专题01 相交线与平行线（期末复习课件）七年级数学下学期新教材人教版

这是一份人教版初中数学七年级下学期期末复习课件，以“考情分析—必备知识—重难点题型—分层验收”为学习支架，涵盖两直线相交、平行、平移等核心考点，包含考情规律、知识梳理、典例变式及分层练习。 资料特色突出核心素养培养，通过考情表格明确复习目标（数学眼光），题型解析中解题技巧与易错点拨结合，如平行线性质与判定的推理训练（数学思维），规范几何语言表达（数学语言）。助力学生系统复习，为教师提供结构化教学资源。 七年级学生处于初中知识积累初期，需通过系统复习巩固基础，构建知识网络，适应逻辑推理要求，为后续学习奠基。

专题01 相交线与平行线 七年级数学下学期 期末复习大串讲 人教版 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 明•期末考情 第一部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 2 核心考点 复习目标 考情规律 两直线相交 理解对顶角、邻补角的定义性质 基础必考点，常出现在角度计算和数量关系推理过程中。 两直线垂直 理解垂直的定义、性质，会过一点画已知直线的垂线；理解垂线段最短的性质 基础必考点，高频易错点，侧重作图与辨析。 三线八角 能准确识别同位角、内错角、同旁内角 基础识图、大题中常作为隐含条件。 两直线平行线 理解平行线的概念、性质、判定 高频考点，重点考查平行线的性质与判定。 定义、命题、定理 理解定义、命题、定理的概念；理解命题的题设、结论的结构，能判断命题的真假；能运用定理进行简单的推理证明. 区分概念、掌握几何语言表述，学好几何的基础，常考辨析与改错。 平移 理解平移的基本性质，能利用平移的性质作图、解决实际问题。 基础必考点，常考操作、画图，结合图案设计考查综合能力。 记•必备知识 第二部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 1 2 A B C D O 4 3 2.邻补角 ∠2和∠3，∠3和∠4，∠4和∠1互为邻补角 直线AB与CD相交于点O，∠1和∠2有公共顶点O，并且它们的有一条公共边、另一边互为反向延长线，∠1和∠2两个角互为邻补角. （1）概念：两条直线相交形成的四个角中，有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角 1.定义： 如果两条直线有且只有1个公共点，那么这两条直线叫做相交线。 两直线相交 知识点01 两直线相交 知识点01 （3）几何语言： ∵∠1和∠2是邻补角 ∴∠1+∠2=180o ( 邻补角定义 ) （2）邻补角的性质： 两个邻补角的和为180°（互补）。 注意：互补的两个角不一定是邻补角，邻补角一定互补。 两直线相交 知识点01 3.对顶角 1 2 A B C D O 4 3 对顶角成对出现 （2）性质：对顶角相等 （1）概念： 两条直线相交形成的四个角中如果两个角有一个公共顶点，并且它们的两边分别互为反向延长线，这两个角成为对顶角 直线AB与CD相交于点O，∠1和∠3有公共顶点O，并且它们的两边分别互为反向延长线， ∠1和∠3两个角互为对顶角. ∠2和∠4两个角互为对顶角. 几何语言： ∵∠1和∠3是对顶角 ∴∠1=∠3（ 对顶角相等 ） 两直线垂直 知识点02 1.垂直的定义 （1）定义：当两条直线相交，夹角为90o时，这两条直线互相垂直.其中一条直线叫做另一条直线的垂线. 直线AB与直线CD互相垂直，垂足为， 记作:AB⊥CD，垂足为， C D A B O 90o 示 例 （2）几何语言： ∵CD⊥AB ∴∠COB=90o 或者： ∵∠COB=90o ∴CD⊥AB 两直线垂直 知识点02 （1）垂线性质1： 过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 2.垂线的性质 如图：PO⊥AB， 点P到直线AB的距离是垂线段PO的长。 P A B O 注意： 垂线段PO是点P到直线AB所有线段中最短的一条。 （3）点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 （2）垂线性质2： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 简称：垂线段最短。 垂线性质指明垂线的存在性和唯一性，是垂线作图的保证. 三线八角 知识点03 1.两条直线被第三条直线所截 直线AB、CD都和直线EF相交叫作直线 AB、CD 被直线 EF 所截，在两个交点处形成八个角叫作“三线八角” 2.同位角、内错角、同旁内角 （1）∠1与∠6 在两条被截直线的同侧（上方），第三条截线的同旁， 具有这种位置关系的两个角叫做同位角。 ∠4与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的两侧， 具有这种位置关系的两个角叫做内错角. （3）∠1与∠5 在两条被截直线之间，第三条截线的同旁， 具有这种位置关系的两个角叫做同旁内角. 1.平行定义：在同一平面内不相交的两条直线叫作平行线； 两直线平行 知识点04 几何语言： ∵c//a，b//a, ∴ b//c （1）基本事实： 经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行. （2）传递性： 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行. 两直线平行 知识点04 2.平行线的判定 判定方法1：如果两条直线被第三条直线所截，同位角相等，那么这两条直线平行。 同位角相等，两直线平行 判定方法2：如果两条直线被第三条直线所截，内错角相等，那么这两条直线平行。 内错角相等，两直线平行 判定方法3：如果两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补，那么这两条直线平行。 同旁内角互补，两直线平行 示 例 如图所示，已知 b⏊a，c⏊a，那么直线b、c是什么位置关系？ 答：平行关系， ∵ b⏊a，c⏊a ∴∠1=∠2=90°， ∴ b//c（同位角相等，两直线平行） 两直线平行 知识点04 判定直线平行的方法总结： ①定义法 判定方法2：内错角相等，两直线平行 ②平行公理的推论： 如果直线a∥c，b∥c，那么直线a∥b 判定方法1：同位角相等，两直线平行 判定方法3：同旁内角互补，两直线平行 在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 两直线平行 知识点04 3.平行线的性质 性质1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 简单地说，两直线平行，同位角相等。 性质2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 简单地说，两直线平行，内错角相等。 性质3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补。 简单地说，两直线平行，同旁内角互补。 定义、命题、定理 知识点05 定义与命题 （1）定义：我们在学习一些新的数学对象时，对它们进行了清晰、明确的描述，这样的描述称为数学对象的定义(definition). （1）对顶角相等； （2）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行； （3）如果a²=b²,那么a=b.以上这些表示判断的陈述句都是命题。 （2）命题：可以判断正确与错误的陈述语句叫作命题. 正确的命题叫作真命题， 错误的命题叫作假命题. 示 例 易错点：假命题也是命题。 例：“如果a²=b²,那么a=b”虽然错误，但它仍是命题. 定义、命题、定理 知识点05 （3）题设和结论 数学命题通常由条件、结论两部分组成. 命题常可以写成“如果……,那么……”的形式. 其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 题设是：两个角是对顶角，结论是：这两个角相等. 示 例 易错点: 有一些命题是简缩句，省略掉的词句要先补充完整再作条件和结论的分析. 对顶角相等 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等 完整的表达 2.定理与证明 （1）定理： 有一些命题，如“对顶角相等”“内错角相等，两直线平行”，它们的正确性是经过推理证实的，这样的真命题叫作定理（theorem）. 定理也可以作为继续推理的依据 （2）证明： 一个命题的正确性需要经过推理才能作出判断，这个推理过程叫作证明.证明是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程. 定义、命题、定理 知识点05 平移 知识点06 1.平移定义： 一个图形沿某方向移动，在移动的过程中，原图形上所有的点都沿同一个方向移动相等的距离,这样的图形运动叫作图形的平移； 2.平移的性质： (1)平移不改变图形的形状和大小； (2)一个图形和它经过平移所得的图形中，两组对应点的连线平行（或在同一条直线上），且相等。 破•重难题型 第三部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 两直线相交 题型一 解｜题｜技｜巧 1. 利用对顶角相等、邻补角和为180°列等式求角度。 2. 已知一个角，快速求其余三个角。 1. 别把“对顶角”和“邻补角”概念弄混。 2. 角度的计算结果容易漏写单位“°”或度。 易｜错｜点｜拨 两直线相交 题型一 【典例1】（24-25七年级下·江苏常州·期末）如图， 直线与相交于点， 若． 则的大小为（   ）   A． B． C． D． 解：∵和是对顶角， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：． 两直线相交 题型一 【变式1】（24-25七年级下·海南海口·期末）如图，直线、相交于点，平分，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 解：∵平分，， ∴， ∴ ． C 两直线相交 题型一 【变式2】（24-25七年级下·辽宁丹东·期末）如图，点A，O，B在同一条直线上，，平分，若，则的度数为（   ）   A． B． C． D． 解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． A 两直线垂直 题型二 解｜题｜技｜巧 1. 看到垂直直接写夹角等于90°； 2. 判定两条直线垂直通常就要证明它们的夹角等于90°. 在计算和推理时判定两条直线是否垂直不能凭“目测”——看起来像垂直，必须要有依据。 易｜错｜点｜拨 两直线垂直 题型二 【典例1】（24-25七年级下·湖北十堰·期末）如图，直线相交于点，．若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵与是对顶角， ∴， ∵， ∴， ∴， 25 两直线垂直 题型二 【典例2】（24-25七年级下·全国·期中）如图，要在河岸l上建一个水泵房引水到A处．可过点A作于点B，则将水泵房建在B处最节省水管长度，其数学道理是（   ） A．两点之间线段最短 B．点到直线之间的距离垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂直距离最短 解：过点A作于点B， 将水泵房建在了B处． 这样做最节省水管长度， 其数学道理是：垂线段最短． B 26 两直线垂直 题型二 【变式1】（24-25七年级下·湖北恩施·期末）如图，A、O、B三点在同一直线上，且平分，平分，下列结论： ①与互余； ②与互补； ③ ④． 其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 解：∵， ∴，③正确； ∵平分，平分， ∴ ， ∴ ， ∴与互余，①正确； ∵， ∴， ∴与互补，②正确； D ∵， ∴ ；④正确； 综上所述：正确的有①②③④，共4个； 27 两直线垂直 题型二 【变式2】（24-25七年级下·湖南株洲·期末）如图，在中，， 的面积为24，为边上的动点，连接，以为边向左侧作正方形，则正方形面积的最小值为（　　） A．12 B．16 C．20 D．24 解：过点C作于点，   ∵，， ∴，即， ∴， ∵D为边上一动点，， ∴的最小值为的长4， ∴正方形的面积的最小值为： M ∟ 28 三线八角 题型三 解｜题｜技｜巧 1. 先找准截线，再识别同位角、内错角、同旁内角。 2. 求角时先判断角的位置关系，再套性质。 没平行时，不能直接用同位角相等、内错角相等平行线的性质。 易｜错｜点｜拨 三线八角 题型三 【典例1】（24-25七年级下·河南洛阳·期末）下列图形中，与不属于同位角的是（   ） A． B． C． D． 解： 选项A：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项B：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； 选项C：与不在截线的同旁，不满足同位角“同旁同侧”的位置特征，不属于同位角； 选项D：与在截线的同旁，且在两条被截直线的同侧，符合同位角的定义； C 三线八角 题型三 【变式1】（24-25七年级下·重庆黔江·期末）如图，下列说法正确的是（    ） A．和是内错角 B．和是对顶角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 解： A选项，和是内错角，故正确； B选项，和是对顶角，和是对顶角，故错误； C选项，和是同位角，和是同位角，故错误； D选项，和是同旁内角，故错误 ． A 三线八角 题型三 【变式2】（24-25七年级下·陕西西安·期末）图中与构成同旁内角的角有___________ 个． 解：与构成同旁内角的角有，，，共3个， 3 两直线平行 题型四 解｜题｜技｜巧 1. 由角的关系推平行（判定），由平行推角的关系（性质）。 2. 多线平行时，用平行传递性：a∥b，b∥c ⇒ a∥c。 1. 判定和性质互逆，经常用反。 2. 只有两直线平行，同旁内角才互补，不平行不能用。 易｜错｜点｜拨 33 两直线平行 题型四 【典例1】（24-25七年级下·甘肃临夏·期末）下列说法错误的是（    ） A．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点之间的所有连线中，线段最短 D．如果，，那么 解： A、平行公理的内容是：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若该点在已知直线上，无法作出与已知直线平行的直线，原说法错误，故选项符合题意； B、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的性质，原说法正确，故选项不符合题意； C、两点之间的所有连线中，线段最短，是线段的基本性质，原说法正确，故选项不符合题意； D、平行于同一条直线的两条直线互相平行，因此若，，那么，原说法正确，故选项不符合题意； A 两直线平行 题型四 【典例2】（24-25七年级下·广东深圳·期末）下列各图形中，， 能确定的是（　　） A． B． C． D． B 解： A、由能判定，不能判定，故A不符合题意； B、由，结合内错角相等，两直线平行判定，故B符合题意； C、由，不能判定，故C不符合题意； D、由不能判定，故D不符合题意； 两直线平行 题型四 【变式1】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）将一把三角尺和一把无刻度的直尺按如图所示的方式放置，使三角尺的直角顶点放在直尺的一边上，则与的关系为（　　） A． B． C． D． B 解：如图，  ∵直尺的对边平行， ∴， ∵， ∴； 3 两直线平行 题型四 【变式2】（24-25七年级下·河北·期末）如图，已知，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． A 解：如图：作，  ∴， ∵，∴， ∵， ∴ （平行于同一条直线的两条直线平行）， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． 两直线平行 题型四 (1)如图，若点在直线，之间，求证：． (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． 两直线平行 题型四 (1)如图，若点在直线，之间，求证：． （1）证明：如图，过点作， ，， ，； ， ； 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． 两直线平行 题型四 (2)如图，若点在直线，之间，平分，平分，当时．求的度数． （2）解：由（1）知： ， ， ， 平分，平分， ， ， ； 如图，过点作， ， ， ， ， ； 【变式3】（24-25七年级下·河北保定·期末）已知直线，为平面内一点，点，分别在直线，上，连接，． 两直线平行 题型四 (3)如图，若点在直线的上方，平分，平分， 的反向延长线交于点，当时，求的度数． （3）解：如图，过点作， ，， ，， ； 过点作， ，， ，， ； 平分，平分， ， ． 定义、命题、定理 题型五 解｜题｜技｜巧 1. 命题先拆成 “如果……那么……” ，分清题设和结论。 2. 判断真假：真要说理，假举反例即可。 改写命题时，容易漏写主语、条件写反。 易｜错｜点｜拨 定义、命题、定理 题型五 【典例1】（24-25七年级下·江苏扬州·期末）下列语句不是命题的是（    ）． A．同位角相等，两直线平行 B．作的角平分线 C．若，则 D．同角的余角相等 解： A、是可判断真假的陈述句，属于命题； B、是作图操作指令，不是判断事情的语句，无法判断真假，不属于命题； C、是可判断真假的陈述句，属于命题； D、是可判断真假的陈述句，属于命题． B 定义、命题、定理 题型五 【典例2】（24-25七年级下·云南丽江·期末）下列命题中，是真命题的是（   ） A．相等的两个角是对顶角 B．同旁内角互补 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．经过一点，有且只有一条直线与这条直线平行 C 解： A．相等的两个角不一定是对顶角，选项是假命题，不符合题意； B．两直线平行，同旁内角互补，选项是假命题，不符合题意； C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 选项是真命题，不符合题意； D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， 选项是真命题，符合题意； 定义、命题、定理 题型五 【变式1】（24-25七年级下·内蒙古乌兰察布·期末）把命题“对顶角相等”改写成“如果……那么……”的形式： ，它是____命题． 解： 命题“对顶角相等”的条件是“两个角是对顶角”，结论是“这两个角相等”， 因此改写成“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”； 对顶角相等，故该命题是真命题； 如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； 真 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程．  (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 定义、命题、定理 题型五 ①② ③ ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（平行于同一直线的两条直线平行） 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程．  (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 定义、命题、定理 题型五 ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，内错角相等）． ①③ ② 【变式2】（24-25七年级下·江苏泰州·期末）已知：如图，直线被直线所截，①，②，③；请从①②③中选两个作为条件，一个作为结论，使其构成一个真命题，并写出证明过程．  (1)条件： ，结论： ；（填序号） (2)证明： 定义、命题、定理 题型五 ②③ ① ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∵， ∴（平行于同一直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 平移 题型六 解｜题｜技｜巧 1. 平移只改位置，形状、大小、方向都不变。 2. 对应线段平行且相等，对应点连线也平行且相等。 误以为平移会改变角度、长度或图形形状 易｜错｜点｜拨 平移 题型六 【典例1】（24-25七年级下·广东广州·月考）如图所示的车标中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（    ） A． B． C． D． C 解： A、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； B、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意； C、观察图形可知，该图形能看作由“基本图案”经过平移得到，故符合题意； D、观察图形可知，该图形不能看作由“基本图案”经过平移得到，故不符合题意． 平移 题型六 【典例2】（24-25七年级下·山西长治·期末）如图，将三角形平移得到三角形，下列结论中，正确的有（   ） ①或与在同一条直线上 ②或与在同一条直线上 ③ ④ A．个 B．个 C．个 D．个 解：由平移的性质可得或与在同一条直线上， 或与在同一条直线上， ，故①②③正确， 根据现有条件无法证明，故④错误． C 平移 题型六 【变式1】（24-25七年级下·广西百色·期末）如图，沿着由点到点的方向平移得到，已知，，那么平移的距离是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 A 解： ， ， 即平移的距离为2， 平移 题型六 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）如图，在一块长为21米，宽为10米的长方形草地上，有两条宽都为1米的横、纵相交的小路，则这块草地青草覆盖的面积为________ 平方米． 180 解：由图象可得，这块草地的绿地面积为：（平方米）． 过•分层验收 第四部分 明•期末考情 记•必备知识 破•重难题型 过•分层验收 期末基础通关练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．如图，点A在点B的北偏西方向上，点B在点C的北偏东方向上，则的度数为（ ） A． B． C． D． 解：如图，由题意得， ， ， ∴， ∴， C 2．下列说法中，正确的有（　　）个． ①两直线相交，对顶角相等； ②过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短； ④如果，那么点M是的中点． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解： ①两直线相交，对顶角相等，原说法正确； ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，原说法错误； ③直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，原说法正确； ④当点在线段上时，才表示M是的中点，否则不一定，故原说法错误； 综上所述，正确的有2个， C 3．如图．将上、下边缘平行的一张纸条折叠．则下列结论中不一定成立的是（   ） A． B． C． D． 解：如图，∵， ∴，，， ∴选项一定成立， 由折叠可得，，由条件无法判断和相等， 故无法确定， ∴不一定成立， 4．如图，，，，则为（  ） A． B． C． D． 解：过点作，  ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵，， ∴， ∴ ． B 二、填空题 5．如图，O为直线上一点，，则_______°．（要求单位是“度”） 解：， ．故答案为：． 6．如图，将向右平移得到，且点B，E，C，F在同一条直线上，若，，则的长为___ ． 解：∵向右平移得到， ∴点A、B、C的对应点分别为D、E、F， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 3 7．如图， ，，，为垂足，则图中与互余的角有________个． 解： ，， ， ． ， ， ． 即与互余的角有，共3个， 3 8．若，的两边分别与的两边平行，则的度数为 _____________ ． 解：当的两边与的两边如图所示时， ； 当的两边与的两边如图所示时， ； 或 61 9．如图，已知、分别平分、，若要使，则与应满足的关系是___________ ． 解：∵， ∴， ∵、分别平分、， ∴，， ∴， 三、解答题 10．正方形网格中的每个小正方形的边长均为个单位长度，各顶点的位置如图所示．将平移，使点移到点，点分别是的对应点． (1)画出平移后的； (2)在整个平移的过程中，扫过的面积是______． （1）解：如图，点和点的位置判断出平移方式为向右平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此确定的位置，然后顺次连接； ∴即为所求； （2）解：如图，连接，扫过的面积是： ， 11．如图，于点于点． (1)求证； (2)判断与的位置关系并且证明； (3)若 （1）证明： ， ∴， ∴． （2）解： ，理由如下： 由（1）得：， ∴， ∵，∴， ∴． （3）解： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 12．如图，直线、相交于点，平分，于． (1)的余角是______ ． （写出图中所有符合要求的角） (2)若，求的度数． （1）解：， ， ， ， 平分， ， ， 故的余角是: 、、． 、、 （2）解： ， ， ， 根据（1）可知， ， ． 期末期末重难突破练（测试时间：20分钟） 一、单选题 1．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 解： A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B 2．如图，将沿直线平移，得到，若，，则的长为（   ） A．9 B．7 C．6 D．3 解： ∵将沿直线平移，得到， ∴， ∵，， ∴ C 3．如图，已知，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．若还知道，则能得到 D．若连接，则一定平行于 D 解：∵，， ∴， ∴，故A说法正确，不符合题意； ∴，故B说法正确，不符合题意； 若，则， ∴， ∴，故C说法正确，不符合题意； 根据现有条件无法得到平行于，故D说法错误，符合题意． 4．如图，直线，直线l与、分别交于点E、F，的角平分线交于点G，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 解： ∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． B 二、填空题 5．把命题“同位角相等”改写成“如果…，那么…”的形式：________________________________________ ． 如果两个角是同位角，那么这两个角相等 6．如图，直线、交于点O，，，平分，则的补角是__________________ ． 解：∵平分， ∴， 设，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，图中等于的角即为的补角， 由图可知，； ； ， ，， 7．如图，在反射现象中，反射光线，入射光线和法线都在同一平面内，反射光线和入射光线分别位于法线两侧，入射角等于反射角，法线垂直于镜面，这就是光的反射定律．若入射角i的度数为，反射光线与镜面平行，则两镜面的夹角的度数为_______ °． 解：如下图所示， ，， ， ， ， ， ， 1 8．为增强学生体质，感受我国的传统文化，某校体育老师提出将国家级非物质文化遗产“抖空竹”引入体育社团，图1是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小明把它抽象成图2的数学问题：已知，，，则______． 解：过点E作， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 9．如图，，将一副直角三角板按如图的方式摆放，其中．下列结论：①； ②，③；④． 其中正确的是_____________．（填序号） 解：①由题意，， ，故①正确； ②， ，故②正确； ④， ， ， ， ， ∴∠𝐴𝐸𝐺+∠𝑃𝑀𝑁=∠𝐺𝑃𝑀，故④正确． ①②④ ③如图，过点作， ， ，， ， ∵，∴， ∴， ， ， 故③不正确； 三、解答题 10．如图，已知是正方形网格纸上的四个格点，根据要求在网格中画图并标注相关字母． (1)画线段； (2)画直线； (3)过点画的垂线，垂足为； (4)在直线上找一点，使得最小． （1）解：画线段，如图： （2）解：画直线，如图： （3）解：过点画的垂线，垂足为，如图： （4）解：在直线上找一点，使得最小，如图： ∟ P 11．如图，，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． （1）证明： ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴； （2）解： ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵，∴， ∴． ∵，∴， ∴． 12．完成下面的证明并填上推理的根据： 如图，已知，，垂足分别为H，F，． 求证：． 证明：，（________）， ，（________ ）， 即（________ ）， ， ． ， （_______ _）， ， （________ ）． 已知 垂直的定义 等量代换 同角的补角相等 两直线平行，同位角相等 13．以直线上一点为端点，在直线的上方作射线，使，将一个直角三角板的直角顶点放在处，即，直角三角板可绕顶点O转动．  (1)如图1，若直角三角板的一边在射线上，求的度数； (2)将直角三角板绕点转动后，使其一边在的内部，如图2所示，若恰好平分，求此时的度数． （1）解：， ， ， ． （2）解：， ， 恰好平分， ， ． 14．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． 14．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究一】如图①，已知，测得，求的度数； 解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 14．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究二】保持，改变其他线段的位置，得到图②的形状，猜想之间具有什么数量关系？探究并说明理由； [探究二] 如图，过点作，过点作，  ∵， ∴， ∴， ， ， ∴， 即， ∴ M N 14．在学完《相交线和平行线》后，为继续深入探索平行线中的一些角度关系，七年级数学兴趣小组的同学通过图形开展探究，具体步骤如下： 【探究三】在图②的基础上，分别作、的角平分线并相交于点，从而得到图③的形状．若，求的度数． [探究三]如图，过点作，交于，， ∴， ，， ， ∵、的角平分线并相交于点， ∴，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴ ． N H 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 一、单选题 1．如图，经过平移后得到，下列说法：①；②；③；④和的面积相等；⑤四边形和四边形的面积相等．其中正确的有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 解：经过平移后得到， ∴，故①正确； ，故②不正确； ，故③正确； 和的面积相等，故④正确； 四边形和四边形都是平行四边形，且 即两个平行四边形的底相等，但高不一定相等， ∴四边形和四边形的面积不一定相等，故⑤不正确； 综上：正确的有3个 B 2．如图，直线AB与CD相交于点O，，，OE平分，则的度数是（    ） A． B． C． D． 解：设，则， ∴， ． 平分， ． ， ，即， 解得，则， ． D 3．将一副直角三角板按如图所示的位置摆放，直角边与相交于点G，当时，的度数是（   ）  A． B． C． D． C 解：过点G作， ∵， ∴， ∴，， 在和中， ，， ∴，， ∴， ∵， ∴， H 4．如图，已知，、的交点为E，现作如下操作：第一次操作，分别作和的平分线，交点为；第二次操作，分别作和的平分线，交点为；第三次操作，分别作和的平分线，交点为；……；第次操作，分别作和的平分线，交点为．若度，那么等于（    ）度． A． B． C． D． F 解：如图，过作， ，， ，， ， ； 同理， 和的平分线，交点为， ，， ， ， 度，度． A 同理 ， ∠，…… 二、填空题 5．将命题“同角的余角相等”改写成“如果…，那么…”的形式是：如果________________________ ，那么________________ ． 如果两个角是同一个角的余角 那么这两个角相等 6．如图，将直角三角形沿方向平移得到直角三角形，已知，，．则图中阴影部分的面积为______． 解：∵直角三角形沿方向平移得到直角三角形， ∴，， ， ∵， ∴， ∵直角三角形与直角三角形面积相同， 即， ∴， 故图中阴影部分的面积为． 7．如图，平行光线和经过凹面镜反射后汇聚于点E，若，，则的度数是 ________ 解：过点作，如图： ，， ， ∵， ∴， ， ∴， ． O 8．如图，下列说法正确的序号是______． ①若，则；②若，则； ③若，则； ④若，则. 解：∵， ∴，故①符合题意； ∵， ∴， 而题中没有说明与相等， ∴不一定等于，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④符合题意， ∴符合题意的有①③④． ①③④ 三、解答题 9．如图，与相交于点E，，，，求证：． 证明：∵， ∴， 即， ， ， 又∵， ， ． 10．（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； （2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 10．（1）【感知】将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，，且，则的大小为___________度； 解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； 75 10．（2）【探究】如图2，将图1中的三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，试说明； （2），理由如下： ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 10．（3）【拓展】现将图1中的三角板按图3方式摆放（其中），使顶点C在直线上，直角顶点A在直线上．若，请写出与之间的关系式，并说明理由． （3）．理由如下： ∵， ∴； ∵； ∴； ∴； ∵； ∴； ∴． 11．数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________ ； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． （1）解：由题意知， ， ， 同角的余角相等 11．数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________ ； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ①当时，画出图形，并求出的度数； 同角的余角相等 （2）解：①如图3，当时，作， ，， ， ，， ， ； 11．数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________ ； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 同角的余角相等 ②存在，如图3，当时，； 如图4，当BC∥AD时，∠DCB=∠D=30°， ∴∠ACE=∠DCB=30°； 如图5，当时，； 11．数学实验：玩转三角板 将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图1方式叠放在一起，其中，，． (1)填空：与的数量关系是_________，理由是_________ ； (2)如图2，当点E在直线的上方时，将三角尺固定不动，改变三角尺的位置，但始终保持两个三角尺的顶点C重合．探究一下问题： ②这两块三角尺是否仍存在一组边互相平行？若存在，请画出图形直接写出此时的值；若不存在，请说明理由． 同角的余角相等 如图6，  当时，， ； 如图7，  当时，， ． 综上，这两块三角尺存在一组边互相平行，此时的值为或或或或． 12．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． 12．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【基础巩固】 (1)条件和结论互换，改成了：“如图1，平分，平分，，则．”小明认为这个结论正确，你认同他的想法吗？请说明理由． （1）解：认同，理由如下： ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 12．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【尝试探究】 (2)小明发现：若将其中一条角平分线改成的垂线，则“”这个结论不成立．请帮小明完成探究： 如图2，，平分，，是与的夹角，是与的夹角，若，求的度数． （2）解：∵，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴，∴． 12．学习了平行线的判定与性质后，某兴趣小组在练习中看到这样一道题“如图1，平分，平分，．判断，是否平行，并说明理由”，试着“玩”起数学来： 【拓展提高】 (3)如图3，若，，平分，试说明． （3）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 感谢聆听 每天解决一个小问题，每周攻克 一个薄弱点，量变终会引发质变。 教师寄语 $