第18讲　弧度制、任意角的三角函数课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“三角函数与解三角形”专题，覆盖弧度制、任意角三角函数、扇形面积公式等核心考点，依据高考评价体系梳理象限角判断、三角函数定义应用等考查要求，通过教材经典题与高考真题（如2020全国Ⅱ卷、2025模拟题）分析考点权重，归纳高频题型，体现备考针对性。 课件亮点在于“真题训练+素养渗透+技巧指导”，如例2将扇形面积最值问题转化为二次函数求解，培养数学思维；例3利用终边上点坐标求三角函数值，强化数学语言表达。设易错点分析（如半角象限判断）和答题模板，帮助学生掌握得分技巧，教师可据此精准教学，助力高效备考。

第四章 第18讲　弧度制、任意角的三角函数 三角函数与解三角形 1 A．第一象限角 B．第二象限角 C．第一或第二象限角 D．第一或第三象限角 【解析】 D 2．下列各式不正确的是 (　　) 【解析】 C A．1　 B．0 C．2　 D．－2 【解析】 C 【解析】 BD 【解析】 12π 1．角的概念的推广 定义 平面内一条射线绕着________从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 分类 按旋转方向 ________、________、________ 按终边位置 __________、轴线角 终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z} 端点 正角 负角 零角 象限角 2．弧度制的定义和公式 半径长 |α|r 注意：在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用． 3．任意角的三角函数 三角函数 正弦 余弦 正切 定义 设P(x，y)是角α终边上异于原点的任意一点，其到原点O 的距离为r 各象限符号 Ⅰ ＋ ＋ ＋ Ⅱ ＋ － － Ⅲ － － ＋ Ⅳ － ＋ － 三角函数 正弦 余弦 正切 三角函 数线       有向线段_______为正弦线       有向线段_______为余弦线     有向线段_______为正切线 MP OM AT 记忆口诀：一全正，二正弦，三正切，四余弦． ＞ ＞ 4．常见结论 (1) β，α的终边关于x轴对称⇔β＝－α＋2kπ，k∈Z． (2) β，α的终边关于y轴对称⇔β＝π－α＋2kπ，k∈Z． (3) β，α的终边关于原点对称⇔β＝π＋α＋2kπ，k∈Z． 目标 1 象限角及其表示 A．第一象限角　 B．第二象限角 C．第三象限角　 D．第四象限角 1 【解析】 A 　　 　 (2) 已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内(不包括边界)，那么角α用集合可表示为_________________________________________________． 【解析】 　　　　在0°～360°内，终边落在阴影部分内的角表示为45°＜α＜150°，所以所求角的集合为{α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z}． {α|k·360°＋45°＜α＜k·360°＋150°，k∈Z} 1 (1) 象限角 (2) 轴线角 变式1　(多选)若α是第二象限角，则下列说法正确的是 (　 　) A．－α是第三象限角 D．2α是第三或第四象限角或终边在y轴负半轴上 【解析】 【答案】AD 　　　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l． (1) 若α＝60°，R＝10 cm，求扇形的弧长l; 2 【解答】 目标 2 弧度制与扇形的弧长、面积公式 (2) 已知扇形的周长为10 cm，面积是4 cm2，求扇形的圆心角； 【解答】 　　　已知一扇形的圆心角为α，半径为R，弧长为l． (3) 若扇形的周长为20 cm，当扇形的圆心角α为多少弧度时，这个扇形的面积最大？ 2 【解答】 应用弧度制解决问题的方法 (1) 利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． (2) 求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决． (3) 在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形． 变式2　如图(1)是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图(2)所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)．