专题02 勾股定理（期末真题汇编，河北专用）八年级数学下学期

**基本信息** 聚焦勾股定理四大核心考点，精选河北多地期末真题，通过基础计算、几何综合与实际应用构建完整考查体系。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10题|含三角形边长计算（如第2题）、坐标系对称（第4题）、逆定理判断（第39题）|结合动态平移（第9题）、折叠问题（第19题）考查空间观念| |填空|4题|涉及等腰三角形高（第10题）、动点最值（第12题）|以“方胜”图案（第22题）体现文化传承| |解答|14题|含实际应用（古建筑人字架第27题、社区绿化方案第30题）、综合证明（菱形性质第25题）|创新设计“勾股分点”概念（第17题），融入“葭生池中”经典问题（第32题）|

专题02 勾股定理 高频考点概览 考点01用勾股定理理解三角形 考点02股定理与平行四边形的综合 考点03股定理的实际应用 考点04股定理逆定理的应用 考点01 用勾股定理理解三角形 1．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（    ） A．12 B．11 C．14 D．13 2．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．（2025八年级下·河北保定·期末）在如图所示的四边形中，的长可能是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 4．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，为上一点，连接．已知，为的中线且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 6．（2025八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A． B． C． D． 7．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（   ） A． B． C． D． 8．（2025八年级下·河北张家口·期末）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形的形状改变而变化．当是直角三角形时，对角线的长为（    ） A．5 B． C． D．4 9．（2025八年级下·河北石家庄·期末）已知，其中，，，M、N分别为、的中点，将两个三角形按图①方式摆放，点F从点A开始沿方向平移至点E与点C重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 10．（2025八年级下·河北沧州·期末）若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为_______． 11．（2025八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，，在边上截取，连接，过点A作于点E，F是的中点，连接，求的长． 12．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，，，点D是射线上的一个动点，，垂足为点C，点E为的中点，则线段的长的最小值为__________．    13．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长． 14．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点，的坐标分别为，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)点A的坐标是______； (2)画出关于原点对称的； (3)求的长． 15．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高线．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的长度． 16．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在等腰三角形中，，，点在边上运动（不与点，重合），连接，设，的面积为． (1)求底边上的高； (2)求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当的长度为4时，求出相应的的值． 17．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 18．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 考点02 勾股定理与平行四边形的综合 19．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 20．（2025八年级下·河北保定·期末）将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数，点C表示数6．若的长为6，则该菱形的边长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 21．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，的平分线交边于点恰好平分．若，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 22．（2025八年级下·河北邯郸·期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 23．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 24．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 25．（2025八年级下·河北石家庄·期末）石家庄火车站始建于清光绪二十三年（1897年），经过多年的改建扩建，现以成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，为的中点，，求四边形的周长． 考点03 勾股定理的实际应用 26．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图1，有一个由传感器控制的灯，要装在门上方离地高的墙E，任何东西只要移至该灯及5以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高的学生（即）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（   ） 图1         图2 A． B． C． D． 27．（2025八年级下·河北廊坊·期末）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长______尺． 28．（2025八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 29．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（   ） A．8m B．10m C．12m D．15m 30．（2025八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 31．（2025八年级下·河北唐山·期末）图①是一台笔记本电脑，图②是其侧面示意图当张角为时，笔记本顶部边缘离桌面的距离，此时笔记本底部与处之间的距离为，求顶部边缘到底部边缘的距离． 32．（2025八年级下·河北唐山·期末）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，即，，．通过列方程的方法求水深BC． 33．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图是可调躺椅示意图，与交于点，测得． (1)当时，测得，求的长； (2)为躺着更加舒服，准备在（1）的基础上调节的度数（与的长度不变），调节后测得，请通过计算说明，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（参考数据：） 34．（2025八年级下·河北邯郸·期末）图1是一种“天幕”，图2是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，，于点O，于点B，于点F，天晴时打开“天幕”遮阳，． (1)求遮阳宽度的长； (2)将拉绳固定在树干上，若支杆与树干的横向距离，求拉绳的长． 35．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离． 36．（2025八年级下·河北张家口·期末）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． ③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.6米． (1)求风筝到地面的距离线段的长； (2)如果小龙想要风筝沿方向再上升11米，和的长度不变，则他应该再放出多少米线？ 37．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为米，为米．    (1)梯子的长为______米； (2)如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端也外移米吗？请说明理由． 38．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=6 米． （1）试判定△ACD的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD的长度． 考点04 勾股定理逆定理的应用 39．（2025八年级下·河北张家口·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 40．（2025八年级下·河北邢台·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 41．（2025八年级下·河北保定·期末）若的三边长分别为5，12，13，则这个三角形的面积为（   ） A．78 B．65 C．60 D．30 42．（2025八年级下·河北保定·期末）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．3、4、5 B．1、2、 C．5、12、13 D．、2、 43．（2025八年级下·河北沧州·期末）在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则灯塔O位于渔船B的（   ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏西方向 44．（2025八年级下·河北廊坊·期末）长度分别为 3 ,  4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 45．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 _____米． 46．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6．则∠ACD=________度． 47．（2025八年级下·河北邢台·期末）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9． （1）求CD的长． （2）求AD的长． （3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 48．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形中，，嘉嘉和琪琪分析所标数据．得到下面结论： 嘉嘉说：四边形是平行四边形； 琪琪说：是直角三角形． 谁的说法正确，请选择其中一人的说法进行说理． 49．（2025八年级下·河北张家口·期末）我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵ ， ， ∴， ∴． (2)如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 试卷第2页，共44页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 勾股定理 高频考点概览 考点01用勾股定理理解三角形 考点02股定理与平行四边形的综合 考点03股定理的实际应用 考点04股定理逆定理的应用 考点01 用勾股定理理解三角形 1．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图，一根筷子放在圆柱形水杯里，水杯底面直径为，高度为，筷子长为，露在水杯外面的筷子长度为，则a最小为（    ） A．12 B．11 C．14 D．13 【答案】A 【分析】要使露在水杯外面的筷子长度最小，那么筷子在水杯内的长度应最长，此时筷子在水杯内的长度可看作是底面直径与高构成的直角三角形的斜边，利用勾股定理求出此斜边长度，再用筷子总长度减去该长度即可得到的最小值． 【详解】解：根据勾股定理（其中为直角三角形斜边，、为两直角边）， 水杯底面直径，高度， 筷子在水杯内的最长长度， 筷子长， 露在水杯外面的筷子长度为． 故选：A． 【点睛】本题主要考查勾股定理的实际应用，关键是理解当筷子在水杯内长度最长时（即构成直角三角形斜边时），露在外面的长度最小． 2．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，在中，，，则的长为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理． 直接根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，， ∴， 故选：D 3．（2025八年级下·河北保定·期末）在如图所示的四边形中，的长可能是（   ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，勾股定理的应用，由三角形三边关系可得出，再根据直角三角形斜边大于直角边可知，结合勾股定理即即可得出，进而可得出答案． 【详解】解：根据题意可知：， ∴， ∵中，，，且， ∴， 则， 只有8符合条件， 故选：B． 4．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，已知的顶点在轴的正半轴上，点的坐标为，点C的坐标为，与关于所在直线对称．若点恰好落在y轴上，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化—对称，根据对称的性质和勾股定理可以求得的长度，然后根据点在y轴的负半轴，即可得到点的坐标． 【详解】解：∵点B的坐标为，点C的坐标为， ∴， ∴， ∵与关于所在直线对称， ∴， ∵， ∴， ∵点在y轴的负半轴， ∴点的坐标为， 故选：B． 5．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，为上一点，连接．已知，为的中线且，，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解决本题的关键是根据直角三角形的性质和勾股定理求出、的长度，根据等腰三角形的性质求出，再根据求出结果即可． 【详解】解：，， ， 为的中线且， ，， ，， ， ， 是的外角， ， 又， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的性质． 6．（2025八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，点在的延长线上，且，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点是正确解答此题的关键． 过点作，根据勾股定理可以求出，是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可知，利用勾股定理可以求出，进而即可求出． 【详解】解：如下图所示：过点作， 在中，， ， ， ， 在中，， ． 故答案为：D． 7．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，数轴上的点，表示的实数分别是，，于点，且的长度为个单位长度，连接．若以点为圆心，长为半径画弧交数轴于点，则点所表示的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴及勾股定理．根据实数与数轴的关系解答即可 【详解】解：在直角三角形中，． ∴点表示的数为． 故选：B． 8．（2025八年级下·河北张家口·期末）四边形的边长如图所示，对角线的长度随四边形的形状改变而变化．当是直角三角形时，对角线的长为（    ） A．5 B． C． D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形三边关系以及构成直角三角形的条件，利用三角形三边关系求得，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ∴，即， 当为直角三角形时，有两种情况： 若为最长边时，，虽然是直角三角形，但不合题意，舍去； 若为最长边时，，此时为直角三角形，且在范围之内，符合题意． 故选：C． 9．（2025八年级下·河北石家庄·期末）已知，其中，，，M、N分别为、的中点，将两个三角形按图①方式摆放，点F从点A开始沿方向平移至点E与点C重合结束（如图②），在整个平移过程中，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K，根据勾股定理和全等三角形性质推出，判定四边形是矩形， ， ，得到，的最小值为1；当点A、F重合时，判定是等腰直角三角形，得到；当点C、E重合时，判定是等腰直角三角形，得到； 得到最大为，即得的取值范围． 【详解】分别过点M、N作于点G，于点H，直线交于点K， 则， ∵，，， ∴， ∵， ∴，，，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵M是中点， ∴， ∴， ∴， 同理，， ∴， 当时， ，最小； 当点A、F重合时， ∵， ∴， ∵，， ∴； 当点C、E重合时，连接、， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴当点A、F重合或点C、E重合时，最大，为， ∴的取值范围是． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了直角三角形与平移综合．熟练掌握勾股定理解直角三角形，平移性质，直角三角形斜边上中线的性质，等腰三角形性质，垂线段最短，等腰直角三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 10．（2025八年级下·河北沧州·期末）若一个等腰三角形的腰长为10，底边长为12，则其底边上的高为_______． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和勾股定理，解题关键是根据等腰三角形的三线合一求出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图：，，； 则； 由勾股定理得，． 故答案为：8． 11．（2025八年级下·河北沧州·期末）如图，在中，，，，在边上截取，连接，过点A作于点E，F是的中点，连接，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，根据勾股定理求出，进而求出，根据等腰三角形的性质得到，再根据三角形中位线定理计算，得到答案．熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∵，， ， 是的中点， 是的中位线， ∴． 12．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，，，点D是射线上的一个动点，，垂足为点C，点E为的中点，则线段的长的最小值为__________．    【答案】 【分析】根据直角三角形的性质得到，当时，的值最小，即线段的值最小，推出是等腰直角三角形，得到，求得，于是得到结论． 【详解】解：， ， 点为的中点， ， 当时，的值最小， 即线段的值最小， ， 是等腰直角三角形， ， ， 故线段的长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂线段最短，直角三角形斜边上的中线，等腰直角三角形的性质，正确地得出当时，的值最小是解题的关键． 13．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在中，，平分，于点E，若，，求的长． 【答案】4 【分析】本题主要考查了勾股定理和角平分线的性质，根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得，再由勾股定理求得的长即可． 【详解】解：平分，，， ，， ， ． 14．（2025八年级下·河北唐山·期末）如图，在正方形网格中，的三个顶点都在格点上，点，的坐标分别为，结合所给的平面直角坐标系解答下列问题： (1)点A的坐标是______； (2)画出关于原点对称的； (3)求的长． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了点关于原点对称的坐标的求法及勾股定理求线段长，熟练掌握点关于原点对称坐标是解题的关键． （1）由直角坐标系直接写出A的坐标即可； （2）分别求出A、B、C关于原点对称的、、的坐标，然后将、、三点连接起来即可得到； （3）过作轴平行线，过作轴平行线，两线交于点 ． 由勾股定理直接即可求出的长． 【详解】（1）解：由直角坐标系可知，A坐标为． 故答案为：． （2）解：关于原点对称点的坐标，关于原点对称点的坐标，关于原点对称点的坐标， 则关于原点对称的如图所示： （3）解：如图， 过作轴平行线，过作轴平行线，两线交于点 ． ，，则， ． 根据勾股定理 ． 15．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，中，，，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作中边上的高线．（保留作图痕迹，不写作法） (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题主要考查了尺规作图-作垂线、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理等知识点，熟练掌握含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． （1）以A为圆心，的长为半径画弧，交于点B和另一点，以点B和另一点为圆心，大于两点间的距离为半径画弧，交于一点，连接点A和该点的直线即为所求； （2）先根据含30度角的直角三角形的性质，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）解：在中，，， ， 在中，由勾股定理得：． 16．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在等腰三角形中，，，点在边上运动（不与点，重合），连接，设，的面积为． (1)求底边上的高； (2)求与之间的函数关系式，并指出自变量的取值范围． (3)当的长度为4时，求出相应的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)16 【分析】本题考查三角形的面积、函数关系式，掌握三角形的面积计算公式是解题的关键． （1）根据在等腰三角形的性质和勾股定理计算即可； （2）根据三角形面积公式计算即可； （3）当时，求出对应S的值即可． 【详解】（1）解：过点A作于点D． ∵在等腰三角形中，， ∴， 在中利用勾股定理，得， ∴底边上的高h为8． （2）解：， ∴S与x之间的函数关系式及自变量的取值范围为． （3）解：当时，． 17．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图，点M、N把线段依次分成、、三段，若以、、为边组成的三角形是一个直角三角形，则称点M、N是线段的“勾股分点”． (1)若，，，则点M、N______线段的“勾股分点”（填“是”或“不是”）； (2)若M、N是线段的“勾股分点”，，，且是组成的直角三角形的一条直角边，求的长． 【答案】(1)不是； (2)5或13 【分析】本题考查勾股定理，结合勾股定理求解是解决问题的关键． （1）结合勾股分割点，由已知条件得到，，，从而根据，即可得出答案； （2）点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，分两种情况，利用勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴，，， ∴， ∴以，，为边的三角形不是一个直角三角形， ∴根据勾股分割点定义，M，N不是线段的勾股分割点， 故答案为：不是； （2）∵点M，N是线段的勾股分割点，且为直角边，有两种情况： ①为斜边时，有， 设，则， ∴； ②为斜边时，有， 设，则， ∴； ∴的长为5或13， ∴的长为或， ∴的长为5或13． 18．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， ， ， ， 方案一所修的管道较短． 考点02 勾股定理与平行四边形的综合 19．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，，E为边上一个动点，连接．将沿折叠，使点B落在边上的点P处． 结论Ⅰ：当点P与点D重合时，此时四边形为正方形； 结论Ⅱ：当P为的中点时，． 关于结论Ⅰ，Ⅱ，下列判断正确的是（　　） A．结论Ⅰ对，结论Ⅱ错 B．结论Ⅰ错，结论Ⅱ对 C．结论Ⅰ，Ⅱ都对 D．结论Ⅰ，Ⅱ都错 【答案】C 【分析】本题重点考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定、勾股定理等知识，当点P为的中点时，求得是解题的关键． 当点P与点D重合时，证四边形为正方形，可判断结论Ⅰ正确；当点P为的中点时，由矩形的性质，折叠的性质，利用勾股定理求的长度，可判断结论Ⅱ正确，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，点P与点D重合，则， ∵将沿折叠，点B落在边上的点P处， ∴， ∴， ∵四边形为矩形，， ∴四边形为正方形， 故结论Ⅰ正确； 如图2，点P为的中点， ∵四边形是矩形，， ∴， ∴， 由折叠得 ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 故结论Ⅱ正确， 故选：C． 20．（2025八年级下·河北保定·期末）将一菱形ABCD的对角线AC按照如图所示的方式放置在数轴上，其中点A表示数，点C表示数6．若的长为6，则该菱形的边长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】此题重点考查数轴、菱形的性质、勾股定理等知识，连接交于点F，正确地求出的长和的长是解题的关键． 根据坐标求出的长度，利用菱形的性质和勾股定理即可求出菱形的边长． 【详解】解：连接交于点F， ∵点A，点C都在数轴上，点A表示数，点C表示数6， ∴， ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ， ∴该菱形的边长为5， 故选：A． 21．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，在矩形中，的平分线交边于点恰好平分．若，则的面积为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】过点E作交与点F，则，由矩形的性质可得出，由角平分线的定义得出，进而可得出，由等角对等边可得出，由勾股定理得出，再由角平分的计算以及三角形内角和定理以及等腰三角形的判定和性质得出，最后根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：过点E作交与点F， 则， ∵四边形是矩形， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵恰好平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形内角和定理，角平分线的有关计算，掌握这些知识是解题的关键． 22．（2025八年级下·河北邯郸·期末）“方胜”是中国古代妇女的一种发饰，其图案由两个全等正方形相叠组成，寓意是同心吉祥，如图，将边长为的正方形沿对角线方向平移得到正方形，形成一个“方胜”图案，则点D，之间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平移性质，正方形的性质，勾股定理，熟练掌握平移性质和正方形的性质是解答的关键，由题意得，根据正方形的性质和勾股定理，求出，进而求出答案即可； 【详解】解：由题意得， 四边形是正方形， ， ， ， 点D，之间的距离为， 故选：C． 23．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点O在原点处，顶点A在y轴上，已知点B坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查菱形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，关键是由勾股定理列出关于的方程． 过作轴于，延长交轴于，判定四边形是矩形，得到，，由点坐标，得到，，令，由勾股定理得到，求出，得到，推出，即可得到点的坐标． 【详解】解：过作轴于，延长交轴于， 轴， 四边形是菱形， ，， ， 四边形是矩形， ，， 点坐标为， ，， 令， ， ， ， ， ， ， ， ， 则点的坐标为． 故选：B． 24．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点作于点，则于点，由勾股定理可求，，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，，，， ， ， ， ， 过点作于点，则于点，如图，则， ， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在直角中，， ， 解得，， ， 即， ， 故选：C． 25．（2025八年级下·河北石家庄·期末）石家庄火车站始建于清光绪二十三年（1897年），经过多年的改建扩建，现以成为京津冀地区重要的交通枢纽．为提高车站照明效果，新购进一批简单而精致的吊灯（图1），其正面的平面图如图2所示，四边形是一个菱形外框架，对角线，相交于点，四边形是其内部框架，且点、在上，． (1)求证：四边形内部框架为菱形． (2)若，为的中点，，求四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的证明及基本性质，勾股定理、直角三角形斜边上中线等于斜边一半，熟练掌握基本知识点是解题关键． （1）通过为菱形得到，，又，所以可知，从而得到为平行四边形，再通过对角线垂直进而可知其为菱形． （2）根据菱形的性质，得到，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，得出，进而勾股定理求得，根据菱形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， ，． ， ， 四边形是平行四边形． 四边形是菱形， ， 平行四边形是菱形； （2）解：四边形是菱形，， 在中，为的中点， ． 在中，，    （负值舍去）． 四边形为菱形， 菱形的周长为． 考点03 勾股定理的实际应用 26．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图1，有一个由传感器控制的灯，要装在门上方离地高的墙E，任何东西只要移至该灯及5以内时，灯就会自动发光如图2，当一个身高的学生（即）走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为（   ） 图1         图2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作，交于点，构造出直角三角形，利用勾股定理解答． 【详解】过点作，交于点. 由题意可知，， 所以. 在中，， 由勾股定理得 ， 所以， 故学生走到灯刚好发光的地方时，他离墙的距离为 故选A. 【点睛】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 27．（2025八年级下·河北廊坊·期末）我国古建筑的屋顶结构设计融合实用功能、艺术美学于一体，既利于排水采光，又形成灵动曲线，是中华工匠智慧的立体结晶．如图，某古建筑屋顶的人字架是等腰三角形，，，若跨度尺，上弦尺，则中柱的长______尺． 【答案】9 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，解题的关键是熟练掌握“等腰三角形的三线合一的性质”．首先由三线合一得到，然后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，尺， （尺）， ∴（尺）． 故答案为：9． 28．（2025八年级下·河北邢台·期末）如图，为居民饮水方便，某小区设立了两个直饮水自动售卖机，，且，均位于地下管道的同侧，售卖机，之间的距离为500米，管道分叉口与之间的距离为300米，于点，到的距离为240米，假设所有管道的材质相同． (1)求，之间的距离； (2)珍珍认为：从管道上的任意一处向售卖机引出的分叉管道中，是这些分叉管道中最省材料的，请通过计算判断珍珍的观点是否正确． 【答案】(1)180米 (2)珍珍的观点正确，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握定理是解题的关键． （1）因为，故利用勾股定理进行列式，解答即可； （2）先运算，再利用勾股定理及其逆定理，证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴． 在中，， 由勾股定理得， 即B，N之间的距离为180米； （2）解：珍珍的观点正确，过程如下： 由（1）得， ∴． 在中， 由勾股定理得． ∵，，， ∴， ∴，即， ∴是垂线段， ∴是这些管道中最省材料的，即珍珍的观点正确． 29．（2025八年级下·河北石家庄·期末）如图，在实践活动课上，小华打算测量学校旗杆的高度，她发现旗杆顶端的绳子垂到地面后还多出1，当她把绳子斜拉直，且使绳子的底端刚好接触地面时，测得绳子底端距离旗杆底部5，由此可计算出学校旗杆的高度是（   ） A．8m B．10m C．12m D．15m 【答案】C 【分析】由题可知，旗杆，绳子与地面构成直角三角形，根据题中数据，用勾股定理即可解答． 【详解】解：设旗杆的长度为xm，则绳子的长度为：（x+1）m，如图， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：x2+52=（x+1）2， 解得：x=12， ∴旗杆的高度为12m． 故选：C． 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，根据题意得出直角三角形是解答此题的关键． 30．（2025八年级下·河北保定·期末）综合与实践 问题情境：某小区的社区管理人员计划在临街的拐角建造一块绿化地（阴影部分），现面向小区居民征集设计方案，欣欣和强强合作一起完成了绿化地和引水灌溉方案的设计． 欣欣设计的绿化地及浇灌点方案如下：如图，，在上选取两点E，F为浇灌点，从水源点G处铺设管道引水． 强强设计的铺设管道方案如下： 方案一：从水源点G处直接铺设管道分别到浇灌点E，F； 方案二：过点G作的垂线，垂足为H，先从水源点G处铺设管道到点H处，再从点H处分别向浇灌点E，F铺设管道． 社区管理人员按照欣欣设计的绿化地及浇灌点方案施工，施工人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间的距离，就确定了． (1)施工人员测量的是点 与点 之间的距离． (2)若绿化地建造每平方米的费用为100元，求建造绿化地的费用． (3)若，，管道铺设费用为50元/米，请比较强强设计的两种铺设管道方案所花的费用，并求出铺设管道所需的最少费用． 【答案】(1)A，C (2)建造绿化地的费用为11400元 (3)方案一所花的费用700元方案二所花的费用740元，铺设管道所需的最少费用为700元 【分析】本题考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算， ，最后相加，即可作答； （3）根据勾股定理得到，根据三角形的面积公式得到，求得方案一：铺设管道所花的费用（元），方案二：铺设管道所花的费用（元），于是得到结论． 【详解】（1）解：连接， 施工人员测量的是A，C两点之间的距离， ∵ ∴， ∴， 即当测量A，C两点之间的距离为 ∴满足勾股逆定理得； ∴， 故答案为：A，C； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴四边形的面积， ∴建造绿化地的费用（元）； （3）解：∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ∴求得方案一：铺设管道所花的费用（元）， 方案二：铺设管道所花的费用（元）， ∵ ∴铺设管道所需的最少费用为700元． 31．（2025八年级下·河北唐山·期末）图①是一台笔记本电脑，图②是其侧面示意图当张角为时，笔记本顶部边缘离桌面的距离，此时笔记本底部与处之间的距离为，求顶部边缘到底部边缘的距离． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，熟悉掌握勾股定理是解题的关键． 利用勾股定理直接运算求解即可． 【详解】解：由题意可知，，，， ， 答：顶部边缘到底部边缘的距离为． 32．（2025八年级下·河北唐山·期末）“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐．问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题，如图，即，，．通过列方程的方法求水深BC． 【答案】12 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理建立等量关系是解题的关键．设，则，在中，由勾股定理得出方程求解即可． 【详解】解：设 ， 在中，由勾股定理得：， 即 解得，即， 答：水深为12． 33．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图是可调躺椅示意图，与交于点，测得． (1)当时，测得，求的长； (2)为躺着更加舒服，准备在（1）的基础上调节的度数（与的长度不变），调节后测得，请通过计算说明，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（参考数据：） 【答案】(1) (2)变长了 【分析】本题考查勾股定理、含角的直角三角形性质及二次根式运算，解题关键是利用直角三角形相关性质转化线段关系。 （1）已知，，，在中，根据勾股定理，代入数值计算得长； （2）过作于，利用含角的直角三角形性质得；再分别在、中，用勾股定理算出、；进而得，计算其值并与（1）中比较，求长度变化． 【详解】（1）解：，，， ， 即的长为； （2）如图，过点C作于点P． ， 在中， ， 在中， ， ． ， ∴调节后的长度变长了． 34．（2025八年级下·河北邯郸·期末）图1是一种“天幕”，图2是其截面示意图，其截面示意图为轴对称图形，，于点O，于点B，于点F，天晴时打开“天幕”遮阳，． (1)求遮阳宽度的长； (2)将拉绳固定在树干上，若支杆与树干的横向距离，求拉绳的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查勾股定理的应用，含的直角三角形的性质． （1）根据等腰三角形的性质，可得，，再利用勾股定理进行计算即可； （2）过点E作，垂足为G，结合题意可得：四边形是矩形，可得， ，，再进一步利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， 在中，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过点E作，垂足为G，结合题意可得：四边形是矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，（负根舍去） 答：拉绳的长为； 35．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图1是一架移动式小吊机的示意图，吊机工作时利用吊臂的长度和倾斜角的变化改变起升高度和工作半径．在某次起重作业中，学习兴趣小组通过测量和咨询工人师傅了解到如下信息：如图2，起重臂，点到水平地面的距离，点到的距离．求点到水平地面的距离． 【答案】点到水平地面的距离为 【分析】本题主要考查了矩形的性质与判定，勾股定理，先证明四边形是矩形求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】解：由题可知，，，， ． 四边形是矩形， ． ∵，， ∴在中，由勾股定理得：， ． 答：点到水平地面的距离为． 36．（2025八年级下·河北张家口·期末）小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离的长为24米． ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线的长为25米． ③小龙牵线放风筝的手到地面的距离长为1.6米． (1)求风筝到地面的距离线段的长； (2)如果小龙想要风筝沿方向再上升11米，和的长度不变，则他应该再放出多少米线？ 【答案】(1)米 (2)5米 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，从题中抽象出勾股定理这一数学模型，领会数形结合的思想的应用． （1）根据勾股定理求出，进而求出； （2）先根据勾股定理求出风筝线的长，再根据题意计算，得到答案． 【详解】（1）解：在中，，，， ∵， ∴， 则； 答：风筝到地面的距离线段的长为米； （2）风筝沿方向再上升11米后，则， 此时在中，，，， ∵， ∴风筝线的长， ∴（米）， 答：他应该再放出5米的风筝线. 37．（2025八年级下·河北保定·期末）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，这时为米，为米．    (1)梯子的长为______米； (2)如果梯子的顶端下滑米，那么梯子的底端也外移米吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)梯子的底端向外移米，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用： （1）直接在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）直接在中利用勾股定理求出移动后的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，在中，， ∴由勾股定理得米， 故答案为：； （2）解：梯子的底端向外移米，理由如下： 由题意得，此时在中，， ∴由勾股定理得， ∴梯子的底端向外移米 38．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知：如图，有人在岸上点C的地方，用绳子拉船靠岸，开始时，绳长CB=10米，CA⊥AB，且CA=6米，拉动绳子将船从点B沿BA方向行驶到点D后，绳长CD=6 米． （1）试判定△ACD的形状，并说明理由； （2）求船体移动距离BD的长度． 【答案】（1）△ACD是等腰直角三角形；（2）船体移动距离BD的长度为2m． 【分析】（1）直接利用勾股定理得出AD的长，进而得出△ACD的形状； （2）利用勾股定理得出AB的长，进而得出BD的长． 【详解】解：（1）由题意可得：AC=6m，DC=6m，∠CAD=90°， 可得AD==6（m）， 故△ACD是等腰直角三角形； （2）∵AC=6m，BC=10m，∠CAD=90°， ∴AB==8（m）， 则BD=AB-AD=8-6=2（m）． 答：船体移动距离BD的长度为2m． 【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，根据题意正确应用勾股定理是解题关键． 考点04 勾股定理逆定理的应用 39．（2025八年级下·河北张家口·期末）下列条件中，不能判定为直角三角形的是（    ） A． B． C． D．，， 【答案】D 【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方或最大角是否是即可． 【详解】解：、，是直角三角形，故能判定是直角三角形； 、，，故能判定是直角三角形； 、，，故能判定是直角三角形； 、，不是直角三角形，故不能判定是直角三角形； 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，可利用勾股定理的逆定理和直角三角形的定义判断． 40．（2025八年级下·河北邢台·期末）已知的三条边长分别为a，b，c，且满足，则一定是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【分析】由已知等式展开并整理，结合勾股定理逆定理判断三角形的形状即可． 本题考查了平方差公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握公式和定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴ ∴ 故一定是直角三角形， 故选：C． 41．（2025八年级下·河北保定·期末）若的三边长分别为5，12，13，则这个三角形的面积为（   ） A．78 B．65 C．60 D．30 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理． 先证明三角形是直角三角形，再根据直角三角形的面积公式计算． 【详解】解：∵， ∴是直角三角形，直角边为5和12，斜边为13， ∴的面积 故选：D． 42．（2025八年级下·河北保定·期末）下列每一组数据中的三个数值分别为三角形的三边长，不能构成直角三角形的是（     ） A．3、4、5 B．1、2、 C．5、12、13 D．、2、 【答案】D 【分析】欲求证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】A．32+42=52，故是直角三角形，故A选项不符合题意； B． ，故是直角三角形，故B选项不符合题意； C．52+122=132，故是直角三角形，故C选项不符合题意． D．（）2+22≠（）2，故不是直角三角形，故D选项符合题意． 故选D． 【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可． 43．（2025八年级下·河北沧州·期末）在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里，在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，则灯塔O位于渔船B的（   ） A．北偏西方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．南偏西方向 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理逆定理，方位角，解题的关键是利用勾股定理的逆定理求出，再求出，再根据方位角求解即可． 【详解】解：在某一时刻，渔船A和渔船B与灯塔O的位置如图，测得海里，海里，海里， ， 所以， 在灯塔O处测得渔船A位于北偏东方向，如下图： ， ， 则灯塔O位于渔船B的北偏西方向， 故选：C． 44．（2025八年级下·河北廊坊·期末）长度分别为 3 ,  4 , 5 , 12 ,13 的五根木棒能搭成(首尾连接)直角三角形的个数为 (     ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】分析：分别求出5个数字的平方，看哪两个的平方和等于第三个数的平方，从而可判断能构成直角三角形． 解答：解：∵32＝9，42＝16，52＝25，122＝144，132＝169， ∴9＋16＝25，25＋144＝169， 即32＋42＝52，52＋122＝132， 故选B． 点睛：本题考查了勾股定理的逆定理，解题的关键熟知勾股定理逆定理的内容． 45．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离为1.5米，则小巷的宽为 _____米． 【答案】2.7 【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理计算出AB长，再在中利用勾股定理计算出BD长，然后可得CD的长． 【详解】解：在Rt△ABC中，， ∴， 在中，， ∴CD=BC+BD=2+0.7=2.7m， 故答案为：2.7． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，关键是掌握利用勾股定理求有关线段的长度的方法． 46．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，已知∠A=90°，AC=AB=4，CD=2，BD=6．则∠ACD=________度． 【答案】45   【分析】在Rt△ABC中，求得BC2= 32，∠ACB=45°，在△BCD中，根据勾股定理的逆定理判定△BCD是直角三角形，即可求得∠DCB=90°，根据∠ACD=∠DCB-∠ACB即可求得∠ACD的度数. 【详解】在Rt△ABC中，∠A=90°， ∵AB=AC=4， ∴BC2=AB2+AC2=32，∠ACB=45°， 在△BCD中，CD=2，BD=6． ∵BC2+CD2=32+4=36=BD2， ∴△BCD是直角三角形， ∴∠DCB=90°， ∴∠ACD=∠DCB-∠ACB=90°-45°=45°. 故答案为45. 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练运用勾股定理及其逆定理是解决问题的关键. 47．（2025八年级下·河北邢台·期末）已知：如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，AC＝20，BC＝15，BD＝9． （1）求CD的长． （2）求AD的长． （3）△ABC是直角三角形吗？请说明理由． 【答案】（1）12；（2）16；（3）△ABC是直角三角形，理由见详解． 【分析】（1）在Rt△BCD中运用勾股定理即可求出CD的长； （2）在Rt△ACD中运用勾股定理即可求出AD的长； （3）已知△ABC的三边，根据勾股定理的逆定理即可判定△ABC是直角三角形． 【详解】解：（1）∵ CD⊥AB， ∴∠CDB＝∠CDA＝90°． 在Rt△CDB中，CD＝＝＝12． （2）在Rt△ACD中，∵∠CDA=90°，AC=20，CD=12， ∴AD＝ ＝＝16． （3）△ABC是直角三角形，理由如下： ∵AB＝AD＋BD＝16＋9＝25， ∴AC2＋CB2＝202＋152＝625， AB2=252=625， ∴AC2＋CB2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形． 【点睛】本题考查了勾股定理及其逆定理，比较简单，解题关键在于熟练运用勾股定理及其逆定理． 48．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图，四边形中，，嘉嘉和琪琪分析所标数据．得到下面结论： 嘉嘉说：四边形是平行四边形； 琪琪说：是直角三角形． 谁的说法正确，请选择其中一人的说法进行说理． 【答案】详见解析 【分析】本题主要考查直角三角形的判定和平行四边形的判定，根据得出，从而得出四边形的边长和的长，从而可判断出四边形是平行四边形及是直角三角形． 【详解】解：两人的说法都正确： ， ，解得， ， ， 四边形ABCD是平行四边形， 嘉嘉的说法正确； ， ，解得， ， 在中， ， ， 为直角三角形， 琪琪的说法正确． 49．（2025八年级下·河北张家口·期末）我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵ ， ， ∴， ∴． (2)如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)18， 10 (2)①直角三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：18，10； （2）①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② ∴． 试卷第2页，共44页 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $