精品解析：宁夏六盘山高级中学2026届高三第二次模拟考试数学试卷

宁夏六盘山高级中学 2026届高三第二次模拟考试试卷 一、单选题 1. 已知全集，集合，则（   ） A. B. C. D. 2. 已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 4. 展开式中的系数为（ ） A. 56 B. 42 C. 84 D. 120 5. 已知，则（ ） A B. C. D. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知四面体ABCD各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 3 二、多选题 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A. 直线恒过定点 B. 若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长的最小值为 10. 地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（ ） A. 该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D. 2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 11. 已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（ ） A B. C. D. 三、填空题 12. 在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是__________． 13. 设数列的前项和为，则 _____. 14. 设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 四、解答题 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 16. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： （2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 17. 在平面直角坐标系中，已知点，动点关于对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点坐标；若不存在，说明理由． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点. （1）设平面平面，求直线与直线的夹角大小； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 宁夏六盘山高级中学 2026届高三第二次模拟考试试卷 一、单选题 1. 已知全集，集合，则（   ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】已知全集（自然数集），集合， 因此，故A正确. 2. 已知命题 ，命题 : 复数 为纯虚数，则命题 是的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先将命题看成真命题求出的取值，再根据充要条件与集合间的关系即可写出答案 【详解】因为是纯虚数，所以 ， 所以. 故命题是命题 的充要条件 故选：C. 3. 等比数列中，，，则（ ） A. 2 B. 4 C. 8 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】由等比数列的性质即可求解. 【详解】由等比数列的性质可得，故. 故选：A. 4. 展开式中的系数为（ ） A. 56 B. 42 C. 84 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含的项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 故选：B 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为，所以， 又，所以，则，即， 所以. 6. 函数的部分图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的定义域，零点，奇偶性和函数值的符号，即可判断. 【详解】因为恒成立，所以恒成立，所以函数的定义域为R.所以可排除C. 令，则，所以或. 由，得，解得. 所以函数有唯一零点.所以可排除D. 因为， 所以，. 所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，所以排除B. 故选：A. 7. 设双曲线的左、右焦点分别为，若的右支上任意一点，恒成立，则双曲线的离心率的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，借助双曲线定义及几何性质列出不等式求出离心率范围. 详解】依题意，由双曲线定义得，而，则， 令双曲线的半焦距为，则，于是，解得， 所以双曲线的离心率的取值范围是. 8. 已知四面体ABCD的各顶点均在球的球面上，平面平面，若与的外接圆面积之和为，则球的半径为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】球的半径为，取外接圆的圆心分别为，由，及，列出等式即可求解. 【详解】 设与的外接圆半径分别为，外接圆的圆心分别为 由题意可得，即， 设球的半径为，的中点为， 连接， 因为是外接圆圆心，所以，又是的中点， 所以，同理， 又平面，平面， 平面平面， 所以为二面角的平面角，又平面平面， 则， 由球的性质可知：平面，平面， 又平面，平面， 则，， 所以四边形为矩形， 则， 又 所以， 又，所以， 所以,又， 所以， 即, 则球的半径为. 二、多选题 9. 已知直线与圆，则下列说法正确的是（   ） A 直线恒过定点 B. 若圆上的点关于直线的对称点仍在圆上，则 C. 存在实数，使得直线与圆相切 D. 直线被圆截得的弦长的最小值为 【答案】AB 【解析】 【详解】先将圆方程化为标准形式： ， 圆心，半径. 对于选项A，由直线，得，故直线恒过定点，故A选项正确； 对于选项B，圆上的点关于的对称点仍在圆上，则直线过圆心， 将代入：，B正确. 对于选项C，直线与圆相切时圆心到直线距离，，化简，判别式，方程无解，故不存在使直线与圆相切，C错误. 对于选项D，直线过定点，弦长最短时，此时，最短弦长，D错误. 10. 地方一般公共预算收入是地方经济的重要指标之一，如图是某地区2025年2月至10月地方一般公共预算收入累计的图表，其中条形图是地方一般公共预算收入的月累计值（月累计值指当年1月到当月的数据总和），折线图是与上年同月累计值相比的同比增长率．根据图表，下列说法正确的是（ ） A. 该地区2025年每月的地方一般公共预算收入一直递增 B. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入超过30亿元 C. 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入比2024年9月高 D. 2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数低于22亿 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据图表中信息，以及地方一般公共预算收入的月累计值和同比增长的概念，逐一判断各选项的正误，判断结果. 【详解】由图表可知，3月的地方一般公共预算收入为（亿元），4月的地方一般公共预算收入为（亿元），可知选项A错误； 9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以选项B正确； 2025年9月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 2025年8月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年8月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元）， 所以2024年9月该地区的地方一般公共预算收入为（亿元），所以C正确； 2025年10月该地区的地方一般公共预算收入累计同比增长，所以2024年10月该地区的地方一般公共预算收入累计为（亿元），所以2024年前10个月，该地区地方一般公共预算收入平均数为，所以D正确； 故选：BCD. 11. 已知关于x的方程：有两个根，则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】选项A通过分析函数与的图象交点情况确定；选项B利用函数的图象来判断；选项C根据满足的方程变形求解；选项D分析满足的方程，结合构造函数，利用函数单调性判断. 【详解】因为方程有两个根， 所以， 又，， 所以函数与函数图象在上有两个交点， 而，由此可作出的大致图象； 如图所示，所以，选项A正确； 根据图象可知当m逐渐增大时，，而将会大于1，此时， 可得不成立，选项B不正确； 因为，则， 所以， 则， 因为，，所以，选项C正确； 因为，则， 所以， 则， 两边取对数得. 因为， 令， 令， ，， 因为，，单调递增， 即得，即， 所以，即，选项D正确. 三、填空题 12. 在标有数字的卡片中依次抽取两张，在第一张是偶数的条件下，第二张是奇数的概率是__________． 【答案】##0.75 【解析】 【分析】利用条件概率公式和古典概率模型即可求解. 【详解】设样本空间为事件，第一张是偶数为事件，第二张是奇数为事件， 则由题可得，， 共有20个样本点， 共有8个样本点， 共有6个样本点， 所以, 故答案为: . 13. 设数列的前项和为，则 _____. 【答案】2760 【解析】 【分析】根据给定条件，利用分组求和法，结合等差数列前项和求解. 【详解】数列中，， 当为奇数时，，数列是首项，公差为2的等差数列， 当为偶数时，，数列是首项，公差为4的等差数列， 所以 . 故答案为：2760 14. 设向量，记.若点为圆：上任意三点，且满足，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据题意可得为圆的直径，得，将求范围问题转化为直线与圆相切的问题. 【详解】将圆化为标准方程，圆心，半径. 因为，所以为圆的直径. 设，. 由. 因为为直径，所以， 则. 令，即，且， 当直线与圆相切时，取得最值. 根据圆心到直线的距离等于半径，可得，解得或， 所以，则的取值范围是. 故答案为：. 四、解答题 15. 在中，角，，所对的边分别为，已知，． （1）求的值； （2）若，求边上的高． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可. （2）利用三角形面积公式，利用等积法求解即可． 【小问1详解】 在中，，， 由余弦定理得， 得到，故. 【小问2详解】 由（1）可知，因为，所以，， 设边上的高为h，则，可得， 故边上的高为． 16. 乘着文旅融合的东风、借着线上推广的热潮，某非遗工坊生产的油纸伞销量逐年增长．该工坊为了科学规划生产，统计了2021-2025年油纸伞的销量数据如下表： 年份t/年 2021 2022 2023 2024 2025 年份代码 1 2 3 4 5 销量/万把 7 8 10 11 14 （1）统计表明销量与年份代码有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程，并预测该工坊油纸伞的销量最早在哪一年能超过20万把： （2）已知该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率，现从2023年售出的油纸伞中随机抽取3把，求其中线上售出数量的分布列． 附：为回归直线方程，． 【答案】（1）；预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题中公式求出关于线性回归方程，再运用代入法进行求解即可； （2）运用二项分布的定义和性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， ， ， ， ， 所以关于的线性回归方程为； 当， 所以预测该工坊油纸伞的销量最早在年能超过20万把. 【小问2详解】 该工坊2023年售出的油纸伞中，有6万把通过线上售出，用频率估计概率， 所以2023年售出的油纸伞中，通过线上售出的概率为， 由题意可知：， 所以， ， ， ， 所以其中线上售出数量的分布列为： 17. 在平面直角坐标系中，已知点，动点关于的对称点为，且直线的斜率之积是，记的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）直线与轴交于点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】（1） （2）存在， 【解析】 【分析】（1）设出点的坐标，利用对称性写出的坐标，再根据斜率公式表示出与，将已知斜率之积代入并化简，即可得到轨迹的方程. （2）设，依次写出、的坐标，设，由得出正切关系式，结合椭圆方程消去，解出，从而判断存在点. 【小问1详解】 设()，则. 直线的斜率，直线的斜率. 由，得，即. 整理得，即，故(，即). 所以的方程为(). 【小问2详解】 设()在上，则. 点与关于轴对称，故. 直线的方程为，令，得，所以. 直线的方程为，令，得，所以. 设，如图所示：，. 由，得，即. 由，得. 代入得，即. 因为，所以，即. 故存在点，坐标为或. 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性； （3）若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 （3） 【解析】 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【小问1详解】 当时，，所以 所以切线方程为即， 【小问2详解】 ， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 19. 如图，四棱锥的底面是平行四边形，侧面是等边三角形，，二面角的平面角大小为为的中点. （1）设平面平面，求直线与直线的夹角大小； （2）求直线与平面所成角的正弦值的最大值； （3）设为侧棱上一点，四边形是过两点的截面，分别交于两点，其中为的中点，平面，求四棱锥的体积的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）作出合理辅助线，再找到两直线夹角即可； （2）建立合适的空间直角坐标系，求出线面角的表达式，利用换元法并求导即可求出其最大值； （3）首先计算得，再计算体积表达式，最后根据范围即可得到答案. 【小问1详解】 延长交的延长线于点，则为交线， 因为为的中点，，所以为的中点，所以， 因为侧面是等边三角形，所以， 所以，所以， 所以所求角为． 【小问2详解】 取的中点，连接，由，则， 分别以所在直线为轴和轴， 以过垂直于底面的直线为轴建立空间直角坐标系， ， 则， 设平面的法向量为， 则， 令，则． 设直线与平面所成角， 则．， 令，则， 令，结合的取值范围可知， 当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以的最大值为，故. 【小问3详解】 由题意可知，所以点为的中点， 设， 因为， 则， 又因为， 所以，解得． 即 ， 因为，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $