考点02 与二次函数的增减性相关的最值问题 3考点4题型+能力强化（专项训练）数学新教材人教版九年级上册

**基本信息** 该专项以“区间最值判断三步法”为核心，系统整合二次函数增减性与最值的概念、规律及应用，通过易错点剖析和分层题型设计，培养抽象能力与推理意识，构建完整解题体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |考点模块|3个核心考点+易错总结|基础公式记忆；增减性口诀（上开左降右升/下开左升右降）；三步法（求对称轴-判开口-定区间位置）|从解析式（概念）到增减性规律（原理）再到区间判断方法（应用），形成“概念-原理-方法”逻辑链| |题型模块|4类题型+13道变式（含中考模拟题）|自变量范围分类；闭区间端点比较；参数分类讨论；实际问题定义域优先|从基础计算到含参综合，再到实际应用，难度梯度适配中考，强化模型意识与应用能力|

考点02 与二次函数的增减性相关的最值问题 考点一：基础解析式与对称轴 标准式： 对称轴公式： 顶点纵坐标（全域最值）： 考点二：增减性规律 a>0，抛物线开口向上 对称轴左侧：，y随x增大减小 对称轴右侧：，y随x增大增大 图像有最小值，无最大值 a<0，抛物线开口向下 对称轴左侧：，y随x增大增大 对称轴右侧：，y随x增大减小 图像有最大值，无最小值 考点三：区间最值判断三步法 ① 求对称轴；② 判断开口方向；③ 看对称轴是否在自变量取值区间内 对称轴在区间内：一个最值在顶点，另一个最值在离对称轴远的端点 对称轴在区间左侧：整个区间单调，最值在两个端点 对称轴在区间右侧：整个区间单调，最值在两个端点 题型一：根据自变量的取值范围求函数的最值 易错：开口方向与增减性颠倒 误区：左增右增 / 左减右减 正解：上开口（）：左降右升；下开口（）：左升右降 【例1】求二次函数 的最值 解：，开口向上，有最小值无最大值 对称轴： 最小值：，无最大值 【变式1-1】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由． 【详解】（1）证明：∵线段绕点顺时针旋转至的位置， ∴，． ∵正方形， ∴，， ∴，即， ∵在和中， ， ∴； （2）解：∵正方形，为对角线，边长为 ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∵由（1）知， ∴，， ∴， ∵设，， ∴ ∵， ∴当时，有最大值， ∴，即， ∴在中点时，的面积最大． 【变式1-2】（2026·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 【答案】(1)，点的坐标为 (2)或3 (3)存在， 【详解】（1）解：将点和点代入中， 得， 解得，， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （2）解：设直线的解析式为， 把和代入可得， 解得， ∴直线的解析式为， 过Q点作轴于D点，交于E点， ∵Q点在抛物线上，且的横坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∵的面积等于3， ∴， ∴， 解得，． （3）解：由（2）知， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为4． 【变式1-3】（2026·山东临沂·一模）已知抛物线的顶点为P，点，是抛物线上的任意两点． (1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； (2)当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值； (3)若对于，当时，总有，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)3 (3) 【详解】（1）解：将代入抛物线解析式可得：， 解得：， 当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式为； （2）解：抛物线， 其顶点为， 当点位于轴下方时，， 点到轴的距离为， ， 当时，取得最小值， 即点到轴距离的最小值为； （3）解：当时，， 当时，， ∵， ∴， 整理得：， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴． 【变式1-4】（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．    (1)点的坐标________，点的坐标________ (2)求抛物线的解析式及点，的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)； (2)点的坐标为；顶点的坐标为． (3)能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为 【详解】（1）解：对于直线， 当时，， 解得， 所以点的坐标为； 当时，， 所以点的坐标为 故答案为：； （2）解：将，代入，得， 解得， 所以抛物线解析式为． 令，则， 即， 解得，， 因为点在轴正半轴上， 所以点的坐标为． ， 所以顶点的坐标为． （3）解：能截出面积最大的矩形． 设矩形中，、在上，在上，在上，矩形的高为， 直线的解析式：设为， 将，代入，得，解得， 所以； 直线的解析式为． 当时，在中，，在中，， 所以矩形的长为， 矩形面积， ， 当时，有最大值，． 答：能截出面积最大的矩形，矩形面积的最大值为 题型二：闭区间内最值（高频必考） 易错1：忽略自变量取值范围 误区：不管x范围，一律用顶点求最值 正解：顶点最值只适用于全体实数；有范围必须结合区间判断 举例：，，不能取最小值，只能按区间增减求解 易错2：区间端点远近判断失误 误区：对称轴在区间内，随便取端点定最值 正解：离对称轴越远，函数值差值越大，最值出在远端点 情况1：对称轴在取值区间中间 【例2-1】已知 ，求 时最值 解：，开口向上，对称轴，在内 顶点处取最小值： 比较两端点：； 最大值为 综上：最小值，最大值 情况2：对称轴在区间左侧（区间单调递增） 【例2-2】，求 时最值 对称轴在区间左边，区间内随增大而增大 最小值，最大值 情况3：对称轴在区间右侧（区间单调递减） 【例2-3】，时最值 对称轴在区间右侧，区间内随增大而减小 最小值，最大值 【变式2-1】（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求y的最大值与最小值的差； (3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值． 【答案】(1) (2)4 (3)5或 【详解】（1）解：把，代入得， 解得：， 抛物线的表达式． （2）解：抛物线的表达式， 顶点坐标为，对称轴为直线， ， 当时，y有最小值，此时， ， 当时，y有最大值，此时， y的最大值与最小值的差为． （3）解：过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点， 设，，则是方程的两根， 整理得， ， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， 当 时， ， 此时由 得 ，即 ， ∵ ，解得 ，这与 矛盾，故舍去； t的值为5或． 【变式2-2】（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时,,求k的最大值． (3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【答案】(1) (2)2． (3)． 【详解】（1）解：把代入,得,解得, ∴抛物线的函数表达式为． （2）解：∵,,对称轴为直线, ∴当时,；而当或2时,, ∴由图象可得,当时,, ∴k的最大值为2． （3）解：∵点和点关于对称轴为直线对称， ∴，即, ∵ , 即, ∴． ∵,且当时，y随x的增大而减小, ∴当时,；时,． ∴t的取值范围是． 【变式2-3】（2026·江苏南京·一模）已知抛物线（为常数，）． (1)若该抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若，求出当时该函数的最大值与最小值的差； (3)已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________． 【答案】(1)（或） (2) (3)或 【详解】（1）解：已知抛物线经过点 将代入解析式得 得， 解得 因此抛物线的表达式为，展开可得 （2）解：当时，抛物线解析式为 抛物线开口向上，对称轴为直线 在范围内，当时，取得最小值，最小值为 当时， 当时， 因此在范围内的最大值为 最大值与最小值的差为 （3）解：抛物线的对称轴为直线 点到对称轴的距离为， 点到对称轴的距离为 当时，抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大 ∵，则 ∵ 解得： ∴ 当时，抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小 ∴ 解得： 综上所述，或 【变式2-4】（2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟数学）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． 【详解】（1）解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． （2）解：，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． （3）解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 【变式2-5】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)当时，求的取值范围； (4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)或 【详解】（1）解：将点A，点C坐标代入函数解析式，联立解方程组 解得， ． （2）解：过抛物线的顶点D，作x轴的垂线，交x轴于点E，交于点F，点F与点D横坐标相同，如下图 ， ， 设过点、点的直线为， ∴ 解得， ， 点代入得， 的长度为点D与点F的纵坐标相减， ， ． （3）解：函数图象开口向下，包含了对称轴，则在顶点取得最大值， ， ， 取得最小值， ， ． （4）解：时，， 分两种情况讨论： ① ， 列方程， 解得， 如果，则，，不符合题意，舍去； ，符合题意； ② ， ， 解方程， 解得， 因为，不符合题意，舍去；符合题意， 综上所述，或． 题型三：含参数二次函数增减性与最值 易错：含参函数不分类讨论 误区：默认对称轴在区间中间直接代顶点 正解：参数变动对称轴移动，必须分左、中、右三种位置讨论 【例3】二次函数，在有最小值，求参数取值及最值 对称轴： 1.：区间递增，最小值在 2.：最小值在顶点 3.：区间递减，最小值在 【变式3-1】（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 【答案】(1) (2)①，②的值为或． 【详解】（1）解：∵， ∴对称轴为直线． （2）解：①如图1，当时， 则二次函数的图象经过点， ∴， ∴当时，． ②如图2，∵，且二次函数图象的对称轴为直线， ∴点在二次函数的图象上， ∴，解得． ∴． （Ⅰ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得（舍去）或． （Ⅱ）当时，， ∴当时，二次函数的最小值为2， ∴，解得或（舍去）． 综上：的值为或． 【变式3-2】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）． (1)求这个函数图象的最小值； (2)无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标； (3)若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围． 【答案】(1)当时，；当时， (2) (3)当时，函数解析式为，的取值范围；当时，函数解析式为，的取值范围． 【详解】（1）解：， 故函数的对称轴为直线， 当时，即时， ， 故在处取得最小值，； 当时，即时， ， 故在处取得最小值，； 当时，；当时，； （2）解：令，则， 即， 无论取任何实数，抛物线过轴上一定点， ， 解得， 故定点坐标为； （3）解：在图像上， 将代入，得， 解得或， 当时，函数解析式为，对称轴为直线， ，当时， 随的增大而减小； 当时，函数解析式为，对称轴为直线， ，当时，随的增大而减小； 当时，函数解析式为，的取值范围； 当时，函数解析式为，的取值范围． 【变式3-3】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数） (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标； (2)若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围； (3)若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值． 【答案】(1) (2) (3)1 【详解】（1）解：当 ， 时，， 该函数图象的顶点坐标为 ， （2）解：∵ 点 ，都在抛物线上，且纵坐标相同， 、关于对称轴对称， 抛物线 的对称轴为 ， ​，即 ， ， ， ； （3）解：， ， 对称轴为 ，开口向下， ​， 对称轴在内， 当时，， 当 时，； 当 时，， 比较两端点： ， ​， ，即 ， （在 处取得）， 由题意：， ， ， ， 或 （舍去，不满足 ​）， ． 【变式3-4】（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)不存在“双倍点”，理由见解析 (3)或 (4)的值为或 【详解】（1）解：设直线上的“双倍点”的坐标， ∴， 解得：， ∴， ∴直线上的“双倍点”的坐标． （2）解：不存在“双倍点”，理由如下： 设在反比例函数图象上， ∴ ∴，此方程无实数解， ∴在反比例函数图象上不存在“双倍点”． （3）解：∵二次函数解析式为， ∴当时，， ∴函数的图象与轴的交点坐标是， ∵函数的图象与轴的交点是“双倍点”， ∴， ∴， ∴顶点坐标为， ∵该二次函数是“双倍二次函数”， ∴， 解得：或， ∴二次函数的解析式为或． （4）解：设“双倍二次函数”， ∵为“双倍点”， ∴， ∴， 解得：或， 当时，顶点为，不合题意，舍去； ∴时，这个“双倍二次函数”为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为， ∴当时，在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）； 当时，时，函数的最小值为，不存在满足条件的t值； 当时，即时，在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，函数有最小值，即， 解得：或（舍去）， 综上所述，的值为或． 题型四：实际应用最值（应用题必考） 易错：实际应用题忘限定定义域 误区：列出函数直接求顶点最值 正解：利润、面积类题目，自变量受实际意义限制，优先圈定$x$取值范围再求最值 【例4-1】（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值． 【答案】(1) (2)48000元 【详解】（1）解：设与的函数解析式为， 由题意得：， 解得：， 与的函数解析式为； （2）解：由（1）得：， ， ， 当时，随的增大而增大， ， 当时，最大，元 【例4-2】（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人． 信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆． 问题解决： (1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 【答案】(1)型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人 (2) （，且为整数）． (3)租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少． 【详解】（1）解：设型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人． 根据题意得 解得 答：型客车每辆满员载客人，型客车每辆满员载客人． （2）解：设租用型客车辆，则租用型客车 辆． 根据总载客量不小于人，得 解得 ∵A型客车不少于9辆 ∴ ，解得 ∵为正整数， ∴，且为整数 根据租车总费用规则，得 整理得 即与的函数关系式为 （，且为整数）． （3）解： ∵， ∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小 ∵ ∴时，取得最小值 此时A型客车数量为 （辆），满足 的要求 答：租用型客车辆，型客车辆时，租车总费用最少． 【变式4-1】（2026·江苏泰州·一模）为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元． (1)当时，求与的函数关系式； (2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？ 【答案】(1)当时，； (2)甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元． 【分析】（1）设，把，代入，可得、，即可求解； （2）设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元，根据二次函数的图象和性质即可求解． 【详解】（1）解：当时，设， 把，代入， 得， 解得， ∴当时，． （2）解：设甲种花卉种植面积为，则乙种花卉种植面积为，总费用为元． ∵甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍， ∴， 解得． 当时，， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，最小，最小为（元）， 当时，， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线，且， ∴时，取最小值，最小为（元）， ∵， ∴当时，取最小值，最小为元， 此时，． 答：甲种面积为，乙种面积为，种植的总费用最少，最少元． 【变式4-2】（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)①315（元）；②400（元） (3)原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元 【详解】（1）解：设n与x的函数关系式为， 由题意得，，解得， ∴； （2）解：①当时，，， ∵，∴基底原液可全部卖完， 奶茶小店每天销售基底原液利润为：（元）； ②当时，，， ∵，∴基底原液无法卖完． 奶茶小店每天销售基底原液获得的利润为：（元）． （3）解：设奶茶小店每天获得的利润为w元， ①当每天的产量不大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则， ∵，对称轴为直线，∴当时，w随x的增大而增大， ∴当时，（元）； ②当每天的产量大于市场需求量时，即， 即，解得，∴； 则 ， ∵，对称轴为直线， ∴当时，（元）， ∵ ∴原液定价为元/升时，每天可获得最大利润为元． 【变式4-3】（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 【答案】(1) (2)​；单价为元时利润最大，最大利润为元 (3)；的值为 【详解】（1）解：设一次函数解析式为，将表格中、代入，得 ， 解得， ∴游客人数与门票单价的函数表达式为； （2）解：设环保费与的二次函数关系式为，代入、，得 ， 解得 ∴， ∴ ​， ∵， ∴二次函数开口向下，函数有最大值， ∵对称轴，满足， ∴当时，， 即单价为元时利润最大，最大利润为元； （3）解：运营成本每人降低元后， ​， ∵， ∴二次函数开口向下， ∵对称轴为， ∴当时，随增大而减小， ∵， ∴， ∴， ∵，即，， ∴当时，， 当时，， 解得， ∴当利润最大值为元时的值为． 【变式4-4】（2026·贵州·模拟预测）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为1400m，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题： (1)求缆索所在抛物线的解析式； (2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 【答案】(1)抛物线解析式为 (2)①更换工作需要准备灯管长约为46米；②缆索与该光线的最大竖直距离为米 【详解】（1）由题意可知，抛物线顶点 P 的坐标为， 设抛物线解析式为， 把代入抛物线得：，解得， ∴ 抛物线解析式为； （2）①当时，， ∴ 更换工作需要准备灯带长为（米）； ②设直线的解析式为， 把，代入解析式得： ， ∴解得， ∴ 直线的解析式为， ∴ 缆索与该光线的竖直距离： ∵，∴ 当时，d 有最大值，最大值为． ∴ 缆索与该光线的最大竖直距离为米． 1．（2026·山西忻州·一模）项目式学习 项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究． 数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示． (1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为 ． (2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ (3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值． 【答案】(1)一次； (2)当售价定为30元时，日利润最大，最大日利润为4000元，见详解 (3)2 【详解】（1）解：一次；． 提示：观察图象可知，售价每增加5元，销量就减少50瓶，所以每日销量是售价的一次函数． 设一次函数为，将，代入得 解得 所以关于的函数表达式为； （2）解：设日利润为w元，根据题意得 ． 因为，抛物线开口向下；对称轴为，且， 所以当时，取得最大值，最大值为4000元，即售价定为30元时，日利润最大，最大日利润是4000元； （3）解：． 进价上涨元后，每瓶利润为元，则日利润为． 整理，得． 因为对称轴，， 所以对称轴仍满足在范围内， 所以当时，取得最大值． 把代入原式得， 解得，（不合题意，舍去）． 2．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当时，二次函数的最大值为，最小值为 (3) 【详解】（1）解：将点，点代入， 得，解得，                      ∴二次函数的解析式为． （2）解：， ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取最大值为．           ∵， ∴当时，．         当时，．        ∴当时，二次函数的最大值为，最小值为． （3）解：，         当时，即，，的长度随增大而增大，不符合题意．        当时，即，，的长度随的增大而减小， ∴的取值范围为． 3．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求b的值（用含a的式子表示）； (2)已知二次函数的最大值为； ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【详解】（1）解：∵二次函数过点、， ∴， ∴． （2）解：①把，点，代入得： ， ∴， ∴函数表达式为：， ∴其对称轴为直线， ∴将代入得： ， 解得：（舍去，此时函数开口向上，无最大值）， ∴二次函数表达式为：． ②证明：由二次函数的对称性得，即， ∵点在函数图象上， ∴， ∴， ∴， ∴左边 因为题目已知，且点、是抛物线与x轴的交点， 所以且，分子分母可以约去： 左边右边． 4．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数，其中、为两个不相等的实数． (1)当，时，求该函数图象的对称轴； (2)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点； (3)若函数在时，随的增大而减小，且满足，求的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值． 【答案】(1)对称轴为直线 (2)见解析 (3)的取值范围为，此时函数顶点纵坐标的最大值为 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴对称轴为直线． （2）证明：∵，，， ∴， ∵，是不相等的实数， ∴，即， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点． （3）解：∵二次函数解析式为，， ∴对称轴为直线，抛物线开口向上， ∵函数在时，随的增大而减小， ∴， ∵， ∴， ∴， 设顶点纵坐标为， ∴ ， ∴抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∴时，为， 的取值范围为，函数顶点纵坐标的最大值为． 5．（2026·广西钦州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长； (3)当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围． 【答案】(1) (2)4 (3) 【详解】（1）解：当时，抛物线为． ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：抛物线向上平移2个单位后为， 令，即， ， ， 解得或， ∴抛物线与轴的交点分别为，， ； （3）解：， ∴对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向上， ，， ∴当时，取到最小值为， 当时，取到最大值，最大值为， 的最大值与最小值之差为5， ， 化简得：，即， ， ， ， ， ． 6．（25-26八年级下·河南新乡·期中）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人． 信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆B型客车，B型客车租车单价减少50元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车不少于9辆． 问题解决： (1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用B型客车x（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是W（单位：元），求W与x的函数关系式；（租车总费用租用A型客车的费用租用B型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 【答案】(1)A型客车每辆满员载客40人，B型客车每辆满员载客60人 (2) （，且为整数） (3)租用A型客车12辆，B型客车8辆时，租车总费用最少 【详解】（1）解：设A型客车每辆满员载客人，B型客车每辆满员载客人． 根据题意得 ， 解得 ， 答：A型客车每辆满员载客人，B型客车每辆满员载客人． （2）解：设租用B型客车辆，则租用A型客车 辆， 根据总载客量不小于人，得 ， 解得 ， ∵A型客车不少于9辆 ， ∴ ，解得 ， ∵为正整数， ∴，且为整数 ， 根据租车总费用规则，得 整理得 即与的函数关系式为 （，且为整数）． （3）解： ∵， ∴二次函数开口向下，顶点是最大值点，离对称轴越远，越小 ∵ ∴时，取得最小值 , 此时A型客车数量为 （辆），满足 的要求 , 答：租用A型客车辆，B型客车辆时，租车总费用最少． 7．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值． 【答案】(1)对称轴为 (2)解析式为 (3)或 【详解】（1）解：把，代入， 得：， 整理得：， ∴对称轴为． （2）解：由（1）可得，， ，， ， ， ， ∴解析式为． （3）解：由（2）可得：二次函数解析式为， ∴当时，y有最大值为6， ∵当时，y有最大值为3， ∴不成立， ∴或者： ①当时，y随x的增大而减小， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或2， ， ， ②当，即时，y随x的增大而增大， 当时，y有最大值为3， 把，代入得：， 解得或， ， ， 综上所述，或． 8．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点． (1)求A点坐标； (2)两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围； (3)当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值． 【答案】(1)A点坐标为 (2)t的取值范围是或 (3) 【详解】（1）解：由题意可知，新抛物线解析式为， 令，代入可得， 解得， 又∵点A在点B的左边， ∴A点坐标为； （2）解：令，可得， 解得， ∴点关于直线的对称点是， 当点在新抛物线对称轴右侧时，则； 当Q点在新抛物线对称轴左侧时，， 解得． 综上所述，t的取值范围是或； （3）解：∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵新抛物线对称轴为直线，且， ∴当时，y取最小值，当时，y取最大值， 即， ∵， ∴， ∴ ． ∵， ∴， ∵为整数， ∴或， ∴（舍去）或， ∴当，此时； 当，此时，但此时不满足题意，故舍去． 将，代入， 解得． 9．（2026·江西·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)求，之间的关系式； (3)若抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式； (4)若抛物线开口向下，且当时，二次函数的最大值为，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)抛物线的解析式为或； (4)． 【详解】（1）解：由直线得， 令，则，解得， ∴， 令，则， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵抛物线经过点和， ∴， ∴； （3）解：由的顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， ， 由（）得，，， ∴，整理得， 解得或， 当时，；当时，； ∴抛物线的解析式为或； （4）解：∵抛物线开口向下， ∴，且，， ∴抛物线解析式为， ∴对称轴为， ∵， ∴， ∴对称轴， 分两种情况讨论： 当，即时， 此时二次函数的最大值在顶点处，最大值为， ∴， 把，代入整理得， 解得或， 当时，对称轴，满足，符合条件； 当时，对称轴，不满足，舍去； 当，即对称轴在区间右侧， ∵开口向下， ∴随增大而增大， ∴当时有最大值， 把得，解得，不符合，舍去； 综上可得：． 10．（2026·江苏常州·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）． (1)若抛物线经过，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【详解】（1）①解：将，代入解析式，得， 解得， 抛物线的解析式为， 该抛物线的顶点坐标为． ②解：根据题意可知，向下平移个单位得到的新抛物线的解析式为， 将点代入，得，即， ， 当时，有最小值，最小值为， 当时，， 当时，， 的取值范围为． （2）解：抛物线开口向上，对称轴为， 当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2， ， 即当时，；当时，， 代入抛物线得， 解得或（不合题意舍去）， 该抛物线的解析式为． 11．（2026·山东东营·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上一动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)存在，坐标为或 (3) 【详解】（1）设交点式： ， 将代入得， 解得， 所以二次函数的表达式为； （2）存在， 设直线的解析式为， 把、代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设， ∴，， ， 分三种情况讨论直角顶点： 若直角顶点为：代入，解得，此时与重合，舍去； 若直角顶点为：代入，解得，得； 若直角顶点为：代入，解得（舍去）或，得． （3）设， ∵点，点， ∴同理可求得直线的解析式为， ∵， ∴设直线的解析式为， 将点代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 联立，得的纵坐标． ∵和点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，最大， 此时． ∴当S取得最大值时，． 12．（25-26九年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上任意两点，对于，，都有，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【详解】（1）解：当时，则抛物线为：， ∴该抛物线的顶点坐标为； （2）解：∵抛物线， ∴对称轴为：， ∵， ∴，是一组对称点， ∴， ∵当，， ∴， ∴， ∴ 即 （3）解：∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ①当时，即时， ∵在对称轴右侧，随的增大而增大， ∴当时，有最小值为， ∴， 解得：； ②当时，即时， 当时，有最小值为， ∴， 解得：，  （舍去） ③当时，即时， ∵在对称轴左侧，随的增大而减小， ∴当时，有最小值为， 即， 解得：， 综上所述，的值为． 13．（2026·山西朔州·一模）综合与实践 问题情境：为拓宽农产品销售渠道，助力乡村产业发展，某合作社决定开展助农直播带货，销售本地优质大米，该大米售价为9元/千克，生产成本为3元/千克． 调研数据： 信息1：每场直播销量y（千克）与每场直播时长x（小时）的部分数据如下表： 每场直播时长x/小时 1 1.5 2 2.5 每场直播销量y/千克 150 175 200 225 信息2：在直播6小时内，每千克运营成本z（元）与每场直播时长x（时）满足的函数关系如图所示． 信息3：每场直播的利润． 问题解决： (1)y与x的函数关系满足 函数关系（“一次”“反比例”“二次”），z与x的函数表达式为 ． (2)若该合作社希望一场直播利润达到700元，且直播时长要短，求该场直播的时长． (3)合作社为了提升直播品质，吸引更多观众，决定增加运营投入，如：布置丰富的场景，增加互动礼品等，经统计数据发现：每千克的运营成本与直播时长的关系为，同时大米售价定为10元/千克，在其他条件不变的情况下，计算该场直播时长为多少时，利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1)一次， (2)该场直播时长为3小时 (3)该场直播的时长为4小时，利润最大，最大利润为900元 【详解】（1）解：观察表格中的数据，当增加0.5时，增加25， 每组数据的比值：；，所以，是一次函数，不是正比例函数； 每组数据的变化率：；，变化率相同， ∴y与x的函数关系满足一次函数关系； 由图象可得与是一次函数关系，且图象经过点和， 设与的函数关系式为， 把点和代入得， 解得 ∴z与x的函数表达式为 （2）解：∴设y与x的函数表达式为． 将，代入得， 解得， 与x的函数表达式为． 由题意得，． 当时，． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：该场直播时长为3小时． （3）解：设增加运营成本后直播的利润为P元． 则． 当时，该场直播利润最大． （元）． 答：该场直播的时长为4小时，利润最大，最大利润为900元． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 考点02 与二次函数的增减性相关的最值问题 考点一：基础解析式与对称轴 标准式： 对称轴公式： 顶点纵坐标（全域最值）： 考点二：增减性规律 a>0，抛物线开口向上 对称轴左侧：，y随x增大减小 对称轴右侧：，y随x增大增大 图像有最小值，无最大值 a<0，抛物线开口向下 对称轴左侧：，y随x增大增大 对称轴右侧：，y随x增大减小 图像有最大值，无最小值 考点三：区间最值判断三步法 ① 求对称轴；② 判断开口方向；③ 看对称轴是否在自变量取值区间内 对称轴在区间内：一个最值在顶点，另一个最值在离对称轴远的端点 对称轴在区间左侧：整个区间单调，最值在两个端点 对称轴在区间右侧：整个区间单调，最值在两个端点 题型一：根据自变量的取值范围求函数的最值 易错：开口方向与增减性颠倒 误区：左增右增 / 左减右减 正解：上开口（）：左降右升；下开口（）：左升右降 【例1】求二次函数 的最值 【变式1-1】（25-26九年级下·广西崇左·期中）如图，已知正方形的边长为，点是对角线上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转至的位置，连接． (1)求证：； (2)当点在什么位置时，的面积最大？并说明理由． 【变式1-2】（2026·山东东营·一模）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，连接，点是线段上的动点（与点B，C不重合），连接并延长交抛物线于点，连接，，设点的横坐标为． (1)求抛物线的解析式和点的坐标； (2)当的面积等于3时，求的值； (3)在点运动过程中，是否存在值使得的面积最大？若存在，求出值；若不存在，请说理由． 【变式1-3】（2026·山东临沂·一模）已知抛物线的顶点为P，点，是抛物线上的任意两点． (1)当抛物线经过原点时，求抛物线的表达式； (2)当点P位于x轴下方时，求点P到x轴距离的最小值； (3)若对于，当时，总有，请直接写出m的取值范围． 【变式1-4】（25-26九年级下·宁夏银川·期中）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴正半轴上，抛物线经过，，三点，顶点为．    (1)点的坐标________，点的坐标________ (2)求抛物线的解析式及点，的坐标； (3)探究在内部能否截出面积最大的矩形（顶点，，，在各边上，且其中有两个顶点在线段上）？若能，求出矩形面积的最大值；若不能，请说明理由． 题型二：闭区间内最值（高频必考） 易错1：忽略自变量取值范围 误区：不管x范围，一律用顶点求最值 正解：顶点最值只适用于全体实数；有范围必须结合区间判断 举例：，，不能取最小值，只能按区间增减求解 易错2：区间端点远近判断失误 误区：对称轴在区间内，随便取端点定最值 正解：离对称轴越远，函数值差值越大，最值出在远端点 情况1：对称轴在取值区间中间 【例2-1】已知 ，求 时最值 情况2：对称轴在区间左侧（区间单调递增） 【例2-2】，求 时最值 情况3：对称轴在区间右侧（区间单调递减） 【例2-3】，时最值 【变式2-1】（2026·河南许昌·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于，两点． (1)求抛物线的表达式； (2)当时，求y的最大值与最小值的差； (3)过点作与x轴平行的直线，交该抛物线于C，D两点（点C在点D左侧），当时，请直接写出t的值． 【变式2-2】（2026·浙江温州·一模）已知抛物线（b为常数）经过点,． (1)求抛物线的函数表达式． (2)当时,,求k的最大值． (3)过点B与x轴平行的直线交抛物线于点,若,求t的取值范围． 【变式2-3】（2026·江苏南京·一模）已知抛物线（为常数，）． (1)若该抛物线经过点，求抛物线的表达式； (2)若，求出当时该函数的最大值与最小值的差； (3)已知点和均在该抛物线上，若，直接写出的取值范围_________． 【变式2-4】（2026年江苏淮安市开明中学等校中考第一次模拟数学）已知二次函数（m为常数）． (1)当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； (2)当时，y的最大值是8，求m的值； (3)如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【变式2-5】（2026·海南省直辖县级单位·一模）如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，且交轴于点、B，D是抛物线的顶点． (1)求二次函数的解析式； (2)求的面积； (3)当时，求的取值范围； (4)当时，若的最大值与最小值之和为10，求的值． 