专题02 实数（期末复习课件）七年级数学下学期新教材人教版

这是一份人教版初中数学七年级下学期的期末复习课件，围绕“实数”专题构建学习支架，包含期末考情分析（核心考点、复习目标与规律）、必备知识梳理（平方根、算术平方根等）、重难点题型突破（典例与变式）及分层验收练习（基础、重难、综合拓展）。 资料特色突出核心素养培养，通过考情规律表培养抽象能力，易错点提示强化运算推理，如平方根典例结合变式训练符号意识，探究活动（如√2近似值）发展创新意识。分层练习满足不同学生需求，帮助学生系统巩固知识，为教师提供结构化复习框架。七年级学生需巩固基础，适应初中数学思维，此资料助力期末系统梳理，提升复习效率。

专题02 实数（期末复习讲义） 七年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 理解平方根概念，掌握性质，会求非负数平方根，区分正负平方根； 选择填空必考，常考概念辨析、求数的平方根，难度基础。 算术平方根 掌握算术平方根定义与非负性，会求算术平方根，会简单应用； 高频考点，侧重非负性、计算，常与绝对值、平方结合出题。 立方根 理解立方根概念，掌握性质，会求任意实数的立方根； 选择填空常考，考查计算与性质，正负立方根均存在。 实数及其简单运算 认识实数分类，理解无理数概念，掌握实数运算与性质； 综合考查，选择填空判断无理数，解答题考运算与大小比较。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 平方根 知识点01 例：求下列各数的平方根： （1）100；（2）；（3）0；（4）-9。 解：（1）∵　(±10)²=100，∴　100 的平方根是　±10； （2）∵　()²=， ∴　 的平方根是； （3）∵²=， ∴　0　的平方根是； （4）∵　任何数的平方都不会是负数，∴-9没有平方根。 1.平方根定义： 一般地，如果一个数x的平方等于a,即x²=a，那么a叫做这个数x的平方；这个数x叫作a的平方根或二次方根。 2.开平方：求一个数的平方根的运算，叫作开平方。 注意：平方运算和开平方运算是互逆关系。 平方根 知识点01 平方根的性质 （1）正数有两个平方根，它们是互为相反数； （2） 0 的平方根是０； （3）负数没有平方根. 注意：因为负数没有平方根，所以 有意义的条件是ａ. ２.平方根的符号记法 一个正数 的有两个平方根，记作:， 其中叫做　a　的正的平方根,“” ； 叫做a的负的平方根；　 算术平方根 知识点02 定义：正数 a 有两个平方根，其中正的平方根 又叫作 a 的算术平方根。 规定：0的算术平方根是0．0的算术平方根也记为． 在整数______和______之间， 在______和______之间。 解：∵ 4＜ ＜ 在整数 2 和 3 之间， 求下列各数的算术平方根： (1)100; (2)64; (3)0.0001. 解：（1）； (2； (3)01 总结：被开方数越大，对应的算术平方根就越大 这是实数比较大小的依据，也是求无理数近似值的依据。 示例 示例 3 2 5 6 ∴ 在 5 和 6 之间。 7 立方根 知识点03 例：用计算器计算求： …，你能发现什么规律? 1.立方根定义 一般地，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根, 记作：； 开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方； 2.立方根的性质： 互为相反数的两个数的立方根也是互为相反数： = 3.立方根的小数点移动规律 示例 总结： 被开方数的小数点向左（右）移动三位，立方根的小数点相应地向左（右）移动一位。 =0.06 =0.6 =6 =60 解： 实数及其简单的运算 知识点04 相关概念：无限不循环小数叫作无理数，有理数与无理数统称实数。 实数的分类 ①按定义分类 3.实数与数轴上点的对应关系 实数与数轴上的点一一对应，在数轴上右边的数总大于左边的数。 ②按性质分类 实数 负有理数 0 正有理数 负无理数 正无理数 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 实数 0 2.实数的运算 ⑴实数的相反数：数 a 的相反数是 -a . 如：-（-）=. 实数及其简单的运算 知识点04 ∵ ， ∴||=－（）= （负数的绝对值等于它的相反数） －a 0 a 当a＞0时 当a=0时 当a＜0时 示例 一个正实数的绝对值是它本身； 一个负实数的绝对值是它的相反数； 0的绝对值是0. ⑵绝对值 实数及其简单的运算 知识点04 ⑶加减乘除运算法则 有理数的运算法则及运算律同样适用于实数. 归纳： (a0)， =a (a0) ； 同理：，=a . 因为 3 的平方是 ， 所以 是 的算术平方根， 记作：； 3可以省略“”，写成“3”. 例：3+2=（3+2）=5 （乘法分配律） 易错题：+ （不属于乘法分配律） ⑷实数的乘方、开方运算 因为 x (x)的平方是 ， 所以 是 a 的算术平方根； 反之， 因为 是 a 的算术平方根， 所以 =a； 因为 是 3 的算术平方根， 所以=3； 11 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 平方根 题型一 解｜题｜技｜巧 1.先判断数非负，再找平方等于该数的数，注意正负两个根； 2. 易漏负平方根，负数无平方根，勿与算术平方根混淆。 平方根 题型一 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． C 解：， ∵， ∴平方根为．  平方根 题型一 【变式1】（24-25七年级下·全国·期末）的平方根是（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴的平方根是， B 【变式2】（24-25七年级下·吉林·期末）已知一个数的一个平方根是2025，则它的另一个平方根为（    ） A． B．- C． D． C 解：∵ 一个正数的平方根有两个，且互为相反数， 又∵ 一个平方根是2025， 则另一个平方根为， 算术平方根 题型二 解｜题｜技｜巧 1.结果为非负数，直接找正的平方根，利用非负性列方程求解； 2.结果只能为非负，易误写为正负值，混淆与平方根的范围。 算术平方根 题型二 【典例1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）的平方根为（    ） A． B． C． D． C 解：， ∵， ∴平方根为． 17 算术平方根 题型二 【典例2】（24-25七年级下·陕西延安·期末）已知某正数的两个平方根分别是和，b的算术平方根是3，求的平方根． 解：∵某正数的两个平方根分别是和， ， 解得， ∵b的算术平方根是3，， ， ， ∴的平方根为． 18 算术平方根 题型二 【变式1】（24-25七年级下·重庆秀山·期末）________． 解：， 【变式2】（24-25七年级下·四川南充·期末）已知，则（      ） A． B． C． D． D 解：∵， ∴， 19 立方根 题型三 解｜题｜技｜巧 1.根据立方运算求根，正数、负数、0均有唯一立方根； 2.易与平方根性质混淆，忽略负数有立方根，计算符号出错。 立方根 题型三 【典例1】（24-25七年级下·吉林白山·期末）9的立方根是（   ） A．3 B． C． D． B 解：的立方根是， 立方根 题型三 【典例2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 _____ 1 _____ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位， 则的小数点就相应地______移动______位； ②当时，若正数越大，则也越大． （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． 立方根 题型三 【典例2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 _____ 1 _____ 100 （2）规律归纳： ①若正数的小数点向左（或右）移动______位， 则的小数点就相应地______ 移动______位 解： （1）， ； （2）由表格可知， 若正数的小数点向左（或右）移动两位， 则的小数点就相应地向左（或右）移动一位； 两 向左 （或右） 一 立方根 题型三 【典例2】（24-25七年级下·广西南宁·期末）（1）填表： 0 1 100 10000 0 _____ 1 _____ 100 （3）尝试运用：已知，，求的值； （4）灵活应用：当时，比较和的大小． （3）， ， ． （4）由表格可知， ①时：，则； ②或时：； ③时：，则． 立方根 题型三 【变式1】（24-25七年级下·甘肃武威·期末）一个正方体的体积是16，则它的棱长是_________． 解：∵一个正方体的体积是16，且棱长棱长棱长体积， ∴它的棱长是， 【变式2】（24-25七年级下·河北沧州·期末）某正数的两个不相等的平方根分别是和，则a的立方根为______． 解：根据平方根的性质得， 解得， ∴a的立方根为：， 实数的运算 题型四 解｜题｜技｜巧 1.先化简再运算，按有理数运算法则计算，区分有理无理数； 2.误判带根号数为无理数，运算时符号、运算法则出错。 26 实数的运算 题型四 【典例1】（24-25七年级下·陕西商洛·期末）在实数：，，（每相邻两个1之间依次多1个0），，，，中，无理数的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 C 解：和都是可分化分数的小数，是有理数， ，4是有理数， 是分数，是有理数， （每相邻两个1之间依次多1个0），，都是无限不循环小数， ∴无理数的个数是3个， 实数的运算 题型四 【典例2】（24-25七年级下·吉林白山·期末）计算： ． 解： 【变式1】（24-25七年级下·云南丽江·期末） 在实数，0，，，，中，无理数的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 B 解：在实数：，0，，，，中， 无理数是：，，共2个； 实数的运算 题型四 【变式2】（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）计算：______． 解： 【变式3】（24-25七年级下·全国·期末）计算： (1)； (2)． （1）解： 原式； （2）解： 原式 ． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 一、单选题 1．下列各式中，正确的是（   ） A． B． C． D． D 解：A、，故该项不符合题意； B、，故该项不符合题意； C、，故该项不符合题意； D、，故该项符合题意； 2．16的平方根是，用数学符号表示，正确的是（   ） A． B． C． D． D 解：依题意，16的平方根是，用数学符号表示， 3．实数是有理数与无理数的统称，下列实数中，属于无理数的是（    ） A． B． C． D． C 解：A：是有限小数，是有理数； B：是整数，是有理数； C：π是无理数，是无理数； D：是分数，是有理数； 4．下列说法中错误的是（   ） A．9的算术平方根是3 B．4的平方根是 C．27的立方根为 D．立方根等于1的数是1 C 解： A．9的算术平方根是3，正确； B．4的平方根是，正确； C．27的立方根是3，不是，错误； D．立方根等于1的数是1，即若，则，正确． 二、填空题 5．若一个正数的算术平方根是，则这个正数的平方根是________． 解：∵一个正数的算术平方根是， ∴这个正数是， 故这个正数的平方根是． 6．化简___________． 解：， 2026 7．的平方根是________． 解：的平方根是， 8．已知，则________． 解：，， 且， ，解得； ，解得． ． 三、解答题 9．已知：实数a，b满足． (1)求a和b的值； (2)求的平方根． 解： （1）由题可知，，， 解得：，； （2）， 的平方根为； 10．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得： 或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得： ， 解得： 或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 期末重难突破练（测试时间：15分钟） 一、单选题 1．的平方根是（　　） A． B．3 C． D． C 解：∵， ∴的平方根是， 2．若与是同一个数的两个不同的平方根，则m的值为（   ） A． B．1 C．或1 D． B 解：∵与是同一个数的两个不同的平方根， ∴， 解得：． 3．下列各组数中，互为相反数的一组是（    ） A．与 B．-3与 C．与 D．与 C 解： A、，，， 不是相反数，不符合题意； B、，， 不是相反数，不符合题意； C、，， 是相反数，符合题意； D、， 不是相反数，不符合题意； 4．在实数：，，，， （小数点后每个“”之间依次多一个“”）中，无理数的个数是（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 C 解：无理数指无限不循环小数， 是无限不循环小数，属于无理数； 是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数； 是分数，是有理数； 是整数，是有理数； （小数点后每个“”之间依次多一个“”）是无限不循环小数，属于无理数． 则无理数有个． 5．实数的整数部分为，小数部分为，则（   ） A． B． C． D． A 解：∵，， ∴， ∴， 即， ∴，， ∴ ． 二、填空题 6．已知，是的整数部分，则的值为_____． 2 解：∵， ， ∴， ∴， ∴， 即 ． ∴的整数部分 ． 7．比较：________（填“”“ ”或“”）． 解：∵，， ∴，即， ∵两个正分数分母相同，分子大的分数值大， ∴． 8．的平方根是，的立方根是2，则_______． 13 解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， 解得， 则． 三、解答题 9．已知数有平方根． (1)求x的取值范围； (2)数A的两个不同的平方根是和，求A的值． （1）解：根据题意可知，， 解得：； （2）解：根据题意可知，， 解得：， 将代入， 得：其中一个平方根为， ∴． 10．（1）计算：； （2）一个正数的两个平方根是和，求正数的立方根． 解：（1） ； （2）正数的两个平方根是和， ， 解得：， ， ， ， 正数的立方根为4． 11．（1）计算： （2）求x的值： 解：（1） ； （2）， ， ， ． 12．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 得方程 ， 解得 （保留到0.001）， 即 ． （1）解：设， 由图形面积可得， ． 因为x值很小， 所以更小，略去， 得方程：， 解得：， 即． 12．在数学课上“说不完的”探究活动中，根据各探究小组的汇报，完成下列问题． (2)请仿照上述探究过程探究的大小． 已知：，在图2中画出示意图，并标出相关数据，求出的近似值（保留到0.001）． (1)到底有多大？下面是龙龙探索的近似值的过程，请补充完整： 我们知道面积是2的正方形边长是，且，设，画出如图1的示意图： 由图形面积可得． 因为x值很小，所以更小，略去， 得方程 ， 解得 （保留到0.001）， 即 ． （2）解：如图， 设  由图形面积可得， ． 因为y值很小， 所以更小，略去， 得方程， 解得:， 即． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．在、、 、、（相邻两个1之间的0依次增加1个）中，无理数的个数为（   ） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 B 解： 是无理数； 是分数，有理数； ，是整数，有理数； ，是整数，有理数； 是无理数； 是无限不循环小数，无理数； ∴ 无理数有 、、，共3个． 2．下列命题中，是真命题的是（ ） A．的平方根是 B．如果，那么m的取值范围是： C．相等的两个角是对顶角 D．如果，那么 B 解： 对于A．∵，4的平方根是，不是，∴A错误，是假命题． 对于B．∵，即，∴， ∴，B正确，是真命题． 对于C．∵相等的角不一定是对顶角，如等腰三角形的底角 ∴C错误，是假命题． 对于D．∵反例∶，但， ∴D错误，是假命题． 3．如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． A 解：， 且，， ． 4．下列说法中正确的有（    ） ①0.1是0.01的算术平方根；②81的平方根是；③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1；④实数与数轴上的点一一对应． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 B 解： ①∵，且算术平方根为非负数， ∴0.1是0.01的算术平方根，该说法正确； ②∵，∴81的平方根是，该说法正确； ③一个数的立方根等于它本身，这个数是0或1，， 故原说法漏了，错误； ④∵实数与数轴上的点一一对应， ∴该说法正确综上，正确的说法有3个，故选：B．   5．比较大小： ①___________； ②___________； ③___________． < < > 解：①∵， ∴； ②∵，，且， ∴； ③∵，，且， ∴； 二、填空题 二、填空题 6．若、为实数，且满足，则的值为_____． 解：， 且， ， 解得：， ， 7．比较大小：___________1（填“>”“<”或“=”）． >  解∵与1比较大小，且， ∴比较分子与3的大小， ∵（理由：）， ∴， ∴． 8．对于实数，我们规定：用表示不小于的最小整数．例如： ，．现在对72进行如下操作： ， 即对72只需进行3次操作就变为2． 类比上述操作，若对正整数只需进行3次操作就变为2，则的最大值为______． 256 解： 设第三次操作前的数值为，由，得， 平方得，取 时最大， 设第二次操作前的数值为，由，得， 平方得，取 ， 设第一次操作前的数值为，由得， 平方得，故 最大值为， 验证：对，第一次操作，第二次操作， 第三次操作 ，恰好三次操作后变为2．   三、解答题 9．（1）求x的值：；     （2）计算： 解： （1）， ， ， ； （2）原式． 10．已知一个正数的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，y的值； (2)求的算术平方根． （1）解：依题意，得： ， 解得：， ∵负数y的立方根与它本身相同，∴ ∴a，y的值分别为，； （2）解：由（1）知，， 则， ∴的算术平方根为． 11．已知的立方根是3，的算术平方根是4，c是的整数部分， (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． （1）解：∵的立方根是3，的算术平方根是4， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∵c是的整数部分， ∴； （2）解：∵，，， ∴， ∴的平方根是． 12．已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； 当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ （1）解：当时，， ∵5不是完全平方数， ∴是无理数， 当时，， ∵7不是完全平方数， ∴是无理数， 无理数 无理数 12．已知代数式（n为正整数）． (1)当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； 当时，_____（填得数），是_____（填“有理数”或“无理数”）； (2)可能是偶数吗？为什么？可能是奇数吗？为什么？ 无理数 无理数 （2）解：不可能是偶数，也不可能是奇数， 理由：假设是偶数，则是偶数， 即是偶数①， ∵n是正整数，∴是偶数， ∵3是奇数，∴是奇数②， ∴①和②矛盾， ∴不是偶数， 当时，， 此时，不是奇数， 当时，假设是奇数， 不妨设（且k为整数）， ∴， 整理得， ∵为偶数且1为奇数，∴为奇数， ∵是偶数， ∴不成立， ∴不是奇数， 综上所述， 不可能是偶数，也不可能是奇数． 13．定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方根”，例：1，4，9这三个数，=2，=3，=6，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4，9三个数称为“和谐组合”，其中最小算术平方根是2，最大算术平方根是6． (1)请证明：2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出最小算术平方根和最大算术平方根； (2)已知4，a，25三个数是“和谐组合”，且最大算术平方根是最小算术平方根的5倍，求a的值． （1）证明：， ， ， ，8，18这三个数是“和谐组合”， 故最小算术平方根是4， 最大算术平方根是12； （2）解：分三种情况： ①当时， 可得，解得：（舍去）， ②当时， 可得， 解得：，经检验符合题意， ③当时， 可得， 解得：，经检验符合题意． 综上所述，的值为1或100． 63 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $