专题01 相交线与平行线 3大高频考点（期末真题汇编，北京专用人教版）七年级数学下学期

**基本信息** 聚焦相交线与平行线三大高频考点，汇编北京多区期末真题，基础题与动态综合题结合，突出几何直观与推理能力考查 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选|18|点到直线距离、平行线判定（如三角尺摆放作图）|结合生活情境（公路改直）| |填空|14|角度计算、平移坐标（如坐标系中平移顶点）|注重概念辨析（命题改写）| |解答|26|动态几何证明（如动点与角平分线）、实际应用（剪叉式升降平台原理）|分层设计，从推理填空到开放探究|

专题01 相交线与平行线 3大高频考点概览 考点01 相交线与平行线 考点02 平行线综合 考点03 平移、定义、命题、定理 地 城 考点01 相交线与平行线 一、单选题 1．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离． 2．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角板中角度的计算，灵活运用所学知识是解题的关键．先根据三角板的特点得到，再由平行线的性质得到，则由平角的定义可得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理依次判断即可． 【详解】解:A．∵ ， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 能判定，故A选项不符合题意． B ∵，不能判定，故B选项符合题意． C． ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 能判定，故C选项不符合题意． D． ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）， 能判定，故D选项不符合题意． 故选：B 4．(24-25七下·北京东城区·期末)已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：将三角板中的角与重合，再从点处沿着直线平移，当三角板中的角的顶点与点重合时，画出的直线即为直线的平行线．理由是：同位角相等，两直线平行． 故选：C． 5．(24-25七下·北京东城区·期末)如图，在三角形中，，点，分别在，上，．在以下四个结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了根据平行线的性质求角的度数，由平行线的性质得出，其他均无法得出． 【详解】解：．∵，∴，故该选项符合题意； ．无法得出，故该选项不符合题意； ．无法得出，故该选项不符合题意； ．无法得出，故该选项不符合题意； 故选：A． 6．(24-25七下·北京西城区·期末)如图，直线，分别交，于点，，于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直、对顶角相等，熟练掌握平行线的性质是解题关键．先根据垂直可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，然后根据对顶角相等即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵直线， ∴， 由对顶角相等得：， 故选：A． 7．(24-25七下·北京三帆中学·期末)如图，已知，增加以下的一个条件后能得到的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质逐项判断解答即可． 【详解】解：A、，根据“内错角相等，两直线平行”可判定，不能判定，不符合题意； B、，根据“同旁内角互补，两直线平行”可判定，不能判定，不符合题意； C、∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，符合题意； D、，不能判定，不符合题意， 故选：C． 8．(24-25七下·北京三帆中学·期末)下列命题：①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③邻补角的角平分线互相垂直；④的算术平方根是a．其中真命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】此题考查了命题的真假，平行和垂直的性质，邻补角，角平分线，算术平方根，解题的关键是掌握以上知识点．根据平行和垂直的性质，邻补角，角平分线，算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：命题①：平行公理指出，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．若点在直线上，则不存在与之平行的直线．命题未明确点是否在直线外，故错误． 命题②：平面几何中，无论点在直线上还是线外，过该点均存在且仅有一条直线与已知直线垂直（垂线唯一性），题目没说明在平面内，故错误． 命题③：邻补角和为，其角平分线分别将邻补角分为两个的角，故两平分线夹角为，即互相垂直，正确． 命题④：算术平方根非负，故的算术平方根为，当时不等于，错误． 综上，真命题为③，共1个． 故选：B． 9．(24-25七下·北京海淀区·期末)如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查垂线的定义、对顶角的性质，解题的关键是掌握相关定义和性质．先根据对顶角相等得出，再由垂直的定义得出，最后根据可得答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 10．(24-25七下·北京育英学校·期末)下列的四个角中，是图中角的补角的是（    ） A． B． ． D． 【答案】D 【分析】根据补角性质求出图中角的补角即可． 【详解】解：∵图中的角为40°，它的补角为180°-40°=140°． 故选择D． 【点睛】本题考查补缴的性质，掌握补角的性质是解题关键． 11．(24-25七下·北京育英学校·期末)修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（　　） A．线段可以比较大小 B．线段有两个端点 C．两点之间，线段最短 D．过两点有且只有一条直线 【答案】C 【分析】依据线段的性质，即可得出结论． 【详解】解：修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是：两点之间，线段最短． 故选：C． 【点睛】本题考查了线段的性质．解题的关键是能灵活应用线段的性质． 12．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，直线，被直线所截，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，注意∶两直线平行，同旁内角互补．先根据平行线的性质得出，由，即可求出答案 【详解】解∶设直线、交于点， ，， ． ． 故选：C 【点睛】 13．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，在三角形中，，垂足为D．下列说法正确的是（    ） A．线段的长度是点D到直线的距离 B．线段的长度是点B到直线的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线的距离 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，掌握直线外一点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离成为解题的关键． 根据点到直线的距离的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、线段的长度是点A到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； B、线段的长度是点B到直线的距离，故原说法正确，符合题意； C、点A与点B之间的距离大于点A到直线的距离，故原说法错误，不符合题意； D、点C与点D之间的距离等于点C到直线的距离，故原说法错误，不符合题意． 故选：B． 14．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，直线，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了两直线平行同位角相等，邻补角的求解，根据两直线平行同位角相等求出的度数，在用180度减去即可． 【详解】解：如图， ， ， ， 故选：D． 15．(24-25七下·北京丰台区·期末)如图，直线，相交于点，于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是几何图形中角度计算问题、垂线定义，解题关键是正确理解角之间的关系． 由题意得，再由垂线定义得，即可求出． 【详解】解：依题得：， 于点， ， 的度数为． 故选：． 16．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质，准确进行推理证明．根据平行线的性质判断即可． 【详解】解：如图， ， ， 平分， ， ，所以结论①正确； ， ， ，所以结论②正确； ， ， ， ， 平分， ， ，所以结论③不正确； ， ， ，所以结论④正确； 故选：B． 17．(24-25七下·北京丰台区·期末)为了测量村庄A是否对河道施工有影响，需测量村庄A到河道的距离．某测绘队沿河道规划路线MN进行测量，如图，测量角度与线段的长度如表所示： 的度数/度 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8 的长度/米 693 586 549 550 570 620 则下面说法正确的是（    ） A．村庄A到河道的距离等于549米 B．村庄A到河道的距离小于549米 C．村庄A到河道的距离大于549米 D．村庄A到河道的距离等于550米 【答案】B 【分析】根据表格信息可得最短距离是549米，此时还不是垂线段，从而可得答案． 【详解】解：根据垂线段最短可得：村庄A到河道的距离小于549米， 故选B 【点睛】本题考查的是点到直线的距离，垂线段最短的含义，理解题意是解本题的关键． 二、填空题 18．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了与轴平行的点的坐标特征，熟练掌握与轴平行的点的坐标特征是解题的关键．根据与轴平行的点的坐标特征得到，即可得到答案． 【详解】解：与轴平行的点横坐标相等， ， ， 故， 则线段的长为， 故答案为：． 19．(24-25七下·北京西城区·期末)如图，直线，，两两相交，，，则的大小为________． 【答案】100 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，先根据对顶角相等求出，即可求出的度数，再根据邻补角互补即可求出的度数，熟练掌握对顶角相等、邻补角互补的性质是解题的关键． 【详解】解：和是对顶角， ， ， ， ， ， ， 故答案为：100． 20．(24-25七下·北京三帆中学·期末)如图，已知直线，相交于点O，平分，若， 则________ 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的计算，对顶角，设，角平分线的定义，得到，根据平角的定义，列出方程求出，对顶角相等，求出的度数即可． 【详解】解：∵， ∴设， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 21．(24-25七下·北京海淀区·期末)剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定定理，根据内错角相等，两直线平行即可得解，熟练掌握平行线的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 22．(24-25七下·北京育英学校·期末)如图，为内部的一条射线，若，，则的度数为______． 【答案】74°24' 【分析】根据图中角度的关系计算即可得． 【详解】解：由图可得： ， 故答案为：． 【点睛】题目主要考查角度的计算，根据图形得出角的关系是解题关键． 23．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，直线，相交于点，，于点，的度数为______． 【答案】36 【分析】本题考查了垂线和角度计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键．根据平角定义可得，从而可得，再根据垂直定义可得，然后利用平角定义进行计算即可解答． 【详解】解：，， ， ， ， ， 故答案为：． 24．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，直线相交于点，若，则______°． 【答案】80 【分析】本题考查了邻补角的定义、对顶角相等，正确求解是关键； 根据题意可设，利用邻补角互补求出x，再根据对顶角相等即得答案． 【详解】解：∵， ∴设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴； 故答案为：80． 三、解答题 25．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，直线和直线相交于点，点为直线上一点，直线为经过点的一条直线，作射线平分交直线于点．已知． (1)求证：； (2)若点为线段上一动点，作的角平分线交直线于点，过点作于． ①请你依据题意，补全图形： ②试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据角平分线的定义可得，结合已知，可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）①根据题意补全图形，即可求解； ②设，，则，根据平行线的性质，以及垂直的定义，分别表示出与，即可求解． 【详解】（1）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴ ∴， （2）①补全图形如图， ②， ∵平分， ∴， 设，，则， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 【答案】(1)图形见解析 (2) 【分析】本题主要考查作图，垂线的定义，平行线的性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用垂线的定义，平行线的性质进行画图即可； （2）根据平行线之间的距离相等，利用等面积法进行计算即可． 【详解】（1） 解： （2）解：连接， 由题意可知，， 故， 即， ， 故答案为：． 27．(24-25七下·北京东城区·期末)完成下面的证明． 如图，点在同一条直线上，与交于点． 求证：． 证明：， ___________（___________）（填推理的依据）． ___________． ， ___________（___________）（填推理的依据）． ． 【答案】；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，内错角相等． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质即可完成证明． 【详解】解：证明：， （同位角相等，两直线平行）． ． ， （两直线平行，内错角相等）． ． 故答案为：；同位角相等，两直线平行；；；两直线平行，内错角相等． 28．(24-25七下·北京东城区·期末)如图，，点在边上，且不与点重合．按要求补全图形，并回答问题： (1)过点画直线； (2)点（异于点）在（1）中所画的直线上，则的度数是___________； (3)在（2）的条件下，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系．若点的坐标为，且点与点的距离为4，则点的坐标为___________ 【答案】(1)见解析 (2)或 (3)或 【分析】本题考查作图—复杂作图、坐标与图形性质、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）结合平行线的性质画图即可． （2）当点A在点P的左侧时，可得；当点A在点P的右侧时，可得，进而可得答案． （3）当点A在点P的左侧时，可得点A的坐标为，即；当点A在点P的右侧时，可得点A的坐标为，即，进而可得答案． 【详解】（1）解：如图，直线l即为所求． （2）解：当点A在点P的左侧时， ∵直线， ∴； 当点A在点P的右侧时， ∵直线， ∴． 综上所述，的度数是或． 故答案为：或． （3）解：当点A在点P的左侧时， ∵点P的坐标为，点A与点P的距离为4， ∴点A的坐标为，即； 当点A在点P的右侧时， ∵点P的坐标为，点A与点P的距离为4， ∴点A的坐标为，即． 综上所述，点A的坐标为或． 故答案为：或． 29．(24-25七下·北京西城区·期末)如图，，垂足为点，与相交于点，点在的延长线上，交于点，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵， ∴_______．（__________）（填推理的依据） ∵， ∴________．（_________）（填推理的依据） ∵， ∴________． ∴________________．（_________）（填推理的依据） ∴_______________． ∴． 【答案】见解析 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题关键．由垂直的定义可得，根据平行线的性质，可得，从而得出，证明出． 【详解】证明：∵， ∴．（垂直的定义） ∵， ∴．（两直线平行，同位角相等） ∵， ∴． ∴．（内错角相等，两直线平行） ∴． ∴． 30．(24-25七下·北京三帆中学·期末)如图，中， 点D为边上一点，． (1)按下列要求补全图形：过点 D 作所在直线的垂线段，作的垂线，垂足分别为E，F，交于点 G， 连接； (2)若，求证∶．请将下面的证明过程补充完整： 证明∶ ∵， ∴． （ ） ∴， ． ∵， ∴ ． （ ） ∵， ∴ ． （ ） ∴． (3)在上述条件下， 已知，求的度数． 【答案】(1)图见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作垂线，平行线的性质，角的和差关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． （1）利用三角板画垂线，作图即可； （2）根据垂直的定义，平行线的性质，等角的余角，等量代换，进行作答即可； （3）互余关系，求出的度数，进而求出度数，角的和差关系求出的度数，互余求出的度数，平角求出的度数即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： （2）证明∶ ∵， ∴． （垂直的定义） ∴， ． ∵， ∴． （等角的余角相等） ∵， ∴． （两直线平行，内错角相等） ∴． （3）∵， ∴， 由（2）可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 31．(24-25七下·北京朝阳区·期末)在学习了平行线后，小明和小芳分别给出了过直线外一点P画这条直线的平行线的方法． 小明的画法：如图a， ①过点P画一条直线与直线相交于点Q； ②测得； ③以P为顶点，射线为一边，画（点C在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图b， ①过点P画直线，垂足为Q； ②过点P画直线，垂足为P（点C，D分别在直线的两侧，且点C在直线的左侧）． 直线即为所求． 完成下面问题： (1)在小明的画法中，判定的依据是________； (2)用三角尺或量角器，依画法补全图b； (3)完成小芳的证明． 证明：∵， ∴________°（________）． ∵， ∴． ∴． ∴ （________）． 【答案】(1)同位角相等，两直线平行 (2)见解析 (3)90；垂直的定义；同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查作图-复杂作图，平行线的判定和性质，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）根据同位角相等，两直线平行解决问题； （2）过点P作即可； （3）利用同旁内角互补，两直线平行证明即可． 【详解】（1）解：在小明的画法中，判定的依据是同位角相等，两直线平行． 故答案为：同位角相等，两直线平行； （2）解：图形如图所示： （3）证明：∵， ∴（垂直的定义）． ∵， ∴． ∴． ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：90，垂直的定义，同旁内角互补，两直线平行． 32．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，点，点在内部．根据下列语句画图并完成填空： (1)画射线，交于点； (2)过点画边上的垂线，垂足为； (3)连接； (4)在线段中，最短的线段是________，依据是________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了画直线，画射线，画垂线，垂线段最短，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据射线的画法画图即可； （2）根据垂线的画法画图即可； （3）根据线段的画法画图即可； （4）根据垂线段最短可得最短的线段是． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：在线段中，最短的线段是，依据是垂线段最短． 33．(24-25七下·北京丰台区·期末)完成下面的证明． 如图，平分，点在上，点在上，与相交于点，．求证：． 证明：与相交于点， _______（_______）（填推理的依据）． ， _______． （_______）（填推理的依据）． _______（_______）（填推理的依据）． 平分， ． ． 【答案】，对顶角相等；；同旁内角互补，两直线平行；，两直线平行，同位角相等； 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，对顶角相等，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键．根据对顶角相等得出，结合已知条件证明，得到，进而证明． 【详解】证明：与相交于点 （对顶角相等） （已知） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 平分 ． 34．(24-25七下·北京东城区·期末)如图，，点在边上，过点作直线，交于点，平分．    (1)求证：； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了平行线的判定、三角形外角的性质等知识，熟练掌握平行线的判定是关键． （1）证明，根据内错角相等两直线平行即可得到结论； （2）根据三角形外角的性质即可得到的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴ 35．(24-25七下·北京海淀区·期末)如图，在中，． (1)判断的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的定义； （1）先证明，结合，可得，从而可得结论； （2）由（1）知，，可得．结合，可得，证明，再进一步可得答案. 【详解】（1）解： ，理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）解：由（1）知，． ∴． ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴. 36．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，在四边形中，，过点作交点，交的延长线于点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． 根据题意，结合图形，易得，证得，结合平行线的性质和已知条件，得到，则有，证得结论． 【详解】证明：， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 地 城 考点02 平行线综合 一、单选题 1．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，在三角形中，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点H，连接．给出下面三个结论：①；②若，则四边形的周长为；③若三角形的面积比三角形的面积大，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形的面积、平行线的判定与性质、平移的性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 根据平移的性质进行分析判断以及计算即可判定①②；根据的面积求出平行线与之间的距离，设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为，则，根据和分别写出、、之间的等量关系，从而求出a的值即可． 【详解】解：∵将三角形沿方向平移，得到三角形， ∴，即①正确； ∵，， ∴若，则四边形的周长为． ∴②不正确； 设平行线与之间的距离为， 则，解得：， 设三角形的面积为，三角形的面积为，四边形的面积为，则， 根据和，得 ， ，得，解得，即③正确． 综上，①③正确． 故选：C． 二、解答题 2．(24-25七下·北京东城区·期末)在四边形中，，平分交于点，延长交于点．点为线段上的动点，连接，过点作交于点． (1)当点与点重合时， ①依题意补全图； ②若，则___________； (2)当点运动到某个位置时，恰好使得． ①猜想与的位置关系，并证明； ②平分交于点．用等式表示的数量关系，并证明． 【答案】(1)①补图见解析；② (2)①，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（）①根据题意补全图形即可；②由角平分线的定义得，由平行线的性质得，进而根据角的和差即可求解； （）①由垂直可得，进而根据平行线的判定即可求证；②由角平分线的定义和平行线的性质可得，即得，由根据平行线的性质可得，即得，再根据三角形的外角性质即可求证； 本题考查了平行线的判定和性质，角平分线的定义，三角形外角性质等，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：①补图如下： ②∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：①． 证明：如图，∵，， ∴， ∴； ②． 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即． 3．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，直线和直线相交于点，点为直线上一点，直线为经过点的一条直线，作射线平分交直线于点．已知． (1)求证：； (2)若点为线段上一动点，作的角平分线交直线于点，过点作于． ①请你依据题意，补全图形： ②试猜想与之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）根据角平分线的定义可得，结合已知，可得，根据同位角相等两直线平行，即可得证； （2）①根据题意补全图形，即可求解； ②设，，则，根据平行线的性质，以及垂直的定义，分别表示出与，即可求解． 【详解】（1）证明：∵射线平分， ∴， ∵， ∴ ∴， （2）①补全图形如图， ②， ∵平分， ∴， 设，，则， ∵射线平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．(24-25七下·北京西城区·期末)如图1，直线，直线分别与，相交于点，．点，分别在，上，且在的同侧（）．点是直线上的动点（不与点，重合），连接，． (1)如图2，当点在线段上时，求证：； (2)在的内部作射线，使，在的内部作射线使，射线的反向延长线与射线相交于点． ①如图3，若，点在线段上，且，求的度数． ②若，点在直线上，用等式表示与的数量关系，直接写出结果． 【答案】(1)见解析； (2)；或． 【分析】本题考查了平行线的性质，平行公理推论，平行公理推论，掌握平行线的性质是解题的关键． （）过作，则有，然后利用平行线的性质即可求解； （）过点作，由，则，，设， 则，然后利用平行线的性质即可求解； 分点在点左侧，且在延长线与交点的左侧；点在点左侧，且在延长线与交点的右侧，当点线段上时，当点线段延长线上时四种情况分析即可． 【详解】（1）证明：如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：过点作，如图， ∵， ∴，， 设， 则， ∴， ∵， ∴, ∵， 由（）可知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图，点在点左侧，且在延长线与交点的左侧， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴； 如图，点在点左侧，且在延长线与交点的右侧， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴； 如图，当点线段上时， ∴，， ∵，，，， ∴，， ∴， ∴； 当点线段延长线上时，此时射线的反向延长线与射线无交点， 综上可知：或． 5．(24-25七下·北京三帆中学·期末)已知平分 ，平分 ，且 (1)如图1， 求证∶； (2)如图2， 若且求证： (3)若H是直线上一动点（不与D 重合），平分交所在直线于点I，请在下图中画出图形，并直接写出对应的 与的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 与的数量关系为或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理，角平分线的性质，利用这些性质进行角之间的转化是解题的关键． （1）过点E作，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案； （2）过点F作，利用平行线的性质和角的转化即可得到答案； (3)分点H在点D的左侧，点H在点D的右侧，画出图形，利用平行线和角平分线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：过点E作， 则， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 过点F作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即； （3）解：①当点H在点D的左侧时， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点I作，则， ∴，， ∴； ②当点H在点D的右侧时， ∵， ∴，， ∴， 又∵平分，平分， ∴，， ∴， 过点I作，则， ∴，， ∴； 综上所述， 与的数量关系为或． 6．(24-25七下·北京朝阳区·期末)在四边形中，． (1)如图1，的平分线与的平分线相交于点O．完成下面求的过程． 解：过点O作，交于点E． ∵，分别是和的平分线， ∴，． ∵， ∴（______________）． ∴． ∵， ∴（______________）． ∵， ， ∴_______ （______________）． ∴． ∴． (2)如图2，的三等分线（靠近边）与的三等分线（靠近边）相交于点H，的度数为_______． (3)的n等分线（靠近边）与的n等分线（靠近边）相交于点P，直接写出的度数（用含n的代数式表示，n为大于1的正整数）． 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 (2)120 (3) 【分析】该题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． （1）过点O作，交于点E．根据，分别是和的平分线，得出，．结合，得出．即可得．根据，得出（两直线平行，内错角相等）．再根据得出．即可得． （2）过点H作，交于点E．同（1）解答即可． （3）过点P作，交于点E．同（1）解答即可． 【详解】（1）解：过点O作，交于点E． ∵，分别是和的平分线， ∴，． ∵， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∴． ∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． ∴． ∴． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等；；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． （2）解：过点H作，交于点E． ∵，分别是和的三等分线（靠近边）， ∴，； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ， ∴， ∴； ∴． （3）解：过点P作，交于点E． ∵，分别是和的n等分线（靠近边）， ∴，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ， ∴， ∴； ∴． 7．(24-25七下·北京海淀区·期末)如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． (1)如果，那么___________； (2)设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)85 (2)①；② 【分析】（1）首先求出，得到，然后根据平行线的性质求解即可； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作，根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可； ②根据题意分两种情况讨论：当点A和点Q重合时，当点P和点Q重合时，然后根据平行线的性质和角平分线的定义求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； （2）①如图所示，过点B作，过点Q作 ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵， ∴ ∴； ∵， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵的角平分线是射线 ∴ ∵ ∴ ∴； ②如图所示，当点A和点Q重合时， 由①可得， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； 如图所示，当点P和点Q重合时， ∵，的角平分线是射线 ∴ ∴综上所述，如果射线有公共点，的取值范围为． 【点睛】此题考查了平行线的性质和判定，角平分线的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 8．(24-25七下·北京大兴区·期末)已知直线与直线相交于两点，，点是直线上一定点，点是射线上一动点（点不与点，点重合），连接，作，交直线于点（点不与点重合）． (1)直线与的位置关系是___________； (2)如图，若点在线段上，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)若点在线段的延长线上，用等式表示与之间的数量关系． 【答案】(1)平行 (2)，证明见解析 (3)或 【分析】本题考查平行线的判定和性质，平行公理； （1）根据同旁内角互补，两直线平行解答即可； （2）过点H作，根据平行公理可得，进而得到，，然后根据角的和差解答即可； （3）画出图形，分两种情况仿照（2）的解答过程得到结论即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：平行； （2）解：，理由为： 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， （3）解：或． 理由为： 当点F在CD上靠近N左侧时， 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴． 当点F在CD上靠近N右侧时， 过点H作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． 9．(24-25七下·北京丰台区·期末)某地规划由西向东修建一条公路．如图，从地修到地后，为了绕开古建筑物，改为沿南偏东方向修建段，然后从地改变方向修建段，测得，到处后仍按正东方向继续施工． (1)在图中画出继续施工的路线，并求的大小； (2)在的延长线上由西向东依次修建两个公交站和（均在右侧），连接，，直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，作出正确的辅助线以及得到是解题的关键． （1）补全即可，设的延长线交于点F，过点C，D分别作直线l，m垂直于直线，垂足分别为G，H，则，由平行线性质可得到，又，从而可得的度数； （2）设，由于，可得，即可解答． 【详解】（1）解：补全施工路线如图所示．设的延长线交于点F，过点C，D分别作直线l，m垂直于直线，垂足分别为G，H，则， 根据平行线的性质得：， 又， ∴． （2）解：如图，设， 根据题意得， ∴， 又， ∴°，即． 地 城 考点03 平移、定义、命题、定理 一、填空题 1．(24-25七下·北京三帆中学·期末)将命题“和为180°的两个角互为补角”写成“如果……，那么……”的形式_____. 【答案】如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角． 【分析】根据命题都可以写成“如果”、“那么”的形式，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论．由此即可解答. 【详解】命题“和为180°的两个角互为补角”写成“如果…，那么…”的形式为：如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角． 故答案为如果两个角的和为180°，那么这两个角互为补角． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论． 2．(24-25七下·北京朝阳区·期末)写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是______，结论是______． 【答案】 【分析】此题考查命题与定理，解题关键在于掌握其定义．根据题设和结论的定义进行区分“如果”后是题设，“那么”后是结论，即可． 【详解】解：根据题意可知：题设是，结论是， 故答案为：，． 3．(24-25七下·北京大兴区·期末)用一组的值说明命题“若且，则”是假命题，这组值可以是______，______． 【答案】 1（答案不唯一） （答案不唯一） 【分析】此题考查了有理数的大小比较，假命题的判断，正确理解命题中的题设和结论，对应给出数值是解题的关键． 根据给出x、y值，计算比值，使即可． 【详解】解：若，则满足的条件， ∴， 故答案为：1，（答案不唯一）． 4．(24-25七下·北京丰台区·期末)能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 【答案】 ； ． 【分析】本题考查了举反例，举一组例子说明时有即可求解，掌握举反例的定义是解题的关键． 【详解】解：要说明“如果，那么”是假命题，只需要举一组例子说明时有就可以， 当，时，有，但， ∴，是假命题的反例， 故答案为：；． 5．(24-25七下·北京海淀区·期末)是由平移得到的，点在线段上．若的长为无理数，写出一个满足题意的的长为___________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查平移的性质，无理数大小的估计．由平移的性质得到，从而写出一个小于5的无理数即可． 【详解】解：由平移的性质得到， ∵， ∴满足题意的的长可以为． 故答案为：（答案不唯一） 6．(24-25七下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． （1）点是三角形边上的动点，其纵坐标为，则的最大值是_______； （2）将三角形向上平移（）个单位长度得到三角形，点是三角形边上的动点，其纵坐标为．若满足的点恰有两个，则的取值范围是_________． 【答案】 3 【分析】本题考查平移，不等式组，掌握知识点是解题的关键． （1）由点是三角形边上的动点，其纵坐标为，可得，即可解答． （2）画出图形，确定顶点A平移后所在的位置，即可解答． 【详解】解：（1）∵点是三角形边上的动点，其纵坐标为． ∴， ∴，则的最大值是． 故答案为：3． （2）如图， ∵满足的点恰有两个， ∴将三角形的顶点A平移到线段之间（不包括端点）时，满足题意， 即将三角形向上平移的单位长度大于3，小于7， ∴． 故答案为：． 7．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为，设． （1）三角形面积的最小值为_______； （2）当三角形的面积是4时，点的坐标是______． 【答案】 2 【分析】本题考查平移的性质，一次函数的最值； （1）根据题意得到，根据平移得到，即可求出，根据一次函数的增减性求最值即可； （2）求出，然后令解出x的值，即可得到点C的坐标． 【详解】解：（1）由得， 又∵线段平移，得到线段， ∴，点C和点D的纵坐标相同， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴随x的增大而减小， ∴当时，最小为2； （2）， 令，则， 解得：， ∴ 点C的坐标为， 故答案为：；． 二、解答题 8．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， (1)将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到（点、、的对应点分别是、、），请在图中画出平移后的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若点在轴上，当的面积是的面积的时，请你直接写出点的坐标． 【答案】(1)图形见解析； (2)或 【分析】本题主要考查平移，利用网格求三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据题意进行平移，“右加左减，上加下减”即可得到答案； （2）设，利用网格求三角形的面积，根据题意得到关于的方程即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示， ， ∴； （2）解：设， 当的面积是的面积的， ，， ， ， 解得或， 故或． 9．(24-25七下·北京东城区·期末)如图，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点叫作格点，三角形的顶点都是格点．将三角形先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形． (1)画出三角形； (2)写出所有与相等的角；___________； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) (3)5 【分析】本题主要考查了平移作图，平移的性质，平行线的性质，网格中求三角形面积，正确画出对应的图形是解题的关键． （1）根据所给平移方式确定的位置，描出，并顺次连接即可； （2）由平移的性质可得，再由平行线的性质即可得到答案； （3）利用割补法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解；由平移的性质可得， ∴； ∴与相等角有； （3）解：． 10．(24-25七下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，，其中．平移三角形，得到三角形，点的对应点为，点，的对应点分别为，． (1)当时，三角形如图所示．在图中画出三角形，并写出点，的坐标； (2)过点作轴于点，连接． ①直接写出点的坐标（用含的式子表示）； ②若三角形的面积为6，求的值． 【答案】(1)，，图见解析 (2)①；②或 【分析】本题考查在平面直角坐标系中的平移，三角形的面积，正确画出图像是解题的关键． （1）由向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得，即可解答． （2）①根据由向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得，即可解答；②设点到的距离为，则三角形的面积．由，得到，即点的纵坐标为3或，列出方程或，即可解答． 【详解】（1）解：当时，，由向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得，则三角形按照该平移路径得到三角形， 如图所示 ，． （2）①由向右平移3个单位长度，再向下平移5个单位长度得； 故答案为：． ②∵轴， ∴． 设点到的距离为，则三角形的面积． ∴． ∴点的纵坐标为3或． ∴或． ∴或． 11．(24-25七下·北京三帆中学·期末)已知， 在平面直角坐标系中， 点，，． (1)若点A在x轴上，在坐标系中画出并直接写出m的值； (2)将线段先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段，其中点A，B的对应点分别是点，． ①若点在y轴上， 求n的值和的面积； ②若， 且的面积为9， 求m的值． 【答案】(1)，作图见解析 (2)①，  ②或 【分析】本题考查点的坐标，平移的性质，三角形的面积； （1）根据x轴上点的特征得到，求出值，然后描点作三角形即可； （2）①根据平移得到点和的坐标，然后根据y轴上点的特征求出n的值，然后利用三角形的面积公式计算解答； ②根据三角形的面积求出n的值，然后根据角的度数得到点的横纵坐标相等或互为相反数，求出m值即可． 【详解】（1）解：∵点A在x轴上， ∴， 解得， ∴，，； 如图所示； （2）①解：点A平移后的点坐标为，点B平移后的点坐标为， ∵点在y轴上， ∴， 解得， ∴； 解：∵， ∴点在点C的右侧 ∵， 解得：， ∴点坐标为， ∵， ∴点坐标为或， 即或， 解得或． 12．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，将三角形平移后，顶点A的对应点的坐标为，顶点B，C的对应点分别为，． (1)点的坐标为______； (2)①画出三角形； ②写出三角形的面积； (3)若直线与x轴交于点P，则点P的坐标为_____． 【答案】(1) (2)①见解析；② (3) 【分析】本题考查作图-平移变换，三角形的面积，熟练掌握平移的性质是解题的关键． （1）根据给定的点平移坐标即可求得的坐标； （2）①根据平移点得到平移方式，并得到对应坐标点，顺次连接即可； ②利用分割法计算面积即可； （3）设点的坐标为，根据的面积为，可得，即可求得的值． 【详解】（1）解：∵点平移后得到， ∴向左平移个单位，向下平移个单位， ∴平移后得到， 故答案为：； （2）解：①向左平移4个单位，向下平移2个单位，得到，，，平移后如图， ②； （3）解：设点的坐标为， ， ，解得， ． 13．(24-25七下·北京丰台区·期末)如图，在平面直角坐标系中，经过平移后，得到，点的对应点为． (1)画出，并写出点的坐标； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是_______； (3)直接写出的面积． 【答案】(1)图见解析， (2)， (3) 【分析】此题考查了坐标与图形，图形平移的性质，作平移图形，正确理解平移的性质是解题的关键． （1）根据平移的规律作图即可；根据作出的图形，写出点的坐标； （2）根据平移的性质回答即可； （3）利用网格求三角形面积即可． 【详解】（1）画图如下图所示，坐标为 （2）连接如图所示，根据平移的性质可得： 且 （3）如图所示，将补全 则各点坐标为 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 3大高频考点概览 考点01 相交线与平行线 考点02 平行线综合 考点03 平移、定义、命题、定理 地 城 考点01 相交线与平行线 一、单选题 1．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)下列图形中，线段的长度表示点A到直线距离的是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)将一副常规三角尺（厚度不计）如图摆放，使边与边互相平行，则等于（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，在下列给出的条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·北京东城区·期末)已知点在直线外，要求过点画直线的平行线．某位同学先过点画直线交于点，并使得，然后他通过将含有角的三角板从点处沿着直线平移画出所要求作的直线．在点处，他的三角板摆放方法正确的是（　　） A． B． C． D． 5．(24-25七下·北京东城区·期末)如图，在三角形中，，点，分别在，上，．在以下四个结论中，正确的是（　　） A． B． C． D． 6．(24-25七下·北京西城区·期末)如图，直线，分别交，于点，，于点．若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25七下·北京三帆中学·期末)如图，已知，增加以下的一个条件后能得到的是（     ） A． B． C． D． 8．(24-25七下·北京三帆中学·期末)下列命题：①经过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③邻补角的角平分线互相垂直；④的算术平方根是a．其中真命题的个数是（     ） A．0 B．1 C．2 D．3 9．(24-25七下·北京海淀区·期末)如图，直线，相交于点O，，垂足为O，，则的度数为（      ） A． B． C． D． 10．(24-25七下·北京育英学校·期末)下列的四个角中，是图中角的补角的是（    ） A． B． C． D． 11．(24-25七下·北京育英学校·期末)修建高速公路时，经常把弯曲的公路改成直道，从而缩短路程，其道理用数学知识解释正确的是（　　） A．线段可以比较大小 B．线段有两个端点 C．两点之间，线段最短 D．过两点有且只有一条直线 12．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，直线，被直线所截，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 13．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，在三角形中，，垂足为D．下列说法正确的是（    ） A．线段的长度是点D到直线的距离 B．线段的长度是点B到直线的距离 C．点A与点B之间的距离小于点A到直线的距离 D．点C与点D之间的距离大于点C到直线的距离 14．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，直线，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 15．(24-25七下·北京丰台区·期末)如图，直线，相交于点，于点，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 16．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，已知，若，平分交于点，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④． 上述结论中，所有正确结论的序号是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 17．(24-25七下·北京丰台区·期末)为了测量村庄A是否对河道施工有影响，需测量村庄A到河道的距离．某测绘队沿河道规划路线MN进行测量，如图，测量角度与线段的长度如表所示： 的度数/度 52.3 69.3 88.8 93.5 105.8 117.8 的长度/米 693 586 549 550 570 620 则下面说法正确的是（    ） A．村庄A到河道的距离等于549米 B．村庄A到河道的距离小于549米 C．村庄A到河道的距离大于549米 D．村庄A到河道的距离等于550米 二、填空题 18．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)已知点，，若直线与轴平行，则线段的长为______． 19．(24-25七下·北京西城区·期末)如图，直线，，两两相交，，，则的大小为________． 20．(24-25七下·北京三帆中学·期末)如图，已知直线，相交于点O，平分，若， 则________ 21．(24-25七下·北京海淀区·期末)剪叉式升降平台是一种垂直升降、室内外应用广泛的高空作业专用设备．为确保安全性，避免施工人员站立不稳，它上层的作业平台应与地面保持平行．图示为剪叉式升降平台简化后的机械结构，只要它的地面仰角与高空俯角相等，即可确保上下层平台互相平行．该方法背后的数学原理是___________． 22．(24-25七下·北京育英学校·期末)如图，为内部的一条射线，若，，则的度数为______． 23．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，直线，相交于点，，于点，的度数为______． 24．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，直线相交于点，若，则______°． 三、解答题 25．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，直线和直线相交于点，点为直线上一点，直线为经过点的一条直线，作射线平分交直线于点．已知． (1)求证：； (2)若点为线段上一动点，作的角平分线交直线于点，过点作于． ①请你依据题意，补全图形： ②试猜想与之间的数量关系，并证明． 26．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，是直线上一点，是线段上一点． (1)按下列要求画图： ①过点作线段的垂线，垂足为； ②过点作直线的垂线段； ③过点作直线的平行线，交直线于点； (2)在（1）的条件下，若，则线段的长为________． 27．(24-25七下·北京东城区·期末)完成下面的证明． 如图，点在同一条直线上，与交于点． 求证：． 证明：， ___________（___________）（填推理的依据）． ___________． ， ___________（___________）（填推理的依据）． ． 28．(24-25七下·北京东城区·期末)如图，，点在边上，且不与点重合．按要求补全图形，并回答问题： (1)过点画直线； (2)点（异于点）在（1）中所画的直线上，则的度数是___________； (3)在（2）的条件下，以点为原点，直线为轴建立平面直角坐标系．若点的坐标为，且点与点的距离为4，则点的坐标为___________ 29．(24-25七下·北京西城区·期末)如图，，垂足为点，与相交于点，点在的延长线上，交于点，．求证：． 请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵， ∴_______．（__________）（填推理的依据） ∵， ∴________．（_________）（填推理的依据） ∵， ∴________． ∴________________．（_________）（填推理的依据） ∴_______________． ∴． 30．(24-25七下·北京三帆中学·期末)如图，中， 点D为边上一点，． (1)按下列要求补全图形：过点 D 作所在直线的垂线段，作的垂线，垂足分别为E，F，交于点 G， 连接； (2)若，求证∶．请将下面的证明过程补充完整： 证明∶ ∵， ∴． （ ） ∴， ． ∵， ∴ ． （ ） ∵， ∴ ． （ ） ∴． (3)在上述条件下， 已知，求的度数． 31．(24-25七下·北京朝阳区·期末)在学习了平行线后，小明和小芳分别给出了过直线外一点P画这条直线的平行线的方法． 小明的画法：如图a， ①过点P画一条直线与直线相交于点Q； ②测得； ③以P为顶点，射线为一边，画（点C在直线的右侧）． 直线即为所求． 小芳的画法：如图b， ①过点P画直线，垂足为Q； ②过点P画直线，垂足为P（点C，D分别在直线的两侧，且点C在直线的左侧）． 直线即为所求． 完成下面问题： (1)在小明的画法中，判定的依据是________； (2)用三角尺或量角器，依画法补全图b； (3)完成小芳的证明． 证明：∵， ∴________°（________）． ∵， ∴． ∴． ∴ （________）． 32．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，点，点在内部．根据下列语句画图并完成填空： (1)画射线，交于点； (2)过点画边上的垂线，垂足为； (3)连接； (4)在线段中，最短的线段是________，依据是________． 33．(24-25七下·北京丰台区·期末)完成下面的证明． 如图，平分，点在上，点在上，与相交于点，．求证：． 证明：与相交于点， _______（_______）（填推理的依据）． ， _______． （_______）（填推理的依据）． _______（_______）（填推理的依据）． 平分， ． ． 34．(24-25七下·北京东城区·期末)如图，，点在边上，过点作直线，交于点，平分．    (1)求证：； (2)求的度数． 35．(24-25七下·北京海淀区·期末)如图，在中，． (1)判断的位置关系，并说明理由； (2)若平分，求的度数． 36．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，在四边形中，，过点作交点，交的延长线于点，求证：． 地 城 考点02 平行线综合 一、单选题 1．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，在三角形中，．将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点H，连接．给出下面三个结论：①；②若，则四边形的周长为；③若三角形的面积比三角形的面积大，则．上述结论中，所有正确结论的序号是（    ） A．① B．①② C．①③ D．②③ 二、解答题 2．(24-25七下·北京东城区·期末)在四边形中，，平分交于点，延长交于点．点为线段上的动点，连接，过点作交于点． (1)当点与点重合时， ①依题意补全图； ②若，则___________； (2)当点运动到某个位置时，恰好使得． ①猜想与的位置关系，并证明； ②平分交于点．用等式表示的数量关系，并证明． 3．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，直线和直线相交于点，点为直线上一点，直线为经过点的一条直线，作射线平分交直线于点．已知． (1)求证：； (2)若点为线段上一动点，作的角平分线交直线于点，过点作于． ①请你依据题意，补全图形： ②试猜想与之间的数量关系，并证明． 4．(24-25七下·北京西城区·期末)如图1，直线，直线分别与，相交于点，．点，分别在，上，且在的同侧（）．点是直线上的动点（不与点，重合），连接，． (1)如图2，当点在线段上时，求证：； (2)在的内部作射线，使，在的内部作射线使，射线的反向延长线与射线相交于点． ①如图3，若，点在线段上，且，求的度数． ②若，点在直线上，用等式表示与的数量关系，直接写出结果． 5．(24-25七下·北京三帆中学·期末)已知平分 ，平分 ，且 (1)如图1， 求证∶； (2)如图2， 若且求证： (3)若H是直线上一动点（不与D 重合），平分交所在直线于点I，请在下图中画出图形，并直接写出对应的 与的数量关系． 6．(24-25七下·北京朝阳区·期末)在四边形中，． (1)如图1，的平分线与的平分线相交于点O．完成下面求的过程． 解：过点O作，交于点E． ∵，分别是和的平分线， ∴，． ∵， ∴（______________）． ∴． ∵， ∴（______________）． ∵， ， ∴_______ （______________）． ∴． ∴． (2)如图2，的三等分线（靠近边）与的三等分线（靠近边）相交于点H，的度数为_______． (3)的n等分线（靠近边）与的n等分线（靠近边）相交于点P，直接写出的度数（用含n的代数式表示，n为大于1的正整数）． 7．(24-25七下·北京海淀区·期末)如图，和过点的直线满足是线段上的动点，过点作直线与平行． (1)如果，那么___________； (2)设的角平分线是射线，的角平分线是射线． ①如果射线交于点，求； ②如果射线有公共点，直接写出的取值范围． 8．(24-25七下·北京大兴区·期末)已知直线与直线相交于两点，，点是直线上一定点，点是射线上一动点（点不与点，点重合），连接，作，交直线于点（点不与点重合）． (1)直线与的位置关系是___________； (2)如图，若点在线段上，用等式表示与之间的数量关系，并证明； (3)若点在线段的延长线上，用等式表示与之间的数量关系． 9．(24-25七下·北京丰台区·期末)某地规划由西向东修建一条公路．如图，从地修到地后，为了绕开古建筑物，改为沿南偏东方向修建段，然后从地改变方向修建段，测得，到处后仍按正东方向继续施工． (1)在图中画出继续施工的路线，并求的大小； (2)在的延长线上由西向东依次修建两个公交站和（均在右侧），连接，，直接写出与的数量关系． 地 城 考点03 平移、定义、命题、定理 一、填空题 1．(24-25七下·北京三帆中学·期末)将命题“和为180°的两个角互为补角”写成“如果……，那么……”的形式_____. 2．(24-25七下·北京朝阳区·期末)写出命题“如果，那么”的题设和结论，题设是______，结论是______． 3．(24-25七下·北京大兴区·期末)用一组的值说明命题“若且，则”是假命题，这组值可以是______，______． 4．(24-25七下·北京丰台区·期末)能说明“如果，那么”是假命题的反例是：____，____． 5．(24-25七下·北京海淀区·期末)是由平移得到的，点在线段上．若的长为无理数，写出一个满足题意的的长为___________． 6．(24-25七下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，． （1）点是三角形边上的动点，其纵坐标为，则的最大值是_______； （2）将三角形向上平移（）个单位长度得到三角形，点是三角形边上的动点，其纵坐标为．若满足的点恰有两个，则的取值范围是_________． 7．(24-25七下·北京大兴区·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，将线段平移，得到线段（点的对应点为，点的对应点为，设． （1）三角形面积的最小值为_______； （2）当三角形的面积是4时，点的坐标是______． 二、解答题 8．(24-25七下·北京第二中学教育集团·期末)如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别是，，， (1)将先向右平移4个单位，再向下平移2个单位，得到（点、、的对应点分别是、、），请在图中画出平移后的，并写出点的坐标； (2)在（1）的条件下，若点在轴上，当的面积是的面积的时，请你直接写出点的坐标． 9．(24-25七下·北京东城区·期末)如图，每个小正方形的边长均为1，网格线的交点叫作格点，三角形的顶点都是格点．将三角形先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到三角形． (1)画出三角形； (2)写出所有与相等的角；___________； (3)求三角形的面积． 10．(24-25七下·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，三角形的顶点坐标分别是，，，其中．平移三角形，得到三角形，点的对应点为，点，的对应点分别为，． (1)当时，三角形如图所示．在图中画出三角形，并写出点，的坐标； (2)过点作轴于点，连接． ①直接写出点的坐标（用含的式子表示）； ②若三角形的面积为6，求的值． 11．(24-25七下·北京三帆中学·期末)已知， 在平面直角坐标系中， 点，，． (1)若点A在x轴上，在坐标系中画出并直接写出m的值； (2)将线段先向右平移n个单位长度，再向上平移n个单位长度得到线段，其中点A，B的对应点分别是点，． ①若点在y轴上， 求n的值和的面积； ②若， 且的面积为9， 求m的值． 12．(24-25七下·北京朝阳区·期末)如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别是，，，将三角形平移后，顶点A的对应点的坐标为，顶点B，C的对应点分别为，． (1)点的坐标为______； (2)①画出三角形； ②写出三角形的面积； (3)若直线与x轴交于点P，则点P的坐标为_____． 13．(24-25七下·北京丰台区·期末)如图，在平面直角坐标系中，经过平移后，得到，点的对应点为． (1)画出，并写出点的坐标； (2)连接，，则这两条线段之间的关系是_______； (3)直接写出的面积． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $