第一节　任意角、弧度制及任意角的三角函数课件——2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“任意角、弧度制及任意角的三角函数”核心模块，依据高考评价体系梳理了象限角判断、终边相同角表示、扇形面积弧长计算、三角函数定义及符号判定等考查要点，通过真题改编题与模拟题分析，明确三角函数定义及象限角相关题型占比达60%的高频考点，构建了知识清单与题型突破相结合的复习体系。 课件亮点在于“真题溯源+技巧建模+素养提升”的备考设计，如结合2026年沈阳模拟题，用数学思维将扇形面积问题转化为二次函数最值求解，通过“终边对称角集合表示”培养抽象能力与空间观念，特设易错点警示（如角度弧度混用），助力学生掌握答题逻辑，教师可据此实现考点精准突破，提升复习效率。

第一节　任意角、弧度制 及任意角的三角函数 1 01.必备知识·助学教材 返回导航 2 知识清单 1.角的概念 (1)定义：角可以看成是平面内的一条射线绕着它的________旋转所形成的图形． (2)分类：按旋转方向不同分为________、________、________．按终边位置不同分为________和轴线角． (3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合__________________________． 端点 正角 负角 零角 象限角 S＝{β|β＝k·360°＋α，k∈Z} 返回导航 3 剖析　相等的角终边一定相同，但终边相同的角不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍． 返回导航 4 2．弧度制的定义和公式 (1)定义：把长度等于________的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式 提醒　在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 角α的弧度数公式 |α|＝________(弧长用l表示) 角度与弧度的换算 1°＝ rad；1 rad＝________ 弧长公式 弧长l＝________ 扇形面积公式 S＝____________＝____________ 半径长 ()° |α|r lr |α|r2 返回导航 5 3．任意角的三角函数 (1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______(x≠0)． (2)定义的推广 设P(x，y)是角α(α∈R)终边上异于原点的任一点，它到原点的距离为r(r>0)，那么sin α＝______，cos α＝______，tan α＝______(x≠0)． (3)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． y x 返回导航 6 【常用结论】 (1)β，α的终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z. (2)β，α的终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z. (3)β，α的终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z. 返回导航 7 自主诊断 1.思考辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若sin α>0，则α的终边落在第一或第二象限.(　　) (2)锐角是第一象限角，反之亦然．(　　) (3)将表的分针拨快5分钟，则分针转过的角度是30°.(　　) (4)相等的角终边一定相同，终边相同的角也一定相等．(　　) × × × × 返回导航 8 2．(人教A版必修一P176T7(2))已知α是第一象限角，那么是(　　) A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 答案：D 返回导航 9 解析：因为α是第一象限角，所以k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z，k·180°＜＜45°＋k·180°，k∈Z，当k＝2n，n∈Z时，n·360°＜＜45°＋n·360°，n∈Z，为第一象限角；当k＝2n＋1，n∈Z时，n·360°＋180°<<225°＋n·360°，n∈Z，为第三象限角．所以是第一或第三象限角．故选D. 返回导航 10 3．(人教A版必修一P180T3改编)已知角θ的终边过点P(－12，5)，则sin θ＋cos θ＝________． － 解析：由三角函数的定义可得sin θ＝＝， cos θ＝＝－，则sin θ＋cos θ＝－. 返回导航 11 4．(人教A版必修一P176T11改编)时间经过4 h(时)，时针转了________弧度；若时针长度是1厘米，则时针4 h(时)转出的扇形面积是________平方厘米． － 返回导航 12 解析：时针一小时转过－30°，所以时间经过4 h，时针转了－120°，即－120°＝－(120×) rad＝－ rad，又时针长度是1厘米，则时针4 h(时)转出的扇形面积S＝×12＝(平方厘米)． 返回导航 13 02.考教衔接·活用教材 返回导航 14 命题点一　象限角与终边相同的角 例1 (1)如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是(　　) A． B． C． D． 答案：B　 返回导航 15 解析：由题图可知，阴影部分终边在第二象限角的集合为，阴影部分终边在第四象限角的集合为，故终边在阴影部分的角的集合为.故选B. 返回导航 16 (2)已知α为第三象限角，则所在的象限是(　　) A．第一或第三象限 B．第二或第三象限 C．第二或第四象限 D．第三或第四象限 答案：C 返回导航 17 解析：由α为第三象限角，得2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，则kπ＋<<kπ＋，k∈Z，当k＝2n，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，此时在第二象限；当k＝2n＋1，2nπ＋<<2nπ＋，n∈Z，此时在第四象限．故是第二或第四象限角．故选C. 返回导航 18 学霸笔记：(1)判定象限角的两种方法． ①图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角． ②转化法：先将已知角化为k·360 °＋α(0 °≤α<360 °，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角． (2)确定kα，(k∈N*)终边位置的方法：先写出kα或的取值范围，然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置． 返回导航 19 (3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角，方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合，然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角． 返回导航 20 　跟踪训练　(1)(2026·佳木斯模拟)已知α与210°角的终边关于x轴对称，则是(　　) A．第二或第四象限角 B．第一或第三象限角 C．第三或第四象限角 D．第一或第四象限角 答案：B　 解析：由α与210°角的终边关于x轴对称，可得α＝k·360°－210°，k∈Z，∴＝k·180°－105°，k∈Z，取k＝0，1，可确定终边在第一或第三象限角．故选B. 返回导航 21 (2)(衔接·人教A版必修一P175T3改编)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－x上，则角α的取值集合是______________________． 解析：直线y＝－x的倾斜角是，∴终边落在直线y＝－x上的角的取值集合为. 返回导航 22 命题点二　弧度制与扇形的弧长、面积公式 例2 (1)(2026·沈阳模拟)已知某扇形折叠扇的面积为200，周长为60，且扇形弧长大于其半径，则该扇形折叠扇的半径和圆心角的大小分别为(　　) A．10，4 B．20，4 C．10，6 D．20，6 答案：A　 返回导航 23 解析：设该扇形折叠扇的圆心角，弧长，半径，面积分别为α，l，r，S，易得弧长l＝αr，周长等于2r＋l＝(2＋α)r＝60，S＝αr2＝200，两式联立解得或因为l＝αr>r，即α>1，故.故选A. 返回导航 24 (2)已知某扇形的周长为8，则当此扇形的面积最大时，半径为(　　) A．2 B．4 C．0.5 D．0.25 答案：A　 解析：设扇形所在圆的半径为r，弧长为l，可得l＝8－2r，所以扇形的面积为S＝lr＝(8－2r)r＝－r2＋4r＝－(r－2)2＋4，所以，当r＝2时，扇形的面积最大．故选A. 返回导航 25 学霸笔记：(1)求扇形面积的关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个． (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． (3)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． 返回导航 26 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P176T12)已知相互啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿． (1)当大轮转动一周时，求小轮转动的角度； 解析：因为啮合的两个齿轮，大轮有48齿，小轮有20齿，所以当大轮转一周时，大轮转动了48个齿，则小轮转动＝周，即×360°＝864°，所以当大轮转一周时，小轮转动的度数为864°. 返回导航 27 (2)如果大轮的转速为180 r/min(转/分)，小轮的半径为10.5 cm，那么小轮周上一点每1 s转过的弧长是多少？ 解析：当大轮转速为180 r/min时，小轮转速为×180＝432(r/min)， 所以小轮周上一点每一秒转过的弧度数为432×2π÷60＝. 又因为小轮的半径为10.5 cm，所以小轮周上一点每一秒转过的弧长为×10.5＝151.2π (cm)． 返回导航 28 命题点三　任意角的三角函数 考向1　利用三角函数的定义求值 例3 (1)已知点P(m≠0)在角α的终边上，且cos α＝m，则sin α＝(　　) A．－　 B．－ C．　　D． 答案：A　 返回导航 29 解析：因为点P(m，－)(m≠0)在角α终边上，且cos α＝m，即cos α＝＝m，解得m2＝5，所以sin α＝＝＝－.故选A. 返回导航 30 (2)以坐标原点为顶点，x轴非负半轴为始边的角α，其终边落在直线y＝2x上，则sin α＝____________． 或－ 解析：因为角α的终边落在直线y＝2x上，当角α的终边在第一象限时，终边过点(1，2)，此时sin α＝；当角α的终边在第三象限时，终边过点(－1，－2)，此时sin α＝－. 返回导航 31 学霸笔记：(1)已知角α的终边上一点P的坐标，求角α的三角函数值的方法：先求出点P到原点的距离，再利用三角函数的定义求解． (2)已知角α的终边所在的直线方程，可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义求解． 返回导航 32 　跟踪训练　已知角α的终边在第二象限，且终边上有一点P，sin α＝m，则m＝(　　) A． B．－ C．2 D．± 答案：A 解析：由题意可得sin α＝＝＝m，得m＝±或0，因为角α的终边在第二象限，则m＝.故选A. 返回导航 33 考向2　三角函数值符号的判定 例4 (1)已知cos θ·tan θ>0，则θ可能为(　　) A．第一或第二象限角 B．第二或第三象限角 C．第一或第三象限角 D．第三或第四象限角 答案：A 返回导航 34 解析：∵cos θ·tan θ>0，∴或∴θ可能为第一或第二象限角．故选A. 返回导航 35 (2)sin 2·cos 3·tan 4的值是__________．(填“正数”“负数”或“零”) 负数 解析：∵<2<3<π<4<，∴sin 2>0，cos 3<0，tan 4>0， ∴sin 2·cos 3·tan 4<0. 返回导航 36 学霸笔记：要判定三角函数值的符号，关键是要搞清三角函数中的角是第几象限角，再根据正、余弦函数值在各象限的符号确定值的符号．如果不能确定角所在象限，那么要进行分类讨论求解． 返回导航 37 　跟踪训练　(衔接·人教A版必修一P182T4改编)角θ为第三象限角的充要条件是(　　) A． B． C． D． 答案：B 返回导航 38 解析：对于A，由可得θ为第一象限角，故A不符合题意；对于B，由可得θ为第三象限角，故B符合题意；对于C，由可得θ为第二象限角，故C不符合题意；对于D，由可得θ为第四象限角，故D不符合题意．故选B. 返回导航 39 03.课时作业22 返回导航 40 1．在下列表达式中，与角的终边相同的角是(　　) A．2kπ＋45°，k∈Z B．k·360°＋，k∈Z C．k·360°－315°，k∈Z D．kπ＋，k∈Z 答案：C 解析：角度制与弧度制不能混用，故AB错误；因为与的终边相同的角可以写成k·360°－315°(k∈Z)．故C正确． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 41 2．终边在y轴的非负半轴上的角的集合是(　　) A． B． C． D． 答案：D 解析：终边在y轴的非负半轴上的角的集合为{α|α＝＋2kπ，k∈Z}．故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 42 3．已知圆心角为72°的扇形的弧长为，则该扇形的面积为(　　) A．　 　B． C．　 　D． 答案：C 解析：圆心角α＝72°＝，由弧长l＝αr＝，得r＝2，所以该扇形的面积为S＝.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 43 4．在平面直角坐标系中，若角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的非负半轴，终边经过点(，cos )，则sin α＝(　　) A．　 　B．－ C．－　 　D． 答案：B 解析：(，cos )＝， 则sin α＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 44 5．已知α是第二象限角，点P为其终边上一点，且cos α＝，则x＝(　　) A．3　 　B．± C．－　 　D．－ 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 45 解析：因为点P为其终边上一点，且cos α＝，由三角函数的定义，可得cos α＝，解得x＝－或x＝或x＝0.又因为α是第二象限角，所以x<0，所以x＝－.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 46 6．(2026·遵义模拟)已知角θ的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边与直线y＝x位于第三象限的图象重合，则sin θ＝(　　) A．－　　B． C．　　D．－ 答案：D 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 47 解析：由于终边在第三象限且在直线y＝x上，取x＝－2，则y＝×(－2)＝－1.因此，终边上一点P 的坐标为(－2，－1)，设|OP|＝r，根据勾股定理，r＝，则由三角函数的定义可得sin θ＝.故选D. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 48 7．已知sin α<0，cos α<0，则的终边一定不在(　　) A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限 答案：C 解析：因为sin α<0，cos α<0，则α为第三象限角，即2kπ＋π<α<2kπ＋，k∈Z，故kπ＋<<kπ＋，k∈Z，即的终边仅可能在第二、四象限，一定不在第一、三象限．故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 49 8．(2026·保定模拟)在某中学2025年“创意之光”文创设计大赛中，一名学生设计了一把“紫堡文创”扇子．其扇面可以近似的理解为扇形OAD截去同心扇形OBC所得图形，已知OA＝4，OB＝1，∠AOD＝，则该扇面的近似面积为(　　) A．　 　 B． C．5π　 　 D．8π 答案：C 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 50 解析：因为OA＝4，OB＝1，∠AOD＝，所以扇面的近似面积为×(42－12)×＝5π.故选C. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 51 9．已知角θ的终边经过点，则下列选项正确的有(　　) A．θ可能为锐角 B．sin θ＝ C．cos θ＝－ D．点(tan θ，cos θ)在第二象限 答案：BC 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 52 解析：对于A，角θ的终边经过点，则角θ为第二象限角，不可能为锐角，A错误；对于B，sin θ＝，B正确；对于C，cos θ＝，C正确；对于D，tan θ＝<0，cos θ<0，则点(tan θ，cos θ)在第三象限，D错误．故选BC. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 53 10．若角α的终边在第四象限，则的值可能为(　　) A．0　　　B．4 C．6　　　D．－4 答案：CD 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 54 解析：由角α的终边在第四象限，得－＋2kπ<α<2kπ，k∈Z，则－＋kπ<<kπ，k∈Z.因此是第二象限角或第四象限角．当是第二象限角时，＝3－(－2)－(－1)＝6；当是第四象限角时，＝－3－2－(－1)＝－4.故选CD. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 55 11．已知角α的终边在图中阴影部分内，试指出角α的取值范围为_______________________________________． {α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z} 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 56 解析：终边在30°角的终边所在直线上的角的集合S1＝{α|30°＋k·180°，k∈Z}，终边在105°角的终边所在直线上的角的集合S2＝{α|105°＋k·180°，k∈Z}，因此，终边在图中阴影部分内的角α的取值范围为{α|30°＋k·180°≤α<105°＋k·180°，k∈Z}． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 57 12．(2026·海口模拟)小明同学在公园散步时，对公园的扇形石雕(如图①)产生了浓厚的兴趣，并画出该扇形石雕的形状(如图②)，在扇形AOB中，∠AOB＝，OA＝10 cm，则扇形AOB的面积为________cm2. 解析：在扇形AOB中，因为α＝∠AOB＝，r＝OA＝10 cm，所以由扇形的面积公式可知S扇AOB＝(cm2)． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 58 13．(13分)如图，在平面直角坐标系xOy中，角α的始边与x轴的非负半轴重合，且与单位圆相交于点A，它的终边与单位圆相交于x轴上方一点B，始边不动，终边在运动． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 59 (1)若点B的横坐标为－，求tan α的值； 解析：设点B的纵坐标为m， 则由题意得m2＋2＝1，且m＞0， 所以m＝，故B，根据三角函数的定义得tan α＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 60 (2)若△AOB为等边三角形，写出与角α终边相同的角β的集合． 解析：若△AOB为等边三角形，则∠AOB＝， 故与角α终边相同的角β的集合为. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 61 14．(15分)已知，且lg (cos α)有意义． (1)试判断角α所在的象限； 解析：由，所以sin α<0， 由lg (cos α)有意义，可知cos α>0，所以α是第四象限角． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 62 (2)若角α的终边上一点M＝1(O为坐标原点)，求m的值及sin α的值． 解析：因为|OM|＝1，所以2＋m2＝1， 得m＝±.又α为第四象限角，故m<0，所以m＝－， sin α＝. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 63 15．(5分)(2026·河北多校联考)在平面直角坐标系xOy中，已知锐角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点的纵坐标为.若cos 2θ＝m sin ，则实数m的值为(　　) A． B． C．－ D．－ 答案：B 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 64 解析：由题意，得sin θ＝，cos θ＝.由cos 2θ＝m sin ，得2cos2θ－1＝m cosθ，即2×m，解得m＝.故选B. 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 65 16.(5分)(2025·北京卷)已知α，β∈[0，2π]，且sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，写出满足条件的一组α＝________，β＝________． 解析：因为sin (α＋β)＝sin (α－β)，cos (α＋β)≠cos (α－β)，所以α＋β，α－β的终边关于y轴对称，且不与y轴重合，故α＋β＋α－β＝π＋2kπ，k∈Z且α＋β≠＋lπ，l∈Z，即α＝＋kπ，k∈Z，故取α＝可满足题设要求． 返回导航 2 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 1 16 66 $