精品解析：宁夏六盘山高级中学2026届高三考前模拟考试数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2026届高三第四次模拟考试试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：喜金海 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用韦恩图表示的集合运算，直接写出结果即可. 【详解】观察韦恩图知，阴影部分在集合A中，不在集合B中，所以所求集合为. 故选：A 2. 下列关于复数的四个命题，其中为假命题的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第三象限 C. 的虚部为 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法、模、坐标、虚部、乘方等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】首先化简复数， 对于A，根据复数模的计算公式，，故A正确； 对于B，在复平面内对应的点坐标为，位于第一象限，故B错误； 对于C，，其中虚部为的系数，故C正确； 对于D，根据完全平方公式计算，故D正确. 3. 若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】渐近线互相垂直说明为等轴双曲线，可知离心率为. 【详解】双曲线渐近线互相垂直可知为等轴双曲线，即： 离心率 本题正确选项： 【点睛】本题考查等轴双曲线的离心率，关键是通过渐近线互相垂直判断出双曲线的性质. 4. 已知三个不同的平面，三条不重合的直线，有下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则． 【答案】C 【解析】 【分析】结合具体图形比较容易判断，比如就在长方体中很容易判断A、B、D不正确，选项C是面面垂直的判定. 【详解】如下图所示的长方体. 对于选项A，分别把、、当做直线、、，显然，故A不正确； 对于选项B，平面、平面、平面分别视为平面、、，显然，故B不正确； 对于选项C，由于，且，所以，又因为，根据面面垂直的判定，可知，故C正确； 对于选项D，平面、平面分别视为平面、，则视为，视为，显然，故D不正确. 故选：C. 5. 如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助等边三角形性质、平面向量线性运算与数量积公式计算即可得. 【详解】由为等边三角形，则, 由为的中心，则，， 则 . 6. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中）,如D选项→平均数中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数. 故此题选D. 7. 若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意得，， 即，则， 则. 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据结构，考虑构造，则，结合题目给出条件可知在上单调递减，故有，化简后即可得出答案. 【详解】构造函数，则. ， 即在上单调递减. 故有，即， 即①. 对于A：由①式可知，即，因此无法判断，故A错误； 对于B、C：由①式可知，即，故无法判断，故B错误，C正确； 对于D：由①式可知，即，故D错误. 故选：C. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知等差数列的首项为 3，公差为 2 .数列 满足 ，下列说法中正确的有（ ） A. B. 数列 是公差为 2 的等差数列 C. 是等比数列 D. 对任意正整数 成立 【答案】ACD 【解析】 【分析】由等差数列通项公式可判断A，由A得到，的通项公式可判断BC，由的通项公式可判断D. 【详解】选项A： 已知等差数列首项，公差， 由等差数列通项公式： ，因此A正确， 选项B：设，代入得： ， 公差，因此B错误， 选项C： 由，得：  ，公比为常数， 因此是等比数列，C正确， 选项D： 左边：，  右边：， 由等差数列性质：， 因此指数相等，左边=右边，对任意正整数 成立，D正确. 10. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 【答案】ABC 【解析】 【分析】选项A：利用圆锥轴截面的等边三角形求出底面半径与高，结合为中点，通过相似三角形得到截面圆半径，再用圆的面积公式计算.选项B：在轴截面中确定椭圆长轴的两个端点和，通过勾股定理或余弦定理计算线段的长度，即为椭圆的长轴长.选项C：建立平面直角坐标系，设抛物线标准方程，代入已知点的坐标求出参数，从而得到焦点到准线的距离.选项D：在与平面垂直的截面内建立坐标系，设双曲线标准方程，代入已知点的坐标求出参数，再计算离心率. 【详解】对于A，底面半径为，圆锥高．为的中点， 所以截面圆的半径为底面圆的半径的， 即截面圆半径为，则圆的面积为，故A正确； 对于B，如图，在圆锥的轴截面中，作于点， 则，， 所以椭圆的长轴长，故B正确； 对于C，如图，设抛物线与底面圆的一个交点为， 以为原点，为轴，在平面中建立平面直角坐标系如图， 则，，所以， 设抛物线方程为，则，解得， 则抛物线的焦点到准线的距离为，故C正确； 对于D，如图，在与平面垂直且过点的平面内， 建立平面直角坐标系，坐标原点与点到底面的距离相等， 且在轴上，则，双曲线与底面圆的一个交点为， 设双曲线方程为，则， 将代入双曲线方程得，解得，所以， 故双曲线的离心率为，故D错误． 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则 B. 若，则 C. 若，则的极小值点为 D. 若，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导，根据在上恒成立可求的值，判断A的真假；根据函数中心对称的性质，可求的关系，进而求的值，判断B的真假；利用导数分析函数的单调性，可求函数的极值点，判断C的真假；结合函数零点的存在性判断定理，判断满足的条件，利用不等式的性质可求的取值范围，判断D的真假. 【详解】对A：因为， 因为在上单调递增在上恒成立. 所以. 配方得， 当且仅当，即时成立.故A正确； 对B：由可得函数图象关于点成中心对称，且是函数的一个零点，和也是函数的零点， 所以是点和的中点， 所以. 此时，故B正确； 对C：当时，， . 当时，由或；由. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点； 当时，由或；由. 所以函数在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值点.故C错误； 对D：由题意，函数在和上各有1个变号零点， 不妨设，则必有. 若，则有，则； 若，则有，则. 综上，，故D正确. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围.令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由回归直线方程可得：，解出即可求解． 【详解】因为，，所以, 则 13. 已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图像上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 【答案】 【解析】 【分析】先判断出与的图像的对称性，然后结合导数与点到直线的距离公式求得最小值. 【详解】由题可得，的反函数为，互为反函数的两函数图像关于对称， 所以P，Q两点最小距离等于其中一个函数图像到直线最小距离的两倍. 设上与平行的切线的切点为，， 所以 ，， 则切点为， 14. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 【答案】 ①. 2:3## ②. 【解析】 【分析】根据球、圆柱的体积公式以及建立函数关系求解即可. 【详解】已知球的半径，则球的体积为. 根据题意得，，则圆柱体积，则. 设为点到平面的距离，则，而平面经过线段的中点， 四面体的体积：. 所以四面体 的体积的取值范围为. 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式将函数化简为 ，根据对称中心间距确定周期 从而求出 ，最后代入 计算函数值. （2）根据自变量 的范围求出相位 的取值范围，结合正弦函数的图像与性质，找出该范围内使函数取得最大值和最小值的点并求解. 【小问1详解】 根据题意，解得，即， 因为，所以，则， ． 【小问2详解】 据题意，，， 当，即时，，所以的最大值为． 当，即时，，所以的最小值为. 16. 2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 城区 220 180 150 50 郊区 500 120 80 70 30 用频率估计概率． （1）从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率； （2）从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率； （3）该市疾控中心规定过敏程度评分如下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 过敏程度评分 0 1 2 3 4 该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出的最小正整数值．（结论不要求证明） 【答案】（1）； （2）； （3）的最小正整数值为6，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意得到方程，求出，进而得到概率； （2）由二项分布知识进行求解； （3）列出不等式，求出的范围，得到答案 【小问1详解】 由题意得， 解得， 从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率为； 【小问2详解】 频率估计概率， 该市城区青少年春季花粉“无过敏”的概率为， 该市郊区青少年春季花粉“无过敏”的概率为， 各随机抽取2人， 抽到的城区青少年中恰有1人“无过敏”且郊区青少年两人均不是“无过敏”的概率为 ， 抽到的郊区青少年中恰有1人“无过敏”且城区青少年两人均不是“无过敏”的概率为 ， 估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率为； 【小问3详解】 的最小正整数值为6，理由如下： 由题意得， 解得， 的最小正整数值为6. 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且，E为PD的中点，平面平面． （1）求证：； （2）若 ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在，求平面PAE与平面AEC夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 【答案】（1）证明见解析 （2）条件①不符合要求，条件②和条件③平面PAE与平面AEC夹角的余弦值为 【解析】 【分析】（1）应用面面、线面垂直的性质定理证明结论即可； （2）根据所选的条件，注意判断四棱锥存在性，再构建合适的空间直角坐标系，标注相关点坐标，应用向量法求面面角余弦值. 【小问1详解】 因为平面平面，平面平面，平面，， 由面面垂直的性质定理，得平面，平面，所以． 【小问2详解】 由题意，，，，故． 底面为平行四边形，故，，． 若选条件①： 由（1）知平面，故平面，平面，因此． 若，同一平面内，这显然不可能， 故条件①无法使四棱锥存在，不符合要求． 若选条件②：． 已知为中点，且，则， 所以为直角三角形，且，即． 由（1）知，，平面，所以平面． 因为平面，所以，即两两垂直． 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系． 则，，，，． 其中为中点，故． 设平面的一法向量，，， 则，取，得，所以， 设平面的法向量，，， 则，取，得，所以． 设两平面夹角为，则两平面夹角的余弦值为：． 若选条件③：． 由，，，得． 由，得，， 故，即． 平面平面，平面平面，平面， 由面面垂直的性质定理，得平面． 以为原点，分别为轴正方向建立空间直角坐标系． 则，，，，． 其中为中点，故． 设平面的一法向量，，， 则，取，得，所以， 设平面的法向量，，， 则，取，得，所以． 设两平面夹角为，则两平面夹角的余弦值为：． 18. 椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用椭圆下顶点坐标确定的值，结合左焦点到下顶点的距离等于长半轴求出，进而由的关系求得及离心率. （2）设直线方程并联立椭圆方程求出点坐标，利用对称性得点及直线方程，结合平行线性质求出点坐标，最后根据三角形面积倍数关系转化为横坐标距离关系列方程求解斜率. 【小问1详解】 设椭圆的焦距为， 则下顶点坐标为，左焦点到下顶点的距离为， 因为椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为， 所以，， 所以椭圆的方程为； 离心率为； 【小问2详解】 由题意知，直线的斜率存在且不为零，设直线方程为， 设椭圆的右顶点为， 因为经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方）， 所以，故，， 联立方程，得，解得或， 所以，代入得， 所以，， 所以， 所以直线的方程为， 因为的方程为， 所以，得， 因为，， 所以，即 整理得 ，解得， 所以，即直线的斜率为. 19. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据题意，将问题转化为，进而求函数的最小值即可求得答案； （2）（i）构造函数，进而在上单调递增即可证明结论； （ii）令，进而得.再结合（i）的证明过程中得到的不等式得，，进而得到即可证明；再结合（i）证明过程中得到的不等式和结论得，最后结合等比数列求和即可证明结论. 【小问1详解】 已知，即， 因为，， 所以，即，， 令， 则 ， 令，，则， 所以在上单调递减，，即， 所以，当时，，，，单调递减； 当时，，，，单调递增； 所以，当时，取得最小值， 所以，即的取值范围为. 【小问2详解】 （i）当时，， 证明：当，，即，， 令，， 令，， 所以， 令，，则恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立，即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即在上恒成立， 即在上恒成立， 所以在上单调递增， 所以，即，， 所以，，证毕. （ii）由，令，则， 所以 ， 下面先证明， 由（i）知在上恒成立，即在上恒成立， 所以，当时，， 又因为，故当时，，，， 所以，即， 所以， 所以，证毕； 再证明：， 由（i）知和在上恒成立， 所以，当时，，即 ，， 所以 所以 所以 ，证毕. 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2026届高三第四次模拟考试试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 命题教师：喜金海 注意事项： 1.答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集U与集合A，B的关系如图，则图中阴影部分所表示的集合为（ ） A. B. C. D. 2. 下列关于复数的四个命题，其中为假命题的是（ ） A. B. 在复平面内对应的点在第三象限 C. 的虚部为 D. 3. 若双曲线的渐近线互相垂直，则该双曲线的离心率为 A. B. 1 C. D. 2 4. 已知三个不同的平面，三条不重合的直线，有下列四个命题中正确的是（ ） A. 若，则； B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则． 5. 如图，在矩形中，，为的中点，为等边三角形，为的中心，则（ ） A. B. C. D. 6. 某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，成等差数列，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，是的导函数，且恒有成立，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知等差数列的首项为 3，公差为 2 .数列 满足 ，下列说法中正确的有（ ） A. B. 数列 是公差为 2 的等差数列 C. 是等比数列 D. 对任意正整数 成立 10. 在圆锥中，轴截面是边长为的等边三角形，是的中点.用一个平面截圆锥，下列四个图中的截口曲线分别为圆、椭圆（截面经过点）、抛物线的一部分、双曲线的一部分（截面垂直于平面），则下列说法正确的是（ ） A. 圆的面积为 B. 椭圆的长轴长为 C. 抛物线的焦点到准线的距离为 D. 双曲线的离心率为 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若在上单调递增，则 B. 若，则 C. 若，则的极小值点为 D. 若，则 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在研究两个变量的相关关系时，观察散点图发现样本点集中于某一条指数曲线的周围.令，求得经验回归方程为，则该模型的回归方程为__________. 13. 已知函数与函数互为反函数，若P，Q分别为它们图像上的两个动点，则这两点之间距离的最小值为________. 14. 如图圆柱内有一个内切球，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，为圆柱上下底面的圆心，O为球心，EF为底面圆的一条直径，若球的半径则球与圆柱的体积之比为_______；四面体 的体积的取值范围为_______. 四、解答题(本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数的图象的相邻两个对称中心之间的距离为． （1）求的值； （2）求在区间上的最大值和最小值． 16. 2026年春季，北方进入花粉过敏高发期．某市疾控中心针对该市青少年春季花粉过敏情况开展专项调查．现从该市青少年中随机抽取2000人作为样本，统计样本中不同过敏程度的人数，得到下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 城区 220 180 150 50 郊区 500 120 80 70 30 用频率估计概率． （1）从该市青少年中随机抽取一人，估计此人春季花粉“无过敏”的概率； （2）从该市城区和郊区的青少年中各随机抽取2人，估计抽到的青少年中恰有一人春季花粉“无过敏”的概率； （3）该市疾控中心规定过敏程度评分如下表： 过敏程度 无过敏 轻度过敏 中度过敏 重度过敏 极重度过敏 过敏程度评分 0 1 2 3 4 该市疾控中心对该市A、B两个地区同步开展调查，已知A地区与B地区青少年人数之比为3：2，地区青少年的过敏程度平均评分为，地区青少年的过敏程度平均评分为0.6．疾控中心对这两个地区的青少年开展专项过敏防护干预，干预后A地区青少年的过敏程度平均评分降低了地区青少年的过敏程度平均评分不变．记为干预后这两个地区青少年的过敏程度平均评分．若干预后（该市青少年的过敏程度平均评分），直接写出的最小正整数值．（结论不要求证明） 17. 如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，且，E为PD的中点，平面平面． （1）求证：； （2）若 ，从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得四棱锥存在，求平面PAE与平面AEC夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：； 条件③：． 18. 椭圆的下顶点为，左焦点到的距离为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）经过点的直线与椭圆的另一个交点为（位于轴上方），点关于轴的对称点为．过点作与轴平行的直线交直线于点．设与的面积分别为与，若，求直线的斜率． 19. 已知函数. （1）若，求的取值范围； （2）当时， （i）若，求证：； （ii）记，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $