宁夏六盘山高级中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

**基本信息** 宁夏六盘山高级中学2026届高三二模数学卷，以集合、复数、数列等基础知识点为载体，通过非遗油纸伞销量统计、立体几何动态问题等设计，考查数学眼光、思维与语言，适配高三综合能力检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、复数性质、双曲线离心率|基础概念辨析，如第7题结合双曲线定义考查离心率范围| |多选题|3/18|直线与圆位置关系、统计图表分析|第10题通过预算收入图表考查数据解读与推理| |填空题|3/15|条件概率、数列求和、向量与圆|第14题以向量数量积结合圆的参数方程，体现几何直观| |解答题|5/77|解三角形、线性回归与分布列、导数应用、立体几何|第19题非遗油纸伞销量统计，融合数据意识与模型观念；第22题立体几何动态体积问题，考查空间观念与逻辑推理|

2026届高三第二次模拟考试参考答案 一、单选题 1．已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】已知全集（自然数集），集合， 因此，故A正确. 2．已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】先将命题看成真命题求出的取值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案 【详解】因为是纯虚数，所以 ， 所以. 故命题是命题 的充要条件 故选：C 3．等比数列中，，，则（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得，故. 4．展开式中的系数为（    ） A．42 B．56 C．84 D．120 【答案】A 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含的项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 5.已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，所以， 又，所以，则，即， 所以. 6．函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除C. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除D. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B. 故选：A. 7．设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，由双曲线定义得，而，则， 令双曲线的半焦距为，则，于是，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 8．已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（   ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 设与的外接圆半径分别为，外接圆的圆心分别为 由题意可得，即， 设球的半径为，的中点为， 连接， 因为是外接圆圆心，所以，又是的中点， 所以，同理， 又平面，平面， 平面平面， 所以为二面角的平面角，又平面平面， 则， 由球的性质可知：平面，平面， 又平面，平面， 则，， 所以四边形为矩形， 则， 又 所以， 又，所以， 所以,又， 所以， 即, 则球的半径为. 二、多选题 9．已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】AB 【详解】对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，由，得，所以圆圆心过直线故B选项正确； 对于选项C，将点代入圆的方程，得， 所以（2，1）在圆内， 所以直线与圆相交，故不存在实数，使得直线与圆相切，故C选项错误； 对于选项D，直线被圆截得的弦长的最小值为，故D选项错误． 故选：AB 10.地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 11．已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】因为方程有两个根， 所以， 又，， 所以函数与函数图象在上有两个交点， 而，由此可作出的大致图象； 如图所示，所以，选项A正确； 根据图象可知当m逐渐增大时，，而将会大于1，此时， 可得不成立，选项B不正确； 因为，则， 所以， 则， 因为，，所以，选项C正确； 因为，则， 所以， 则， 两边取对数得. 因为， 令， 令， ，， 因为，，单调递增， 即得，即， 所以，即，选项D正确. 三、填空题 12．在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是_____. 答案】/0.75 【分析】利用条件概率公式和古典概率模型即可求解. 【详解】设样本空间为事件，第一张是偶数为事件，第二张是奇数为事件， 则由题可得，， 共有20个样本点， 共有8个样本点， 共有6个样本点， 所以, 13．设数列的前项和为，则 _____. 【答案】2760 【详解】数列中，， 当为奇数时，，数列是首项，公差为2的等差数列， 当为偶数时，，数列是首项，公差为4的等差数列， 所以 . 故答案为：2760 14．设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15．在中，角，，所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得， ..........................................3分 得到，........................................4分 故.......................................6分 （2）由（1）可知，因为，所以，，........................................8分 设边上的高为h，则........................................11分 可得.......................................12. 故边上的高为．........................................13分 16．乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 (1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： (2)已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 【详解】（1） ....................................1分 ....................................2分 ， ， ，...................................4分 ，....................................5分 所以关于的线性回归方程为；...................................6分 当，...................................7分 所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. ...................................8分 （2）该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率， 所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为，...................................9分 由题意可知：，...................................10分 所以，...................................11分 ，...................................12分 ，...................................13分 ，...................................14分 所以其中线上售出数量的分布列为： ...................................15分 17．在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2) )直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【详解】（1）【详解】（1）设，则，则...................................1分 ，且，...................................3分 由，得，...................................4分 整理，得，即，...................................5分 故的方程为.（约束条件也可写成）...................................6分 （2）设在椭圆上，且点与点关于轴对称， 所以，，...................................7分 则直线，................................... 8分 令，则，则，.............................9分 直线，令，则，则，....................... 10分 设，则，.....................11分 .....................12分 因为，所以，.....................13分 得，.....................14分 因为，所以，故......................15分 18．已知函数. (1) 当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【详解】（1）=....................2分 .....................3分 切线方程为即，.....................4分 （2）由，，，..........5分 若，可得时，，所以在上单调递增；.....................7分 若时，当时，，所以在上单调递减；.....................8分 当时，，所以在上单调递增；.....................9分 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. .....................10分 （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为，.....................11分 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以......................13分 令，求导得，.....................14分 所以在上单调递减，又，.....................15分 当时，，当时，，.....................16分 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围......................17分 19．如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点. (1)设平面平面，求直线与直线的夹角大小； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值； (3)设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 【详解】（1）延长交的延长线于点，则为交线，.....................1分 因为为的中点，，所以为的中点，所以， 因为侧面是等边三角形，所以，.....................2分 所以，所以， 所以所求角为．.....................3分 （2）取的中点，连接，由，则， 分别以所在直线为轴和轴， 以过垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系，.....................4分 ， 则，...................5分 设平面的法向量为， 则，令，则．.....................6分 设直线与平面所成角为， 则．，.....................7分 令，则，.....................8 令，结合的取值范围可知， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，.....................9分 所以的最大值为，故......................10分 （3）由题意可知，所以点为的中点， 设，...................11分 因为，则.....................12分，.....................13分 又因为， 所以，解得．.....................14分 即 ，.....................16分 因为，所以．.....................17分 试卷第4页，共15页 试卷第5页，共15页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2026届高三第二次模拟考试试卷 学科：数学 测试时间：120分钟 满分：150分 注意事项： 1. 答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。 2. 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。 4. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知全集，集合，则（   ） A． B． C． D． 2. 已知命题，命题复数为纯虚数，命题是的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3. 等比数列中，，，则（   ） A． B． C． D． 4. 展开式中的系数为（    ） A．42 B．56 C．84 D．120 5. 已知，则=（   ） A． B． C． D． 6. 函数的部分图象大致为（   ） A． B． C． D． 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8. 已知四面体的各顶点均在球的球面上，平面平面，，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（   ） A． B． C． D． 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 已知直线与圆，下列说法正确的是（   ） A．直线恒过定点 B．若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C．存在实数，使得直线与圆相切 D．直线被圆截得的弦长的最小值为 10. 地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（   ） A．该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C．2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D．2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 11. 已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（   ） A． B． C． D． 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 在标有数字1，2，3，4，5的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是_____. 13. 设数列的前项和为，则_____. 14. 设向量，，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是_______. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. （13分） 在中，角所对的边分别为，已知，． (1)求的值； (2)若，求边上的高． 16. （15分） 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 (1)统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把； (2)已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 17. （15分） 在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点，在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 18. （17分） 已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求的取值范围. 19. （17分） 如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，，二面角的平面角大小为，， 为的中点. (1)设平面平面，求直线与直线的夹角大小； (2)求直线与平面所成角的正弦值的最大值； (3)设为侧棱上一点，四边形是过，两点的截面，分别交，于，两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 二模数学 第2页，共6页 二模数学 第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $