专题01 二次根式（期末真题汇编，河北专用）八年级数学下学期

**基本信息** 二次根式专题期末试题汇编，涵盖7个高频考点，精选河北多地期末真题，题型含选择、填空、解答，注重基础与应用结合，如以赵爽弦图考乘除法，结合刹车距离问题体现实际价值。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约10题|考点01（有意义条件）、考点02（最简判断）|基础概念辨析，如判断最简二次根式| |填空|约5题|考点03（性质化简）、考点04（乘除）|性质应用，如已知条件化简二次根式| |解答|约15题|考点05（加减）、考点06（混合运算）、考点07（应用）|综合应用，如矩形阴影面积计算、刹车距离公式应用|

专题01 二次根式 高频考点概览 考点01使二次有意义的条件 考点02简二次根式的判断 考点03用二次根式的性质化简 考点04二次根式的乘除法 考点05二次根式的加减法 考点06二次根式的混合运输 考点07二次根式的应用 考点01 使二次有意义的条件 1．（2025八年级下·河北张家口·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（2025八年级下·河北唐山·期末）有意义，则的值可以是(   ) A． B． C． D． 3．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）函数自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 4．（2025八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点02 最简二次根式的判定 5．（2025八年级下·河北保定·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 6．（2025八年级下·河北廊坊·期末）下列各式属于最简二次根式的有（    ） A． B． C． D． 7．（2025八年级下·河北保定·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 8．（2025八年级下·河北保定·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 考点03 利用二次根式的性质化简 9．（2025八年级下·河北唐山·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 10．（2025八年级下·河北沧州·期末）已知，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11．（2025八年级下·河北张家口·期末）化简：__________． 12．（2025八年级下·河北唐山·期末）若，则______（写出一个值即可）． 13．（2025八年级下·河北廊坊·期末）当时，化简______． 考点04 二次根式的乘除法 14．（2025八年级下·河北石家庄·期末）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为___________． 15．（2025八年级下·河北保定·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 16．（2025八年级下·河北石家庄·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 17．（2025八年级下·河北邢台·期末）若，则“”处应填的数字为（   ） A． B． C． D． 18．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（   ） A．10 B．8 C． D． 19．（2025八年级下·河北沧州·期末）计算： 考点05 二次根式的加减法 20．（2025八年级下·河北保定·期末）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 21．（2025八年级下·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 22．（2025八年级下·河北唐山·期末）计算 (1) (2) 23．（2025八年级下·河北保定·期末）计算 (1)； (2)． 24．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知，求下列各式的值 (1) (2) 25．（2025八年级下·河北唐山·期末）已知，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 考点06 二次根式的混合运输 26．（2025八年级下·河北邢台·期末）计算：． 27．（2025八年级下·河北邯郸·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A．8分 B．12分 C．16分 D．20分 28．（2025八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 29．（2025八年级下·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 30．（2025八年级下·河北张家口·期末）计算： (1) (2) 31．（2025八年级下·河北张家口·期末）计算：． 32．（2025八年级下·河北张家口·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 33．（2025八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) 34．（2025八年级下·河北邢台·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 35．（2025八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1)； (2)已知：，，求． 36．（2025八年级下·河北邯郸·期末）（1）计算 ①；     ② （2）用适当的方法解下列方程 ①； ② 37．（2025八年级下·河北保定·期末）已知算式：，其中第四个根号下的被开方数□”模糊不清． (1)若“□”猜成50，求原式的值． (2)若“□”是正整数，且与可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 38．（2025八年级下·河北张家口·期末）我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵ ， ， ∴， ∴． (2)如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 考点07 二次根式的应用 39．（2025八年级下·河北沧州·期末）如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 40．（2025八年级下·河北保定·期末）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是______．（结果保留根号） 41．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 42．（2025八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 43．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图是可调躺椅示意图，与交于点，测得． (1)当时，测得，求的长； (2)为躺着更加舒服，准备在（1）的基础上调节的度数（与的长度不变），调节后测得，请通过计算说明，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（参考数据：） 试卷第2页，共24页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式 高频考点概览 考点01使二次有意义的条件 考点02简二次根式的判断 考点03用二次根式的性质化简 考点04二次根式的乘除法 考点05二次根式的加减法 考点06二次根式的混合运输 考点07二次根式的应用 考点01 使二次有意义的条件 1．（2025八年级下·河北张家口·期末）要使二次根式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，利用当二次根式有意义时，被开方数为非负数，得到有关的一元一次不等式，解之即可得到本题答案． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 故选：D． 2．（2025八年级下·河北唐山·期末）有意义，则的值可以是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件即可求解． 【详解】解：要使有意义，需满足被开方数， 解得． 故选：D 3．（2025八年级下·河北秦皇岛·期末）函数自变量x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】B 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，需同时考虑分式的分母不为零和二次根式的被开方数非负． 【详解】解：函数中，分母不能为0，即； 二次根式的被开方数需满足，即， 因此，自变量的取值范围是， 故选：B． 4．（2025八年级下·河北石家庄·期末）在函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式有意义以及分母不为0的条件即可求解． 【详解】依题意得 ∴ 故选：D． 【点睛】此题主要考查函数自变量的取值范围，解题的关键是熟知二次根式和分式有意义的条件． 考点02 最简二次根式的判定 5．（2025八年级下·河北保定·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，判定最简二次根式等知识点，解题的关键是掌握最简二次根式的形式． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数是整数，且不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母． 【详解】解：选项A：，被开方数为，即，分母含非整数，可化为，不符合最简条件，故不符合题意； 选项B：，被开方数是质数，无平方因数，且不含分母，符合最简条件，故符合题意； 选项C：，被开方数是完全平方数（），可化简为，不符合最简条件，故不符合题意； 选项D：，被开方数，其中是平方数，可化简为，不符合最简条件，故不符合题意； 故选：B． 6．（2025八年级下·河北廊坊·期末）下列各式属于最简二次根式的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查了对最简二次根式的定义的理解，能理解最简二次根式的定义是解此题的关键． 根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数的因数不含能开得尽方的数或式；②被开方数不含分母． 【详解】A、，被开方数为多项式，无法分解为平方数或因式，且不含分母，符合最简二次根式条件，符合题意； B、，被开方数，其中为完全平方数，故不是最简二次根式，不符合题意； C、，被开方数，其中为完全平方式，故不是最简二次根式，不符合题意； D、，被开方数含分母，故不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 7．（2025八年级下·河北保定·期末）下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简二次根式的判断，解题的关键是掌握满足最简二次根式的两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数不含能开方的因数或因式．据此判断即可． 【详解】解：A．是最简二次根式，故此选项符合题意； B．中的被开方数为，被开方数含分母，故不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C．中的被开方数含分母，故不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D．中的被开方数含能开方的因数，故不是最简二次根式，故此选项不符合题意． 故选：A． 8．（2025八年级下·河北保定·期末）下列二次根式中，是最简二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】被开方数中不含分母，不含能开得尽方的因数或因式即为最简二次根式，根据最简二次根式的定义依次判断即可． 【详解】解：A、是最简二次根式，故符合题意； B、，不是最简二次根式，不符合题意； C、=，不是最简二次根式，不符合题意； D、=，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题考查了最简二次根式的定义，熟记定义是解题的关键． 考点03 利用二次根式的性质化简 9．（2025八年级下·河北唐山·期末）化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可得出答案． 【详解】解：， 故选：B 10．（2025八年级下·河北沧州·期末）已知，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了根据二次根式的性质化简，化简绝对值，掌握是解题的关键． 根据二次根式的性质去化简，再根据绝对值的性质得到不等式，求解即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故选：B． 11．（2025八年级下·河北张家口·期末）化简：__________． 【答案】7 【详解】解：． 12．（2025八年级下·河北唐山·期末）若，则______（写出一个值即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了二次根式的性质，根据进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 取即可； 故答案为：（答案不唯一） 13．（2025八年级下·河北廊坊·期末）当时，化简______． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握性质是解答本题的关键．根据二次根式的性质，化简即可． 【详解】解：∵， ∴． 故答案为：． 考点04 二次根式的乘除法 14．（2025八年级下·河北石家庄·期末）三国时期数学家赵爽为《周髀算经》作注解写《勾股圆方图注》时给出了“赵爽弦图”，如图1，连接四条线段得到如图2的新的图案．如果图1中的直角三角形的较长直角边为4，斜边为，那么图2中阴影部分的面积为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，先利用勾股定理求出直角三角形较短的直角边的长，再根据阴影部分面积等于四个直角三角形面积加上中间一个正方形面积求解即可． 【详解】解；由题意得，直角三角形较短的直角边的长度为， ∴， 故答案为：． 15．（2025八年级下·河北保定·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，二次根式的加、减、乘、除运算，解题的关键是熟练掌握各运算的法则． 利用二次根式的加、减、乘、除运算法则，逐一验证各选项的正确性即可． 【详解】解：A选项：（合并同类二次根式，系数相减），结果不等于3，故错误，不符合题意； B选项：与不是同类二次根式，无法直接相加，，故错误，不符合题意； C选项：（分母有理化后结果），不等于，故错误，不符合题意； D选项：（二次根式乘法法则），运算正确，符合题意； 故选：D． 16．（2025八年级下·河北石家庄·期末）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减乘除运算，根据二次根式的运算法则，逐一验证各选项的正确性，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：A、不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； B、不是同类二次根式，不能合并，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 17．（2025八年级下·河北邢台·期末）若，则“”处应填的数字为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， ∴“”处应填的数字为． 故选：A． 18．（2025八年级下·河北廊坊·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴和x轴分别相交于A，B两点，已知x轴上的点C坐标为，以，为邻边构造平行四边形，则直线和直线的距离是（   ） A．10 B．8 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，勾股定理，一次函数与几何综合，求出，，可得，求解平行四边形的面积为，过作于，再利用等面积法列方程求解即可． 【详解】解：∵直线与x轴和y轴分别相交于A，B两点， ∴，， ∴， ∴， ∵点C坐标为， ∴， ∴平行四边形的面积， 如图所示，过作于， 由平行四边形的性质可得， ∴， 解得：， ∴直线和直线的距离是为； 故选：D． 19．（2025八年级下·河北沧州·期末）计算： 【答案】7． 【分析】根据二次根式的计算公式计算即可； 【详解】原式＝（12﹣6）+（4﹣3）÷ ＝6+1 ＝7． 【点睛】本题主要考查了二次根式的计算，准确计算是解题的关键． 考点05 二次根式的加减法 20．（2025八年级下·河北保定·期末）下面计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握二次根式加法和除法运算法则，二次根式性质，是解题的关键．二次根式加法和除法运算法则，二次根式性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、3与不能合并，所以A选项错误； B、，所以B选项正确； C、与不能合并，所以C选项错误； D、，所以D选项错误． 故选：B． 21．（2025八年级下·河北唐山·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据完全平方公式和二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解∶ ； （2）解∶ ． 22．（2025八年级下·河北唐山·期末）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式的应用． （1）根据二次根式的除法、二次根式的减法进行计算即可求解； （2）根据二次根式的乘法、完全平方公式和二次根式的加减混合运算进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 23．（2025八年级下·河北保定·期末）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式混合运算，涉及二次根式性质化简、二次根式加法运算、二次根式减法运算、二次根式乘法运算、二次根式除法运算、有理数减法运算等知识，熟记二次根式性质、二次根式加减乘除运算法则求解是解决问题的关键． （1）先由二次根式性质化简，再由二次根式加减运算合并同类二次根式求解即可得到答案； （2）先由二次根式除法运算法则和乘法运算法则求解，再由二次根式性质化简，最后由有理数减法运算计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 24．（2025八年级下·河北张家口·期末）已知，求下列各式的值 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的运算、平方差公式、因式分解，掌握运算法则是解题的关键． （1）原式化为，将代入，运算即可求得答案； （2）原式化为，将代入，运算即可求得答案． 【详解】（1）解：原式． 将代入，得 原式 （2）解：原式． ． 25．（2025八年级下·河北唐山·期末）已知，则（   ） A．10 B．15 C．20 D．25 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的加减法，掌握二次根式的运算是解题的关键．根据二次根式的加法求解即可． 【详解】解：由题意，， 合并同类项得． 两边平方得：， 因此，， 故选：C． 考点06 二次根式的混合运输 26．（2025八年级下·河北邢台·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 先利用零指数幂，绝对值的性质，二次根式的性质及运算法则计算，再算加减即可． 【详解】解： 27．（2025八年级下·河北邯郸·期末）下面是一位同学做的练习题，他的得分应是（   ） 填空：（每小题4分，共20分） ①的倒数是； ②的绝对值是； ③________： ④，则； ⑤ A．8分 B．12分 C．16分 D．20分 【答案】B 【分析】本题考查了实数的性质，立方根，零指数幂以及二次根式的乘除运算，根据分母有理化，相反数、倒数，绝对值，立方根，二次根式的乘除运算，根据倒数、绝对值、立方根的定义及二次根式的运算法则计算逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：①的倒数是，该题做错了，不得分； ②的绝对值是，该题做对了，得4分； ③，该题没做，不得分； ④，则，该题做对了，得4分； ⑤，该题做对了，得4分； 综上，正确题数为3题，每题4分，总得分为（分）， 故选：B． 28．（2025八年级下·河北邢台·期末）如图是一个程序框图，若输入，则输出y的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据程序写出代数式，再代入计算解答即可． 【详解】解：根据题意可知， ． 故选：B． 29．（2025八年级下·河北保定·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据运算法则来计算． （1）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算； （2）根据二次根式混合运算的运算法则进行计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 30．（2025八年级下·河北张家口·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先根据二次根式的性质化简，再计算加减法即可； （2）先计算二次根式乘法，再计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 31．（2025八年级下·河北张家口·期末）计算：． 【答案】 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式计算，再进一步去括号、计算加减即可． 【详解】原式 【点睛】本题主要考查二次根式的运算，解题的关键是掌握实数的混合运算顺序、运算法则和完全平方公式、平方差公式． 32．（2025八年级下·河北张家口·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)2． 【分析】（1）根据二次根式的乘法混合运算解答即可； （2）根据二次根式的乘法混合运算解答即可． 本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 33．（2025八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算，二次根式性质，熟练掌握二次根式混合运算法则，是解题的关键． （1）根据二次根式混合运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式混合运算法则，结合完全平方公式和平方差公式，进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 34．（2025八年级下·河北邢台·期末）计算下列各小题． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运乘方和乘法，再化简，最后运算减法，即可作答． （2）先运算乘法，再根据二次根式的性质进行化简，最后运算加减法，即可作答． 【详解】（1）解： ； （2）解： 35．（2025八年级下·河北廊坊·期末）计算： (1)； (2)已知：，，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算、代数式求值，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则是解答的关键． （1）利用完全平方公式和平方差公式，结合二次根式相关运算法则求解即可； （2）先求得，，然后分解因式，最后代值求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵，， ∴， ， ∴ ． 36．（2025八年级下·河北邯郸·期末）（1）计算 ①；     ② （2）用适当的方法解下列方程 ①； ② 【答案】（1）①15；②；（2）①，；②，． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算以及解一元二次方程的知识，掌握利用配方法和公式法解一元二次方程，是解答本题的关键． （1）①根据二次根式的乘除运算法则计算即可；②根据二次根式的混合运算法则计算即可； （2）①利用直接开平方法即可求解；②利用公式法即可求解． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2）①， 开方得， 解得：，； ②， 即，，， 则方程判别式为：， 即方程有两个不相等的解， 即：， 则有：，． 37．（2025八年级下·河北保定·期末）已知算式：，其中第四个根号下的被开方数□”模糊不清． (1)若“□”猜成50，求原式的值． (2)若“□”是正整数，且与可以合并，则原式存在最大值还是最小值？请判断并求出这个值． 【答案】(1) (2)原式存在最大值为 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键： （1）直接利用二次根式的混合运算法则进行计算即可； （2）由题意可知：最小为，得到原式有最大值，进行求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：原式存在最大值． ∵与可以合并，“□”是正整数，， ∴“☐”表示的数的最小值为2， ∴原式有最大值， 最大值． 38．（2025八年级下·河北张家口·期末）我校八年级六班的小静、小智、小慧是同一学习小组里的成员，小静在计算时出现了一步如下的错误：． 在小组合作环节中，小智与小慧分别从不同的角度帮助小静对这一错误进行分析： 小智的思路：将，两个式子分别平方后再进行比较； 小慧的思路：以，，为三边构造一个三角形，再由三角形的三边的关系判断与的大小关系． 根据小智与小慧的思路，请解答下列问题： (1)填空： ∵ ， ， ∴， ∴． (2)如图，以，，为三边构造△ABC． ①请判断△ABC是什么特殊的三角形，并说明理由； ②根据图形直接写出与的大小关系． 【答案】(1)18， 10 (2)①直角三角形，理由见解析；② 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算法则和三角形的三边关系是解题的关键． （1）根据二次根式的混合运算法则进行运算； （2）①根据勾股定理的逆定理进行判断；②根据三角形的三边关系求解． 【详解】（1）解：∵， ， 故答案为：18，10； （2）①为直角三角形；理由： ∵， ∴为直角三角形； ② ∴． 考点07 二次根式的应用 39．（2025八年级下·河北沧州·期末）如图，矩形中，相邻两个正方形和的面积分别为2和4，则图中阴影部分的面积是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查算术平方根，解答本题的关键是明确题意，求出大小正方形的边长，利用数形结合的思想解答． 先求出大、小正方形的边长，进而求出两个阴影图形面积之和即可． 【详解】解：由图可得，正方形和的边长分别为， ∴， ∴， 故选：C． 40．（2025八年级下·河北保定·期末）交警通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的公式是．其中（单位：）表示车速，（单位：）表示刹车后车轮滑过的距离，表示摩擦因数．在某次交通事故中，测得，．则汽车的车速是______．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题主要考查了利用二次根式的乘法公式逆运算进行化简，正确理解题意是解题的关键．直接用题目中速度公式进行计算即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 41．（2025八年级下·河北邯郸·期末）如图，甲和乙均是体积为且高为的长方体容器，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． (1)若，，．求乙容器的体积； (2)若，，求甲盒子的侧面积 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式乘法运算的应用，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）利用长方体的体积公式计算即可求解； （2）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解． 【详解】（1）解：由题意得乙容器的体积； （2）解：∵长方体体积相同，高相同， ∴甲、乙底面积相同． ∴， ∴， ∴甲盒子的侧面积为：． 42．（2025八年级下·河北石家庄·期末）某室内展区有一块长方形闲置区域（如图），该区域的长为米，宽为米，现计划在区域中间放置一个正方形展台（阴影部分），展台的边长为米． (1)求该长方形闲置区域的周长； (2)除去放置展台的地方，其余区域全部需要铺上红毯，若所铺红毯的售价为10元/平方米，则购买红毯大约需要花费多少元？（参考数据：，结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)1350.7元 【分析】本题考查了二次根式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据长方形的周长进行列式计算，即可作答． （2）先算出其余区域的面积为平方米，再结合所铺红毯的售价为10元/平方米，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，（米）． 答：该长方形闲置区域的周长为米 （2）解： （平方米）． ∴其余的面积为平方米， （元）． 答：购买红毯大约需要花费1350.7元． 43．（2025八年级下·河北张家口·期末）如图是可调躺椅示意图，与交于点，测得． (1)当时，测得，求的长； (2)为躺着更加舒服，准备在（1）的基础上调节的度数（与的长度不变），调节后测得，请通过计算说明，与（1）中的相比，调节后的长度变长或变短了多少．（参考数据：） 【答案】(1) (2)变长了 【分析】本题考查勾股定理、含角的直角三角形性质及二次根式运算，解题关键是利用直角三角形相关性质转化线段关系。 （1）已知，，，在中，根据勾股定理，代入数值计算得长； （2）过作于，利用含角的直角三角形性质得；再分别在、中，用勾股定理算出、；进而得，计算其值并与（1）中比较，求长度变化． 【详解】（1）解：，，， ， 即的长为； （2）如图，过点C作于点P． ， 在中， ， 在中， ， ． ， ∴调节后的长度变长了． 试卷第2页，共24页 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $