解三角形中最值、范围问题 课件-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“解三角形中最值、范围问题”专题，依据高考评价体系梳理了与边长、角、面积及多边形相关的四大核心考点，通过近五年高考真题及模拟题分析，明确了边角互化、函数思想、不等式应用等高频考查方向，归纳出“三角函数有界性”“基本不等式”等常考题型。 课件亮点在于“真题引路+思维链构建+方法导引”的备考策略，以2022新高考Ⅰ卷例1为载体，深入剖析“边角互化→单变量函数→最值求解”三步法，培养学生的数学思维（推理能力）和数学语言（模型观念）。特设“关键能力思维链”和“易错点警示”，助力学生掌握解题技巧，教师可据此实现精准复习，提升备考效率。

数 学 构建知识体系 形成关键能力 提高学科素养 精准高效备考 高考能力梯级集训 第8节　解三角形中最值、范围问题 目录 1 2 能力高分练 课中 关键能力·可视思维 素养提升练 课中 高考定向·捕捉热点 第8节　解三角形中最值、范围问题 能力 高分练 课中 关键能力•可视思维 考点1　与边长有关的最值、范围问题 命题视角:直接求某条边或几条边的和差积商的最值范围,灵活选用定理实现边角互化,利用三角函数的有界性或不等式求解. 例1 (一题多解)(2022·新高考Ⅰ,18)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知. (1)若C=,求B; (2)求的最小值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 解: ∵ ,且cos B≠0, ∴由得cos Acos B=sin B(1+sin A), ∴cos Acos B=sin B+sin Asin B, ∴sin B=cos Acos B-sin Asin B=cos(A+B)=cos(π-C)=-cos C>0. ∴sin B>0,cos C<0, ∴ <C<π,0<B< ∴ sin B=sin, ∴B=C-或B+C-=π(舍去). (1)若C=,则0<B<, ∴sin B=-cos C=-cos∴B= 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)(方法1)由正弦定理得,(*) ∵C=+B,A+B+C=π, ∴A+B++B=π,∴A=-2B. 又0<A<,∴0<B< ∴(*)式为= = 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 令cos2B=t,则t, 于是原式== =4t+-5≥2-5=4-5, 当且仅当即t=时取等号. ∴ 的最小值为4-5. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 (方法2)∵sin B=-cos C,B=C-, ∴A=π-(B+C)=-2C. 又0<A<, ∴ <C<,∴ <sin2C<1. ∴sin A=sin(B+C)=sin=-cos 2C, ∴ == +4sin2C-5≥2-5=4-5,当且仅当sin2C=时,有最小值4-5. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练1 (2025·河北模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,向量m=(b-a,sin A-sin C),n=(sin B+sin A,c),且m⊥n. (1)求B; (2)若△ABC的外接圆的面积为4π,求△ABC周长的取值范围. 解:(1)因为m⊥n,所以m·n=0, 即(b-a)(sin B+sin A)+c(sin A-sin C)=0,由正弦定理可知 (b-a)(b+a)+c(a-c)=0,所以a2+c2-b2=ac, 根据余弦定理,cos B=, 又B∈(0,π),所以B= 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)因为△ABC的外接圆的面积为4π,所以半径R=2.由正弦定理可知=2R=4,所以b=2由b2=a2+c2-ac,知a2+c2-ac=12, 即(a+c)2-3ac=12,3ac=(a+c)2-12≤3,解得(a+c)2≤48,即a+c≤4,当且仅当a=c时等号成立,又a+c>b=2,所以2<a+c≤4, 所以4<a+b+c≤6,即△ABC周长的取值范围为(4,6]. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 方法导引 解三角形中的最值或范围问题的两种解法 (1)将问题表示为边的形式,利用基本不等式求得最大值或最小值; (2)将问题用三角形某一个角的三角函数表示,利用三角函数的有界性、单调性,再结合角的范围确定最值或范围. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 考点2　与角有关的最值、范围问题 命题视角:直接求某个角或几个角的三角函数的和差的最值范围.利用正弦或余弦定理合理转化,运用三角函数的有界性或二次函数求解. 例2 (2025·辽宁一模)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足=a. (1)求角B的大小; (2)若b=,求△ABC面积的最大值; (3)求sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A的取值范围. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 解:(1)由正弦定理得=sin A,即sin Bsin A=sin A(1+cos B), 因为0<A<π,所以sin A≠0, 所以sin B=1+cos B,所以sin(B-)=又因为-<B-,所以B= (2)由余弦定理得cos B=,代入b=得a2+c2=3+ac, 根据基本不等式a2+c2≥2ac,得ac≤3,当且仅当a=c=时,等号成立, 则△ABC的面积为acsin B=ac,故△ABC面积的最大值为 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 (3)sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A=sin Asin C+(sin A+sin C) =sin A·sin(-A)+[sin A+sin(-A)]=sin 2A+sin2A+sin A+cos A =sin(2A-)+sin(A+)+, 令x=A+,则2A-=2x-, 所以sin(2A-)+sin(A+)+可化为sin2x+sin x- 因为A∈(0,),所以x∈(),所以sin x∈(,1]. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 由二次函数图象的性质得,当sin x∈(,1]时,原式大于,当sin x=1时,原式取得最大值12+1-, 故sin Asin C+sin Bsin C+sin Bsin A的取值范围为(]. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练2 (2025·山西模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2(a-bcos C). (1)求B; (2)若△ABC为锐角三角形,求sin2A+sin2C的取值范围. 解:(1)∵c=2(a-bcos C), cos C=,∴c=2(a-),化简得, ∴cos B=,又0<B<π,∴B= 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)由(1)可得sin2A+sin2C=(1-cos 2A)+(1-cos 2C)=1-(cos 2A+cos 2C) =1-[cos 2A+cos 2(-A)] =1-cos 2A-sin 2A)=1-cos(2A+).∵△ABC为锐角三角形, ∴0<A<且0<C=-A<, ∴ <A<, ∴ <2A+, ∴-1≤cos(2A+)<-, ∴ <1-cos(2A+, 故sin2A+sin2C的取值范围为(]. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 方法导引 三角形中的最值、范围问题的解题策略 (1)定基本量:根据题意画出图形,找出三角形中的边、角,利用正弦、余弦定理求出相关的边、角,并选择边、角作为基本量,确定基本量的范围. (2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换,将所求范围的变量表示成函数形式. (3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 考点3　与面积有关的最值、范围问题 命题视角:与面积有关的最值、范围问题是高频考点,通常会结合边或角的条件来考查.核心解题思路是化边或化角. 例3 (2025·辽宁鞍山模拟)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且△ABC的周长为. (1)求角A; (2)若a=,求△ABC面积的最大值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 解:(1)由正弦定理可得,因为△ABC的周长为, 所以a+b+c=,即(a+b+c)(b+c-a)=3bc,化简可得b2+c2-a2=bc, 故由余弦定理可得cos A=,因为A∈(0,π),所以A= 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)因为a=,A=,所以由余弦定理2bccos A=b2+c2-a2,可得bc=b2+c2-3 ≥2bc-3,解得bc≤3,当且仅当b=c时等号成立, 所以S△ABC=bcsin A3, 即当b=c时,△ABC面积取最大值 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练3 (2025·湖北模拟)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,满足acos C-asin C=b-c. (1)求A的大小; (2)D为直线BC上一点,AD⊥AB,且AD=2,求△ABC面积的最小值. 解:(1)在△ABC中,由acos C-asin C=b-c及正弦定理, 得sin Acos C-sin Asin C=sin B-sin C=sin(A+C)-sin C =sin Acos C+cos Asin C-sin C, 整理得-sin Asin C=cos Asin C-sin C,而sin C>0,则sin A=1-cos A,两边平方得(1-cos A)2=3sin2A=3(1-cos2A),而0<A<π,解得cos A=-,所以A= 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)由(1)知,A=,设∠ADB=θ,则∠CAD=,C=θ-<θ<, 在Rt△ABD中,AB=ADtan θ=2tan θ,tan θ>,在△ACD中,由正弦定理得AC=, 令tan θ-1=t>0,则tan2θ=(t+1)2, 因此S△ABC=AB·ACsin(t++2),当且仅当t=1,即tan θ=时等号成立,所以△ABC面积的最小值为 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 考点4　多边形中的最值、范围问题 命题视角:求解多边形中的最值、范围问题是解三角形问题的综合与升华,核心在于如何将多边形问题“降维”为三角形问题,并利用三角形的性质作为解题的基石. 例4 (2024·广东广州模拟)△ABC中,内角A,B,C对应的边分别为a,b,c,面积S=(b2-a2-c2). (1)求B的大小; (2)如图,若D为△ABC外一点,在四边形ABCD中,边长BC=2,∠DCB=∠B,∠CAD=30°,求CD的最小值. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 解:(1)因为S=(b2-a2-c2),即-4S=(a2+c2-b2), 所以-4acsin B=2accos B,所以tan B==-因为B∈(0°,180°),所以B=120°. (2)在△ACD和△ABC中,由正弦定理可得 设∠ACB=θ,0°<θ<60°,则∠ACD=120°-θ, ∠ADC=30°+θ,∠CAB=60°-θ, 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 故两式相除可得,即CD=, 因此CD==,故当2θ-30°=0,即θ=15°时,此时cos(2θ-30°)取最大值1,CD取最小值 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 对点训练4 (2025·河北秦皇岛模拟)在平面四边形ABCD中,BC⊥CD, AD=,∠ACD=30°,∠CAD=45°. (1)求AC的长; (2)若△ABC为锐角三角形,求△ABC面积的取值范围. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 解:(1)在△ACD中,∠ACD=30°,∠CAD=45°, 则∠ADC=180°-∠ACD-∠CAD=180°-30°-45°=105°, 由正弦定理得,即, 所以AC=2sin 105°. 因为sin 105°=sin(60°+45°)=sin 60°cos 45°+cos 60°sin 45° =,所以AC=2+1. 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 (2)因为BC⊥CD,∠ACD=30°,所以∠ACB=60°,所以∠BAC=120°-B.因为△ABC为锐角三角形,所以 即解得30°<B<90°. 在△ABC中,由正弦定理得, 则BC=== ==+1), 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 所以S△ABC=AC·BCsin∠ACB=(+1)+1)sin 60° =+1) =+1). 因为30°<B<90°,所以tan B>tan 30°=,所以0<<3,所以1<+1<4,所以+1)<2+3,即<S△ABC<2+3. 故△ABC面积的取值范围是(,2+3). 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 关键能力思维链 返回目录 考点1 考点2 考点3 考点4 素养 提升练 课中 高考定向•捕捉热点 命题趋势:解三角形中最值、范围问题强调结构识别与转化,问题设问方式更加开放和灵活,需要通过分析和变形来识别,进而需要全面理解问题. 1.(一题多解)在△ABC中,内角A,B,C所对应的边分别是a,b,c,且2ccos2+bcos C=2asin(-A)+c. (1)求A; (2)若a=2,求△ABC周长的最大值. 返回目录 解:(1)(方法1)由2ccos2+bcos C=2asin(-A)+c, 得c(2cos2-1)+bcos C=2acos A, 可得到ccos B+bcos C=2acos A, 根据射影公式得bcos C+ccos B=a,则2acos A=a,即cos A= 因为A∈(0,π),所以A= (方法2)由方法1知ccos B+bcos C=2acos A, 由正弦定理得sin Bcos C+sin Ccos B=2sin Acos A,即sin(B+C)=2sin Acos A. 因为B+C=π-A,所以sin(B+C)=sin A≠0,故cos A= 又A∈(0,π),所以A= 返回目录 (2)由(1)知cos A=,由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A, 即4=b2+c2-bc=(b+c)2-3bc. 由基本不等式bc,代入上式得4,即(b+c)2≤16,得b+c≤4(b=c=2时等号成立), 又a=2,故△ABC的周长的最大值是6. 返回目录 模块内融合:高中数学中,解三角形中最值、范围问题与其他章节深度交汇,这是最显著的趋势.解三角形不再是一个孤立的章节,而是作为解决复杂问题的工具. 2.(2025·辽宁二模)已知锐角三角形ABC,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a=cos B+b=c. (1)求A; (2)求的取值范围. 返回目录 解:(1)因为a=cos B+b=c,则acos B+b=c,由正弦定理得sin Acos B +sin B=sin C=sin(A+B),sin Acos B+sin B=sin Acos B+cos Asin B, 所以cos Asin B=sin B.因为A,B∈(0,),则sin B>0,所以cos A=,即A= (2)在锐角三角形ABC中, 由可得<C<, 则, 返回目录 又tan C>,则0<, 所以的取值范围为(,2). 又,令t=,2),设f(t)=2t+,其中t∈(,2), 则f'(t)=2-,由f'(t)<0可得<t<, 由f'(t)>0可得<t<2, 返回目录 所以f(t)在()上单调递减,在(,2)上单调递增,所以f(t)min=f()=2 又因为f()=3,f(2)=,故f(t)的取值范围为[2),即的取值范围为[2). 返回目录 $