∵，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 我选择②，证明过程如下： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【题型7 证明一个四边形是平行四边形】 31．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： (1)． (2)四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）利用平行线性质和中点条件，通过证明三角形全等； （2）由全等得线段相等，再结合已知的平行关系，用“一组对边平行且相等”判定平行四边形． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵在与中， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 32．如图，在中，E、F、G、H分别是边的中点．求证：四边形是平行四边形． 【详解】证明：连接，如图所示． ∵点E是的中点、点F是的中点， ∴、． 同理，可得出：、， ∴、， ∴四边形是平行四边形． 33．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 34．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 【分析】连接，根据等边三角形性质可得，，，再证明，所以，，证明为等边三角形，则有，，从而可得 ，因此得，即，又，最后通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】证明：连接，如图， ∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 35．如图，以平行四边形的边为边分别向外作等边三角形和．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见解析． 【分析】由四边形是平行四边形可得，，又和是等边三角形，则，，，然后证明，所以，再通过平行四边形的判定方法即可求证． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形． 【题型8 平行四边形的性质与判定综合问题】 36．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质与判定是解题的关键，直接证明四边形是平行四边形，进而根据平行四边形的对角相等即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，． ，分别是，的中点， ，， ，． 四边形是平行四边形． ． 37．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析 (2)的度数为． 【分析】本题考查直角三角形的两个锐角互余，平行线的判定，平行四边形的判定和性质． （1）由直角三角形的两个锐角互余，结合已知可得，即可证得结论； （2）由（1）得，结合已知可证四边形是平行四边形，从而可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）得， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴的度数为． 38．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明可得结论； （2）证明，可得结论． 本题考查平行四边形的判定和性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，     四边形是平行四边形； （2）解：平行四边形的周长为32， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ． 39．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，得出，再证明四边形是平行四边形； （2）根据平行四边形的性质得出，从而得出，根据，，得出，设，则，根据勾股定理得出，即可求出结果． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 设，则， 在中，根据勾股定理得： ， 即， 解得：， ∴． 40．如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 【答案】见解析 【分析】根据平行四边形的判定定理得到四边形是平行四边形，得到，根据等腰三角形的性质和平行线的性质得到，于是得到结论． 【详解】证明：∵，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ∵， ， ， ， ． 【题型9 与平行四边形有关的动点问题】 41．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 【答案】(1)t， (2)3 【分析】（1）根据平行四边形的性质和点运动的时间进行解答即可； （2）根据平行四边形的判定得到关于的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动， ∴当点P，Q运动t秒时，线段的长度为；线段的长度为； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴ ∴当时，四边形是平行四边形， 即， 解得． 42．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)t的值为3 (3)存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或 【分析】此题是四边形综合题，考查了梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的性质．熟练掌握平行四边形和梯形的判定，根据题意得出方程是解决问题的关键． （1）根据，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，即可解决问题； （2）根据与互相平分，得四边形是平行四边形，所以，得，解方程即可解决问题； （3）有两种情况：①点Q在线段上，②点Q在线段的延长线上，根据平行四边形对边相等列出方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵，点P从点D出发，以的速度向点A运动， ∴， ∴， ∵，点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动， ∴， 故答案为：，； （2）解：若与互相平分， 则是平行四边形， ∴， ∴， 解得， 故此时t的值为3； （3）解：存在，理由如下： 有两种情况： ①点Q在线段上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； ②点Q在线段的延长线上， 当时，以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形， 此时，， ∴， 解得； 综上所述，存在以点P、Q、C、D为顶点的四边形是平行四边形，此时的运动时间t为或． 43．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1)；；或 (2)当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形 【分析】此题考查一元一次方程的应用、平行四边形的判定、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地用代数式表示线段的长度是解题的关键． （1），，点E是的中点，得，，则或，而，，则；若点Q与点E重合，则，求得；若点P与点D重合，则，所以当时，则，当时，则，于是得到问题的答案； （2）由，可知点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，再分两种情况讨论，一是当Q运动到E和B之间，则得：；二是当Q运动到E和C之间，则得：，解方程求出相应的t值即可． 【详解】（1）解：∵，，点E是的中点，点P在上，点Q在上， ∴，， ∴或， ∵点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动， ∴， ∴； ∵点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动， ∴， 若点Q与点E重合，则， 解得； 若点P与点D重合，则， 当时，则， 当时，则， 故答案为：；；或； （2）解：， ∴点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， 是的中点， ， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得：， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 44．如图，在四边形中，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)四边形的面积是 (2)设的面积为s，求s与t之间的函数关系式； (3)当　 　时，的面积与四边形的面积相等； (4)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 【答案】(1) (2) (3) (4)2秒或秒 【分析】（1）作于M，如图所示：则，求出，，根据四边形是梯形进行求解即可； （2）由三角形面积公式计算即可； （3）由题意得：，则，根据面积公式列式可求； （4）由，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，，分两种情况：①当Q运动到E和B之间，则得：②当Q运动到E和C之间，分别列方程求解． 【详解】（1）作于M，如图所示：则， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴四边形是梯形， ∴四边形的面积， 故答案为： （2）由题意得， ∴， ∴的面积为， 即； （3）由题意得：，则， ∵， ∴四边形的面积， ∵的面积与四边形的面积相等， ∴， 解得：， 即时，的面积与四边形的面积相等； 故答案为：； （4）∵，则点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形时，， ∵E是的中点， ∴， 分两种情况： ①当Q运动到E和B之间，则得： ， 解得：， ②当Q运动到E和C之间，则得：， 解得：， 综上所述，当运动时间t为2秒或秒时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形． 45．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【答案】(1) (2)当时，四边形是平行四边形 (3)当或时，的长度为 【分析】（1）由题可知：，，则，可得点到的距离等于的长，再由求解即可； （2）若要使四边形为平行四边形，只需，得到，即可求解； （3）过点作于点，可得四边形为平行四边形，则，，，然后对运用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，点运动到点需要：（秒），点运动到点需要：（秒）， ∵其中一个动点到达端点时运动停止， ∴的取值范围是， 由题可知：，，则， ∵， ∴ ∵， ∴点到的距离等于的长， ∴； （2）解：∵，点在上，点在上， ∴， 若要使四边形为平行四边形，只需， 即： 解得： 经检验，在范围内，符合题意， ∴当时，四边形是平行四边形； （3）解：过点作于点，则 ∵， ∴， ∴ 又 ∴四边形为平行四边形， ∴，， 在中，由勾股定理得： 其中，，， ∴ ∴ 由此可得两种情况： ①当时，解得 ②当时：解得 经检验，和均在范围内，均符合题意， ∴当或时，的长度为． 46．如图，在平行四边形中，对角线，交于点，，点，分别为，的中点，连接，，若，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．12 【答案】C 【分析】根据斜边上的中线以及三角形的中位线定理，进行求解即可. 【详解】解：∵，点为的中点， ∴， ∵在平行四边形中，对角线交于点， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴. 【题型10 平行四边形作图问题】 46．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图： (1)在图1中画一个平行四边形，使其面积为9； (2)在图2中画一个平行四边形，使其周长为． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】（1）根据格点的特点，平行四边形的判定和性质，面积的计算作图即可； （2）根据平行四边形的判定和性质，勾股定理计算即可作图． 【详解】（1）解：如图所示， ∵， ∴四边形是平行四边形，且面积，符合题意， ∴四边形即为所求图形； （2）解：如图所示， ∵，， ∴四边形是平行四边形，且周长，符合题意， ∴四边形即为所求图形． 47．如图，在中，两条对角线与相交于点O，E、F、G、H分别是、、、的中点，以图中标明字母的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形． 【答案】 【分析】根据平行四边形的判定：对角线互相平分的四边形是平行四边形即可确定． 【详解】略 48．如图，在平行四边形中，，，． (1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）以点为圆心，长为半径交于点，点即为所作； （2）由（1）的作法即可得解． 【详解】（1）解：如图，点即为所作， 作，由作图知，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴点符合题意； （2）解：由（1）得． 49．如图，已知，请用尺规作图法在右侧找一点E，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点E，连接、即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 证明：由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形． 50．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一个平行四边形，使BC边长为（点C、D都在格点上）． (2)在图2中画一个平行四边形，使平行四边形关于点O成中心对称． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）解：如图，，四边形即为所求； （2）解：四边形即为所求； 【题型11 梯形、直角梯形、等腰梯形的概念】 51．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，找出符合条件的点即可． 【详解】解：当时，点D可以位于，，的位置， 当时，点D可以位于，的位置， 所以D点共有5种不同的选法． 52．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据梯形只有一组对边平行的定义，利用两直线平行同旁内角互补的性质，计算出与残缺图形已知角互补的两个拼接角，匹配对应角度的选项即可． 【详解】解：∵梯形的定义为只有一组对边平行的四边形，且平行线的性质为：两直线平行，同旁内角互补， ∴要使残缺图形与选项图形拼接成梯形，拼接后需形成一组平行对边，对应拼接的同旁内角需互补， ∵与角互补的角为， 与角互补的角为， ∴选项C中的图形有可能与上面残缺的图形拼成一个梯形． 53．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 【答案】C 【分析】根据直角梯形的性质，平移斜腰可将直角梯形分为一个矩形和一个直角三角形，利用勾股定理验证三边关系即可判断． 【详解】解：∵直角梯形平移斜腰后，可得到一个直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为梯形的高和两底的差，斜边为梯形的斜腰，满足勾股定理， 对选项C，取梯形两底为和，则两底差为，垂直于两底的腰长为，斜腰长为， ∵，符合勾股定理， ∴能构成直角三角形，即原四条线段能组成直角梯形， 其余选项均不满足该关系． 54．如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】根据正六边形的特性找全等腰梯形即可． 【详解】解：正六边形如图所示， 等腰梯形为，，，，，，共6个 ． 55．等腰梯形两底之差为8，高为4，则等腰梯形的钝角度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作辅助线将等腰梯形转化为直角三角形，利用等腰梯形的性质得到直角三角形的边长，结合直角三角形性质与平行线同旁内角互补的性质计算钝角度数． 【详解】设等腰梯形为，，， 过点作于点，过点作于点，如图， 四边形是等腰梯形，两底差， ，， ， 等腰梯形的高， 在中，， 是等腰直角三角形， ， ， ， ，即等腰梯形的钝角度数为． 1．平行四边形中，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形邻角互补的性质，已知的度数即可求出． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴． 2．如图，在中，，，，则的周长是（   ） A．21 B．22 C．25 D．32 【答案】A 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴的周长． 3．四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、∵，两组对边分别平行， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； B、∵，， ∴，则 ∴， 同理可得， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴ ， ∴，对角线互相平分， ∴四边形是平行四边形，不符合题意； D、当时，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形是平行四边形，符合题意． 4．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的判定，结合已知，选择适当判断方法求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∵， ∴    ∴ ∴四边形是平行四边形． 选项A不符合要求； ∵， ∴四边形是平行四边形， 故选项B不符合要求． ∵C中条件无法判定四边形是平行四边形． 选项C符合要求． ∵ ∴四边形是平行四边形． 选项D不符合要求． 5．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】B 【分析】根据平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，结合网格特点，利用平移的性质即可求解． 【详解】解：点B与点M，N，P，Q共线， ， 的长等于三个单位长度， 的对边长也应为三个单位长度， 由图可知，点M，N，P，Q中，只有的长等于三个单位长度， 能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是点N． 6．如图，在平行四边形中，，相交于点，若，，，则的周长为______． 【答案】 【分析】根据平行四边形的性质求出、、的长，进而即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，， 的周长． 7．在平行四边形中，，，则__________． 【答案】/150度 【分析】根据平行四边形对角相等的性质列方程求出，得到的度数，再利用平行四边形邻角互补的性质计算的度数． 【详解】解： 四边形是平行四边形， ， 又 ， ， ， 解得， 即， 平行四边形对边平行，同旁内角互补， ， ． 8．在中，的平分线将分成和两条线段，则的周长为____． 【答案】14或16 【分析】的平分线分成和两条线段，设的平分线交于点，需分两种情况讨论，或，利用平行四边形对边平行的性质可证为等腰三角形，得到，进而计算平行四边形的周长. 【详解】解：设的平分线交于点， 四边形是平行四边形， ， ， 又， ， ， ， 当时，， 的周长； 当时，， 的周长， 综上，的周长为或. 9．如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求与之间的距离． 【答案】(1)见解析 (2)4 【分析】（1）作交于点，易得四边形为平行四边形，得到，进而得到，得到即可； （2）过点作于点，根据三线合一和勾股定理求出的长即可. 【详解】（1）证明：作交于点，则， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴； （2）解：过点作于点， 由（1）可知：四边形为平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， 故与之间的距离为4． 10．如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，则四边形的周长为___________． 【答案】(1)证明见解析 (2)15 【分析】（1）根据中位线定理及中点定义可知，再根据平行四边形的判定即可证明； （2）根据平行四边形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：在中，分别是的中点， 是的中位线， ， ， 点是的中点， ， ， ， 即， 四边形是平行四边形； （2）解：在中，， 则四边形的周长 ． 1．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长度为半径作弧，两弧交于一点，作射线交于点若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的作法及平行线的性质．根据平行四边形对角相等求出，由作图可知平分，再利用两直线平行内错角相等即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，， 由作图可知，平分， ∴， ∵， ∴ 2．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行四边形的对边相等可得，设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为，然后利用三角形的面积公式列式整理即可得出结论． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 设点P到的距离分别为，平行四边形边，边上的高分别为， 则， ∴ ∵， ∴ 同理可得，， ∵， ∴． 3．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时，则 B．当恰好为的中点时，则的面积为 C．在折叠的过程中，的周长有可能是的2倍 D．当时，连结，四边形是等腰梯形 【答案】D 【分析】A选项在中由勾股定理可得；B选项先证明，再由勾股定理得，故；C选项在折叠过程中，与的周长相等；D选项当时，，，故四边形是等腰梯形，故选项D正确． 【详解】解：，， ，四边形是矩形， 由折叠得，， ， ， 设，则，在中，有，解得，故选项A不正确； 当恰好为的中点时，则时，由折叠得F也为的中点，故， ， ， ，故选项B不正确； 在折叠过程中，，，， ∴， 又∵， 与的周长相等，故选项C不正确； 如图，当时，，， ∴， ，， ， ∵， ， ， 四边形是等腰梯形，故选项D正确． 4．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 5．如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 【答案】6 【分析】根据梯形定义，需要寻找一组对边平行而另一组对边不平行的四边形的个数． 首先找到图内有几组平行线，再根据平行线找关于这组平行线的截线，看构成的四边形是否满足梯形的定义． 【详解】如图，图内有一组平行线且该平行线上有两个截线的共有以下几组： ，，． 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，可以组成梯形的四边形是，，； 在的平行线里，只有一组截线和，该截线无法构成梯形． 所以图中梯形的个数是． 6．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点，可得与同底同高，与同底同高，由此即可求解．掌握平行四边形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：与之间的关系∶． 理由：如图，过点作分别交、于点、，过点作于点，过点作于点， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∴， 即． 7．如图，在梯形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动． (1)_________，__________用含的式子表示 (2)当运动时间为多少秒时，； (3)当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【答案】(1)；； (2)为1.5秒时， (3)当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 【分析】（1）根据题意列出代数式即可； （2）根据、可判定四边形为平行四边形，此时，可得方程，解方程即可得解； （3）分别从当在上时，四边形为平行四边形和当在上时，四边形为平行四边形两方面分析求解即可求得答案； 【详解】（1）解：∵，，点以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动， ∴，， 故答案为：；； （2）解：如图示， ∵， ∴四边形为平行四边形 ∴ 又∵，， ∴． 当运动时间为1.5秒时，． （3）由题意知，此时有两种情况，在上或在上， ①当在上时，四边形为平行四边形 此时， 又∵， ∴ ∴ ∴满足题意 ②当在上时，四边形为平行四边形 此时． 又∵， ∴ ∴ ∴满足题意； 当运动时间为1秒或3.5秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 8．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，或 【分析】（1）根据路程=速度×时间，求解即可 ； （2）当时，过点A作于点F，则，，得到，根据题意，得，，构造等式求解即可； （3）当时，；当时，， 根据平行四边形的判定，列式求解即可． 【详解】（1）解：∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动， ∴； （2）解：当时，如图1，过点A作于点F，则，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴， ∴， 解得． （3）解：存在， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动， ∴，， ∴当点P与点D重合时，， 故， 解得， ∴当点Q与点B重合时，， 故， 解得， ∴当时，； 当时，， ∵， ∴当时，A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形， 当时，如图2，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 当时，如图3，四边形是平行四边形， ∵， ∴， 解得； 综上所述，t的值为或． 2 / 57 学科网（北京）股份有限公司 $ 完成时间： 月 日 今日打卡：☐ 已完成 用时： min 自评勋章： 暑假作业03 平行四边形与梯形 【知识点1 平行四边形的定义与表示方法】 1.平行四边形的定义：两组对边分别 的四边形叫做平行四边形. 2.平行四边形的表示方法：□ABCD 【知识点2 平行四边形的性质】 1.边的性质：两组对边分别 且 ． 2.角的性质：对角 ，邻角 ． 3.对角线的性质： ． 4.整体性质：平行四边形是 对称图形，但不一定是 对称图形． 【知识点3 平行四边形的判定方法】 判定方法 文字语言 图形语言 符号语言 定义法 两组对边分别 的四边形是平行四边形 ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形 判定1 两组对边分别 的四边形是平行四边形. ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形 判定2 有一组对边 且 的四边形是平行四边形. ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形 判定3 对角线 的四边形是平行四边形. ∵ ∴四边形ABCD是平行四边形 【知识点4 等腰梯形与直角梯形】 1.梯形的定义：一组对边 ,另一组对边 的四边形叫作梯形； 2.等腰梯形： 的梯形叫作等腰梯形； 3.直角梯形： 的梯形叫作直角梯形。 【题型1 根据平行四边形的性质求角度问题】 1．中，，则为（    ） A． B． C． D． 2．在平行四边形中，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．如图，在中，于点E，，则等于（     ） A． B． C． D． 4．如图，将的一边延长至点E，若，则=（    ） A．30° B．50° C．70° D．110° 5．如图，在平行四边形中，，观察如图所示的尺规作图痕迹，则的度数为（）． A． B． C． D． 【题型2 根据平行四边形的性质求线段长问题】 6．在平行四边形中，对角线相交于点O，若， 则的长为（     ） A．4 B．5 C．8 D．10 7．如图，中， 平分交于点E，则的长为（     ） A． B． C． D． 8．如图，的对角线、相交于点，若，，则的长可能是（    ） A．7 B．10 C．12 D．16 9．如图，平行四边形的两条对角线长分别是4和6，且一条边长为整数，则这条边的长度可以是________．（写一个即可） 10．中，与的平分线交于点P，，，则________． 【题型3根据平行四边形的性质求面积问题】 11．如图，点是内任一点，若，则图中阴影部分的面积是（    ） A．4 B．4.5 C．6 D．3.5 12．如图，在中，点在上，，平分，，则的面积为（   ） A．32 B．24 C．18 D．16 13．如图，的面积是20，则图中的阴影部分面积是（    ） A．8 B．10 C．12 D．15 14．如图，的周长为，，则的面积是____． 15．如图，中，对角线相交于点，为边上任意一点，若的面积为，则的面积为______． 【题型4 利用平行四边形的性质证明线段关系】 16．如图，在平行四边形中，，点是的中点，过点的直线分别交，的延长线于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长． 17．如图，在平行四边形中，的平分线与相交于点．求证：． 18．在平行四边形中，点F、H分别在边上，且．求证：与互相平分 19．如图，已知在中，的平分线交于点，连接． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 20．如图，在平行四边形中，过对角线的交点O分别与交于E，F，，，． (1)求证：； (2)求四边形的周长． 【题型5 利用平行四边形性质证明角度关系】 21．如图，在中，对角线交于点，已知分别为的中点，连接． 求证：． 22．如图，在平行四边形中，点E在边上，连接，，恰好是的平分线，点F在上，，连接．求证： (1)； (2)． 23．如图，在中，延长到点，使，连接交于点． (1)求证：平分； (2)若，，求的面积． 24．如图，在中，点在边上，且，点在上，且． (1)求证：． (2)求证：． 25．在中，是的中点，的延长线交的延长线于点，连接． (1)求证：平分； (2)求证： 【题型6 平行四边形的判定之添加条件问题】 26．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件能判定四边形为平行四边形的是（     ） A． B． C． D．， 27．如图，在四边形中，对角线、交于点O，，下列条件能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 28．在四边形中，由下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 29．如图，，是对角线双向延长线上的两点，请你添加一个适当的条件：_________，使四边形是平行四边形． 30．如图，在平行四边形中，点E，F是对角线上两个不同点．连接，，，，添加一个条件使得四边形是平行四边形． (1)请在以下选项中选择所有符合条件的选项，将其序号填写在下方横线上． ①，，E、F为垂足；②；③． 符合条件的选项有： ． (2)选择其中一个条件，写出证明过程：我选择 ， 证明过程如下： 【题型7 证明一个四边形是平行四边形】 31．如图，在四边形中，，延长到，使，连接交于点，点是的中点．求证： (1)． (2)四边形是平行四边形． 32．如图，在中，E、F、G、H分别是边的中点．求证：四边形是平行四边形． 33．如图，在四边形中，，对角线相交于点O，过点O交于点E，交于点F，且．求证：四边形是平行四边形． 34．如图，和都是等边三角形，．求证：四边形是平行四边形． 35．如图，以平行四边形的边为边分别向外作等边三角形和．求证：四边形是平行四边形． 【题型8 平行四边形的性质与判定综合问题】 36．如图，在中，分别是的中点，．求的度数． 37．如图，已知，，，． (1)求证：； (2)求的度数． 38．如图，在四边形中，的平分线交于点E，已知， (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，四边形周长为32，求的长度． 39．如图，在中，，点是边上一点，且，过点作的平行线，与过点所作的边的垂线相交于点． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，求的长． 40．如图，在中，，P是底边上的一动点，且，，求证：． 【题型9 与平行四边形有关的动点问题】 41．如图，在中，已知，点P在上以的速度从点A出发向点D运动，点Q在上以的速度从点C出发向点B运动，两点同时出发，当点Q到达点B时停止运动（同时点P也停止），设运动时间为t秒（）． (1)当点P，Q运动t秒时，线段的长度为_________；线段的长度为_________； (2)若经过t秒，四边形是平行四边形，请求出t的值． 42．如图，在四边形中，，，．点P从点D出发，以的速度向点A运动，同时点Q从点B出发，沿着射线以的速度向右运动，当动点P到达端点A时另一个动点Q也随之停止运动．设运动时间为． (1)在点P，Q运动过程中， ______ ， ______ ；（用含t的代数式表示） (2)连接，，若与互相平分，求此时t的值； (3)在点P，Q运动过程中，是否存在以点P，Q，C，D为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出此时的运动时间t；若不存在，请说明理由． 43．如图，在四边形中，，，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)线段 ； ； （用含t的代数式表示）； (2)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 44．如图，在四边形中，，，，点E是的中点．点P以每秒1个单位长度的速度从点A出发，沿向点D运动；点Q同时以每秒2个单位长度的速度从点C出发，沿向点B运动．点P停止运动时，点Q也随之停止运动．设运动时间为t秒． (1)四边形的面积是 (2)设的面积为s，求s与t之间的函数关系式； (3)当　 　时，的面积与四边形的面积相等； (4)当t为何值时，以点P，Q，E，D为顶点的四边形是平行四边形？ 45．如图，在四边形中，，，，，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒2个单位长的速度运动，动点同时从点出发，在线段上以每秒1个单位长的速度向点运动，当其中一个动点到达端点时另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为（秒）． (1)设的面积为，请用含的式子表示； (2)当为何值时，四边形是平行四边形？ (3)当为何值时，的长度为？ 【题型10 平行四边形作图问题】 46．如图，正方形网格中每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图： (1)在图1中画一个平行四边形，使其面积为9； (2)在图2中画一个平行四边形，使其周长为． 47．如图，在中，两条对角线与相交于点O，E、F、G、H分别是、、、的中点，以图中标明字母的点为顶点，尽可能多地画出平行四边形． 48．如图，在平行四边形中，，，． (1)尺规作图：在线段上求作一点，使得；（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，连接，求的长． 49．如图，已知，请用尺规作图法在右侧找一点E，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 50．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，请在所给网格中按下列要求画出图形． (1)在图1中画一个平行四边形，使BC边长为（点C、D都在格点上）． (2)在图2中画一个平行四边形，使平行四边形关于点O成中心对称． 【题型11 梯形、直角梯形、等腰梯形的概念】 51．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 52．下列选项中，能与如图所示残缺的图形拼成一个梯形的是（   ） A． B． C． D． 53．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 54．如图，正六边形中包含六个全等的等边三角形，它包含的等腰梯形的个数为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 55．等腰梯形两底之差为8，高为4，则等腰梯形的钝角度数是（   ） A． B． C． D． 1．平行四边形中，，则（     ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，，则的周长是（   ） A．21 B．22 C．25 D．32 3．四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A． B． C． D． 4．如图，四边形中，对角线相交于点，下列四组条件中不能判定四边形为平行四边形的是（    ） A．， B． C．， D． 5．如图，在4×6的网格中，点M，N，P，Q都在格点上，能与格点O，A，B连接得到平行四边形的是（   ） A．点M B．点N C．点P D．点Q 6．如图，在平行四边形中，，相交于点，若，，，则的周长为______． 7．在平行四边形中，，，则__________． 8．在中，的平分线将分成和两条线段，则的周长为____． 9．如图，在梯形中，，，． (1)求证：； (2)求与之间的距离． 10．如图，在中，，分别是线段，的中点，连接并延长至点，使，连接． (1)证明：四边形是平行四边形． (2)若，则四边形的周长为___________． 1．如图，在中，以点为圆心，任意长为半径画弧分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长度为半径作弧，两弧交于一点，作射线交于点若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，点P为平行四边形内任意一点，连接，如果将．、、的面积分别记为、、、，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，将沿对角线折叠得到，与交于点，则下列说法正确的是（   ） A．当时，则 B．当恰好为的中点时，则的面积为 C．在折叠的过程中，的周长有可能是的2倍 D．当时，连结，四边形是等腰梯形 4．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 5．如图，在正六边形中连接三条对角线，则该图中梯形的个数是______． 6．已知：如图，点为内一点，、的面积分别记为、，的面积记为，试探究与之间的关系． 7．如图，在梯形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点A出发，沿向点运动；点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动．点停止运动时，点也随之停止运动． (1)_________，__________用含的式子表示 (2)当运动时间为多少秒时，； (3)当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 8．如图，在平行四边形中，，，．动点P从点A出发沿以速度向终点D运动，同时点Q从点C出发，以速度沿射线运动，当点P到达终点时，点Q也随之停止运动，设点P运动的时间为t秒． (1)用含t的代数式表示 ； (2)当时，求t的值； (3)请问是否存在t的值，使得A，B，P，Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 11 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $