期末复习专题01 等差数列及其求和【11大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

专题01 等差数列及其求和 知识点1：等差数列的概念 等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 【注意】(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d； (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． 知识点2：等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b． 【注意】(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝． (3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系． 等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 知识点3：等差数列的通项公式 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d． 2．等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d． 3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响． (1)当d＞0时，数列为递增数列，如图1； (2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2； (3)当d＝0时，数列为常数列，如图3 等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 知识点4：等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 【注意】(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4． (2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． 知识点5：等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 【注意】由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． 知识点6：等差数列前n项和的性质 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝． (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·． 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法： (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用相关性质中的结论进行求解． 知识点7：等差数列前n项和的最值问题 1．等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 2．等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【注意】由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． 考点一 等差数列及其求和公式的基本量计算 考点二 等差中项的应用 考点三 利用等差数列的性质计算 考点四 等差数列的单调性的应用 考点五 等差数列片段和的性质及应用 考点六 前n项和与n的比所组成的等差数列 考点七 两个等差数列的前n项和之比问题 考点八 等差数列奇数项或偶数项的和 考点九 含绝对值的等差数列前n项和 考点十 等差数列前n项和的最值与求参数 考点十一 等差数列应用 考点一 等差数列及其求和公式的基本量计算 1．（25-26高二下·广东广州·期中）在等差数列中，，，则公差（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 【答案】A 【详解】在等差数列中， 公差. 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列中，，，则（    ） A．26 B．24 C．20 D．30 【答案】A 【详解】由题意可知，解得， 故. 3．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知是等差数列，且，，则首项（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合等差数列的通项公式列方程组求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则. 由，得，即. 联立解得，. 4．（2026·上海·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则_________． 【答案】25 【分析】根据题意列出关于和的方程，求解出，再求出. 【详解】设等差数列的公差为. ，，得. ，. 5．（2026·安徽合肥·三模）设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【详解】因为，所以． 6．（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知等差数列的前项和为，若， ，则 （ ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】将题目条件转化成和，即可得解. 【详解】由，得 ∴， 又公差 ， 所以. 考点二 等差中项的应用 7．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】是等差中项，，故选项A正确. 8．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 【答案】C 【详解】因为数列为等差数列，所以，则， 所以. 9．（2026·湖北·模拟预测）若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合等差数列性质5个数均为正数以及等差数列通项公式，列出关于的不等式组求解. 【详解】设正数成等差数列，所以，解得：， 由各项均为正数，则. 10．（2026·湖南湘西·三模）在等差数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差中项的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，，所以， 又，则． 11．（2026高三·全国·专题练习）方程有实根，且2，m，n为等差数列的前三项．则公差d的取值范围为_________． 【答案】 【分析】由二次函数判别式与根的关系，等差中项性质可列式解出m的范围，再由等差数列定义可求得公差的范围. 【详解】依题意，，则， 解得或，因此或， 所以该等差数列公差d的取值范围为. 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列8，，，，是等差数列，则，，的值分别为________，________，________． 【答案】 5 【详解】因为8，，2，，是等差数列， 所以，解得. 考点三 利用等差数列的性质计算 13．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知，均为等差数列，且，，（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质求解即可. 【详解】由于，均为等差数列，则为等差数列， 又，，所以的公差为1， 故． 14．（2026·湖北·三模）设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】利用等差数列的性质和通项公式求解. 【详解】因为，所以 ，即， 即根据等差数列性质得到，， 所以，即，则，即， 因为，所以， 即， 将代入得到， 因为，两边除以得到， ，故选项A正确. 15．（2026·天津·二模）设为等差数列，为其前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，则，所以. 16．（25-26高二下·上海松江·期中）等差数列的前n项和为，，且，则______． 【答案】7 【分析】利用等差数列前项和，求解公差为，从而解出. 【详解】设等差数列的公差为， 因为等差数列前项和，且， ， 所以，所以，所以， 所以. 17．（2026·江西·模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．23 B．25 C．35 D．45 【答案】C 【详解】已知为等差数列，，，设公差为， 则，解得：， 所以. 18．（2026·陕西渭南·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 【答案】A 【分析】利用等差数列前项和公式，列方程组求出，再根据通项公式求解． 【详解】，即， 解得：，． 考点四 等差数列的单调性的应用 19．（2026·安徽芜湖·模拟预测）（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】ABD 【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可. 【详解】设等差数列的首项为，所以， 对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确； 对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确； 对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确； 对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确； 故选：ABD 20．（25-26高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据等差数列的概念得到，进而推得结果. 【详解】已知等差数列的公差为，即， 当单调递增时，，令得到， ； 反之，，为单调递增. 故“单调递增”是“”的充要条件． 故选：A. 21．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据等差数列的性质，结合反例，利用充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】设等差数列的通项公式为，此时数列的公差， 可得，则，所以充分性不成立； 反之：若是递增数列，取， 当时，；当时，，所以， 此时数列为常数列，不是递增数列，所以必要性不成立， 所以“是递增数列”是“是递增数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 22．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数列前n项和为为递减数列，判断数列各项的正负情况，再根据数列通项公式，求出公差的范围，判断结果即可. 【详解】因为为等差数列，且，所以. 因为数列为递减数列，即当时，有，即， 即从第二项开始，各项均为负数， 当时，数列为递增数列，当足够大时，必有成立，不符合题意， 当时，数列为常数数列或递减数列，只需即可， 可知，解得， 综上，. 故选：C. 23．（25-26高二上·安徽安庆·期末）（多选）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 【答案】AB 【分析】由，计算即可判断A；求出，利用配方法得：，即可判断数列是递增数列；由，得数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增，即可判断C D. 【详解】数列的通项公式是， 令，得， 是数列的第49项，故A正确； ， 在时递增， 故数列是递增数列，故B正确； 数列的通项公式是， ， ， ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， 数列的前项和没有最大值，故C错误； ， 数列为首项为，公差为2的等差数列，且逐项递增， ， 数列的前项和有最小值，故D错误． 故选：AB 24．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 【答案】AD 【分析】根据可判断A；举反例可判断B，C；结合函数的单调性可判断D. 【详解】对于A，等差数列的公差，则数列是递增数列，正确； 对于B，不妨取，则不是递增数列，B错误； 对于C，不妨取，则不是递增数列，C错误； 对于D，由于等差数列的公差，随n的增大而增大，随n的增大而增大， 故也随n的增大而增大，即数列是递增数列，D正确， 故选：AD 考点五 等差数列片段和的性质及应用 25．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知等差数列的前项和为，，，则=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】利用等差数列重要性质：，，成等差数列， 则，所以， 所以．故C正确． 26．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用等差数列的性质可知、、成等差数列，由此可解得的值. 【详解】因为等差数列的前项和为，且，， 由等差数列的片段和性质可知、、成等差数列， 即，解得. 27．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（    ） A．120 B．210 C．285 D．495 【答案】C 【详解】设第排的座位数为，的前项和为， 由题意可知，数列是公差为的等差数列， 方法一：因为成等差数列，所以， 由题意知，所以，解得. 方法二：因为， 所以，解得， 所以. 28．（25-26高二下·广东中山·期中）已知等差数列的前项和为，且，则__________． 【答案】6 【分析】利用等差数列的片段和仍然成等差数列求解. 【详解】因为成等差数列，设其公差为， 所以，所以， 所以，所以． 29．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 【答案】A 【分析】利用等差数列片段和的性质，结合等差中项即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以成等差数列. 所以， 即. 30．（25-26高二·全国·暑假作业）设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 【答案】A 【详解】由题意，， 则数列为等差数列，设公差为，，， 即，，则，则， 则，所以，（常数），则也为等差数列． 则数列的公差为，所以，所以. 考点六 前n项和与n的比所组成的等差数列 31．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 【答案】C 【分析】根据是等差数列的前项和，推得数列是等差数列，利用基本量运算即可求解. 【详解】因为是等差数列的前项和， 所以数列是等差数列. 又，， 则数列的公差，首项为， 所以，. 32．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 【答案】A 【详解】， 由等差数列前项和的性质可知，即， 又， ，，， . 33．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出方程组求得的值，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，所以， 所以. 故答案为：C. 34．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案. 方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解. 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 35．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 36．（2026·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）设等差数列的公差为，然后由等差数列的定义证明即可； （2）由（1）可知数列是等差数列，由求出其首项和第四项，然后求出公差，利用等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为， ，． ． 是等差数列． （2）， 数列的首项为2，第四项为． 数列的公差． ． 考点七 两个等差数列的前n项和之比问题 37．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 【答案】B 【分析】由等差中项的性质和等差数列的求和公式得出，进而可得出为15的正约数，由此可得出正整数的可能取值． 【详解】由题意可得， 则， 由于为整数，则为15的正约数，则的可能取值有3、5、15， 因此，正整数的可能取值有2、4、14. 38．（25-26高二下·江西·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 【答案】 【分析】利用等差数列前项和性质可得、，利用等差中项性质可得，即可得，代入计算即可得解. 【详解】，同理可得， 则. 39．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 【答案】 【分析】由，可设，，再利用即可求解. 【详解】因为等差数列，的前n项和分别为，，所以， 因为，所以可设，，， 则，，所以. 40．（25-26高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据等差数列的性质得，， ∴原式可化为     ∵ 为等差数列， ∴ ， 原式进一步化简为。 ∵ 等差数列前项和为常数项为0的二次函数，且， ∴ 可设，（且）。 由等差数列通项与前项和的关系：，： ∴， 将，代入化简后的原式得 41．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 【答案】 【分析】根据等差数列求和公式结合等差数列下标和性质，将所求项的比转化为和的比，计算求解. 【详解】； 因为数列是等差数列，所以均是的二次式，且常数项均为0. 由，可设，其中为常数. 所以. 又，所以， 所以. 42．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则________. 【答案】 【分析】根据已知比例关系及等差数列前n项和公式对应函数，设，的表达式，再由求结果. 【详解】根据等差数列前n项和的函数性质，且， 可设，，且， 所以. 考点八 等差数列奇数项或偶数项的和 43．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】利用等差数列的偶数项的和与奇数项的和的性质可求答案. 【详解】设的公差为．依题意，，解得， 又，解得，则． 44．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 【答案】55 【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解. 【详解】设等差数列的项数为， ＝＝， ＝＝， 所以，解得，所以项数， 所以此数列的中间项为，又， 所以为所求中间项. 45．（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 【答案】A 【分析】根据题意得，进而得. 【详解】解:因为等差数列中，，， 所以， 即， 所以 46．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 【答案】D 【分析】等差数列的公差为，结合题意得，，进而求得. 【详解】设等差数列的公差为， 由题知；， 所以， 因为， 所以，即项数为. 47．（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 【答案】B 【分析】设等差数列共项，由偶数项之和与奇数项之和的差为可得答案. 【详解】设等差数列共项，则奇数项有项，偶数项有项，且各成等差数列， 所有偶数项之和为，所有奇数项之和为， 则，所以20，则． 48．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 【答案】 【分析】根据等差数列下标的性质，结合等差数列的通项公式进行求解即可. 【详解】设该等差数列的公差为， 因为前项的和是99，其中奇数项和， 所以偶数项和， ， 所以，所以由，解得， 因为， . 故答案为： 考点九 含绝对值的等差数列前n项和 49．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________． 【答案】 【分析】先求解，讨论与即可求解. 【详解】因为，所以； 因为， 所以当时，； 当时，． 所以 50．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分和两种情况，结合与之间的关系运算求解即可； （2）根据数列的通项公式分析的符号，分和两种情况，结合运算求解即可. 【详解】（1）因为， 当时，则； 当时，则， 可得； 综上所述：. （2）因为， 当时，； 当时，令，解得；令，解得； 综上所述：当时，；当时，. 当时，则； 当时，则 ； 综上所述：. 51．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系，根据，求得数列的通项公式； （2）分析和两种情况，即可数列的前n项和． 【详解】（1）当时，，即， 当时，， 时，满足上式，所以. （2）.令，解得，且， 所以当时，则，可得； 当时，则，可得 ； 综上所述：． 52．（2026·重庆·三模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以， 设数列的公差为，则，所以， ，， 所以当时，，当时，， 所以 ， 所以. 考点十 等差数列前n项和的最值与求参数 53．（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】是的唯一最大项，说明数列前8项和最大，且第9项开始和递减，然后由等差数列通项公式解不等式组即可求解. 【详解】由是中的唯一最大项可得：，即， 代入，解得. 54．（25-26高二下·吉林长春·期中）（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为33 【答案】AC 【分析】根据条件确定等差数列的首项和公差的正负判断A，根据等差数列性质可判断BC，根据二次函数性质可判断D. 【详解】对于A，设等差数列首项为，公差为，则， 因为存在最大值，所以数列的公差，数列单调递减， 要使​存在最大值，则数列先正后负，首项，故A正确； 对于B，由等差数列性质可知，，故B错误； 对于C，因为，所以，，所以时，取得最大值，故C正确； 对于D，由可得，， 由，可得，所以取得最小正值时为31，故D错误. 55．（2026·湖南·模拟预测）（多选）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为，，，则（    ） A． B． C．当取得最大值时，或 D．数列的前30项和为630 【答案】ABD 【详解】由题意知，， 化简得，解得. 所以，所以A，B正确； 因为， 令，得且， 所以当取得最大值时，或，所以C错误； 数列的前30项和为 . 所以D正确. 56．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 【答案】BC 【分析】先通过等差数列的基本量的运算求出和公差，确定数列的通项和前n项和，再求得取得最大值时的值． 【详解】设数列的公差为d，则解得，，故A错误； ，故B正确； ，故C正确； 当取得最大值时，或，故D错误． 57．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为______（写出符合条件的一个值即可）. 【答案】（填写之间的任意一个实数都可） 【分析】根据为的最小值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且是前项和的最小值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式， 可得：， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 58．（2026高三·全国·专题练习）在等差数列中，前n项和为，已知，，，求当n取何值时，取得最大值． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，根据题意，列出不等式组，求得，得到数列为递减数列，再由，，即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为，可得， 又因为且，则， 即，解得， 由，可得数列为递减数列， 又由，即，可得，， 所以时，取得最大值． 考点十一 等差数列应用 59．（25-26高二下·安徽·期中）为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】由题意得每一圈的人数构成等差数列，结合等差数列前项和的公式即可求解. 【详解】每一圈的人数构成首项，公差的等差数列，其前项和， 则，解得（负值舍去）． 60．（25-26高二下·广西·阶段检测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【详解】由题意可知该器各层的构件数成等差数列，其中，公差， 则其前项和， 整理可得，即， 解得或（舍去），所以该层数为8. 61．（2026高二·全国·专题练习）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依此构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____. 【答案】石 【分析】根据题意可得数列中的项，根据等差数列的计算公式可得解. 【详解】依题意，设甲､乙､丙分得的米重量分别为，，，公差为， 则， 且，解得，， 所以， 所以甲应该分得白米为石. 62．（2026·陕西西安·模拟预测）Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步. 【答案】14700 【详解】设Wanye老师第天所走的步数为，则张宏老师前七天每天所走的步数都为， 由已知Wanye老师第二天到第七天所走的步数分别为， 因为张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同， 所以 所以 故， 所以Wanye老师第七天所走的步数为. 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用等差数列的求和公式求出，可求出该数列的公差，进而可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，前项和为，则，解得， 故，故. 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 【答案】C 【详解】在等差数列中，由，解得. 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用等差数列通项公式与前项和公式列方程组求解首项和公差，再通过判断项的正负确定取最小值时的. 【详解】设等差数列的公差为，。 根据等差数列的通项公式及前项和公式得： 由，得，化简整理得 ①； 由，得，化简整理得 ②. 所以得，将代入①得， 故通项公式为， 所以等差数列的首项，公差的一个递增等差数列， 因此等差数列的前项和有最小值. 令，即，解得，又，因此. 所以当时，，；当时，，. 因此时取得最小值. 4．（2026·河南信阳·三模）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 【答案】A 【分析】利用等差数列奇数项和与偶数项和的差为中间项，和为项数与中间项的乘积，直接求出中间项和项数. 【详解】设该等差数列的项数为（），中间项为. 由等差数列性质，奇数项和，偶数项和. ，即，故中间项. 数列前项和，又， 代入得，解得，即项数为19. 5．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若，满足，此时，，不满足数列为单调递增数列，充分性不成立； 若，此时，满足数列为单调递增数列，但不成立，必要性不成立； 所以“”是“数列为单调递增数列”的既不充分也不必要条件. 6．（2026·广西河池·三模）已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A．24 B．30 C．36 D．48 【答案】B 【分析】利用等差数列通项公式化简已知等式得到的值，再结合等差数列前项和公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 根据等差数列通项公式，代入得： ， 整理得， 根据等差数列前项和公式，可得：， 又， 因此. 7．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）若为等差数列的前项和，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是方程的两根，可得，再结合等差数列前n项和公式及下标的性质可知计算出. 【详解】由是方程的两根，可得，再由等差数列前n项和公式及下标的性质可知，. 8．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为等差数列的前项和分别为，且， 所以可设，， 所以，所以. 9．（25-26高二上·浙江宁波·期末）（多选）已知公差不为零的两个等差数列和，记它们的前项和分别为，，则（    ） A．当时， B．当，且时，数列的前14项均是正数 C．当时， D．当时， 【答案】ACD 【分析】对A，由与关系及等差数列性质判断；对B，由得，判断的符号；对C，用基本量表示求解判断；对D，由设的二次表达式，计算并求其比值. 【详解】对于A：因为，所以，解得，A正确； 对于B：由可得，所以，B错误； 对于C：， 又，所以，解得，C正确； 对于D：因为，所以可设， 则， ， 所以，D正确； 故选：ACD. 10．（25-26高二下·云南玉溪·期中）（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 【答案】AC 【分析】利用得到，，即可判断A；根据等差数列片段和的性质和等差数列定义可判断B；可得，利用二次函数性质可判断C；解不等式可判断D. 【详解】A选项，由题，当时，， 当时，， 显然，即满足上式，从而， 由于，故为等差数列，A正确； B选项，， ，由于， 由A选项知，的公差为， 故成等差数列，公差为，B错误； C选项，， 又，故当或时，取得最大值，C正确； D选项，，即，解得， 又，故，n的最大值为33，D错误. 11．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）（多选）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（   ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人有连续的三天共行走了四百零五里 【答案】ABC 【分析】根据等差数列的知识进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由题意，设此人第一天走里，第天走里，为等差数列，，，数列的前项和为， 所以， 所以，解得，故A正确； 所以，所以（里），故B正确； 因为，（里）， 所以（里），故C正确； 设连续三天为，，，所以（里），即（里）， 所以（里），解得，故D错误. 故选：ABC. 12．（2026·吉林·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则______． 【答案】70 【分析】由等差数列通项公式基本量计算求得首项、公差，即可求解. 【详解】设等差数列的首项为​，公差为，通项公式为， 由，得： ① 由，得： ② 联立解得，， . 13．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知首项和公差都不为 0 的等差数列 ，其前 项和为 ，且 ，则 _____. 【答案】 【分析】由已知比例关系解出等差数列首项与公差的关系，代入所求表达式化简即可. 【详解】因为是等差数列，且 ， 设等差数列的公差为，则有，整理得， 又因为首项和公差都不为 0 ，经验证不是0，不是0符合题意， 则. 14．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，则________，的最小值为________． 【答案】 9 1 【详解】； 当时，， 时，， 时，，符合通项公式， ， 当时，单调递减，令，解得， 当时，，， 当时，，， 当时，随增大而增大，故的最小值为1． 15．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 【答案】(1)， (2)（） 【详解】（1）因为， 所以数列是以为首项，1为公差的等差数列. 所以， . （2）由（1）知，公差，故数列是递增数列. 令，解得. 所以当时，；当时，；当时，. 当时，， 当时， ， 因为， 所以 . 综上所述，数列的前n项和为： （）. 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，，求. 【答案】(1)证明见解析； (2). 【分析】（1）设等差数列的公差为d，利用等差数列的定义证明；     （2）设的公差为，由，求得公差为，再利用等差数列的前n项和公式求解. 【详解】（1）证明：设等差数列的公差为d， 则，     ∴， ∴，     又∵，∴是首项为，公差为的等差数列. （2）由（1）知为等差数列，设其公差为， 则 ，即，则，     又∵， ∴. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 等差数列及其求和 知识点1：等差数列的概念 等差数列 文字 语言 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示 符号 语言 在数列{an}中，若an＋1－an＝d(n∈N*)(若an－an－1＝d，n≥2，n∈N*)成立，则称数列{an}为等差数列，常数d称为等差数列的公差 递推 公式 an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) 【注意】(1)作差的起始项：“从第2项起”，因为第1项没有前一项； (2)作差的顺序：“每一项与它的前一项的差”，即作差的顺序为后项减去它前面相邻的一项，不可颠倒； (3)等差的含义：“同一个常数”指所有的差都相等，即a2－a1＝a3－a2＝…＝an－an－1＝d； (4)公差d的取值范围：可正、可负、也可为0(常数列是公差为0的等差数列)，它是一个与n无关的常数，因此公差d的取值范围为(－∞，＋∞)． 知识点2：等差中项 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且2A＝a＋b． 【注意】(1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)等差中项的几何意义是两个实数的平均数，即A＝． (3)等差数列{an}中，an是an－k与an＋k的等差中项，注意序号间的关系． 等差中项应用策略 (1)求两个数x，y的等差中项A，即根据等差中项的定义得A＝． (2)证三个数成等差数列，只需证中间一个数为两边两数的等差中项，即若a，b，c成等差数列，则有a＋c＝2b；反之，若a＋c＝2b，则a，b，c成等差数列． 知识点3：等差数列的通项公式 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d． 2．等差数列和一次函数的关系 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f (n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d． 3．由等差数列和一次函数的关系可知，等差数列的单调性受公差d的影响． (1)当d＞0时，数列为递增数列，如图1； (2)当d＜0时，数列为递减数列，如图2； (3)当d＝0时，数列为常数列，如图3 等差数列的三种判定方法 (1)定义法：an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (2)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列． (3)通项公式法：an＝an＋b(a，b是常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列． 如果要证明一个数列是等差数列，则必须用定义法或等差中项法． 知识点4：等差数列的性质 (1){an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq． ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak． ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a1＋an＝a2＋an－1＝…＝ak＋an－k＋1＝…． (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (3)若{an}是公差为d的等差数列，则 ①{c＋an}(c为任一常数)是公差为d的等差数列； ②{can}(c为任一常数)是公差为cd的等差数列； ③{an＋an＋k}(k为常数，k∈N*)是公差为2d的等差数列． (4)若{an}，{bn}分别是公差为d1，d2的等差数列，则数列{pan＋qbn}(p，q是常数)是公差为pd1＋qd2的等差数列． 【注意】(1){an}是等差数列，且am＋an＝ap＋aq，则m＋n＝p＋q不一定成立，如常数列2，2，2，2，…中，a1＋a2＝a3＋a4，但1＋2≠3＋4． (2)推广：若m＋n＋p＝x＋y＋z，则am＋an＋ap＝ax＋ay＋az，该性质要求下标的和相等，且左右两侧项数相同． 知识点5：等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝ 【注意】由Sn求得通项公式an的特点，若Sn是关于n的二次函数，不含常数项，则由Sn求得an，知数列{an}是等差数列；否则an＝数列{an}不是等差数列． 知识点6：等差数列前n项和的性质 1．设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d． 2．若数列{an}是公差为d的等差数列，则数列也是等差数列，且公差为． 3．在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n)． 4．项的个数的“奇偶”性质 (1)若等差数列的项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝． (2)若等差数列的项数为2n－1，则S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)． 5．已知等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn，Tn，则＝＝·． 利用性质解决等差数列前n项和运算的几种思维方法： (1)整体思路：利用公式Sn＝，设法求出整体a1＋an，再代入求解． (2)待定系数法：当公差不为0时，利用Sn是关于n的二次函数，设Sn＝An2＋Bn(A≠0)，列出方程组求出A，B即可；也可以利用是关于n的一次函数，设＝an＋b(a≠0)进行计算． (3)利用相关性质中的结论进行求解． 知识点7：等差数列前n项和的最值问题 1．等差数列前n项和的函数特征 等差数列的 前n项和公 式转移到二 次函数的过程 Sn＝na1＋d，整理得Sn＝，所以当d≠0时，Sn可以看成y＝x2＋x(x∈R)当x＝n时的函数值 等差数列的 前n项和公 式与函数 的关系 令A＝，B＝a1－，则Sn＝An2＋Bn． (1)当A＝0，B＝0(即d＝0，a1＝0)时，Sn＝0是关于n的常函数，{an}是各项为0的常数列． (2)当A＝0，B≠0(即d＝0，a1≠0)时，Sn＝Bn是关于n的正比例函数，{an}为各项非零的常数列． (3)当A≠0(即d≠0)时，Sn＝An2＋Bn是关于n的二次函数(常数项为0) 2．等差数列前n项和Sn的最值 (1)若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最小值． (2)若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得{Sn}的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，则S1是{Sn}的最大值． 【注意】由于n取正整数，所以Sn不一定是在顶点处取得最值，而可能是在离顶点最近的横坐标取整数的点处取得最值． 1．在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法 (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第1项起到分界点对应项的各项和为最大(小)值． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法 寻找正、负项的分界点，可利用等差数列的性质或利用或来寻找． 考点一 等差数列及其求和公式的基本量计算 考点二 等差中项的应用 考点三 利用等差数列的性质计算 考点四 等差数列的单调性的应用 考点五 等差数列片段和的性质及应用 考点六 前n项和与n的比所组成的等差数列 考点七 两个等差数列的前n项和之比问题 考点八 等差数列奇数项或偶数项的和 考点九 含绝对值的等差数列前n项和 考点十 等差数列前n项和的最值与求参数 考点十一 等差数列应用 考点一 等差数列及其求和公式的基本量计算 1．（25-26高二下·广东广州·期中）在等差数列中，，，则公差（    ） A．2 B．1 C．-1 D．-2 2．（2026·陕西西安·模拟预测）已知等差数列中，，，则（    ） A．26 B．24 C．20 D．30 3．（25-26高一下·上海·阶段检测）已知是等差数列，且，，则首项（    ） A． B． C． D． 4．（2026·上海·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则_________． 5．（2026·安徽合肥·三模）设公差为3的等差数列的前项和为，若，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（25-26高二下·云南玉溪·期中）已知等差数列的前项和为，若， ，则 （ ） A． B． C．1 D． 考点二 等差中项的应用 7．（25-26高二下·广东江门·阶段检测）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 8．（25-26高二下·河南新乡·期中）已知数列为等差数列，若，则（    ） A．15 B．17 C．19 D．21 9．（2026·湖北·模拟预测）若5个正数之和为10，且依次成等差数列，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．（2026·湖南湘西·三模）在等差数列中，已知，，则（   ） A． B． C． D． 11．（2026高三·全国·专题练习）方程有实根，且2，m，n为等差数列的前三项．则公差d的取值范围为_________． 12．（25-26高二下·全国·课堂例题）已知数列8，，，，是等差数列，则，，的值分别为________，________，________． 考点三 利用等差数列的性质计算 13．（2026·内蒙古赤峰·模拟预测）已知，均为等差数列，且，，（     ） A． B． C． D． 14．（2026·湖北·三模）设公差不为零的等差数列，前项和为，若，且，则（    ） A．15 B．16 C．17 D．18 15．（2026·天津·二模）设为等差数列，为其前项和，若，则（    ） A． B． C． D． 16．（25-26高二下·上海松江·期中）等差数列的前n项和为，，且，则______． 17．（2026·江西·模拟预测）记等差数列的前项和为，若，，则（     ） A．23 B．25 C．35 D．45 18．（2026·陕西渭南·三模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．11 B．12 C．13 D．15 考点四 等差数列的单调性的应用 19．（2026·安徽芜湖·模拟预测）（多选）下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（    ） A．数列是等差数列 B．数列是等差数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 20．（25-26高二下·安徽宿州·开学考试）已知等差数列，则“单调递增”是“”的（    ）条件 A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 21．（25-26高三上·上海宝山·阶段检测）设为等差数列的前项和，则“是递增数列”是“是递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 22．（25-26高三上·安徽阜阳·期末）已知等差数列的前n项和为，公差为d，且为递减数列，若，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．（25-26高二上·安徽安庆·期末）（多选）若数列的通项公式是，则（   ） A．是数列中的项 B．数列是递增数列 C．数列的前项和有最大值 D．数列的前项和无最小值 24．（25-26高二上·全国·课后作业）（多选）已知等差数列的公差，则下列四个命题中真命题为（    ） A．数列是递增数列 B．数列是递增数列 C．数列是递增数列 D．数列是递增数列 考点五 等差数列片段和的性质及应用 25．（25-26高二下·广东汕尾·期中）已知等差数列的前项和为，，，则=（    ） A． B． C． D． 26．（25-26高二下·内蒙古呼和浩特·阶段检测）已知等差数列的前项和为，若，，则等于（   ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·黑龙江齐齐哈尔·期中）某电影放映厅有15排座位，且从第二排起，每一排都比前一排多个座位，前5排，中5排，后5排分别称为甲区，乙区，丙区，若甲区，乙区的座位数分别是70，95，则此电影放映厅的座位总数为（    ） A．120 B．210 C．285 D．495 28．（25-26高二下·广东中山·期中）已知等差数列的前项和为，且，则__________． 29．（2026·河北张家口·一模）已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A．18 B．19 C．20 D．21 30．（25-26高二·全国·暑假作业）设数列满足，是前项和，且，，则（   ） A．1013 B． C．1012 D．1011 考点六 前n项和与n的比所组成的等差数列 31．（25-26高二下·江西九江·期中）已知是等差数列的前项和，若，，则等于（   ） A． B．2026 C． D．4052 32．（2026·湖南郴州·三模）设等差数列的前项和为，公差为，若，则（    ） A．15 B．14 C．13 D．12 33．（2025·江苏泰州·模拟预测）设是等差数列的前n项和，是数列的前n项和.若，则等于（   ） A．49 B．50 C．51 D．52 34．（2025·湖北黄冈·模拟预测）设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 35．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则______． 36．（2026·四川乐山·三模）已知是等差数列的前项和. (1)证明：是等差数列； (2)设为数列的前项和，若，求. 考点七 两个等差数列的前n项和之比问题 37．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知等差数列，的前n项和分别为，，且，则使得为整数的正整数的值不能为（    ） A．2 B．3 C．4 D．14 38．（25-26高二下·江西·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则__________. 39．（2026·陕西宝鸡·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，若，则______． 40．（25-26高二下·浙江·期中）设等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 41．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）已知等差数列与的前n项和分别为，，且，则的值为________；的值为________． 42．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）已知等差数列，的前项和分别为，，若，则________. 考点八 等差数列奇数项或偶数项的和 43．（25-26高三下·甘肃武威·阶段检测）已知等差数列共有10项，其所有奇数项和为60，所有偶数项和为80，则（   ） A．10 B．8 C．6 D．4 44．（25-26高二下·辽宁朝阳·期中）在项数为奇数的等差数列中，奇数项之和为220，偶数项之和为165，则此数列的中间项是______. 45．（2026·江西赣州·二模）在等差数列中，公差，且，则（   ） A．5 B．50 C．60 D．105 46．（25-26高二下·江西南昌·阶段检测）已知项数为奇数的等差数列共有项，且奇数项的和为72，偶数项的和为60，则项数为（ ） A．8 B．9 C．10 D．11 47．（25-26高二下·辽宁营口·阶段检测）已知公差为9的等差数列的项数为偶数，其所有奇数项之和为200，所有偶数项之和为380，则数列的项数为（   ） A．20 B．40 C．60 D．80 48．（25-26高二上·江苏南京·期末）已知等差数列中，前项的和是99，其中奇数项和是55，且，则通项公式为______． 考点九 含绝对值的等差数列前n项和 49．（2026高三·全国·专题练习）已知数列的通项公式为，则其前10项和的值为________，数列的前项和________． 50．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）数列的前项和为，； (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 51．（25-26高二下·陕西渭南·阶段检测）记为数列的前n项和，已知． (1)求的通项公式； (2)求数列的前n项和． 52．（2026·重庆·三模）已知公差大于0的等差数列的前项和为，若，的前项和为，则（     ） A． B． C． D． 考点十 等差数列前n项和的最值与求参数 53．（2026·贵州毕节·三模）已知公差为d的等差数列的前n项和为，，是中的唯一最大项，则d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 54．（25-26高二下·吉林长春·期中）（多选）已知等差数列的前项和存在最大值，且，，则（ ） A． B． C．当时，取得最大值 D．取得最小正值时为33 55．（2026·湖南·模拟预测）（多选）已知数列是公差为d的等差数列，其前n项和为，，，则（    ） A． B． C．当取得最大值时，或 D．数列的前30项和为630 56．（2026·西藏日喀则·模拟预测）（多选）设为等差数列的前n项和，已知，，则（    ） A．数列的公差为2 B． C． D．当取得最大值时，或7 57．（25-26高二下·辽宁大连·期中）已知等差数列的前项和为，首项，为的最小值，则的值可以为______（写出符合条件的一个值即可）. 58．（2026高三·全国·专题练习）在等差数列中，前n项和为，已知，，，求当n取何值时，取得最大值． 考点十一 等差数列应用 59．（25-26高二下·安徽·期中）为迎接校运动会，某校高二年级组织了一个大型团体操表演．队形被设计成一个由多个同心圆组成的图案．从最内圈开始，逐圈向外增加队员．最内圈（第1圈）站了12名同学，为了方便队形展开，从第2圈开始，每一圈的人数都比其相邻内圈多4人．若这次团体操表演总共动用了300名同学，则这个队形的圈数为（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 60．（25-26高二下·广西·阶段检测）某器形制呈“三层九枝，枝栖神鸟”.今制仿器，首层凡四，次层增三，每进一层，益数恒三，循序而增，乃成等差之序.意思是该仿制器物第1层的构件有4个，从第2层起每层的构件比前一层多3个.若按古制取前若干层构件总数恰好为116，则该层数为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 61．（2026高二·全国·专题练习）我国明代珠算家程大位的名著《直指算法统宗》中有如下问题：“今有白米一百八十石，令三人从上级和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”其意思为：“今有白米一百八十石，甲､乙､丙三人来分，他们分得的白米数依此构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少白米？”请问甲应该分得白米为_____. 62．（2026·陕西西安·模拟预测）Wanye老师和张宏老师为了身体健康，报名参加了“”APP的行走打卡送大米的活动.第一天两位老师所走的步数相同，此后Wanye老师每天都比前一天多走700步，张宏老师每天所走的步数不变.若张宏老师前7天所走的总步数与Wanye老师前6天所走的总步数相同，则Wanye老师第7天走__________步. 1．（2026·河南开封·模拟预测）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（2026·江苏南通·模拟预测）已知数列为等差数列，，则（    ） A．2 B．4 C．8 D．10 3．（2026·山西忻州·模拟预测）已知数列是等差数列，其前项和为，若，且，则取得最小值时的等于（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河南信阳·三模）已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为290，所有偶数项的和为261，则此数列中间一项的值以及项数分别为（ ） A．29，19 B．31，18 C．29，20 D．27，19 5．（2026·山东烟台·二模）已知是等差数列，其公差为，前项和为，则“”是“数列为单调递增数列”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．（2026·广西河池·三模）已知是等差数列的前项和，若，则（     ） A．24 B．30 C．36 D．48 7．（25-26高二下·安徽阜阳·阶段检测）若为等差数列的前项和，是方程的两根，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·河北沧州·模拟预测）已知等差数列的前项和分别为，且，则（    ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·浙江宁波·期末）（多选）已知公差不为零的两个等差数列和，记它们的前项和分别为，，则（    ） A．当时， B．当，且时，数列的前14项均是正数 C．当时， D．当时， 10．（25-26高二下·云南玉溪·期中）（多选）设数列的前n项和为，，则下列说法正确的是（ ） A．是等差数列 B．成等差数列，公差为 C．当或时，取得最大值 D．时，n的最大值为32 11．（25-26高二上·湖南永州·阶段检测）（多选）我国古代数学著作《算法统宗》中有如下问题：“今有善走者，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”其大意是：现有一位善于步行的人，第一天行走了一百里，以后每天比前一天多走d里，九天他共行走了一千二百六十里，求d的值.关于该问题，下列结论正确的是（   ） A． B．此人第三天行走了一百二十里 C．此人前七天共行走了九百一十里 D．此人有连续的三天共行走了四百零五里 12．（2026·吉林·三模）记为等差数列的前n项和，若，，则______． 13．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知首项和公差都不为 0 的等差数列 ，其前 项和为 ，且 ，则 _____. 14．（25-26高二下·北京·期中）已知数列的前项和为，则________，的最小值为________． 15．（25-26高二下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）已知数列的前n项和为，，. (1)求的通项公式及； (2)求数列的前n项和. 16．（25-26高二上·全国·课后作业）已知是等差数列的前项和. (1)证明是等差数列； (2)设为数列的前n项和，若，，求. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $