解三角形中的最值(范围)、证明问题 课件-2027届高三数学一轮复习

第四章　三角函数、解三角形 第10节　解三角形中的最值(范围)、证明问题 1.解三角形中的最值(范围)问题主要涉及三角形的面积、周长、边长等的最值或范围，解决的方法一般利用基本不等式或三角函数的性质求解. 2.三角形中的证明问题主要涉及边、角、三角函数式等恒等式. 课标要求 角度1　利用基本不等式求最值(范围) 例1 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且满足. (1)求角A; 题型一　三角形中的最值(范围)问题 由，结合正弦定理， 得，所以tan A＝， 又因为A∈(0，π)，所以A＝. (2)若a＝2，求△ABC面积的最大值. 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bccos A， 得4＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc， 即bc≤4，当且仅当b＝c＝2时等号成立， 所以S△ABC＝bcsin A≤×4×， 即当b＝c＝2时，△ABC面积的最大值为. 角度2　转化为三角函数求最值(范围) 例2 (2026·南京模拟节选)如图，在平面四边形ABCD中， BC⊥CD，AB＝BC＝，∠ABC＝θ，120°≤θ<180°. 若CD＝，求四边形ABCD面积的最大值. 在△ABC中，AB＝BC＝，∠ABC＝θ， S△ABC＝AB·BC·sin∠ABC＝×××sin θ＝sin θ， 由＝sin，得AC＝2sin， 在△ACD中，∠ACD＝90°－∠ACB＝90°－， 又CD＝， 所以S△ACD＝AC·CD·sin∠ACD＝·2sin··sincos θ， 所以四边形ABCD的面积S＝S△ABC＋S△ACD＝sin θ＋cos θ＝＋2sin(θ－60°)， 因为120°≤θ<180°，所以60°≤θ－60°<120°， 所以当θ－60°＝90°，即θ＝150°时，Smax＝＋2， 故四边形ABCD面积的最大值为＋2. 角度3　转化为其他函数求最值(范围) 例3 已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)若A＝，求B; 由题意知， 所以sin(A－B)cos C＝sin(A－C)cos B， 所以sin Acos Bcos C－cos Asin Bcos C ＝sin Acos Ccos B－cos Asin Ccos B， 所以cos Asin Bcos C＝cos Asin Ccos B， 因为A＝，所以sin Bcos C＝sin Ccos B， 所以tan B＝tan C， 因为B，C∈，所以B＝C， 由A＝，所以B＝. (2)若asin C＝1，求的最大值. 由(1)知B＝C，所以sin B＝sin C，b＝c， 因为asin C＝1，所以＝sin C， 由正弦定理得asin C＝csin A＝bsin A＝1， 所以＝sin A， 因为A＝π－B－C＝π－2C， 所以＝sin A＝sin 2C， 所以＝sin2C＋sin22C＝＋(1－cos22C)＝－cos22C－cos 2C＋， 因为△ABC为锐角三角形，且B＝C， 则有<C<，得<2C<π， 所以－1<cos 2C<0， 由二次函数的性质可得，当cos 2C＝－时， ， 所以. 感悟提升 三角形中的最值、范围问题的解题策略 (1)定基本量:根据题意画出图形，找出三角形中的边、角，利用正弦、余弦定理求出相关的边、角，并选择边、角作为基本量，确定基本量的范围. (2)构建函数:根据正弦、余弦定理或三角恒等变换，将所求范围的变量表示成函数形式. (3)求最值:利用基本不等式或函数的单调性等求函数的最值. 训练1 已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin2B＋sin2C＋ sin Bsin C＝sin2A. (1)求角A的大小; 由正弦定理， 得b2＋c2＋bc＝a2， 即b2＋c2－a2＝－bc， 由余弦定理得cos A＝＝－， 又0<A<π，所以A＝. (2)若a＝，求△ABC周长的最大值. 由a＝和(1)可知b2＋c2＋bc＝3， 则3＝(b＋c)2－bc≥(b＋c)2－ ＝， 得4≥(b＋c)2，即b＋c≤2， 所以a＋b＋c≤2＋，当且仅当b＝c＝1时取得等号， 所以△ABC周长的最大值为2＋. 例4 设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Csin(A－B)＝ sin Bsin(C－A). (1)若A＝2B，求C; 题型二　三角形中的证明问题 由A＝2B，A＋B＋C＝π， 可得A＝. 将A＝2B代入sin Csin(A－B) ＝sin Bsin(C－A)， 可得sin Csin B＝sin Bsin(C－A). 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0， 所以sin C＝sin(C－A). 又A，C∈(0，π)，所以C＋C－A＝π， 即A＝2C－π，与A＝联立， 解得C＝. (2)证明:2a2＝b2＋c2. 法一　由sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 可得sin Csin Acos B－sin Ccos Asin B＝sin Bsin Ccos A－sin Bcos Csin A， 结合正弦定理可得，accos B－bccos A＝bccos A－abcos C， 即accos B＋abcos C＝2bccos A(*). 由余弦定理的推论得， accos B＝，abcos C＝， 2bccos A＝b2＋c2－a2， 将上述三式代入(*)式并整理，得2a2＝b2＋c2. 法二　因为A＋B＋C＝π， 所以sin Csin(A－B)＝sin(A＋B)sin(A－B) ＝sin2Acos2B－cos2Asin2B ＝sin2A(1－sin2B)－(1－sin2A)sin2B ＝sin2A－sin2B， 同理有sin Bsin(C－A)＝sin(C＋A)sin(C－A)＝sin2C－sin2A. 又sin Csin(A－B)＝sin Bsin(C－A)， 所以sin2A－sin2B＝sin2C－sin2A， 即2sin2A＝sin2B＋sin2C， 故由正弦定理可得2a2＝b2＋c2. 感悟提升 对于解三角形中的证明问题，要仔细观察条件与结论之间的联系，发现二者的差异，利用正弦定理、余弦定理及三角恒等变换把条件转换为结论，即为证明过程. 训练2 (2026·济宁模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a(2－cos B)＝b(1＋cos A). (1)证明:b＋c＝2a; 由正弦定理得sin A(2－cos B)＝sin B(1＋cos A)， 即2sin A－sin Acos B＝sin B＋sin Bcos A， 所以2sin A＝sin B＋sin Acos B＋cos Asin B， 所以2sin A＝sin B＋sin(A＋B)， 所以2sin A＝sin B＋sin C， 由正弦定理得2a＝b＋c. (2)若△ABC的面积为bc，证明:△ABC为等边三角形. 因为bcsin A＝bc，所以sin A＝， 因为2a＝b＋c， 所以A为锐角，所以A＝. 由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A＝b2＋c2－bc， 又a＝，代入化简得b＝c，所以a＝b＝c， 所以△ABC为等边三角形. 1.(2026·北京东城区模拟)在△ABC中，a＝6，b－c＝1，sin C＝. (1)求b的值及△ABC的面积; 在△ABC中，b－c＝1，得b＝c＋1>c，所以C是锐角， 由sin C＝，可得cos C＝， 而c2＝a2＋b2－2abcos C， 所以c2＝36＋(c＋1)2－9(c＋1)， 可得c＝4，则b＝5， 故S△ABC＝absin C＝×6×5×. (2)求证:A＝2C. 由(1)易知cos C＝， 则cos 2C＝2cos2C－1＝， 由(1)及余弦定理有cos A＝， 所以cos A＝cos 2C，又A，C∈(0，π)，A＋2C<π，则A＝2C. 2.(2026·宁波质检)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 2sin B＝sin A＋cos Atan C. (1)求C; 由2sin B＝sin A＋cos Atan C， 得2sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C， 即2sin Bcos C＝sin(A＋C)， 又A＋B＋C＝π，则sin(A＋C)＝sin B≠0， 于是cos C＝，又0<C<π，所以C＝. (2)若2(a＋b)＝c2，求△ABC的边c的最大值. 由(1)知C＝，由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2abcos C＝(a＋b)2－3ab， 而2(a＋b)＝c2，则2(a＋b)＝(a＋b)2－3ab， 因此(a＋b)2－2(a＋b)＝3ab≤(a＋b)2， 解得a＋b≤8， 当且仅当a＝b时取等号，则c＝≤4， 所以△ABC的边c的最大值为4. 3.在△ABC中，2cos2＋2sincos. (1)求B的大小; 在△ABC中， ∵2cos2＋2sincos， ∴2·＋sin B＝， ∴cos B＋sin B＝0，∴tan B＝－， ∵B∈(0，π)，∴B＝. (2)若(a＋c)＝2b，求证:a＝c. ∵B＝，∴cos B＝－. 由余弦定理得b2＝a2＋c2＋ac，① ∵(a＋c)＝2b，∴b＝(a＋c)，② 将②代入①，得(a2＋2ac＋c2)＝a2＋c2＋ac， 整理得(a－c)2＝0，∴a＝c. 4.(2026·东北三省三校联合模拟)已知锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a＝cos B＋b＝c. (1)求A; 由题意得acos B＋b＝c， 由正弦定理得sin Acos B＋sin B＝sin C， 因为sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B， 所以sin Acos B＋sin B＝sin Acos B＋cos Asin B， 即sin B＝cos Asin B， 因为B∈(0，π)，所以sin B≠0，则cos A＝， 由A∈(0，π)，得A＝. (2)求的取值范围. 由A＋B＋C＝π，A＝得B＝π－C， 因为△ABC是锐角三角形， 所以 所以<C<. ， 又tan C>，所以0<<. 所以.，设＝t，t∈， 则f(t)＝2t＋， 易知f(t)在上单调递减，在上单调递增， 又f＝3，f＝2，f(2)＝， 所以f(t)∈， 即. $