题型三：含参数二次函数增减性与最值 易错：含参函数不分类讨论 误区：默认对称轴在区间中间直接代顶点 正解：参数变动对称轴移动，必须分左、中、右三种位置讨论 【例3】二次函数，在有最小值，求参数取值及最值 【变式3-1】（2026·浙江嘉兴·一模）已知二次函数（为常数）． (1)求该二次函数图象的对称轴． (2)过点且与轴平行的直线交二次函数的图象于点，，． ①求的取值范围； ②若，且当时，二次函数的最小值为2，求的值． 【变式3-2】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知函数（为常数）． (1)求这个函数图象的最小值； (2)无论取任何实数，抛物线过轴上一定点，求定点坐标； (3)若点在这个函数图象上，求函数的解析式，并直接写出函数值随增大而减小时的取值范围． 【变式3-3】（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，已知二次函数（b，c为常数） (1)当，时，求该函数图象的顶点坐标； (2)若该二次函数图象经过点，且，求b的取值范围； (3)若，，且当时，的最大值与最小值的差为4，求c的值． 【变式3-4】（2026·湖南长沙·模拟预测）在平面直角坐标系中，如果一个点的纵坐标是其横坐标的倍，我们称这个点为“双倍点”，例如就是“双倍点”．若二次函数图象的顶点为“双倍点”，则我们称这个二次函数为“双倍二次函数”，例如二次函数就是“双倍二次函数”． (1)求直线上的“双倍点”的坐标； (2)反比例函数图象上否存在“双倍点”？如存在，求出其坐标；如不存在，说明理由； (3)已知二次函数（，是常数）是“双倍二次函数”，且函数图象与轴的交点是“双倍点”，求二次函数的解析式； (4)若“双倍二次函数”（，是常数）的图象过除顶点外的另一个“双倍点”，并当时，函数最小值为，求的值． 题型四：实际应用最值（应用题必考） 易错：实际应用题忘限定定义域 误区：列出函数直接求顶点最值 正解：利润、面积类题目，自变量受实际意义限制，优先圈定$x$取值范围再求最值 【例4-1】（2026·云南昆明·二模）普洱茶是云南的特色产品，某茶叶销售店以每饼120元的成本购进一批普洱茶饼，根据市场调研，销售单价不低于成本单价，也不高于每饼200元，已知每季度销售量（单位：饼）与销售单价（单位：元）符合一次函数关系，如图是与的函数关系图象． (1)求与的函数解析式，并直接写出的取值范围； (2)设该茶叶销售店每季度销售茶叶获得的利润为元，求的最大值． 【例4-2】（2026·湖北武汉·一模）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有，两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，辆型客车载客人数和辆型客车载客人数相同，辆型客车和辆型客车共载客人． 信息2：型客车租车费用固定为元辆；型客车租一辆车的费用为元，每多租一辆，型客车租车单价减少元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有人；租用，两种型号客车共辆，其中型客车不少于辆． 问题解决： (1)求，两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用型客车（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是（单位：元），求与的函数关系式；（租车总费用租用型客车的费用租用型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 【变式4-1】（2026·江苏泰州·一模）为增强民众生活幸福感，市政府推进老旧小区改造工程．某小区计划在的绿化带上种植甲、乙两种花卉．市场调查发现：甲种花卉种植费用（元）与种植面积（）之间的函数关系如图所示，乙种花卉种植费用为元． (1)当时，求与的函数关系式； (2)当甲种花卉种植面积不少于，且乙种花卉种植面积不低于甲种花卉种植面积的倍时，如何分配甲、乙两种花卉的种植面积才能使种植的总费用最少？最少是多少元？ 【变式4-2】（2026·四川南充·一模）某奶茶小店自制一款爆款奶茶基底原液，成本为2元/升．每天店内自制产量m（升）与售卖定价x（元/升）满足函数关系：．结合市场消费调研，每天市场需求量n（升）与售卖定价x（元/升）为一次函数关系，部分统计数据如下表： 销售价格x（元/升） 4 5 10 市场需求量n（升） 120 110 60 经营规则：当每天自制产量不超过市场需求量时，基底原液全部卖完；当每天自制产量大于市场需求量，仅卖出对应需求量基底原液，剩余基底原液因隔夜变质全部倒掉；售卖定价不低于4元/升，不高于10元/升． (1)求n与x的函数关系式； (2)①当售卖定价为5元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； ②当售卖定价为8元时，求奶茶小店每天销售基底原液获得的利润； (3)当基底原液定价为多少元时，奶茶小店每天可获得最大利润？最大利润为多少元？ 【变式4-3】（2026·山东青岛·一模）某景区为吸引游客，将门票单价定为元/张，并且要求单价不能低于元．经市场调查，每日游客人数（人）与门票单价（元）满足一次函数关系，部分数据如下表： 门票单价（元） 游客人数（人） 景区每日运营成本为每人元，另需支付固定维护费每日元和环保费．经统计，环保费元与游客人数人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），其图象如图所示． (1)求游客人数与门票单价的函数表达式； (2)设扣除运营成本、环保费和固定维护费后的利润为元，求与单价的函数关系式，并求出当单价多少时利润最大，最大利润是多少？ (3)随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低元（），且降低运营成本后的单价也不能低于元．求在此条件下利润的最大值（用含的式子表示），并求当利润最大值为元时的值． 【变式4-4】（2026·贵州·模拟预测）如图①，位于贵州省安顺市的花江峡谷大桥于2025年9月28日建成通车．花江峡谷大桥被称为“横竖都是第一”的“世界第一高桥”．该桥缆索形状近似于抛物线，它的最低点是点P；两端的索塔高度相同，即，且两个索塔均与桥面垂直；主桥的跨径约为1400m，它的中点是点Q，，且；缆索与主桥之间通过200多根垂直于桥面的吊杆连接（如吊杆）．现以O为原点，桥面所在直线为x轴，索塔所在直线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，请你根据相关数据解决以下问题： (1)求缆索所在抛物线的解析式； (2)花江峡谷大桥作为贵州“桥旅融合”．大桥中间建有水幕灯光秀设备，能实现“光影魔术”吸引游客． ①已知该桥的吊杆上装有与吊杆等长的灯带，工作人员在检修灯光设备的过程中发现在距离点Q水平距离100m处的两根灯带损坏，那么完成更换工作需要准备多长的灯带？ ②若点Q处设有一颗激光射灯，该射灯光线恰好经过索塔的顶端点B，求缆索与该光线的最大竖直距离． 1．（2026·山西忻州·一模）项目式学习 项目背景：山西老陈醋是中国四大名醋之一，素有“天下第一醋”的美誉，其酿造技艺被列入国家级非物质文化遗产名录．某校学生前往一家老陈醋销售企业开展研学活动，他们针对一款老陈醋的销售情况进行了研究． 数据收集：该款老陈醋每瓶的进价为10元，规定每瓶的售价不低于15元，且不高于40元，其每日销量（单位：瓶）与售价（单位：元/瓶）之间的变化规律如图所示． (1)建立模型：根据上述信息可知，每日销量是售价的 （填“一次”“二次”或“反比例”）函数，关于的函数表达式为 ． (2)问题解决：当售价定为多少时，日利润最大？最大日利润是多少？ (3)由于某种原因，该款老陈醋每瓶的进价上涨了元，该销售企业在今后的销售中，每日销量与售价仍满足（1）中的函数关系．若日利润最大为3610元，请直接写出的值． 2．（25-26九年级下·河南南阳·期中）如图，二次函数的图象经过点，点． (1)求此二次函数的解析式； (2)当时，求二次函数的最值； (3)点为此函数图象上任意一点，其横坐标为，过点作轴，点的横坐标为．已知点与点不重合，且线段的长度随的增大而减小，求的取值范围． 3．（2026·山东临沂·一模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点，． (1)求b的值（用含a的式子表示）； (2)已知二次函数的最大值为； ①求该二次函数的表达式； ②若，为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 4．（2026·山东聊城·二模）已知二次函数，其中、为两个不相等的实数． (1)当，时，求该函数图象的对称轴； (2)求证：该二次函数的图象与轴一定有两个不同的交点； (3)若函数在时，随的增大而减小，且满足，求的取值范围，并求出此时函数顶点纵坐标的最大值． 5．（2026·广西钦州·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线为（为常数，）． (1)当时，求抛物线的顶点坐标； (2)将抛物线向上平移2个单位后与轴交于，两点，求的长； (3)当（）时，的最大值与最小值之差为5，求的取值范围． 6．（25-26八年级下·河南新乡·期中）学校计划租用客车送师生到劳动基地开展实践活动．收集信息如下： 信息1：客运公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，3辆A型客车载客人数和2辆B型客车载客人数相同，2辆A型客车和3辆B型客车共载客260人． 信息2：A型客车租车费用固定为1200元/辆；B型客车租一辆车的费用为2150元，每多租一辆B型客车，B型客车租车单价减少50元． 信息3：学校参加实践活动的师生共有950人；租用A，B两种型号客车共20辆，其中A型客车不少于9辆． 问题解决： (1)求A，B两种型号每辆车满员时的载客人数； (2)设租用B型客车x（单位：辆），本次实践活动的租车总费用是W（单位：元），求W与x的函数关系式；（租车总费用租用A型客车的费用租用B型客车的费用） (3)设计一种方案，使本次实践活动的租车总费用最少，请说明理由． 7．（2026·山东济宁·一模）已知抛物线经过点． (1)求该抛物线的对称轴； (2)若抛物线与x轴交于和两点（），且，求该抛物线的解析式； (3)在（2）的条件下，当（t为任意实数）时，二次函数有最大值为3，求t的值． 8．（2026·安徽安庆·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线（）向右平移2个单位长度，再向下平移a个单位长度得到新抛物线，新抛物线与x轴自左向右依次交于A，B两点． (1)求A点坐标； (2)两抛物线交于点，点是新抛物线上一动点，若时，恒有，求t的取值范围； (3)当时（不与A，B重合），新抛物线上y最大值为p，最小值为q，若，，且为整数，求a的值． 9．（2026·江西·三模）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过点，． (1)点的坐标为_____，点的坐标为_____； (2)求，之间的关系式； (3)若抛物线的顶点在直线上，求抛物线的解析式； (4)若抛物线开口向下，且当时，二次函数的最大值为，请直接写出的值． 10．（2026·江苏常州·模拟预测）已知抛物线（b，c为常数）． (1)若抛物线经过，时， ①求该抛物线的顶点坐标． ②将该抛物线向下平移个单位得到的新抛物线过点，且，请求出h的取值范围． (2)若当时，y的最小值为6；当时，y的最小值为2．求该抛物线的表达式． 11．（2026·山东东营·二模）如图，平面直角坐标系中，已知二次函数的图象与x轴交于点和点两点，与y轴交于点．点D为直线上一动点． (1)求此二次函数的表达式； (2)如图1，是否存在点D，使得以A，C，D为顶点的三角形是直角三角形，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； (3)如图2，当点D在线段上时，过动点D作交抛物线第一象限部分于点P，连接，，记与的面积和为S，当S取得最大值时，求点P的坐标． 12．（25-26九年级下·山东临沂·期中）在平面直角坐标系中，已知抛物线． (1)当时，求该抛物线的顶点坐标； (2)若，是抛物线上任意两点，对于，，都有，求的取值范围； (3)当时，二次函数的最小值为，求的值． 13．（2026·山西朔州·一模）综合与实践 问题情境：为拓宽农产品销售渠道，助力乡村产业发展，某合作社决定开展助农直播带货，销售本地优质大米，该大米售价为9元/千克，生产成本为3元/千克． 调研数据： 信息1：每场直播销量y（千克）与每场直播时长x（小时）的部分数据如下表： 每场直播时长x/小时 1 1.5 2 2.5 每场直播销量y/千克 150 175 200 225 信息2：在直播6小时内，每千克运营成本z（元）与每场直播时长x（时）满足的函数关系如图所示． 信息3：每场直播的利润． 问题解决： (1)y与x的函数关系满足 函数关系（“一次”“反比例”“二次”），z与x的函数表达式为 ． (2)若该合作社希望一场直播利润达到700元，且直播时长要短，求该场直播的时长． (3)合作社为了提升直播品质，吸引更多观众，决定增加运营投入，如：布置丰富的场景，增加互动礼品等，经统计数据发现：每千克的运营成本与直播时长的关系为，同时大米售价定为10元/千克，在其他条件不变的情况下，计算该场直播时长为多少时，利润最大？最大利润为多少元？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $