1.4 基本不等式（3大知识点+16大题型）（讲义+精练）-2027年届高考数学一轮总复习解题妙招精讲与题型整合（新高考专用）

该高中数学高考复习讲义聚焦基本不等式专题，涵盖性质、求最值及常用二级结论等核心考点，按“知识点梳理-题型归纳-真题训练-拓展精练”逻辑架构，通过考点系统梳理、解题方法指导、真题实战训练等环节，帮助学生构建知识网络，突破高频易错点，体现复习的系统性与针对性。 资料创新采用16类题型分层突破策略，如“1”的代换、齐次化法等解题妙招，结合几何无字证明模型培养数学思维与模型意识。设置基础巩固到压轴提升的分层练习，配合即时反馈机制，确保学生高效掌握解题技巧，为教师精准把控复习节奏、提升学生应考能力提供有力支持。

1.4　基本不等式 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、基本不等式 3 知识点二、利用基本不等式求最值 5 知识点三、常用二级结论 5 03 真题回顾 7 04 经典题型归纳总结 12 题型一：基本不等式核心性质与变形（基础考点） 12 题型二：比较大小（高频考点） 14 题型三：不等式的证明技巧（高频考点） 16 题型四：基本不等式直接使用（基础考点） 18 题型五："1" 的代换（必考考点） 19 题型六：换元与消元法（高频考点） 21 题型七：齐次化法（高频考点） 23 题型八：几何无字证明模型（基础拓展考点） 25 题型九：常见函数模型应用（高频考点） 28 题型十：整体代换与局部代换（高频考点） 31 题型十一：三角函数法（中等考点） 32 题型十二：多次使用基本不等式法（高频易错考点） 34 题型十三：待定系数法（中等偏难考点） 36 题型十四：判别式法（中等偏难考点） 39 题型十五：跨知识点整合问题（压轴小题考点） 40 题型十六：恒 (能) 成立问题（必考综合考点） 42 05 课后拓展精练 45 知识点一、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 3、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 4、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： （1）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点二、利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 知识点三、常用二级结论 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 1．（2025年高考北京卷数学真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 3．（2017年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【解析】设直线为，代入得， 即，， 设直线与x轴交点，与y轴交点， 则所围成封闭图形面积为 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以所围成封闭图形面积的最小值为4. 故选：C. 4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意； 对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意； 对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意； 对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意． 故选：C． 5．（2020年上海秋季高考数学试题（网络收集版））下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据基本不等式即可判断选项A是否正确，对选项B化简可得，由此即可判断B是否正确；对选项C、D通过举例即可判断是否正确.A.由基本不等式可知，故A不正确； B.，即恒成立，故B正确； C.当时，不等式不成立，故C不正确； D.当时，不等式不成立，故D不正确. 故选：B. 6．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为（R），由可变形为，，解得，当且仅当时，，当且仅当时，，所以A错误，B正确； 由可变形为，解得，当且仅当时取等号，所以C正确； 因为变形可得，设，所以，因此 ，所以当时满足等式，但是不成立，所以D错误． 故选：BC． 7．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设，则的最小值为_________． 【答案】4 【解析】易知， 当且仅当，即时取得最小值. 故答案为：4 8．（2024年上海春季高考练习数学试题）已知，的最小值为______． 【答案】12 【解析】, 当且仅当,即或时,等号成立, 故的最小值为12. 故答案为：12. 9．（2023年上海春季高考数学试题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 【答案】 【解析】， 当且仅当“”，即时取等， 所以的最大值为. 故答案为： 10．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】， ， 当且仅当且，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为：. 11．（2021年上海春季高考数学试题（网络收集版））已知函数的最小值为，则______. 【答案】 【解析】，当且仅当时等号满足， 故答案为：9 题型一：基本不等式核心性质与变形（基础考点） 【解题妙招】 基本不等式的常见变形 (1). (2) 例1．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】对于A，，， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，时，，当且仅当时等号成立， 当，异号时，， 当且仅当，即时等号成立，故A错误； 对于B，当，则由， 当且仅当，即或，不满足的条件，故B错误； 对于C，若，则， 当且仅当，即时等号成立，故C错误； 对于D，若，则， 当且仅当或时等号成立，故D正确． 例2．下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 【答案】B 【解析】选项A，因为，所以不满足“取等号时的条件”，故A不正确； 选项B，由，当且仅当等号成立，故B正确； 选项C，因为，不满足“各项必须为正”，所以当时，的最小值不可能为2，故C不正确； 选项D，当时，，所以的最小值不可能为2，故D不正确. 故选：B 例3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】成立时，可以有，此时不成立，不充分， 成立时，，因此有，必定成立，因此是必要的， 所以是必要不充分条件， 故选：B． 变式1．下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 【答案】D 【解析】对于A选项，若且，不妨取，，，，则，A错； 对于B选项，当时，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，的最大值为，B错； 对于C选项，当、均为负数时，，C错； 对于D选项，因为，所以，， 当且仅当时等号成立，D对. 故选：D. 题型二：比较大小（高频考点） 【解题妙招】 直接利用性质比较大小 例4．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【解析】因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故AC选项错误； 因为，则， 当且仅当时，即当时，等号成立，故B选项错误； 因为，， 当且仅当时，即当时，等号成立，故D选项正确. 故选：D 例5．若，则下列各结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】令，解得， 当时，，为减函数， ， , . 例6．（2026·广东广州·二模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，，得， 对于A，，A正确； 对于B，取，则，B错误； 对于C，，C正确； 对于D，显然，则，D正确. 变式2．（2026·高三·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于A,由于，则，故，进而，A错误， 对于B,由于，则，故，B正确， 对于C, 由于，则，故，C错误， 对于D, ，由于，则，故 ，故，D 错误， 题型三：不等式的证明技巧（高频考点） 【解题妙招】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 例7．设．求证：，并确定等号成立的条件． 【解析】注意到 ，等号成立时． 于是， 等号成立时． 例8．对任意实数，.求证： 【解析】证明：因为，， 所以，， 令，， 则 当且仅当，即时等号成立； 所以，当且仅当时，等号成立. 例9．已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 【解析】（1） 由知，因此. （2）证明：由题设，及基本不等式知， . 同理，， ，即. 即：. 变式3．已知实数满足，若，求证：. 【解析】因为，所以， 因为，所以， 又，即，当且仅当时等号成立， 整理得，所以. 题型四：基本不等式直接使用（基础考点） 【解题妙招】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例10．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】C 【解析】由基本不等式得到，即， 当且仅当，即时，等号成立. 的最大值为 例11．若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为正数a，b满足，所以， 即，当且仅当时取“＝”，所以的最大值为. 故选： 例12．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 【答案】B 【解析】， 当且仅当，即、时，等号成立， 即的最小值为. 变式4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【解析】， 当且仅当，即时取等号， 故的最小值为. 题型五："1" 的代换（必考考点） 【解题妙招】 凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 例13．已知为正数，，则的最小值为_________. 【答案】 【解析】由题设，则， 求的最小值，即求的最小值，其中， 由， 当且仅当，即时取等号， 综上，的最小值为. 例14．若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由，可得， 则 当且仅当时，上式取等号， 所以的最小值是. 故选：D 例15．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【解析】， 当且仅当，即时，取等号， 故选：B． 变式5．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 【答案】B 【解析】由可知，易知，且， 所以 ， 当且仅当时，即时，等号成立， 因此的最小值为3. 变式6．（2026·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【解析】因由题设及基本不等式， , 当且仅当，即时取等号. 题型六：换元与消元法（高频考点） 【解题妙招】 消参法常用来处理二元乃至高次双变量不等式，以一个变量代换另一变量，减少变量数量后借助基本不等式求值。面对双元分式题型还可使用双换元，把两个分母设为全新参数，重构式子，依托新参数建立不等关系求解。 例16．已知，且，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】，，，，， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 的最小值. 故答案为：. 例17．已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】由，x，y均为正实数，可得，解得， 因， 则，设，则，且， 则， 因，当且仅当时等号成立， 故，即当时，的最小值为. 故答案为：. 例18．已知实数满足，则的最小值为______． 【答案】 【解析】由，可得， 令，，则． 联立可得，，， 则， 当且仅当，即，或，时，即，或，时取等号． 故答案为：． 变式7．已知，则的最大值为___________． 【答案】/ 【解析】令，则，且， ， 由得， 所以 ， 当且仅当时取等号，结合，解得， 即时取等号， 所以，即的最大值为， 故答案为：. 变式8．已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 【答案】/0.25 【解析】因为均为正实数，且， ，设， 则上式， 当且仅当时取“=”； 则的最小值为， 故答案为： 题型七：齐次化法（高频考点） 【解题妙招】 齐次化多用于多元代数式求最值，若式子各项次数统一，可给分式的分子分母同除某一变量，把多个变量合并成变量比值这一单整体，简化原式结构，构造出适配基本不等式的形式，借此完成最值计算。 例19．（2026·高三·云南·阶段检测）若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】依题意，， 则，即， 令，则，， 因此，当且仅当时取等号， 所以的最小值为. 故答案为： 例20．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 【答案】D 【解析】实数，且，则 ，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 例21．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 【答案】B 【解析】已知，，且， ， 当且仅当，结合得时等号成立， 的最小值为5． 题型八：几何无字证明模型（基础拓展考点） 【解题妙招】 利用几何法转化 例22．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，点在直径上，不妨设点在线段上，如图所示， 则， 当与不重合时，因为，则， 当与重合时，，，也满足， 又易知，所以， 故选：D. 例23．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（   ）. A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 连接DB，因为AB是圆O 的直径，所以，所以在中，中线， 由射影定理可得，所以. 在中，由射影定理可得，即， 由得， 故选：D 例24．数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题设，且， 其中，或， 且， 由图知，即. 故选：A 变式9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】为等腰直角三角形,且，， ， ,四边形的面积. 观察图形，显然图1的阴影部分面积不小于图2的阴影面积， ，当且仅当，原式取“”. 故选：A. 题型九：常见函数模型应用（高频考点） 【解题妙招】 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 例25．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解析】设 则，所以， 所以， 因为，即且，解得， 所以. 故 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时， 该休闲场所的总造价最小，最小值为 元. 故选：B 例26．设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设长方体车厢（无盖）的长为，高为，， 则由题得，即， 所以， 即，当且仅当时等号成立， 由，解，得，即， 因为车厢的容积为且，仅当时等号成立，所以车厢的最大容积是. 故选：D. 例27．（2026·湖南·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 【答案】D 【解析】由题意得知是锐角，且，而， ， 所以， 而， 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，，此时最大， 故选：D 变式10．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 【答案】C 【解析】由题意，无盖长方体垃圾池的容积为，长为5m，高为，宽，， 则总造价， 当且仅当，即时取等号，且， 所以当垃圾池的高为时，垃圾池总造价最低. 故选：C. 题型十：整体代换与局部代换（高频考点） 【解题妙招】 整体代换将条件整体视作常数替换式子，快速构造定值结构；局部代换针对复杂局部代数式换元，简化繁杂分式、根式。两种代换均能简化多元式子，匹配基本不等式一正二定三相等要求，是处理复杂最值题的常用手段。 例28．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，且，所以， 所以， 当且仅当即、时等号成立． 所以的最小值为. 例29．已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 【答案】A 【解析】由，得， 整理得，即， 而，故可得，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故选：A 例30．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【解析】由题意得：， ， 当，即时，等号成立. 变式11．（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 【答案】7 【解析】由，则， 即，又，则， 解得 ，当且仅当取等， 则的最小值为7. 题型十一：三角函数法（中等考点） 【解题妙招】 出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和. 例31．已知，，则的最小值为____. 【答案】 【解析】因为， 令，，解得，， 所以 ，， 因为，所以的最小值为. 故答案为：. 例32．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由，可得， 设点，则点在以点为圆心，2为半径的圆上， 所以， 根据几何意义设，则. ， 过点作圆的切线，与圆交， 此时， 故， 所以， 因为，所以，即 所以，所以， 故最大值为. 例33．（2026·高三·全国·一轮复习）若a，b，，且，则的最大值为______． 【答案】 【解析】，，，， 则， 由辅助角可得， 故答案为：． 题型十二：多次使用基本不等式法（高频易错考点） 【解题妙招】 在利用不等式多次求解最值问题的过程中，需格外留意的是，每一次运用不等式取到最值时所依赖的等号成立条件是否相互契合、保持一致。 例34．已知，则的最小值为__________． 【答案】4 【解析】因为，所以 ， 即，当且仅当时等号成立， 则， 当且仅当等号成立， 综上可得：的最小值为4. 故答案为：4 例35．已知，且，则的最小值为______． 【答案】 【解析】令 ， ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以． 令， 注意到单调递增， 故． 当且仅当时等号成立． 故答案为： 例36．已知正数满足，，则的最小值为_______. 【答案】 【解析】由，则，当且仅当，即时，等号成立； ， 当且仅当，即时，等号成立， 综上可得的最小值为. 故答案为：. 变式12．已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______. 【答案】 ； / 【解析】因为，，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取得最小值； 易知 ， 当且仅当第一个不等号可取等号， 当且仅当第二个不等号可取等号. 故答案为：；. 题型十三：待定系数法（中等偏难考点） 【解题妙招】 出现结构形式，通常用待定系数法. 例37．（2026·高三·浙江阶段检测）已知为正实数，且，则的最大值是___________. 【答案】 【解析】设，使 再设，使 又 由得，， 此时，即所要求的最大值是. 故答案为：. 例38．设，，，是不全为零的实数，且满足.则的最小值是_________. 【答案】 【解析】引进参数，由，， 三式相加得. 令  . 由此解得. 于是，. 又当，时，上式的等号成立，所以，的最小值为. 例39．已知，且，则的最小值为______. 【答案】/ 【解析】，则有，， 可得 令，解得，所以，即， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 变式13．为正整数，求的最小值为 _____. 【答案】4 【解析】由题意知，引入参数k，使之满足 , 当且仅当，且，即时，等号成立， 所以， 故的最小值为4. 故答案为：4. 变式14．若，则的最小值为______． 【答案】/ 【解析】由 ， 当且仅当时取到最小值. 变式15．（2026·高三·云南�阶段检测）已知实数，，不全为0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意实数，，不全为0， ， 当且仅当时，等号成立. 故选：D. 题型十四：判别式法（中等偏难考点） 【解题妙招】 利用一元二次方程有实数根时. 例40．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【解析】由题意可得正实数a、b满足， 则关于b的一元二次方程有， 即， 所以， 所以的最小值为. 故答案为： 例41．已知实数，满足，则的最大值为_____. 【答案】 【解析】令，则， 方程可化为， 整理得，则满足， 解得，所以，即， 所以的最大值为. 题型十五：跨知识点整合问题（压轴小题考点） 【解题妙招】 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 例42．三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，，代入， 可得， 化简得， 两边同时除以得，， 一方面，， 其中，，当时等号成立； 另一方面，由均值不等式，有，当且仅当时等号成立， 依题可得：，此时且， ，，，， ，， 由余弦定理，，又，， 联立解得，， 设边上的高为，则， 故，即边上的高为. 故选：B. 例43．（2026·重庆·一模）已知直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为4，则双曲线的焦距的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【解析】双曲线的渐近线方程为，由，解得， 因此直线与双曲线的两条渐近线的交点为， 直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积，则， 双曲线的焦距，当且仅当时取等号， 所以双曲线的焦距的最小值为. 故选：D 例44．（2026·山东泰安·三模）已知在△ABC中，，M为BE与CD的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设,因为，所以为中点， , 因为三点共线，所以，解得； . , 向量在上的投影向量的模为，即， ，当且仅当，即时取到最小值. 变式16．（2026·甘肃·二模）函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．16 【答案】C 【解析】， 又在单调递增， ， ，即. ，当且仅当时，等号成立. 题型十六：恒 (能) 成立问题（必考综合考点） 【解题妙招】 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 例45．正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】正数满足，， 故， 当且仅当，即时等号成立， 不等式对任意实数x恒成立， 则对任意实数x恒有， 对任意实数x恒成立， 对任意实数x恒成立， 又， ，即实数的取值范围是， 故选：A 例46．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 若不等式恒成立，则， 所以，解得. 故选：C 例47．（2026·高三·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【解析】由可得， 不等式可化为，所以. 故选：A 变式17．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 【答案】C 【解析】，，恒成立， 而 ， 当且仅当时，等号成立，则，故的最大值为. 故选：C. 1．（2026·高三·天津南开·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递增，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 【答案】A 【解析】由题意可知，解得，则，， 因为， 所以， 所以，即. 故选：A 2．（2026·高三·山东·阶段检测）已知，是函数图像上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，是函数图象上两个不同的点， 所以，，故， 因为，由基本不等式可得， 故，故BCD错误，A正确. 故选：A. 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】D 【解析】 ， 当且仅当，即，结合解得当且仅当，时取等号， 因此的最小值为9. 5．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以，且， 所以， 当且仅当且时等号成立，由得（舍去）， 代入，解得， 所以当时，的最小值为. 6．（2026·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】连接，由题知，， 所以，即， 因为， 所以， 所以，即， 因为，， 所以，， 所以 所以由可以证明 故选：D 7．（2026·高三·湖南·阶段检测）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】等腰直角三角形，O为斜边AB的中点，， ， 而，所以，故选项B正确. 故选：B 8．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 【答案】B 【解析】设该超市每月销售该商品所获得利润为， 每件利润为元，每月的销售量为件， ， 令，则， ，当且仅当，即时取等号， 该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为元． 故选：B． 9．已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】即， （当且仅当时取等号）， 又不等式恒成立， 所以． 故选：C． 10．已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 【答案】 【解析】， 即， 故，当且仅当时等号成立， 此时， 当，即时，取得最小值． 11．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 【答案】2 【解析】因，则，当且仅当时取等号. 则 即，解得，（舍去） 当且仅当时等号成立，故的最小值为2. 12．已知，且，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】由题可得， 所以， 则，当且仅当， 即时取等号， 所以， 即的最大值是. 故答案为：. 13．已知正实数满足，则的最小值为___________． 【答案】/ 【解析】，可得， 则. 又因为，即， 所以， 故， 即（当且仅当，即时取等）， 所以， 故答案为：. 14．已知正实数满足，则的最小值为__________. 【答案】/ 【解析】由题意，为正实数，且，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 则的最小值为. 故答案为：. 15．若，且，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】由得， 令，则且，， 所以 ， 当且仅当，且，即，时等号成立． 故答案为:． 16．（2026·高三·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】令，则， 则可转化为，求最小值即求的最小值. ， 当且仅当，即，即时，等号成立， 因此的最小值为. 故答案为：. 17．已知，若，则的最小值为___________． 【答案】3 【解析】∵已知，， ∴，即 ∴，当且仅当，时等号成立，最小值为3， 故答案为：3. 18．（2026·高三·天津南开�期末）若均为正实数，则的最大值为______． 【答案】 【解析】，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， ，当且仅当，时取等号， 故的最大值为， 故答案为 19．已知、、不全为零．则的最大值是______． 【答案】 【解析】设，则，， 即，① ．② ①②得． 令． 解之，得，． 从而，， 即（当时等号成立）． 20．已知a，b，，，则的最小值为__________. 【答案】5 【解析】①， 当且仅当时取等号， ， 即②，当且仅当时，即，时取等号， 将②式代入①式得， 当且仅当，，时取等号. 故答案为：5. 21．若，，，则的最小值为________. 【答案】 【解析】因为，，， 所以 . 当且仅当且即且时等号成立， 所以的最小值为. 故答案为： 22．已知为正实数．证明：． 【解析】先证明， 原不等式， ， ． 由柯西不等式得 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4　基本不等式 目录 01思维导图与题型归纳 2 02 基础知识点梳理 3 知识点一、基本不等式 3 知识点二、利用基本不等式求最值 5 知识点三、常用二级结论 5 03 真题回顾 7 04 经典题型归纳总结 9 题型一：基本不等式核心性质与变形（基础考点） 9 题型二：比较大小（高频考点） 10 题型三：不等式的证明技巧（高频考点） 11 题型四：基本不等式直接使用（基础考点） 12 题型五："1" 的代换（必考考点） 12 题型六：换元与消元法（高频考点） 13 题型七：齐次化法（高频考点） 13 题型八：几何无字证明模型（基础拓展考点） 14 题型九：常见函数模型应用（高频考点） 15 题型十：整体代换与局部代换（高频考点） 17 题型十一：三角函数法（中等考点） 17 题型十二：多次使用基本不等式法（高频易错考点） 18 题型十三：待定系数法（中等偏难考点） 18 题型十四：判别式法（中等偏难考点） 19 题型十五：跨知识点整合问题（压轴小题考点） 19 题型十六：恒 (能) 成立问题（必考综合考点） 20 05 课后拓展精练 21 知识点一、基本不等式 1、对公式及的理解． （1）成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求都是正数； （2）取等号“=” 的条件在形式上是相同的，都是“当且仅当时取等号”． 2、由公式和可以引申出常用的常用结论 ①（同号）； ②（异号）； ③或 知识点诠释： 可以变形为：，可以变形为：． 3、基本不等式的证明 方法一：几何面积法 如图，在正方形中有四个全等的直角三角形． 设直角三角形的两条直角边长为、，那么正方形的边长为．这样，4个直角三角形的面积的和是，正方形的面积为．由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，所以：．当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，正方形缩为一个点，这时有． 得到结论：如果，那么（当且仅当时取等号“=”） 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作：如果，，，（当且仅当时取等号“=”） 方法二：代数法 ∵， 当时，； 当时，． 所以，（当且仅当时取等号“=”）． 知识点诠释： 特别的，如果，，我们用、分别代替、，可得： 如果，，则，（当且仅当时取等号“=”）． 通常我们把上式写作： 如果，，，（当且仅当时取等号“=”）． 4、基本不等式的几何意义 如图，是圆的直径，点是上的一点，，，过点作交圆于点D，连接、． 易证，那么，即． 这个圆的半径为，它大于或等于，即，其中当且仅当点与圆心重合，即时，等号成立． 知识点诠释： （1）在数学中，我们称为的算术平均数，称为的几何平均数．因此基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． （2）如果把看作是正数的等差中项，看作是正数的等比中项，那么基本不等式可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项． 知识点二、利用基本不等式求最值 在用基本不等式求函数的最值时，应具备三个条件：一正二定三取等． ① 一正：函数的解析式中，各项均为正数； ② 二定：函数的解析式中，含变数的各项的和或积必须有一个为定值； ③ 三取等：函数的解析式中，含变数的各项均相等，取得最值． 知识点诠释： 1、两个不等式：与成立的条件是不同的，前者要求a，b都是实数，后者要求a，b都是正数． 2、两个不等式：与都是带有等号的不等式，对于“当且仅当……时，取“=”号这句话的含义要有正确的理解． 3、基本不等式的功能在于“和积互化”．若所证不等式可整理成一边是和，另一边是积的形式，则考虑使用平均不等式；若对于所给的“和式”中的各项的“积”为定值，则“和”有最小值，对于给出的“积式”中的各项的“和”为定值，则“积”有最大值． 4、利用两个数的基本不等式求函数的最值必须具备三个条件： ①各项都是正数； ②和（或积）为定值； ③各项能取得相等的值． 5、基本不等式在解决实际问题中有广泛的应用，在应用时一般按以下步骤进行： ①先理解题意，设变量，设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数； ②建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题； ③在定义域内，求出函数的最大或最小值； ④写出正确答案． 知识点三、常用二级结论 模型一：，当且仅当时等号成立. 模型二：，当且仅当时等号成立． 模型三：，当且仅当时等号成立. 1．（2025年高考北京卷数学真题）已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2024年北京高考数学真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2017年全国普通高等学校运动训练、武术与民族传统体育专业单独统一招生考试数学试卷）过点且斜率小于0的直线与轴，轴围成的封闭图形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 4．（2021年全国高考乙卷数学（文）试题）下列函数中最小值为4的是（    ） A． B． C． D． 5．（2020年上海秋季高考数学试题（网络收集版））下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 6．（多选题）（2022年新高考全国II卷数学真题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 7．（2025年上海秋季高考数学真题（网络收集版））设，则的最小值为_________． 8．（2024年上海春季高考练习数学试题）已知，的最小值为______． 9．（2023年上海春季高考数学试题）已知正实数a、b满足，则的最大值为_______________． 10．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为____________． 11．（2021年上海春季高考数学试题（网络收集版））已知函数的最小值为，则______. 题型一：基本不等式核心性质与变形（基础考点） 【解题妙招】 基本不等式的常见变形 (1). (2) 例1．下列使用均值不等式求最小值的过程，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则由知，的最小值为 C．若，则 D．若，则 例2．下列结论正确的是（　　） A．当且时， B．当时， C．当，的最小值为2 D．当时，的最小值为2 例3．“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 变式1．下列说法中，正确的是（   ） A．若且，则 B．若，则的最小值为 C．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 D．对任意的实数和，总有，当且仅当时等号成立 题型二：比较大小（高频考点） 【解题妙招】 直接利用性质比较大小 例4．已知两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，类比此定理，有以下结论：三个正数的算术平均数大于等于它们的几何平均数，即当均为正实数时，，当且仅当时等号成立；利用上述结论，判断下列命题真假，则真命题为（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 例5．若，则下列各结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 例6．（2026·广东广州·二模）已知，且，则下列不等式不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 变式2．（2026·高三·北京·开学考试）已知，且，则下列不等关系中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型三：不等式的证明技巧（高频考点） 【解题妙招】 类似于基本不等式的结构的不等式的证明可以利用基本不等式去组合、分解、运算获得证明． 例7．设．求证：，并确定等号成立的条件． 例8．对任意实数，.求证： 例9．已知，， (1)比较与大小； (2)证明： 变式3．已知实数满足，若，求证：. 题型四：基本不等式直接使用（基础考点） 【解题妙招】 直接利用基本不等式求解，注意取等条件． 例10．（2026·天津河西·一模）已知，，且，则的最大值为（   ） A．1 B． C． D． 例11．若正数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 例12．（2026·河南开封·模拟预测）已知实数，满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．8 D．16 变式4．（2026·河南洛阳·模拟预测）设，则的最小值为（    ） A． B． C．6 D．3 题型五："1" 的代换（必考考点） 【解题妙招】 凑出1，使不等式通过变形出来后达到运用基本不等式的条件，即积为定值，凑的过程中要特别注意等价变形． 例13．已知为正数，，则的最小值为_________. 例14．若，，且，那么的最小值是（ ） A． B． C． D． 例15．已知正数满足，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 变式5．（2026·天津南开·二模）已知时，的最小值为（   ） A． B．3 C． D． 变式6．（2026·江西萍乡·二模）已知，，，则的最小值为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型六：换元与消元法（高频考点） 【解题妙招】 消参法常用来处理二元乃至高次双变量不等式，以一个变量代换另一变量，减少变量数量后借助基本不等式求值。面对双元分式题型还可使用双换元，把两个分母设为全新参数，重构式子，依托新参数建立不等关系求解。 例16．已知，且，则的最小值为___________． 例17．已知x，y均为正实数，且满足，则的最小值为__________． 例18．已知实数满足，则的最小值为______． 变式7．已知，则的最大值为___________． 变式8．已知，均为正实数，且，则的最小值为___________． 题型七：齐次化法（高频考点） 【解题妙招】 齐次化多用于多元代数式求最值，若式子各项次数统一，可给分式的分子分母同除某一变量，把多个变量合并成变量比值这一单整体，简化原式结构，构造出适配基本不等式的形式，借此完成最值计算。 例19．（2026·高三·云南·阶段检测）若非零实数a，b满足，则的最小值为_____. 例20．（2026·广东清远·二模）已知实数，且，则的最小值为（   ） A．5 B．4 C． D． 例21．（2026·山西临汾·二模）已知，，且，则的最小值为（   ） A． B．5 C．4 D．3 题型八：几何无字证明模型（基础拓展考点） 【解题妙招】 利用几何法转化 例22．《几何原本》卷2的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，运用这一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明.现有如图所示图形，点在半圆上，点在直径上，且，设，则该图形可以完成的无字证明为（    ）    A． B． C． D． 例23．《几何原本》中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成为了后世数学家处理问题的重要依据.通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，如图所示的图形中，在上取一点C，使得，，过点C作交以为直径的半圆弧于D，连结，作，垂足为E，由可以直接证明的不等式是（   ）. A． B． C． D． 例24．数学里有一种证明方法叫Proofs without words，也称为无字证明，一般是指仅用图形语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题．由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅与有条理．如图，在等腰直角中，为斜边的中点，是斜边上异于、的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明是（    ） A． B． C． D． 变式9．数学里有一种证明方法为无字证明，是指仅用图形而无需文字解释就能不证自明的数学命题.在同一平面内有形状、大小相同的图1和图2，其中四边形为矩形，为等腰直角三角形，设，，则借助这两个图形可以直接无字证明的不等式是（    ） A． B． C． D． 题型九：常见函数模型应用（高频考点） 【解题妙招】 利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值. 例25．（2026·广西南宁·一模）如图，某社区要建一座八边形的休闲场所，它的主体平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的面积为的十字形地域．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为．设总造价为S（单位：元），则当总造价S最小时，AD的长度为（   ）    A． B． C． D． 例26．设计用的材料制造某种长方体车厢（无盖），按交通法规定厢宽为2m，则车厢的最大容积是（    ） A． B． C． D． 例27．（2026·湖南·模拟预测）1471年米勒向诺德尔教授提出了一个有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根竖直的悬杆呈现最长？我们把地球表面视为平面，悬杆视为直线l上两点A，B间的连线，则上述问题可以转化为以下的数学问题：如图1所示，直线l垂直于平面，直线l上有两点A，B位于平面的同侧，求平面上一点C，使得最大．建立如图2所示的平面直角坐标系．若A，B两点的坐标分别为，，点C的坐标为，则当最大时，c的值为（   ） A．64 B．32 C． D． 变式10．如图所示，某小区要建造一个一面靠墙的无盖长方体垃圾池，垃圾池的容积为50m3，为了合理利用地形，要求垃圾池靠墙一面的长为5m，如果池底每平方米的造价为200元，池壁每平方米的造价为180元（不计靠墙一面的造价），设垃圾池的高为，墙高5m.当垃圾池的总造价最低时，垃圾池的高应为（    ） A． B．3 C． D．4 题型十：整体代换与局部代换（高频考点） 【解题妙招】 整体代换将条件整体视作常数替换式子，快速构造定值结构；局部代换针对复杂局部代数式换元，简化繁杂分式、根式。两种代换均能简化多元式子，匹配基本不等式一正二定三相等要求，是处理复杂最值题的常用手段。 例28．（2026·天津红桥·一模）已知，若，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 例29．已知，则的最小值是（   ） A．2 B．4 C． D． 例30．（2026·河南开封·模拟预测）若，则的最小值为（   ） A．3 B．6 C．9 D．12 变式11．（2026·浙江宁波·三模）已知实数满足，且，则的最小值为_____． 题型十一：三角函数法（中等考点） 【解题妙招】 出现平方和结构（）形式，引入三角函数表示和. 例31．已知，，则的最小值为____. 例32．（2026·河北沧州·模拟预测）已知实数满足，则的最大值为__________. 例33．（2026·高三·全国·一轮复习）若a，b，，且，则的最大值为______． 题型十二：多次使用基本不等式法（高频易错考点） 【解题妙招】 在利用不等式多次求解最值问题的过程中，需格外留意的是，每一次运用不等式取到最值时所依赖的等号成立条件是否相互契合、保持一致。 例34．已知，则的最小值为__________． 例35．已知，且，则的最小值为______． 例36．已知正数满足，，则的最小值为_______. 变式12．已知正实数、、满足，则的最小值为______，的最小值为______. 题型十三：待定系数法（中等偏难考点） 【解题妙招】 出现结构形式，通常用待定系数法. 例37．（2026·高三·浙江阶段检测）已知为正实数，且，则的最大值是___________. 例38．设，，，是不全为零的实数，且满足.则的最小值是_________. 例39．已知，且，则的最小值为______. 变式13．为正整数，求的最小值为 _____. 变式14．若，则的最小值为______． 变式15．（2026·高三·云南�阶段检测）已知实数，，不全为0，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型十四：判别式法（中等偏难考点） 【解题妙招】 利用一元二次方程有实数根时. 例40．已知正实数a，b满足，则的最小值为__________. 例41．已知实数，满足，则的最大值为_____. 题型十五：跨知识点整合问题（压轴小题考点） 【解题妙招】 基本不等式常作为工具，与函数、导数、数列、三角、向量、复数、简易逻辑问题、立体几何、解析几何、实际问题、新定义问题等考点交汇，常常需要借助不等式来解决其中的最值问题. 例42．三角形中，角对的边分别为，，若，则边上的高为（   ）. A． B． C． D． 例43．（2026·重庆·一模）已知直线与双曲线的两条渐近线围成的三角形面积为4，则双曲线的焦距的最小值为（    ） A．2 B． C．4 D． 例44．（2026·山东泰安·三模）已知在△ABC中，，M为BE与CD的交点，则向量在上的投影向量的模的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式16．（2026·甘肃·二模）函数，若，则的最小值为（    ） A． B．2 C．4 D．16 题型十六：恒 (能) 成立问题（必考综合考点） 【解题妙招】 ，使得 ，等价于 ，，使得 ，等价于 例45．正数满足，，若不等式对任意实数恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 例46．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 例47．（2026·高三·河北衡水·期中）若不等式对任意正数恒成立，则实数的最大值为（   ） A． B．1 C．2 D． 变式17．已知，，若不等式恒成立，则的最大值为（   ）. A． B． C．1 D． 1．（2026·高三·天津南开·阶段检测）已知幂函数在区间上单调递增，若，则（    ） A． B． C． D．无法确定与的大小关系 2．（2026·高三·山东·阶段检测）已知，是函数图像上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知正数a，b满足，的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（2026·湖南株洲·模拟预测）已知，且，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．9 5．（2026·甘肃酒泉·二模）已知，且满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 6．（2026·高三·安徽芜湖·期末）《几何原本》第二卷中的几何代数法（以几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多代数的定理都能够通过图形实现证明，并称之为无字证明．现有如图所示的图形，点在半圆上，且，点在直径上运动．作交半圆于点．设，，则由可以直接证明的不等式为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·高三·湖南·阶段检测）数学里有一种证明方法叫做Proofswithoutwords，也称之为无字证明，一般是指仅用图象语言而无需文字解释就能不证自明的数学命题，由于这种证明方法的特殊性，无字证明被认为比严格的数学证明更为优雅.现有如图所示图形，在等腰直角三角形中，点为斜边的中点，点为斜边上异于顶点的一个动点，设，，则该图形可以完成的无字证明为（    ） A． B． C． D． 8．据市场调查，某超市的某种商品每月的销售量（单位：百件）与销售价格（单位：元/件）满足关系式，其中.已知该商品的成本为元/件，则该超市每月销售该商品所获得利润的最小值为（    ） A．元 B．元 C．元 D．元 9．已知，为正实数，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 10．已知满足，当取到最大值时，的最小值为___________． 11．（2026·内蒙古赤峰·一模）正数m，n满足，则的最小值为________． 12．已知，且，则的最大值为__________. 13．已知正实数满足，则的最小值为___________． 14．已知正实数满足，则的最小值为__________. 15．若，且，则的最小值为_____. 16．（2026·高三·天津·阶段检测）已知，，，则的最小值为________. 17．已知，若，则的最小值为___________． 18．（2026·高三·天津南开�期末）若均为正实数，则的最大值为______． 19．已知、、不全为零．则的最大值是______． 20．已知a，b，，，则的最小值为__________. 21．若，，，则的最小值为________. 22．已知为正实数．证明：． 27/27 学科网（北京）股份有限公司 $