已知该扇形玉雕壁画的周长为320 cm． 【解答】 图(1) 图(2) (1) 若OD＝2OA＝80 cm，求该扇形玉雕壁画的曲边CD的长度； 变式2　如图(1)是一幅扇形玉雕壁画，其平面图为图(2)所示的扇形环面(由扇形OCD挖去扇形OAB后构成)．已知该扇形玉雕壁画的周长为320 cm． 【解答】 图(1) 图(2) (2) 若AD＝2OA，求该扇形玉雕壁画的扇面面积的最大值． 目标 3 任意角的三角函数 3 【解析】 【答案】B 　　　(2)(多选)在平面直角坐标系xOy中，角α的顶点为原点O，始边为x轴的非负半轴，终边经过点P(1，m)(m＜0)，则下列各式的值恒大于0的是 (　 　) 【解析】 3 AB (1) 当已知角α终边上一点P的坐标时，可利用三角函数的定义求出角α的三角函数值． (2) 当已知角α的三角函数值时，也可以利用三角函数的定义求出点P的坐标． 【解析】 微探究 三角函数线 　　　(多选)已知sin α＞sin β，那么下列结论正确的是 (　　　) A．若角α，β是第一象限角，则cos α＞cos β B．若角α，β是第二象限角，则tan β＞tan α C．若角α，β是第三象限角，则cos β＞cos α D．若角α，β是第四象限角，则tan α＞tan β 5 【解析】 　　　　设角α，β的终边分别为射线OP，OQ．对于A，如图(1)，sin α＝MP＞NQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，OM＜ON，所以cos α＜cos β，故A错误； 图(1) 对于B，如图(2)，sin α＝MP＞NQ＝sin β，此时tan α＝AC，tan β＝AB，且AC＜AB，所以tan α＜tan β，故B正确； 对于C，如图(3)，sin α＝MP＞NQ＝sin β，此时cos α＝OM，cos β＝ON，且OM＜ON，所以cos β＞cos α，故C正确； 对于D，如图(4)，sin α＝MP＞NQ＝sin β，此时tan α＝AC，tan β＝AB，AB＜AC，即tan β＜tan α，故D正确． 图(2) 图(3) 图(4) 【答案】BCD 【解析】 【答案】C 1．与－2 026°终边相同的最小正角是 (　　) A．136°　 B．134° C．57°　 D．43° 【解析】 　　　　因为－2 026°＝－360°×6＋134°，所以与－2 026° 终边相同的最小正角是134°． B 2．(2020·全国Ⅱ卷理)若α为第四象限角，则 (　　) A．cos 2α＞0　 B．cos 2α＜0 C．sin 2α＞0　 D．sin 2α＜0 【解析】 D 3．(2026·黄冈期初)(多选)下列说法正确的是 (　　　) A．sin 2cos 3＜0 【解析】 【答案】ABD 【解析】 配套练习题 一、 单项选择题 1．点A(cos 2，tan 4)在平面直角坐标系中位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 B 2．(2025·九江一模)已知角α的终边在直线2x－y＝0上，则tan 2α＝ (　　) A B 【解析】 C 【解析】 B 【解析】 【答案】A 二、多项选择题 7．关于角度，下列说法正确的是 (　 　) A．时钟经过两个小时，时针转过的角度是60° B．钝角大于锐角 C．三角形的内角必是第一或第二象限角 【解析】 　　　　对于A，时钟经过两个小时，时针转过的角是－60°，故A错误． 对于B，钝角一定大于锐角，显然B正确． 对于C，若三角形的内角为90°，则该角是终边在y轴正半轴上的角，故C错误． 【答案】BD 8．下列说法正确的是 (　 　) A．若sin α＝sin β，则α与β是终边相同的角 【解析】 　　　　对于A，当α＋β＝π时，sin α＝sin β，但终边不同，故A错误； 【答案】CD A．sin α＜cos α＜tan α　 B．cos α＜sin α＜tan α C．sin α＜α＜tan α　 D．α＜sin α＜tan α 【解析】 【答案】BC 【解析】 【答案】ABD 三、填空题 11．如图，终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是__________________________________． k∈Z} 【解析】 【解析】 定义 长度等于__________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad 公式 角α的弧度数公式 |α|＝(l表示弧长) 角度与弧度的换算 ①1°＝ rad； ②1 rad＝° 弧长公式 l＝____________ 扇形面积公式 S＝__________＝_______________ $