第02讲 万有引力与宇宙航行（培优·复习讲义）新高二物理人教版

第02讲 万有引力与宇宙航行（培优讲义） 课标要点 1.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件、且区分万有引力与重力的关系。 2.了解万有引力理论的重要成就，掌握计算天体质量和密度的基本思路。 3.会推导第一宇宙速度，知道三个宇宙速度的含义。 4.认识同步卫星的特点。 1.在地球上重力只是万有引力的一个分力、在地球上空（天空）万有引力与重力无区别。 2.利用在星球表面重力等于万有引力和环绕模型求中心天体的质量与密度。 3.利用万有引力提供向心力结合圆周运动线速度、角速度、周期等的关系分析不同轨道卫星的物理比较。 4.卫星变轨处实质是使卫星做离心或近心运动。 方法指导 考点01 万有引力定律　万有引力与重力的关系 1．万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2．公式：F＝G，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。 3．公式的适用条件：计算两个质点间的万有引力。 (1)当某一物体不能看成质点时，可以把该物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。 (2)若某物体是质量分布均匀的球体，求万有引力时，可把球体等效为位于球心处、质量与球体相等的质点。 【深化点拨】 1．万有引力与重力的关系 如图所示，地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由＝mg，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度：设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝，得g′＝。 1．已知地球质量约为火星质量的10倍。一火星探测器在地球与火星之间，当地球对它的引力与火星对它的引力大小相等时，探测器距地球的距离与距火星的距离之比为（　　） A． B． C． D． 2．某宇航员到一未知星球进行科学考察，在该星球两极处测量一质量为m 的物体，其重力为F₁，在赤道处测量同一物体的重力为F₂。已知该星球的自转周期为T，该星球的半径为（　　） A． B． C． D． 3．如图甲所示，质量分布均匀的球壳，对其内部任意一点的万有引力为零。将地球视为质量分布均匀的球体，从地表往地心挖一条很窄的矿井，从井口静止释放一物块。忽略一切摩擦和地球的自转，从地表到地心，物块的速度-时间图像，加速度-时间图像大致正确的是（　　） A． B． C． D． 考点02 天体质量和密度的估算 【两种模型】 1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝m得天体质量M＝。 (2)若已知天体半径R，则天体密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度，还可得出ρT2是一个常量，即对任何中心天体都适用。 1．2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道。经过一系列变轨后成功进入环月轨道，已知探测器绕行周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标。假设宇航员登上月球后，以初速度水平抛出一个小球，测得小球经时间t垂直落到倾角为的斜坡上。已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度； (2)月球的密度； (3)人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期T。 估算天体质量和密度时应注意的问题 1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 2.区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 3.在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 考点03 卫星运动参量的分析 1．环绕天体(卫星)运行问题分析 环绕天体或卫星做匀速圆周运动时，其所需向心力由中心天体对其的万有引力提供。 2．物理量随轨道半径变化的规律 G＝ 即r越大，v、ω、a越小，T越大。(高轨低速大周期) 拓展：天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 3．人造地球卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道。 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)地球同步卫星 ①其中的静止卫星，轨道平面与赤道共面，且运动方向与地球自转方向相同。 ②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h。 ③角速度大小一定：与地球自转的角速度大小相同。 ④高度一定：据G＝mr得r＝＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。 (3)近地卫星 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s，运行周期约为85 min。 【深化点拨】 分析人造卫星的运动规律的两条思路 (1)万有引力提供向心力，即G＝man。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 1．我国计划在2030年前实现载人登陆月球，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。已知月球质量为M、半径为R，引力常量为G，若质量为m的月球探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动，则探测器的（　　） A．向心加速度为 B．角速度为 C．周期为 D．动能为 2．如图所示，我国的地球静止卫星、量子卫星均在赤道平面内绕地球做圆周运动，是地球赤道上一点。则（　　） A．点的周期比的大 B．点的速度等于第一宇宙速度 C．的向心加速度比的向心加速度大 D．的角速度比的角速度大 3．如图所示，a为地球赤道上随地球自转的物体，b为近地卫星（轨道半径近似等于地球半径），c为地球静止轨道同步卫星。已知地球半径为R，c的轨道半径为r。a、b、c做匀速圆周运动的角速度分别为ωa、ωb、ωc，a、c的向心加速度大小分别为aa、ac，b、c的线速度大小分别为vb、vc，下列说法中正确的是（　　） A．a、c的向心加速度的大小之比为 B．b、c的线速度大小之比为 C．a、b、c的角速度关系为 D．b、c相邻两次相距最近的时间大于b的周期 【卫星运行参量分析问题的解题技巧】 1.灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式： G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf)2r。 2.比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。 考点04 天体的“追及相遇”问题 【要点梳理】 1．天体“追及相遇”问题的理解 天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近。以地球和太阳系内其他某地外行星为例，某时刻行星与地球最近(“行星冲日”)，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同， 如图甲所示，根据＝mω2r可知，地球公转的角速度ω1较大，行星公转的角速度ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地球比行星多转一圈。 2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法 (1)根据角度关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3…) 可解得t＝(n＝1，2，3…)。 (2)根据圈数关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则－＝n(n＝1，2，3…) 可解得t＝(n＝1，2，3…)。 1．如图所示，A、B为两个轨道共面的地球的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B之间距离最远所经历的最短时间为（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，探测卫星a在某星球的赤道平面内绕该星球转动，其轨道可视为圆，绕行方向与该星球自转方向相反，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为2R、周期为2T。下列说法正确的是（　　） A．探测卫星a的向心加速度为 B．该星球的“同步”卫星线速度为 C．每2T卫星a经过P正上方一次 D．该星球赤道上的重力加速度大小为 考点05 卫星的变轨和对接问题 【要点梳理】 1．卫星变轨原理 如图所示，发射地球同步卫星时，可以分多过程完成： (1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。 (2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时<m，卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。 (3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。 2．卫星变轨时一些物理量的定性分析 (1)速度：卫星在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。 (2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ<aP。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由＝k可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1＜E2＜E3。 1．2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 2．（多选）中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”正确的是（　　） A．发射速度必须达到第三宇宙速度 B．轨道II变轨到轨道I时，需点火减速 C．在轨道I上运动时的速度不一定小于轨道II上任意位置的速度 D．从发射到绕月运行的整个过程中，轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比不变 航天器变轨问题的三点注意事项 1.航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。 2.航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。 3.两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。 考点06 双星或多星模型 【要点梳理】 1．双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 2．三星模型 (1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。 (2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。 (3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。 ①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。 1．（多选）双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。图1是某双星系统示意图，该系统由两颗互相绕行且质量分布均匀的恒星组成。图2为该双星系统的简化图，为圆心。两恒星、的球心分别为、，已知，，。下列说法正确的是（　　） A．和做匀速圆周运动的半径之比为 B．和受到的向心力之比为 C．和质量之比为 D．和绕旋转的线速度之和与线速度之差的比值为 2．“三星系统”与“双星系统”都是宇宙中存在的天体系统。两种系统中，天体均可在万有引力的作用下绕共同的圆心做匀速圆周运动。如图分别为两种天体系统的示意图，图中五个球形天体的质量均为 M，天体中心连线的长度均为L，星球距离远大于星球半径，万有引力常量为 G。“三星系统”与“双星系统”运动周期之比为（　　） A． B． C． D． 【例1】（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（　　） A．受月球的引力大小保持不变 B．相对月球的速度大小保持不变 C．离月球越近，其相对月球的速度越大 D．离月球越近，其所受月球的引力越小 【变式1-1】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的（　　） A． B． C．2倍 D．4倍 【变式1-2】（多选）行星A、B绕太阳运动的轨迹为椭圆，太阳在椭圆轨道的焦点上，A、B所受的引力随时间的变化如图所示，其中。假设A、B只受到太阳的引力，下列叙述正确的是（　　） A．行星A、B的运行周期之比为 B．行星A、B的轨道半长轴之比为 C．行星A的近日点到太阳的距离与远日点到太阳的距离之比为 D．行星A与行星B的质量之比为 【变式1-3】如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为（已知引力常量为G）（　　） A． B． C． D． 【例2】（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【变式2-1】神舟二十二号飞船于2025年11月25日成功发射，这是我国首次应急发射任务。之后飞船与空间站天和核心舱前向端口完成自主快速交会对接。已知空间站绕地球做匀速圆周运动，在t时间内通过的弧长为L，与地心的连线扫过的面积为S，则空间站运动的（　　） A．轨道半径为 B．周期为 C．角速度为 D．向心加速度大小为 【变式2-2】如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C运动的周期相同，则（     ） A．卫星C的运行速度小于物体A的速度 B．卫星B的轨道半长轴一定与卫星C的轨道半径相等 C．卫星B在P点的加速度大于卫星C在该点加速度 D．物体A和卫星C具有相同大小的加速度 【变式2-3】如图所示，地球的两颗卫星、分别在椭圆轨道1、2上运行，两轨道的长轴之比为，1的近地点在地球表面附近点，远地点为，2的近地点在地球表面附近点，远地点为。、到地球表面的距离相等且可忽略，下列说法正确的是（　　） A．、的周期之比为 B．在点的加速度大于在点的加速度 C．在点的速度等于在点的速度 D．在点的速度大于在点的速度 【例3】（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】某人造卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号随时间变化的规律如图所示，为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，则该卫星运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【变式3-3】如图所示，同步卫星a、低轨道卫星b同向运行，卫星a、b的张角分别为θ1和θ2（θ2未标出），a半径是b半径的4倍，卫星a周期为T，由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通信的盲区，求卫星b每次在盲区运行的时间为（　　） A． B． C． D． 【例4】（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【变式4-1】（多选）2021年5月15日7时18分，“天问一号”探测器成功着陆于火星。假设“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，从点进入着陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道为半长轴为，周期为的椭圆轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为，周期为，引力常量为。则下列判断正确的是（　　） A． B．由题目已知数据可以估算火星的质量和密度 C．“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气 D．火星质量和地球质量的比值 【变式4-2】2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星在文昌航天发射场发射升空，踏上奔月征途。其运动轨迹如图所示，已知远月点B与月球中心的距离约为近月点C与月球中心距离的9倍，地球半径约是月球半径的k倍，地球质量约是月球质量的p倍。下列说法正确的是（     ） A．鹊桥二号在B点由地月转移轨道进入环月轨道时须加速 B．鹊桥二号在C、B两点受到月球引力之比约为9∶1 C．地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度比值约为 D．地面重力加速度与月面重力加速度的比值约为 【变式4-3】如图，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ上的Q点，通过变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到P处与天和核心舱对接。则飞船（    ） A．在轨道Ⅰ上运行速度可以是8.0 km/s B．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要在Q点减速 C．运动稳定后，在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点，加速度不同 D．沿轨道Ⅱ运动稳定后， 【例5】（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【变式5-1】2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间通过的弧长为，该弧长对应的圆心角为弧度。已知引力常量为，则（　　） A．高景一号的轨道半径为 B．高景一号的线速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的质量为 【变式5-2】“天问一号”由环绕器、着陆器和巡视器（祝融号火星车）三部分组成，环绕器主要功能是在环绕火星的轨道上进行遥感探测，并为着陆器和巡视器提供关键的中继通信服务。环绕器的质量为，在距火星表面高度为h的圆形轨道上无动力运行时，环绕周期为T；巡视器质量为。已知万有引力常量为G，火星的半径为R，求： (1)火星的密度； (2)忽略火星自转，巡视器静止在火星表面时受到的支持力大小。 【变式5-3】某同学创作了一篇科幻小说，描述了中国航天员们驾驶飞船探索类地行星的故事。为了计算该星球的质量，航天员们测出了星球半径为，并在星球表面展开实验，如图所示，不易伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮连接物块、且（和均已知）。初始时物块静止在地面上，离地面高度为，绳子恰好伸直。现将由静止释放，经过时间落到地面，已知引力常量为。求： (1)物块加速运动时的加速度是多少？ (2)该星球的质量是多少？ (3)若飞船无法降落，只能贴着星球表面做匀速圆周运动，测出绕行周期，能否据此计算出星球的密度？若能，请计算出该星球的密度。 一、单选题 1．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气。如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则下列说法正确的是（　　） A．地球从芒种到夏至的时间间隔比从大雪到冬至的长 B．立夏时地球的公转速度比谷雨时大 C．夏至时地球受太阳的引力比冬至大 D．地球公转周期的三次方与轨道半长轴的平方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 2．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王同学在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度是 B．火星表面的重力加速度是 C．王同学在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍 D．王同学在火星表面上能向上跳起的最大高度为 3．如表所示为火星的小档案，由此可以求得火星的平均密度。下列表达正确的是（　　） 火星——Mars 直径d=6794 km 质量 表面重力加速度 近火卫星的周期T=3.4 h A． B． C． D． 4．“天梯计划”是设想利用碳纳米管材料构建一条从地球赤道延伸至静止卫星轨道以外的“星际通道”。如图所示，P、Q为天梯上相对天梯静止的两个物体。忽略大气的影响，分析可知（　　） A．P物体的线速度小于Q物体的线速度 B．P物体的线速度大于静止卫星的线速度 C．P物体的加速度大于Q物体的加速度 D．Q物体的加速度小于静止卫星的加速度 5．如图所示为“嫦娥七号”发射后经多次变轨进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获。其中轨道I、Ⅱ在近地点M点相切，N为轨道I的远地点。则“嫦娥七号”（　　） A．发射速度必须大于第三宇宙速度 B．沿着轨道I通过M点的速率大于沿着轨道Ⅱ通过M点的速率 C．在M点时应向后喷气才能进入地月转移轨道 D．位于轨道I和Ⅱ时，在相同的时间内与地球的连线扫过的面积相等 6．水星是太阳系内4颗类地行星之一，有着与地球一样的岩石行星，是八大行星中最小的一颗，和地球绕太阳公转的方向相同且轨道共面。已知地球绕太阳公转的周期为，水星绕太阳公转的周期为，下列说法正确的是（　　） A．地球与水星每隔会相距最近一次 B．地球与水星的质量之比为 C．地球与水星的公转轨道半径之比为 D．地球与水星表面的重力加速度大小之比为 7．潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A．a处最小 B．b处最小 C．c处最小 D．a、c处相等，b处最小 二、多选题 8．如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，根据开普勒三大定律可知（　　） A．太阳处在八大行星的椭圆轨道的中心 B．地球运动至离太阳最近时，速率最大 C．地球与火星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．在相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于火星与太阳连线扫过的面积 9．“古有司南，今有北斗”，北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗卫星导航系统的卫星运行轨道半径r越大，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r图像如图所示。图中R为地球半径，r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G。忽略地球自转，则（　　） A．地球的质量为 B．地球的密度为 C．北斗星座GEO卫星的加速度为 D．地球表面的重力加速度为 10．月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为的物体，弹簧秤示数分别为和。已知月球的自转周期为，引力常量为，则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．密度为 D．密度为 11．2025年2月20日，中国航天科技研制的实践25号卫星在距离地面3.6万千米的同步轨道，成功实现了人类历史上首次太空加油。这次为服役多年的北斗2号卫星注入了142kg的燃料，提升了其轨道维持能力达300%，瞬间让它焕发活力。图中P、Q分别是“实践25号”和“北斗2号卫星”对接前各自在预定轨道运行的情景，下列说法正确的是（　　） A．在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期 B．在预定轨道运行时，P的速率小于Q的速率 C．为了实现对接，P应减速 D．为了实现对接，P应加速 12．如图甲所示，2024年1月9日我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将爱因斯坦探针卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设爱因斯坦探针卫星发射简化过程如图乙所示，先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在点发动机点火加速，卫星由轨道Ⅰ进入近地点高度为、远地点高度为的椭圆轨道Ⅱ，卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过点的速度大小为，然后再变轨进入圆轨道Ⅲ，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期为。已知是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球的半径为，引力常量为，则下列说法正确的是（     ） A．地球的密度为 B．卫星在轨道Ⅱ上点的速度小于轨道Ⅲ上运动的速度 C．卫星在轨道Ⅱ上的运行周期为 D．卫星在轨道Ⅱ上经过点时的加速度大小大于Ⅰ轨道的加速度大小 13．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间的万有引力下以周期绕点逆时针旋转，轨道半径分别是和，有一颗质量很小的卫星，以轨道半径绕顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星对恒星构成的双星系统的运动没有影响，且忽略恒星对卫星的引力，万有引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．由已知条件可以求出的质量 B．恒星、的质量之比为 C．若也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于的轨道半径 D．、、由图示位置到再次共线所需时间为 14．如图所示，天问一号降低自身轨道高度，利用携带的科学仪器，对火星进行了近距离的探测，制动前环绕器在轨道Ⅰ上运动，在点制动后进入轨道Ⅱ运动，则下列说法正确（　　） A．环绕器在轨道Ⅰ上点的加速度等于在轨道Ⅱ上点的加速度 B．环绕器在轨道Ⅰ上点的加速度大于在轨道Ⅱ上点的加速度 C．环绕器在轨道Ⅰ上远“火”点与近“火”点的机械能相等 D．环绕器在轨道Ⅰ上远“火”点与近“火”点的机械能不相等 三、解答题 15．如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点。如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一半径为R的球形“防空掩体”空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。已知球形“防空掩体”空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，引力常量为G。求： (1)图甲大球剩余部分对质量为m的小物体的引力大小； (2)图乙“防空掩体”空腔引起的Q点的重力加速度反常的大小。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 万有引力与宇宙航行（培优讲义） 课标要点 1.理解万有引力定律的内容、含义及适用条件、且区分万有引力与重力的关系。 2.了解万有引力理论的重要成就，掌握计算天体质量和密度的基本思路。 3.会推导第一宇宙速度，知道三个宇宙速度的含义。 4.认识同步卫星的特点。 1.在地球上重力只是万有引力的一个分力、在地球上空（天空）万有引力与重力无区别。 2.利用在星球表面重力等于万有引力和环绕模型求中心天体的质量与密度。 3.利用万有引力提供向心力结合圆周运动线速度、角速度、周期等的关系分析不同轨道卫星的物理比较。 4.卫星变轨处实质是使卫星做离心或近心运动。 方法指导 考点01 万有引力定律　万有引力与重力的关系 1．万有引力定律的内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比，与它们之间距离r的二次方成反比。 2．公式：F＝G，其中G叫作引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，其值由卡文迪什通过扭秤实验测得。 3．公式的适用条件：计算两个质点间的万有引力。 (1)当某一物体不能看成质点时，可以把该物体分成若干部分，求出两物体每部分之间的万有引力，然后矢量求和计算它们的合力。 (2)若某物体是质量分布均匀的球体，求万有引力时，可把球体等效为位于球心处、质量与球体相等的质点。 【深化点拨】 1．万有引力与重力的关系 如图所示，地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg、提供物体随地球自转的向心力F向。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg0。 (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和。 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大。由于物体随地球自转所需的向心力较小，通常可认为万有引力近似等于重力，即＝mg。 2．星体表面及上空的重力加速度(以地球为例) (1)地球表面的重力加速度g(不考虑地球自转的影响)：由＝mg，得g＝。 (2)地球上空的重力加速度：设地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，则mg′＝，得g′＝。 1．已知地球质量约为火星质量的10倍。一火星探测器在地球与火星之间，当地球对它的引力与火星对它的引力大小相等时，探测器距地球的距离与距火星的距离之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球质量为，火星质量为。探测器到地球的距离为，到火星的距离为。根据万有引力定律，当引力相等时 得 因此探测器距地球与火星的距离之比为。 故选C。 2．某宇航员到一未知星球进行科学考察，在该星球两极处测量一质量为m 的物体，其重力为F₁，在赤道处测量同一物体的重力为F₂。已知该星球的自转周期为T，该星球的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】在两极处，重力等于万有引力，有 在赤道处，物体随星球自转做圆周运动，有 其中角速度，代入得 联立解得，星球半径。 故选A。 3．如图甲所示，质量分布均匀的球壳，对其内部任意一点的万有引力为零。将地球视为质量分布均匀的球体，从地表往地心挖一条很窄的矿井，从井口静止释放一物块。忽略一切摩擦和地球的自转，从地表到地心，物块的速度-时间图像，加速度-时间图像大致正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】AB．设地球的密度为，当物块距地心的距离为时，受到的万有引力为 其中 解得 根据牛顿第二定律，可得加速度为 因越来越小，所以加速度越来越小；图像斜率 因物块向地心下落，速率越来越大，故图像斜率增大，故A错误，B正确； CD．速度一时间图像的斜率是加速度，由上分析可知，加速度越来越小，故CD错误。 故选B。 考点02 天体质量和密度的估算 【两种模型】 1．重力加速度法：利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。 (1)由G＝mg得天体质量M＝。 (2)天体密度ρ＝＝＝。 2．天体环绕法：测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 (1)由G＝m得天体质量M＝。 (2)若已知天体半径R，则天体密度ρ＝＝＝。 (3)若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝。可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度，还可得出ρT2是一个常量，即对任何中心天体都适用。 1．2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场成功发射，之后准确进入地月转移轨道。经过一系列变轨后成功进入环月轨道，已知探测器绕行周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】探测器轨道半径，其中为月球半径，为轨道高度。由万有引力提供向心力 解得月球的质量 月球的体积 则月球的密度为 将 代入，化简得 故选B。 2．载人登月计划是我国的“探月工程”计划中实质性的目标。假设宇航员登上月球后，以初速度水平抛出一个小球，测得小球经时间t垂直落到倾角为的斜坡上。已知引力常量为G，月球的半径为R，不考虑月球自转的影响，求： (1)月球表面的重力加速度； (2)月球的密度； (3)人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期T。 【答案】(1) (2) (3)。 【详解】（1）以初速度水平抛出一个小球，测得小球经时间t垂直落到倾角为的斜坡上，则有 ， 解得月球表面的重力加速度为 （2）假设月球表面一物体质量为m，有 又 联立解得月球的密度为 （3）人造卫星绕月球表面做匀速圆周运动的最小周期等于卫星靠近月球表面绕月球做匀速圆周运动的周期，由万有引力提供向心力为 联立解得 估算天体质量和密度时应注意的问题 1.利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的是中心天体的质量，并非环绕天体的质量。 2.区别天体半径R和卫星轨道半径r，只有在天体表面附近运动的卫星才有r≈R；计算天体密度时，V＝πR3中的R只能是中心天体的半径。 3.在考虑中心天体自转问题时，只有在两极处才有＝mg。 考点03 卫星运动参量的分析 1．环绕天体(卫星)运行问题分析 环绕天体或卫星做匀速圆周运动时，其所需向心力由中心天体对其的万有引力提供。 2．物理量随轨道半径变化的规律 G＝ 即r越大，v、ω、a越小，T越大。(高轨低速大周期) 拓展：天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 3．人造地球卫星 卫星运行的轨道平面一定通过地心，一般分为赤道轨道、极地轨道和其他轨道。 (1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极，由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖。 (2)地球同步卫星 ①其中的静止卫星，轨道平面与赤道共面，且运动方向与地球自转方向相同。 ②周期一定：与地球自转周期相同，即T＝24h。 ③角速度大小一定：与地球自转的角速度大小相同。 ④高度一定：据G＝mr得r＝＝4.23×104 km，卫星离地面高度h＝r－R≈6R(为恒量)。 (3)近地卫星 近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星，其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为7.9km/s，运行周期约为85 min。 【深化点拨】 分析人造卫星的运动规律的两条思路 (1)万有引力提供向心力，即G＝man。 (2)天体对其表面的物体的万有引力近似等于重力，即＝mg或gR2＝GM(R、g分别是天体的半径、表面重力加速度)，公式gR2＝GM应用广泛，被称为“黄金代换”。 1．我国计划在2030年前实现载人登陆月球，其后将建造月球科研试验站，开展系统、连续的月球探测和相关技术试验。已知月球质量为M、半径为R，引力常量为G，若质量为m的月球探测器围绕月球做半径为r的匀速圆周运动，则探测器的（　　） A．向心加速度为 B．角速度为 C．周期为 D．动能为 【答案】C 【详解】探测器绕月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力，即 A．可知探测器的向心加速度为，故A错误； B．可知探测器的角速度为，故B错误； C．可知探测器的周期为，故C正确； D．可知探测器的速度大小为 则探测器的动能为，故D错误。 故选C。 2．如图所示，我国的地球静止卫星、量子卫星均在赤道平面内绕地球做圆周运动，是地球赤道上一点。则（　　） A．点的周期比的大 B．点的速度等于第一宇宙速度 C．的向心加速度比的向心加速度大 D．的角速度比的角速度大 【答案】A 【详解】A．根据题意有， 根据万有引力提供向心力有 解得 即轨道半径越大则周期越大，故 则，故A正确； B．方法1：点和M点的角速度相等，P点圆周运动的半径比M点小，根据可知，点的线速度小于M点的线速度，根据万有引力提供向心力有 解得 即轨道半径越大线速度越小，故第一宇宙速度大于M点的线速度，故点的线速度小于第一宇宙速度。 方法2：点的线速度 而第一宇宙速度 故点的速度小于第一宇宙速度，故B错误； C．根据万有引力提供向心力有 解得 即轨道半径越大向心加速度越小，故，故C错误； D．根据万有引力提供向心力有 解得 即轨道半径越大角速度越小，故，故D错误。 故选A。 3．如图所示，a为地球赤道上随地球自转的物体，b为近地卫星（轨道半径近似等于地球半径），c为地球静止轨道同步卫星。已知地球半径为R，c的轨道半径为r。a、b、c做匀速圆周运动的角速度分别为ωa、ωb、ωc，a、c的向心加速度大小分别为aa、ac，b、c的线速度大小分别为vb、vc，下列说法中正确的是（　　） A．a、c的向心加速度的大小之比为 B．b、c的线速度大小之比为 C．a、b、c的角速度关系为 D．b、c相邻两次相距最近的时间大于b的周期 【答案】D 【详解】A．静止卫星和地球赤道上的物体具有相同的角速度，即 根据向心加速度和角速度的关系a=ω2r 可知，故A 错误； B．对b由万有引力定律提供向心力，有 对c 由万有引力定律提供向心力，有 联立解得，故B错误； C．根据万有引力提供向心力，有 解得 可知 即它们的角速度大小关系为，故C错误； D．b、c相邻两次相距最近的过程中，b比c多转动一周，有 解得，故D正确。 故选D。 【卫星运行参量分析问题的解题技巧】 1.灵活运用卫星运动的动力学方程的不同表述形式： G＝man＝m＝mω2r＝mr＝m(2πf)2r。 2.比较卫星与地球表面的物体的运动参量时，可以间接通过比较卫星与同步卫星的参量来确定。 考点04 天体的“追及相遇”问题 【要点梳理】 1．天体“追及相遇”问题的理解 天体“追及相遇”，指两天体在各自轨道绕中心天体公转时，周期性地追赶至相距最近。以地球和太阳系内其他某地外行星为例，某时刻行星与地球最近(“行星冲日”)，此时行星、地球与太阳三者共线且行星和地球的运转方向相同， 如图甲所示，根据＝mω2r可知，地球公转的角速度ω1较大，行星公转的角速度ω2较小，地球与行星的距离再次最小时，地球比行星多转一圈。 2．解决天体“追及相遇”问题的两种方法 (1)根据角度关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则ω1t－ω2t＝n·2π(n＝1，2，3…) 可解得t＝(n＝1，2，3…)。 (2)根据圈数关系列式 设从图甲位置至又相距最近所用时间为t，则－＝n(n＝1，2，3…) 可解得t＝(n＝1，2，3…)。 1．如图所示，A、B为两个轨道共面的地球的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B之间距离最远所经历的最短时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由开普勒第三定律得 设两卫星至少经过时间t距离最远，即B比A多转半圈， 由A是地球同步卫星知 联立解得 故选C。 2．如图所示，探测卫星a在某星球的赤道平面内绕该星球转动，其轨道可视为圆，绕行方向与该星球自转方向相反，卫星通过发射激光与星球赤道上一固定的观测站P通信，已知该星球半径为R、自转周期为T，卫星轨道半径为2R、周期为2T。下列说法正确的是（　　） A．探测卫星a的向心加速度为 B．该星球的“同步”卫星线速度为 C．每2T卫星a经过P正上方一次 D．该星球赤道上的重力加速度大小为 【答案】D 【详解】A．探测卫星的向心加速度为 故A错误； B．由开普勒第三定律有 解得同步卫星轨道半径 该星球的“同步”卫星线速度为 故B错误； C．卫星a经过P正上方一次满足 解得 故C错误； D．对探测卫星有 在星球赤道上有 联立解得 故D正确。 故选D 。 考点05 卫星的变轨和对接问题 【要点梳理】 1．卫星变轨原理 如图所示，发射地球同步卫星时，可以分多过程完成： (1)先将卫星发送到近地轨道Ⅰ，使其绕地球做匀速圆周运动，速率为v1。 (2)变轨时在P点点火加速，短时间内将速率由v1增加到v2，这时<m，卫星脱离原轨道做离心运动，进入椭圆形的转移轨道Ⅱ。 (3)卫星运行到远地点Q时的速率为v3，此时进行第二次点火加速，在短时间内将速率由v3增加到v4，使卫星进入同步轨道Ⅲ，绕地球做匀速圆周运动。 飞船和空间站的对接过程与此类似。卫星的回收过程和飞船的返回则是相反的过程，通过突然减速，变轨到低轨道，最后在椭圆轨道的近地点处返回地面。 2．卫星变轨时一些物理量的定性分析 (1)速度：卫星在P点加速，则v2>v1；在Q点加速，则v4>v3。又因v1>v4，故有v2>v1>v4>v3。 (2)加速度：因为在P点不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过，P点到地心的距离都相同，卫星的加速度都相同，设为aP。同理，在Q点加速度也相同，设为aQ。又因Q点到地心的距离大于P点到地心的距离，所以aQ<aP。 (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径或半长轴分别为r1、r2、r3，由＝k可知T1<T2<T3。 (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒。若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，从轨道Ⅰ到轨道Ⅱ和从轨道Ⅱ到轨道Ⅲ都需要点火加速，则机械能关系为E1＜E2＜E3。 1．2025年11月25日12时11分，神舟二十二号飞船成功发射，并和空间站天和核心舱对接。为了成功完成对接，下列方案可行的是（　　） A．神舟二十二号飞船先到空间站轨道上同方向运动，在合适位置加速 B．神舟二十二号飞船先到略高于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 C．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置减速 D．神舟二十二号飞船先到略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，在合适位置加速 【答案】D 【详解】A．飞船在空间站轨道上同方向运动时，若加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，无法完成对接，故A错误。 B．飞船在略高于空间站轨道的圆轨道上运动时，若加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，飞船与空间站轨道间距更大，无法完成对接，故B错误。 C．飞船在略低于空间站轨道的圆轨道上运动时，若减速，飞船速度减小，飞船将进入更低的轨道，飞船与空间站轨道间距更大，无法完成对接，故C错误。 D．飞船在略低于空间站轨道的圆轨道上同方向运动，若在合适位置加速，飞船速度增大，飞船将进入更高的轨道，即飞船能够到达空间站轨道的圆轨道上，完成对接，故D正确。 故选D。 2．（多选）中国预计在2028年实现载人登月计划，把月球作为登上更遥远行星的一个落脚点。如图是“嫦娥一号奔月”的示意图，“嫦娥一号”卫星发射后经多次变轨，进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获，成为绕月卫星。关于“嫦娥一号”正确的是（　　） A．发射速度必须达到第三宇宙速度 B．轨道II变轨到轨道I时，需点火减速 C．在轨道I上运动时的速度不一定小于轨道II上任意位置的速度 D．从发射到绕月运行的整个过程中，轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比不变 【答案】BC 【详解】A．“嫦娥一号”绕月球运行时，仍未脱离地球引力的约束，所以其发射速度应大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度，故A错误； B．卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，所以“嫦娥一号”从轨道II变轨到轨道I时，需点火减速，故B正确； C．设轨道Ⅰ上运动时的速度为，轨道Ⅱ上近月点的速度为，轨道Ⅱ上远月点的速度为，若在轨道Ⅱ上的远月点建立以月球球心为圆心的圆轨道，其速度为，因为卫星从高轨道变轨到低轨道，需要在变轨处点火减速，则有， 绕月球做圆周运动时，由万有引力提供向心力得 可得 则有 综上分析可得 因此在轨道I上运动时的速度不一定小于轨道II上任意位置的速度，故C正确； D．从发射到绕月运行的整个过程中，中心天体分别为地球和月球，由开普勒第三定律，其中与中心天体质量有关，中心天体由地球变为月球，所以轨道半长轴的立方与公转周期的平方之比发生变化，故D错误。 故选BC。 航天器变轨问题的三点注意事项 1.航天器变轨时半径(半长轴)的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新圆轨道上的运行速度变化由v＝判断。两个不同轨道的“切点”处线速度不相等，同一椭圆上近地点的线速度大于远地点的线速度。 2.航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径(半长轴)越大，机械能越大。 只考虑万有引力作用，不考虑其他阻力影响，航天器在同一轨道上运动时，机械能守恒。在椭圆轨道上运动时，从远地点到近地点，万有引力对航天器做正功，动能Ek增大，引力势能减小。 3.两个不同轨道的“切点”处加速度a相同。 考点06 双星或多星模型 【要点梳理】 1．双星模型 (1)两颗星体绕公共圆心转动，如图1所示。 (2)特点 ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 ＝m1ωr1， ＝m2ωr2。 ②两颗星的周期及角速度都相同，即T1＝T2，ω1＝ω2。 ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L。 ④两颗星到轨道圆心的距离r1、r2与星体质量成反比，即＝。 ⑤双星的运动周期T＝2π。 ⑥双星的总质量m1＋m2＝。 2．三星模型 (1)三星系统绕共同圆心在同一平面内做圆周运动时比较稳定，三颗星的质量一般不同，其轨道如图2所示。每颗星体做匀速圆周运动所需的向心力由其他星体对该星体的万有引力的合力提供。 (2)特点：对于这种稳定的轨道，除中央星体外(如果有)，每颗星体转动的方向相同，运行的角速度、周期相同。 (3)理想情况下，它们的位置具有对称性，下面介绍两种特殊的对称轨道。 ①三颗星位于同一直线上，两颗质量均为m的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆形轨道上运行(如图3甲所示)。 ②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图3乙所示)。 1．（多选）双星系统由两个天体组成，相对于其他天体，位置非常靠近，以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动。图1是某双星系统示意图，该系统由两颗互相绕行且质量分布均匀的恒星组成。图2为该双星系统的简化图，为圆心。两恒星、的球心分别为、，已知，，。下列说法正确的是（　　） A．和做匀速圆周运动的半径之比为 B．和受到的向心力之比为 C．和质量之比为 D．和绕旋转的线速度之和与线速度之差的比值为 【答案】ACD 【详解】A．设恒星的轨道半径为，恒星的轨道半径为，则有， 解得， 故和做匀速圆周运动的半径之比为，A正确； B．恒星和以相同的角速度绕两者连线上某点各自做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第三定律可知，恒星和受到的向心力之比为，故B错误； C．设恒星的质量为，恒星的质量为 恒星绕做匀速圆周运动，则有 恒星绕做匀速圆周运动，则有 两式相除得恒星和的质量之比为，故C正确； D．根据公式 可知恒星和绕旋转的线速度之和 恒星和绕旋转的线速度之差 故恒星和绕旋转的线速度之和与线速度之差的比值，故D正确； 故选ACD。 2．“三星系统”与“双星系统”都是宇宙中存在的天体系统。两种系统中，天体均可在万有引力的作用下绕共同的圆心做匀速圆周运动。如图分别为两种天体系统的示意图，图中五个球形天体的质量均为 M，天体中心连线的长度均为L，星球距离远大于星球半径，万有引力常量为 G。“三星系统”与“双星系统”运动周期之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对“三星系统”中的一颗星进行受力分析然后根据牛顿第二定律得 由几何关系得 对“双星系统”中的一颗星进行受力分析然后根据牛顿第二定律得 联立可得 故选A。 【例1】（2025·全国卷·高考真题）“天都一号”通导技术试验卫星测距试验的成功，标志着我国在深空轨道精密测量领域取得了技术新突破。“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时，（　　） A．受月球的引力大小保持不变 B．相对月球的速度大小保持不变 C．离月球越近，其相对月球的速度越大 D．离月球越近，其所受月球的引力越小 【答案】C 【详解】AD．“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时与月球的距离不断发生变化，根据可知受月球的引力大小发生变化，离月球越近，其所受月球的引力越大，故AD错误； B．根据开普勒第二定律可知“天都一号”在环月椭圆轨道上运行时相对月球的速度大小改变，近月点速度最大，远月点速度最小，即离月球越近，相对月球的速度越大，故B错误，C正确。 故选C。 【变式1-1】一名宇航员来到一个星球上，如果该星球的质量是地球质量的一半，它的直径也是地球直径的一半，那么这名宇航员在该星球上所受的万有引力大小是他在地球上所受万有引力的（　　） A． B． C．2倍 D．4倍 【答案】C 【详解】设地球质量为、半径为，宇航员质量为，根据万有引力定律 已知星球质量 直径为地球的一半，因此星球半径 宇航员在该星球受到的引力 故选C。 【变式1-2】（多选）行星A、B绕太阳运动的轨迹为椭圆，太阳在椭圆轨道的焦点上，A、B所受的引力随时间的变化如图所示，其中。假设A、B只受到太阳的引力，下列叙述正确的是（　　） A．行星A、B的运行周期之比为 B．行星A、B的轨道半长轴之比为 C．行星A的近日点到太阳的距离与远日点到太阳的距离之比为 D．行星A与行星B的质量之比为 【答案】BCD 【详解】A．行星从近日点运动到远日点为半个周期，由图可知行星A的半个周期 行星B的周期 结合 得 因此周期比 ，故A错误； B．根据开普勒第三定律，绕同一中心天体太阳，满足 因此 得，故B正确； C．对行星A，最大引力 最小引力 两式相除得 开方得，故C正确； D．对B同理可得 半长轴， 结合半长轴之比得 又 结合 可推得，故D正确。 故选BCD。 【变式1-3】如图所示，将一个半径为R、质量为M的均匀大球，沿直径挖去两个半径分别为大球一半的小球，并把其中一个放在球外与大球靠在一起，挖去小球的球心、球外小球球心、大球球心在一条直线上，则大球中剩余部分与球外小球的万有引力大小约为（已知引力常量为G）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】均匀大球的半径、质量，挖出的小球半径为​，质量和体积成正比，则有 因此单个小球质量 大球球心到球外小球球心的距离为 未挖出小球前大球对球外小球的万有引力大小为 左侧挖去小球的球心到球外小球球心距离 左侧原位置小球对球外小球的万有引力为 原右侧挖去小球的球心到球外小球球心距离 右侧原位置小球对球外小球的万有引力为 大球中剩余部分对球外小球的万有引力大小为 故选C。 【例2】（2025·重庆·高考真题）“金星凌日”时，从地球上看，金星就像镶嵌在太阳表面的小黑点。在地球上间距为d的两点同时观测，测得金星在太阳表面的小黑点相距为L，如图所示。地球和金星绕太阳的运动均视为匀速圆周运动，太阳直径远小于金星的轨道半径，则地球和金星绕太阳运动的（　　） A．轨道半径之比为 B．周期之比为 C．线速度大小之比为 D．向心加速度大小之比为 【答案】D 【详解】A．太阳直径远小于金星的轨道半径，太阳直径忽略不计，根据题意结合几何知识可知地球和金星绕太阳运动的轨道半径之比为，故A错误； BCD．根据万有引力提供向心力有 解得，， 故可得周期之比为； 线速度大小之比为； 向心加速度大小之比为； 故BC错误，D正确 故选D。 【变式2-1】神舟二十二号飞船于2025年11月25日成功发射，这是我国首次应急发射任务。之后飞船与空间站天和核心舱前向端口完成自主快速交会对接。已知空间站绕地球做匀速圆周运动，在t时间内通过的弧长为L，与地心的连线扫过的面积为S，则空间站运动的（　　） A．轨道半径为 B．周期为 C．角速度为 D．向心加速度大小为 【答案】D 【详解】A．空间站做匀速圆周运动，在t时间内通过的弧长为L，与地心的连线扫过的面积为S，设空间站运动的线速度大小为v，轨道半径为R，则有 解得线速度大小 轨道半径，故A错误； C．根据，可得空间站运动的角速度，故C错误； B．根据，可得空间站运动的周期，故B错误； D．根据牛顿第二定律，有 解得空间站运动的向心加速度大小，故D正确。 故选D。 【变式2-2】如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点。已知A、B、C运动的周期相同，则（     ） A．卫星C的运行速度小于物体A的速度 B．卫星B的轨道半长轴一定与卫星C的轨道半径相等 C．卫星B在P点的加速度大于卫星C在该点加速度 D．物体A和卫星C具有相同大小的加速度 【答案】B 【详解】A．AC角速度ω相同，根据v=ωr，又rA<rC，所以卫星C的运行速度大于物体A的速度，故A错误； B．根据开普勒第二定律可知，卫星BC周期相等，则卫星B的轨道半长轴一定与卫星C的轨道半径相等，故B正确； C．根据牛顿第二定律 可得，所以卫星B在P点的加速度等于卫星C在该点加速度，故C错误； D．因AC的角速度相同，根据a=ω2r，所以卫星C的运行加速度大于物体A的加速度，故D错误。 故选B。 【变式2-3】如图所示，地球的两颗卫星、分别在椭圆轨道1、2上运行，两轨道的长轴之比为，1的近地点在地球表面附近点，远地点为，2的近地点在地球表面附近点，远地点为。、到地球表面的距离相等且可忽略，下列说法正确的是（　　） A．、的周期之比为 B．在点的加速度大于在点的加速度 C．在点的速度等于在点的速度 D．在点的速度大于在点的速度 【答案】A 【详解】A．由开普勒第三定律 可得、的周期之比，A正确； B．、两点到地心的距离相等，由 可得加速度大小相等，B错误； C．卫星贴着地球表面做圆周运动，点火加速，获得的速度越大，椭圆轨道的长轴越大，则在点的速度小于在点的速度，C错误； D．根据开普勒第二定律，在远地点（点）的速度小于在近地点（点）的速度，D错误。 故选A。 【例3】（2025·四川·高考真题）某人造地球卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号强度随时间变化的规律如图所示，T为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，地球质量为M，万有引力常量为G。则该卫星轨道半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设卫星转动的周期为，根据题意可得 可得 根据万有引力提供向心力 可得 代入 可得 故选A。 【变式3-1】如图所示，A、B为地球的两个轨道共面的人造卫星，运行方向相同，A为地球同步卫星，A、B两卫星的轨道半径的比值为k，地球自转周期为T0。某时刻A、B两卫星距离达到最近，从该时刻起到A、B间距离最远所经历的最短时间为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】从此时刻到下一次A、B相距最远，转过的角度差为π，即 根据题意知 根据开普勒第三定律，有 联立解得所经历的最短时间为 故选C。 【变式3-2】某人造卫星运行轨道与赤道共面，绕行方向与地球自转方向相同。该卫星持续发射信号，位于赤道的某观测站接收到的信号随时间变化的规律如图所示，为地球自转周期。已知该卫星的运动可视为匀速圆周运动，则该卫星运动的周期为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该卫星运动的周期为，由图可知，时卫星在某观测站正上方 ，时再次出现在正上方，则有 解得，故选B。 【变式3-3】如图所示，同步卫星a、低轨道卫星b同向运行，卫星a、b的张角分别为θ1和θ2（θ2未标出），a半径是b半径的4倍，卫星a周期为T，由于地球的遮挡，卫星b会进入卫星a通信的盲区，求卫星b每次在盲区运行的时间为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由开普勒第三定律得， 解得 如图，A、B是卫星盲区两个边缘位置，由几何知识可得，有 联立解得 故选D。 【例4】（2025·北京·高考真题）2024年6月，嫦娥六号探测器首次实现月球背面采样返回。如图所示，探测器在圆形轨道1上绕月球飞行，在A点变轨后进入椭圆轨道、为远月点。关于嫦娥六号探测器，下列说法正确的是（　　） A．在轨道2上从A向B运动过程中动能逐渐减小 B．在轨道2上从A向B运动过程中加速度逐渐变大 C．在轨道2上机械能与在轨道1上相等 D．利用引力常量和轨道1的周期，可求出月球的质量 【答案】A 【详解】A．在轨道2上从A向B运动过程中，探测器远离月球，月球对探测器的引力做负功，根据动能定理，动能逐渐减小，A正确； B．探测器受到万有引力，由 解得 在轨道2上从A向B运动过程中，r增大，加速度逐渐变小，B错误； C．探测器在A点从轨道1变轨到轨道2，需要加速，机械能增加，所以探测器在轨道2上机械能大于在轨道1上的机械能，C错误； D．探测器在轨道1上做圆周运动，根据万有引力提供向心力，得 解得 利用引力常量G和轨道1的周期T，还需要知道轨道1的半径r，才能求出月球的质量，D错误。 故选A。 【变式4-1】（多选）2021年5月15日7时18分，“天问一号”探测器成功着陆于火星。假设“天问一号”发射后经过地火转移轨道被火星捕获，进入环火星圆轨道，经变轨调整后，从点进入着陆准备轨道，如图所示。已知“天问一号”火星探测器的火星着陆准备轨道为半长轴为，周期为的椭圆轨道，我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星轨道半径为，周期为，引力常量为。则下列判断正确的是（　　） A． B．由题目已知数据可以估算火星的质量和密度 C．“天问一号”在A点从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要开启发动机向前喷气 D．火星质量和地球质量的比值 【答案】CD 【详解】A．由于我国北斗导航系统的中圆地球轨道卫星绕地球运动，而“天问一号”火星探测器在着陆准备轨道上运动时是绕火星运动，它们的中心天体不同，因此开普勒第三定律不适用，故A错误； B．由开普勒第三定律可知，若有一质量为，轨道半径为的绕火星做匀速圆周运动的卫星，其周期也为；设火星的质量为，有 可得 所以能估算火星质量，但由于火星半径未知，无法估算火星密度，故B错误； C．“天问一号”从环火星圆轨道进入着陆准备轨道时需要减速，所以开启发动机向前喷气，故C正确； D．北斗导航系统的中圆地球轨道卫星半径为，周期为，设地球质量为，有 可以估算地球质量 因此，火星质量和地球质量的比值，故D正确。 故选CD。 【变式4-2】2024年3月20日，探月工程四期鹊桥二号中继星在文昌航天发射场发射升空，踏上奔月征途。其运动轨迹如图所示，已知远月点B与月球中心的距离约为近月点C与月球中心距离的9倍，地球半径约是月球半径的k倍，地球质量约是月球质量的p倍。下列说法正确的是（     ） A．鹊桥二号在B点由地月转移轨道进入环月轨道时须加速 B．鹊桥二号在C、B两点受到月球引力之比约为9∶1 C．地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度比值约为 D．地面重力加速度与月面重力加速度的比值约为 【答案】C 【详解】A．鹊桥二号在地月转移轨道时做近心运动，合外力要大于向心力，故必须减速，降低轨道半径，才能顺利进入环月轨道，故A错误； B．鹊桥二号所受到月球的万有引力为 则鹊桥二号在C、B两点受到月球引力之比约为，故B错误； C．某卫星贴着某星球表面做匀速圆周运动，其运行的速度即为该星球的第一宇宙速度，则有 解得 则地球第一宇宙速度与月球第一宇宙速度比值约为，故C正确； D．在某星球表面，根据万有引力等于重力，则有 解得 则地面重力加速度与月面重力加速度的比值约为，故D错误。 故选C。 【变式4-3】如图，天和核心舱处于半径为r3的圆轨道Ⅲ；神舟十二号飞船处于半径为r1的圆轨道Ⅰ上的Q点，通过变轨操作后，飞船沿椭圆轨道Ⅱ运动到P处与天和核心舱对接。则飞船（    ） A．在轨道Ⅰ上运行速度可以是8.0 km/s B．由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ要在Q点减速 C．运动稳定后，在轨道Ⅰ和轨道Ⅱ上的Q点，加速度不同 D．沿轨道Ⅱ运动稳定后， 【答案】D 【详解】A．第一宇宙速度是卫星绕地球做圆周运动的最大运行速度，轨道Ⅰ的半径大于地球半径，根据万有引力提供向心力 可得 可知，轨道半径越大运行速度越小，所以在轨道Ⅰ上运行速度一定小于，不可能为，故A错误； B．飞船由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，在点需做离心运动，万有引力不足以提供向心力，即，所以需要在点加速，故B错误； C．在点，无论是沿轨道Ⅰ运动还是沿轨道Ⅱ运动，飞船与地心的距离均为，受到的万有引力相同，根据牛顿第二定律可知，加速度相同，故C错误； D．飞船沿轨道Ⅱ运动，点为近地点，点为远地点，根据开普勒第二定律，在极短时间内扫过的面积相等，即 可得 整理得，故D正确。 故选D。 【例5】（2025·安徽·高考真题）2025年4月，我国已成功构建国际首个基于DRO（远距离逆行轨道）的地月空间三星星座，DRO具有“低能进入、稳定停泊、机动转移”的特点。若卫星甲从DRO变轨进入环月椭圆轨道，该轨道的近月点和远月点距月球表面的高度分别为a和b，卫星的运行周期为T；卫星乙从DRO变轨进入半径为r的环月圆形轨道，周期也为T。月球的质量为M，半径为R，引力常量为G。假设只考虑月球对甲、乙的引力，则（　　） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】AB．对于题述环月椭圆轨道和环月圆轨道，根据开普勒第三定律有 可得 故A错误，B正确； CD．对于环月圆轨道，根据万有引力提供向心力可得 可得 故C正确，D错误。 故选BC。 【变式5-1】2017年3月16日消息，高景一号卫星发回清晰影像图，可区分单个树冠。天文爱好者观测该卫星绕地球做匀速圆周运动时，发现该卫星每经过时间通过的弧长为，该弧长对应的圆心角为弧度。已知引力常量为，则（　　） A．高景一号的轨道半径为 B．高景一号的线速度大小为 C．地球的质量为 D．地球的质量为 【答案】C 【详解】A．根据弧长公式，可得轨道半径，故A错误； B．线速度为单位时间内通过的弧长，大小为，故B错误； CD．卫星做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 约去卫星质量，得地球质量 代入、，解得，故C正确，D错误。 故选C。 【变式5-2】“天问一号”由环绕器、着陆器和巡视器（祝融号火星车）三部分组成，环绕器主要功能是在环绕火星的轨道上进行遥感探测，并为着陆器和巡视器提供关键的中继通信服务。环绕器的质量为，在距火星表面高度为h的圆形轨道上无动力运行时，环绕周期为T；巡视器质量为。已知万有引力常量为G，火星的半径为R，求： (1)火星的密度； (2)忽略火星自转，巡视器静止在火星表面时受到的支持力大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设火星的质量为 对环绕器，由牛顿第二定律： 解得： 火星的体积：、火星的密度： 解得： （2）忽略火星自转，巡视器在火星表面受到的重力等于万有引力 巡视器静止，其受到的支持力 解得： 【变式5-3】某同学创作了一篇科幻小说，描述了中国航天员们驾驶飞船探索类地行星的故事。为了计算该星球的质量，航天员们测出了星球半径为，并在星球表面展开实验，如图所示，不易伸长的轻绳绕过光滑轻质定滑轮连接物块、且（和均已知）。初始时物块静止在地面上，离地面高度为，绳子恰好伸直。现将由静止释放，经过时间落到地面，已知引力常量为。求： (1)物块加速运动时的加速度是多少？ (2)该星球的质量是多少？ (3)若飞船无法降落，只能贴着星球表面做匀速圆周运动，测出绕行周期，能否据此计算出星球的密度？若能，请计算出该星球的密度。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）下落过程做初速度为0的匀加速直线运动，位移满足匀变速直线运动公式 ，与加速度大小相等，整理得 ​ （2）对、组成的系统，由牛顿第二定律： 将代入，解得星球表面重力加速度 星球表面物体满足万有引力等于重力 整理得星球质量： （3）飞船贴着星球表面做匀速圆周运动，万有引力提供向心力 整理得 星球密度，星球体积 代入得 一、单选题 1．节气是指二十四个时节和气候，是中国古代订立的一种用来指导农事的补充历法。现行二十四节气划分是以地球和太阳的连线每扫过15°定为一个节气。如图所示为北半球二十四个节气时地球在公转轨道上位置的示意图，其中冬至时地球在近日点附近。则下列说法正确的是（　　） A．地球从芒种到夏至的时间间隔比从大雪到冬至的长 B．立夏时地球的公转速度比谷雨时大 C．夏至时地球受太阳的引力比冬至大 D．地球公转周期的三次方与轨道半长轴的平方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数 【答案】A 【详解】A．芒种到夏至地球到太阳平均距离大于大雪到冬至的平均距离，根据开普勒第二定律可知，地球从芒种到夏至的平均速率小，时间长，故A正确； B．由图可知，沿公转方向（逆时针），谷雨在立夏之前，且夏至为远日点，故立夏离太阳的距离比谷雨远，根据开普勒第二定律可知，距离越大速度越小，故立夏时地球的公转速度比谷雨时小，故B错误； C．夏至时地球在远日点附近，冬至时地球在近日点附近，即 r夏>r冬。根据万有引力定律 ，距离越大引力越小，故夏至时地球受太阳的引力比冬至小，故C错误； D．根据开普勒第三定律，可知是地球公转轨道半长轴的三次方与周期的平方的比值是一个仅与太阳质量有关的常数，不是地球公转周期的三次方与轨道半长轴的平方的比值，故D错误。 故选A。 2．火星表面特征非常接近地球，适合人类居住。已知火星半径是地球半径的，质量是地球质量的，自转周期也基本相同。地球表面重力加速度是，若王同学在地面上能向上跳起的最大高度是，在忽略自转影响的条件下，下述分析正确的是（　　） A．火星表面的重力加速度是 B．火星表面的重力加速度是 C．王同学在火星表面受的万有引力是在地球表面受万有引力的倍 D．王同学在火星表面上能向上跳起的最大高度为 【答案】A 【详解】AB．根据题意，在地球表面由万有引力等于重力有 解得地球表面重力加速度 同理火星表面的重力加速度是，故A正确，B错误； C．根据题意，由公式可知，王同学在火星表面受的万有引力与在地球表面受万有引力之比为，故C错误： D． 王同学在火星表面上向上跳起 在地球表面上跳起 可得王同学在火星表面上能向上跳起的最大高度为，故D错误。 故选A。 3．如表所示为火星的小档案，由此可以求得火星的平均密度。下列表达正确的是（　　） 火星——Mars 直径d=6794 km 质量 表面重力加速度 近火卫星的周期T=3.4 h A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A．火星可视为均匀球体，半径，体积 直接代入密度定义得，故A错误； B．近火卫星做圆周运动，万有引力提供向心力 解得 代入密度公式得，故B错误； CD．火星表面物体重力等于万有引力 解得 代入密度公式得，故C错误，D正确。 故选D。 4．“天梯计划”是设想利用碳纳米管材料构建一条从地球赤道延伸至静止卫星轨道以外的“星际通道”。如图所示，P、Q为天梯上相对天梯静止的两个物体。忽略大气的影响，分析可知（　　） A．P物体的线速度小于Q物体的线速度 B．P物体的线速度大于静止卫星的线速度 C．P物体的加速度大于Q物体的加速度 D．Q物体的加速度小于静止卫星的加速度 【答案】A 【详解】A．、两物体随天梯一起随地球自转，角速度相同，由图可知的轨道半径小于的轨道半径，根据线速度公式可知，物体的线速度小于物体的线速度，故A正确； B．物体与静止卫星（同步卫星）的角速度相同，由图可知的轨道半径小于静止卫星的轨道半径，根据可知，物体的线速度小于静止卫星的线速度，故B错误； C．、两物体角速度相同，且，根据向心加速度公式可知，物体的加速度小于物体的加速度，故C错误； D．物体与静止卫星的角速度相同，由图可知的轨道半径大于静止卫星的轨道半径，根据可知，物体的加速度大于静止卫星的加速度，故D错误。 故选A。 5．如图所示为“嫦娥七号”发射后经多次变轨进入地月转移轨道，最终被月球引力捕获。其中轨道I、Ⅱ在近地点M点相切，N为轨道I的远地点。则“嫦娥七号”（　　） A．发射速度必须大于第三宇宙速度 B．沿着轨道I通过M点的速率大于沿着轨道Ⅱ通过M点的速率 C．在M点时应向后喷气才能进入地月转移轨道 D．位于轨道I和Ⅱ时，在相同的时间内与地球的连线扫过的面积相等 【答案】C 【详解】A．第三宇宙速度是脱离太阳系的最小发射速度（约 16.7 km/s）。嫦娥七号只是前往月球，仍在太阳引力范围内，发射速度小于第三宇宙速度。A错误； B．轨道I是低轨道椭圆，轨道Ⅱ是更高轨道的椭圆，两者在近地点M点相切。从轨道I变轨到轨道Ⅱ，需要在M点加速，做离心运动才能进入更高轨道，因此嫦娥七号沿着轨道I通过M点的速率小于沿着轨道Ⅱ通过M点的速率。B错误； C．进入地月转移轨道，需要在M点加速，即向后喷气，做离心运动。C正确； D．开普勒第二定律的适用条件是同一轨道、同一中心天体。轨道I和Ⅱ是两个不同的轨道，因此在相同时间内与地球连线扫过的面积不相等。D错误。 故选C。 6．水星是太阳系内4颗类地行星之一，有着与地球一样的岩石行星，是八大行星中最小的一颗，和地球绕太阳公转的方向相同且轨道共面。已知地球绕太阳公转的周期为，水星绕太阳公转的周期为，下列说法正确的是（　　） A．地球与水星每隔会相距最近一次 B．地球与水星的质量之比为 C．地球与水星的公转轨道半径之比为 D．地球与水星表面的重力加速度大小之比为 【答案】A 【详解】A．设地球与水星每隔会相距最近一次，则有 解得，故A正确； B．地球和水星绕太阳公转时，行星质量会在万有引力提供向心力的公式中消去，无法得到两颗行星的质量之比，故B错误； C．行星绕太阳公转时，由万有引力提供向心力得 可得 则地球与水星的公转轨道半径之比为，故C错误； D．在行星表面有 可得行星表面重力加速度大小为 由于不清楚地球和水星的质量和半径的关系，所以无法比较地球与水星表面的重力加速度大小关系，故D错误。 故选A。 7．潮汐现象出现的原因之一是在地球的不同位置海水受到月球的引力不相同。图中a、b和c处单位质量的海水受月球引力大小在（　　） A．a处最小 B．b处最小 C．c处最小 D．a、c处相等，b处最小 【答案】C 【详解】A．根据万有引力定律 可知，距离月球越近，引力越大。图中处距离月球最近，引力应最大，故A错误； B．图中处距离月球比处更远，所以处的引力比处更小，故处不是最小，故B错误； C．图中处距离月球最远，根据 距离越大引力越小，所以处单位质量海水受到的月球引力最小，故C正确； D．处距离月球最近，处距离月球最远，两处距离不相等，引力不相等，故D错误。 故选C。 二、多选题 8．如图所示，八大行星沿椭圆轨道绕太阳公转，根据开普勒三大定律可知（　　） A．太阳处在八大行星的椭圆轨道的中心 B．地球运动至离太阳最近时，速率最大 C．地球与火星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．在相同时间内，地球与太阳连线扫过的面积等于火星与太阳连线扫过的面积 【答案】BC 【详解】A．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，而不是轨道的中心，故A错误； B．根据开普勒第二定律，对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积，因此行星在近日点速率最大，在远日点速率最小，地球运动至离太阳最近时，速率最大，故B正确； C．根据开普勒第三定律，所有行星的轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比值都相等，即，所以地球与火星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方，故C正确； D．开普勒第二定律适用于同一个行星绕太阳运动的情况，不同行星在相同时间内与太阳连线扫过的面积不相等，故D错误。 故选BC。 9．“古有司南，今有北斗”，北斗卫星导航系统入选“2022全球十大工程成就”。组成北斗卫星导航系统的卫星运行轨道半径r越大，线速度v越小，卫星运行状态视为匀速圆周运动，其v2-r图像如图所示。图中R为地球半径，r0为北斗星座GEO卫星的运行轨道半径，图中物理量单位均为国际单位，引力常量为G。忽略地球自转，则（　　） A．地球的质量为 B．地球的密度为 C．北斗星座GEO卫星的加速度为 D．地球表面的重力加速度为 【答案】AB 【详解】A．根据万有引力提供向心力，有 整理得 由图像可知，当时， 代入得   地球的质量为，A正确； B．地球密度 地球体积 代入 解得 B正确； C．根据牛顿第二定律有 解得 将代入得 ， C错误； D．根据在地球表面万有引力与重力的关系 解得地球表面的重力加速度为 代入得  ，D错误。 故选AB 。 10．月球探测器分别在月球极地和赤道用弹簧秤称量一质量为的物体，弹簧秤示数分别为和。已知月球的自转周期为，引力常量为，则月球的（　　） A．质量为 B．质量为 C．密度为 D．密度为 【答案】AC 【详解】AB．极地：物体随月球自转不需要向心力，万有引力全部等于重力（弹簧秤示数），因此 赤道：万有引力一部分提供重力，一部分提供自转向心力，因此 联立有 整理得月球半径，月球质量 ，故A正确，B错误； CD．密度公式 ，代入化简，故C正确，D错误。 故选AC。 11．2025年2月20日，中国航天科技研制的实践25号卫星在距离地面3.6万千米的同步轨道，成功实现了人类历史上首次太空加油。这次为服役多年的北斗2号卫星注入了142kg的燃料，提升了其轨道维持能力达300%，瞬间让它焕发活力。图中P、Q分别是“实践25号”和“北斗2号卫星”对接前各自在预定轨道运行的情景，下列说法正确的是（　　） A．在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期 B．在预定轨道运行时，P的速率小于Q的速率 C．为了实现对接，P应减速 D．为了实现对接，P应加速 【答案】AD 【详解】A．根据开普勒第三定律可知，P的轨道半径小，所以周期也小，即在预定轨道运行时，P的周期小于Q的周期，故A正确； B．由万有引力提供向心力有 解得 由于P的轨道半径小，所以在预定轨道运行时，P的速率大于Q的速率，故B错误； CD．根据变轨原理可知，为了实现对接，P应加速做离心运动，故C错误，D正确。 故选AD。 12．如图甲所示，2024年1月9日我国在西昌卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将爱因斯坦探针卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。假设爱因斯坦探针卫星发射简化过程如图乙所示，先将卫星送入圆形轨道Ⅰ，在点发动机点火加速，卫星由轨道Ⅰ进入近地点高度为、远地点高度为的椭圆轨道Ⅱ，卫星在椭圆轨道Ⅱ上经过点的速度大小为，然后再变轨进入圆轨道Ⅲ，卫星在轨道Ⅲ上的运行周期为。已知是椭圆轨道Ⅱ的长轴，地球的半径为，引力常量为，则下列说法正确的是（     ） A．地球的密度为 B．卫星在轨道Ⅱ上点的速度小于轨道Ⅲ上运动的速度 C．卫星在轨道Ⅱ上的运行周期为 D．卫星在轨道Ⅱ上经过点时的加速度大小大于Ⅰ轨道的加速度大小 【答案】AC 【详解】A．卫星在圆轨道做圆周运动，运动半径为 由万有引力提供向心力有 解得地球质量 故地球密度 代入解得，故A正确； B．根据 可得圆轨道卫星的线速度 轨道半径越小速度越大，设卫星在近地圆轨道的速度为，在圆轨道的速度为，则 卫星从轨道变轨到轨道需要在点加速，因此轨道上点的速度 可得 即卫星在轨道上点的速度等于轨道上运动的速度，故B错误； C．椭圆轨道的半长轴 圆轨道的半径 根据开普勒第三定律 可得 联立解得 ，故C正确； D．根据 可得 卫星经过点时到地心的距离不变，因此轨道Ⅱ上点的加速度与轨道Ⅰ上点的加速度大小相等，故D错误。 故选AC。 13．如图所示，宇宙中有一个由P和Q两颗恒星构成的双星系统，它们在彼此间的万有引力下以周期绕点逆时针旋转，轨道半径分别是和，有一颗质量很小的卫星，以轨道半径绕顺时针以周期做匀速圆周运动，已知，卫星对恒星构成的双星系统的运动没有影响，且忽略恒星对卫星的引力，万有引力常量为，下列说法正确的是（　　） A．由已知条件可以求出的质量 B．恒星、的质量之比为 C．若也有一颗质量很小的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于的轨道半径 D．、、由图示位置到再次共线所需时间为 【答案】AC 【详解】A．在P、Q组成的双星系统中，对P由万有引力提供向心力得 解得，A正确； B．P、Q组成的双星系统，周期和角速度都相同，相互万有引力提供向心力，满足 可得 即，B错误； C．对绕恒星转动的卫星，由 解得 周期相同时，轨道半径与中心天体质量的三次方根成正比。根据， 可得 所以的周期也为的卫星，则其轨道半径一定小于的轨道半径，C正确； D．双星逆时针转动，卫星M顺时针转动，二者转动方向相反，角速度大小分别为、 初始时三者共线，再次共线时，相对转过的角度和为，即 代入得 解得，D错误。 故选AC。 14．如图所示，天问一号降低自身轨道高度，利用携带的科学仪器，对火星进行了近距离的探测，制动前环绕器在轨道Ⅰ上运动，在点制动后进入轨道Ⅱ运动，则下列说法正确（　　） A．环绕器在轨道Ⅰ上点的加速度等于在轨道Ⅱ上点的加速度 B．环绕器在轨道Ⅰ上点的加速度大于在轨道Ⅱ上点的加速度 C．环绕器在轨道Ⅰ上远“火”点与近“火”点的机械能相等 D．环绕器在轨道Ⅰ上远“火”点与近“火”点的机械能不相等 【答案】AC 【详解】AB．根据牛顿第二定律有 解得 环绕器在同一点，相等，故环绕器在轨道Ⅰ上点的加速度等于在轨道Ⅱ上点的加速度，故A正确，B错误； CD．在轨道Ⅰ上远“火”点与近“火”点的过程中，只有万有引力做功，机械能守恒，所以环绕器在轨道Ⅰ上远“火”点与近“火”点的机械能相等，故C正确，D错误。 故选AC。 三、解答题 15．如图甲所示，质量分布均匀的大球质量为M、球心为O、半径为R，从大球中挖去一个半径为的小球，大、小球表面相切于A点，B点为小球球心。将质量为m的小物体（可视为质点）置于A点。如图乙所示，P、Q为某地区水平地面上的两点，在P点正下方有一半径为R的球形“防空掩体”空腔区域。假定区域周围岩石均匀分布，密度为ρ。如果没有这一空腔，则该地区重力加速度（正常值）沿竖直方向；当存在空腔时，该地区重力加速度的大小和方向会与正常情况有微小偏离。重力加速度在原竖直方向（即PO方向）上的投影相对于正常值的偏离叫作重力加速度反常。已知球形“防空掩体”空腔的体积为V，球心深度为d（远小于地球半径），，引力常量为G。求： (1)图甲大球剩余部分对质量为m的小物体的引力大小； (2)图乙“防空掩体”空腔引起的Q点的重力加速度反常的大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）大球的质量为M，设挖去小球的质量为，则， 可得 大球对A点小物体的引力 小球单独存在时对A点小物体的引力 则挖去小球后，大球剩余部分对A点小物体的引力 解得 （2）如果将球形“防空掩体”空腔区域填满相同密度的岩石，则Q点重力加速度将回归正常值，因此该处重力加速度反常可通过填充后的球形区域附加引力计算； 若在Q点放置一质量为的质点，则该附加引力 根据牛顿第二定律，“防空掩体”空腔引起的重力加速度变化满足 其中 则 方向沿OQ连线指向地面外侧； 因此Q处重力加速度反常大小为 其中 解得 方向竖直向上。 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $