专题01 二元一次方程组（期末复习课件，4考点+5技巧+4新考向+3易错）七年级数学下学期新教材人教版五四制

这是一份初中数学七年级下学期期末复习课件，聚焦二元一次方程组专题，通过考点梳理（4大考点）、技巧点拨（5大方法）、易错分析（3类易错点）及押题预测（3道真题）构建学习支架，涵盖概念、解法、应用及三元一次方程组等核心内容。 资料特色突出核心素养，以数学文化（如《孙子算经》问题）、跨学科综合（杠杆原理）、项目探究（板材裁剪）培养数学眼光，通过消元技巧、解题步骤训练数学思维，借助应用题建模提升数学语言表达能力，助力学生系统复习，为教师教学提供实用资源。 七年级学生处于初中知识体系构建初期，需强化基础概念理解与解题规范，本资料通过分层训练和易错警示，帮助学生巩固知识、提升应试能力，适应期末复习需求。

七年级数学下学期·期末复习大串讲 专题01 二元一次方程组 （4考点+5技巧+4新考向+3易错） 人教版五四制2024 01 02 04 03 目 录 易错易混 题型剖析 考点透视 押题预测 四大常考点：知识梳理+针对训练 五大技巧点拨+四大新考向 三大易错易混经典例题+针对训练 精选3道期末真题对应考点练 两 1 加减 三 知识结构 3 含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫作二元一次方程. 知识点一：二元一次方程（组）的有关概念 下面方程中，是二元一次方程的是( ) A. x2+x=1 B. xy=3 C. 2x-3y=5 D. 3x-y=2z C 知识梳理 一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解. (二元一次方程的解有无数个) 例如: x=4，y=2 是方程 x+y=6 的一个解. 记作 x=4， y=2 . 你还能找到其他的解? 一般地，二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解. (一般来说解是唯一的) 若 是关于x，y的方程组 的解， 则a+b的值为( ) ax+by=2 bx+ay=7 x =2 y =1 A.3 B.-3 C.2 D.-2 A 2a+b=2 2b+a=7 解析： 3a+3b=9 a+b=3 知识点二：二元一次方程组的解法 二元一次方程组 消元思想 代入消元法 加减消元法 知识点三：二元一次方程组的应用 ①审 ②设 ③列 ④解 ⑤验 ⑥答 审题，找题目中的__________ 列二元一次方程组解应用题的一般步骤： 设未知数 根据等量关系，列出相应的方程组 用“________法”或“________法”解方程组 检验所求未知数的值是否符合题意及实际意义 写出答案(包括单位名称) 等量关系 代入消元 加减消元 知识点四：三元一次方程组及其解法 三元一次方程组 概念 含未知数的项的次数都是 1 方程组中一共含有 3 个未知数 解法 化“三元”为“二元” 含有三个整式方程 消元 代入消元法 加减消元法 二元一次方程组 知识点一：二元一次方程（组）的相关概念 1. 下列方程中，是二元一次方程的是 （ ） A. x-4=0　 B. 2x-y=1 C. 3xy-3=11　 D. +y= B 针对训练 2. 下列方程组中，是二元一次方程组的是 （ ） A. B. C. D. B 3. 下列哪对x，y的值是二元一次方程x+2y=6的解 （ ） A. B. C. D. C 4. 若关于x，y的方程xm+n+5ym-n+2=8是二元一次方程，则mn的值是　 　.  5. 若是关于x，y的二元一次方程组，则ab= 　 .  0 0 6. 某中学为了改造劳动实践基地，需要2 m和3 m两种规格的钢管. 从建材市场购回一根长17 m的钢管，将其截成2 m长x段，3 m长y段. （x，y为正整数） （1）列出关于x，y的二元一次方程； 解：（1）由题意，得2x+3y=17. （2）应该怎么样截这一根钢管更好？ （2）∵x，y都是正整数，当x=1时，y=5，符合题意； 当x=2时，y=，不符合题意；当x=3时，y=，不符合题意； 当x=4时，y=3，符合题意；当x=5时，y=，不符合题意； 当x=6时，y=，不符合题意；当x=7时，y=1，符合题意. ∴按的方式截这一根钢管更好. 知识点二：二元一次方程组的解法 7. 用加减消元法解方程组的过程中，正确的是 （ ） A. ①+②，得4y=9 B. ①+②，得2y=9 C. ①-②，得4y=7 D. ①-②，得2y=7 C 8. 解方程组时，经过下列步骤，能消去未知数y的是 （ ） A. ①-②×3　 B. ①+②×3 C. ①+②×2　 D. ①-②×2 C 9. 若的解，则m=　　，n=  　.   10. 已知关于x，y的二元一次方程组的解满足x-y=3，则m的值为　 　.   1 1 11. 用代入法解方程组： （1） 解： 把②代入①，得3x+2（1-x）=5. 解得x=3. 把x=3代入②，得y=-2. ∴原方程组的解为 （2） 解： 由①，得x=8-3y.③ 把③代入②，得5（8-3y）-3y=4. 解得y=2. 将y=2代入③，得x=2. ∴原方程组的解为 （3） 解：方程组整理，得 由①，得y=3x-8.③ 把③代入②，得3x-5（3x-8）=-20. 解得x=5. 把x=5代入③，得y=7. ∴原方程组的解为 （4） 解：方程组整理，得 由①，得x=3y-2.③ 把③代入②，得2（3y-2）+y=3. 解得y=1. 把y=1代入③，得x=1. ∴原方程组的解为 12. 用加减法解下列方程组： （1） 解： ①+②，得7m=14.解得m=2. 把m=2代入①，得6+7n=9. 解得n=. ∴原方程组的解为 （2） 解： ①×2，得18x+4y=30.③ ③-②，得15x=20.解得x=. 把x=代入②，得4+4y=10.解得y=. ∴原方程组的解为 （3） 解：原方程组整理，得 ②-①，得2t=14. 解得t=7. 把t=7代入②，得3s-14=1. 解得s=5. ∴原方程组的解为 （4） 解：原方程组整理，得 ②×2，得10x-14y=-50.③ ①-③，得11y=55. 解得y=5. 把y=5代入①，得10x-15=5. 解得x=2. ∴原方程组的解为 知识点三：二元一次方程组的应用 13. （数学文化）我国古代数学名著《孙子算经》中记载了一道题，大意是：100匹马恰好拉了100片瓦，已知3匹小马能拉1片瓦，1匹大马能拉3片瓦，求小马、大马各有多少匹. 解：设小马有x匹，大马有y匹. 由题意，得 解得 答：小马有75匹，大马有25匹. 14. 为提高集团人力资源利用率，某集团对下属甲、乙两地分公司的员工人数进行了如下调整：甲分公司人数增加10%，乙分公司人数减少5人，已知调整前甲分公司比乙分公司人数少10人，调整后甲比乙多3人，求调整前甲、乙分公司的人数. 解：设调整前甲分公司的人数为x人，乙分公司的人数为y人. 由题意，得 解得 答：调整前甲分公司的人数为80人，乙分公司的人数为90人. 15. 甲、乙两人分别从A，B两地同时出发，6 h后在中点相遇；若甲每小时多走4 km，乙提前1 h出发，则仍在中点相遇，那么两地相距多少千米？ 解：设甲的速度为x km/h，乙的速度为y km/h. 由题意，得 解得 ∴A，B两地相距20×6×2=240（km）. 答：两地相距240 km. 16. 用5张大小完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图Q10-1所示的图案，已知点A的坐标为（-1，7），求点B的坐标. 　图Q10-1 解：设小长方形的长为x，宽为y. 由题意，得 解得 则2x=6，x+y=5. ∴点B的坐标为（-6，5）. 17. 今年“五一黄金周”，长江三峡沿途旅游再一次风靡全国，其中忠县石宝寨风景区更是人山人海. “联盟号豪华旅游客轮”在相距约270 km的重庆港、石宝寨两地之间匀速航行，从重庆港到石宝寨顺流航行需9 h，石宝寨到重庆港逆流航行比顺流航行多用4.5 h. （1）求该客轮在静水中的平均速度和水流速度； 解：（1）设该客轮在静水中的平均速度是x km/h，水流速度是y km/h. 由题意，得 解得 答：该客轮在静水中的平均速度是25 km/h，水流速度是5 km/h. （2）若在重庆港、石宝寨两地之间需建新码头便于游客休息观光，使该客轮从重庆港到该码头和从石宝寨到该码头所用的航行时间相同，问重庆港与该码头两地相距多少千米？ （2）设重庆港到该码头两地相距a km，则石宝寨到该码头两地相距（270-a）km. 由题意，得. 解得a=162. 答：重庆港与该码头两地相距162 km. 18. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具. 某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售. 据了解，2辆甲型汽车、3辆乙型汽车的进价共计80万元；3辆甲型汽车、2辆乙型汽车的进价共计95万元. （1）求甲、乙两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元； 解：（1）设甲型汽车每辆的进价为x万元，乙型汽车每辆的进价为y万元. 由题意，得 解得 答：甲型汽车每辆的进价为25万元，乙型汽车每辆的进价为10万元. （2）若该公司计划正好用200万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； （2）设购进甲型汽车m辆，购进乙型汽车n辆. 由题意，得25m+10n=200. 解得m=8-n. ∵m，n均为正整数，∴ ∴共有以下3种购买方案： ①购进甲型汽车6辆，乙型汽车5辆； ②购进甲型汽车4辆，乙型汽车10辆； ③购进甲型汽车2辆，乙型汽车15辆. （3）若该汽车销售公司销售1辆甲型汽车可获利8 000元，销售1辆乙型汽车可获利5 000元，在（2）中的购买方案中，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ （3）方案①获得利润：8 000×6+5 000×5=73 000（元）； 方案②获得利润：8 000×4+5 000×10=82 000（元）； 方案③获得利润：8 000×2+5 000×15=91 000（元）. ∵73 000<82 000<91 000， ∴购进甲型汽车2辆，乙型汽车15辆获利最大，最大利润为91 000元. 知识点四：三元一次方程组及其解法 19.下列是三元一次方程组的是( ) D A. B. C. D. 28 20. 解下列方程组： （1） 解： ①+②，得2x+z=19. ④ ③-②，得z=5. 把z=5代入④，得2x+5=19. 解得x=7. 把x=7代入②，得7-y=1. 解得y=6. ∴原方程组的解为 （2） 解： ②-①，得3x+2y=5. ④ ③-②，得5x+2y=11. ⑤ ⑤-④，得2x=6. 解得x=3. 把x=3代入④，得y=-2. 把x=3，y=-2代入①，得z=-5. ∴原方程组的解为 21. 已知x，y，z满足+（3x-3y-8）2+=0，求x，y，z的值. 解：由题意，得 ②+③，得3x+3z-12=0，即x=4-z. ④ 把④代入①，得4-z-2-z=0. 解得z=1. ∴x=4-1=3. 把z=1代入③，得3y+3-4=0. 解得y=. ∴x=3，y=，z=1. 技巧1：其中一个未知数的系数相差1，先相减，再代入 例 1 解方程组： 技巧点拨 解： ②-①，得x－y=－5，即x=y－5. ③ 将③代入①，得 4(y－5) +7y=222， 解得 y=22. 将 y=22 代入③， 得 x=17. 所以原方程组的解为 技巧2：两个未知数的系数之差的绝对值相等，先相减，化简后再消元 解方程组： 例 2 解：① - ②，得 2x－2y=10. 所以 x－y=5. ③ ③× 5+ ②，得 12x=24， 解得 x=2. 将 x=2 代入③，得 y=－3. 所以原方程组的解为 技巧3：两个未知数的系数之和相等，分别加、减后重新组合 例 3 解方程组： 解：① + ②，得 5x+5y=15，所 以 x+y=3. ③ ② - ①，得 x－y=1. ④ 联立③④得解得 所以原方程组的解为 技巧4：两个方程的常数项相同，先消常数项，再代入 解方程组： 例 4 解： ② - ①，得 10y－6x=0， 所以 y=0.6x. ③ 将③代入①，得 5x－0.6x=110， 解得x=25. 将 x=25 代入③，得 y=15. 所以原方程组的解为 技巧5：一个未知数的系数成倍数关系，先变形，再整体代入 例 5 解方程组： 解： 由①，得 3m=4n+7，③将③代入②， 得 3(4n+7)－10n+25=0，解得 n=－23. 将 n=－23 代入③， 得 3m=4×（－23） +7，解得 m=－28 . 所以原方程组的解为 类型一 数学文化 1.[2024·日照] 我国明代数学家程大位编撰的《算法统宗》记载了“绳索 量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托，折回索子来量竿，却 比竿子短一托，问索、竿各长几何？”译文为：“有一根竿和一条绳，若 用绳去量竿，则绳比竿长5尺；若将绳对折后再去量竿，则绳比竿短5尺， 问绳和竿各有多长？”设绳长尺，竿长 尺，根据题意得( ) （注：“托”和“尺”为古代的长度单位，1托 尺） A A. B. C. D. 新考向 36 类型二 传统文化 2.[2024·安阳期末] 西游记是我国古典文学四大名著之一.下面是一首描 述孙悟空追妖精的数学诗：“悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟，归时 四分行六百，风速多少才称雄？”译文为：孙悟空顺风去查妖精的行踪， 4分钟就飞了1 000里；逆风返回时，4分钟飞了600里，问风速是多少？ 设孙悟空的速度为里/分，风速为 里/分，则可列方程组为 _ _________________. 37 类型三 跨学科综合 3.【综合与实践】有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”. 某兴趣小组将利用物理学中的杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案， 然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务. 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可 使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得 .其中秤盘质量为 克，重物质量为克，秤砣质量为 克， 秤纽与秤盘的水平距离为 ，秤纽与零刻 线的水平距离为，秤砣与零刻线的水平距离为 . 38 【方案设计】目标：设计简易杆秤.设定， ，最大可称 重物质量为1 000克，零刻线与末刻线的距离定为 . 任务：确定和 的值. （1）当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于， 的方程； 解：由题意得,，， . 39 （2）当秤盘放入质量为1 000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时， 杆秤平衡，请列出关于， 的方程； 解：由题意得,， ， . （3）根据（1）和（2）所列方程，求出和 的值. 解：由可得解得 40 类型四 项目探究题 4.[2024·宁波期末] 根据以下素材，探索完成任务. 如何设计板材裁切方案？ 素材1 图①是一把学生椅，主要由靠 背、坐垫及铁架组成，图②是 靠背与坐垫的尺寸示意图. ________________________________________________________________________________ 41 如何设计板材裁切方案？ 素材2 因学校需要，某工厂配合制作该款式学生椅.经清点库存时发 现，工厂仓库已有大量的学生椅的铁架，只需在市场上购进某 型号板材加工制作该款式学生椅的靠背与坐垫，已知该板材长 为，宽为 （裁切时不计损耗）. 续表 42 我是板材裁切师 任务1 拟订裁切方案 为不造成板材浪费，该厂设计出一张该板材的所有裁切方法，请你求出 和 的值. 方法一：裁切靠背16张和坐垫0张. 方法二：裁切靠背9张和坐垫 张. 方法三：裁切靠背 张和坐垫6张. 解：由题意得，解得 . 由题意得，解得 . 43 任务2 确定搭配数量 若该工厂购进100张该型号板材，加工后板材恰好全部用完，能制作成 多少把学生椅？ 解： （把）. 答：能制作成480把学生椅. 44 任务3 解决实际问题 现需要制作700把学生椅，该工厂仓库现有11张靠背和1张坐垫，还需要 购买该型号板材多少张（恰好全部用完）?并给出一种只用方法二和方 法三的裁切方案. 解：设用张板材裁切靠背9张和坐垫3张，用 张板材裁切靠背2张和坐 垫6张， 由题意得解得 （张）. 答：还需要购买该型号板材145张，用其中57张板材裁切靠背9张和坐垫 3张，用88张板材裁切靠背2张和坐垫6张. 45 易错点1.加减消元时，因弄错符号而出错 【例1】解方程组 错解： ①-②，得-y-2y=2-3.解得y=. 把y=代入①，得x-=2.解得x=. ∴原方程组的解为 易混易错 错解分析：在计算①-②时，误将-y-（-2y）=2-（-3）当成-y-2y=2-3而出错，这是没有注意符号变化，未理解加减法法则所致！避免错误的方法是：将结果代入原方程组进行检验. 正解： ①-②，得-y-（-2y）=2-（-3）. 解得y=5. 将y=5代入①，得x-5=2.解得x=7. ∴原方程组的解为 【针对训练】解方程组 解： ①+②，得4x=8.解得x=2. 把x=2代入①，得2+2y=9.解得y=. ∴原方程组的解为 易错点2.因错用等式的性质而出错 【例2】解方程组 错解： ②×4，得8x-4y=5.③ ①+③，得11x=7.解得x=. 把x=代入②，得2×-y=5.解得y=-. ∴原方程组的解为 错解分析：在②×4时，易出现只将含未知数的项乘以4，其余各项忘记乘4的错误.根据等式的性质，方程两边都乘同一个数时，也就是每一项都乘这个数，不能漏乘某一项. 正解： ②×4，得8x-4y=20.③ ①+③，得11x=22. 解得x=2. 把x=2代入②，得2×2-y=5. 解得y=-1. ∴原方程组的解为 【针对训练】解方程组 解： ①×3+②×2，得13x=26.解得x=2. 把x=2代入①，得6-2y=4.解得y=1. ∴原方程组的解为 易错点3.因单位不统一而出错 【例3】小明家离学校2 km，其中有一段为上坡路，另一段为下坡路.他从家跑步去学校共用了16 min，已知小明在上坡路上的平均速度是4.8 km/h，在下坡路上的平均速度是12 km/h.小明上坡、下坡各用了多少分钟？ 错解：设小明上坡用了x min，下坡用了y min. 由题意，得 解得 答：小明上坡用了 min，下坡用了 min. 错解分析：所列方程组中时间单位没有统一，平均速度4.8 km/h与12 km/h中时间的单位是h（小时），而所设未知数中时间x与y的单位是min（分钟）.因此，列方程组解应用题时，一定要认真审题，牢记单位要统一，就能避免上述错误. 正解：设小明上坡用了x min，下坡用了y min. 由题意，得 解得 答：小明上坡用了10 min，下坡用了6 min. 【针对训练】随着“互联网+”时代的到来，一种新型的打车方式颇受欢迎，该打车方式的总费用由里程费和耗时费组成，其中里程费按每千米a元来计算，耗时费按每分钟b元计算（总费用不足9元按9元计价），甲、乙两人用该打车方式出行，按上述计价规则，其行驶里程数和平均车速及支付车费如下表. 乘客 里程数/km 平均车速/（km·h-1） 车费/元 甲 8 60 12 乙 10 50 16 （1）求a，b的值； 解：（1）甲乘客的行驶里程为8 km，时间为60×=8（min）； 乙乘客的行驶里程为10 km，时间为60×=12（min）. 由题意，得 解得 （2）星期日，王老师也用该打车方式行驶了11 km，若平均车速为55 km/h，求王老师这次打车的总费用. （2）王老师该次打车行驶里程为11 km，时间为60×=12（min）. 则11a+12b=11×1+12×=17（元）. 答：王老师这次打车的总费用为17元. 1. 在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店 李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.诗的大 意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7 人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房.设该店有客房 间，房客 人，则可列方程组为( ) A A. B. C. D. 押题预测 57 2.（新定义运算）对于任意有理数,,,，我们规定 ， 已知，同时满足，，则 ____. 【点拨】， ， 联立可得 由，得，解得 ， 将代入①，得 ，解得 . . 58 3. 为了鼓励市民节约用水，某 市居民生活用水按阶梯式水价计费，下表是该市居民“一户一 表”生活用水阶梯式计费价格表的一部分信息：（水价计费 自来水销售费用 污水处理费用） 自来水销售价格 污水处理价格 每户每月用水量 单价：元/吨 单价：元/吨 10吨及以下 0.80 超过10吨不超过15吨的部分 0.80 超过15吨的部分 12.0 0.80 59 已知佳琪家2024年3月份用水11吨，缴纳水费54.8元；4月份 用水14吨，缴纳水费75.2元. （1）求， 的值. 【解】由题意得 解得 60 （2）佳琪家5月份缴纳水费120.4元，则佳琪家5月份用水多少吨？ 【解】设佳琪家5月份用水 吨， 当用水15吨时，需要缴纳水费 （元）. 元 元， ， ， 解得 ， 答：佳琪家5月份用水18吨. 61 $