三角形中的最值与范围问题 课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角形中的最值与范围问题”核心考点，依据高考评价体系明确边长、周长、面积及角度的范围求解要求。通过考情分析梳理正余弦定理、基本不等式、三角函数等工具应用，归纳利用基本不等式、函数思想两大常考题型，体现备考针对性。 课件亮点在于2025年安徽皖北联考等真题训练，结合“基本不等式求周长范围”“三角函数转化求取值”等典型题型，培养学生数学思维与模型观念。规律方法总结解题步骤，帮助学生掌握边角转化技巧，教师可据此系统指导复习，提升备考效率。

拓展与延伸11 三角形中的最值与范 围问题 一、考情分析 解三角形中的最值或范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积 有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是 利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问 题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系. 二、知识梳理 解三角形中的最值与范围问题，通常涉及与边长、周长有关的范围问题，与面积 有关的范围问题，或与角度有关的范围问题，一直是高考的热点与重点，主要是 利用三角函数、正余弦定理、三角形面积公式、基本不等式等工具研究三角形问 题，解决此类问题的关键是建立起角与边的数量关系 三、考点扫描 考点一利用基本不等式求最值或范围 例1(2025·安徽皖北协作区联考)在△ABC中，角 c,且2a-b=2 ccos B. (1)求角C的大小： 2)若c=3,求△ABC周长的取值范围！ A,B,C的对边分别为4，b, 【解】 (1)由正弦定理及2a-b=2 ccos B,得2sinA 又因为sinA=sin[m-(B+C)]=sin(B+C=sin Bcos C C=sinB.因为sinB0,所以cosC=又因为C∈(0， sin B-2sin Ccos B, +cos Bsin C,所以2 sin Bcos ),所以C= 3 (2)由余弦定理，得c2=a2+b2-2 abcos C=a2+b2-ab=(a+b)2-3ab 因为叶bb,所以h≤(a十b)2, 当且仅当a=b时等号成立. 2 4 所以3ab-a+b-3≤a+b},所以0<a+b≤23，当且仅当a-b=3时等 号成立.所以a十b十c≤23+1V3=3V3 又因为a十b>c,所以a十b+c>2c=2N3 所以△ABC周长的取值范围是(2V3,33], 例2(2025·福建宁德市高三阶段练习)在△ABC中， 之， 则当 取得最小值时， 己知点D在边BC上，且 3土 3【解析】方法一：设 A B D C 在五中，由余弦定理，得 在 x☑中， 所以 紧 D 4 (档且仪当a1,即3时，等号成边所以 当S取最小值时，3 方法二（建系法）：令BD=1,以D为坐标原点，OC为x轴，建立平面直角坐标 系.则C(21,0),A(1,3),B(-,0).所以 2平幸 B D C (当且仅当+3即3时等号成立) 2X+42x 方法三：设BD=x,CD2x.由余弦定理，得、 -44配所以 居三， 令4，则 圣三所以 即 xH 3+时等号成立).所以子4 规律方法： 求解三角形中面积和周长最值问题的常用方法 在△ABC中，如果已知一个角及其对边，假设已知A,a,根据余弦定理a2=b2 十c2-2bcc0SA,即可得到“b2十c2”与“bc”的等量关系. ()求面积最值时，S=besin A,即求bc最值，在等量关系中利用基本不等式2 2 +c2≥2bc,即可求得bc的最值. (2)求周长a+b十c的最值时，即求b十c的最值，在等量关系中，把b2+c2换成(b acA9程b土Ca 对点训练记△ABC的内角 sin 2B 1+cos 2B 0若- 求B的大小； 2求十 的最小值. A,B,C的对边分别为 a, b, c,已知 cos 4 1+sin A 【解】()因为 cos 4 sin 2B 所以 cos 4 2sin Bcos B 所以 cos 4 1+sin A 1+cos 2B 1+sin 4 1+2cos2B-1 1+sin A sin B 所以cos Acos B=sinB+sin Asin B,所以cos(A+B)=sinB,所以sinB cos B =-cos C=-cos 因为Be0》 32 所以B= 6 (2)由(I)得cos(A+B)=sinB,所以sin 4H9=sinB,且0<A+B<, 所以 2 08子0号+受所以好一-+)-公解得4-一-2B由正孩定理，得02斗 2 sin24+sin2B sin24+sin2B s 到su cos22B+sin2B sin2C 1-cos2C 1S子B cos2B zuineu 4cos4B-5cos2B++2 4cos2B 2 心3 cos2B cos2B 5≥21 4eosB2一5=42-5，当且仅当osB=2时取等号，所以4+的 cos2B 2 c2 最小值为42-5. 考点二函数思想求最值或范围 考向1转化为三角函数 例3(2025·广东佛山市模拟)已知△ABC为锐角 4+cos B). 若(C子求A的大小： (2)已知点D在边AC上，且AD=BD=2,求CD E角形，且cosA+sinB=/3(sin 长的取值范围. 【解】(1)因为cosA+sinB=V3(sinA+cosB),所以cosA-V3sinA=V3cosB- mr+w君又0=所以4+督 B+又27，所以A+-B+冬即B=A+又4什B+C=,C-所以4什 6 63 6 元+元=元，即A=元 63 4 (2)因为AD=BD=2,所以∠DBA=∠A.又∠ABC=A十元，可得∠DBC=元， 6 C D A B CD BD 在△DBC中， sin∠OBC sin C' 所以CD= BDsin∠DBC_1 在△ABC中， sin C sin C sin C=sin(B)=sin (24+0 因为△ABC为锐角三角形，所以 0<A 2 0B=A+元元 62 解得45所以21+2m24+1, 632 66'2sn 0KC=元-A-A-元元 62 所以.1∈(1,2)，即CD的取值范围是(1,2). sin C 规律方法： 三角形中最值（范围）问题，如果三角形为锐角三角形，或其他的限制，一般采用 正弦定理边化角，利用三角函数的范围求出最值或范围. 对点训练(2025·广东广州市调研)如图， =3,AD=1,∠ACD= 6 (1)求CD的长； (2)若△ABC为锐角三角形，求BC 在平面四边形ABCD中，BC⊥CD,AC 长的取值范围 D B C 【解】 (1)在△ACD中， 由余弦定理可得AD2=AC2 解得CD=1或CD=2. $$A C = \sqrt 3 ， A D = 1 ， \angle A C D = \frac { \pi } { 6 } ，$$ $$+ C D ^ { 2 } - 2 A C \cdot C D \cdot \cos \angle A C D ，$$ 即 $$1 = 3 + C D ^ { 2 } - 3 C D ，$$ 2)因为BC⊥CD,∠ACD=元，所以∠ACB=元因为△ABC为锐角三角形，所以 6 3 0<B< 2 -B< 解得B在△ABC中，因为C= BC 所以BC= 03 6 2 sin B s sin∠BAC 2 AC.sin∠BAC_V3sin3 3cos B3 sin B 2 由L<B<L得tan sin B sin B sin B 8-(+所以，3所CK您信和E2司 V3 tan B 考向2转化为其他函数 例4(2025·江苏盐城市期末)在△ABC中，C为△ABC的角平分线，且 )若多华求△BC的面积 (2)若，求边C长的取值范围. 【解】1)因为经所以空车2 所以 9解得所以今套 (2)设么三P2由得， 即《,所以 又在 4 中，由余弦定理，得 所以4-% b= 。9.因 C- 为na气》lac所以3x<所以：公o与听以s即r长的 取值范是[ 规律方法： 解决此类题目，一是利用正余弦定理，转化成边的函数，或转化成关于正弦、余 弦或正切的函数，根据函数的单调性求解；二是利用三角恒等变换构造关于正弦、 余弦或正切的函数，根据函数的单调性求解. 对点训练在锐角三角形ABC中，已知角A,B,C sin(4-B)_sin(4-C) cos B cos C 0若子求丹的大小： 2)若asin C=1,求1+日 的最大值。 a2 b2 所对的边分别为a,b,c,且 sS在 【解()由题意知 CSsC5,所以sin(A-B)cos C=sin(A-C)cosB, 所以sin Acos Bcos C-cos Asin Bcos C=sin Acos Ccos B-cos Asin Ccos B,所以 cos Asin Bcos C=cos Asin Ceos B.因为A=元，所以sin Beos C=-sin Ccos B,所以 a8=mG因为我Ce经 所以B=C,由A=T,所以B= 3 2)由(1)知B=C,所以sinB=sinC,b=c,因为asin C=1,所以=sinC,由正 弦定理得asin C-=esin A=bsin A=l,所以.=sinA.