专题10 离散型随机变量分布列及数字特征5大题型（期末复习讲义）高二年级数学下学期人教A版

专题10 离散型随机变量分布列及数字特征5大题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 离散型随机变量分布列及数学期望 题型02 离散型随机变量分布列及其性质 题型03 离散型随机变量均值的应用 题型04 离散型随机变量的方差及其性质 题型05 求离散型随机变量的方差 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：离散型随机变量分布列及数学期望 能正确列出离散型随机变量的分布列，并利用公式 计算数学期望 解答题必考，常为第1问或第2问，易错点：概率和不为1或期望公式中漏乘概率 题型02：离散型随机变量分布列及其性质 能运用分布列的两条性质（，）求参数或验证分布列的正确性 基础考点，常以填空题或选择题出现，易错点：忽略非负性条件 题型03：离散型随机变量均值的应用 能利用期望解决实际决策问题（如期望收益、成本最小化），理解期望的线性性质 中档应用考点，常以实际问题背景出现，易错点：实际意义理解偏差或线性性质误用 题型04：离散型随机变量的方差及其性质 能掌握方差的定义 及性质 ，理解方差的意义 基础理解考点，常与期望对比考查，易错点：方差性质中系数平方易漏 题型05：求离散型随机变量的方差 能根据分布列或已知期望，利用方差公式准确计算方差 高频计算考点，常出现在解答题中，易错点：计算 时取值平方对应概率错误 知识点 离散型随机变量的分布列及数字特征 （1）离散型随机变量的均值 ①定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E（X）＝_________________为随机变量X的均值或________，数学期望简称______. ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的________，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的________. ③性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b（其中a，b为常数）也是随机变量，且E（Y）＝E（aX＋b）＝________. （2）离散型随机变量的方差 ①定义：设离散型随机变量X的分布列为， X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D（X）＝____________＝为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的______，记为σ（X）. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方（xi－E（X））2关于取值概率的加权平均. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的__________. 方差或标准差越小，随机变量的取值越_______；方差或标准差越大，随机变量的取值越_______. ③性质：D（X）＝＝－（E（X））2＝E（X2）－（E（X））2；D（aX＋b）＝a2D（X）. （3）关于均值、方差的几个结论 ①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数； ②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）； ③若X1，X2相互独立，则E（X1X2）＝E（X1）·E（X2）. 题型一 离散型随机变量分布列及数学期望 解｜题｜技｜巧 先确定随机变量 的所有可能取值，再计算每个取值对应的概率（注意概率和为1），列出分布列。数学期望 。求期望时常用公式：若 服从两点分布则 ；二项分布 ；超几何分布 。对于复杂随机变量，可先求分布列再代公式，或利用期望线性性质拆分。 【典例1】（24-25高二下·河北邢台·期末）现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为． (1)求； (2)求的分布列与数学期望． 【典例2】（24-25高二下·福建三明·期末）在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【变式1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）某班组织知识竞赛，分抢答和必答环节.抢答环节有一道题目.在抢答环节中，甲乙两人每人抢到题目的机会相等，且题目必被一名同学抢到.抢到题目且回答正确者得3分，同时没抢到者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，同时对方得3分.必答环节每人一题，答对得5分，答错得0分.甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，两个环节相互独立，两人回答问题是否答对互不影响. (1)记抢答环节甲同学累计得分为，求的分布列； (2)记两个环节结束甲同学累计得分为，求. 【变式2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 题型二 离散型随机变量分布列及其性质 解｜题｜技｜巧 分布列满足：① ；② 。利用性质可求未知参数或验证概率计算的正确性。常见题型：已知部分概率或关系式（如 ），通过归一性列方程解出常数。注意分布列中取值需按顺序列出，且概率通常用分数或小数表示。 【典例1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（   ） 0 1 A． B． C．或 D．1 【典例2】（24-25高二下·广东广州·期末）（多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二下·广西玉林·期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（   ） A． B． C．1 D． 【变式2】（24-25高二上·江西赣州·期末）（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 题型三 离散型随机变量均值的应用 解｜题｜技｜巧 均值反映随机变量的平均水平。实际应用包括：决策问题（比较不同方案的期望收益，选择期望大者）、保险保费定价（期望赔付额）、产品抽检（期望次品数）等。解题时先明确随机变量及其分布，计算期望，再结合实际问题进行判断（如期望损失最小、期望利润最大）。有时需结合方差衡量风险。 【典例1】（24-25高二下·北京通州·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·福建厦门·期末）某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 【典例3】（24-25高二下·甘肃白银·期末）某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树.该地区统计局考察了四户不同人口（含家庭园丁等）的家庭种植情况，统计结果如下表： 家庭 人口人 3 4 5 6 种植果树数棵 10 20 40 50 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程. (2)假设该地区政府对种植果树的家庭发放100元每棵的净化环境补贴. （i）若该区家庭为大户人家，人口数为8人，根据（1）的结论估计该区政府要给家庭净化环境补贴的总金额； （ii）若将补贴细化到个人，且种植为个人独立完成，已知家庭中的两个小孩小明、小红至多种植一棵果树，且种植一棵果树的概率分别为，，若该地区政府对小明、小红两人的补贴总金额的期望不超过140元，求的取值范围. 【变式1】（24-25高二下·广东揭阳·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二下·海南海口·期末）高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 【变式3】（24-25高二下·广东梅州·期末）某超市计划每天订购一种面包，每个面包的成本价为4元，售价为7元，当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．根据销售经验，每天需求量与当天超市的客流量有关：如果超市的客流量不低于5000，需求量为150个；如果超市的客流量位于区间，需求量为100个：如果超市的客流量低于3000，需求量为60个．为了确定订购计划，统计了前100天的客流量数据，得到下面的频数统计表： 客流量 天数 6 14 27 23 21 9 以超市的客流量位于各区间的频率作为客流量位于该区间的概率． (1)求该超市这种面包一天的需求量不少于100个的概率： (2)若该超市计划每天订购这种面包120个，求一天销售这种面包的利润的数学期望； (3)设该超市一天销售这种面包的利润为Y（单位：元）．当该超市这种面包一天的进货量n（单位：个）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 题型四 离散型随机变量的方差及其性质 解｜题｜技｜巧 方差 ，衡量离散程度。性质：；若 独立，则 。常见分布方差：两点分布 ；二项分布 ；超几何分布 。 【典例1】（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【典例2】设，随机变量的分布列是 0 p 1 P 则当p在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【变式1】（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知随机变量，且，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 题型五 求离散型随机变量的方差 解｜题｜技｜巧 方法一：先求分布列和期望 ，再计算 ，最后用 。方法二：利用方差性质，若随机变量可分解为独立伯努利变量之和（如二项分布），则方差直接相加。注意：当分布列复杂时，可先化简随机变量（如线性变换）再求方差。 【典例1】（25-26高二下·四川·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【典例2】（25-26高三下·广西崇左·阶段检测）甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【变式1】（24-25高二下·山东淄博·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本. (1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为，，求出的分布列以及，，，； (2)若从中不放回地依次取出3个球，设表示“第次取出的是红球”，分别求出和 【变式2】（24-25高二下·广东惠州·阶段检测）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，1个为20元，其余2个均为10元， （i）求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； （ii）若顾客甲和顾客乙参与活动，记事件为“甲乙两人所获的奖励额之和不低于100元”，求事件的概率； (2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·新疆·期中）若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·河北承德·期中）已知随机变量的分布列如表， 0 1 2 3 4 则______. 3．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知随机变量X服从二项分布，若且，则________． 4．（25-26高二下·山西临汾·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A． B． C．， D．， 5．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知离散型随机变量的分布列如图所示． 0 1 2 0.6 求： (1)常数的值； (2)，． 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量的分布列如下，则（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高二下·四川·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机有放回地抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 8．（25-26高二下·山东滨州·期中）某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 9．（25-26高二下·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 10．（25-26高二下·吉林·期中）2024年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.某中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 11．（2026·河北保定·三模）已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________． 12．（25-26高二下·贵州遵义·期中）甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． (1)求甲、乙两人共答对个问题的概率； (2)试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； (3)求乙答对题目数的分布列和期望． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 离散型随机变量分布列及数字特征5大题型 （期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 离散型随机变量分布列及数学期望 题型02 离散型随机变量分布列及其性质 题型03 离散型随机变量均值的应用 题型04 离散型随机变量的方差及其性质 题型05 求离散型随机变量的方差 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 题型01：离散型随机变量分布列及数学期望 能正确列出离散型随机变量的分布列，并利用公式 计算数学期望 解答题必考，常为第1问或第2问，易错点：概率和不为1或期望公式中漏乘概率 题型02：离散型随机变量分布列及其性质 能运用分布列的两条性质（，）求参数或验证分布列的正确性 基础考点，常以填空题或选择题出现，易错点：忽略非负性条件 题型03：离散型随机变量均值的应用 能利用期望解决实际决策问题（如期望收益、成本最小化），理解期望的线性性质 中档应用考点，常以实际问题背景出现，易错点：实际意义理解偏差或线性性质误用 题型04：离散型随机变量的方差及其性质 能掌握方差的定义 及性质 ，理解方差的意义 基础理解考点，常与期望对比考查，易错点：方差性质中系数平方易漏 题型05：求离散型随机变量的方差 能根据分布列或已知期望，利用方差公式准确计算方差 高频计算考点，常出现在解答题中，易错点：计算 时取值平方对应概率错误 知识点 离散型随机变量的分布列及数字特征 （1）离散型随机变量的均值 ①定义：一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称E（X）＝_________________为随机变量X的均值或___数学期望_____，数学期望简称___期望___. ②意义：均值是随机变量可能取值关于取值概率的____加权平均数____，它综合了随机变量的取值和取值的概率，反映了随机变量取值的___平均水平_____. ③性质：若X为离散型随机变量，则Y＝aX＋b（其中a，b为常数）也是随机变量，且E（Y）＝E（aX＋b）＝________. （2）离散型随机变量的方差 ①定义：设离散型随机变量X的分布列为， X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 我们称D（X）＝____________＝为随机变量X的方差，有时也记为Var（X），并称为随机变量X的___标准差___，记为σ（X）. ②意义：随机变量的方差，即是用偏差的平方（xi－E（X））2关于取值概率的加权平均. 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的_____离散程度_____. 方差或标准差越小，随机变量的取值越___集中____；方差或标准差越大，随机变量的取值越___分散____. ③性质：D（X）＝＝－（E（X））2＝E（X2）－（E（X））2；D（aX＋b）＝a2D（X）. （3）关于均值、方差的几个结论 ①E（k）＝k，D（k）＝0，其中k为常数； ②E（X1＋X2）＝E（X1）＋E（X2）； ③若X1，X2相互独立，则E（X1X2）＝E（X1）·E（X2）. 题型一 离散型随机变量分布列及数学期望 解｜题｜技｜巧 先确定随机变量 的所有可能取值，再计算每个取值对应的概率（注意概率和为1），列出分布列。数学期望 。求期望时常用公式：若 服从两点分布则 ；二项分布 ；超几何分布 。对于复杂随机变量，可先求分布列再代公式，或利用期望线性性质拆分。 【典例1】（24-25高二下·河北邢台·期末）现有8款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取3款进行破解．已知甲学生只能破解其中的4款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为． (1)求； (2)求的分布列与数学期望． 【答案】(1) (2)分布列见解析；期望为 【分析】（1）利用古典概型计算可得结果； （2）写出所有可能的取值，并分别求得对应概率，列出分布列，按照期望公式计算即可. 【详解】（1）根据题意可得，， 所以． （2）由题意知所有可能的取值为． ． 由（1）得，所以的分布列为 0 1 2 3 ． 【典例2】（24-25高二下·福建三明·期末）在高考志愿模拟填报中，学生甲对10个专业感兴趣，其中包括3个人工智能类、5个电子信息类和2个新能源类专业.他计划从这10个专业中随机选择4个进行填报，每个专业被选中的可能性相同. (1)求甲至少填报3个电子信息类专业的概率； (2)若甲填报人工智能类专业的数量为X，求随机变量X的分布列和数学期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析，期望为 【分析】（1）根据古典概型概率公式计算； （2）的可能值为，计算出概率后得分布列，根据期望公式计算出期望. 【详解】（1）甲选4个专业的方法数是，至少填报3个电子信息类专业方法数为， 所以甲至少填报3个电子信息类专业的概率为 （2）由题意的可能值为， ，，，， 所以的分布列是 0 1 2 3 . 【变式1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）某班组织知识竞赛，分抢答和必答环节.抢答环节有一道题目.在抢答环节中，甲乙两人每人抢到题目的机会相等，且题目必被一名同学抢到.抢到题目且回答正确者得3分，同时没抢到者得0分；抢到题目且回答错误者得0分，同时对方得3分.必答环节每人一题，答对得5分，答错得0分.甲答对每道题目的概率为，乙答对每道题目的概率为，两个环节相互独立，两人回答问题是否答对互不影响. (1)记抢答环节甲同学累计得分为，求的分布列； (2)记两个环节结束甲同学累计得分为，求. 【答案】(1)分布列见解析 (2) 【分析】（1）由题意，的所有取值为，进而求得所有取值对应的概率即可求解； （2）由题意，的所有取值为，进而求得所有取值对应的概率，再根据期望公式求解即可. 【详解】（1）由题意，的所有取值为， 则， ， 所以的分布列为： 0 3 （2）由题意，的所有取值为， 由（1）知，抢答环节甲同学累计得分为0的概率为，得分为3的概率为， 则，， ，， 则. 【变式2】（24-25高二下·甘肃白银·期末）某商场举行一个“消费满百元送抽奖券”的活动，每张抽奖券参与抽奖都有机会获奖，且获得一等奖（价值10元的消费券）的概率为0.1，获得二等奖（价值5元的消费券）的概率为0.2，获得三等奖（价值2.5元的消费券）的概率为0.4，未获奖则无消费券. (1)求每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率； (2)若消费者小李获得五张抽奖券，他拿这五张抽奖券参加抽奖活动，求这五张抽奖券恰有一张获奖的概率； (3)若消费者小张获得一张抽奖券，设他抽奖后获得的消费券数额为元，求的分布列、期望与方差. 【答案】(1)0.7 (2) (3)分布列见解析，数学期望为3，方差为8.5 【分析】（1）根据互斥事件的概率求解； （2）利用独立重复事件乘法公式计算； （3）分别得到的所有结果，并求出对应的概率，然后写出分布列并根据期望，方差公式计算. 【详解】（1）每张抽奖券参与抽奖活动获奖的概率为. （2）由独立重复试验的概率可知，这五张抽奖券恰有一张获奖的概率为. （3）依题意可得的可能取值为0，2.5，5，10， 的分布列为 0 2.5 5 10 0.3 0.4 0.2 0.1 则， . 题型二 离散型随机变量分布列及其性质 解｜题｜技｜巧 分布列满足：① ；② 。利用性质可求未知参数或验证概率计算的正确性。常见题型：已知部分概率或关系式（如 ），通过归一性列方程解出常数。注意分布列中取值需按顺序列出，且概率通常用分数或小数表示。 【典例1】（24-25高二下·河北石家庄·期末）以下是某离散型随机变量的分布列，则实数（   ） 0 1 A． B． C．或 D．1 【答案】C 【分析】根据分布列的性质进行求解即可. 【详解】根据分布列的性质可知：，或， 故选：C 【典例2】（24-25高二下·广东广州·期末）（多选）已知离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P 0.4 0.2 a 则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据分布列的性质求得，再根据期望、方差的计算公式以及性质逐一验算即可求解. 【详解】对于AB，由题意，所以， 所以，故AB都正确， 对于CD，， ，故C正确，D错误. 故选：ABC. 【变式1】（24-25高二下·广西玉林·期末）设是一个离散型随机变量，其分布列为： -1 0 1 则等于（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】由概率和为1即可求解. 【详解】由离散型随机变量的分布列知：，解得. 故选：A. 【变式2】（24-25高二上·江西赣州·期末）（多选）已知离散型随机变量的分布列如下表所示，则下列选项正确的是（   ） 2 4 6 8 10 2a 0.25 0.1 0.25 A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据分布列的性质列方程求，由期望和方差的定义求，再由期望和方差的性质求，由此确定正确选项. 【详解】由分布列的性质可得， 所以，此时， 所以， ， 所以，. 故选：ABD. 题型三 离散型随机变量均值的应用 解｜题｜技｜巧 均值反映随机变量的平均水平。实际应用包括：决策问题（比较不同方案的期望收益，选择期望大者）、保险保费定价（期望赔付额）、产品抽检（期望次品数）等。解题时先明确随机变量及其分布，计算期望，再结合实际问题进行判断（如期望损失最小、期望利润最大）。有时需结合方差衡量风险。 【典例1】（24-25高二下·北京通州·期末）设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 P m 0.3 n 0.3 则与的值分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知分布列得出对应概率，再应用数学期望公式计算结合数学期望性质求解即可. 【详解】根据分布列可得； ， 故选：A. 【典例2】（24-25高二下·福建厦门·期末）某工厂共有甲、乙两条生产线生产同一型号的产品，其中甲生产线每天产量为20000件，乙生产线每天产量为10000件．其中甲生产线的一等品率为0.2，二等品率为0.8；乙生产线的一等品率为0.6，二等品率为0.4.将甲、乙两条生产线生产的产品均匀混合后随机装箱． (1)质检人员从混合后的产品中随机抽取一件，求抽取到的产品为一等品的概率； (2)已知每箱中有3件产品，其中二等品的定价为100元／件，若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品应该如何定价． 【答案】(1) (2)若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件 【分析】（1）由全概率公式即可求解； （2）算出，根据题意列不等式求解即可. 【详解】（1）设从待装箱的产品中随机抽取一件，其为甲、乙两条生产线的产品分别记为事件A和事件B，记其为一等品的为事件C， 依题意可得，且互斥， 故， 所以抽取到的产品为一等品的概率． （2）由（1）从混合后的产品中随机抽取一件，抽到一等品的概率为， 设每箱中3件产品中一等品的数量为随机变量，则， ， 设每箱产品销售额为随机变量，一等品定价为元/件， 则， 所以， 依题意，，解得， 所以若要使得每箱产品销售额的期望不低于400元，一等品定价至少200元/件． 【典例3】（24-25高二下·甘肃白银·期末）某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”的理念，鼓励农户利用荒坡种植果树.该地区统计局考察了四户不同人口（含家庭园丁等）的家庭种植情况，统计结果如下表： 家庭 人口人 3 4 5 6 种植果树数棵 10 20 40 50 (1)已知与具有较强的线性相关关系，求关于的经验回归方程. (2)假设该地区政府对种植果树的家庭发放100元每棵的净化环境补贴. （i）若该区家庭为大户人家，人口数为8人，根据（1）的结论估计该区政府要给家庭净化环境补贴的总金额； （ii）若将补贴细化到个人，且种植为个人独立完成，已知家庭中的两个小孩小明、小红至多种植一棵果树，且种植一棵果树的概率分别为，，若该地区政府对小明、小红两人的补贴总金额的期望不超过140元，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）7900元；（ii）. 【分析】（1）由已知求，利用最小二乘法求，，由此可得回归方程， （2）①由（1）所求回归方程，取求对应的预测值可得， ②设小明、小红两人中种植果树的人数为，确定的可能取值，再求取各值的概率，利用期望公式求期望，结合条件列不等式求的取值范围. 【详解】（1）由题意得，， ，，， 所以，故得关于的经验回归方程为. （2）（i）将代入，得， 所以估计该地区政府要给家庭净化环境补贴的总金额为元. （ii）设小明、小红两人中种植果树的人数为，则的所有可能值为，，， 则， ， . . ，且，，故的取值范围为. 【变式1】（24-25高二下·广东揭阳·阶段检测）已知随机变量服从两点分布，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由与是对立事件可列方程求出、，再根据离散型随机变量的均值公式求出，最后利用公式进行求解. 【详解】因为，所以， 所以， 因为， 所以. 故选：B 【变式2】（24-25高二下·海南海口·期末）高中数学试题多选题给出的四个选项中有2个或3个选项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分（答案为3个选项每个得2分，答案为2个选项每个得3分）． (1)若一道多选题只有2个选项符合题目要求，求随机选择2个选项能得6分的概率； (2)假定四个选项中有2个或3个选项符合题目要求的概率均为． （ⅰ）求一道多选题随机选择1个选项时得0分的概率； （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下随机作答（选择1至3个选项），从得分期望角度分析，建议作答时选择几个选项？ 【答案】(1) (2)（i）；（ii）建议作答时选择2个或者3个选项 【分析】（1）按照古典概型公式计算； （2）（ⅰ）按照全概率公式计算；（ⅱ）分别按照选1个选项、选2个选项、选3个选项得分的所有可能结果，然后求出对应的概率，分别计算这3种情况的学期望进行比较即可. 【详解】（1）记“随机选择2个选项得6分”为事件A． 从4个选项中任选2个选项，样本空间共种等可能结果， 正确选项1种可能，所以，即随机选择2个选项得6分的概率为． （2）（ⅰ）记“四个选项中有i个选项符合题目要求”为事件， “选择1个选项时得0分”为事件B． 则有，， ，， ，即选择1个选项时得0分的概率为． （ⅱ）一道多选题在能确定A选项错误的前提下． 选1个选项时，得分X的可能取值为0，2，3， ，，， 所以得分期望， 选2个选项时，得分Y的可能取值为0，4，6， 同理可得，，， 所以得分期望为， 选3个选项时，得分Z的可能取值为0，6， 同理可得，， 所以得分期望为， ，建议作答时选择2个或者3个选项． 【变式3】（24-25高二下·广东梅州·期末）某超市计划每天订购一种面包，每个面包的成本价为4元，售价为7元，当天如果没有售完，剩余的面包以每个2元的价格处理掉．根据销售经验，每天需求量与当天超市的客流量有关：如果超市的客流量不低于5000，需求量为150个；如果超市的客流量位于区间，需求量为100个：如果超市的客流量低于3000，需求量为60个．为了确定订购计划，统计了前100天的客流量数据，得到下面的频数统计表： 客流量 天数 6 14 27 23 21 9 以超市的客流量位于各区间的频率作为客流量位于该区间的概率． (1)求该超市这种面包一天的需求量不少于100个的概率： (2)若该超市计划每天订购这种面包120个，求一天销售这种面包的利润的数学期望； (3)设该超市一天销售这种面包的利润为Y（单位：元）．当该超市这种面包一天的进货量n（单位：个）为多少时，Y的数学期望达到最大值？ 【答案】(1) (2)250 (3)100个 【分析】（1）根据题意可知这种面包一天需求量不少于100对应的客流量不少于3000，根据给定统计表即可计算出此概率； （2）根据给定进货量120，结合人流情况分别计算对应的日利润及概率，综合几种情况求出利润的数学期望； （3）根据题给条件，按照进货量60，100，150分别讨论利润Y的相应函数，结合对应概率列出对应的期望值的函数，判断函数单调性，确定对应的最大期望值，比较最大期望时的进货量，最终确定进货量n. 【详解】（1）根据题意这种面包一天的需求量不少于100个对应的客流量不少于3000，则其概率为： 故该超市这款新面包日需求量不少于100个的概率为． （2）若该超市计划每天订购这种面包120个，设这款新面包的日利润为X， 则依题意，日利润X的可能值有三种，分别为： 当客流量在5000以上时，； 当客流量位于区间时，； 当客流量低于3000时，， 分别对应的概率为： ； ； ； 所以该超市计划每天订购这种面包120个，一天销售这种面包的利润的数学期望． （3）根据题意，这种面包的需求量不多于150个，按需求量60，100，150分类讨论： ①当，， 此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y的数学期望: ，函数单调递增. 当时，取最大值，此时； ②时： 当客流量在3000以上时，，； 当客流量低于3000时，，. 此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y的数学期望: 函数单调递增，当时，. ③ 当客流量在5000以上时，，; 当客流量位于区间时，,; 当客流量低于3000时，，. 此时，该超市一天销售这种面包的利润为Y的数学期望: ，函数单调递减，当时取最大值，. 综上，可以发现当时， 该超市一天销售这种面包的利润的数学期望取得最大值：． 题型四 离散型随机变量的方差及其性质 解｜题｜技｜巧 方差 ，衡量离散程度。性质：；若 独立，则 。常见分布方差：两点分布 ；二项分布 ；超几何分布 。 【典例1】（24-25高二下·广东肇庆·期末）已知离散型随机变量的分布列如下表： 0 1 2 0.3 若离散型随机变量，则的方差（   ） A．0.6 B．5.4 C．1 D．3.4 【答案】B 【分析】根据题意先求出，再求出，再利用方差的性质即可求解. 【详解】由题意得，，， 所以， 所以. 所以.故B正确. 故选：B. 【典例2】设，随机变量的分布列是 0 p 1 P 则当p在区间内增大时，（    ） A．减小 B．增大 C．先减小后增大 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】先求出，令，求导确定单调性即可. 【详解】， ，令，则，易得单调递减， 又，故存在，使得，则在单增，在单减，即先增大后减小. 故选：D. 【变式1】（24-25高二下·贵州遵义·期末）已知随机变量，且，则下列错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二项分布的期望公式求出的值，可判断A选项；利用二项分布的方差公式可判断B选项；利用期望的性质可判断C选项；利用方差的性质可判断D选项. 【详解】因为随机变量，且，解得，A对； 因为，故，B对； ，C对； ，D错. 故选：D. 【变式2】（25-26高二下·福建·期中）已知随机变量满足，若，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】利用期望和方差公式将数学期望和方差用概率表述出来，然后比较大小即可． 【详解】∵，同理， 由已知，∴， ∵，而， ∴，同理，且有， ∴，故． 题型五 求离散型随机变量的方差 解｜题｜技｜巧 方法一：先求分布列和期望 ，再计算 ，最后用 。方法二：利用方差性质，若随机变量可分解为独立伯努利变量之和（如二项分布），则方差直接相加。注意：当分布列复杂时，可先化简随机变量（如线性变换）再求方差。 【典例1】（25-26高二下·四川·期末）有10道单项选择题，某生能正确解答其中6道题，不能正确解答的题目每道题能够猜对的概率为. (1)若10道单项选择题全部做完，求该生答对的题目数的分布列； (2)若从10道单项选择题中随机抽出2道题进行做答，求该生答对的题目数的均值和方差. 【答案】(1) 6 7 8 9 10 (2)均值为，方差为 【分析】（1）的可能取值为6,7,8,9,10，求出相应的概率，得到分布列； （2）的可能取值为0,1,2，求出相应的概率，利用期望和方差公式进行求解. 【详解】（1）由题意，的可能取值为6,7,8,9,10， ， ， ， 题目数的分布列如下： 6 7 8 9 10 （2）由题意，的可能取值为0,1,2， 表示抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均没有正确解答， 故， 表示抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且正确解答其中的1道， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题目，且这道题目没能正确解答， 故， 表示抽到的2道题全部来自不能正确解答的4道题目，且均正确解答， 或抽到的2道题1道来自能正确解答的6道题目，1道来自不能正确解答的4道题，且这道题目正确解答， 或抽到的2道题均来自能正确解答的6道题目， 故， 所以该生答对的题目数的均值为， 方差为. 【典例2】（25-26高三下·广西崇左·阶段检测）甲有50万元自有资金想用于项目投资，经调查有两个项目供甲选择： 项目一：用于某金融投资，如果投资成功，一年后可获利本金的；如果投资失败，一年后将丧失本金的，这两种状况发生的概率分别为． 项目二：用于实体经济投资，一年后可能获利本金的，可能丧失本金的，也可能这一年不赔不赚，这三种状况发生的概率分别为． (1)设随机变量X，Y分别为甲投资项目一、项目二一年后的收益，求X，Y的分布列； (2)针对以上两个项目，请为甲选择一个合理的项目，并说明理由． 【答案】(1)的分布列见解析 (2)甲应该选择项目二，理由见详解 【分析】（1）根据题意分析X、Y可取的值，进而可得X，Y的分布列； （2）分别求X，Y的期望和方差，进而比较大小，即可分析判断. 【详解】（1）由题意可知：X可取的值为：，10， 其分布列为 X 10 P Y可取的值为：，0，6， 其分布列为 Y 0 6 P （2）对于项目一：（万元）， ； 对于项目二：（万元）， ； 因为，， 即两个项目的期望值相同，但项目一的波动性较大，所以甲应该选择项目二． 【变式1】（24-25高二下·山东淄博·期末）一个袋子中有10个大小相同的球，其中有4个红球、6个白球，从中随机地摸出3个球作为样本. (1)设采用不放回摸球和有放回摸球得到的样本中红球的个数分别为，，求出的分布列以及，，，； (2)若从中不放回地依次取出3个球，设表示“第次取出的是红球”，分别求出和 【答案】(1)分布列见解析，，；，. (2)， 【分析】（1）对于不放回摸球，先判断其试验结果不独立，再求出对应事件的概率，进而列出分布列，利用期望公式求解期望，法一利用方差的定义式求解方差，法二利用方差的性质求解方程，对于放回摸球，先判断其试验结果相互独立，进而确定其服从二项分布，利用二项分布的期望公式求解期望，利用二项分布的方差公式求解方差即可. （2）法一结合题意求出，再求出，最后求出，法二先利用排列数性质求出，，再结合排列数性质求解即可. 【详解】（1）由题意得对于不放回摸球，各次试验之间的结果不独立， 且的取值为，而， ，， ， 故分布列如下： 0 1 2 3 则由期望公式得， 法一：由方差的定义式得； 法二：由方差的性质得， 故， 对于有放回摸球，每次摸到红球的概率为0.4，且每次试验之间的结果是独立的， 则，由期望公式得， 由方差公式得. （2）法一：采用不放回摸球，且表示前两次摸到红球的概率， 可得， 而，， 得到， 法二：由排列数性质得，， 我们采用不放回摸球，得到，故. 【变式2】（24-25高二下·广东惠州·阶段检测）为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，1个为20元，其余2个均为10元， （i）求顾客所获的奖励额的分布列及数学期望； （ii）若顾客甲和顾客乙参与活动，记事件为“甲乙两人所获的奖励额之和不低于100元”，求事件的概率； (2)商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球的面值给出一个合适的设计，并说明理由. 【答案】(1)（i）分布列见解析，45元；（ii） (2)面值为个元和个元，理由见解析 【分析】（1）（i）利用古典概型求概率，即可列出分布列，再求期望即可； （ii）根据第（i）中的分布列，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可； （2）根据题意可知每个顾客的平均奖励额为60元，故先找寻期望为60元的可能方案，分类找出所有情况，但只有和两种方案具有可能性，再分别列出其分布列，并求期望和方差. 【详解】（1）（i）依题意，得的所有可能取值为20，30，60，70， 则，， ，， 即的分布列为： 20 30 60 70 所以顾客所获得奖励额的期望为（元） （ii）根据第（i）中的分布列， 两人所获的奖励额之和为的概率为； 两人所获的奖励额之和为的概率为； 两人所获的奖励额之和为的概率为； 两人所获的奖励额之和为的概率为； 则， 所以事件的概率. （2）根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元，所以先寻找期望为60元的可能方案， ①对于面值由10元和50元组成的情况， 如果选择的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元； 如果选择的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元， 因此可能的方案是，记为方案1； ②对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除和的方案， 所以可能的方案是，记为方案2. 以下是对两个方案的分析： 对于方案1，即方案，设顾客所获的奖励额为， 则，，， 则的分布列为 20 60 100 的期望为， 的方差为， 对于方案2，即方案，设顾客所获的奖励额为， 则，，， 则的分布列为 40 60 80 的期望为， 的方差为， 由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小， 所以应该选择方案2，即面值为个元和个元. 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26高二下·新疆·期中）若随机变量满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为随机变量满足，且， 所以，整理得到，所以， 即，解得，则，所以. 2．（25-26高二下·河北承德·期中）已知随机变量的分布列如表， 0 1 2 3 4 则______. 【答案】/ 【分析】根据分布列的性质求得，根据数学期望的计算公式求得 【详解】根据分布列的性质，所有概率之和为1，得,, 由离散型随机变量数学期望的定义， . 3．（25-26高二下·浙江·阶段检测）已知随机变量X服从二项分布，若且，则________． 【答案】/ 【详解】由题设，则，， 所以，可得 ，所以. 4．（25-26高二下·山西临汾·期中）（多选）设离散型随机变量的分布列如表，若离散型随机变量满足，则（    ） X 0 1 2 3 4 P 0.1 0.4 x 0.2 0.2 A． B． C．， D．， 【答案】ABD 【详解】因为，所以，A正确； ， ，B正确，C错误； ，则，D正确. 5．（25-26高二下·山东济宁·期中）已知离散型随机变量的分布列如图所示． 0 1 2 0.6 求： (1)常数的值； (2)，． 【答案】(1)或 (2)当时，，；当时，， 【分析】（1）由概率之和为1，且每个概率都大于等于0列方程求解即可； （2）根据分布列计算期望和方差，结合方差的性质即可. 【详解】（1）易知，整理得， 解得或. （2）当时，， ， 则. 当时，， ， 则. 综上，当时，，；当时，，. 期末重难突破练（测试时间：30分钟） 6．（25-26高二下·江苏盐城·期中）已知随机变量的分布列如下，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由概率之和为可得，解得， 因为， 所以. 7．（25-26高二下·四川·期末）有2台车床加工同一型号的零件，第一台加工的合格品率为，第二台加工的合格品率为；若将这两批零件混合放在一起，则合格品率为. (1)设第一台车床加工的零件有件，第二台车床加工的零件有件，求证：； (2)从混合放在一起的零件中随机有放回地抽取4个零件，用频率估计概率，记这4个零件中来自第二台车床的个数为，求的分布列、数学期望和方差. 0 1 2 3 4 【答案】(1)已知第一台车床加工的零件有件，合格品有 件， 第二台车床加工的零件有件，合格品有 件， 混合后的合格率为 ，解得，得证. (2) 0 1 2 3 4 ， 【分析】（1）根据合格率的概念，计算混合后的总体合格率，证明； （2）来自第二台车床零件的个数服从二项分布，根据二项分布写出分布列，计算期望和方差. 【详解】（1）略 （2）由可知，一个零件来自第二台车床概率为， 随机变量可能取值有，来自第二台车床零件的个数服从二项分布，则， 可得，，， ，， 随机变量分布列为： 0 1 2 3 4 根据二项分布，. 8．（25-26高二下·山东滨州·期中）某科技公司生产精密零件，零件质量指标.规定质量指标在内的零件为优质品，且每个零件的检测结果相互独立. 附：若，则. (1)现从该公司生产的零件中随机抽取2个，求这2个零件中恰好有1个为优质品的概率； (2)从该公司生产的零件中随机抽取6个进行检测，记这6个零件中有个优质品的概率最大，当这6个零件中恰好有个优质品时把这6个零件视为一个样本，从这6个零件中不放回地任取3个进行二次检测，记取出的3个零件中优质品的个数为，求的分布列与数学期望. 【答案】(1) (2) 1 2 3 【分析】（1）先确定，由条件可得从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率，再结合独立重复试验概率公式求结论； （2）先求，由，判断的单调性，确定，再确定的可能取值，并求取各值的概率，由此可得分布列，再由期望公式求期望. 【详解】（1）因为，所以，， 所以从该批零件中随机抽取1个为优质品的概率， 所以从该批零件中随机抽取个，恰好有个为优质品的概率为. （2）设随机抽取的个零件中，优质品的个数为. 由题意得，， 所以， 因为， 当时，， 当时，， 所以，概率最大时对应，即. 由题意可得的所有可能取值为1、2、3， ，，， 所以的分布列为 1 2 3 . 9．（25-26高二下·重庆渝北·期中）某商家为了推销新生产的玩具，举行抽奖活动.玩具有外观和内饰的颜色区别，现有25个不同的玩具，其外观和内饰的颜色分布如下表所示： 内饰外观 红色内饰 蓝色内饰 黄色外观 10 2 绿色外观 10 3 (1)若小华从这些玩具中随机拿一个玩具，记事件为小华取到黄色外观的玩具，事件为小华取到红色内饰的玩具，求，和； (2)该商家规定在一次抽奖中，每人可以从这些玩具中随机一次性拿两个玩具，现有两种抽奖方案： 方案一：每人参加一次抽奖活动.若拿到的两个玩具外观和内饰都异色，则获得一等奖800元；若拿到的两个玩具外观和内饰均为同色，则获得二等奖500元；若拿到的两个玩具仅外观或内饰同色，则获得三等奖300元. 方案二：每人参加三次抽奖活动.每次抽奖若拿到的两款玩具外观和内饰均为同色，获得奖金500元，否则没有奖金. 设方案一中每人获得奖金金额为X元，方案二中每人获得奖金金额为Y元.请写出X的分布列及求出X，Y的期望，并通过期望比较哪种方案获奖金额更高. 【答案】(1)，，， (2) 800 500 300 ，，方案二获奖金额更高. 【分析】（1）通过条件概率公式、概率乘法公式以及事件和概率公式即可求解； （2）通过古典概型求出X的分布列及其期望，根据二项分布求出的期望即可得结果. 【详解】（1），， ， （2）方案一中，可取800，500，300. 则， ， ， 的分布列： 800 500 300 . 方案二中，记每人三次抽奖中获奖次数为， 因为每次抽奖条件相同且独立，所以服从二项分布. 设一次抽奖的获奖概率为，则，所以， 可得中奖次数的期望为. 根据题设，，则. ，故方案二获奖金额更高. 10．（25-26高二下·吉林·期中）2024年被业界公认为“具身智能元年”得益于硬件成本的雪崩式下降和视觉-语言-动作大模型的成熟.人工智能已经不再是概念和愿景，而是开始真实地走进企业和家庭，重新定义人类的工作和生活.某中学为激发学生进一步对人工智能的了解，举办知识竞赛活动.活动分两轮进行，第一轮通过后方可进入第二轮，两轮通过后即可获得代表学校参加比赛的资格.已知小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为、、，在通过第一轮的条件下，他们通过第二轮的概率依次为、、，假设他们之间通过与否相互独立． (1)求这3人中至少有2人通过第一轮的概率； (2)设这3人中通过第二轮的人数为，求的分布列及期望. 【答案】(1) (2)分布列见解析； 【分析】（1）根据题意，分为恰有两人通过和三人都通过，结合相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率加法公式，即可求解； （2）分别求得三人通过第二轮的概率分别为，，，根据题意，得到变量的可能取值为，求得相应的概率，列出分布列，结合期望的公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为小明、小华、小方3位同学通过第一轮的概率依次为， 若恰有两人通过的概率为， 若三人都通过的概率为， 所以求这3人中至少有2人通过第一轮的概率. （2）解：根据题意，小明通过第二轮的概率为， 小华通过第二轮的概率为，小方通过第二轮的概率为， 则这3人中通过第二轮的人数为的可能取值为， 当时，即3人都未通过第二轮，其概率为， 当时，即3人仅有1人通过第二轮， 其概率为， 当时，即3人仅有2人通过第二轮， 其概率为， 当时，即3人都通过第二轮，其概率为， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 所以期望为. 期末综合拓展练（测试时间：25分钟） 11．（2026·河北保定·三模）已知甲盒中放有1个红球、3个白球(除颜色外，其他完全相同)，乙盒中放有2个红球、2个白球(除颜色外，其他完全相同)，每次等可能地从甲、乙两个盒子中选择一个盒子，有放回地摸1个球，若连续摸到2个红球，则停止摸球．记停止摸球时摸球的总次数为X，则E(X)=________． 【答案】 【详解】若第一次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次没有摸到红球，则停止摸球时摸球的总次数为 ，此时的概率为； 若第一次摸到红球，第二次也摸到红球，则停止摸球，摸球的总次数为2，此时的概率为 所以 解得. 12．（25-26高二下·贵州遵义·期中）甲、乙两人进行知识答题比赛，比赛方案为：①甲、乙两人各自从个问题中随机抽个．已知这个问题中，甲能正确回答其中的个，乙能正确回答每个问题的概率均为，甲、乙两人对每个问题的回答相互独立；②答对题目个数多的人获胜，若两人答对题目数相同，则由乙再回答一道题，答对则判乙胜，答错则判甲胜． (1)求甲、乙两人共答对个问题的概率； (2)试判断甲、乙谁更有可能获胜？并说明理由； (3)求乙答对题目数的分布列和期望． 【答案】(1) (2)乙胜出的可能性更大，理由见解析 (3)随机变量的分布列为 0 1 2 3 4 期望. 【分析】（1）根据题意分别计算出甲乙答对题目数的概率，考虑甲答对道题，乙答对道题和甲答对道题，乙答对道题即可； （2）通过分情况和，先得出甲获胜的概率，从而得到乙获胜的概率，然后比较两者的概率即可； （3）根据题意，得出乙答对题目数的可能取值为，分别计算对应的概率即可，最后利用随机变量的期望公式即可求出期望. 【详解】（1）设甲答对的题目数为，乙答对的题目数为， 则甲答对的题目数的可能取值为，其概率分布如下： ，，， 乙答对的题目数服从二项分布，其概率分布如下： ，， ，， 因此甲、乙两人共答对个问题，即，可能的情况有： ①甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， ②甲答对道题，乙答对道题，此时概率为， 由于. 因此甲、乙两人共答对个问题的概率为. （2）先计算的概率，根据题意， ， 由（1）得，， 在的情况下，甲获胜的概率为； 再计算的概率，即甲在前题中已经获胜的概率， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 因此，所以甲获胜的概率为 则乙获胜的概率为，因此乙更可能获胜. （3）乙答对的题目数包含两部分：前道题中答对的题目数以及在平局情况下额外答对的道题（答对概率，答错概率）， 因此乙答对的题目数的可能取值是， ①当时，由于，所以不可能加赛，因此只能是乙在前道题中答对的题目数， 所以； ②当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 所以，代入数据得； ③当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以，代入数据得； ④当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且没有进入加赛、乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答错， 乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得； ⑤当时，可能情况为乙在前道题中答对的题目数且进入加赛并答对， 所以， 代入数据得； 因此乙答对的题目数的分布列为： 期望. 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $