9.4 二项分布、超几何分布与正态分布(实战册)-【实战高考】2026年高考数学总复习（山东专版）

O实战册参考答案及解析 5、6, 当0<<时，了()<0，此时，函数fp)单调递减， P(X=3)=(3)°=7 当号<p<1时，f(p)>0,此时，函数f(p)单调递增， p(X=40-C·号（兮）2-号， 所以fp)血=（传）为 p(x=5)=C(号)}=， (②)依题意可得A=号，P=号+（号）}=子，当≥8 PX=6)=(层）°=0， 所以随机变量X的分布列如下表所示： x3456 所以Pm-P-1=-3(P-1-Pm-2),且P2-P1=g, P 2 4 所以数列{P+1-P,)是首项为g,公比为-3的等比 所以EX)=3X+4X号+5×号+5x号5 数列， ②因为萌四道题得8分即全对的概率为7，所以第四道 故P+1-P.=g·(})-(-})， 题答对的概率为81p' 1 P+3P-1=P1+3P.-且P+号P=1, 所以小明答完前四题时至少答对三题的概率为f()= 所以数列{P+1+号P}是各项均为1的常数列，则 +p1-8)+G1-p）·8p=P+22 1 P+1+3P.=1, 1 27' Pt1-P=(3), 、181p4-1 所以 则f(p)=3p2一27p=272 P1+3P=1, =(3p-1)(3+1)(9p2+1) 27p2 解得P=+(3)” 9.4二项分布、超几何分布与正态分布 山东新高考全练 BC解析依题可知，x=2.1,s2=0.01,所以Y~ 0.1). N(2.1,0.12), 因为P(X<1.8+0.1)≈0.8413，所以P(X>1.8+0.1) 故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈ ≈1-0.8413=0.1587<0.2， 0.8413>0.5,C正确，D错误. 而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)<P(X>1.8+0.1) 因为X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)=P(X>1.8+2× <0.2,B正确，A错误. 山东模拟专练 考点闯关) 27 40 考点①二项分布和超几何分布 因此，在被调查的学生中任选1人，若此人日均运动时间 ①解：(1)记事件A:抽取的1人为男生，记事件B:抽取的 1人日均运动时间大于1小时， 大于1小时，则此人为男生的概率为器 则P(A)=0.6,P(B|A)=0.9,P(A)=0.4,P(B|A)= (2)由(1)可知从该地区的高中生中随机抽取1人，该生日 0.65. 均运动时间大于1小时的概率为号。 由全概率公式可得P(B)=P(A)P(BA)十P(A)· P(BA)=0.6×0.9+0.4×0.65=0.8. 由题意可知B(,着)，所以，E=4X号-9，D() 由条件概率公式可得P(AB)=PCAB)=0.6X0.9 P(B) 0.8 -4X号×- 511 答案 实战高考·数学 2解：(1)将抽取的这20位客户的评分从小到大排列为： 根据正态分布曲线的对称性可知P(23)=P(3< 62,66,70,72,73,77,78,79,80,80,82,85,86,86,87,89 <4), 91,91,92,94. 所以P(2<<3)=P(3<<4)=P(3<4)=0.3. 因为20×25%=5，所以抽取的这20位客户评分的第一 3ACD解析由随机变量X服从正态分布N(0,22), 四分位数为73,7”=75. 得E(X)=0,D(X)=4. 2 由随机变量Y服从正态分布N(2,32),得E(Y)=2, (2)由已知得分公司A中75分以下的有66分，72分； D(Y)=9. 分公司B中75分以下的有62分，70分，73分. 对于A,因为E(2X+1)=2E(X)十1=1，所以A正确. 故两个分公司抽取的客户中不满意的客户共5人，其中 对于B,因为D(2Y+1)=22·D(Y)=36,所以B不 分公司A中2人，分公司B中3人. 正确。 所以X的所有可能取值为1,2,3. 对于C,由正态分布曲线的性质，得P(X≤一2)十P(X≤ P(X=1)= 2C-3 C 8=品P(X=2) c4c-3 5； 2)=1一P(X≤2)十P(X≤2)=1，所以C正确. 对于D,|X|≤2，则-2≤X≤2. cgcg 1 P(X=3)= Cg 设Z为标准正态变量，则 所以X的分布列为 标准化为一20≤2<2。，即-1<2≤1， 2 3 由正态分布的性质，得P(-1≤Z≤1)≈0.6827. 10 1Y1≤2，则-2<Y<2,标准化为号2≤Z<2.2,即 数学期望E(X)=1×是+2×号+3X品-号 -4<2<0. 考点2正态分布 计算，得P(-号<2≤0）=(0)-Φ(-号)=0.5 3C解析由题意可知其均值为3,2和4关于3对称， 所以P(X≤2)=P(X≥4)=0.3，因此P(X>2)=1- (-号)-0.5-0.0918=0.4082. P(X≤2)=0.7. 因为0.6827>0.4082，所以P(X≤2)>P(|Y2). ④A解析由题意，知P(1.5≤X<2)=0.36,所以P(2 故选ACD】 ≤X≤2.5)=0.36， ④解：(1)由题意，知各组频率分别为0.15,0.25,0.3， 则P(1.5≤X≤2.5)=0.36+0.36=0.72，所以P(X> 0.2,0.1. 2.5)=1-P1.5sX≤2.5)=0.14. 于是日均阅读时间的平均值为： 2 30×0.15+50×0.25+70×0.3+90×0.2+110×0.1= 5号 解析由题意，得μ=2，P(<m)=P(>m-1), 67(分钟). 所以n十1-2，解得m=。 (2)由题意，知在[60,80)，[80,100)，[100,120]三组分别 2 抽取3,2,1人. 616解析由X~N(1,22)可得D(X)=22=4,则 的可能取值为0,1,2， D(2X+1)=4D(X)=16. 则P(E=0)= 分层闯关) C=,P(=1D= - 基础题组 目B解析因为随机变量X~B(4,2),所以P(X=2) 5 所以的分布列为： =c(g》==8 2B解析由随机变量~N(3,),根据正态分布的性 5 5 质可知P(>3)=0.5. 因为P(>4)=0.2,所以P(3<4)=P(>3)-P(E E()=0 号+1×号+2x号=1 5 >4)=0.5-0.2=0.3. ⑤解：(1)设A=“智能客服的回答被采纳”，B=“输入的 512 ○实战册参考答案及解析 问题表达不清晰”， 能力题组 依题意，P(B)=P(B)=号，P(AB)=,P(A1B) 7BCD解析对于A:由E(X)=80,D(X)=400,得 =80,02=400,即σ=20，故A错误； 对于B:由=80,02=400，得X~N(80,202),则一o= 80-20=60,4十G=80+20=100,4-2g=80-2×20= 因此PA)=P(B)P(AB)+P(B)PAB)=号×合十 40,4十2a=80+2X20=120, 故有P(60≤X≤100)=m,P(40≤X≤120)=n, 所以智能客服的回答被采纳的概率为 则P(100≤X≤120)=”2，则P(60≤X≤120)=”2 2 +m=m十n (2)依题意，X的所有可能取值为0,12,3，X~B(3,号)， 2, 即从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试 则PX=0)=C(告)°（传）°=25 成绩及格但不优秀的概率为，故B正确： PX=D-C(借}（号）- 对于C:P(X120)=2,则从孩市高一全体学生中 PXx=2)-g(售'（传广-器， (数量很大)依次抽取两名学生，这两名学生恰好有一名 pX=3)=cC()°（号）”-器， 测试成绩优秀的概率为P=2×12”×(1-1) 所以X的分布列为： 2,故C正确； X 0 3 对于D:P(X260)=号+罗，又PX120)=12, 端 器 ” 故从该市高一全体学生中随机抽取一名学生，该生测试 成续及格的概率为2+受，该生闲试成续优秀的概率为 数学期塑EX0=3X号-号，D0=3X号×写-号 5 ,”,则在已知该生测试成绩及格的条件下，该生测试成 ⑥解：(1)将数据I从小到大排列为：54,58,65,68,70， 2 75,80,88,90,92. 1-2 绩优秀的概率为1十m 2 因为10×80%=8，所以数据I的第80百分位数为 1一n,故D正确. 1+m 22 88+90=89. 2 ⑧解：(1)已知a1,a2,a3,9成等差数列，设公差为d,则a (2)数据I中60分以下的有54分，58分； +3d=9. 数据Ⅱ中60分以下的有52分，55分，56分，59分. 又因为12+a1十a2十a3+9+4=100,所以a1十a2十a3 故符合题意的共6人，其中高三，1班有2人，高三，2班有 =75. 4人. 由等差数列性质a1十a2十a3=3a2=75,可得a2=25. 可知X的所有可能取值为1,2,3， [a1+d=25, 联立方程组 a1+3d=9, 解得d=-8,a1=33,所以a3= 则P(X=1)= C-=日PX=2)= - C 25+(-8)=17. 昌pX-) Cc=4=1 男生运动步数达到5万步（即[5,6）、[6,7)、[7,8)这三组) Cg205’ 的人数为17十9十4=30. 所以X的分布列为 所以估计该中学男生体育最炼的达标率为0×100% 3 =30%. 1 5 (2)因为b3,b2,b成公比为正整数的等比数列，设公比为 q(q∈N+), 数学期塑E(X)=1×号+2×号+3X号=2 且14+b3+b2+b1+7+2=100,即b3+b2+b1=77. 513 答案 实战高考·数学 所以bs+bsq十b3q2=77,即b3(1+q十q2)=77.因为q∈ B0=0X7+1X0+2x品= Nt,bs∈N+, 培优题组 当9=1时6s-号合去 ⑨解：(1)记“输入的问题没有语法错误”为事件A,“回答 当q=2时，b3=11,b2=22,b1=44,满足题意； 正确”为事件B. 当03时，昭舍去当9=4时，加号，合去。 77 由题意可知P(A)=0.1,P(B|A)=0.8,P(BA)= 当g=5时-引合去当q=6时-得合去。 77 0.3,则P(A)=1-P(A)=0.9, 所以P(B)=P(B引A)P(A)+P(BA)P(A)=0.75. 当9=7时品合去当g=8时，=亮合去 (2)由(1)可知P(B)=0.75= 4, 当q=9时，bs<1,舍去。 于是步数位于(2,5)内的女生人数为14十44十22=80，步 则X~B(,是)，可得p(X=6)=C(径)°· 数位于[5,8)内的女生人数为11+7+2=20.采用等比例 分层抽样的方法抽取10人，则从步数位于(2,5)内的女生 (1-)-c(保)°（骨）》- 中抽取10×0-8（人，从步数位于5,8）内的女生中 令=C(保)（保）， 抽取10一8=2（人）.随机变量X表示步数在[5,8)内的 C+1()°(4) n十1 人数，X的可能取值为0,1,2. 则+1 an c()°（任） 4(n-5) P(X=0)= C= 5,P(X=1= SC-6PX=2)3 c。 令1)>1，解得<7，可知当6时at1>a: n十1 令4m5）<1,解得n>7,可知当≥8时，am+1<am 所以X的分布列为： n+1 令45=1，解得n=7,可得as=a7. X 0 1 2 所以当n=7或n=8时，am最大，即n为7或8时， 15 15 15 P(X=6)的值最大 高考全国视野 真题精练) (2)(①)依题意，可知这40只小鼠体重的中位数是将两组 ①B解析对于A,根据正态分布的对称性可知，P(X≤ 数据合在一起，按从小到大排列后第20位与第21位数据 o)=P(X>μ十a),A说法正确； 的平均数， 对于B,根据正态分布的对称性可知，P(X<1)=P(Y< 由于原数据已经按从小到大排好，所以我们只需要观察 2)=0.5,B说法错误； 对照组第一、二排数据与实验组第三排数据即可， 对于C和D,相关系数|r越接近0，相关性越弱，越接近 可得第11位数据为14.4，后续依次为17.3,17.3,18.4， 1,相关性越强，故C和D说法正确」 19.2,20.1,20.2,20.4,21.5,23.2,23.6,…, 2解：(1)依题意，X的可能取值为0,1,2， 故第20位数据为23.2，第21位数据为23.6，所以m= 则P(X=0)= C-是x-1- 2C2_20 23.2+23.6=23.4,故2×2列联表为： C Cto 39 2 <m ≥m 合计 P(X=2)= C2=19 Cio 78 对照组 6 14 20 14 所以X的分布列为： 实验组 6 品 合计 20 20 40 0 2 19 20 19 (ii)由(i)可得，K2= 40×(6×6-14×14)2 =6.400> 78 78 20×20×20×20 故E(X0-0×号+1×8+2× 3.841, 1 所以能有95%的把握认为药物对小鼠生长有抑制作用. 514 ○实战册参考答案及解析 模拟精练) 01 2 ①解：(1)设甲正确完成面试题数为X,乙正确完成面试 2 1 3 题数为Y, 则X可取1,2,3，Y可取0,1,2,3， 所以随机变量X的期望E(X)=0× +1×号+2x日 6 则P(X=1)= C4=1,P(X=2)=9 =1. C (2)记第一次从甲袋中随机摸出1个球，摸出的是1、2、3 P(X=3)= 8c_1 号球分别为事件A1,A2,A3, 第二次摸到的是3号球为事件B, 所以甲正确完成面试题数X的分布列为： 则PA)=是，PA2)=PA)=},P(BA)=, P(BA)-子，P(BA)=号， 所以P(B)=P(A1)P(BA1)+P(A2)P(BA2)+ EX)=1×号+2×号+3×号-2. PAPBA)=是×+×+×号-器 PY=o)=Cg×(号)°x(3)3=27 3解：(1)由题意，知X~N(30,52), PY=1)=C×号×(g)-号 则P(35≤X<40)=P(μ+6≤X<4+2G)= PY=2)=C×(号)×3告， 0.9545-0.6827=0.1359. 2 (2)①由题，知累计获得n分时有可能是获得n一1分时掷 P(Y=3)= ×(号)》广×（传）°=易， 骰子点数小于等于4或获得n一2分时掷骰子点数大于 所以乙正确完成面试题数Y的分布列为： 4,而掷骰子点数小于等于4的概率为子，掷骰子点数大 Y 0 1 2 3 2 o 于4的概率为} 2 EY)=0X+1×号+2X告+3×8=2 可得P.=号P1+号P。-2m≥3， 3 (2油(1)得D(X)=日×1-2)2+号×2-2)2+月 则卫.-P1=号P1+}P2-P1= 3(P-1 Pm-2)(n≥3)， ×3-2)2=号， 故{Pm一Pn-1}(n≥2)为等比数列. DY)=27×(0-22+号×1-2)2+号×2-2)2+ 由A=号，R=吉十号×号-子，放该等比数列的首项 景×8-22-号 为好-号=日 3 因为D(X)<D(Y), 因此-P1=（←3），P1-P2 所以甲的成绩更稳定， 所以甲面试通过的可能性大 2解：(1)由题意可知，随机变量X的可能取值为0,1， 2,则 将所有等式相加海八-A-,1~一-（一》”] 1-(3) P(X=0)= 1-(-3) 12 P(X-2)= c 6 可得随机变量X的分布列为 所以Pn= 12 +号-+x()》 515 答案册 实战高考·数学 (1≤n≤9). 则EX)=3×号+4×号+5×号+6×7-4 当a=10时，Po=}Ps=}×[+×(-3)] (2)由题可得合计积分是(n十1)分时，有(n一1)人只观看 名-是×(-3)只 《新春京剧演唱会》，一人既观看《新春京剧演唱会》，也观 ∫+×(-八，1<9. 看《墙头马上》， 综上，Pm= 日-×(-3)）尸m=10. 可得P=3,P=C×号×-告，=C(号}'× ②设该企业作为游戏奖励的预算资金为S元，则S= =124 279 1000×40×Pg+2000×40×P10 =4000×[2+4(-5.081×105)]+8000× 则卫=C(号)×}-g·(层》， [}-(-5.081×105)]5001(元). 则S=P+P+…+P1+P,=}×(号)°+号× 故估计该企业作为游戏奖励的预算资金为50001元. (号)'++”写.（号）2+·（号）， 4解：(1)由题可得X的值可能为3,4,5,6， 则P(X-3)=(号)°=易， 则号s=名×（号》+号×（号）}+…+"写· (号)+号（号， 两式相减可得3S,=3× P(X=6)-(传)-= [(号)°+（号）'++（号）]号·（号》”=1 X的分布列如下： X 3 5 6 (3+1)(号)” 故s.=3-(n+3)(号)” 9.5 统计与成对数据的分析 山东新高考全练 ①CD解析A:E(y)=E(x十c)=E(x)十c且c≠0，故 对于选项B:不妨设x1≤x2≤x3≤x4≤x5≤x6, 平均数不相同，A选项错误； 可知x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6的中位 B:若第一组样本数据的中位数为x,则第二组样本数据 数，均为4，故B正确 的中位数为y=x十c,显然不相同，B选项错误； 2 C:D(y)=D(x)十D(c)=D(x),故方差相同，C选项 对于选项C:因为x1是最小值，x6是最大值， 正确； 则x2,x3,x4,x5的波动性不大于x1,x2,…,x6的波动 D:由极差的定义，知若第一组样本数据的极差为xmax一 性，即x2,x3,x4,x5的标准差不大于x1,x2,…,x6的标 xmin,则第二组样本数据的极差为ymax一ymin=(xmax十c) 准差.故C错误. 一(cmin十c)=xmax一xmin,故极差相同，D选项正确. 对于选项D:不妨设x1≤x2≤x≤x4≤x5≤x6, 2BD解析对于选项A:设x2,x3,x4,x5的平均数为 则x6一x1≥x5一x2,当且仅当x1=x2,x5-x6时，等号 m,x1,2,3,x4,x5,x6的平均数为n, 成立，故D正确. 则n-m=1十”十十x4十x5十26一x2十x3十x4+x西 3解：(1)根据表格可知，检查结果不正常的200人中有 6 4 =2(1十x6)-(x5+x2+x3十x4) 180人患病，所以P的估计值为器-品 12 (2)零假设为H0:超声波检查结果与患该疾病无关. 因为不能确定2(x1十x6),25十x2十x3十x4的大小关系， 所以无法判断m,n的大小.故A错误. 根据表中数据可得，x2-100×20X20e780X180)2 800×200×800×200 516实战册 实战高考·数学 9.4二项分布、超几何分布与正态分布 过去考什么 山东新高考全练 答案：P511 (多选)(2024新课标I卷，9,6分；考点2)为了 设推动出口后的亩收入Y服从正态分布 解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该 N(x,s2),则( )(若随机变量Z服从正态分 种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本 布N(μ，o),则P(Z<十o)≈0.8413) 均值x=2.1,样本方差2=0.01，已知该种植区 A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5 以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.1),假 C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8 将来考什么 山东模拟专练 答案：P511 考点闯关 考点①二项分布和超几何分布 2.(2024山东聊城二模)随着互联网的普及、 1.(2025山东青岛一模)为了调查某地区高中 大数据的驱动，线上线下相结合的新零售时 学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了 代已全面开启，新零售背景下，即时配送行 该地区部分学生的日均运动时间.在被调查 业稳定快速增长.某即时配送公司为更好地 的学生中，女生占40%，女生中有65%的人 了解客户需求，优化自身服务，提高客户满 日均运动时间大于1小时，男生中有90% 意度，在其A,B两个分公司的客户中各随 的人日均运动时间大于1小时. 机抽取10位客户进行了满意度评分调查 (1)在被调查的学生中任选1人，若此人日 (满分100分)，评分结果如下： 均运动时间大于1小时，求此人为男生的 分公司A:66,80,72,79,80,78,87,86, 概率； 91,91. (2)用频率估计概率，从该地区的高中生中 分公司B:62,77,82,70,73,86,85,94, 随机抽取4人，求日均运动时间大于1小时 92,89. 的人数的期望和方差. (1)求抽取的这20位客户评分的第一四分 位数； (2)规定评分在75分以下的为不满意，从上 述不满意的客户中随机抽取3人继续沟通 不满意的原因及改进建议，设被抽到的3人 中分公司B的客户人数为X,求X的分布 列和数学期望. 1481 O专题九计数原理、概率与统计 考点2正态分布 0.36,则P(X>2.5)等于( 3.(2024山东潍坊二模)已知随机变量X一 A.0.14 B.0.36 N(3,o2),且P(X≥4)=0.3，则P(X C.0.72 D.0.86 2)=() 5.(2025山东临沂一模)设随机变量￡~ A.0.2 B.0.3 N(2,5),若P(<m)=P(>m-1),则m C.0.7 D.0.8 4.(2024山东泰安二模)已知随机变量X服从 6.(2024山东济南一模)已知随机变量X~ 正态分布N(2,o2),且P(1.5≤X<2)= N(1,2),则D(2X+1)的值为 分层闯关) 基础题组 三个小矩形的高度比为3：2：1. 1.(2024山东济南二模)已知随机变量X~ +频率 组距 B4,2),则P(X=2)=( 0.0125 0.0075 A B c D君 020406080100120时间/分钟 (1)根据频率分布直方图，估计高一年级 2.(2024山东烟台二模)若随机变量~N(3, o2),且P(>4)=0.2,则P(2<<3) 1000名学生假期日均阅读时间的平均值 =() (同一组中的数据用该组区间的中点值为 A.0.2 B.0.3 代表)； C.0.4 D.0.5 (2)开学后，学校从高一日均阅读时间不低 3.(多选)(2025山东青岛二模)若随机变量X 于60分钟的学生中，按照按比例分层抽样 服从正态分布N(0,22),随机变量Y服从正 的方式，抽取6名学生作为代表分两周进行 态分布N(2,32),则( 国旗下演讲，假设第一周演讲的3名学生日 A.E(2X+1)=1 均阅读时间处于[80,100)的人数记为，求 B.D(2Y+1)=12 随机变量的分布列与数学期望， C.P(X≤-2)+P(X≤2)=1 D.P(X≤2)>P(Y≤2) 4.(2024山东青岛一模)为促进全民阅读，建 设书香校园，某校在寒假面向全体学生发出 “读书好、读好书、好读书”的号召，并开展阅 读活动.开学后，学校统计了高一年级共 1000名学生的假期日均阅读时间（单位：分 钟)，得到了如下所示的频率分布直方图，若前 两个小矩形的高度分别为0.0075,0.0125，后 149 实战 实战高考·数学 5.(2025山东济南一模)某公司升级了智能客 抽取3人作下一步调研，设被抽到的3人中 服系统，在测试时，当输入的问题表达清晰 来自于高三，2班的学生人数为X,求X的 时，智能客服的回答被采纳的概率为日，当 分布列和数学期望， 输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答 被采纳的概率为2.已知输入的问题表达不 消晰的概率为 (1)求智能客服的回答被采纳的概率. (2)在某次测试中输入了3个问题(3个问 题相互独立)，设X表示智能客服的回答被 采纳的次数.求X的分布列、期望及方差 能力题组 7.（多选)(2024山东聊城一模)在一次数学学 业水平测试中，某市高一全体学生的成绩 X~N(μ，o2),且E(X)=80,D(X)=400, 规定测试成绩不低于60分者为及格，不低 于120分者为优秀，令P(X-μ≤o)=m, P(X-μ≤2o)=n,则() A.μ=80,0=400 B.从该市高一全体学生中随机抽取一名学 生，该生测试成绩及格但不优秀的概率 6.(2025山东济宁一模)为了解高三1班和2 为” 班的数学建模水平，现从两个班级中各随机 C.从该市高一全体学生中（数量很大）依次 抽取10名学生参加数学建模能力比赛（满 抽取两名学生，这两名学生恰好有一名 分100分)，成绩如下： 数据I(高三，1班)：68,80,58,75,65,70， 测试成绩优秀的概率为' 54,90,88,92; D.从该市高一全体学生中随机抽取一名学 数据Ⅱ（高三，2班）：72,55,83,59,56,90， 生，在已知该生测试成绩及格的条件下， 83,52,80,95. (1)求数据I(高三，1班)的第80百分 该生测试成绩优秀的概率为干” 位数； 8.(2025山东临沂一模)《教育强国建设规划 (2)从上述成绩在60分以下的学生中随机 纲要(2024一2035年)》中指出深入实施素 150 O专题九计数原理、概率与统计 质教育，健全德智体美劳全面培养体系，加 培优题组 快补齐体育、美育、劳动教育短板，某中学为 9.创意题(2024山东日照一模)随着科技的不 了解学生每天参加综合体育活动的情况，随 断发展，人工智能技术的应用领域也将会更 机调查了100名男生和100名女生，统计他 加广泛，它将会成为改变人类社会发展的重 们周一到周五在校期间的运动步数，数据如 要力量.某科技公司发明了一套人机交互软 下表所示： 件，它会从数据库中检索最贴切的结果进行 运动步 (2,3)[3,4)4,5)[5,6)C6,7)[7,8)合计 应答.在对该交互软件进行测试时，如果输 数（万步） 入的问题没有语法错误，则软件正确应答的 人数（男） 12 al a2 9 100 概率为80%；若出现语法错误，则软件正确 人数（女） 14 2 100 应答的概率为30%.假设每次输入的问题 表中数据a1,a2,a3,9成等差数列；b3,b2,b1 出现语法错误的概率为10%. 成公比为正整数的等比数列， (1)求一个问题能被软件正确应答的概率； (1)若周一到周五在校期间的运动步数达到 (2)在某次测试中，输入了n(n≥6)个问题， 5万步视为体育锻炼达标，估计该中学男生 每个问题能否被软件正确应答相互独立，记 体育锻炼的达标率； 软件正确应答的个数为X,X=k(k=0, (2)为进一步了解女生每天参加综合体育活 1,…,n)的概率记为P(X=k),则n为何值 动的情况，在步数位于(2,5)，[5,8)两组内 时，P(X=6)的值最大？ 的女生中，采用等比例分层抽样的方法抽取 10人，现从这10人中随机抽取3人进行访 谈，记步数在[5,8)内的人数为X,求X的 分布列和期望. 151 实战 实战高考·数学 他省考什么 高考全国视野 m答案：P514 真题精练 P(K≥k) 0.10 0.05 0.010 1.(2025天津卷，5,5分)下列说法中错误的 ko 2.706 3.841 6.635 是( A.若X~N(u,),则P(X≤μ一o)=P(X ≥μ十o) B.若X~N(1,22),Y~N(2,22),则P(X< 1)<P(Y<2) C.r越接近1，相关性越强 D.r越接近0，相关性越弱 2.(2023全国甲卷，18,12分)为探究某药物对 小鼠的生长抑制作用，将40只小鼠均分为 模拟精练 两组，分别为对照组（不加药物）和实验组 1.(2025广东中山一模)某公司为招聘新员工 (加药物)： 设计了一个面试方案：应聘者从6道备选题 (1)设其中两只小鼠中对照组小鼠数目为 中一次性随机抽取3道题，按题目要求独立 X,求X的分布列和数学期望； 完成.规定：至少正确完成其中2道题便可 (2)测得40只小鼠体重如下（单位：g):(已 通过.已知6道备选题中应聘者甲有4道题 按从小到大排好) 能正确完成，2道题不能完成；应聘者乙每 对照组：17.318.420.120.421.5 23.224.624.825.025.4 题正确完成的概率都是号，且每题正确完成 26.126.326.426.526.8 与否互不影响. 27.027.427.527.628.3 (1)分别求甲、乙两人正确完成面试题数的 实验组：5.46.66.86.97.8 分布列及数学期望， 8.29.410.010.411.2 (2)请从稳定性的角度分析甲、乙两人谁面 14.417.319.220.223.6 试通过的可能性大？ 23.824.525.125.226.0 (i)求40只小鼠体重的中位数m,并完成下 面的2X2列联表， ∠m ≥m 对照组 实验组 (i)根据2×2列联表，能否有95%的把握 认为药物对小鼠生长有抑制作用. 参考数据： 152 O专题九计数原理、概率与统计 2.(2025湖南郴州三模)已知编号为甲、乙、丙 X近似服从正态分布N(u,o),用奖金的平 的三个袋子中装有除标号外完全相同的小 均值X作为μ的近似值，用奖金的标准差s 球，其中甲袋内装有两个1号球，一个2号 作为。的近似值，现任意抽取一位员工，求 球和一个3号球；乙袋内装有两个1号球， 他获得奖金在[35,40)的概率. 一个3号球；丙袋内装有三个1号球，两个2 (2)游戏环节：从员工中随机抽取40名参加 号球和一个3号球. 投掷游戏，每位员工只能参加一次，并制定 (1)从甲袋中一次性摸出两个小球，记随机 游戏规则如下：参与者掷一枚骰子，初始分 变量X为1号球的个数，求随机变量X的 数为0，每次所得点数大于4，得2分，否则， 分布列和数学期望 得1分.连续投掷累计得分达到9或10时， (2)现按照如下规则摸球：连续摸球两次，第 游戏结束。 一次先从甲袋中随机摸出1个球，若摸出的 ①设员工在游戏过程中累计得n分的概率 是1号球放入甲袋，摸出的是2号球放入乙 为Pn,求Pn; 袋，摸出的是3号球放人丙袋；第二次从放 ②得9分的员工，获得二等奖，奖金1000 入球的袋子中再随机摸出1个球.求第二次 元，得10分的员工，获得一等奖，奖金2000 摸到的是3号球的概率. 元，估计该企业作为游戏奖励的预算资金 (精确到1元). (参考数据：P(u一o≤X≤μ十o)=0.6827, P(u-2o≤X≤μ+2o)=0.9545,P(μ-3a ≤X≤+3o)=0.973,38=1.524×101, 3-5.081X105,品=1.694×10） 3.(2025吉林长春二模)某企业举办企业年 会，并在年会中设计了抽奖环节和游戏 环节 (1)抽奖环节：该企业每位员工在年会上都 会得到相应的奖金X(单位：千元)，其奖金 的平均值为X=30,标准差为s=5.经分析， 153 实战 实战高考·数学 4.(2025河北模拟)新春佳节，上海京剧院、上 积2分.假设每位票友观看计划相互独立， 海昆剧团联手带来“京昆群英会”，名角荟 视频率为概率，所有票友会员卡之前积分均 萃、好戏连台.天蟾逸夫舞台自大年初二起 为0. “灵蛇献瑞”，以一系列京昆佳作为戏迷观众 (1)观看结束后，从票友中随机抽取3人，记 奉上文化大餐.年初二率先登场的《新春京 3人会员卡的合计得分为X,求X的分布列 剧演唱会》汇集上海京剧院老中青三代演 和数学期望； 员；大年初六，上海昆剧团接棒“京昆群英 (2)观看结束后，从票友中随机抽取n个人 会”，上海昆剧团优秀青年演员胡维露、罗晨 (n为正整数)，记这n个人会员卡的合计积 雪将携手献演昆剧《墙头马上》.据统计，有 分是(n十1)分的概率为Pn,求数列{Pn}的 号的票友计划只观看新春京别演明会，余 前n项和Sm, 下的票友既观看《新春京剧演唱会》，也观 看《墙头马上》.每位票友只观看《新春京剧 演唱会》，则会员卡积1分；若既观看《新春 京剧演唱会》，也观看《墙头马上》，则会员卡 9.5统计与成对数据的分析 过去考什么 山东新高考全练 答案：P516 1.（多选)(2021新高考I卷，9,5分；考点1) D.x2,x3,x4,x5的极差不大于x1,x2,,x6 有一组样本数据x1,x2,…,xn,由这组数据 的极差 得到新样本数据y,y2,…,ym,其中y=x: 3.(2025新课标I卷，15,13分；考点3)为研 十c(i=1,2,…,n),c为非零常数，则( 究某疾病与超声波检查结果的关系，从做过 A.两组样本数据的样本平均数相同 超声波检查的人群中随机调查了1000人， B.两组样本数据的样本中位数相同 得到如下列联表： C.两组样本数据的样本标准差相同 超声波检查结果 组别 正常 不正常 合计 D.两组样本数据的样本极差相同 2.(多选)(2023新课标I卷，9,5分；考，点1) 患该疾病 20 180 200 有一组样本数据x1,x2,…,x6,其中x1是最 未患该疾病 780 20 800 小值，6是最大值，则( ) 合计 800 200 1000 A.x2,x3,x4,x5的平均数等于C1,x2,…,x6 (1)记超声波检查结果不正常者患该疾病的 的平均数 概率为P,求P的估计值； B.x2,x3,x4,x5的中位数等于x1,x2,…,x6 (2)根据小概率值α=0.001的独立性检验， 的中位数 分析超声波检查结果是否与患该疾病有关 C.x2,x3,x4,5的标准差不小于x1,x2,…, n(ad-bc)2 x6的标准差 附X=(a+b(c+d)(a十c)(b+d)' 154