因为A=元-B-C=元-2C, 所n4仁m2C.所以+公im℃叶2-1%82C+0-cs20= h 2 cos2C-os2C+片因为△1c为税角三角形，且B=C则有C受得2C 42 所以-1Kcos200由=次函数的性质，可得当co2C-4时·+公取得最大 所以公的大位为名 四、巩固提升 1.(2025·湖北襄阳市模拟)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c. 若ccos4-十acosC=2,边AC上的高为3，则∠ABC的最大值为( c 2元 D 3 B【解析】因为ccos A+acos C=2,由余弦定理，得c: b+-心+n+e-c2= 2bc 2ab 2,整理可得6=2，又边4C上的高为3，所以2x3=4 csin B,.即ac=23 sin B 因为cosB=+C-2aC--1-2,当且仅当a=c时取等号，所以cosE1 2ac 2ac ac 、3 nB,即3anB+3cos3,即s如B-} 因为B∈(0，)，所以B十 =则+〔等所以=引 故∠ABC的最大值为，故选B。 2、已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为 若c2=6S,则的最小值为( ) 1 B.1 C.l3-3 2 a,b,c,记△ABC的面积为S. D.V13-3 C【解析】因为c2=6S,所以c2=6×absin C=3 absin C.由余弦定理c2=a2+b2 2 -2abcos C,a2+b2-2abcos C=3absin C,a2+b2=2abcos C+3absin C, 两边同除以a6得g+久2cosC+3snC=13s(C+p正13，其中tm9子设g x,0,即0+↓s13,所以3-3x<13+3,所以4的最小值为3-3故 2， 2 选C. 3、（多选题)(2025·江西南昌市调研)已知☑，b,c分别是锐角三角形ABC内角A, B,C的对边.若(3c-2 asin B)sinC=V3(bsin B-asin A),则下列结论正确的有 () A.B=π 3 13) B.cos AcosC的取值范围是2'4 C前收位位眉习 a D.若BD平分∠ABC,交AC于点D,且BD=1,则4a十c的最小值为3V3 AC【解析】对于选项A,由正弦定理得(V3c-2 asin B)c +c2-b的=2 acsin B,所以3d+c2-b2 =3cos B=sin 2ac 0所以子A正： B∈ =3b2-a2),所以v3(a2 B,所以tanB=3,又 对于选项B,cos Acos C=cos Acos[π-(A+B)]=-cos Acost(A+B)=一cos d)-w昼o+号i田2如os44- sin 24- 4 7 ,因为△ABC为锐角三角形，所以 0<A<, 0C= π 得4经所24-名年所吗(24. 2 6 3 所以024)骨的伯足B#民： siA+π 对于造项C,由正弦定理，得-nCs(_ 3 a sin A sin sin4 1. cos A 2 _1+3c0s 十 nA 由B知<4，所以C=}+3 , ,又tan sin A 22§ 6 a 2 2tanA 49+小阶40. 所+ai}2gc正 B 对于选项D,因为Siac=Sa4aD十S,mc,所以acsin-csin兀+ asin元，即 32 6 +.所以a+6=3a,女3，所以+c-a+o[已+月 +分53当且酸=-8即c=a时张等： 当c=2a时，由余弦定理，得b2=a2+c2-2 accos B=5a2-2a2=3a2,所以a2+ b2=c2,即△ABC为直角三角形，不合题意，所以4a十c>33,D错误.故选AC 4.(2025浙江嘉兴市统考)如图，△ABC为等腰直角=角形，A-刀，D是△ABC 2 外一点，且DB=2,DC=1,则四边形ABDC的面积的最大值为 A B C D +2【解析】设∠BDC=0,则0∈O,,所以Ssc=↓DB-DC-sin0=sinA 4 2 在△BDC中，由余弦定理，得BC2=DB十DC2-2DB·DC.cos0=5一4cos0,又 Se-BCC-Ae-;os,所以Sae--caws0+sn0- 2sn0到，8∈0，，当0-子-子即0=时，Sgme的最大值为+2 42 4 5、(2025春·上海高考) 且 (1) 若 (2)若 △ 在△ 中，角 求 的长； 的面积的最大值. 所对的边分别为 【解】(1)由 所以 根据正弦定理，得 , 即 ,解得 ,化简得 因为 9 (2)由余弦定理得 (当且仅 当 时，等号成立)，将 代入，， 得 ,结合 ，解得 ·因为△ 的面积 ,所以当 时，△ 的面积取得最 大值