专题04 一次函数（期末真题汇编，河北专用）八年级数学下学期

**基本信息** 一次函数专题期末试题汇编，覆盖11个核心考点，精选河北各地期末真题，注重基础巩固与综合应用，融合生活与科技情境，适配八年级下学期期末复习。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择/填空|约50题|自变量取值范围、函数图象识别、动点问题|基础考点反复强化，结合程序框图、摩天轮等情境| |解答题|约50题|一次函数与方程不等式、实际应用、几何综合|突出垃圾分类、机器人销售等现实问题，综合考查建模与推理能力|

专题04 一次函数 高频考点概览 考点01函数的自变量与函数值 考点02从函数图象获取信息 考点03函数图象的识别 考点04动点问题的函数图象 考点05一次函数的定义及应用 考点06一次函数的图象和性质 考点07一次函数与方程、不等式 考点08一次函数实际应用问题 考点09一次函数字母参数的确定问题 考点10一次函数的图象平移问题 考点11一次函数与几何的综合问题 考点01 函数的自变量与函数值 1．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）函数自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 2．（2025八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2025八年级下·河北石家庄·期末）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2025八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2025八年级下·河北张家口·期末）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为4时，输出的的值为5，则输入的值为3时，输出的的值为（　　） A．-6 B．6 C．-3 D．3 6．（2025八年级下·河北石家庄·期末）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为（   ） A．– B． C．1 D． 考点02 从函数图象获取信息 7．（2025八年级下·河北邯郸·期末）根据国家天然气价格形成机制的相关要求，某市居民用天然气价格已上调．调整后，居民每月用气费用元与每月用气量立方米之间的函数图象如图所示，其中段第一阶梯符合正比例函数模型，段第二阶梯符合一次函数模型，则下列说法不正确的是(    ) A．第一阶梯的单价是元/立方米 B．第二阶梯的单价是元/立方米 C．的值为 D．当月用气量为立方米时，费用为元 8．（2025八年级下·河北邯郸·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，小明在摩天轮上离地面的高度（单位：）与旋转时间（单位：）之间的关系如图2所示．下列结论不正确的是（    ） A．摩天轮转一圈需要 B．当时，小明离地的高度为 C．当小明离地时，摩天轮恰好转了 D．当时，随的增大而增大 9．（2025八年级下·河北邢台·期末）王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（　　） A． B． C． D． 10．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，是一位病人某天时时体温随时间的变化情况，观察图象变化过程，回答下列问题： 如图是一位病人某天（0时时）体温的变化情况，观察图象变化 (1)在这个变化过程中，自变量是______； (2)这个病人该天最高体温是______，最低体温______； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧的总时长为______小时． 11．（2025八年级下·河北石家庄·期末）小莉陪父母出去散步，从家走了一段时间后到达公园，小莉陪父母看了一会风景后，用了返回家．下图是关于小莉离家的路程和离家时间的函数图像． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)公园离家的路程为________；小莉在公园停留的时间为________； (2)求小莉从家出发到公园的速度？ (3)小莉从公园返回家的途中，当她离开公园时，求x的值． 12．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中表示时间，表示小明离家的距离，小明家、食堂，图书馆在同一直线上． (1)小明从家到食堂用的时间是__________分钟； (2)小明在食堂吃早餐用的时间是__________分钟； (3)食堂到图书馆的距离是__________千米； (4)小明读报用的时间是__________分钟； (5)图书馆离到小明家的距离是__________千米，小明从图书馆回家的平均速度是__________千米/分钟． 考点03 函数图象的识别 13．（2025八年级下·河北保定·期末）如图是反映两个变量的关系图，下面的四个实际情况中，哪个比较适合这幅图？（　　） A．在罚球点上被踢出的球的速度与时间之间的关系 B．一杯开水放在桌上，它的水温与时间的关系 C．匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系 D．一架战斗机正以的速度匀速飞行，它飞行的速度与时间的关系 14．（2025八年级下·河北张家口·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A．B．C． D． 15．（2025八年级下·河北沧州·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A．B．C． D． 16．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是（    ） A．   B．  C．   D．   17．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（　　） A．B．C． D． 考点04 动点问题的函数图象 18．（2025八年级下·河北邢台·期末）如图，在矩形中，，，点P沿路线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能大致刻画y与x之间的关系图象的是（    ） A． B． C． D． 19．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，小亮同学每天早晨都要在小区后面的一个广场上锻炼身体．某天他绕着一个呈扇形轮廓的场地（如图）匀速跑步，下列函数图象能近似刻画小亮离出发点P的距离y与时间x之间关系的是（　　） A．B．C． D． 20．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿边，匀速向终点C运动，连接，，E，F分别是，的中点．设，点P运动的路程为x，则y关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 21．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图，已知的面积为8，点在边上从点向点运动（不含端点），设的面积为，的面积为，则关于的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 22．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 23．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（   ） A．点与的距离为，点与的距离为 B．点与的距离为，点与的距离为 C．点与的距离为，点与的距离为 D．点与的距离为，点与的距离为 24．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果变量与之间的关系如图②所示，则长方形的面积为_________． 考点05 一次函数的定义及应用 25．（2025八年级下·河北唐山·期末）若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 26．（2025八年级下·河北邢台·期末）下列函数：①y＝；②y＝－；③y＝3－x；④y＝3x2－2．其中是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 27．（2025八年级下·河北保定·期末）某兴趣小组成员要设计一个正方形棋盘，通过了解，该正方形棋盘板材的成本y（单位：元）与该正方形的边长x（单位：厘米）成正比．当时，．若该小组成员购买该种类板材的成本为24元，则其边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 28．（2025八年级下·河北石家庄·期末）下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 29．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知y与x+1成正比例，且x=1时，y=2.则x=-1时，y的值是______. 30．（2025八年级下·河北邯郸·期末）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的值． 31．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图像上，求n的值． 考点06 一次函数的图象和性质 32．（2025八年级下·河北邢台·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 33．（2025八年级下·河北廊坊·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 34．（2025八年级下·河北邢台·期末）将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）关于直线，以下说法正确的是（   ） A．直线经过第一、二、三象限 B．直线与x轴交点坐标为 C．直线向下平移3个单位长度得到的直线解析式为 D．将直线沿x轴翻折得直线 36．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数（）的图象不可能经过（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 37．（2025八年级下·河北保定·期末）下列图象中，以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象，可能是（   ） A．B．C． D． 38．（2025八年级下·河北石家庄·期末）一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 39．（2025八年级下·河北石家庄·期末）下列有关一次函数的说法中，错误的是（   ） A．的值随着增大而减小 B．函数图象经过第一、三、四象限 C．函数图象与轴的交点坐标为 D．当时， 40．（2025八年级下·河北邢台·期末）已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 41．（2025八年级下·河北唐山·期末）已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论： ①该函数的图象经过点； ②当时，该函数图象不经过第三象限； ③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④当时，若点和在该函数图象上，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 42．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是______． 43．（2025八年级下·河北保定·期末）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 44．（2025八年级下·河北沧州·期末）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 45．（2025八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)求该直线的函数解析式，并在图中画出该直线； (2)若，求x的取值范围． 46．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 考点07 一次函数与方程、不等式 47．（2025八年级下·河北石家庄·期末）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（   ） A．B．C． D． 48．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（    ） A． B． C． D． 49．（2025八年级下·河北保定·期末）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（    ） A．B．C．D． 50．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，直线与直线交于点，下列结论错误的是（    ） A．， B．关于的方程的解为 C．关于的不等式的解集为 D．直线上有两点，，若时，则 51．（2025八年级下·河北石家庄·期末）已知直线与直线交于点，点的横坐标为．现有如下结论： ①；②；③不等式的解集为； ④不等式的解集为． 其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 52．（2025八年级下·河北廊坊·期末）一次函数与交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 53．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．不等式的解集是 D．方程的解是 54．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 55．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图是某台阶的一部分，每一级台阶的长度和高度之比为，且各级台阶的长度和高度分别相等，在平面直角坐标系中，点的坐标是．有下列说法： 甲：同时经过点，，，，的直线的解析式为 乙：若直线使得～这些点分布在它的两侧，每侧各个点，则的取值范围为 关于甲、乙的说法，下列判断正确的是(   ) A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲，乙的都不正确 D．甲，乙的都正确 56．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，关于x的不等式的解集为_________． 57．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 考点08 一次函数实际应用问题 58．（2025八年级下·河北石家庄·期末）地表以下岩层的温度（）与所处深度（）有如下关系： 深度 1 2 3 4 5 … 温度 55 90 125 160 195 … 若地表以下岩层的温度是，估计该岩层所处的深度是（   ） A． B． C． D． 59．（2025八年级下·河北石家庄·期末）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______． 60．（2025八年级下·河北邢台·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润＝收入－比赛的费用）．若，求W的最大值． 61．（2025八年级下·河北石家庄·期末）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保 约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）； ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． （1）用含x的代数式表示y，则 ；并写出总收益 W（元）关于x的函数关系式； 【问题探究】（2）求满足所有条件的自变量x的取值范围； 【优化决策】（3）为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？此时最大收益是多少？ 62．（2025八年级下·河北廊坊·期末）数学活动课上，老师如下定义了匀速变化的函数： 设y是x的函数，，是自变量x取值范围内的两个值，当x由变化到，对应的y值由变化到，我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两值之间的平均变化速度是同一个数时，我们称y为x的匀速变化的函数． 【活动一】 （1）判断：一次函数______匀速变化的函数（“是”或“不是”）； （2）试说明一次函数是匀速变化函数； 一次函数是匀速变化的函数，事实上，匀速变化的函数是一次函数，因此，如果知道一个函数是匀速变化的，那么这个函数就是一次函数，我们就可以用待定系数法求这个一次函数的表达式． 【活动二】 （3）运用活动一的结论，解决下列问题： 表示气温时，大多数国家都使用摄氏温度，少数国家用华氏温度．两种计量单位之间有如下的对应关系： 摄氏C（℃） 0 10 20 30 40 50 华氏F（℉） 32 50 68 86 104 122 求华氏温度F关于摄氏温度C的函数关系式，多少摄氏度时两种计量方式的数值相等？ 63．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，甲容器已装满水，高为20厘米的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定，设注水时间为（分），甲容器水面高为，乙容器水面高度为，其中与成正比例，且当时，；与成一次函数关系，部分对应值如下表： （分） 3 5 8 12 (1)分别写出与与的函数关系式，并求出未注水时乙容器原有水的高度； (2)当两个容器水面高度相同时，这个高度称为平衡高度，求甲、乙两个容器的平衡高度； (3)当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器是否注满？是，说明理由；不是，需调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度． 64．（2025八年级下·河北保定·期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人每分钟分拣快递的数量是B型机器人每分钟分拣数量的倍，且A型机器人分拣900件快递所用时间比B型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)问A型机器人每分钟分拣快递多少件？ (2)已知每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购A，B两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购A种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 65．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 66．（2025八年级下·河北廊坊·期末）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获利（元） 1200 1600 1000 (1)设装运A种脐橙的车辆数为x辆，装运B种脐橙的车辆数为y辆，请填写下表，并求出y与x的函数表达式： 脐橙品种 A B C 装运车辆 x辆 y辆 _______辆 装运吨数 6x吨 5y吨 _______吨 (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 67．（2025八年级下·河北石家庄·期末）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 68．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 69．（2025八年级下·河北张家口·期末）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 70．（2025八年级下·河北邢台·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； (2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 考点09 一次函数字母参数的确定问题 71．（2025八年级下·河北邯郸·期末）一次函数（k、b为常数，且）的图象经过、、三点，则m的值为（   ） A．0 B． C．8 D．4 72．（2025八年级下·河北邢台·期末）我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是______． 73．（2025八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．一次函数的图象为，且，，可以围成三角形，那么k的取值范围是_______． 74．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为______． 75．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，为线段的中点，直线的解析式为． (1)当直线与直线平行，且经过点时，求直线的解析式 (2)当直线经过点，且与线段有交点时，直接写出的取值范围． 76．（2025八年级下·河北沧州·期末）已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 77．（2025八年级下·河北石家庄·期末）平面直角坐标系中，有一动点，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)淇淇说：“无论怎样变化，点都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)设线段分别交轴，轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求的值； ②若点在的内部（不含边界），直接写出的取值范围； 78．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，直线与交于点，分别与轴、轴交于点和点，点为的中点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线与直线，和轴分别交于点，，，当三个交点中的两点关于第三点对称时，直接写出的值． 79．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． (1)求线段所在直线的解析式及m的值； (2)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 80．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，． (1)求AB所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数． 81．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、． (1)嘉嘉说：点在直线上； 淇淇说：直线与直线交于点． 说法正确的是___________ A．嘉嘉    B．淇淇    C．两人说法都正确    D．两人说法都不正确 (2)若点、O关于点对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出的值； (4)直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 考点10 一次函数的图象平移问题 82．（2025八年级下·河北石家庄·期末）要使直线平移后过点，下列平移方法正确的是（  ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 83．（2025八年级下·河北沧州·期末）已知正比例函数的图象经过点，将的图象向上平移1个单位长度，图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 84．（2025八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 85．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 矩形的边，， 直线经过B、D两点．将直线平移，当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 86．（2025八年级下·河北邯郸·期末）将直线向下平移3个单位得到的直线经过点，则________． 87．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式． (2)将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 88．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)将向左平移，当边的中点落在这个一次函数的图象上时，求平移的距离． 89．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，直线经过点和点． 如图2，将直线沿轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点时，停止移动，设平移的时间为． (1)四边形的形状是___________； (2)①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出的取值范围． 90．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于、两点．直线的图象分别与轴，轴交于、两点，且C点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接．    (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，请直接写出整数的值为 考点10 一次函数与几何的综合问题 91．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点D的坐标为．其中正确的结论是（  ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 92．（2025八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，…在直线上，点，，，…在轴正半轴上，则点的坐标为______． 93．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1． (1)求直线的解析式． (2)点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②若，求线段的长． 94．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在等腰三角形中，，，点在边上运动（不与点，重合），连接，设，的面积为． (1)求底边上的高； (2)求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当的长度为4时，求出相应的的值． 95．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图1，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．以为对角线的作矩形，点坐标． (1)点的坐标为______； (2)若点在第二象限内，求的面积关于的函数表达式； (3)如图2，若点在坐标平面内．过点作，过点作，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 96．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图1和2，在菱形中，，，点E是线段上一动点，过点E作，交于点F，过点E作，交直线于点G，交直线于点H，设． (1)若，求的长，并指出点H与直线的位置关系； (2)若，求x的值； (3)如图2， ①尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点K，连接（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②用含x式子表示，并直接写出当时，点K运动路径的长． 97．（2025八年级下·河北保定·期末）综合与探究 问题情境：四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，点，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图1，E为的中点，直线l经过点E，与坐标轴交于点，N． ①点E的坐标为 ． ②直接利用（2）①中的结论，求直线l的函数解析式和点N的坐标． （3）如图2，P为线段上的一动点，过点P作直线轴，交于点Q．设，，直接写出n与m之间的函数关系式． 98．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 99．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形 的顶点A、C分别在y轴、 x轴的正半轴上，点 B的坐标为，直线的图象与边分别交于点 D、E， 并且满足， 点P 是线段上的一个动点． (1)直接写出点E的坐标 ；直线l的表达式 ； (2)若点P在 平分线上，则点 P 的坐标为 ； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P 的坐标； (4)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 100．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 试卷第2页，共110页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 一次函数 高频考点概览 考点01函数的自变量与函数值 考点02从函数图象获取信息 考点03函数图象的识别 考点04动点问题的函数图象 考点05一次函数的定义及应用 考点06一次函数的图象和性质 考点07一次函数与方程、不等式 考点08一次函数实际应用问题 考点09一次函数字母参数的确定问题 考点10一次函数的图象平移问题 考点11一次函数与几何的综合问题 考点01 函数的自变量与函数值 1．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）函数自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负． 【详解】解：函数中，分母不能为0，即； 二次根式的被开方数需满足，即， 因此，自变量的取值范围是， 故选：B． 2．（2025八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数中自变量的取值范围，分式有意义的条件． 直接根据分式有意义的条件作答即可． 【详解】解：根据分式有意义的条件可得：， ∴ 即自变量的取值范围是， 故选：C． 3．（2025八年级下·河北石家庄·期末）函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，二次根式有意义的条件解答即可． 本题考查了二次根式有意义条件，熟练掌握条件是解题的关键． 【详解】解：有意义， 故， 故， 故选：C. 4．（2025八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】依题意得 ∴ 故选：D． 【点睛】此题主要考查函数自变量的取值范围，解题的关键是熟知二次根式和分式有意义的条件． 5．（2025八年级下·河北张家口·期末）根据如图所示的程序计算函数的值，若输入的的值为4时，输出的的值为5，则输入的值为3时，输出的的值为（　　） A．-6 B．6 C．-3 D．3 【答案】A 【分析】当x＝4时，4＞3，代入y＝2x＋b求出b的值；当x＝3时，代入y＝bx+3即可得出答案． 【详解】解：当x＝4，时，代入y＝2x＋b得 ，解得， ∴当x＝3时，． 故选：A． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式和函数值的求解，读懂程序图是解题的关键． 6．（2025八年级下·河北石家庄·期末）根据如图所示程序计算函数值，若输入的x的值为，则输出的函数值为（   ） A．– B． C．1 D． 【答案】B 【详解】∵0<<2，∴y=x2．当x=时，y=（）2=， 故选B． 考点02 从函数图象获取信息 7．（2025八年级下·河北邯郸·期末）根据国家天然气价格形成机制的相关要求，某市居民用天然气价格已上调．调整后，居民每月用气费用元与每月用气量立方米之间的函数图象如图所示，其中段第一阶梯符合正比例函数模型，段第二阶梯符合一次函数模型，则下列说法不正确的是(    ) A．第一阶梯的单价是元/立方米 B．第二阶梯的单价是元/立方米 C．的值为 D．当月用气量为立方米时，费用为元 【答案】C 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，根据图象逐一判断即可，读懂题意，从图象中获取信息是解题的关键．A，B．分别根据图象计算即可；C．根据第二阶梯的单价列关于a的一元一次方程并求解即可；D．根据第二阶梯的单价计算即可． 【详解】解：第一阶梯的单价是(元/立方米)， ∴A正确，不符合题意； 第二阶梯的单价是(元/立方米)， ∴B正确，不符合题意； 根据图象，得， 解得， ∴C不正确，符合题意； 当月用气量为立方米时，费用为(元)， ∴D正确，不符合题意． 故选：C． 8．（2025八年级下·河北邯郸·期末）图1中的摩天轮可抽象成一个圆，小明在摩天轮上离地面的高度（单位：）与旋转时间（单位：）之间的关系如图2所示．下列结论不正确的是（    ） A．摩天轮转一圈需要 B．当时，小明离地的高度为 C．当小明离地时，摩天轮恰好转了 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了函数的图象，分别根据函数的定义以及图象的数据逐一判断即可． 【详解】解： A．摩天轮转一圈需要，说法正确，故本选项不符合题意； B．当时，小明离地的高度为，说法正确，故本选项不符合题意； C．当小明离地时，摩天轮不一定转了，原说法错误，故本选项符合题意； D．当时，随的增大而增大，说法正确，故本选项不符合题意． 故选：C． 9．（2025八年级下·河北邢台·期末）王芳同学为参加学校组织的科技知识竞赛，她周末到新华书店购买资料．如图，是王芳离家的距离与时间的函数图象．若黑点表示王芳家的位置，则王芳走的路线可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图知：在行驶的过程中，有一段路程到王芳家的距离都相等，可根据这个特点来判断符合题意的选项． 解：根据题意知：横坐标代表的是时间，纵坐标代表的是路程； 由图知：在前往新华书店的过程中，有一段路程到王芳家的距离不变，所以只有选项B符合题意； 故选B． 主要考查了函数图象的读图能力．能够根据函数的图象准确的把握住关键信息是解答此题的关键． 10．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，是一位病人某天时时体温随时间的变化情况，观察图象变化过程，回答下列问题： 如图是一位病人某天（0时时）体温的变化情况，观察图象变化 (1)在这个变化过程中，自变量是______； (2)这个病人该天最高体温是______，最低体温______； (3)若体温超过即为发烧，则这位病人发烧的总时长为______小时． 【答案】(1)时间 (2) (3) 【分析】本题考查了自变量、因变量的定义和函数的图象，正确的识别图象是解题的关键． （1）根据自变量、因变量的定义即可得出答案； （2）根据图象中的信息即可得到结论； （3）根据图象中的信息即可得到结论． 【详解】（1）解：根据图象可知：自变量是时间； 故答案为：时间； （2）解：根据图象可知：这个病人该天最高体温是，该天最低体温是； 故答案为： ； （3）解：根据图象可知：若体温超过即为发烧，则这位病人发烧时间段是4时∼14时． 则这位病人发烧时间为：（小时）， 故答案为： 11．（2025八年级下·河北石家庄·期末）小莉陪父母出去散步，从家走了一段时间后到达公园，小莉陪父母看了一会风景后，用了返回家．下图是关于小莉离家的路程和离家时间的函数图像． 请根据相关信息，回答下列问题： (1)公园离家的路程为________；小莉在公园停留的时间为________； (2)求小莉从家出发到公园的速度？ (3)小莉从公园返回家的途中，当她离开公园时，求x的值． 【答案】(1)900；10 (2) (3)35 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，正确读懂函数图象是解题的关键． （1）根据函数图象即可得到答案； （2）根据从家到公园的时间为，路程为即可求出对应的时间； （3）先根据速度等于路程除以速度求出从公园返回家的速度，进而求出她离开公园时需要的时间即可得到答案． 【详解】（1）解：由函数图象可得，公园离家的路程为，小莉在公园停留的时间为； 故答案为：900；10． （2）解：， 答：小莉从家出发到公园的速度为； （3）解：， ∴小莉从公园返回家的速度为， ∴． 12．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，反映的过程是小明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆读报，然后回家，其中表示时间，表示小明离家的距离，小明家、食堂，图书馆在同一直线上． (1)小明从家到食堂用的时间是__________分钟； (2)小明在食堂吃早餐用的时间是__________分钟； (3)食堂到图书馆的距离是__________千米； (4)小明读报用的时间是__________分钟； (5)图书馆离到小明家的距离是__________千米，小明从图书馆回家的平均速度是__________千米/分钟． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)， 【分析】本题考查了从函数的图像获取信息，观察图像，能把图像与实际问题结合起来是解题关键． （1）根据观察图像，可得从家到食堂所用的时间； （2）根据观察图像，可得在食堂吃早餐所用时间为第8分钟到25分钟； （3）根据观察图像，可得从食堂到图书馆的距离 （4）在图书馆读报所用时间为第28分钟到58分钟，即可求解； （5）根据路程与时间的关系，可得答案． 【详解】（1）解：观察图像得：小明从家到食堂用的时间是分钟； 故答案为：． （2）小明在食堂吃早餐用的时间是分钟； 故答案为：． （3）食堂到图书馆的距离是， 故答案为：． （4）小明读报用的时间是分钟 故答案为：． （5）图书馆离到小明家的距离是千米，小明从图书馆回家的平均速度是千米/分钟； 故答案为：． 考点03 函数图象的识别 13．（2025八年级下·河北保定·期末）如图是反映两个变量的关系图，下面的四个实际情况中，哪个比较适合这幅图？（　　） A．在罚球点上被踢出的球的速度与时间之间的关系 B．一杯开水放在桌上，它的水温与时间的关系 C．匀速行驶的汽车所走的路程与时间的关系 D．一架战斗机正以的速度匀速飞行，它飞行的速度与时间的关系 【答案】D 【分析】本题主要考查了两个变量的关系图，熟练掌握变量之间的关系是解题关键． 图像中有一个物理量始终保持不变，不会因为另一个量的变化而变化． 【详解】解：A.踢出的球的速度是随着时间的增加而减少的，故A不符合题意； B.开水的水温先是随时间的增加而减少的，最后保持不变，故B不符合题意； C.汽车在匀速行驶中，速度保持不变，即路程与时间成正比，故C不符合题意； D.匀速飞行的战斗机的速度始终保持不变，不会随时间的变化而变化，故D符合题意； 故选D． 14．（2025八年级下·河北张家口·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数定义;根据函数的定义，对任意的一个都存在唯一的与之对应可求． 【详解】解：根据函数的定义，对任意的一个都存在唯一的与之对应，而B、C、D都是一对多，只有A是对任意的一个都存在唯一的与之对应． 故选：A． 15．（2025八年级下·河北沧州·期末）下列图象中，表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的概念．根据在一个变化过程中有两个变量x与y，对于x的每一个确定的值，y都有唯一的值与其对应，那么就说y是x的函数，进行判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，可知B，C，D选项不能表示y是x的函数，A选项可以表示y是x的函数， 故选：A． 16．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在两个大小相同的玻璃瓶中分别装有质量相同且初始温度均为的豆浆和牛奶，同时浸入的热水中加热相同的时间，已知牛奶比豆浆的温度升高得慢，则上述实验的一段时间内，牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是（    ） A．   B．  C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象的识别，根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象． 【详解】解：根据豆浆和牛奶初始温度均为且牛奶比豆浆的温度升高得慢，即可得出牛奶和豆浆的温度随加热时间变化的图象是D． 故选：D． 17．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，挂在弹簧秤上的长方体铁块浸没在水中，提着弹簧匀速上移，直至铁块浮出水面停留在空中（不计空气阻力），弹簧秤的读数F（kg）与时间t（s）的函数图象大致是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【详解】解： 当长方体铁块浸没在水中这段的弹簧称的读数保持不变，当铁块进入空气中的过程中，弹簧称的读数逐渐增大，当铁块全部进入空气中，弹簧称的读数保持不变．根据弹簧称的读数保持不变﹣逐渐增大﹣保持不变．得出函数的图象．选项中C的图像与描述一致， 故选C． 【点睛】本题考查函数的概念及其图象． 考点04 动点问题的函数图象 18．（2025八年级下·河北邢台·期末）如图，在矩形中，，，点P沿路线运动，设点P的运动路程为x，的面积为y，则能大致刻画y与x之间的关系图象的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查动点有关函数图象问题，矩形的性质，分析在不同边上的面积变化情况即可求解． 【详解】解：由题得：当点在上时，不存在， 当点在上时，的面积随的增大而增大， 当点在上时，的面积等于矩形的一半，固定不变， 当点在上时，的面积随的增大而减小， 综上所述，只有D符合题意， 故选：D． 19．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，小亮同学每天早晨都要在小区后面的一个广场上锻炼身体．某天他绕着一个呈扇形轮廓的场地（如图）匀速跑步，下列函数图象能近似刻画小亮离出发点P的距离y与时间x之间关系的是（　　） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了函数随自变量的变化而变化的问题，能够结合图形正确分析距离y与时间x之间的大小变化关系，从而正确选择对应的图象． 当小亮在半径上运动时，离出发点距离越来越远；在弧上运动时，距离不变；在上运动时，越来越近． 【详解】解：如图所示： 当小亮在半径上运动时，离出发点距离越来越远； 在弧上运动时，距离不变； 在上运动时，越来越近． 故选：C． 20．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，在矩形中，，，点P从点A出发，沿边，匀速向终点C运动，连接，，E，F分别是，的中点．设，点P运动的路程为x，则y关于x的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了动点问题的函数图象．分点点P在边上即时和点P在边上即两种情况用三角形的面积公式求出y关于x的函数解析式即可． 【详解】解：当点P在边上即时，如图： ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴， ∴此时y是x的一次函数且图象呈上升趋势； 当点P在边上即，如图： ∵E，F分别是，的中点， ∴，点P到的距离为， ∴， 此时y与x的函数图象是平行于x轴的线段， 综上所述，y关于x的函数图象大致是C． 故选：C． 21．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图，已知的面积为8，点在边上从点向点运动（不含端点），设的面积为，的面积为，则关于的函数图象大致是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的面积公式、一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握平行四边形的面积公式是解题关键．过点作于点，先根据平行四边形的面积公式可得，从而可得的面积为4，再利用的面积减去的面积可得的值，然后根据求出的取值范围，最后根据一次函数的图象与性质即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， 的面积为8， ， 的面积为， ∵的面积为，的面积为， ， 点在边上从点向点运动（不含端点）， ，即， 解得， 则关于的函数图象大致是在内的一条线段，且随的增大而减小， 故选：B． 22．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在菱形中，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点时停止．在此过程中，的面积随着运动时间的函数图象如图所示，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作交于点，根据图象可得，当点运动到点时，面积最大，为，求出，根据当点运动到点时，停止运动，此时面积为，求出，再根据，即可． 【详解】解：设菱形的边长为：，过点作交于点， 由图可得，当点运动到点时，面积最大，为， ∴， 解得：； 当点运动到点时，停止运动，此时面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 23．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图1，在中，，，，是边上的一个动点，过点分别作于点，于点，连接．如图2所示的图象中，是该图象的最低点．下列四组变量中，与之间的对应关系可以用图2所示图象表示的是（   ） A．点与的距离为，点与的距离为 B．点与的距离为，点与的距离为 C．点与的距离为，点与的距离为 D．点与的距离为，点与的距离为 【答案】D 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，动点问题的函数图象，解题的关键是读懂图象． 先由勾股定理得到，如图所示，连接，过点作于，由等面积法得到，则；再证明四边形是矩形，得到；则当时，最小，即此时最小，即的最小值为；得到点与的距离为，点与的距离为，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，， ， 如图所示，连接，过点作于， ， ， ， ， ∴四边形是矩形， ， ∴当时，最小，即此时最小， ∴的最小值为， ∴由函数图象可知点D与E的距离为y，点P与B的距离为x， 故选：D． 24．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图①，在长方形中，动点从点出发，以相同的速度，沿方向运动到点处停止．设点运动的路程为，的面积为，如果变量与之间的关系如图②所示，则长方形的面积为_________． 【答案】15 【分析】图②中3≤x≤8时，点P在边BC上运动．矩形的面积=AB×BC． 【详解】解：从图象②和已知可知：AB=3，BC=8-3=5， 所以矩形ABCD的面积是3×5=15． 故答案为：15． 【点睛】本题侧重考查用图象表示变量间关系、实际问题中的函数关系所表示的函数图象的题目，从图象中得到信息是解决此题的关键． 考点05 一次函数的定义及应用 25．（2025八年级下·河北唐山·期末）若一个函数的自变量每变化一个单位，函数值随之变化两个单位，其解析式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查求函数值 ．（1） 当已知函数解析式时， 求函数值就是求代数式的值；（2） 函数值是唯一的， 而对应的自变量可以是多个 ．自变量每变化一个单位， 将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：自变量每变化一个单位，即将代入函数得：； 所以，函数值随之变化两个单位， 故选：B． 26．（2025八年级下·河北邢台·期末）下列函数：①y＝；②y＝－；③y＝3－x；④y＝3x2－2．其中是一次函数的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）的形式．一次函数解析式的结构特征：k≠0；自变量的次数为1；常数项b可以为任意实数． 【详解】解：由题可得，是一次函数的有：①y＝；③y＝3－x， ∴一次函数有2个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题时注意：一次函数解析式为y＝kx＋b（k≠0，k、b是常数）． 27．（2025八年级下·河北保定·期末）某兴趣小组成员要设计一个正方形棋盘，通过了解，该正方形棋盘板材的成本y（单位：元）与该正方形的边长x（单位：厘米）成正比．当时，．若该小组成员购买该种类板材的成本为24元，则其边长为（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查待定系数法求正比例函数解析式，理解题意求出正比例函数解析式是解题的关键． 先由题意设，用待定系数法求出k的值，再将代入解析式计算即可得到边长． 【详解】解：根据题意设， 当时，， ， ， 当时，，解得， 因此，边长为4厘米． 故选C． 28．（2025八年级下·河北石家庄·期末）下列说法中正确的有（   ） ①是正比例函数； ②如果是正比例函数，那么； ③如果与成正比例，那么是的正比例函数； ④如果，那么与成正比例． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】D 【分析】本题考查正比例函数的定义，一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，由此即可判断． 【详解】解：①当时，是正比例函数，原说法错误； ②如果是正比例函数，那么，原说法错误； ③如果与成正比例，那么不是的正比例函数，原说法错误； ④如果，那么与成正比例，说法正确． ∴正确的只有1个， 故选：D． 29．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知y与x+1成正比例，且x=1时，y=2.则x=-1时，y的值是______. 【答案】0 【分析】设y=k（x+1），把x=1，y=2代入，求的k，确定x，y的关系式，然后把x=-1，代入解析式求对应的函数值即可． 【详解】解：∵y与x+1成正比例， ∴设y=k（x+1）， ∵x=1时，y=2， ∴2=k×2，即k=1， 所以y=x+1． 则当x=-1时，y=-1+1=0． 故答案为0． 【点睛】本题考查了正比例函数关系式为：y=kx（k≠0）），只需一组对应量就可确定解析式．也考查了给定自变量会求对应的函数值． 30．（2025八年级下·河北邯郸·期末）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)x的值为 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征． （1）根据成正比例的定义，设，然后把，代入求出k，从而得到y与x的函数表达式； （2）利用（1）中的解析式，把代入求解即可． 【详解】（1）设， 把，代入得， 解得， ∴， 即y与x的函数表达式为； （2）当时，， 解得， 即x的值为． 31．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知y与成正比例，且当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若点在这个函数的图像上，求n的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据y与 成正比例，设y与x的函数表达式，然后将 ，代入求解即可； （2）将代入函数表达式中可得到关于n的一元一次方程，然后解一元一次方程求出n的值． 【详解】（1）解：由 与 成正比例可设： ， ； 将 ， 代入得： 解得： 与的函数解析式为： 整理得： （2）解：将点 代入中得： 解得： 【点睛】本题考查了正比例函数、待定系数法求一次函数的表达式、一次函数图像与函数关系式；其中熟练运用待定系数法求参数的值，是解决本题的关键． 考点06 一次函数的图象和性质 32．（2025八年级下·河北邢台·期末）已知正比例函数的图象经过第二、四象限，则k的值可以是（    ） A．2 B． C．1 D． 【答案】D 【分析】根据正比例函数图象的性质，当比例系数时，图象经过第二、第四象限，解答即可． 本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：正比例函数的图象是一条过原点的直线， 当时，图象经过第二、第四象限， ∴的值可以是， 故选：D． 33．（2025八年级下·河北廊坊·期末）关于正比例函数，下列结论正确的是（   ） A．函数图象过点 B．函数图象经过第二、四象限 C．随的增大而增大 D．不论为何值，总有 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的图象与性质．根据正比例函数的一般形式，当时，图象经过第二、四象限，且随的增大而减小．通过代入点坐标验证选项，结合函数性质逐一排除错误选项即可． 【详解】A．当时，，图象不经过点，错误； B．因，函数图象经过第二、四象限，正确； C．因，随的增大而减小，错误； D．当时，，此时不小于0，错误． 故选：B． 34．（2025八年级下·河北邢台·期末）将直线向下平移个单位长度，所得的图象恰好过点，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象平移的规律和解析式中参数的求解方法，解题关键是掌握平移规则．将直线向下平移个单位后，解析式变为，代入点即可求解． 【详解】解：将直线向下平移个单位后，得到， 平移后的图象经过点， ， 解得， 故选：C． 35．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）关于直线，以下说法正确的是（   ） A．直线经过第一、二、三象限 B．直线与x轴交点坐标为 C．直线向下平移3个单位长度得到的直线解析式为 D．将直线沿x轴翻折得直线 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移和翻折，根据一次函数的图象和性质，以及平移和翻折的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象过一，二，四象限，故选项A错误； 当时，，当时， ∴直线与x轴交点坐标为，与轴的交点坐标为，故选项B错误； 直线向下平移3个单位长度得到的直线解析式为，故选项C错误； 将直线沿x轴翻折，则翻折后的直线经过点，， 设翻折后的解析式为，把代入，得：， ∴将直线沿x轴翻折得直线，故选项D正确； 故选D． 36．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图，点，，，为平面直角坐标系中的四个点，一次函数（）的图象不可能经过（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数，解题关键是掌握一次函数的图象和性质：①当，若，则图象经过一、二、三象限；若，则图象经过一、三、四象限；②当时，若，则图象经过一、二、四象限；若，则图象经过二、三、四象限． 【详解】解：一次函数中，，， 一次函数函数的图象经过第一、二、三象限， 点在第四象限， 一次函数的图象不可能经过点． 故选：A． 37．（2025八年级下·河北保定·期末）下列图象中，以二元一次方程的解为坐标的点组成的图象，可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程的关系，一次函数图象与坐标轴交点，函数图象上点坐标为二元一次方程的解．根据坐标轴上点的坐标特征求出直线与坐标轴的交点坐标，然后根据所求的坐标对各选项进行判断． 【详解】解：当时，则， 解得：， ∴二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与y轴交， 当时，则， 解得：， ∴二元一次方程的解为坐标的点组成的图象与x轴交， 则二元一次方程的解为坐标的点组成的图象交x轴的负半轴，交y轴的负半轴， 故选：B 38．（2025八年级下·河北石家庄·期末）一次函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，掌握一次函数的系数和图象所经过的象限之间的关系是解题的关键． 根据一次函数的性质，直接判断即可． 【详解】解：对于一次函数， ∵，， ∴函数的图象经过第二、三、四象限． 故选：D． 39．（2025八年级下·河北石家庄·期末）下列有关一次函数的说法中，错误的是（   ） A．的值随着增大而减小 B．函数图象经过第一、三、四象限 C．函数图象与轴的交点坐标为 D．当时， 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，熟记相关结论是解题关键． 【详解】解：∵对于一次函数，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． ∴，随增大而减小，A正确； ∵对于一次函数，当时，图象必过一、三象限；当时，图象必过二、四象限；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限； ∴当时，函数图象经过第一、二、四象限，而非第一、三、四象限，B错误； 当时，，图象与轴交点为，C正确； ∵随增大而减小，且时， 故时，D正确； 故选：B． 40．（2025八年级下·河北邢台·期末）已知直线经过点，．若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的增减性．根据一次函数的增减性判断即可． 【详解】解：∵， ∴y随x增大而减小， ∵， ∴， 解得， 故选：A． 41．（2025八年级下·河北唐山·期末）已知关于的一次函数（），小莹给出了下面四个结论： ①该函数的图象经过点； ②当时，该函数图象不经过第三象限； ③当时，该函数图象与轴的交点在轴的正半轴上； ④当时，若点和在该函数图象上，则． 其中正确的是（   ） A．①② B．③④ C．②③ D．①④ 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，过象限的问题，与正半轴的交点问题． 逐一分析四个结论的正确性，结合一次函数的图象与性质进行判断． 【详解】解：结论①：将点代入函数， 得， ∴无论取何值（），均满足，故①正确； 结论②：当时，则， ∴， ∴函数图象经过第一、第三、第四象限，因此会经过第三象限，故②错误； 结论③：函数与轴交点为， 当时，若（如），则，交点在负半轴； 若，则，交点在正半轴， 结论③未限定的具体范围，故③错误； 结论④：当时，，随着的增大而减小， ∵点的值小于的值， ∴，故④正确， 综上，正确的结论为①④， 故选：D． 42．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知点和点是一次函数图象上的两点，则a与b的大小关系是______． 【答案】 【分析】由，可得该函数中y随着x的增大而减小，由此可判断a与b的大小关系．本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中， ∴该函数中y随着x的增大而减小， ∵， ∴． 故答案为：． 43．（2025八年级下·河北保定·期末）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是______． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 44．（2025八年级下·河北沧州·期末）定义：对于给定的两个函数，当时，它们对应函数值相等；当时，它们对应的函数值互为相反数，我们称这样的两个函数互为相关函数．例如：正比例函数，它的相关函数为．已知正比例函数，若点在这个函数的相关函数的图象上，则n的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了正比例函数的图象，以及图象上点的坐标特征，正确理解新定义是解题的关键． 根据相关函数的定义求出正比例函数的相关函数为，再分类讨论：当、时，分别把点代入相应的函数求解即可． 【详解】解：由题意可得，正比例函数的相关函数为， ∵点在这个函数的相关函数的图象上， 当时，把点代入得，， ∴， 当时，把点代入得，， ∴， ∴或． 故答案为：或． 45．（2025八年级下·河北邢台·期末）在平面直角坐标系中，点在直线上． (1)求该直线的函数解析式，并在图中画出该直线； (2)若，求x的取值范围． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，画一次函数的图象，求不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入，得，再在平面直角坐标系描出点，，再连接，结合两点确定一条直线，即可作答． （2）根据，，得，解得，即可作答． 【详解】（1）解：把代入，得， 解得， 令，则， 经过点 在平面直角坐标系上找到点，，再连接，如图所示： （2）由（1）得， ， ， ． 46．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点B． (1)求点A，B的坐标； (2)求的长及点O到直线l的距离； (3)将直线l向下平移20个单位长度得到直线，直接写出l与之间的距离． 【答案】(1)， (2)， (3)12 【分析】此题考查了一次函数与坐标轴的交点，勾股定理，一次函数图象与几何变换，正确把握变换规律是解题关键． （1）令和时，代入解析式得出坐标即可； （2）利用勾股定理求得，然后利用三角形面积公式即可求得点O到直线l的距离； （3）根据三角形面积公式即可得到结论． 【详解】（1）直线l：与x轴交于点A，与y轴交于点B， 将代入，得到：， ∴， 将代入，得到， 解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， 设点O到直线l的距离为h，则， ∴， ∴， ∴点O到直线l的距离为；； （3）如图，过O作于C，反向延长交于D， 将直线l向下平移20个单位长度得到直线， ∴直线为，， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴直线l与之间的距离为12． 考点07 一次函数与方程、不等式 47．（2025八年级下·河北石家庄·期末）数形结合是我们解决数学问题常用的思想方法．如图，一次函数与（，为常数，）的图象相交于点，则不等式的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，直接根据一次函数的图象即可得出的取值范围，然后在数轴上表示即可，能利用数形结合求出不等式的解集是解题的关键． 【详解】解：由一次函数的图象可知，当时，一次函数的图象在一次函数的图象下方， ∴不等式的解集是， 在数轴上表示的解集为 ， 故选：． 48．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，直线与的交点的横坐标为，则关于x的不等式的整数解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式之间的关系，求一次函数与x轴的交点坐标，可求出直线与x轴的交点坐标为，再根据函数图象可得原不等式的解集为，据此可得答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴直线与x轴的交点坐标为， ∵直线与的交点的横坐标为， ∴关于x的不等式的解集为， ∴关于x的不等式的整数解为， 故选；D． 49．（2025八年级下·河北保定·期末）已知不等式的解是，下列有可能是函数的图像的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系．由不等式的解是可得直线与x轴交点为且y随x增大而减小，进而求解． 【详解】解：∵不等式的解是， ∴直线与x轴交点为且y随x增大而减小， 故选：D． 50．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，直线与直线交于点，下列结论错误的是（    ） A．， B．关于的方程的解为 C．关于的不等式的解集为 D．直线上有两点，，若时，则 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式．A、C、D根据函数图象直接作出判断即可；B、交点P的横坐标就是关于x的方程的解． 【详解】解：A、∵直线经过一、二、四象限， ∴，，故A正确； B、∵直线与直线交于点P，点P的横坐标为3， ∴关于x的方程的解为，故B正确； C、根据函数图象得到：关于x的不等式的解集为，故C错误； D、根据函数图象得到：直线上，y随x的增大而增大， ∵直线上有两点，，， ∴．故D正确； 故选：C． 51．（2025八年级下·河北石家庄·期末）已知直线与直线交于点，点的横坐标为．现有如下结论： ①；②；③不等式的解集为； ④不等式的解集为． 其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据直线与直线交于点的横坐标为，得，求解后可判断①；根据，，得，可判断②；根据图象知：当时，直线在直线的上方，可得不等式的解集，可判断③；确定直线的解析式，再确定直线与轴交点的横坐标，可判断④． 【详解】解：∵直线与直线交于点，点的横坐标为， ∴， 解得：，故①正确； ∵，， ∴，故②不正确； ∵直线与直线交于点，点的横坐标为， ∴当时，直线在直线的上方， ∴不等式的解集为，故③正确； ∵， ∴直线的解析式为， 当时，得：，解得：， 当时，直线在轴的上方， ∴不等式的解集为，故④正确； 综上所述，正确结论的个数为． 故选：C． 【点睛】本题是一次函数的交点问题，考查了待定系数法确定函数解析式，两直线交点的坐标满足两直线的解析式，利用函数图象解不等式，一次函数与轴的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 52．（2025八年级下·河北廊坊·期末）一次函数与交于点，则关于的方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的交点问题，一次函数和一元一次方程的解的关键，解题的关键是掌握两条一次函数图象的交点的横坐标即为联立解析式得到对应方程的解，据此即可解答． 【详解】∵一次函数与交于点， ∴把代入得：， 解得：， ∴关于的方程的解为， 故选：A． 53．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，直线与直线相交于点，则下列说法正确的是（   ） A．， B．， C．不等式的解集是 D．方程的解是 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与不等式和二元一次方程组的关系，根据函数图象，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵直线经过第一、二、三象限， ∴，，故A错误； ∵直线经过第一、二、三象限， ∴，，故B错误； ∵直线与直线相交于点， 根据函数图象可得不等式的解集是，故C错误 ∴方程的解是，故D正确， 故选：D． 54．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则关于x，y的方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的知识．易知方程组的解即为直线和的交点坐标，由此可求得答案． 【详解】解：方程组的解即为直线和的交点坐标， ∵直线和相交于点， ∴方程组的解为：， 故选：D． 55．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图是某台阶的一部分，每一级台阶的长度和高度之比为，且各级台阶的长度和高度分别相等，在平面直角坐标系中，点的坐标是．有下列说法： 甲：同时经过点，，，，的直线的解析式为 乙：若直线使得～这些点分布在它的两侧，每侧各个点，则的取值范围为 关于甲、乙的说法，下列判断正确的是(   ) A．只有甲的正确 B．只有乙的正确 C．甲，乙的都不正确 D．甲，乙的都正确 【答案】D 【分析】此题考查了一次函数的图象和性质，读懂题意正确求出函数解析式是解题的关键． 先求出，、、，再利用待定系数法求出直线的解析式，再验证、、在直线上，即可判断甲；分别求出直线和直线的解析式，结合图象即可判断乙． 【详解】解：如图， 点的坐标是， ，， 每一级台阶的长度和高度之比为， ， ， ， 由题意可知，， 按照得到点的坐标的方法，可得到点、、， 把，代入中得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时， 当时， 当时， 即点、、都在直线上， 即同时经过点，，，，的直线的解析式为； 故甲正确； 如图，设直线的解析式为则，解得，即直线的解析式为； 设直线的解析式为则，解得，即直线的解析式为； 结合图象可知，若点，，，，，平均分布在直线的两侧，则的取值范围，故乙正确， 故选：D． 56．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）如图，关于x的不等式的解集为_________． 【答案】 【分析】题目主要考查一次函数交点确定不等式的解集，理解题意，结合图象求解即可． 结合函数图象求解即可． 【详解】解：由图象得：当时，， 当时，， ∴当时， 由图象得， 故答案为：． 57．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，直线与交点的横坐标为1，则关于x，y的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【分析】此题主要考查了二元一次去方程组与一次函数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 首先利用待定系数法求出两直线交点的纵坐标，进而可得到两直线的交点坐标，再根据两函数图象的交点就是两函数组成的二元一次去方程组的解可得答案． 【详解】解：∵直线与交点的横坐标为1， ∴纵坐标为， ∴两直线交点坐标， ∴x，y的方程组的解为， 故答案为：． 考点08 一次函数实际应用问题 58．（2025八年级下·河北石家庄·期末）地表以下岩层的温度（）与所处深度（）有如下关系： 深度 1 2 3 4 5 … 温度 55 90 125 160 195 … 若地表以下岩层的温度是，估计该岩层所处的深度是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了函数的表示方法，正确得出函数解析式是解题关键．利用根据题意得出函数解析式，进而得出x的值即可． 【详解】解：观察表格发现：深度没增加，温度增加， 则深度与温度呈一次函数关系， 设， 则， 解得， ∴， 当时， 解得， 即估计该岩层所处的深度是， 故选：D． 59．（2025八年级下·河北石家庄·期末）虹吸原理描述了液体在两个具有高度差的容器之间，通过充满液体的倒U形管自动流动的过程．如图1，是利用虹吸原理从甲容器向乙容器注水的示意图，已知甲、乙容器完全相同，开始时甲容器液面高．设甲容器中的液面高为（单位：），乙容器中的液面高为（单位：），小明绘制了，关于时间x（单位：s）的函数图象，如图2所示，当甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，x的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的应用解一元一次方程，能理解题意，并从图象中获取准确信息是解答的关键．利用待定系数法求得，再利用甲容器向乙容器注水，始终有，求得，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：当时，， ∵开始时甲容器液面高， ∴， ∴设， 又∵时，， ∴，解得， ∴， ∵甲容器向乙容器注水，始终有， ∴， ∴甲容器中的液面比乙容器中的液面低时，即， ∴， 解得， 故答案为：． 60．（2025八年级下·河北邢台·期末）某高校网球俱乐部举办网球比赛，总费用y（元）包括两部分：一部分是租用比赛场地所需的固定不变的费用800元，另一部分耗材费用与参赛人数x（人）成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数解析式； (2)若该次比赛的费用为2400元，求有多少名运动员参加了比赛？ (3)该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润＝收入－比赛的费用）．若，求W的最大值． 【答案】(1) (2)40名 (3)最大值为2800 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，一次函数的图象性质，一次函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依题意，把，代入求解即可； （2）直接把代入求解即可； （3）根据一次函数的性质结合求解即可． 【详解】（1）解：依题意，设 把，代入， 得， 解得， ∴； （2）解：∵该次比赛的费用为2400元，且由（1）得 把代入，得， 解得， 即该次比赛的费用为2400元，有名运动员参加了比赛； （3）解：∵该网球俱乐部将比赛门票进行售卖，并获得收入元，设利润为W元（利润=收入-比赛的费用）． ∴， ∵， ∴随之的增大而增大， ∵， ∴把代入，得， ∴W的最大值为． 61．（2025八年级下·河北石家庄·期末）【问题背景】垃圾分类，人人有责，为响应国家号召推进垃圾分类工作，某小区物业在小区内引入了智能回收机供居民使用，为实现小区垃圾分类收益最优化，物业积极筹划． 背景 小区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨，收益如下： ①处理可回收垃圾：每吨收益50元（如废纸、塑料瓶）； ②处理厨余垃圾：每吨收益30元（如剩饭剩菜）； 环保 约束 ①可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍（避免积压）； ②厨余垃圾每天至少处理4吨（防止腐败，保障社区卫生）． 【问题建构】设每日处理可回收垃圾x吨，厨余垃圾y吨，此时总收益为W元． （1）用含x的代数式表示y，则 ；并写出总收益 W（元）关于x的函数关系式； 【问题探究】（2）求满足所有条件的自变量x的取值范围； 【优化决策】（3）为使每日净收益W最大，物业应如何分配两类垃圾的处理量？此时最大收益是多少？ 【答案】（1）；；（2）；（3）处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 【分析】本题考查列代数式，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，正确列出方程和一次函数解析式是解题的关键． （1）根据区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨可得；然后根据处理可回收垃圾：每吨收益50元，处理厨余垃圾：每吨收益30元可表示出W； （2）根据可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨列不等式组求解即可； （3）根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）∵区每日需处理可回收垃圾和厨余垃圾共15 吨， ∴； ∵处理可回收垃圾：每吨收益50元，处理厨余垃圾：每吨收益30元 ∴； （2）∵可回收垃圾量不超过厨余垃圾的2倍，厨余垃圾每天至少处理4吨 ∴ 解得； （3）∵， ∴W随x的增大而增大 ∴当时，W有最大值，最大值为 ∴ ∴处理可回收垃圾10吨，厨余垃圾5吨，最大收益650元． 62．（2025八年级下·河北廊坊·期末）数学活动课上，老师如下定义了匀速变化的函数： 设y是x的函数，，是自变量x取值范围内的两个值，当x由变化到，对应的y值由变化到，我们称比值为y在与之间的平均变化速度，当y在自变量x取值范围内任意两值之间的平均变化速度是同一个数时，我们称y为x的匀速变化的函数． 【活动一】 （1）判断：一次函数______匀速变化的函数（“是”或“不是”）； （2）试说明一次函数是匀速变化函数； 一次函数是匀速变化的函数，事实上，匀速变化的函数是一次函数，因此，如果知道一个函数是匀速变化的，那么这个函数就是一次函数，我们就可以用待定系数法求这个一次函数的表达式． 【活动二】 （3）运用活动一的结论，解决下列问题： 表示气温时，大多数国家都使用摄氏温度，少数国家用华氏温度．两种计量单位之间有如下的对应关系： 摄氏C（℃） 0 10 20 30 40 50 华氏F（℉） 32 50 68 86 104 122 求华氏温度F关于摄氏温度C的函数关系式，多少摄氏度时两种计量方式的数值相等？ 【答案】（1）是；（2）见解析；（3），摄氏度 【分析】本题考查一次函数的应用，正确理解题意是解题的关键： （1）设，是自变量x的两个值，对应的，​．根据题意代入即可得出答案； （2）设，​是自变量x取值范围内的两个值，对应的函数值，．根据题意代入即可得出结论； （3）设．把，和，代入得：，求解即可得出答案；令，即，解得即可得出答案． 【详解】（1）设，是自变量x的两个值，对应的，​． 平均变化速度（定值），所以一次函数是匀变速变化的函数． 故答案为：是； （2）设，​是自变量x取值范围内的两个值，对应的函数值，． 则平均变化速度（k为定值，因为），所以一次函数（）是匀变速变化函数． （3）解：设． 把，和，代入得：， 解得：， 所以F关于C的函数关系式为． 令，即， 解得． 所以华氏温度F关于摄氏温度C的函数关系式是，摄氏度时两种计量方式的数值相等 63．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，甲容器已装满水，高为20厘米的乙容器装有一定高度的水，由甲容器向乙容器注水，单位时间注水量一定，设注水时间为（分），甲容器水面高为，乙容器水面高度为，其中与成正比例，且当时，；与成一次函数关系，部分对应值如下表： （分） 3 5 8 12 (1)分别写出与与的函数关系式，并求出未注水时乙容器原有水的高度； (2)当两个容器水面高度相同时，这个高度称为平衡高度，求甲、乙两个容器的平衡高度； (3)当甲容器的水完全注入乙容器时，乙容器是否注满？是，说明理由；不是，需调整乙容器原有水的高度，求符合条件的乙容器原有水的高度． 【答案】(1)，，未注水时乙容器原有水的高度为 (2)两个容器的平衡高度为 (3)不是， 【分析】本题考查一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法、函数相关知识是解题的关键． （1）根据与t成正比例，与t成一次函数关系，可设出对应的函数关系式，代入已知条件，即可求出未知数，得到函数关系式，当时，求出的即为乙容器原有水的高度． （2）当时，可解出此时的t，再代入解析式，即可求得，即为两容器的平衡高度． （3）当甲容器的水完全注入乙容器时，即，可求得此时的t，将t代入的关系式，即可求得乙容器原有水的高度． 【详解】（1）解：∵与t成正比例， ∴设，当时，，代入得，解得， ∴与t的函数关系式为：． ∵与t成一次函数关系， ∴设，当时，，当时，，代入关系式， 有，解得， ∴与t的函数关系式为：． 当时，，未注水时乙容器原有水的高度为． （2）解：当时，即．解得．此时的平衡高度为． ∴两个容器的平衡高度为． （3）解：不是，理由如下： 设乙容器原有水的高度为，． 当甲容器的水完全注入乙容器时，，即，解得， 将代入中，解得． ∴符合条件的乙容器原有水的高度为． 64．（2025八年级下·河北保定·期末）中国快递越来越“科技范儿”，分拣机器人、大数据AI调度等智能装备系统让快递“跑”得更快．某分拣仓库自采用智能分拣系统后，仓库分拣快递的能力得到了很大提升．该仓库主要使用A，B两种不同型号的分拣机器人，已知A型机器人每分钟分拣快递的数量是B型机器人每分钟分拣数量的倍，且A型机器人分拣900件快递所用时间比B型机器人分拣800件所用时间少2分钟． (1)问A型机器人每分钟分拣快递多少件？ (2)已知每台A型机器人售价3万元，每台B型机器人售价2万元，该分拣仓库计划再采购A，B两种型号的机器人共50台，且必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件，请根据以上要求，求出采购A种型号的机器人多少台时，所需费用最低？最低费用是多少？ 【答案】(1)A型号的机器人每分钟分拣快递150件 (2)该分拣仓库购进30台A型号的机器人时费用最低，所需最低费用为130万元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，一次函数应用等知识点，审清题意、正确求得分式方程和一次函数解析式成为解题的关键． （1）设B型机器人每分钟分拣快递x件，则A型机器人每分钟分拣快递件．然后根据题意列分式方程求解即可； （2）设购买m个A型号机器人，所需费用为w万元．先根据“必须要保证这50台机器人每分钟分拣快递的总数量不少于6500件”列不等式求得m的取值范围，然后再列出一次函数解析式并运用一次函数的性质求最值即可解答． 【详解】（1）解：设B型机器人每分钟分拣快递x件，则A型机器人每分钟分拣快递件． 依题意得：，解得：， 经检验，是原方程的根，且符合题意， 则（件）． 答：A型号的机器人每分钟分拣快递150件． （2）解：设购买m个A型号机器人，所需费用为w万元． 依题意得： 解得：， 又∵． ，， 随m的增大而增大， 当时，W取最小值，此时（万元）． ∴该分拣仓库购进30台A型号的机器人时费用最低，所需最低费用为130万元． 65．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点，某公司计划购买、两种机器人进行销售．已知购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元． (1)求购买一个种机器人、一个种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过万元再购进第二批、两种机器人共个，且种机器人数量不超过种机器人数量的倍．据市场销售分析，当种机器人提价，种机器售价为购买价的倍时，销售状况最好，若按此销售方案将第二批机器人全部销售完，怎样安排购进方案可以使获得的利润最大，求出最大利润及对应的购进方案． 【答案】(1)种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； (2)安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用． 设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元，根据购买个种机器人和个种机器人共需万元，购买个种机器人和个种机器人共需万元，可列二元一次方程组，解方程组可得两种机器人的单价； 的售价为：万元，的售价为：万元，设购买的数量为个，则的数量为个，根据总费用不超过万元，共购买个机器人，可列不等式组，解不等式组求出的取值范围即可． 【详解】（1）解：设种机器人的价格为万元，则种机器人的价格为万元， 根据题意可得：， 解得：， 答：种机器人的价格为万元，种机器人的价格为万元； （2）解：由题意可得：的售价为：万元，的售价为：万元， 设购买的数量为个，则的数量为个， 由题意可得：， 解得： ， 利润， 利润随着m的增大而减小， 把代入可得， 最大利润为：万，此时购进了种机器人个，种机器人个． 答：安排购进了种机器人个，种机器人个时最大利润为万元． 66．（2025八年级下·河北廊坊·期末）我市某镇组织20辆汽车装运完A、B、C三种脐橙共100吨到外地销售．按计划，20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种脐橙．且必须装满，根据下表组织的信息，解答以下问题． 脐橙品种 A B C 每辆汽车运载量（吨） 6 5 4 每吨脐橙获利（元） 1200 1600 1000 (1)设装运A种脐橙的车辆数为x辆，装运B种脐橙的车辆数为y辆，请填写下表，并求出y与x的函数表达式： 脐橙品种 A B C 装运车辆 x辆 y辆 _______辆 装运吨数 6x吨 5y吨 _______吨 (2)如果装运每种脐橙的车辆数都不少于4，那么车辆的安排方案有几种？ (3)若要使此次销售获利最大，应采用哪种安排方案？并求出此时最大利润的值． 【答案】(1)；； (2)安排方案共有种 (3)当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车，销售获利最大，最大利润为元 【分析】本题主要考查了列代数式，列一次函数解析式，不等式组的应用，一次函数的应用，解题的关键是理解题意，根据题意列出函数解析式． （1）根据题意列出列代数式，然后根据运完A、B、C三种脐橙共100吨，列出等式即可； （2）根据每种脐橙的车辆数都不少于4列出不等式组，解不等式组即可； （3）设利润为W元，根据表格中利润关系，列出关系式，然后根据一次函数增减性，进行判定即可． 【详解】（1）解：设装运A种脐橙的车辆数为x辆，装运B种脐橙的车辆数为y辆，则装运C种脐橙的车辆数为辆，可以运C种脐橙吨，根据题意， ∴，                                    整理得． （2）解：由（1）知，装运A，B，C三种脐橙的车辆数分别为x辆，辆，（辆）， 由题意得：， 解得：， ∵x为整数， ∴x的值为，，，，，                    ∴安排方案共有种． （3）解：设利润为W元， ∴ ， 因为，且x的值为，，，，， ∴W的值随x的增大而减小， ∴当时，销售利润最大． 当装运A种脐橙4车，B种脐橙12车，C种脐橙4车，销售获利最大． 最大利润（元）． 67．（2025八年级下·河北石家庄·期末）石家庄外国语学校快乐园餐厅有两样热卖单品——米线和面条．随着天气越来越炎热，米线与面条销量下降．为应对炎热天气销售总额下降的问题，6月份快乐园餐厅采取了以下措施： 对米线进行降价出售 将面条换成凉面出售 当按照元/份出售时，估计每天只能售出份，售价每降价元，就能多售出份 凉面定价元/碗．售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间为一次函数关系，其中两组数据如表所示（，且为整数）： 元/碗 碗 (1)请求出每天米线售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系；每天凉面售出的数量（碗）与每碗定价（元）之间的关系； (2)求每碗米线定价（为正整数）为多少元时，才能使得米线日销售额达到630； (3)经过核算，一碗米线与一碗凉面的定价和为16元时，比较合理． ①请求出每碗凉面的定价为多少元时，当天米线和凉面销售总量最多，为多少碗； ②直接写出当凉面定价__________元/碗时，能使当天米线和凉面销售总额达到1680元． 【答案】(1)； (2)9元 (3)①每碗凉面的定价为10元时，当天米线、凉面销售总量最多，为270碗；②8 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意列出，待定系数法求得； （2）根据题意得，解一元二次方程，即可求解． （3）①根据题意得出，设米线和凉面销售总量为，则，根据一次函数的性质，即可求解； ②根据销量乘以定价，列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： 设 当时，，当时， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意， 解得：， ∵为整数， ∴，即每碗米线定价元 （3）解：①∵，即 设米线和凉面销售总量为，则 ∵ 随的增大而增大 又∵ ∴当取得最大值时，最大值为 ∴每碗凉面的定价为元时，当天米线和凉面销售总量最多，为碗； ②依题意， 解得：或（舍去） 故答案为：． 68．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知A、B两地相距，甲、乙两人沿同一条路线从A地到B地，甲先出发，匀速步行，甲出发1小时后乙再出发，乙以的速度匀速步行1小时后为提高速度，改为跑步并继续保持匀速前进，结果比甲提前到达．甲、乙两人离开A地的距离与甲出发的时间的关系如图所示． (1)甲的运动速度是______；乙在至之间的速度是_____； (2)求乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式． (3)求甲、乙二人相遇的时间． 【答案】(1)4；9 (2) (3) 【分析】本题考查了一次函数的应用——行程问题，解决问题的关键是熟练掌握路程与速度和时间的关系，函数图象表示的路程和时间的数据信息． （1）根据函数图象可知甲5小时匀速行驶了20千米，得到其速度为；根据乙以的速度匀速行驶1小时，得到其行驶的路程为2千米，根据乙从第2小时到第4小时行驶的路程从2千米到20千米，得到其速度为； （2）乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式为，由（1）可得：函数过，，再进一步求解即可； （3）根据函数图象，先求出甲离开A地的距离与时间函数关系式与乙提速后离开A地的距离与时间的函数关系式，然后求出它们的交点，即可求出相遇的时间． 【详解】（1）解：根据图象可知甲的运动速度为：， 乙以的速度匀速行驶1小时的路程为：， 乙在至之间的速度为：； 故答案为：4；9； （2）设乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：， 由（1）可得：函数过，， ∴，解得：， ∴乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； （3）由（2）知乙提速后离开A地的距离与时间函数关系式为：； 设甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 由图象可知：函数关系式经过， ∴，解得, ∴甲离开A地的距离与时间函数关系式：， 联立：，解得：， ∴时，甲、乙二人相遇． 69．（2025八年级下·河北张家口·期末）某景区的同一线路上依次有A，B，C三个景点（如图1）．小兴从A景点出发，步行3500米去C景点，共用时50分钟；同时，桐桐以每分钟60米的速度从B景点出发，步行1500米到达A景点，休息10分钟后，桐桐改成骑电动车去C景点，结果桐桐比小兴早5分钟到达C景点．两人行走时均为匀速运动，设小兴步行的时间为t（分），两人各自距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数图象如图2所示． (1)求m的值，并说出m的实际意义； (2)求桐桐骑车时距A景点的路程s（米）与t（分）之间的函数解析式（不必写出t的取值范围）； (3)请求出两人在途中相遇时的时间t（分）的值． 【答案】(1)，表示桐桐从地步行到地所用的时间 (2) (3)或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）利用路程除以时间求出的值，根据点的位置，确定m的实际意义即可； （2）设出解析式，利用待定系数法求出函数解析式即可； （3）分桐桐往景点走，以及骑车往景点两部分，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 由题意和图象可知：m表示桐桐从B地步行到A地所用的时间； （2）设， 由题意，图象经过点，即， 则：，解得：， ∴； （3）由图象可知：小兴的步行速度为：，由（2）可知：桐桐骑车速度为：， 当时，； 当时，，解得：； 综上：或． 70．（2025八年级下·河北邢台·期末）随着人工智能的发展，智能机器人警察已经陆续出现、图1是机器人警官安安和麦克，他们从街头A处出发，准备前往相距450米的B处（A，B在同一直线上）巡逻，安安警官比麦克警官先出发，且速度保持不变，麦克警官出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．已知安安警官、麦克警官行走的路程（米），（米）与安安警官行走的时间x（秒）之间的函数关系图象如图2所示． (1)如图2，折线①表示______警官行走的路程与时间的函数图象（填“安安”或“麦克”）； (2)求麦克警官提速后的速度，并求m，n的值； (3)求折线①中线段所在直线的函数解析式； (4)请直接写出安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长． 【答案】(1)麦克 (2)米/秒，； (3) (4)秒 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，一次函数的应用，一元一次方程的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）根据题意结合图象分析即可得解； （2）先求出麦克提速前速度，从而即可得出提速后速度，计算得出段经过的时间，即可得解； （3）利用待定系数法计算即可得解； （4）由题意得线段所在直线的函数解析式为，再分情况列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：折线①表示麦克警官行走的路程与时间的函数图象； （2）解：由题意可得：麦克提速前速度为（米／秒）， 提速后速度为（米／秒）． 段经过的时间为（秒）， ； 安安警官的速度为（米／秒）， ； （3）解：由题意得点，点． 设线段所在直线的函数解析式为， 将点E，F的坐标分别代入函数解析式中可得：， 解得， 即线段所在直线的函数解析式为； （4）解：安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为36秒． 由题意得线段所在直线的函数解析式为， 当时，，当时，． 当安安警官出发，而麦克警官未出发，安安在麦克前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官前方120米时，， 解得； 当安安警官在麦克警官后方120米时，， 解得； 当麦克警官到达处，安安警官距处120米时，， 解得． 安安警官和麦克警官之间的距离不超过120米的时长为（秒）． 考点09 一次函数字母参数的确定问题 71．（2025八年级下·河北邯郸·期末）一次函数（k、b为常数，且）的图象经过、、三点，则m的值为（   ） A．0 B． C．8 D．4 【答案】A 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，把、代入求出k，b的值，得出解析式，再把代入即可求解． 【详解】解：把、代入，得 ， 解得， ∴， 代入，得 ， 故选A． 72．（2025八年级下·河北邢台·期末）我们知道横、纵坐标都为整数的点叫做整点．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．从点处发出光线照射到线段上，光线将段分成了两部分．若这两部分上的整点个数相同，则k的取值范围是______． 【答案】 【分析】确定线段解析式，且，确定整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同，故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得，符合题意的直线在此时直线的右侧，故；当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故；解答即可． 本题考查了待定系数法，整点，熟练掌握待定系数法，整点的意义是解题的关键． 【详解】解：设的解析式为，由点A，B的坐标分别为， 得， 解得， 故解析式为，且， 故整点有，，，，，，，，共有8个， 由这两部分上的整点个数相同， 故一边各有4个整点，其中点，是临界点， 当直线经过点时，得，解得， 符合题意的直线在此时直线的右侧，故； 当直线经过点时，得，解得， 此时符合题意的直线在此时直线的左侧，故； 综上所述，符合题意的k的取值范围是． 故答案为：． 73．（2025八年级下·河北邢台·期末）如图，一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A，B两点，正比例函数的图象与交于点．一次函数的图象为，且，，可以围成三角形，那么k的取值范围是_______． 【答案】且且且 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三条直线能够围成三角形的条件，一元一次方程．利用了数形结合及分类讨论的思想． 先求得C的坐标，然后讨论不能围成三角形时分三种情况：①l3经过点C时，；②平行时，；③l1，l3平行时， ；进而得出可以围成三角形时k的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图象过点， ∴， 解得m， ∴ 一次函数的图象为，如果不能围成三角形，那么可分三种情况： ①经过点时，，解得， ②平行时， ， ③平行时，， 又是一次函数，所以． 故可以围成三角形时，k的取值范围是且且且． 故答案为：且且且． 74．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，有一个由六个边长为1的正方形组成的图案，其中点，．若过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分，则直线l的函数解析式为______． 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求解析式，图形面积， 如图，连接中间两个小正方形构成的长方形的对角线，则经过对角线交点的直线把此长方形分成面积相等的两部分，可知此直线也把整个图形分成面积相等的两部分，根据点A，B的坐标可得C的坐标，再根据待定系数法可求直线的函数解析式． 【详解】解：如图，∵， ∴C的坐标为． ∵过原点的直线l将这个图案分成面积相等的两部分 ∴直线l经过点C． 设直线l的函数解析式为， ∴， 解得， ∴直线l的函数解析式为， 故答案为：． 75．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，线段两个端点的坐标分别为，为线段的中点，直线的解析式为． (1)当直线与直线平行，且经过点时，求直线的解析式 (2)当直线经过点，且与线段有交点时，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据平行得到，待定系数法求出函数解析式即可； （2）把代入函数解析式，得到直线的解析式，可将直线看作绕点旋转的一条直线，根据直线与线段有交点，求出直线经过点时和直线经过点时的值，即可得出结果． 【详解】（1）解：直线的解析式为，且直线与直线平行， ∴． ∴直线的解析式为． ∵， ∴线段的中点的坐标为． 把代入，得，解得， 直线的解析式为． （2）把代入直线的解析式，得， 直线的解析式，可将直线看作绕点旋转的一条直线． 当直线经过点时，有，解得， 当直线经过点时，有，解得， ∴若直线与线段有交点，则的取值范围为． 76．（2025八年级下·河北沧州·期末）已知函数． (1)若这个函数经过原点，求m的值． (2)若函数的图象平行于直线，求m的值； (3)若这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据这个函数经过原点，则满足函数，代入解析式计算即可． （2）根据函数的图象平行于直线，得，求m的值即可； （3）根据这个函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限，得到，求m的取值范围即可． 本题考查了图象过点，一次函数图象的平行条件，一次函数图象的分布，熟练掌握平行条件，图象分布的条件是解题的关键． 【详解】（1）∵关于x的函数的图象经过原点， ∴点满足函数的解析式， ∴， 解得． （2）∵函数的图象平行于直线， ∴， ∴； （3）函数是一次函数，且图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴m的取值范围是． 77．（2025八年级下·河北石家庄·期末）平面直角坐标系中，有一动点，线段的端点为，． (1)求所在直线的解析式； (2)淇淇说：“无论怎样变化，点都在一条确定的直线上．”请对淇淇的说法进行说理； (3)设线段分别交轴，轴于A，B两点． ①当取得最小值时，求的值； ②若点在的内部（不含边界），直接写出的取值范围； 【答案】(1) (2)淇淇的说法是正确的，理由见解析 (3)①；② 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，特别是在平面直角坐标系中一次函数与不等式以及线段最值． （1）由题意直接利用待定系数法即可求解； （2）可设动点所在直线解析式为：，将代入即可得出结论； （3）①当动点在和的交点上时，取得最小值，联立和求出交点即可； ②由（2）得出点P在直线上，画出图形，求得直线与坐标轴的交点即可求解； 【详解】（1）解：设线段的解析式为：， ∵线段的端点为， ∴ 解得： ∴直线的解析式为； （2）解：淇淇的说法是正确的，理由如下： 可设动点所在直线解析式为：， 将代入，可得， 可知当时，符合条件， 即动点所在直线解析式为； （3）解：如图当动点在和的交点上时， 取得最小值， 联立，解得， 即，此时； ②由（2）得出点P在直线上， 当时，； 当时，； ∴直线与坐标轴的两个交点为，， ∵点P在的内部点P在线段上， ∴． 78．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于，两点，直线与交于点，分别与轴、轴交于点和点，点为的中点． (1)求直线的解析式； (2)求的面积； (3)若直线与直线，和轴分别交于点，，，当三个交点中的两点关于第三点对称时，直接写出的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或或． 【分析】本题主要考查了一次函数解析式的求法、平面直角坐标系中点的坐标的关系、解二元一次方程组，解决本题的关键是根据平面直角坐标系中点的坐标的关系列方程，根据方程求出的值． 根据直线的解析式求出点的坐标是，根据点是的中点，可以求出点的坐标是，利用待定系数法求出直线的解析式即可； 根据直线和的解析式分别求出点、的坐标，从而可得，连立直线和的解析式可得方程组，解方程组求出点的坐标，点的纵坐标即为的边上的高，根据三角形的面积公式计算即可； 根据直线与直线，和轴分别交于点，，，可得：点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，根据点，，的位置关系可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：当时，， 点的坐标是， 点是的中点， 点的坐标是， 把点的坐标代入， 可得：， 直线的解析式为； （2）解：当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， 当时， 可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 解方程组， 可得：， 点的坐标是， 的边上的高为， ； （3）解：直线与直线，和轴分别交于点，，， 点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 当点与点关于点对称时， 可得：， 解得：； 当点与点关于点对称时， 可得：， 解得：； 当点与点关于点对称时， 可得：， 解得：， 综上所述，的值为或或． 79．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中有，两点，线段的延长线交x轴于点，直线． (1)求线段所在直线的解析式及m的值； (2)若直线l不经过第一象限，求k的取值范围； (3)若直线l交x轴于点，当直线l与线段相交时，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查了直线过定点问题，待定系数法求解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质利用数形结合思想解题是关键． （1）待定系数法求函数解析式，然后代入点的坐标求值； （2）根据一次函数图像性质列不等式求解； （3）首先分析求得直线必经过定点，然后再通过分析临界点，即当直线经过B点时，当直线经过A点时，直线与线段有交点，从而确定n的取值范围． 【详解】（1）解：设直线的解析式为：，将，代入可得 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为：， 将代入可得：，解得； （2）解：若直线l不经过第一象限，则时，解得； （3）解：由直线整理可得， 当时， ∴直线必经过定点， 当直线经过B点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得； 当直线经过A点时，此时直线与线段有交点， 将代入，可得， 解得， 此时函数解析式为， 将代入解析式可得，解得， ∴n的取值范围为． 80．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，平面直角坐标系中，线段AB的端点为，． (1)求AB所在直线的解析式； (2)某同学设计了一个动画：在函数中，分别输入m和n的值，使得到射线CD，其中．当c＝2时，会从C处弹出一个光点P，并沿CD飞行；当时，只发出射线而无光点弹出． ①若有光点P弹出，试推算m，n应满足的数量关系； ②当有光点P弹出，并击中线段AB上的整点（横、纵坐标都是整数）时，线段AB就会发光，求此时整数m的个数． 【答案】(1) (2)①，理由见解析②5 【分析】（1）设直线AB的解析式为，把点，代入，即可求解； （2）①根据题意得，点C（2，0），把点C（2，0）代入，即可求解； ②由①得：，可得，再根据题意找到线段AB上的整点，再逐一代入，即可求解． 【详解】（1）解：设直线AB的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴AB所在直线的解析式为； （2）解： ，理由如下： 若有光点P弹出，则c＝2， ∴点C（2，0）， 把点C（2，0）代入得： ； ∴若有光点P弹出，m，n满足的数量关系为； ②由①得：， ∴， ∵点，，AB所在直线的解析式为， ∴线段AB上的其它整点为， ∵ 有光点P弹出，并击中线段AB上的整点， ∴直线CD过整数点， ∴当击中线段AB上的整点（-8，19）时，，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-7，18）时，，即， 当击中线段AB上的整点（-6，17）时，17=（-6-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-5，16）时，16=（-5-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-4，15）时，15=（-4-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-3，14）时，14=（-3-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-2，13）时，13=（-2-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（-1，12）时，12=（-1-2）m，即m=-4， 当击中线段AB上的整点（0，11）时，11=（0-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（1，10）时，10=（1-2）m，即m=-10， 当击中线段AB上的整点（2，9）时，9=（2-2）m，不存在， 当击中线段AB上的整点（3，8）时，8=（3-2）m，即m=8， 当击中线段AB上的整点（4，7）时，7=（4-2）m，即（不合题意，舍去）， 当击中线段AB上的整点（5，6）时，6=（5-2）m，即m=2， 当击中线段AB上的整点（6，5）时，5=（6-2）m，即（不合题意，舍去）， 综上所述，此时整数m的个数为5个． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质，理解有光点P弹出，并击中线段AB上的整点，即直线CD过整数点是解题的关键． 81．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点、，直线与轴、轴分别交于点、． (1)嘉嘉说：点在直线上； 淇淇说：直线与直线交于点． 说法正确的是___________ A．嘉嘉    B．淇淇    C．两人说法都正确    D．两人说法都不正确 (2)若点、O关于点对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出的值； (4)直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)C (2) (3)的值为4或． (4)或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，涉及函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法等知识，解题的关键是分类讨论思想的应用； （1）在中，令得，即得直线过定点； 在中，将代入其中即可判断，结合两者即可判断两直线交于； （2）求出，由点、关于点对称，可得，代入得：，，从而直线的解析式为； （3）在中，令得，知在直线上，故直线与直线的交点为，求出，，，分两种情况：当时，，，可得，代入得：，；当时，，，，，代入得：，从而． （4）根据要使得直线与线段有公共点，分时，当时，，且当时，；或时，当时，，且当时，；列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， 直线过定点， 嘉嘉说法正确； 将代入中，得到，点在直线上，结合嘉嘉说法正确， 得到淇淇说也正确， 故选：C； （2）解：在中，令得， ， 点、关于点对称， 是的中点， ， 把代入得：， 解得， 直线的解析式为； （3）解：在中，令得， 在直线上， 直线与直线的交点为， 在中，令得，令得， ，， ， 当时，如图： 此时， ，即， ， ， 把代入得：， ； 当时，如图： 此时， ，即， ， ，， 把，代入得：， ； 综上所述，的值为4或． （4）解：要使得直线与线段有公共点， 当时，则当时，，且当时，，则 ， 解得：， 故的取值范围为：． 当时，则当时，，且当时，，则 ， 解得：， 故的取值范围为：或． 考点10 一次函数的图象平移问题 82．（2025八年级下·河北石家庄·期末）要使直线平移后过点，下列平移方法正确的是（  ） A．向上平移1个单位长度 B．向下平移1个单位长度 C．向左平移1个单位长度 D．向右平移1个单位长度 【答案】A 【分析】此题主要是考查了一次函数的平移．利用一次函数图象的平移规律，左加右减，上加下减，得出答案即可． 【详解】解：把代入得：， ∴直线经过点， ∵平移后经过点， ∴直线的图象向上平移1个单位后就经过点； 把代入得：， 解得：， ∴直线经过点， ∵平移后经过点， ∴直线向左平移个单位，经过点， 综上分析可知：直线的图象向上平移1个单位后就经过点或直线向左平移个单位，经过点． 故选：A． 83．（2025八年级下·河北沧州·期末）已知正比例函数的图象经过点，将的图象向上平移1个单位长度，图象不经过（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，函数的平移，根据一次函数解析式判断其经过的象限，先求出，再结合平移的性质得正比例函数向上平移1个单位长度，得，因为，则经过第一、二、四象限，即可作答． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数向上平移1个单位长度，得， ∵ ∴经过第一、二、四象限， 故选：C 84．（2025八年级下·河北保定·期末）在平面直角坐标系中，若一次函数的图像由直线向上平移3个单位长度得到，则一次函数的图像经过的象限是（   ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】A 【分析】向上平移，则，根据图像位置与系数的关系判断． 【详解】解：由题知，， ∵ ∴位于第一、二、三象限． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数图像平移，掌握图像平移与点坐标变化的关系是解题的关键． 85．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图， 在平面直角坐标系中， 矩形的边，， 直线经过B、D两点．将直线平移，当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】此题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数的图像的平移、矩形的性质等知识，准确找到直线与矩形有公共点的两个临界点A与C是解此题的关键． 先利用矩形性质得点C、D坐标，用待定系数法求出k的值，再分别把A、C两点坐标代入中，求得b的值即可得到答案． 【详解】解：∵矩形的边， ∴， ∵， ∴点， 当直线经过B、D两点时， ∴， 解得：， ∴平移后的直线的解析式为， 当经过点时，， 解得：， 当经过点时，， 解得：， ∴当它与矩形有公共点时，则b的取值范围是． 故选：C． 86．（2025八年级下·河北邯郸·期末）将直线向下平移3个单位得到的直线经过点，则________． 【答案】3 【分析】本题主要考查图象的平移，掌握平移的规律是解题的关键，即“左加右减，上加下减”． 根据题意直接利用平移的规律进行分析即可求得答案． 【详解】解：直线向下平移3个单位长度后经过点， ∴平移后的函数解析式是， 把，代入，可得： ， 解得：． 故答案为：3． 87．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式． (2)将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认真计算是解题的关键． （1）把和代入可求得解析式； （2）设平移后的直线的解析式为ya，把分别代入，求出a的值，进一步即可求得a的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． ∴把和代入可得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：将直线向上平移a个单位长度，得直线的解析式为：， 把分别代入， 得，解得， 得，解得， ∴a的取值范围是． 88．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数的表达式． (2)将向左平移，当边的中点落在这个一次函数的图象上时，求平移的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数图象的平移问题，正确求出对应的函数解析式是解题的关键； （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据两点中点坐标计算公式求出点D的坐标，进而得到平移后点D的对应点的纵坐标为，据此求出平移后点D的对应点坐标即可得到答案． 【详解】（1）解：点在的图象上， 一次函数的表达式； （2）解：，， 的中点的坐标为，即， ∴平移后点D的对应点的纵坐标为， 在，当时，，解得， 平移的距离为 89．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图1，图2，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，，直线经过点和点． 如图2，将直线沿轴以每秒1个单位长度的速度向下平移，当直线经过点时，停止移动，设平移的时间为． (1)四边形的形状是___________； (2)①在平移过程中，求直线在四边形内的线段的长度保持不变的时长； ②当直线使四边形内部（不包括边界）的整点（横、纵坐标均为整数的点）平均分布在它的两侧时，直接写出的取值范围． 【答案】(1)矩形 (2)①；②． 【分析】本题是一次函数的综合题，考查了平面直角坐标系、一次函数、矩形的判定、函数图象的平移．对平面直角坐标系、直线解析式以及图形平移等知识的综合运用是解题的关键； （1）根据坐标可判断四边形的形状； （2）①根据将直线向下平移，得到函数解析式为．直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点时长度最大，求得线段长度开始保持不变，当直线经过点后，线段长度开始减小．当得到线段长度保持不变的时长为； ②当经过点时，有，得到；当经过点时，有，得到，于是得到的取值范围为． 【详解】（1）解：点，过点分别作轴、轴的垂线，垂足分别为，， ，，，， 四边形的形状是矩形， 故答案为：矩形． （2）解：①将直线向下平移，函数解析式为． 直线在四边形内的线段的长度先增加，经过点时长度最大， ， 线段长度开始保持不变，当直线经过点后，线段长度开始减小． 当经过点时，，解得， 当经过点时，，解得， 线段长度保持不变的时长为； ②四边形内部的整点有6个，分别是，，，，，． 当经过点时，有，解得； 当经过点时，有，解得， 的取值范围为． 90．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的图象分别与轴，轴交于、两点．直线的图象分别与轴，轴交于、两点，且C点坐标为；和是第一象限中的两个点，连接．    (1)求直线的函数解析式； (2)求、与轴所围成的三角形的面积； (3)将线段向左平移个单位，若与直线、同时有公共点，请直接写出整数的值为 【答案】(1)； (2)1 (3)2或3 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴围成的图形面积，求两直线的交点坐标，一次函数与几何综合，解不等式组等等； （1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出B、D的坐标，再求出两直线解析式即可求出答案； （3）先求出直线与直线、交点的横坐标，再由平移后与直线、同时有公共点，那么平移后点M一定在直线的非右侧，点N一定在直线的非左侧，据此列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：把代入中得：，解得， ∴直线的函数解析式为； （2）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∴， ∴； 联立，解得， ∴、的交点坐标为， ∴、与y轴所围成的三角形的面积为；   ； （3）解：在中，当时，， 在中，当时，， ∵将线段向左平移n个单位，与直线、同时有公共点， ∴， 解得， ∴整数的值为2或3， 故答案为：2或3． 考点10 一次函数与几何的综合问题 91．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，直线分别与x轴、y轴交于点A，B，点C在线段上，线段沿翻折，点O落在边上的点D处，以下结论：①；②直线的函数表达式为；③点D的坐标为．其中正确的结论是（  ） A．① B．①② C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征和折叠的性质． 先利用直线的解析式确定点，，则利用两点间的距离公式可计算出，则可对①进行判断；设，则，根据折叠的性质得到，，所以，在中利用勾股定理得到，解方程得到，接着利用待定系数法求出直线BC的解析式为，则可对②进行判断；过D点作于H点，如图，利用面积法求出，再利用勾股定理计算出，从而得到，所以D点坐标为，于是可对③进行判断． 【详解】解：当时，， 解得， ， 当时，， ， ，所以①正确； 设，则， 线段沿翻折，点O落在边上的点D处， ，， ， 在中，， 解得， ， 设直线BC的解析式为， 把，分别代入得， 解得， 直线的解析式为，所以②正确； 过D点作于H点，如图， ，，， ∴， ∴， ∴， ， ， ， 点坐标为，所以③错误． 故选：B 92．（2025八年级下·河北石家庄·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，如图，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，…在直线上，点，，，…在轴正半轴上，则点的坐标为______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的特征、正方形的性质等知识，学会从特殊到一般的探究方法是解题的关键． 先求出的坐标，然后发现规律，运用规律即可解答． 【详解】解：由条件可知点坐标，坐标， ∵轴，即：坐标， ∵四边形是正方形， ∴坐标， ∵轴， ∴坐标， ∵四边形是正方形， ∴， ∵，……， ∴点的坐标为． 故答案为：． 93．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，直线与坐标轴交于点，，直线经过点，与交于点，点的横坐标为1． (1)求直线的解析式． (2)点是线段上一点，过点作垂直于轴的直线，分别与轴和直线交于点，．设点的横坐标为． ①当时，求点的坐标； ②若，求线段的长． 【答案】(1) (2)①；②2 【分析】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数，以及一次函数的性质，熟练掌握一次函数的图像和性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，求出，将，代入即可得到答案； （2）①求出，将代入，得，即可得到答案； ②由题意，得．若，则，求出和，即可得到答案． 【详解】（1）解：设直线的解析式为． 将代入直线的解析式，得， ； 直线经过点，， 解得 直线的解析式为； （2）解：①当时，， ． 将代入，得， 解得， ； ②由题意，得． 若，则， 解得， ． 令，解得， ， ． 94．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在等腰三角形中，，，点在边上运动（不与点，重合），连接，设，的面积为． (1)求底边上的高； (2)求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当的长度为4时，求出相应的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)16 【分析】本题考查三角形的面积、函数关系式，掌握三角形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据在等腰三角形的性质和勾股定理计算即可； （2）根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，求出对应S的值即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D． ∵在等腰三角形中，， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴底边上的高h为8． （2）解：， ∴S与x之间的函数关系式及自变量的取值范围为． （3）解：当时，． 95．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图1，在直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点．以为对角线的作矩形，点坐标． (1)点的坐标为______； (2)若点在第二象限内，求的面积关于的函数表达式； (3)如图2，若点在坐标平面内．过点作，过点作，若以为顶点的四边形是平行四边形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）根据题意求出，即可求解； （2）连接，根据，即可求解； （3）由直线的解析式，设点；根据，求出；分类讨论当为对角线时，当为对角线时，两种情况即可求解； 【详解】（1）解：在中，令，则； 令，则； ∴； ∵四边形是矩形， ∴点的坐标为， 故答案为：； （2）解：连接，如图所示： 则， ∵点在第二象限内， ∴； （3）解：直线的解析式为； 设点； ∵，， 由题意得：， ∴，解得：； ∴，； 当为对角线时，，消去求得； 当为对角线时，，消去求得； 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合问题，涉及了平行四边形的存在性问题、勾股定理、一次函数的求解等知识点，综合性较强，计算量较大，需要学生具备扎实的几何和函数基础． 96．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图1和2，在菱形中，，，点E是线段上一动点，过点E作，交于点F，过点E作，交直线于点G，交直线于点H，设． (1)若，求的长，并指出点H与直线的位置关系； (2)若，求x的值； (3)如图2， ①尺规作图：作线段的垂直平分线，交于点K，连接（保留作图痕迹，不写作图过程）； ②用含x式子表示，并直接写出当时，点K运动路径的长． 【答案】(1)，点H在直线上 (2)或； (3) 【分析】（1）根据题意得到，求出，即可得到，此时点H和点B重合，点H在直线上； （2）分两种情况,①点在线段上，②点在线段的延长线上，分别计算即可； （3）①理由尺规作垂直平分线的方法求解即可； ②如图所示，以点A为原点建立平面直角坐标系，连接，首先表示出，，得到，然后证明出点K是的中点，得到，勾股定理表示出，得到点K在直线上运动，然后分别求出当和时的长度，进而求解即可． 【详解】（1）解：若， ∴， ∵在菱形中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴此时点H和点B重合，点H在直线上； （2）解：∵， ①当点在线段上， 由（1）得，， ∵， ∴， ∴； ②当点在线段的延长线上，如图 , , ， ， ， ，即； 综上所述，或； （3）①如图所示， ②如图所示，以点A为原点建立平面直角坐标系，连接 ∵，， ∴ ∴ ∴ 由（1）得， ∴ ∵垂直平分 ∴ ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ ∴点K是的中点 ∴，即 ∴ ∴点K在直线上运动 如图所示，当时，由（1）得，点B，H，G三点重合 ∴； 如图所示，当时，点D，E重合，点K和点G重合 ∴ ∴ ∴当时，点K运动路径的长． 【点睛】此题考查了菱形的性质，勾股定理，尺规作垂直平分线，一次函数和几何综合等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 97．（2025八年级下·河北保定·期末）综合与探究 问题情境：四边形在平面直角坐标系中的位置如图所示，，，，，点，． 猜想证明： （1）判断四边形的形状，并说明理由． 深入探究： （2）如图1，E为的中点，直线l经过点E，与坐标轴交于点，N． ①点E的坐标为 ． ②直接利用（2）①中的结论，求直线l的函数解析式和点N的坐标． （3）如图2，P为线段上的一动点，过点P作直线轴，交于点Q．设，，直接写出n与m之间的函数关系式． 【答案】（1）四边形为平行四边形，见解析；（2）①；②，；（3） 【分析】（1）由，，求出，由，，求出，故，得，从而可得四边形为平行四边形； （2）①由，，E为的中点，即得； ②用待定系数法得直线l的函数解析式为，令得，故； （3）由，，得，轴，又轴，故，，因，故，即得，而，可得，再根据勾股定理有，即可得． 【详解】解：（1）四边形为平行四边形，理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （2）①∵，，E为的中点， ∴； 故答案为：； ②设直线l的函数解析式为， 把，代入得：， 解得， ∴直线l的函数解析式为， 在中，令得， ∴； （3）∵，， ∴，轴， ∵轴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，平行四边形的判定，勾股定理及应用，三角形内角和定理的应用等知识，解题的关键是掌握以上知识． 98．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，已知一次函数的图象经过点． (1)求这个一次函数； (2)若点在该函数图象上，连接，求的面积； (3)若点是该函数图象上的一个动点，点坐标为．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点是否能落在第三象限，若能，请直接写出的取值范围；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)能， 【分析】本题考查了一次函数的应用、三角形全等的判定与性质、旋转的性质等知识，较难的是（3），正确找出两个临界位置是解题关键． （1）利用待定系数法求解即可得； （2）先求出点的坐标，再利用三角形的面积公式计算即可得； （3）先求出点的坐标为，再求出两个临界位置：①当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上和②当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时，利用全等三角形的性质求出的值，由此即可得． 【详解】（1）解：将点代入得：， 解得， 所以这个一次函数的解析式为． （2）解：将点代入一次函数得：， 解得， ∴， ∴的边上的高为， 又∵， ∴， ∴的面积为． （3）解：将点代入一次函数得：， ∴， 由题意，有以下两个临界位置： ①如图，当轴时，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上， ∵点坐标为， ∴此时， 解得； ②如图，当将线段绕点顺时针旋转得到线段，点恰好落在轴上时， 过点作轴于点， ∴， ∵点坐标为， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， 由旋转的性质得：， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即， ∴将线段绕点顺时针旋转得到线段，点能落在第三象限，此时． 99．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，矩形 的顶点A、C分别在y轴、 x轴的正半轴上，点 B的坐标为，直线的图象与边分别交于点 D、E， 并且满足， 点P 是线段上的一个动点． (1)直接写出点E的坐标 ；直线l的表达式 ； (2)若点P在 平分线上，则点 P 的坐标为 ； (3)连接，若把四边形面积分成两部分，求点P 的坐标； (4)设点Q是x轴上方平面内的一点，以O，D，P，Q为顶点的四边形为菱形时，直接写出点Q的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)或 (4)或 【分析】（1）先求出点D的坐标，再结合矩形的性质可得点E的坐标，然后把点E的坐标代入解析式，即可求解； （2）点P在直线上，然后联立解方程组，即可求解； （3）设点P的坐标为，可得，再由把四边形面积分成两部分，可得或，即可求解； （4）分两种情况讨论，结合菱形的性质解答即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，， ∴点D的坐标为， ∴， ∵四边形是矩形， ∴轴，轴，， ∵点 B的坐标为， ∴， ∴， ∴点E的坐标为， 把点代入得： ，解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：∵点P在 平分线上，即点P在 第一、三象限的平分线上， ∴点P在直线上， 联立得：， 解得：， ∴点P的坐标为； （3）解：设点P的坐标为，则， ∴， 根据题意得：四边形面积为， ∵把四边形面积分成两部分， ∴或， ∴或， ∴或， 解得：或， ∴点P的坐标为或； （4）解：如图，若以为对角线，设交于点G，此时点P，Q关于y轴对称，，， ∴点P，Q的纵坐标为3， 当时，， 解得：， ∴点P的坐标为， ∴点Q的坐标为； 如图，若以为对角线，设交于点G，则， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为，即 ∴，解得：或0（舍去）， ∴点Q的坐标为； 综上所述，点Q的坐标为或． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，矩形的性质，正方形的判定与性质，坐标与图形的性质，菱形的性质，以及勾股定理等知识，正确根据菱形的性质求得Q的坐标是解决本题的关键． 100．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图1， 直线的解析式为， 直线经过点，，且，交于点A， (1)求直线的表达式；观察图像，当直线在x轴上方时，直接写出自变量x的取值范围 (2)直线，的交点A的坐标 (3)若直线 与线段有交点，直接写出比例系数k满足的取值范围 (4)若直线上存在一动点E，使得，直接写出点E的坐标 【答案】(1)直线：； (2) (3) (4)或 【分析】本题考查了一次函数的交点问题，勾股定理，利用平方根解方程． （1）设直线表达式为，将点，代入即可求出的表达式为：；当时，，结合图像即可判断自变量x的取值范围； （2）联立两方程求解即可； （3）先求出，再分两种情况讨论即可； （4）分两种情况根据勾股定理列一元二次方程计算即可． 【详解】（1）解：设直线表达式为， ∵直线经过点，， ∴， 解得： ∴的表达式为：； 当时，， 即 观察图象可知，当直线在x轴上方时，； （2）解：∵，交于点A， ∴， 解得， ∴， ∴； （3）解：在直线：中，当时，，即 当时， 当经过A时，即， 解得， 当经过C时，， 即； 当时，直线 与y轴负半轴相交，不符合题意； 综上所述，； （4）解：当E在线段上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 当E在线段的延长线上时， ∵，， ∴ ∵， ∴， 设点E的坐标为， ∴， 解得：（负值舍去）， 即点E的坐标为； 综上所述，点E的坐标为或． 试卷第2页，共110页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $